8种辅助线做法(活动za)

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)
总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等
.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题
.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形
.角平分线在三种添辅助线
.垂直平分线联结线段两端
.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，
.图形补全法：有一个角为度或度的把该角添线后构成等边三角形
.角度数为、度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为度或度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，追求是构成的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等
三角形．
2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换
中的“旋转”法构造全等三角形．
3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式
是三角形全等变换中的“对折”（）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

（）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之
与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、
分等类的题目．
6)已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三
角形。

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．
一、倍长中线（线段）造全等
例、（“希望杯”试题）已知，如图△中，，，则中线的取值范围是.
例、如图，△中，、分别在、上，⊥，是中点，试比较与的大小.
例、如图，△中，，是的中点，求证：平分∠.
应用：.以的两边、为腰分别向外作等腰和等腰，连接，、分别是、的中点．探究：与的位置及数量关系．
（）如图①当为直角三角形时，与的位置关系是，
线段与的数量关系是。

（）将图①中的等腰绕点沿逆时针方向旋转(<<)后，如图②所示，（）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．
二、截长补短
、如图，中，，平分，且，求证：⊥
、如图，∥，分别平分∠,∠，过点，求证＝。

、如图，已知在内，，，，分别在，上，并且，分别
是，的角平分线。

求证：
、如图，在四边形中，＞＝，平分，求证：
、如图在△中，＞，∠＝∠，为上任意一点，求证＞
应用：
三、平移变换
例为△的角平分线，直线⊥于为上一点，△周长记为，△周长记为.求证＞.
例如图，在△的边上取两点、，且，求证：
>.
四、借助角平分线造全等
、如图，已知在△中，∠°，△的角平分线相交于点，求证：
、如图，△中，平分∠，⊥且平分，⊥于，⊥于. （）说明的理由。

（）如果，，求、的长.
应用：、如图①，是∠的平分线，请你利用该图形画一对以所在直线为对称轴的全等三角形。

请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（）如图②，在△中，∠是直角，∠°，、分别是∠、∠的平分线，、相交于点。

请你判断并写出与之间的数量关系。

（）如图③，在△中，如果∠不是直角，而()中的其它条件不变，请问，你在()
中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明。

若不成立，请说明理由。

五、旋转
例正方形中，为上的一点，为上的一点，，求∠的度数.
例2 为等腰斜边的中点，⊥分别交于点。

（）当绕点转动时，求证。

（）若，求四边形的面积。

例如图，是边长为的等边三角形，是等腰三角形，且，以
为顶点做一个角，使其两边分别交于点，交于点，连接，则的周长为。

图①图②图③。