建模教案(层次分析)

数学建模——层析分析法一、层次分析法定义（AHP）二、层次分析法基本步骤1、建立层次结构模型例1、（购物模型）某顾客在购买空调时，看好了A,B.C三种空调，举棋不定。

他的目的是从中选出一个最称心的商品来。

它主要考虑五种因素：价格、耗电量、售后服务、噪音、款式。

下面建立层次结构模型。

由上到下依次为：目标层、准则层、方案层。

例2、（旅游模型）某人假期要外出游玩，想去D1,D2,D3三个景点之一。

考虑标准主要有：景色、费用、居住条件、饮食、交通条件。

构造层次结构模型。

由上到下依次为：目标层、准则层、方案层。

练习：（就业模型）某大学生毕业在即，有四个单位A,B,C,D 可供选择。

假设她主要考虑如下因素：1、单位工资待遇；2、单位所在城市；3、继续深造条件；4、发展条件；5、专业爱好。

试建立层次结构模型。

2、构造成对比较矩阵。

*目的：比较同意层因素对上一层因素的影响，从而确定他们在上层因素中占的权重。

（即他们在你心目中哪个更重要） *方法：设有n 个因素对上一层目标有影响。

每次取两个因素i x 与j x 比较，用ij a 表示i x 与j x 对上层目标的影响比。

*定义1、成对比较矩阵：n m ij a A ⨯=)(，其中ijji ij a a a 1,0=>。

定义2、正互反矩阵：n 阶成对比较矩阵n n ij a A ⨯=)(，其性质：1=ii a 。

例3、在旅游模型中，设景色、费用、居住、饮食、交通五个因素分别为54321,,,,x x x x x ，某人根据自己的情况，对五个因素逐对金星比较，比较他们对目标层——选择旅游地的重要程度。

令1:21221==x x a ，表示费用2x 与景色对选择旅游地之一目标的重要之比是2； 1:34114==x x a ，表示景色1x 与饮食4x 对选择旅游地这一目标的重要之比是3依此做下去，一共比较1025=C 次，矩阵得出这10哥比较结果即可算出整个矩阵。

于是所得到准则层对目标层（第二层对第一层）的正互反矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1135131112513131211714155712334211A 。

#例4、在旅游模型中，设方案层D 1,D 2,D 3各因素对准则层的5个因素分别做比较，可等到5个3阶正互反矩阵。

三个方案分别为321,,y y y ，逐对比较它们对景色这一准则的重要程度。

令2112=y y ，即2121=b ，表示方案D 2对方案D 1对景色之一准则的重要之比是1：2，即方案1的景色更好。

令132=y y ，即123=b ，表示方案D 2对方案D 31对景色之一准则的重要之比是1，即方案2与方案3的景色同样好。

依此做下去，于是得到正互反矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1215121215211B ；同理可得到方案D 1,D 2,D 3对费用的正互反矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1383113813112B ； 可得到方案D 1,D 2,D 3对居住的正互反矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=131313113113B ；可得到方案D 1,D 2,D 3对饮食的正互反矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=114111314314B ；可得到方案D 1,D 2,D 3对交通的正互反矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=144411141115B 。

*权重的取法3、一致性的相关概念*定义3：如果一个正互反矩阵A 满足),,2,1,,(n k j i a a a ik jk ij ==，则称A 为一致矩阵，简称一致阵。

例如⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡14441114111是一个一致阵。

*n 阶一致阵的性质：（1）一致阵的秩一定是1。

它的唯一非零特征根为n ； （2）一致阵的任一列（行）向量都是对应于特征根的特征向量。

*判断一致阵的方法：计算矩阵的最大特征根即可。

若n >m a x λ，则B 不是一致阵， 且max λ越大，不一致程度越高。

*定义4：设()T n a a a ,,,21 =α为一个正向量，称Tn i i n n i i n i i a a a a a a ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡='∑∑∑===11211,,, α为α的标准化向量。

*计算最大特征根的方法：0=-A I λ，求得max λ为最大特征根，任一列（行） 向量都是对应于特征根的特征向量。

例5、求⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=14441114111A 的最大特征根，特征向量及标准化向量。

解：014441114111=---------λλλ，整理得0)3(2=-λλ，解得3,021==λλ，故最大特征根是3，于是()T 4,1,1=α为其特征向量，T )32,61,61(='α为标准化向量。

若非一致阵，求最大特征根的方法不变，解()01max =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n x x A I λ，求出的()Tn x x ,1为相应于max λ的特征向量，再标准化成为标准权向量。

（此处可用matlab 软件求解）4、层次单排序和一致性检验*最终目标：通过成对比较矩阵，找出各因素对上层某目标的重要性的一个权排序值（权重值大的优先）一致矩阵 得到的向量为各因素对上一层目标的权向量成对比较矩阵若在容许范围内则计算最大特征根及特征向量标准化，令它为权向量非一致阵对比较矩阵*一致性检验（看不一致程度）： 设A 为n 阶成对比较矩阵。

令1--=n nCI λ为一致性矩阵。

当0=CI 时，A 为一致阵；当CI 越大，A 的不一致程度越严重。

*不一致程度的容许范围：看一致性比率RICICR =：当1.0<CR 时，A 的不一致程度在容许范围内。

其中RI 可通过查表得到。

附表1例6、检验旅游模型中的准则层对目标层的成对比较矩阵的一致性，并选出其权向量。

解：A 的最大特征根5073.5≠=λ，A 为非一致阵。

一致阵指标018.0155073.5=--=CI ，由5=n ，得12.1=RI 。

一致性比率1.0016.012.1018.0<===RI CI CR ，通过了一致性检验。

求出相应于073.5=λ的特征向量并标准化为()T )110.0,099.0,055.0,475.0,263.0(2=α，()2α可作权向量。

按照前面做出的成对比较矩阵521,,,B B B 计算出他们各自的最大的特征根()3k λ，权向量()3k α和一致性指标())5,2,1(3 =k CI k 。

()3k CR 均小于0.1，通过了一致性检验。

5、计算组合权向量方案i D 在准则层中的权向量为T )166.0,633.0,429.0,082.0,595.0(1=α T )166.0,193.0,429.0,236.0,277.0(2=α T )668.0,175.0,142.0,682.0,129.0(3=α而准则层对目标层的权向量为T )110.0,099.0,055.0,475.0,263.0()2(=α，于是方案i D 在目标层的组合权重应为)2(αα⋅i ，即()300.0110.0166.0099.0633.0055.0429.0475.0082.0263.0595.021=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⋅αα246.0)2(2=⋅αα； 456.0)2(3=⋅αα故各方案i D 对目标的权向量，即组合权向量为T )456.0,246.0,300.0()3(=α3D 在选择旅游地重要性占0.456%，远大于1D ，2D ，所以选择方案3D 。

6、组合权向量的一致性检验在应用层次分析法作重大决策时，吃了对每个成对比较矩阵进行一致性检验外，还要常常进行所谓组合一致性检验，以确定组合拳向量是否作为最终的决策依据。

组合权向量检测可逐层进行。

若第p 层的一致性指标为()()p n p CI CI ,,1 ，（n 是第p-1层因素的数目），随机一致性检验指标为()()p n p RI RI ,,1 ，定义 ()()[]()11)(,-=p p n p p CI CI CI ω ()()[]()11)(,-=p p n p p RI RI RI ω则第p 层的组合一致性比率为()()()s p RICI CRp p p ,,4,3, == 第p 层通过组合一致性检验的条件为()1.0<p CR定义最下层（第s 层）对第一层的组合一致性比率为()∑==''sp p CR R C 2对于重大项目，仅当R C ''适当地小时，才认为整个层次的比较判别通过一致性检验。

例如，若决策是三层的，第三层一致性指标为()()331,,n CI CI ，随即一致性指标为()()331,,nRI RI ，α为第二层对第一层的权向量，定义 ()()[]α331)3(,n CI CI CI =()()[]α331)3(,n RI RI RI =则第三层对第二层的组合的组合一致性比率为()()()333RICI CR= 当()1.03<CR 时，认为组合权向量通过一致性检验； 第三层对第一层的组合一致性比率为()()()()3323RICI CRCR+=，最后看这一值是否小于0.1例7、检验上述旅游模型的组合权向量是否通过了一致性检验。

解：()()[]()00176.0001759.0110.0099.0055.0475.0263.00,005.0,0,001.0,003.0,331)3(≈=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==αn CI CI CI()()[]()58.058116.0110.0099.0055.0475.0263.058.0,,58.0,58.0,,331)3(≈=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛== αn RI RI RI而()016.02=CR，故()()()()1.0019.058.000176.0016.03323<=+=+=RICI CRCR，组合权向量通过了一致性检验，故T )456.0,246.0,300.0()3(=α可作为最终的决策依据。

总结：层次分析法的基本步骤 1、建立层次结构模型 2、构造成对比较矩阵3、计算权向量并做一致性检验4、计算组合权向量并作组合一致性检验。

练习：你已经去过几家主要的摩托车商店，基本确定将从三种车型中选购一种。

你选择的标准主要有：价格、耗油量、舒适程度和外表美观。

经反复思考比较，构造了他们之间的成对比较矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1315181315151551318531A 三种车型（记为a,b,c ）的价格、耗油量、舒适程度和外表美观的成对比较矩阵为（价格） （耗油量） （舒适） （外表）⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121312121321 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛171217152511 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛141514131531 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛171317153511（1） 根据上述矩阵可以看出四项标准在你心目中的比重是不同的，请按由重到轻的顺序将它们排出。