中考数学第一轮复习专题训练(13)轴对称及答案

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2021中考数学一轮知识点系统复习之图形的平移、旋转与轴对称能力达标测试题(附答案详解)

2021中考数学一轮知识点系统复习之图形的平移、旋转与轴对称能力达标测试题（附答案详解）1．在平行四边形ABCD 中，AB=6，AD=8，∠B 是锐角，将△ACD 沿对角线AC 折叠，点D 落在△ABC 所在平面内的点E 处．如果AE 过BC 的中点，则平行四边形ABCD 的面积等于（）A ．48 B ．106 C ．127 D ．242 2．如图，在直角坐标系中，△OBC 的顶点O （0，0），B （﹣6，0），且∠OCB=90°，OC=BC ，则点C 关于y 轴对称的点的坐标是（）A ．（3，3）B ．（﹣3，3）C ．（﹣3，﹣3）D ．（32，32） 3．下列各组图形，可以经过平移变换由一个图形得到另一个图形的是( )．A ．B ．C ．D ． 4．如图，COD 是AOB 绕点O 顺时针方向旋转38后所得的图形，点C 恰好在AB 上，AOD 90∠=，那么BOC ∠的度数为（）A ．12°B ．14°C ．24°D ．30°5．点P （﹣4，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（）A ．（4，3）B ．（﹣4，3）C ．（﹣4，﹣3）D ．（4，﹣3）6．如图，将∠BAC 沿DE 向∠BAC 内折叠，使AD 与A′D 重合，A′E 与AE 重合，若∠A=30°，则∠1+∠2=（）A ．50°B ．60°C ．45°D ．以上都不对 7．图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（）8．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．9．下列分子结构模型平面图中，只有一条对称轴的是（）A．B．C．D．10．如图，ABCD和DCGH是两块全等的正方形铁皮，要使它们重合，则存在的旋转中心有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．如图，点P在等边△ABC的内部，且PC=6，PA=8，PB=10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，连接AP'，则sin∠PAP'的值为________．12．如图，正方形ABCD的边长为4，E是边BC上的一点且BE＝1，P为对角线AC上的一动点，连接PB，PE，当点P在AC上运动时，△PBE周长的最小值是____．13．如图，把△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果图中△ABC上的点P的坐标为（a，b），那么它的对应点P′的坐标为________．14．如图，将△ABE向右平移3cm得到△DCF，如果△ABE的周长是12cm，那么四边形ABFD的周长是_____cm．15．将点P（﹣1，3）绕原点顺时针旋转180°后坐标变为_____．16．已知平面直角坐标系内点P的坐标为（-1,3），如果将平面直角坐标系．．．．．．．向左平移3个单位,再向下平移2个单位,那么平移后点P的坐标为___________17．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为(1，0)，将P0绕原点O按逆时针方向旋转30°得点P1，延长OP1到P2，使OP2＝2OP1，再将点P2绕原点O按逆时针方向转动30°得到点P3，延长OP3到P4，使OP4＝2OP3，…，如果继续下去，点P2016的坐标为_________.18．如图，△ABC中，AC＝10，AB＝12，△ABC的面积为48，AD平分∠BAC，F，E分别为AC，AD上两动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为______．19．在等腰三角形ABC中，∠C=90°，BC=2cm．如果以AC的中点O为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B落在点B′处，那么点B′与点B的原来位置相距_____cm．20．如图①，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A，B的坐标分别为（5，0），（9，0），点D是x轴正半轴上一个动点，连接CD，将△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE，连接DE．（1）直接写出点C的坐标，并判断△CDE的形状，说明理由；（2）如图②，当点D在线段AB上运动时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长及此时点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）当△BDE是直角三角形时，求点D的坐标．（直接写出结果即可）21．三角形右边的是由左边的怎样平移得到的？22．如图，已知在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，且AD=BC=4，若将三角形沿AD剪开成为两个三角形，在平面上把这两个三角形拼成一个四边形，你能拼出所有的不同形状的四边形吗？画出所拼四边形的示意图（标出图中的直角），并分别写出所拼四边形的对角线的长．（只需写出结果即可）23．如图，正方形ABCD和正方形A1B1C1D1的对角线(正方形相对顶点之间所连的线段)BD，B1D1都在x轴上，O，O1分别为正方形ABCD和正方形A1B1C1D1的中心(正方形对角线的交点称为正方形的中心)，O为平面直角坐标系的原点．OD＝3，O1D1＝2.(1)如果O1在x轴上平移时，正方形A1B1C1D1也随之平移，其形状、大小没有改变，当中心O1在x轴上平移到两个正方形只有一个公共点时，求此时正方形A1B1C1D1各顶点的坐标；(2)如果O在x轴上平移时，正方形ABCD也随之平移，其形状、大小没有改变，当中心O在x轴上平移到两个正方形公共部分的面积为2个平方单位时，求此时正方形ABCD 各顶点的坐标．24．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，格点三角形（顶点是网格线交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣1，1），（0，﹣2），请你根据所学的知识．（1）在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；（2）作出三角形ABC关于y轴对称的三角形A1B1C1；（3）判断△ABC的形状，并求出△ABC的面积．25．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，﹣1），B（3，﹣3），C（0，﹣4）（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2．26．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点△ABC（顶点在网格线的交点上）的顶点A、C的坐标分别为A（﹣3，4）C（0，2）（1）请在网格所在的平面内建立平面直角坐标系，并写出点B的坐标；（2）画出△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1；（3）求△ABC的面积；（4）在x轴上存在一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．27．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=120°，以BC为边向形外作等边三角形BCD，把△ABD绕着点D按顺时针方向旋转60°后得到△ECD，若AB=5，AC=3，求∠BAD 的度数与AD的长．28．将△ABC的∠C折起，翻折后角的顶点位置记作C′，当C′落在AC上时（如图1），易证：∠1=2∠2．当C′点落在CA和CB之间（如图2）时，或当C′落在CB、CA的同旁（如图3）时，∠1、∠2、∠3关系又如何，请写出你的猜想，并就其中一种情况给出证明．图1 图2 图329．已知，△AOB中，AB=BC=2,∠ABC=90°，点O是线段AC的中点，连接OB，将△AOB 绕点A逆时针旋转α度得到△ANM，连接CM，点P是线段CM的中点，连接PN、PB．（1）如图1，当α=180°时，直接写出线段PN和PB之间的位置关系和数量关系；（2）如图2，当α=90°时，探究线段PN和PB之间的位置关系和数量关系，并给出完整的证明过程；（3）如图3，直接写出当△AOB在绕点A逆时针旋转的过程中，线段PN的最大值和最小值．参考答案1．C【解析】设AE 与BC 交于O 点，O 点是BC 的中点．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠B =∠D ．AB ∥CD ，又由折叠的性质推知∠D =∠E ，CE =CD∴∠B =∠E ．CE =AB∴△ABO 和△ECO 中，所以△ABO ≌△CEO （AAS ），所以AO =CO =4，OE =OB =4．∴AE =AD =8．∴△AED 为等腰三角形，又C 为底边中点，故三线合一可知∠ACE =90°，从而由勾股定理求得AC =．平行四边形ABCD 的面积=AC ×CD =12．故选：C ．2．A【解析】试题解析：已知90,OCB OC BC ∠=︒=，∴OBC 为等腰直角三角形，又因为顶点()()00,60,O B -，，过点C 作CD OB ⊥于点D ，则 3.OD DC ==所以C 点坐标为()33-，，点C 关于y 轴对称的点的坐标是()33.，故选A ．点睛：关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数. 3．A【解析】试题分析：根据平移的性质，结合图形对选项进行一一分析，选出正确答案．解：A、图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到；B、图形的大小发生变化，不符合平移的性质，不属于平移得到；C、图形的方向发生变化，不符合平移的性质，不属于平移得到；D、图形由轴对称得到，不属于平移得到．故选A．考点：生活中的平移现象．4．B【解析】【分析】直接利用旋转的性质得出∠AOC=∠BOD=38°，进而得出∠BOC的度数．【详解】∵△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转38°后所得的图形，∴∠AOC=∠BOD=38°，∵∠AOD=90°，∴∠BOC=90°-38°-38°=14°．故选：B．【点睛】此题主要考查了旋转的性质，正确得出∠AOC=∠BOD是解题关键．5．A【解析】解：点P(-4，-3)关于原点对称的点的坐标是（4，3）．故选A．6．B【解析】试题解析：∵∠1=180﹣2∠ADE；∠2=180﹣2∠AED．∴∠1+∠2=360°﹣2（∠ADE+∠AED）=360°﹣2（180°﹣30°）=60°．故选B．7．C【解析】【分析】根据轴对称图形的定义进行判断即可得到对称轴.【详解】解:观察可知沿l1折叠时，直线两旁的部分不能够完全重合，故l1不是对称轴；沿l2折叠时，直线两旁的部分不能够完全重合，故l2不是对称轴；沿l3折叠时，直线两旁的部分能够完全重合，故l3是对称轴，所以该图形的对称轴是直线l3，故选C．【点睛】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．8．B【解析】分析：根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．详解：A．该图形是是轴对称图形不是中心对称图形，故本选项错误；B．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；C．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；D．该图形是是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选B．点睛：本题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．9．A【解析】根据图形可得：选项A有1条对称轴，选项B、C各有2条对称轴，选项D有6条对称轴，故选A.【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，关键是正确找出每个图形的对称轴．10．C【解析】分析：旋转中心即是对应点连线的垂直平分线的交点.详解：根据旋转中心即是对应点连线的垂直平分线的交点，可得要使正方形ABCD和DCGH重合，有3种方法，可以分别绕D，C或CD的中点旋转，即旋转中心有3个．故选C．点睛：本题考查了旋转的性质旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，旋转中心即是对应点连线的垂直平分线的交点.11．35．【解析】解：连接PP′．如图，∵线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P'C，∴CP=CP′=6，∠PCP′=60°，∴△CPP′为等边三角形，∴PP′=PC=6．∵△ABC为等边三角形，∴CB=CA，∠ACB=60°，∴∠PCB=∠P′CA．在△PCB和△P′CA中，∵PC=P′C，∠PCB=∠P′CA，CB=CA，∴△PCB≌△P′CA，∴PB=P′A=10．∵62+82=102，∴PP′2+AP2=P′A2，∴△APP′为直角三角形，∠APP′=90°，∴sin∠P AP′='6'10PPP A=35．故答案为35．12．6【解析】连接DE于AC交于点P′，连接BP′，则此时△BP′E的周长就是△PBE周长的最小值，∵BE=1，BC=CD=4，∴CE=3，DE=5，∴BP′+P′E=DE=5，∴△PBE周长的最小值是5+1=6，故答案为6．13．（﹣a﹣2，﹣b）【解析】由图可知，△ABC关于点（﹣1，0）对称变换得到△A′B′C′，∵△ABC上的点P的坐标为（a，b），∴它的对应点P′的坐标为（﹣a﹣2，﹣b），故答案为：（﹣a﹣2，﹣b）．14．18．【解析】【分析】根据平移的性质可得DF=AE，然后判断出四边形ABFD的周长=△ABE的周长+AD+EF，然后代入数据计算即可得解．【详解】∵△ABE向右平移3cm得到△DCF，∴DF=AE，∴四边形ABFD的周长=AB+BE+DF+AD+EF，=AB+BE+AE+AD+EF，=△ABE的周长+AD+EF，∵平移距离为3cm，∴AD=EF=3cm，∵△ABE的周长是12cm，∴四边形ABFD的周长=12+3+3=18cm.故答案为18cm.【点睛】本题考查了平移的性质，解题的关键是熟练的掌握平移的性质.15．（1，﹣3）【解析】【分析】画出平面直角坐标系，然后作出点P绕原点O顺时针旋转180°的点P′的位置，再根据平面直角坐标系写出坐标即可．【详解】如图所示：点P（-1，3）绕原点O顺时针旋转180°后的对应点P′的坐标为（1，-3）．故答案是：（1，-3）．【点睛】考查了坐标与图形变化-旋转，作出图形，利用数形结合的思想求解更简便，形象直观．16．（2,5）【解析】【分析】平面直角坐标系．．．．．．．向左平移3个单位,再向下平移2个单位,相当于将点(-1,3)向右平移3个单位,再向上平移2个单位.应用点的平移与坐标关系便可得出答案.【详解】因为将平面直角坐标系．．．．．．．向左平移3个单位,再向下平移2个单位,相当于将点(-1,3)向右平移3个单位,再向上平移2个单位，此时得到对应点的坐标是(-1+3,3+2),即(2,5).故正确答案为: (2,5).【点睛】此题考核知识点：点的平移和坐标.关键要弄清点移动的方向和距离，特别要注意此题是移动平面直角坐标系．．．．．．．.17．(21008,0)【解析】∵点P0的坐标为(1,0)，∴OP0=1，∴OP2=2OP1=2，OP3=OP2=2，OP4=2OP3=2×2=22，…，OP2016=21008，∵2016÷24=84，∴点P2016是第84循环组的最后一个点，在x轴正半轴，∴点P2016的坐标为(21008,0).故答案为：(21008,0).点睛：本田考查了坐标与图形的变化-旋转，点的坐标变化规律，读懂题目信息，理解点的规律变化是解题的关键.18．8【解析】【分析】根据题意画出符合条件的图形，作F关于AD的对称点为M，作AB边上的高CP，求出EM+EC=MC，根据垂线段最短得出EM+EC=MC≥PC，求出PC即可得出CE+EF的最小值．【详解】试题分析：作F关于AD的对称点为M，作AB边上的高CP，∵AD平分∠CAB，△ABC为锐角三角形，∴M必在AC上，∵F关于AD的对称点为M，∴ME＝EF，∴EF＋EC＝EM＋EC，即EM＋EC＝MC≥PC（垂线段最短），∵△ABC的面积是48，AB＝12，∴12×12×PC＝48，∴PC＝8，即CE＋EF的最小值为8．故答案为8．点睛：本题考查了最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．19．．【解析】分析：由中心对称的性质得OA＝OC，OB＝OB′，用勾股定理求出OB即可.详解：根据中心对称的性质得，OB＝OB′，OC＝1，又BC＝2，由勾股定理得BO BB′＝2OB＝故答案为点睛：中心对称的性质有：①关于中心对称的两个图形是全等形；②关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；③关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等.20．（Ⅰ）C(7，△CDE是等边三角形；（Ⅱ）存在；4 ；D（7，0）；（Ⅲ）D（1，0）或（13，0）．【解析】分析：（1）如图1，过点C作CH⊥x轴于点H，由△ABC是等边三角形易得AH=12AB=2，结合AC=AB=4、OA=5，可得CH=OH=7，由此即可得到点C的坐标；由旋转的性质可知CE=CD，结合旋转角∠DCE=60°可知△CDE是等边三角形；（2）如图2，由（1）可知△CDE是等边三角形，由此可得DE=CD，由△CDE是由△CAD绕点C旋转得到的，由此可得BE=AD，从而可得△BDE的周长=BD+BE+DE=BD+AD+CD=AB+CD=4+CD，由此可知，当CD⊥AB时，CD最小，此时△BDE 的周长最小，由（1）可知，此时CD=23，OD=7，即当点D的坐标为（7，0）时，△BDE 的周长最小，最小值为423+；（3）如图3，由∠CBE=∠CAD=120°可得∠ABC=60°，由此可得∠DBE=60°≠90°，结合△BDE是直角三角形，可知：存在①∠BED=90°；②∠BDE=90°（如图3，∠BD'E'=90°）两种情况，分两种情况画出符合要求的图形，并结合已知条件进行分析计算即可.详解：（Ⅰ）如图1，过点C作CH⊥AB于H，∵△ABC是等边三角形，CH⊥AB于点H，∴∠AHC=90°，AH=12AB=12（9﹣5）=2，∴OH=OA+AH=7，∵AC=AB=4，∴在Rt△ACH中，224223-=∴ C(723)，；∵△CBE是由△CAD绕点C逆时针旋转60°得到的，∴∠DCE=60°，DC=EC，∴△CDE是等边三角形；（Ⅱ）存在，理由如下：如图2，由（Ⅰ）知，△CDE是等边三角形，∴DE=CD，由旋转知，BE=AD，∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE=4+CD，由垂线段最短可知，CD⊥AB于D时，△BDE的周长最小，此时，由（1）可知CD=23，OD=7，∴△BDE的周长最小值为4+23，点D（7，0）；（Ⅲ）如图3，∵由旋转知，∠CBE=∠CAD=120°，∵∠ABC=60°，∴∠DBE=60°≠90°，∵△BDE是直角三角形，∴存在∠BED=90°或∠BDE=90°（如图3，∠BD'E'=90°）两种情况，①当∠BED=90°时，∵△CDE是等边三角形，∴∠CED=60°，∴∠BEC=30°，∵∠CBE=∠CAD=120°，∴∠BCE=30°，∴BE=BC=AB=4，在Rt△BDE中，∠DBE=∠CBE﹣∠ABC=60°，∴BD=2BE=8，∵OB=9，∴OD=OB﹣BD=1，∴D（1，0），②当∠BD'E'=90°时，∵△CD'E'是等边三角形，∴∠CD'E'=60°，∴∠BD'C=30°，∵∠ABC=60°，∴∠BCD'=30°=∠BD'E，∴BD'=BC=6，∵OB=9，∴OD'=OB+BD'=13，∴D'（13，0），即：存在点D使△BDE是直角三角形，此时点D的坐标分别为：（1，0）或（13，0）．点睛：（1）解第1小题的关键是：作出如图1所示的辅助线，利用等边三角形的性质和直角三角形的性质求得AH和CH的长；（2）解第2小题的关键是：利用旋转的性质得到BE=AD，从而把△BDE的周长转化为为：(4+CD)来表达，这样当CD⊥x轴时，CD最短，则△BDE 的周长就最小，由此即可使问题得到解决；（3）解第3小题的要点是：根据已知条件分析存在∠BED=90°或∠BDE=90°两种情况，然后画出符合题意的图形，再进行分析计算即可得到所求结果.21．向右平移7个单位.【解析】试题分析:观察图形中对应点的变化，即可得出图形的变化规律.试题解析：找出对应点来后会发现右边的图形是由左边的向右平移7个单位长度得到的.22．略【解析】可让两斜边重合，得到一个矩形和一个一般的四边形，根据勾股定理和三角形的面积公式可求得对角线长；让两长直角边重合或两短直角边重合，可得到一个平行四边形，利用勾股定理求得一对角线的长．图1是矩形，两条对角线长相等，均为2；图2是平行四边形，两条对角线长4和4；图3是平行四边形，两条对角线长2和2；图4是一般的四边形，两条对角线长2和．23．（1）A1(5，2)，B1(3，0)，C1(5，－2)，D1(7，0)；（2）A(11，3)，B(8，0)，C(11，－3)，D(14，0)．【解析】【分析】（1）两个正方形只有一个公共点时，分D和B1为公共点，B和D1为公共点两种情况，结合平移的性质写出各点的坐标；（2）根据两个正方形的位置可知公共部分肯定是个正方形，面积是2，可以算出它的对角线长为2，所以有两种情况：点D和O1重合，点B和O1重合，据此解答.【详解】解：(1)当点B1与点D重合时，两个正方形只有一个公共点，此时A1(5，2)，B1(3，0)，C1(5，－2)，D1(7，0)；当点B与D1重合时，两个正方形只有一个公共点，此时A1(－5，2)，B1(－7，0)，C1(－5，－2)，D1(－3，0)．(2)当点D与O1重合时，两个正方形公共部分的面积为2个平方单位，此时A(5，3)，B(2，0)，C (5，－3)，D (8，0)；当点B 与O 1重合时，两个正方形公共部分的面积为2个平方单位，此时A (11，3)，B (8，0)，C (11，－3)，D (14，0)．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，解题的关键是熟练的掌握平移的相关知识点. 24．（1）见解析；（2）见解析；（3）直角三角形，2．【解析】【分析】（1）根据点A 和点C 的坐标即可作出坐标系；（2）分别作出三角形的三顶点关于y 轴的对称点，顺次连接可得；（3）根据勾股定理的逆定理可得．【详解】解：（1）如图所示：（2）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求；（3）∵正方形小方格边长为1，∴AB 2211+2，BC 2222+2，AC 2213+10，∴AB 2+BC 2=AC 2，∴网格中的△ABC 是直角三角形．△ABC 的面积为122×2=2．【点睛】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于y 轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． 25．（1）答案见解析；（2）答案见解析．【解析】试题分析：（1）根据网格结构找出点A 、B 、C 关于原点对称的点A 1、B 1、C 1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据网格结构找出点A1、B1、C1关于y轴对称的点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可．试题解析：（1）△A1B1C1如图所示；（2）△A2B2C2如图所示．考点：（1）作图-旋转变换；（2）作图-轴对称变换26．（1）坐标系详见解析，点B的坐标（﹣2，0）；（2）详见解析；（3）5；（4）点P 的坐标（﹣2，0）．【解析】【分析】（1）根据A、C点坐标，作出的平面直角坐标系即可，根据作出的平面直角坐标系写出B 点的坐标即可；（2）根据原点对称的特点画出图形即可；（3）利用矩形面积减去周围三角形面积得出即可；（4）根据轴对称的性质解答即可．【详解】解：（1）如图所示：点B的坐标（-2，0）；（2）如图所示，△A1B1C1即为所求；（3）△ABC的面积111 34222314222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=5；（4）点P的坐标（-2，0）．【点睛】本题考查的知识点是平移变换以及三角形面积求法和坐标轴确定方法，解题关键是正确平移顶点．27．∠BAD=60°，AD=8．【解析】【分析】根据旋转的性质先证明△ADE是等边三角形，由相似三角形的性质可得∠EAD=60°，AD=AE，即可得到∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=60°，AD=AE=AC+CE=AC+AB=3+5=8．【详解】∵△ABD≌△ECD，∴AD=DE，∠BDA=∠DCE，∴∠BDC=∠ADE=60°，∠ABD=∠ECD，∵∠BAC=120°，∠BDC=60°，∴∠BAC+∠BDC=180°，∴∠ABD+∠ACD=180°，∴∠ACD+∠ECD=180°，∴A、C、E共线，∴△ADE是等边三角形，∴∠EAD=60°，AD=AE，∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=60°，∴AD=AE=AC+CE=AC+AB=3+5=8．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质，证明△AED是等边三角形是解决问题的关键．28．∠1－∠3=2∠2，证明见解析．【解析】【分析】利用轴对称的知识找出等解即可进行推理判断．【详解】解：当C′点落在CA和CB之间（如图2）时，∠1+∠3=2∠2；当C′落在CB、CA的同旁（如图3）时，∠1－∠3=2∠2；对于图2证明如下：连结CC’，如图4所示，∵⊿EC’D是由⊿ECD翻折得到的，∴⊿EC’D≌⊿ECD，由此得EC=EC’，DC=DC’，∠EC’D=∠ECD，∴∠EC’C=∠ECC；∠DC’C=∠DCC，∵∠1=∠DC’C+∠DCC’ ，∠3=∠EC’C+∠ECC’ ，∴∠1+∠3=∠DC’C+∠DCC’ +∠EC’C+∠ECC’=2∠D C’C+2∠ EC’C =2(∠DC’C+∠EC’C)= 2∠2；∴∠1+∠3=2∠2；对于图3证明如下：设AC与DC’在⊿ABC内部所夹角为∠4，如图5所示，则有∠1=∠C +∠4，∠4=∠3+∠2，又由翻折得：∠2=∠C ，∴∠1=∠2+∠3+∠2=∠3+2∠2，∴∠1－∠3=2∠2．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质.找准对称轴是解题的关键．29．(1)PN=PB ，PN⊥PB；(2)略；221-【解析】（1）由旋转的性质可得△ABC ≌△ANM ,再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得到PN 和PB 之间的位置关系和数量关系；（2）结论一样，证明的方法与（1）一样；（3）连接OP ，利用勾股定理可得出线段PN 的最大值和最小值.解：（1）PN PB ⊥，PN PB =．（2）连接PO ，∵90α=︒，∴90MAB ∠=︒．∵90ABC ∠=︒，∴//AM BC ． ∵AMN ≌ABO ，∴AB AM =，OB MN =，∴//AM BC ，=AM BC ,又∵90ABC ∠=︒,∴四边形ABCM 为正方形．∵P 为CM 中点，O 为AC 中点，∴12OP AM ， ∴OP PM =，45POC MAC ∠=∠=︒， ∴135BOP BOC POC ∠=∠+∠=︒． ∵9045135PMN ∠=︒+︒=︒， ∴PMN POB ∠=∠． PMN ≌POB ， ∴PN PB =，MPN OPB ∠=∠． ∵90MPO ∠=︒， ∴90NPB ∠=︒， ∴PN PB ⊥．（3）连接OP ． ∵P ，O 为AC ，MC 中点， ∴11122OP AM AB ===．在Rt AOB 中， ∵OA OB =，2AB =，∴OB =PO OP PB BO PO -≤≤+． ∵PB PN =，11PN ≤≤．PN ∴11．。

2021中考数学专题训练轴对称与中心对称(含答案)

2021中考数学专题训练轴对称与中心对称一、选择题1. 下列四个交通标志图中，为轴对称图形的是()2. 点(－1，2)关于原点的对称点坐标是()A．(－1，－2) B．(1，－2)C．(1，2) D．(2，－1)3. 如图，在4×4的正方形网格中，已有四个小正方形被涂黑.若将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形，则该小正方形的位置可以是()A.(一，2)B.(二，4)C.(三，2)D.(四，4)4. 2018·达州下列图形中是中心对称图形的是()5. 如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为()A．40°B．45°C．50°D．60°6. 如图，在RtABC 中，90ACB ∠=︒，分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于D E ，两点，作直线DE 交AB 于点F ，交BC 于点G ，连接CF ．若3AC =，2CG =，则CF 的长为A ．52B ．3C ．2D ．727. 如图，线段AB 外有C ，D 两点(在AB 同侧)，且CA=CB ，DA=DB ，∠ADB=80°，∠CAD=10°，则∠ACB 的度数为( )A .80°B .90°C .100°D .110°8. 如图，∠AOB=60°，点P 是∠AOB 内的定点且OP=，若点M ，N 分别是射线OA ，OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是 ( ) A .B .C .6D .3二、填空题9. 如图，已知BC 为等腰三角形纸片ABC 的底边，AD ⊥BC ，∠BAC ≠90°.将此三角形纸片沿AD 剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个四边形，则能拼出______个中心对称图形．10. 如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分.当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，阴影部分的面积为.11. 如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F.若△AEF的周长为10 cm，则BC的长为cm.12. 数学活动课上，两名同学围绕作图问题:“如图①，已知直线l和直线l外一点P，用直尺和圆规作直线PQ，使PQ⊥直线l于点Q.”分别作出了如图②③所示的两个图形，其中作法正确的为图(填“②”或“③”).13. 现要在三角地带ABC内(如图)建一座中心医院，使医院到A，B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请你确定这座中心医院的位置.14. 如图，在△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是形，点P，E，F分别为线段AB，AD，DB上的任意一点，则PE+PF的最小值是.三、作图题15. 如图，在对R t△OAB依次进行位似、轴对称和平移变换后得到R t△O′A′B′.(1)在坐标纸上画出这几次变换相应的图形；(2)设P(x，y)为△OAB边上任一点，依次写出这几次变换后点P对应点的坐标．16. 如图，1O，2O，3O，4O为四个等圆的圆心，A，B，C，D为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是；如图，1O，2O，3O，4O，5O为五个等圆的圆心，A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是．DCBAO4O3O2O1EDCBAO5O4O3O2O1四、解答题17. 如图，Rt△ABC的顶点A，B，C关于直线MN的对称点分别为A'，B'，C'，其中∠A=90°，AC=8 cm，点C，B，A'在同一条直线上，且A'C=12 cm.(1)求△A'B'C'的周长; (2)求△A'CC'的面积.18. 如图，在△ABC中，AB 边的垂直平分线DE 分别与AB 边和AC 边交于点D和点E ，BC 边的垂直平分线FG 分别与BC 边和AC 边交于点F 和点G ，若△BEG 的周长为16，GE=3，求AC 的长.19. [材料阅读]在平面直角坐标系中，以任意两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)为端点的线段的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.[运用](1)已知点A (－2，1)和点B (4，－3)，则线段AB 的中点坐标是________；已知点M (2，3)，线段MN 的中点坐标是(－2，－1)，则点N 的坐标是________． (2)已知平面上四点A (0，0)，B (10，0)，C (10，6)，D (0，6)．直线y ＝mx －3m ＋2将四边形ABCD 分成面积相等的两部分，则m 的值为________．(3)在平面直角坐标系中，有A (－1，2)，B (3，1)，C (1，4)三点，另有一点D ，可使以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形为平行四边形，求点D 的坐标．20. 如图1，将△ABC 纸片沿中位线EH 折叠，使点A 的对称点D 落在BC 边上，再将纸片分别沿等腰△BED 和等腰△DHC 的底边上的高线EF 、HG 折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．(1)将▱ABCD 纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG ，则操作形成的折痕分别是线段________，________；S 矩形AEFG ∶S ▱ABCD ＝________．(2)▱ABCD 纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH ，若EF ＝5，EH ＝12，求AD 的长．(3)如图4，四边形ABCD 纸片满足AD ∥BC ，AD <BC ，AB ⊥BC ，AB ＝8，CD ＝10.小明把该纸片折叠，得到叠合正方形．．．，请你帮助画出叠合正方形的示意图，并求出AD ，BC 的长．图1 图2 图3 图42021中考数学专题训练轴对称与中心对称-答案一、选择题 1. 【答案】B2. 【答案】B3. 【答案】B [解析] 如图，把(二，4)位置的小正方形涂黑，则整个图案构成一个以直线AB 为对称轴的轴对称图形.4. 【答案】B5. 【答案】C[解析] 由作法得CG ⊥AB.∵AC ＝BC ，∴CG 平分∠ACB ，∠A ＝∠B ＝40°. ∵∠ACB ＝180°－∠A －∠B ＝100°， ∴∠BCG ＝12∠ACB ＝50°.6. 【答案】A【解析】由作法得GF 垂直平分BC ，∴FB FC =，2CG BG ==，FG BC ⊥， ∵90ACB ∠=︒，∴FG AC ∥，∴BF CF =， ∴CF 为斜边AB 上的中线， ∵22345AB =+=， ∴1522CF AB ==．故选A ．7. 【答案】C8. 【答案】D[解析]分别以OB ，OA 为对称轴作点P 的对称点P 1，P 2，连接OP 1，OP 2，P 1P 2，P 1P 2交射线OA ，OB 于点M ，N ，则此时△PMN 的周长有最小值，△PMN 的周长=PN +PM +MN=P 1N +P 2M +MN=P 1P 2，根据轴对称的性质可知OP 1=OP 2=OP=，∠P 1OP 2=120°，∴∠OP 1M=30°，过点O 作MN 的垂线段，垂足为Q ，在Rt △OP 1Q 中，可知P 1Q=，所以P 1P 2=2P 1Q=3，故△PMN 周长的最小值为3.二、填空题9. 【答案】3 [解析] 在这里具有中心对称图形特征的是平行四边形，所以两个三角形中对应相等的两条边重合只能拼一个．因为三角形只有三条边，所以只有三种情况．10. 【答案】12[解析]∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，∴菱形的面积=×6×8=24.∵点O 是菱形两条对角线的交点， ∴阴影部分的面积=×24=12.11. 【答案】10[解析] ∵AB ，AC 的垂直平分线分别交BC 于点E ，F ，∴AE=BE ，AF=CF .∴BC=BE+EF+CF=AE+EF+AF=10 cm .12. 【答案】③13. 【答案】解:作线段AB的垂直平分线EF，作∠BAC的平分线AM，EF与AM 相交于点P，则点P处即为这座中心医院的位置.14. 【答案】菱[解析]∵AC=BC，∴△ABC是等腰三角形.将△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC=BC=AD=BD，∴四边形ADBC是菱形.∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴△ABC与△ABD关于AB成轴对称.如图所示，作点E关于AB的对称点E'，连接PE'，根据轴对称的性质知AB垂直平分EE'，∴PE=PE'，∴PE+PF=PE'+PF，当E'，P，F三点共线，且E'F⊥AC时，PE+PF有最小值，该最小值即为平行线AC与BD间的距离.作CM⊥AB于M，BG⊥AD于G，由题知AC=BC=2，AB=1，∠CAB=∠BAD，∴cos∠CAB=cos∠BAD，即=，∴AG=，在Rt△ABG中，BG===，由对称性可知BG长即为平行线AC，BD间的距离，∴PE+PF的最小值=.三、作图题15. 【答案】解：(1)解图(2)设坐标纸中方格边长为单位1.则P(x ，y )――→以O 为位似中心放大为原来的2倍(2x ，2y )――→沿y 轴翻折(－2x ，2y )――→向右平移4个单位(－2x ＋4，2y )――→向上平移5个单位(－2x ＋4，2y ＋5).16. 【答案】1O ，3O 如图（提示：答案不惟一，过13O O 与24O O 交点O 的任意直线都能将四个圆分成面积相等的两部分）；5O ，O ，如图（提示：答案不惟一，如4AO ，3DO ，2EO ，1CO 等均可）．O DCBAO 4O 3O 2O 1EO DCBAO 5O 4O 3O 2O 1四、解答题17. 【答案】解:(1)∵Rt △ABC 的顶点A ，B ，C 关于直线MN 的对称点分别为A'，B'，C'，AC=8 cm ，A'C=8cm ，∴AB=A'B'，AC=A'C'，∠A'=∠A=90°.∴△A'B'C'的周长为A'C'+B'C'+A'B'=AC+A'C=12+8=20(cm). (2)由(1)得A'C'=AC=8 cm ，∠A'=90°，∴△A'CC'的面积为A'C ·A'C'=×12×8=48(cm 2).18. 【答案】解:∵DE 垂直平分线段AB ，GF 垂直平分线段BC ，∴EB=EA ，GB=GC. ∵△BEG 的周长为16， ∴EB+GB+GE=16. ∴EA+GC+GE=16.∴GA+GE+GE+GE+EC=16. ∴AC+2GE=16. ∵GE=3， ∴AC=10.19. 【答案】解：(1)(1，－1) (－6，－5) (2)12(3)设点D 的坐标为(x ，y)．若以AB 为对角线，AC ，BC 为邻边的四边形为平行四边形，则AB ，CD 的中点重合，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋x 2＝－1＋32，4＋y 2＝2＋12，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1；若以BC 为对角线，AB ，AC 为邻边的四边形为平行四边形，则AD ，BC 的中点重合，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋x 2＝3＋12，2＋y 2＝1＋42，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝3；若以AC 为对角线，AB ，BC 为邻边的四边形为平行四边形，则BD ，AC 的中点重合，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋x 2＝－1＋12，1＋y 2＝2＋42，解得⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝5. 综上可知，点D 的坐标为(1，－1)或(5，3)或(－3，5)．20. 【答案】【思维教练】(2)AD ＝DH ＋AH ，由折叠性质和全等三角形得出DH ＝HN ，FN ＝AH ，即AD ＝FH ，由叠合矩形的概念可知∠FEH ＝90°，利用勾股定理求出AD ；(3)观察图形的特点，可以考虑从CD 的中点横向和竖向折叠或从分别从每个角的位置向内折叠构成矩形，利用构成的直角三角形求解得出结果．解：(1)AE ，GF ；1∶2(2分)(2)∵四边形EFGH 是叠合矩形，∠FEH ＝90°，又EF ＝5，EH ＝12.∴FH ＝EF 2＋EH 2＝52＋122＝13.(4分)由折叠的轴对称性可知，DH ＝HN ，AH ＝HM ，CF ＝FN.易证△AEH ≌△OGF ，∴CF ＝AH.(5分)∴AD ＝DH ＋AH ＝HN ＋FN ＝FH ＝13.(6分)(3)本题有以下两种基本折法，如解图1，解图2所示．(作出一种即可)1 2 按解图1的折法，则AD ＝1，BC ＝7；按解图2的折法，则AD ＝134，BC ＝374.(10分)。

全国人教版数学八年级上册课课练：第13章轴对称复习与中考演练(word、含答案)

第13章复习与中考演练一、选择题1.[2020·宜昌]下面四幅图是摄影爱好者抢拍的一组照片.从对称美的角度看,拍得最成功的是()2.[2020·枣庄]如图图,在△ABC中,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,连接AE.若BC=6,AC=5,则△ACE的周长为()A.8B.11C.16D.173.[2020·兰州]若点A(-4,m-3),B(2n,1)关于x轴对称,则()A.m=2,n=0B.m=2,n=-2C.m=4,n=2D.m=4,n=-24.[2020·长春]如图图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB>AC.按下列步骤作图:①分别以点B和点C为圆心,大于BC长的一半为半径作圆弧,两弧相交于点M和点N;②作直线MN,与边AB相交于点D,连接CD.下列说法不一定正确的是()A.∠BDN=∠CDNB.∠ADC=2∠BC.∠ACD=∠DCBD.2∠B+∠ACD=90°5.[2020·成都]如图图,在△ABC中,按以下步骤作图:①分别以点B,C为圆心,以大于1BC的长2为半径作弧,两弧相交于点M,N;②作直线MN交AC于点D,连接BD.若AC=6,AD=2,则BD的长为()A.2B.3C.4D.66.[2020·临沂]如图图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,CD∥AB,则∠BCD的度数为()A.40°B.50°C.60°D.70°7.[2019·南宁]如图图,在△ABC中,AC=BC,∠A=40°,观察图中尺规作图的痕迹,可知∠BCG 的度数为()A.40°B.45°C.50°D.60°8.[2020·哈尔滨]如图图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=50°,AD⊥BC,垂足为D,△ADB与△ADB'关于直线AD对称,点B的对称点是点B',则∠CAB'的度数为()A.10°B.20°C.30°D.40°9.[2019·衢州]“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如图图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在点O相连并可绕点O转动,点C固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动.若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是()A.60°B.65°C.75°D.80°二、填空题10.[2020·齐齐哈尔]若等腰三角形的两条边长分别为3和4,则这个等腰三角形的周长是.11.[2020·黄冈]已知:如图图,在△ABC中,点D在边BC上,AB=AD=DC,∠C=35°,则∠BAD=度.12.[2020·达州]如图图,点P(-2,1)与点Q(a,b)关于直线l(y=-1)对称,则a+b=.13.[2020·宜昌]如图图,在一个池塘两旁有一条笔直小路(B,C为小路端点)和一棵小树(A为小树位置).测得的相关数据为:∠ABC=60°,∠ACB=60°,BC=48米,则AC=米.14.[2020·台州]如图图,等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC的三等分点.分别过点E,F沿着平行于BA,CA方向各剪一刀,则剪下的△DEF的周长是.三、解答题15.[2019·南宁]如图图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A(2,-1),B(1,-2),C(3,-3).(1)将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;(2)请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2;(3)请写出点A1,A2的坐标.16.[2020·吉林]①②③都是3×3的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点.A,B,C均为格点.在给定的网格中,按下列要求画图:(1)在图①中,画一条不与AB重合的线段MN,使MN与AB 关于某条直线对称,且M,N为格点;(2)在图②中,画一条不与AC重合的线段PQ,使PQ与AC关于某条直线对称,且P,Q为格点;(3)在图③中,画一个△DEF,使△DEF与△ABC关于某条直线对称,且D,E,F为格点.17.[2020·绍兴]问题:如图图,在△ABD中,BA=BD.在BD的延长线上取点E,C,作△AEC,使EA=EC.若∠BAE=90°,∠B=45°,求∠DAC的度数.答案:∠DAC=45°.思考:(1)如图图果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,其余条件不变,那么∠DAC的度数会改变吗?说明理由;(2)如图图果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE=n°”,其余条件不变,求∠DAC的度数.答案1.B2.B∵DE垂直平分AB,∴AE=BE.∴△ACE的周长=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=11.3.B4.C由作图可知,MN垂直平分线段BC,∴DB=DC,MN⊥BC.∴∠BDN=∠CDN,∠B=∠DCB.∴∠ADC=∠B+∠DCB=2∠B.∵∠A=90°,∴∠ADC+∠ACD=90°.∴2∠B+∠ACD=90°.5.C由作图知,MN是线段BC的垂直平分线,∴BD=CD.∵AC=6,AD=2,∴BD=CD=4.6.D∵在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,∴∠B=70°.∵CD∥AB,∴∠BCD=∠B=70°.7.C由尺规作图的痕迹得CG⊥AB.∵AC=BC,∴CG平分∠ACB,∠A=∠B=40°.∵∠∠ACB=50°.ACB=180°-∠A-∠B=100°,∴∠BCG=128.A∵∠BAC=90°,∠B=50°,∴∠C=40°.∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称,点B的对称点是点B',∴∠AB'B=∠B=50°.∴∠CAB'=∠AB'B-∠C=10°.9.D∵OC=CD=DE,∴∠O=∠ODC,∠DCE=∠DEC.∴∠DEC=∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC.∵∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=75°,∴∠ODC=25°.∵∠CDE+∠ODC=180°-∠BDE=105°,∴∠CDE=105°-∠ODC=80°.10.10或11①当3是腰长时,三角形的三边长分别为3,3,4,此时能组成三角形,∴周长=3+3+4=10;②当3是底边长时,三角形的三边长分别为3,4,4,此时能组成三角形,∴周长=3+4+4=11.综上所述,这个等腰三角形的周长是10或11.11.40∵AD=DC,∴∠DAC=∠C=35°.∴∠ADB=∠DAC+∠C=70°.∵AB=AD,∴∠B=∠ADB=70°.∴∠BAD=180°-∠B-∠ADB=180°-70°-70°=40°.12.-5∵点P(-2,1)与点Q(a,b)关于直线l(y=-1)对称,∴a=-2,b=-3.∴a+b=-2-3=-5.13.48∵∠ABC=60°,∠ACB=60°,∴∠BAC=60°.∴△ABC是等边三角形.∵BC=48米,∴AC=48米.14.6∵等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC的三等分点,∴EF=2.∵△ABC是等边三角形,∴∠B=∠C=60°.∵DE∥AB,DF∥AC,∴∠DEF=∠B=60°,∠DFE=∠C=60°.∴△DEF是等边三角形.∴△DEF的周长是2×3=6.15.解:(1)如图图图所示,△A1B1C1即为所求.(2)如图图图所示,△A2B2C2即为所求.(3)A1(2,3),A2(-2,-1).16.解:(1)如图图图①,MN即为所求.(答案不唯一)(2)如图图图②,PQ即为所求.(答案不唯一)(3)如图图图③,△DEF即为所求.(答案不唯一)17.解:(1)∠DAC的度数不会改变.理由:∵EA=EC ,∴∠EAC=∠C.① ∴∠AED=∠EAC+∠C=2∠C. ∵BA=BD ,∴∠BAD=∠BDA. ∵∠BAE=90°,∴∠B=90°-∠AED=90°-2∠C.∴∠BAD=12(180°-∠B )=12[180°-(90°-2∠C )]=45°+∠C.∴∠DAE=90°-∠BAD=90°-(45°+∠C )=45°-∠C.② 由①②得,∠DAC=∠DAE+∠EAC=45°-∠C+∠C=45°. (2)设∠B=m °,则∠BAD=12(180°-m °)=90°-12m °,∠AEB=180°-n °-m °.∴∠DAE=n °-∠BAD=n °-90°+12m °.∵EA=EC ,∴∠CAE=12∠AEB=90°-12n °-12m °.∴∠DAC=∠DAE+∠CAE=n °-90°+12m °+90°-12n °-12m °=12n °.。

备考2021年中考数学复习专题：图形的变换_关于坐标轴对称的点的坐标特征,综合题专训及答案

案
1.答案： 2.答案：
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15.答案：
（1）求抛物线C1，C2的函数表达式；（2）求A，B两点的坐标；
（3）在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A，B，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P、Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
13、
(2019越秀.中考模拟) (2019九上·兰州期末) 如、、、 .
（1）填空： ________；
（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线交直线于点Q.若
，求点P的坐标；
（3）点E在直线上，点E关于直线对称的点为F，点F关于直线对称的点为G，连接 .当点F在x轴上时
，直接写出的长.
15、
(2020北京.中考模拟) 在平面直角坐标系中，直线为一、三象限角平分线，点关于轴的对称点称为的一
（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围；（2）如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，求 m的值．
12、 (2017陕西.中考真卷) 在同一直角坐标系中，抛物线C1：y=ax2﹣2x﹣3与抛物线C2：y=x2+mx+n关于y轴对称，C2与x轴交于A，B两点，其中点A在点B的左侧．
（1）求出△ABC的面积．
（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．（3）写出点A1，B1，C1的坐标． 8、

2021年中考数学一轮复习：轴对称与中心对称专项练习题(含答案)

2021年中考数学一轮复习：轴对称与中心对称专项练习题一、选择题1. 如图所示电视台的台标中，是中心对称图形的是()2. 下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是()3. 如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点中心对称，则这个点是()A．O1B．O2C．O3D．O44. 如图，线段AB与A'B'(AB=A'B')不关于直线l成轴对称的是()5. 如图，在△ABC中，AC＝BC，点D和E分别在AB和AC上，且AD＝AE，连接DE，过点A的直线GH与DE平行．若∠C＝40°，则∠GAD的度数为()A．40°B．45°C．55°D．70°6. 如图，已知钝角三角形ABC，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹.步骤1:以点C为圆心，CA长为半径画弧①;步骤2:以点B为圆心，BA长为半径画弧②，交弧①于点D;步骤3:连接AD，交BC的延长线于点H.则下列叙述正确的是()A.BH垂直平分线段ADB.AC平分∠BADC.S△ABC=BC·AHD.AB=AD7. 把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换.结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形(如图0)的对应点所具有的性质是()A.对应点所连线段与对称轴垂直B.对应点所连线段被对称轴平分C.对应点所连线段都相等D.对应点所连线段互相平行8. 如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP=，若点M，N分别是射线OA，OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是()A.B.C.6 D.3二、填空题9. 将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB=10 cm ，则AC= cm .10. 等腰三角形的两边长分别为6 cm ，13 cm ，其周长为________ cm .11. 如图，四边形ABCD 是菱形，O 是两条对角线的交点，过O 点的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分.当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，阴影部分的面积为 .12. 已知点P (x ，y )的坐标满足等式(x －2)2＋|y －1|＝0，且点P 与点P ′关于y 轴对称，则点P ′的坐标为________．13. 画图:试画出下列正多边形的所有对称轴，并完成表格.根据上表，猜想正n 边形有条对称轴.14. (2019•黄冈)如图，AC BD ，在AB 的同侧，288AC BD AB ===，，，点M为AB 的中点，若120CMD ∠=︒，则CD 的最大值是__________．三、解答题15. 已知:如图，AB=AC，DB=DC，点E在直线AD上.求证:EB=EC.16. 如图，DF为△ABC的边BC的垂直平分线，F为垂足，DF交△ABC的外角平分线AD于点D，DE⊥AB于点E，且AB>AC，连接BD，CD.求证:(1)∠DBE=∠DCA;(2)BE=AC+AE.17. 如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线12y x b=-+交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．18. 如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF.(1)如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF ＝3S△EDF，求AE的长；(2)如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M 处，且使MF∥CA.①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；②求EF的长．答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】C3. 【答案】A[解析] 如图，连接HC和DE交于点O1.4. 【答案】A[解析] 选项A中，A'B'是由线段AB平移得到的，所以线段AB与A'B'不关于直线l成轴对称.5. 【答案】C[解析] ∵AC＝CB，∠C＝40°，∴∠BAC＝∠B＝12(180°－40°)＝70°.∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝12(180°－70°)＝55°.∵GH∥DE，∴∠GAD＝∠ADE＝55°.6. 【答案】A[解析] 如图，连接CD，BD.∵CA=CD，BA=BD，∴点C，B都在线段AD的垂直平分线上.∴BH垂直平分线段AD.故选A.7. 【答案】B[解析] 连接BB'交对称轴于点O，过点B作BM⊥对称轴，垂足为M，过点B'作B'N⊥对称轴，垂足为N，由轴对称的性质及平移的性质可得BM=B'N.又因为∠BOM=∠B'ON，∠BMO=∠B'NO=90°，所以△BOM≌△B'ON.所以OB=OB'.同理其他对应点也有这样的结论.8. 【答案】D[解析]分别以OB，OA为对称轴作点P的对称点P1，P2，连接OP1，OP2，P1P2，P1P2交射线OA，OB于点M，N，则此时△PMN的周长有最小值，△PMN的周长=PN+PM+MN=P1N+P2M+MN=P1P2，根据轴对称的性质可知OP1=OP2=OP=，∠P1OP2=120°，∴∠OP1M=30°，过点O作MN的垂线段，垂足为Q，在Rt△OP1Q中，可知P1Q=，所以P1P2=2P1Q=3，故△PMN周长的最小值为3.二、填空题9. 【答案】10[解析]如图，∵矩形的对边平行，∴∠1=∠ACB，由翻折变换的性质，得∠1=∠ABC，∴∠ABC=∠ACB，∴AC=AB，∵AB=10 cm，∴AC=10 cm.故答案为10.10. 【答案】32[解析] 由题意知，应分两种情况：(1)当腰长为6 cm时，三角形的三边长为6 cm，6 cm，13 cm，6＋6＜13，不能构成三角形；(2)当腰长为13 cm时，三角形的三边长为6 cm，13 cm，13 cm，能构成三角形，周长＝2×13＋6＝32(cm)．11. 【答案】12[解析]∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，∴菱形的面积=×6×8=24.∵点O是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积=×24=12.12. 【答案】(－2，1)[解析] ∵(x －2)2≥0，|y －1|≥0，又(x －2)2＋|y －1|＝0，∴x－2＝0且y －1＝0，即x ＝2，y ＝1.∴点P 的坐标为(2，1)．那么点P 关于y 轴的对称点P′的坐标为(－2，1)．13. 【答案】解:如图.故填3，4，5，6，n.14. 【答案】14【解析】如图，作点A 关于CM 的对称点A'，点B 关于DM 的对称点B'．∵120CMD ∠=︒，∴60AMC DMB ∠+∠=︒， ∴60CMA'DMB'∠+∠=︒， ∴60A'MB'∠=︒， ∵MA'MB'=，∴A'MB'△为等边三角形，∵14CD CA'A'B'B'D CA AM BD ≤++=++=， ∴CD 的最大值为14，故答案为：14．三、解答题15. 【答案】证明:连接BC.∵AB=AC ，DB=DC ，∴直线AD 是线段BC 的垂直平分线. 又∵点E 在直线AD 上，∴EB=EC.16. 【答案】证明:(1)如图，过点D 作DG ⊥CA 交CA 的延长线于点G .∵DF 是BC 的垂直平分线，∴BD=CD.∵AD 是△ABC 的外角平分线，DE ⊥AB ，DG ⊥CA ， ∴DE=DG ，∠DEB=∠DGC=90°. 在Rt △DBE 和Rt △DCG 中，∴Rt △DBE ≌Rt △DCG (HL). ∴∠DBE=∠DCA.(2)∵Rt △DBE ≌Rt △DCG ，∴BE=CG . 在Rt △DEA 和Rt △DGA 中，∴Rt △DEA ≌Rt △DGA (HL). ∴AE=AG .∴BE=CG=AC+AG=AC+AE ，即BE=AC+AE.17. 【答案】(1)①如图2，当E 在OA 上时，由12y x b =-+可知，点E 的坐标为(2b ,0)，OE＝2b ．此时S ＝S △ODE ＝112122OE OC b b ⋅=⨯⨯=．②如图3，当E 在AB 上时，把y ＝1代入12y x b =-+可知，点D 的坐标为(2b －2,1)，CD ＝2b －2，BD ＝5－2b ．把x ＝3代入12y x b =-+可知，点E 的坐标为3(3,)2b -，AE ＝32b -，BE ＝52b -．此时S ＝S 矩形OABC －S △OAE － S △BDE －S △OCD＝1315133()()(52)1(22)22222b b b b -⨯-----⨯⨯-252b b =-+．(2)如图4，因为四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 关于直线DE 对称，因此DM ＝DN ，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN 是菱形．作DH⊥OA，垂足为H．由于CD＝2b－2，OE＝2b，所以EH＝2．设菱形DMEN的边长为m．在Rt△DEH中，DH＝1，NH＝2－m，DN＝m，所以12＋(2－m)2＝m2．解得54m ．所以重叠部分菱形DMEN的面积为54．图2 图3 图4考点伸展把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为53，如图7所示．图5 图6 图7 18. 【答案】(1)如解图①，∵折叠后点A落在AB边上的点D处，解图①∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，∴S △AEF ＝S △DEF ，∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF ，∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ，∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF ， ∴14△△AEF ACB S S =， ∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°，∴△AEF ∽△ABC ，∴2△△（）AEF ACB S AE ABS =， ∴214（）=，AE AB 在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，即AB ＝42＋32＝5，∴(AE 5)2＝14，∴AE ＝52；(2)①四边形AEMF 是菱形．证明：如解图②，∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ，又∵MF ∥CA ，∴∠CEM ＝∠EMF ，∴∠CAB ＝∠CEM ，∴EM ∥AF ，∴四边形AEMF 是平行四边形，而AE ＝ME ，∴四边形AEMF 是菱形，解图②②如解图②，连接AM ，与EF 交于点O ，设AE ＝x ，则AE ＝ME ＝x ，EC ＝4－x ， ∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°，∴Rt △ECM ∽Rt △ACB ，∴EC AC ＝EM AB ，∵AB ＝5，∴445-，x x =解得x ＝209， ∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169，在Rt △ECM 中，∵∠ECM ＝90°，∴CM 2＝EM 2－EC 2，即CM ＝（209）2－（169）2＝43，∵四边形AEMF 是菱形，∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF ， ∴S AEMF 菱形＝4S △AOE ＝2OE ·AO ，在Rt △AOE 和Rt △ACM 中， ∵tan ∠EAO ＝tan ∠CAM ，∴OE AO ＝CM AC ，∵CM ＝43，AC ＝4，∴AO ＝3OE ，∴S AEMF 菱形＝6OE 2，又∵S AEMF 菱形＝AE ·CM ，∴6OE 2＝209×43，解得OE ＝2109，∴EF ＝2OE ＝4109.。

中考数学复习《轴对称》专题训练-带含有参考答案

中考数学复习《轴对称》专题训练-带含有参考答案一、选择题1．下列交通标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．点P关于x轴对称点M的坐标为（4，﹣5），那么点P关于y轴对称点N的坐标为（）A．（﹣4，5）B．（4，5）C．（﹣4，﹣5）D．（﹣5，4）3．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，线段AB 的顶点均在格点上．在图中画一条不与AB重合的线段MN，使MN与AB关于某条直线对称，且M，N均为格点，这样的线段能画（）条．A．2 B．3 C．5 D．64．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线AB=5cm，BC=8cm，则△ABD的周长为（）A．10cm B．13cm C．15cm D．16cm5．等腰三角形的周长为11，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为（）A．3B．5C．4或5D．3或56．如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且BD=12cm，则AC的长是（）A．12cm B．6cm C．4cm D．6√3cm7．如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F，若FG=3，ED=6，则EB+DC的值为（）A．7 B．8 C．9 D．108．如图，已知ΔABC是正三角形，D是BC边上任意一点，过点D作DF⊥AC于点F，ED⊥BC交AB于点E，则∠EDF等于（）A．50°B．65°C．60°D．75°二、填空题9．某车标是一个轴对称图形，有条对称轴.10．在平面直角坐标系中，点M（a，3）与点N（5，b）关于y轴对称，则a﹣b＝．11．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC于点D，交AB于点E．若AE=3，△ADC的周长为8，则△ABC的周长为．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD，∠A＝36°，则图中等腰三角形的个数是．13．如图，在△ABC中AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=6，BC的长是.三、解答题14．图①、图②均是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上．请用无刻度的直尺按下列要求在网格中作图．（1）在图①中，连接AC，以线段AC为腰作一个等腰直角三角形ACD；（2）在图②中确定一个格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形．使其为轴对称图形．15．如图，在中，的垂直平分线分别交线段，于点M，P，的垂直平分线分别交线段，于点N，Q．（1）如图，当时，求的度数；（2）当时，求的度数．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(-1，5)，B(-1，0)，C(-4，3)．（1）求出△ABC的面积．（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．（3）写出点△A1B1C1的坐标．17．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在△ABC的三条边上，且BF=CD，BD=CE．（1）求证：△DFE是等腰三角形；（2）若∠A=56°，求∠EDF的度数．18．如图，在△ABC中AB=AC，点D在△ABC内BD=BC，∠DBC=60°点E在△ABC外∠BCE=150°，∠ABE=60° .（1）求∠ADB的度数；（2）判断△ABE的形状并加以证明；（3）连接DE，若DE⊥BD，DE=8求AD的长.参考答案1．B2．A3．C4．B5．D6．B7．C8．C9．310．﹣811．1412．313．1814．（1）解：如图①所示（2）解：如图②所示15．（1）解：∵、分别是的垂直平分线∴∵∴∵∴∴（2）解：∵分别是的垂直平分线∴∴∴当P点在Q点右侧时，如图：∵∴∵∴．当P点在Q点左侧时∵∴∵∴．综上或．16．（1）解：S△ABC= 12×5×3=152（或7.5）（平方单位）（2）解：如图．（3）解：A1（1，5），B1（1，0），C1（4，3）. 17．（1）证明：∵AB=AC∴∠B=∠C在△FBD与△DCE中{BF＝CD∠B＝∠CBD＝CE∴△FBD≌△DCE．∴DF=ED，即△DEF是等腰三角形（2）解：∵AB=AC，∠A=56°∴∠B=∠C= 12(180°−56°)＝62°．∴∠EDF=∠B=62°．18．（1）解：∵BD=BC，∠DBC=60°∴△DBC是等边三角形，∴DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°在△ADB和△ADC中{AB=ACAD=ADDB=DC∴△ADB≌△ADC，∴∠ADB=∠ADC，∴∠ADB= 12（360°﹣60°）=150°.（2）解：结论：△ABE是等边三角形.理由：∵∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABD=∠CBE在△ABD和△EBC中{AB=EB∠ADB=∠BCE=150°∠ABD=∠CBE∴△ABD≌△EBC ∴AB=BE，∵∠ABE=60°，∴△ABE是等边三角形.（3）解：连接DE.∵∠BCE=150°，∠DCB=60°，∴∠DCE=90°，∵∠EDB=90°，∠BDC=60°∴∠EDC=30°，∴EC= 12DE=4，∵△ABD≌△EBC，∴AD=EC=4.。

2023年中考苏科版数学一轮复习专题讲义与练习-轴对称图形

2023年中考数学一轮复习专题讲义与练习轴对称图形【课标要求】1.进一步认识轴对称，了解它的基本性质，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；2.能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；3.了解轴对称与轴对称图形的区别和联系；4.进一步巩固和掌握基本图形（线段.角.等腰三角形.矩形.菱形.正多边形.圆）的轴对称性及其相关性质，并能运用这些性质解决问题；5.能利用轴对称进行图案设计.【要点梳理】1.把一个图形沿着一条直线折叠，如果它能够与另一个图形＿＿＿＿＿，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做＿＿＿＿＿；把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够＿＿＿＿＿，那么称这个图形是＿＿＿＿＿＿，这条直线就是对称轴.2.轴对称的性质：①＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.3.线段是＿＿＿＿＿图形，＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿是它的对称轴；性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；判定：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿4.角是＿＿＿＿＿图形，对称轴是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；判定：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿5.等腰三角形是＿＿＿＿＿图形，对称轴是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；性质：①＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；判定：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.6.直角三角形的性质：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿7.等边三角形的性质：①＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；②＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 【规律总结】1.图形的轴对称与图形的平移.旋转是近两年的新题型.热点题型，在试题中的比重逐年上升.考查的形式以填空题.选择题为主，与其他知识如三角形.平行四边形综合的解答题也时有出现，分值在5～12分左右；2.解决与轴对称相关的问题时，一定要充分利用轴对称的性质，有时需要结合题目条件添加适当的辅助线来解决问题；3.轴对称知识的一个重要体现形式是折叠问题，此类问题常常需要联系全等三角形以及勾股定理，并结合方程思想来解题，故解题时一定要充分挖掘题目中的隐含条件；4.在解决等腰三角形的相关问题时，要运用其轴对称的本质特性来分析和解决问题. 【强化训练】一、选择题1.下列图形中，为轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2.如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（）3.下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是（）A．等边三角形B．正方形C．正六边形D．圆4.如图，已知△ABC的周长是20，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD=3，则△ABC的面积是（）A．20 B．25 C．30 D．355.如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，下列结论错误的是（）A．∠C=2∠A B．BD=BCC．△ABD是等腰三角形D．点D为线段AC的中点第4题第5题第6题6.如图，△ABC是等边三角形，AQ=PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR=PS，则下列结论：①点P在∠A的角平分线上；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△QSP．正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7.如图，在矩形ABCD中，连接BD，将△BCD沿对角线BD折叠得到△BDE，BE交AD于点O，BE恰好平分∠ABD，若AB＝2，则点O到BD的距离为（）A ．B．2 C ．D．3第7题第8题第9题8.如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A'处，点B落在点B'处，若∠2=40°, 则图中∠1的度数为（）A B C D E F A ．115° B ．120° C ．130° D ．140°9.图1为某四边形ABCD 纸片，其中∠B=70°, ∠C=80°. 若将CD 叠合在AB 上，出现折线MN, 再将纸片展开后，M.N 两点分别在AD.BC 上，如图2所示，则∠MNB 的度数为（）A ．90°B ．95°C ．100°D ．105°二、填空题10.等腰三角形中，有一个角是80°，则它的顶角是＿＿＿＿＿＿.11.直角三角形斜边上的中线和面积分别是5cm.20cm 2，则它斜边上的高是＿＿＿cm12.如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边F 点处，已知CE=3cm ，AB=8cm ，则图中阴影部分的面积为＿＿＿＿cm 2.第12题第13题第14题13.如图，正方形纸片ABCD 的边长为12，点F 是AD 上一点，将△CDF 沿CF 折叠，点D 落在点G 处，连接DG 并延长交AB 于点E ．若AE ＝5，则GE 的长． 14.如图，过边长为4的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA=CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为____________.三、解答题15.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC 和△DEF （顶点为网格线的交点），以及过格点的直线l ．（1）将△ABC 向右平移两个单位长度，再向下平移两个单位长度，画出平移后的三角形．（2）画出△DEF 关于直线l 对称的三角形．（3）填空：∠C+∠E=________________．16.如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E．已知∠ABC＝60°，∠C＝45°．（1）求证：AB＝BD；（2）若AE＝3，求△ABC的面积．17.已知：如图，△ABC.△CDE都是等边三角形，AD.BE相交于点O，点M.N分别是线段AD.BE的中点．（1）求证：AD＝BE；（2）求∠DOE的度数；（3）求证：△MNC是等边三角形．18.一张矩形纸片ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C’的位置，BC’交AD于点G.（1）求证：AG＝C’G.（2）如图（2），再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长.19.如图，在矩形纸片ABCD中，点E.F分别在矩形的边AB.AD上，将矩形纸片沿CE.CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C.H.G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE ＝2，求DF的长.。

2022-2023学年九年级数学中考复习《轴对称最短路径问题》选择题专题训练(附答案)

2022-2023学年九年级数学中考复习《轴对称最短路径问题》选择题专题训练（附答案）1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，P是直线MN上一动点，点H为BC中点，若BC＝10，则PB+PH的最小值为（）A．B．10C．12D．132．如图，在等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为4，D为AB的中点，E为AC边上的动点，DE⊥DF交BC于点F，P为EF的中点，连接P A，PB，则P A+PB的最小值是（）A．3B．C．D．3．在四边形ABCD中，∠ABC＝60°，∠BCD＝45°，BC＝2+2，BD平分∠ABC，若P，Q分别是BD，BC上的动点，则CP+PQ的最小值是（）A．2+2B．+3C．2+2D．+44．如图，菱形ABCD的边长是4，∠B＝120°，P是对角线AC上一个动点，E是CD的中点，则△PDE的周长的最小值为（）A．6B．C．8D．5．在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝6，动点P满足，则点P到A，B 两点距离之和最小值为（）A．B．C．D．6．如图，在四边形ABCD中，∠C＝40°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A．100°B．90°C．70°D．80°7．如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交CD于点E，若点P，Q分别是AD 和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为（）A．B．C．D．28．如图，河道m的同侧有M、N两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至M，N两地，下面的四个方案中，管道长度最短的是（）A．B．C．D．9．如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，P为矩形内一点，连接P A，PB，PC，则P A+PB+PC 的最小值是（）A．2+3B．2C．2D．10．如图，已知∠ACB＝30°，M为∠ACB内部任意一点，且CM＝5，E，F分别是CA，CB上的动点，则△MEF的周长的最小值为（）A．2.5B．3C．4D．511．如图所示，在四边形ABCD中．AD∥BC，AC＝1，BD＝，直线MN为线段AD的垂直平分线，P为MN上的一个动点．则PC+PD的最小值为（）A．1B．C．D．312．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，E在BC上，BE＝2，∠BAD＝120°，P点在BD上，则PE+PC的最小值为（）A．6B．5C．4D．213．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点B在CD边上，且DE＝2CE，点P是对角线AC 上的一个动点，则PE+PD的最小值是（）A．B．C．9D．14．如图，在矩形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的动点（不与端点重合），若四点运动过程中满足AE＝CG，BF＝DH，且AB＝10，BC＝5，则四边形EFGH周长的最小值等于（）A．10B．10C．5D．515．如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别是BC，CD边上的动点，并且满足BE ＝CF，则AE+AF的最小值为（）A．6B．C．D．16．如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝3，ON＝5，点P、Q 分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是（）A．B．C．﹣2D．﹣217．如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上．∠ABC＝120°，点A（﹣3，0），点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是（）A．3B．5C．2D．18．如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝α（∠BAE为钝角），∠B＝∠E＝90°，在BC，DE上分别找一点M，N，当△AMN周长最小时，∠MAN的度数为（）A．B．α﹣90°C．2α﹣180°D．α﹣45°19．已知三点，当MA﹣MB的值最大时，m的值为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．220．在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，点N是线段BC的中点，点E，G分别为射线DA，线段AB上的动点，CE交以DE为直径的圆于点M，则GM+GN的最小值为（）A．B．C．5D．6参考答案1．解：连接AP，AH，∵MN是AB的垂直平分线，∴PB＝P A，∴PB+PH的最小值为AH的长，∵AB＝AC，点H为BC的中点，∴BH＝BC＝5，在Rt△ABH中，由勾股定理得，AH＝＝＝12，∴PB+PH的最小值为12，故选：C．2．解：连接PC，PD，∵在Rt△CEF中，P为EF的中点，∴CP＝EF，在Rt△EDF中，DP＝，∴CP＝DP，∴点P在CD的垂直平分线上运动，作A关于CD垂直平分线的对称点A'，∴P A+PB的最小值为A'B，在Rt△AA'B中，A'B＝＝2，故选：C．3．解：如图，作点Q关于BD的对称点H，则PQ＝PH．∴CP+PQ＝CP+PH，∴当C、H、P三点在同一直线上，且CH⊥AB时，CP+PQ＝CH为最短．∵∠ABC＝60°，∴∠BCH＝30°，∴BH＝＝＝，∴CH＝＝3+．故选B．4．解：∵四边形ABCD是菱形，∴点B与点D关于直线AC对称，如图，连接BE与AC相交于点P，由轴对称确定最短路线问题，BE的长度即为PE+PD 的最小值，连接BD，∵∠ABC＝120°，∴∠BCD＝180°﹣120°＝60°，∵BC＝CD，∴△BCD是等边三角形，∵E是CD的中点，∴∠CBE＝30°∠BEC＝90°，∵BC＝4，∴CE＝2，∴，即PE+PD的最小值为2，∵E为CD的中点，CD＝4，ED＝2，∴△PDE的周长的最小值为PE+PD．故选：B．5．解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，由题意得，h AB＝，∴h AB＝AD＝2，∴点P在距离AB两个单位且与AB平行的两条直线上，作点B关于l的对称点B′，连接AB′，在Rt△ABB′中，AB＝5，BB′＝4，∴AB′＝＝，故选：B．6．解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．∵∠C＝40°，∴∠DAB＝140°，∴∠AA′E+∠A″＝40°，∵∠EA′A＝∠EAA′，∠F AD＝∠A″，∴∠EAA′+∠A″AF＝40°，∴∠EAF＝140°﹣40°＝100°，故选：A．7．解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，∵DD′⊥AE，∴∠AFD＝∠AFD′，∵AF＝AF，∠DAE＝∠CAE，∴△DAF≌△D′AF，∴D′是D关于AE的对称点，AD′＝AD＝2，∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′＝45°，∴AP′＝P′D′，∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2＝AD′2，∵AP′＝P′D'，2P′D′2＝AD′2＝4，∴P′D′＝，即DQ+PQ的最小值为．故选：A．8．解：作点M关于直线m的对称点M′，连接M′N交直线m于点P，则MP+NP＝M′N，此时管道长度最短．故选：C．9．解：将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得到△EFC，连接PF、AE、AC，则AE的长即为所求．由旋转的性质可知：△PFC是等边三角形，∴PC＝PF，∵PB＝EF，∴P A+PB+PC＝P A+PF+EF，∴当A、P、F、E共线时，P A+PB+PC的值最小，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝2，∴AC＝2AB，∴∠ACB＝30°，AC＝2AB＝2，∵∠BCE＝60°，∴∠ACE＝90°，∴AE＝＝＝，故选：D．10．解：分别作点M关于CA、CB的对称点P、Q，连接PQ，分别交CA、CB于点E、F，连接CP、CQ、MP、MQ．∵点M关于CA的对称点为P，关于CB的对称点为Q，∴ME＝PE，CM＝CP，∠PCA＝∠MCA；∵点M关于OB的对称点为Q，∴ME＝QE，CM＝CQ，∠QCB＝∠MCB，∴CP＝CQ＝CP＝5，∠PCQ＝∠PCE+MCE+QCF+∠MCF＝2∠ACB＝60°，∴△PCQ是等边三角形，∴PQ＝CP＝CQ＝5cm．∴△PMN的周长的最小值＝ME+MF+EF＝PE+EF+QF≥PQ＝5．故选：D．11．解：∵直线MN为线段AD的垂直平分线，P为MN上的一个动点，∴点A与点D关于直线MN对称，∴AC与这些MN的交点即为点P，PC+PD的最小值＝AC的长度＝1，故选：A．12．解：∵四边形ABCD为菱形，∴A、C关于BD对称，∴连AE交BD于P，则PE+PC＝PE+AP＝AE，根据两点之间线段最短，AE的长即为PE+PC的最小值．∵∠BAD＝120°，∴∠ABE＝∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，又∵BE＝CE，∴AE⊥BC，∴AE＝＝2．故选：D．13．解：连接BP，BE，∵四边形ABCD是正方形，∴DP＝BP，∴DP+PE＝BP+PE，∴BP+PE的最小值为BE的长，∵AB＝3，DE＝2CE，∴CE＝1，BC＝3，在Rt△BCE中，由勾股定理得，BD＝＝＝，∴PE+PD的最小值是，故选：A．14．解：作点E关于BC的对称点E′，连接E′G交BC于点F，此时四边形EFGH周长取最小值，过点G作GG′⊥AB于点G′，如图所示．∵AE＝CG，BE＝BE′，∴E′G′＝AB＝10，∵GG′＝AD＝5，∴E′G＝＝5．∴C四边形EFGH＝2E′G＝10．故选：A．15．解：连接DE，根据正方形的性质及BE＝CF，∴△DCE≌△ADF（SAS），∴DE＝AF，∴AE+AF＝AE+DE，作点A关于BC的对称点A′，连接BA′、EA′，则AE＝A′E，即AE+AF＝AE+DE＝A'E+DE，当D、E、A′在同一直线时，AE+AF最小，AA′＝2AB＝6，此时，在Rt△ADA′中，DA′＝＝＝3，故AE+AF的最小值为3．故选：C．16．解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，如图所示：连接M′N′，即为MP+PQ+QN的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°，∠ONN′＝60°，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′＝90°，OM′＝OM＝3，ON′＝ON＝5，在Rt△M′ON′中，M′N′＝＝．故选：A．17．解：根据题意得，E点关于x轴的对称点是BC的中点E'，连接DE'交AC与点P，此时PD+PE有最小值为DE'，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，点A（﹣3，0），∴OA＝OC＝3，∠DBC＝60°，∴△BCD是等边三角形，∴DE'＝OC＝3，即PD+PE的最小值是3，故选：A．18．解：作点A关于BC对称点A'，作点A关于DE对称点A''，则A''E＝AE，A'B＝AB，连接A'A''，分别交线段BC和线段DE于点M和点N，连接AM，AN，这时候△AMN的周长取最小值．∵∠B＝∠E＝90°，∴A'M＝AM，∴AN＝A''N，∴∠AA'M＝∠A'AM，∠AA''N＝∠A''AN，∴∠AMN＝2∠A'AM，∠ANM＝2∠A''AN，∴∠MAN+∠MAB+∠NAE＝α，∠MAN+∠AMN+∠ANM＝180°，∴∠MAN+2∠BAM+2∠EAN＝180°，∴∠BAM+∠EAN＝180°﹣α，∴∠MAN＝α﹣（180°﹣α）＝2α﹣180°，故选：C．19．解：如图，在平面直角坐标系中作直线：y＝x，作B（0，1）关于直线y＝x的对称点B'（1，0），则直线AB'与直线y＝x交于点M，此时MA﹣MB的值最大，∵M（m，m），∴点M在直线y＝x上，∵B（0，1），∴B（0，1）关于直线y＝x的对称点B'（1，0），∵A（2，），∴设直线AB'的解析式为y＝kx+b（k≠0），∴，∴，∴直线AB'的解析式为：y＝，联立得：，∴，∴M（﹣1，﹣1），∴m的值为﹣1，故选：A．20．解：如图所示，作N关于AB的对称点N'，取DC中点F，连接DM，FM，GN'．可得GN＝GN'，∵M在以DE为直径的圆上，∴DM⊥EC，∴△DMC为直角三角形，∵F为Rt△DMC斜边的中点，∴MF＝＝＝5，此时当MF，MG，GN'三边共线时，有MF+MG+GN'长度的最小值等于FN'，∵F，N分别是DC，CB的中点，∴FC＝＝5，BN'＝BN＝＝3，∴CN'＝BC+BN'＝9，∴FN'＝＝，∴MF+MG+GN'长度的最小值为，∵MF＝5，GN＝GN′∴GM+GN的最小值为﹣5，故选：A．。

2021年九年级数学中考一轮复习知识点基础达标测评：平移旋转轴对称(附答案)

2021年九年级数学中考一轮复习知识点基础达标测评：平移旋转轴对称（附答案）1．如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1（﹣2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为P n，则点P2020的坐标是（）A．（0，1）B．（﹣2，4）C．（﹣2，0）D．（0，3）2．在△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上，连接BD，点E在边AB上，△BCD和△BED 关于BD对称，若△ADE是等腰三角形，则∠BAC＝（）A．36°B．72°C．90°D．108°3．下列说法正确的是（）A．若两个三角形全等，则它们必关于某条直线成轴对称B．直角三角形是关于斜边上的中线成轴对称C．如果两个三角形关于某条直线成轴对称的图形，那么它们是全等三角形D．线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形4．室内墙壁上挂一平面镜，小明在平面镜内看到他背后墙上时钟的示数如图所示，则这时的实际时间应是（）A．3：20B．3：40C．4：40D．8：205．下列现象中是平移的是（）A．翻开书中的每一页纸张B．飞碟的快速转动C．将一张纸沿它的中线折叠D．电梯的上下移动6．如图，将三角形ABE向右平移1cm得到三角形DCF，如果三角形ABE的周长是10cm，那么四边形ABFD的周长是（）A．12cm B．16cm C．18cm D．20cm7．如图，已知在△AOB中A（0，4），B（﹣2，0），点M从点（4，1）出发向左平移，当点M平移到AB边上时，平移距离为（）A．4.5B．5C．5.5D．5.758．如图，表示直线a平移得到直线b的两种画法，下列关于三角板平移的方向和移动的距离说法正确的是（）A．方向相同，距离相同B．方向不同，距离不同C．方向相同，距离不同D．方向不同，距离相同9．在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如图所示，现出现一小方格体正向下运动，你必须进行以下（）操作，才能拼成一个完整图案，使所有图案消失．A．顺时针旋转90°，向右平移B．逆时针旋转90°，向右平移C．顺时针旋转90°，向下平移D．逆时针旋转90°，向下平移10．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（）A．B．C．4D．611．如图，是一个纸折的小风车模型，将它绕着旋转中心旋转下列哪个度数后不能与原图形重合（）A．90°B．135°C．180°D．270°12．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AD＞AB，点E从点B出发（不含点B）沿BC 向点C运动，移动到点C停止，延长EO交AD于点F，则四边形BEDF形状的变化依次为（）A．平行四边形→菱形→正方形→矩形B．平行四边形→正方形→菱形→矩形C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形D．平行四边形→正方形→平行四边形一矩形13．如图，弹性小球从点P（0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为P n，点P2019的坐标是．14．如图，点P是∠AOB外一点，点M、N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在线段MN的延长线上．若PM ＝2.5cm，PN＝3cm，MN＝4cm，则线段QR的长为．15．如果一个三角形是轴对称图形，且有一个角为60°，那么这个三角形是，它有条对称轴．16．小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，那么实际时间是．17．如图所示，在长为50m，宽为25m的草坪上修了一条恒为1m宽的弯曲小路，则余下草坪的面积为m2．18．如图，三角形ABC中，AB＝2cm，BC＝4cm，将三角形ABC沿BC方向平移2cm得到三角形A'B'C'，A'B'与AC交于点D，A'D＝1cm，则图中四边形DCC′A′的面积为．19．将点P（﹣3，1）向上平移2个单位长度得到点Q，则点Q的坐标为．20．时钟的时针在不停地转动，从上午6时到上午9时，时针旋转的旋转角为度，从上午9时到下午5时时针旋转的旋转角为度．21．如图，△ABC绕点A逆时针旋转30°后到△A′B′C′的位置，若∠B′＝45°，∠C′＝60°，则∠B′AC＝．22．如图，在正方形ABCD中，点M是边CD的中点，那么正方形ABCD绕点M至少旋转度与它本身重合．23．如图，长方形台球桌ABCD上有两个球P，Q．（1）请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边AB反弹后，正好撞到球Q；（2）请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q；24．在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE＝DA（如图1）．（1）求证：∠BAD＝∠EDC；（2）若点E关于直线BC的对称点为M（如图2），连接DM，AM．求证：DA＝AM．25．已知点A（a﹣5，1﹣2a），解答下列问题：（1）若点A到x轴和y轴的距离相等，求点A的坐标；（2）若点A向右平移若干个单位后，与点B（﹣2，﹣3）关于x轴对称，求点A的坐标．26．如图，若将△ABC顶点横坐标增加4个单位，纵坐标不变，三角形将如何变化？若将△ABC顶点横坐标都乘以﹣1，纵坐标不变，三角形将如何变化？27．如图所示，一块长为18m，宽为12m的草地上有一条宽为2m的曲折的小路，求这块草地的绿地面积．28．小明同学在完成七年级下册数学第1章的线上学习后，遇到了一些问题，请你帮他解决一下．（1）如图1，已知AB∥CD，则∠AEC＝∠BAE+∠DCE成立吗？请说明理由．（2）如图2，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC．BE、DE所在直线交于点E，若∠F AD＝50°，∠ABC＝40°，求∠BED的度数．（3）将图2中的线段BC沿DC所在的直线平移，使得点B在点A的右侧，若∠F AD＝m°，∠ABC＝n°，其他条件不变，得到图3，请你求出∠BED的度数（用含m，n的式子表示）．29．已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′．（1）写出A′、B′，C′的坐标；（2）点P在y轴上，且△BCP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．30．如图，点E是正方形ABCD的边BC上一点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转一定的角度得到EF，点C在EF上，连接AF交边CD于点G．（1）若AB＝4，BF＝8，求CE的长；（2）求证：AE＝BE+DG．31．如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE＝AD，连接BE．（1）图中哪两个图形成中心对称？（2）若△ADC的面积为4，求△ABE的面积．参考答案1．解：如图，根据反射角等于入射角画图，可知光线从P2反射后到P3（0，3），再反射到P4（﹣2，4），再反射到P5（﹣4，3），再反射到P点（0，1）之后，再循环反射，每6次一循环，2020÷6＝336……4，即点P2020的坐标是（﹣2，4），故选：B．2．解：如图，设∠A＝x．∵EA＝ED，∴∠A＝∠ADE＝x，∵∠BED＝∠A+∠ADE＝2x，△BDE与△BDC关于BD对称，∴∠BED＝∠C＝2x，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝2x，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∴5x＝180°，∴x＝36°，∴∠A＝36°，故选：A．3．解：A、若两个三角形全等，则它们必关于某条直线成轴对称，错误．本选项不符合题意．B、直角三角形是关于斜边上的中线成轴对称，错误，本选项不符合题意．C、如果两个三角形关于某条直线成轴对称的图形，那么它们是全等三角形，正确，本选项符合题意．D、线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形，错误，本选项不符合题意．故选：C．4．解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的时刻与3：40成轴对称，所以此时实际时刻为3：40．故选：B．5．解：A不是沿某一直线方向移动，不属于平移．B不是沿某一直线方向移动，不属于平移．C新图形与原图形的形状和大小不同，不属于平移．因此C错误．故选：D．6．解：∵△ABE的周长＝AB+BE+AE＝10（cm），由平移的性质可知，BC＝AD＝EF＝1（cm），AE＝DF，∴四边形ABFD的周长＝AB+BE+EF+DF+AD＝10+1+1＝12（cm）．7．解：设直线AB解析式为y＝kx+b，将点A（0，4），B（﹣2，0）代入，得：，所以直线AB解析式为y＝2x+4，当y＝1时，2x+4＝1，解得：x＝﹣1.5，则当点M平移到AB边上时，平移距离为4﹣（﹣1.5）＝5.5，故选：C．8．解：由图和平移可得：三角板平移的方向不同，距离不同，故选：B．9．解：顺时针旋转90°，向右平移．故选：A．10．解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，∴AC＝AC1＝2，∠CAC1＝60°，∵AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，∴∠BAC1＝90°，∴在Rt△BAC1中，BC1＝＝．故选：B．11．解：图案可以被平分成四部分，因而每部分被分成的圆心角是90°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转90度的整数倍，就可以与自身重合，12．解：连接BD．∵点O为矩形ABCD的对称中心，∴BD经过点O，OD＝OB，∵AD∥BC，∴∠FDO＝∠EBO，在△DFO和△BEO中，，∴△DFO≌△BEO（ASA），∴DF＝BE，∵DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形，观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．故选：C．13．解：如图，根据反射角与入射角的定义作出图形，根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2019÷6＝336…3，当点P第2019次碰到矩形的边时为第337个循环组的第3次反弹，点P的坐标为（8，3），故答案为：（8，3）．14．解：由轴对称的性质可知：PM＝MQ＝2.5cm，PN＝RN＝3cm，QN＝MN﹣QM＝4﹣2.5＝1.5cm，QR＝QN+NR＝1.5+3＝4.5cm．故答案为：4.5cm．15．解：∵该三角形是轴对称图形，∴该三角形是等腰三角形，又∵该三角形有一个角为60°，∴这个三角形是等边三角形，∴这个三角形有3条对称轴．故答案为：等边三角形，3．16．解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与21：05成轴对称，所以此时实际时刻为21：05．故答案为：21：0517．解：∵把宽度为1m的弯曲小路分割成若干个四边形，这些四边形等于一个宽度为1m 的矩形，如图矩形ABCD，∴小路为宽恒为1m的弯曲小路，∴面积为50×1＝50（m2），∴余下草坪的面积为50×25﹣50＝1200（m2），故答案为：1200．18．解：根据平移的性质知，AB＝A′B′，△ABC≌△A′B′C′，则S△ABC＝S△A′B′C′．∵将三角形ABC沿BC方向平移2cm得到三角形A'B'C'，∴BB′＝2cm．∵AB＝2cm，BC＝4cm，A'D＝1cm，∴B′C＝2cm，DB′＝1cm．∴S四边形DCC′A′＝S△ABC﹣S△B′CD＝﹣＝3（cm2）．故答案是：3cm2．19．解：将点P（﹣3，1）向上平移2个单位长度得到点Q，则点Q的坐标为（﹣3，1+2），即（﹣3，3），故答案为：（﹣3，3）．20．解：从上午6时到上午9时时针转过3个大格，所以，3×30°＝90°，上午9时到下午5时时针转过8个大格，所以，8×30°＝240°．故答案为：90；240．21．解：∵∠B′＝45°，∠C′＝60°，∴∠BAC＝∠B′A′C′＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∵∠BAB′＝30°，∴∠B′AC＝75°﹣30°＝45°，故答案为：45°．22．解：在正方形ABCD中，点M是边CD的中点，∴正方形ABCD绕点M至少旋转360°与它本身重合．故答案为：360．23．解：（1）如图，运动路径：P→M→Q，点M即为所求．（2）如图，运动路径：P→E→F→Q，点E，点F即为所求．24．解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∴∠BAD＝60°﹣∠DAE，∠EDC＝60°﹣∠E，又∵DE＝DA，∴∠E＝∠DAE，∴∠BAD＝∠EDC．（2）由轴对称可得，DM＝DE，∠EDC＝∠MDC，∵DE＝DA，∴DM＝DA，由（1）可得，∠BAD＝∠EDC，∴∠MDC＝∠BAD，∵△ABD中，∠BAD+∠ADB＝180°﹣∠B＝120°，∴∠MDC+∠ADB＝120°，∴∠ADM＝60°，∴△ADM是等边三角形，∴AD＝AM．25．解：（1）若点A在第一象限或第三象限，则a﹣5＝1﹣2a，解得：a＝2，则a﹣5＝1﹣2a＝﹣3，∴点A的坐标为（﹣3，﹣3），若点A在第二象限或第四象限，则a﹣5+1﹣2a＝0，解得a＝﹣4，则a﹣5＝﹣9，1﹣2a＝9，∴点A的坐标为（﹣9，9），综上所述，点A的坐标为（﹣3，﹣3）或（﹣9，9）；（2）∵若点A向右平移若干个单位，其纵坐标不变为（1﹣2a），又∵点A向右平移若干个单位后与点B（﹣2，﹣3）关于x轴对称，∴1﹣2a+（﹣3）＝0，a＝﹣1a﹣5＝﹣1﹣5＝﹣6，1﹣2a＝1﹣2×（﹣1）＝3，即点A的坐标为（﹣6，3）．26．解：横坐标增加4个单位，纵坐标不变，所得各顶点的坐标依次是A（1，3），B（1，1），C（3，1），连接AB、AC、BC，整个三角形向右平移4个单位；横坐标都乘以﹣1，纵坐标不变，所得各顶点的坐标依次是A（3，3），B（3，1），C（1，1），连接AB、AC、BC，所得到的三角形与原三角形关于y轴对称．27．解：绿地的面积为：（18﹣2）×（12﹣2）＝160（m2），答：这块草地的绿地面积是160m2．28．解：（1）如图1中，作EF∥AB，则有EF∥CD，∴∠1＝∠BAE，∠2＝∠DCE，∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠DCE．（2）如图2，过点E作EH∥AB，∵AB∥CD，∠F AD＝50°，∴∠F AD＝∠ADC＝50°，∵DE平分∠ADC，∠ADC＝50°，．∴∠EDC＝∠ADC＝25°，∵BE平分∠ABC，∠ABC＝40°，∴∠ABE＝∠ABC＝20°，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EH，∴∠ABE＝∠BEH＝20°，∠CDE＝∠DEH＝25°，∴∠BED＝∠BEH+∠DEH＝45°．（3）∠BED的度数改变．过点E作EG∥AB，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝n°，∠ADC＝∠F AD＝m°∴∠ABE＝∠ABC＝n°，∠CDE＝∠ADC＝m°∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG，∴∠BEG＝180°﹣∠ABE＝180°﹣n°，∠CDE＝∠DEG＝m°，∴∠BED＝∠BEG+∠DEG＝180°﹣n°+m°．29．解：（1）如图，△A′B′C′即为所求，A′（0，4），B′（﹣1，1），C′（3，1）．（2）设P（0，m），由题意：×4×|m+2|＝×4×3，解得m＝1或﹣5，∴P（0，1）或（0，﹣5）．30．（1）解：设AE＝EF＝x，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE＝90°，AB＝BC＝4，∵BF＝8，∴CF＝8﹣4＝4，∵BE＝BF﹣EF＝8﹣x，AB＝4，AE＝x，∴x2＝42+（8﹣x）2，∴x＝5，∴EC＝EF﹣CF＝1．（2）证明：延长EB到H，使得BH＝DG，则△ADG≌△ABH（SAS），∴∠BAH＝∠DAG，∴∠HAF＝∠BAD＝90°，∵EF＝AE，∴∠EAF＝∠F，∵∠EAH+∠EAF＝90°，∠F+∠H＝90°，∴∠H＝∠EAH，∴EA＝EH，∵EH＝BE+BH＝BE+DG，∴AE＝BE+DG．31．解：（1）图中△ADC和三角形EDB成中心对称；（2）∵△ADC和三角形EDB成中心对称，△ADC的面积为4，∴△EDB的面积也为4，∵D为BC的中点，∴△ABD的面积也为4，所以△ABE的面积为8。

2021-2022学年人教版九年级数学中考专题复习之轴对称确定最短路径专题训练(附答案)

2021-2022学年人教版九年级数学中考专题复习之轴对称确定最短路径专题训练（附答案）1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，点E，F分别是BD、AB上的动点，则AE+EF的最小值为（）A．2B．2.4C．2.5D．32．如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB＝3，BC＝5，AC＝4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是（）A．12B．6C．7D．83．如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，点M、N分别是BC、AB边上的动点，∠B ＝56°，当△DMN的周长最小值时，则∠MDN的度数是（）A．124°B．68°C．60°D．56°4．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝9，M、N分别是射线OA和OB上的动点，若△PMN周长的最小值为9，则∠AOB＝°．5．如图，已知正方形ABCD的边长为6，点F是正方形内一点，连接CF，DF，且∠ADF ＝∠DCF，点E是AD边上一动点，连接EB，EF，则EB+EF长度的最小值为．6．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y 轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为．7．如图，在正方形ABCD中，点M，N在CB，CD上运动，且∠MAN＝45°，在MN上截取一点G，满足BM＝GM，连接AG，取AM，AN的中点F，E，连接GF，GE，令AM，AN交BD于H，I两点，若AB＝4，当GF+GE的取值最小时，则HI的长度为．8．如图，在正方形ABCD中，E，F为AD和BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则图中线段的长等于AP+EP最小值的是．9．如图，已知AB＝8，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在AB同侧作正方形APDC、PBFE，若点M、N是线段AB上的两点，且AM＝BN＝1，点G、H分别是CD、EF的中点，点O是GH的中点，当P点从M点到N点运动过程中，OM+OB的最小值为．10．如图，正方形ABOD的边长为4，OB在x轴上，OD在y轴上，点A在第二象限内，且AD∥OB，AB∥OD，点C为AB的中点，直线CD交x轴于点F，过点C作CE⊥DF 于点C，交x轴于点E，则点E坐标为，点P是直线CE上的一个动点，当点P的坐标为时，PB+PF有最小值．11．如图，正方形ABCD的边长为6，E是边AB的中点，F是边AD上的一个动点，EF＝GF，且∠EFG＝90°，则GB+GC的最小值为．12．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点M在边AB上，点N在对角线AC上，连接DM，DN．若AM＝CN，则（DM+DN）2的最小值为．13．已知点P在∠MON内．（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．①若∠MON＝50°，则∠GOH＝；②若PO＝5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH＝10；（2）如图2，若∠MON＝60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△P AB的周长最小时，求∠APB的度数．14．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1；（2）在DE上画出点Q，使QA+QC最小；（3）四边形BCC1B1的面积为．15．尺规作图：用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．如图，已知点A，点B和直线l．（1）在直线l上求作一点P，使P A+PB最短；（2）请在直线l上任取一点Q（点Q与点P不重合），连接QA和QB，试说明P A+PB ＜QA+QB．16．如图，点P、Q为∠MON内两点，分别在OM与ON上找点A、B，使四边形P ABQ的周长最小．17．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B．（4，2）、C（3，4）．（1）若△A1B1C1与△ABC关于y轴成轴对称，则△A1B1C1三个顶点坐标分别为：A1，B1，C1；（2）若P为x轴上一点，则P A+PB的最小值为；（3）计算△ABC的面积．18．在一平直的河岸l同侧有A、B两村．A村位于河流l正南4km，B村位于A村东8km 南7km处．现要在河岸边建一水厂C为两村供水，要求管道长度最少，请你确定选址方案，并求出所需最短管道长度．19．如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M．连接MB，若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．（1）求BC的长；（2）在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小？若存在，直接写出PB+CP的最小值；若不存在，说明理由．20．已知：如图，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠C＝60°，CD＝2AD，AB＝4．（1）在AB边上求作点P，使PC+PD最小；（2）求出（1）中PC+PD的最小值．21．如图，在Rt△AOC中，∠A＝30°，点O（0，0），C（1，0），点A在y轴正半轴上，以AC为一边作等腰直角△ACP，使得点P在第一象限．（1）求出所有符合题意的点P的坐标；（2）在△AOC内部存在一点Q，使得AQ、OQ、CQ之和最小，请求出这个和的最小值．22．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．（1）若∠ABC＝70°，则∠NMA的度数是度．（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．23．如图．（1）在网格中画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）写出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2的各顶点坐标；（3）在y轴上确定一点P，使P A+PB最短．（只需作图保留作图痕迹）24．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，AD 平分∠BAC．（1）求∠B的度数；（2）求证：CD＝BC；（3）若AC＝2，点P是直线AD上的动点，求|PB﹣PC|的最大值．参考答案1．解：作点A关于BD的对称点M，∵BD平分∠ABC，∴M落在BC上．∴BM＝BA＝4，过M作MF⊥AB于F，交BD于E，则AE+EF的最小值是MF的长．∵∠MFB＝∠CAB＝90°，∴MF∥CA，∴MF＝2.4，∴AE+EF＝MF＝2.4．故选：B．2．解：∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称，设AC交EF于D，∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长，∵AB＝3，AC＝4，∴△ABP周长的最小值是AB+AC＝3+4＝7．故选：C．3．解：延长DA到E使DA＝AE，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF交AB于N，交BC 于M，此时，△DMN的周长最小，∵AB⊥AD，BC⊥DC，∴∠DAB＝∠DCB＝90°，DM＝FM，DN＝EN，∴∠E＝∠ADN，∠F＝∠CDM，∵∠B＝56°，∴∠ADC＝124°，设∠MDN＝α，∴∠ADN+∠CDM＝124°﹣α∴∠DNM+∠DMN＝2（124°﹣α），∴α+2（124°﹣α）＝180°，解得：α＝68°，故选：B．4．解：作P点关于OB的对称点P'，连接OP'，作点P关于OA的对称点P''，连接OP''，连接P'P''与OB交于N，与OA交于M，∵PN＝P'N，P''M＝PM，∴PN+PM+MN＝P'P''，此时△PMN周长的最小，∵△PMN周长的最小值为9，∴P'P''＝9，∵OP'＝OP，∠P'ON＝∠PON，ON＝ON，∴△OP'N≌△OPN（SAS），∴PO＝OP'，同理可证，△OP''M≌△OPM（SAS），∴PO＝OP''，∴OP'＝OP''，∴△OP'P''是等边三角形，∴∠P'OP''＝60°，∴∠MON＝30°，故答案为30．5．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠FDC＝90°，∵∠ADF＝∠FCD，∴∠FDC+∠FCD＝90°，∴∠DFC＝90°，∴点F在以DC为直径的半圆上移动，如图，设DC的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形AB'C'D，则点B 的对应点是B'，连接B'O交AD于E，交半圆O于F，则线段B'F的长即为BE+EF的长度最小值，OF＝3，∵∠C'＝90°，B'C'＝C'D＝CD＝6，∴OC'＝9，∴B'O＝＝＝3，∴B'F＝3﹣3，∴EB+FE的长度最小值为3﹣3，故答案为：3﹣3．6．解：在BC上截取BH＝3，作点D关于x轴的对称点D'，连接D'H交AO于点E，∴BH＝EF＝3，BC∥AO，∴四边形BHEF是平行四边形，∴BF＝EH，∵点D与点D'关于x轴对称，∴DE＝D'E，点D'坐标为（0，﹣4），∵四边形BDEF的周长＝EF+BF+BD+DE，∴四边形BDEF的周长＝EH+ED'+BD+EF，∵EF和BD是定值，∴当EH+D'E有最小值时，四边形BDEF的周长有最小值，∴当点E，点H，点D'共线时，EH+D'E有最小值，∵点B（﹣4，6），∴点H（﹣1，6），设直线D'H的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线D'H的解析式为y＝﹣10x﹣4，∴当y＝0时，x＝﹣，∴点E（﹣，0），故答案为：（﹣，0）．7．解：如图1中，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABJ，则AN＝AJ，∠DAN＝∠BAJ，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝∠ABC＝90°，∵∠MAN＝45°，∴∠MAJ＝∠MAB+∠BAJ＝∠MAB+∠DAN＝45°，∴∠MAJ＝∠MAN，∵AM＝AM，AJ＝AN，∴△AMJ≌△AMN（SAS），∴∠AMB＝∠AMN，∵MA＝MA，MB＝MG，∴△MAB≌△MAG（SAS），∴AB＝AG＝4，∠ABM＝∠AGM＝90°，∵AF＝FM，AE＝EN，∴FG＝AM，EG＝AN，∴GF+GE＝（AM+AN），下面证明当AM＝AN时，AM+AN的值最小，如图2中，过点A在直线l∥MN，作点N 关于直线l的对称点N′，连接AN′，MN′．∵N，N′关于直线对称，∴AN＝AN′，∴AM+AN＝AN′+AM，∴当A，M，N′共线时，AM+AN的值最小，此时∵AN＝AN′，∴∠ANN′＝∠AN′N，∵MN∥直线l，NN′⊥直线l，∴NN′⊥MN，∴∠MNN′＝90°，∴∠AMN+∠AN′N＝90°，∠ANM+∠ANN′＝90°，∴∠AMN＝∠ANM，∴AN＝AM，∴当AM＝AN时，AM+AN的值最小，如图1中，当AM＝AN时，可知BH＝DI，过点H作HP⊥AB于P，在AP上截取一点K，使得AK＝KH，连接KH，设PH＝PB＝x，∵∠BAM＝∠DAN＝22.5°，KA＝KH，∴∠KAH＝∠KHA＝22.5°，∴∠PKH＝∠KAH+∠KHA＝45°，∴PK＝PB＝PH＝x．AK＝KH＝x，∵AB＝4，∴2x+x＝4，∴x＝4﹣2，∴BH＝DI＝PB＝4﹣4，∵BD＝4，∴HI＝4﹣2（4﹣4）＝8﹣4，故答案为8﹣4．8．解：连接CE，交BD于点P，∵四边形ABCD是正方形，∴A点与C点关于对角线BD对称，∴AP＝PC，∴AP+EP＝PC+EP≥EC，∴当AP+EP＝EC时，AP+EP的值最小，∵E，F为AD和BC的中点，∴ED＝BF，在Rt△CDE和Rt△ABF中，，∴Rt△CDE≌Rt△ABF（HL），∴CE＝AF，故答案为AF．9．解：如图1，分别过点G、O、H作AB的垂线，垂足分别为点R、S、T，则四边形GRTH 为梯形．∵点O为中点，∴OS＝（GR+HT）＝（AP+PB）＝4，即OS为定值，∴点O的运动路径在与AB距离为4的平行线上．如图2，作点M关于直线XY的对称点M′，连接BM′，与XY交于点O．由轴对称性质可知，此时OM+OB＝BM′最小．在Rt△BMM′中，MM′＝2×4＝8，BM＝7，由勾股定理得：BM′＝＝．∴OM+OB的最小值为．故答案为：．10．解：∵C是AB的中点，∴AC＝BC，∵四边形ABOD是正方形，∴∠A＝∠CBF＝90°，在△ACD和△BCF中，∴△ACD≌△BCF（ASA），∴CF＝CD，BF＝AD＝4∵CE⊥DF，∴CE垂直平分DF，∴D、F关于直线CE对称，∵∠CBF＝∠CBE＝∠FCE＝90°，∴∠CFB+∠FCB＝∠FCB+∠ECB＝90°，∴∠CFB＝∠BCE，∴BE＝1，∴OE＝OB﹣BE＝4﹣1＝3，∴E点坐标为（﹣3，0）；如图，连接BD交直线CE于点P，∵点D与点F关于直线CE对称，∴PD＝PF，∴PB+PF＝PB+PD≥BD，此时PF+PE的值最小，∵直线CE的解析式为y＝﹣2x﹣6，直线BD的解析式为y＝x+4，由，解得，∴P（﹣，）．故答案为（﹣3，0），（﹣，）．11．解：如图，取AD的中点M，连接GM，延长MG交BC的延长线于J，在AB上截取AN，使得AN＝AF，连接FN．作点C关于GJ的对称点K，连接GK，BK．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∵AM＝MD．AE＝EB，∴AM＝AE，∵AF＝AN，∴FM＝NE，∵∠A＝∠GFE＝90°，∴∠AFE+∠AEF＝90°，∠AFE+∠GFM＝90°，∴∠GFM＝∠FEN，∵FG＝FE，∴△FGM≌△EFN（SAS），∴∠GMF＝∠ENF，∵∠ANF＝∠AFN＝45°，∴∠GMF＝∠FNE＝135°，∴∠DMG＝45°，设MJ交CD于R，∵∠D＝∠JCR＝90°，∴∠DMR＝∠DRM＝∠CRJ＝∠CJR＝45°，∴DM＝DR＝CR＝CJ＝3，∵C，K关于MJ对称，∴KJ＝CJ＝2，∠MJK＝∠MJC＝45°，GC＝GK，∴∠KJB＝90°，∴BK＝＝＝3，∵GC+GB＝GK+GB≥BK，∴GC+GB≥3，∴GC+GB的最小值为3．故答案为3．12．解：如图，在AB的下方作∠BAR＝45°，且AR＝CD＝2，连接MR，DR，过点R作RT⊥DA交DA的延长线于T．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝2，∠DCN＝45°，∠DAB＝∠BAT＝90°，∴∠DCN＝∠RAM＝45°，在△DCN和△RAM中，，∴△DCN≌△RAM（SAS），∴DN＝RM，∵∠BAR＝∠RAT＝45°，AR＝2，∠T＝90°，∴AT＝RT＝，∴DR＝＝＝，∵DM+DN＝DM+MR≥DR，∴DM+DN的最小值为，∴（DM+DN）2的最小值为8+4．故答案为：8+4．13．解：（1）①∵点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，∴OG＝OP，OM⊥GP，∴OM平分∠POG，同理可得ON平分∠POH，∴∠GOH＝2∠MON＝2×50°＝100°，故答案为：100°；②∵PO＝5，∴GO＝HO＝5，当∠MON＝90°时，∠GOH＝180°，∴点G，O，H在同一直线上，∴GH＝GO+HO＝10；（2）如图所示：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，连接P A、PB，则AP＝AP'，BP＝BP“，此时△P AB周长的最小值等于P′P″的长．由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×60°＝120°，∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣120°）÷2＝30°，∴∠OP A＝∠OP'A＝30°，同理可得∠BPO＝∠OP″B＝30°，∴∠APB＝30°+30°＝60°．14．解：（1）如图所示：；（2）如图所示：；（3）∵每小格均为边长是1的正方形，∴CC1＝4+4＝8，BB1＝2+2＝4，BB1和CC1之间的距离为2，∴四边形BCC1B1的面积为×（8+4）×2＝12，故答案为：12．15．解：（1）作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于P，则点P即为所求；（2）在直线l上任取另一点Q，连接P A、QA、QB．∵点A与A′关于直线l成轴对称，点P、Q在直线l上∴P A＝P A′，QA＝QA′．∵QA′+QB＞A′B，∴QA+QB＞A′B即QA+QB＞A′P+BP，∴QA+QB＞AP+BP．∴P A+PB最小．16．解：作点P关于直线OM的对称点P′，作Q关于直线ON的对称点Q′，连接P′Q′交OM于A，ON于B，则此时四边形P ABQ的周长最小．17．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，由图知，A1的坐标为（﹣1，1）、B1的坐标为（﹣4，2）、C1的坐标为（﹣3，4）；（2）如图所示：作出点A的对称点，连接A'B，则A'B与x轴的交点即是点P的位置，则P A+PB的最小值＝A′B，∵A′B＝＝3，∴P A+PB的最小值为3；（3）△ABC的面积＝3×3﹣×3×1﹣×1×2﹣×2×3＝，故答案为：（﹣1，1），（﹣4，2），（﹣3，4），3．18．解：方案一：如图1，连接AB，过A作AC1⊥l于C1则C1即为水厂地址，过B作BD⊥AC1交C1A的延长线于D，则AD＝7km，BD＝8km，AC1＝4km，∴AB＝＝km，∴所需管道长度＝AC1+AB＝（4+）km；方案二：作A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于C2，则C2即为水厂地址，如图2，过B作BD⊥AA′交A′A的延长线于D，则A′D＝15km，BD＝8km，∴所需管道长度＝A′B＝＝17km，综上所述：所需最短管道长度＝（4+）km．19．解：如图：（1）∵MN垂直平分AB．∴MB＝MA，又∵△MBC的周长是14cm，∴AC+BC＝14cm，∴BC＝6cm．（2）当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，最小值是8cm．20．解：（1）作D点关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于P，P即为所求，此时PC+PD ＝PC+PD′＝CD′，根据两点之间线段最短可知此时PC+PD最小．（2）作D′E⊥BC于E，则EB＝D′A＝AD，∵CD＝2AD，∴DD′＝CD，∴∠DCD′＝∠DD′C，∵∠DAB＝∠ABC＝90°，∴四边形ABED′是矩形，∴DD′∥EC，D′E＝AB＝4，∴∠D′CE＝∠DD′C，∴∠D′CE＝∠DCD′，∵∠DCB＝60°，∴∠D′CE＝30°，∴D′C＝2D′E＝2AB＝2×4＝8；∴PC+PD的最小值为8．21．解：（1）∵C（1，0），∴OC＝1，∵在Rt△AOC中，∠A＝30°，∴AC＝2，OA＝，如图1，①当AC＝AP，∠CAP＝90°，过P1作P1B⊥y轴于B，则△ABP1≌△COA，∴AB＝OC＝1，BP1＝AO＝，∴OB＝1+，∴P1（，1+）；②当AC＝CP，∠ACP＝90°，过P2作P2D⊥x轴于D，同理可得：CD＝OA＝，P2D＝1，∴P2（1+，1）；③当CP＝AP，∠APC＝90°，过P3作P3E⊥x轴于E，则P3是AP2的中点，∴OE＝OD＝，P3E＝（OA+P2D）＝，∴P3（，）；综上所述，P（，1+），（1+，1），（，）；（2）如图2，任取△AOC内一点Q，连接AQ、OQ、CQ，将△ACQ绕点C顺时针旋转60°得到△A′CQ’，∴A′C＝AC＝2，CQ＝CQ′，AQ＝A′Q′，∠ACA′＝∠QCQ′＝60°，∴△QCQ′是等边三角形，∴CQ＝QQ′，∴AQ+OQ+CQ＝A′Q′+OQ+QQ’，∴当A′Q′，OQ，QQ′这三条线段在同一直线时最短，即AQ+OQ+CQ的最小值＝OA′，∵∠ACO＝∠ACA′＝60°，∴∠A′CB＝60°，过A′作A′B⊥x轴于B，∴BC＝A’C＝1，A′B＝，∴OB＝2，∴A′O＝＝，∴AQ、OQ、CQ之和的最小值是．22．解：（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝70°，∴∠A＝40°，∵AB的垂直平分线交AB于点N，∴∠ANM＝90°，故答案为：50；（2）①∵MN是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∴△MBC的周长＝BM+CM+BC＝AM+CM+BC＝AC+BC，∵AB＝8，△MBC的周长是14，∴BC＝14﹣8＝6；②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，理由：∵PB+PC＝P A+PC，P A+PC≥AC，∴P与M重合时，P A+PC＝AC，此时PB+PC最小，∴△PBC周长的最小值＝AC+BC＝8+6＝14．23．解：（1）如图所示：（2）A2（﹣3，﹣2），B2（﹣4，3），C2（﹣1，1）；（3）连接AB1或BA1交y轴于点P，则点P即为所求．24．解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴∠BAD＝∠B，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∵∠C＝90°，∴∠B＝30°．（2）∵∠CAD＝∠BAD＝∠B＝30°，∴AD＝2CD，∵AD＝BD，∴BD＝2CD，∴BC＝BD+CD＝3CD，∴CD＝BC；（3）作C点关于直线AD的对称点C′，∵AD平分∠BAC．∴C′在直线AB上，连接BC′的直线就是AB，∴P点就是A点，此时|PB﹣PC|的最大值为BC′，∵AC＝AC′＝BC′，∴|PB﹣PC|的最大值＝2．。

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九年级数学13－1（共4页） 2008年中考数学第一轮复习专题训练(十三) （轴对称）一、填空题：（每题 3 分，共 36 分）１、正方形是轴对称图形，它有＿＿＿＿条对称轴。

２、角是轴对称图形，它的对称轴是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

３、汉字中，有很多字是轴对称图形，如“王”、“工”等，请你再写出三个不同的轴对称汉字＿＿＿＿＿＿＿＿。

４、已知p 点在线段AB 的垂直平分线上，且PB ＝4cm ，则PA ＝＿＿＿＿cm 。

５、等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 中点，则∠ADB ＝＿＿＿＿。

６、补全图形，使它成对轴对称图形。

７、一枚印章上刻有，那么印在纸上的数字是＿＿＿＿。

８、如图，△ABC 中，AD 垂直平分BC 边，AB ＝5，CD ＝3，那么△ABC 周长为＿＿＿＿。

９、我国传统木结构房屋，窗子常用各种图案装饰，如图是一种常见的图案，这个图案有＿＿＿＿条对称轴。

10、如图，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，DE ＝4cm ，则DF ＝＿＿＿＿cm 。

11、不重合的两点的对称轴是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

12、在照镜子时，小明发现其上衣右上部有一个口袋，则小明上衣上的口袋应在＿＿＿。

二、选择题：（每题 4 分，共 24 分）
１、下列几何图形中，①线段；②角；③圆；④等腰三角形；⑤直角三角形；其中是轴对称图形的有（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个２、下列图案中，有且只有三条对称轴的是（） A B C D ３、观察下图中各组图形，其中不是轴对称的是（） A B C D ４、将一张矩形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“B ”，再把它铺开，你可见到（） 537 …
…
…
…
…
…
…
…
…
…
密
…
…
…
…
…
…
…
…
封
…
…
…
…
…
…
…
…
装
…
…
…
…
…
…
…
…
订
…
…
…
…
…
…
…学校：＿＿＿＿＿＿班级：＿＿＿＿＿姓名：＿＿＿＿＿＿座号：＿＿＿＿第６题 A D B C 第８题第９题 ┐ ┐ A E F D B C 第10题
A
B
C D
５、下列说法错误的是（）
A、若A，A' 是以BC为轴对称的点，则AA' 垂直平分BC
B、线段的一条对称轴是它本身所在的直线
C、一条线段的一个端点的对称点是另一个端点
D、等边三角形是轴对称图形
６、在平面镜里看到背后墙上，电子钟示数如图所示，这时的时间应是（）
A、21:02
B、21:05
C、20:15
D、20:05
三、解答题：（每题9 分，共54 分）
１、画出下列图形的对称轴。

①②③
２、以虚线为对称轴，画出已知图形的轴对称图形。

３、在由小正方形组成的L形的图中，用三种不同方法添画一个小正方形，使它成为轴对称图形。

方法一方法二方法三
４、已知：在△ABC中，AB＜AC，BC边上的垂直平分DE交BC于点D，交AC于点E，AC＝8cm，△ABE的周长是14cm，求AB的长。

５、在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，且∠BAD∶∠BAC＝1∶3，求∠B的度数。

A
B
∶
九年级数学13－2（共4页）
九年级数学13－3（共4页）
６、如图所示，牧童在A 处放牛，他的家在B 处，晚上回家时要到河边 l 让牛饮一次水，则饮水的地点选在何处，牧童所走的路程最短？
四、（10分）如图，将一张正六边形纸沿虚线对折3次，得
到一个多层的60°角形纸，用剪刀在折叠好的纸上随意剪一条
线。

①猜一猜，将纸打开后你会得到怎样的图形？
②这个图形有几条对称轴。

五、（12分）已知，矩形AOBC ，以O 为坐标原点，OB 、OA 分别在 x 轴，轴上，点A 坐标为（0，3），∠OAB ＝60°，以OA 为轴对折后，使点C 落在点D 处，求点D 坐标。

六、（14分）已知，矩形ABCD
①作出点C 关于BD 所在直线的对称点C'
②连结C'B ，C'D ，若△C'BD 与△ABD 垂叠部分的面积等于△ABD 面积的 2
3，求∠CBD 的度数。

y y A
C B O x
A
B
D C
答案：
（十三）
一、1、42、角平分线所在的直线3、日田由4、45、90°6、略7、5378、
16
9、210、411、这两点为端点的线段的中垂线12、左上部
二、1、D2、D3、C4、C5、A6、B
三、1－3略4、AB＝6cm5、∠B＝22.5°6、略
四、①轴对称图形三条
五、解：C（33，3）、D（－33，3）
六、①如图②∠CBD＝30°∵S△BED＝2
3
S△ABD∴S△AEB∶S△BED＝1∶2∴EB＝ED∵
AE
EB
＝
1
2
∴∠ABE＝30°∠AEB＝60°∴∠EBC＝∠AEB＝60°易知BD平分∠CBE
∴∠CBD＝1
2
∠EBC＝30°
九年级数学13－4（共4页）。