【数学建模】层次分析法步骤
数学建模——层次分析法
在大石头中的重量比）可用向量
且
n
w ( w1 , w2 ,..., wn
T 表示， )
. 显然， 的各个列向量与 w 1 A i
i 1
w
仅相差一个比例
因子。 一般地，如果一个正互反阵
A
满足 （8.2.4）
aij a jk aik , i, j, k 1, 2,..., n
则
3 计算权向量并做一致性检验
定理1
当
n 阶正互反阵 A的最大特征根 n，
时
当且仅
A为一致阵。 由于 连续的依赖于 aii ，则 比 n 大的越多， 的不 A
n
一致性越严重。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因
素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引 起的判断误差越大。因而可以用
RI。方法为：
A1 , A2 ,, A500
2.则可得一致性指标 ： CI1 , CI 2 ,CI500
CI1 CI 2 CI500 RI 500
n RI
1 2 500 n 500 n 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51
aii 1 ，如用 C1 , C2 ,..., Cn
2 构造成对比较矩阵
2.比较尺度 • 当比较两个可能具有不同性质的因素 Ci 和 C j 对于一个上层 因素 O 的影响时，Saaty提出用1—9尺度（见下表），即aij 的取值范围是1,2,,9 ，及其互反数1,1/ 2,,1/ 9 。其理由 如下：
重，景色次之，居住条件再次。 问题1.怎样由成对比较阵确定诸因素 C , C ,..., C 对上层因 1 2 n 素
数学建模(层次分析法(AHP法)
2 构造判断(成对比较)矩阵
在建立递阶层次结构以后，上下层次之 间元素的隶属关系就被确定了。假定上一层 次 的 元 素 Ck 作 为 准 则 ， 对 下 一 层 次 的 元 素 A1, …, An 有支配关系，我们的目的是在准则 Ck 之下按它们相对重要性赋予 A1, …, An 相 应的权重。
RI
一般，当一致性比率 CR CI 0.1 时，认为A
RI
的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通 过一致性检验。否则要重新构造成对比较矩阵A，对 aij 加以调整。
一致性检验：利用一致性指标和一致性比率<0.1 及随机一致性指标的数值表，对A进行检验的过程。
判断矩阵一致性检验的步骤如下： (1) 计算一致性指标 C.I.：
一个典型的层次可以用下图表示出来：
几点注意
1.处于最上面的的层次通常只有一个元素， 一般是分析问题的预定目标或理想结果。 中间层次一般是准则、子准则。最低一层 包括决策的方案。层次之间元素的支配关 系不一定是完全的，即可以存在这样的元 素，它并不支配下一层次的所有元素。
2.层次数与问题的复杂程度和所需要分析的详尽 程度有关。每一层次中的元素一般不超过9个，因 一层中包含数目过多的元素会给两两比较判断带 来困难。
3.一个好的层次结构对于解决问题是极为重要的。 层次结构建立在决策者对所面临的问题具有全面 深入的认识基础上，如果在层次的划分和确定层 次之间的支配关系上举棋不定，最好重新分析问 题，弄清问题各部分相互之间的关系，以确保建 立一个合理的层次结构。
层次分析模型(数学建模)
第k层nk个元素对于第k-1层上第j个元素为 准则的单排序向量 uj(k)=(u1j(k)，u2j(k)，…，un j(k))T j=1，2，…nk-1 其中不受第j个元素支配的元素权重取零，
于是可得到nk×nk-1阶矩阵
u (k ) u21 = ( ) unk1 k
(k ) 11
1 A = ( aij ) n×n , aij > 0, a ji = aij
1/ 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 5 4 7 1 2 3 3 5 1/ 2 1 1
3 成对比较阵 5 A~成对比较阵 1 / 3 是正互反阵 A是正互反阵 1 1
要由A确定 要由 确定C1,… , Cn对O的权向量 确定 的权向量
1. 正互反阵的最大特征根和特征向量的性质 正互反矩阵A 是正单根， 正互反矩阵 的最大特征根λ是正单根， Ak e T 对应正特征向量w， 对应正特征向量 ， lim T k = w, e = (1,1, L ,1) k →∞ e A e 定理1 定理1 正互反阵的最大特征根是正数， 正互反阵的最大特征根是正数， 特征向量是正向量。 特征向量是正向量。 定理2 定理2 n阶正互反阵 的最大特征根λ ≥ n , 阶正互反阵A的最大特征根 λ= n是A为一致阵的充要条件。 为一致阵的充要条件。 是 为一致阵的充要条件 一致性指标 CI =
“选择旅游地”思维过程的归 选择旅游地” 选择旅游地 纳 • 将决策问题分为 个层次：目标层 ，准则层 ， 将决策问题分为3个层次 目标层O，准则层C， 个层次： 方案层P；每层有若干元素， 方案层 ；每层有若干元素， 各层元素间的关系 用相连的直线表示。 用相连的直线表示。 • 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方 通过相互比较确定各准则对目标的权重， 案对每一准则的权重。 案对每一准则的权重。 • 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的 将上述两组权重进行综合， 权重。 权重。 层次分析法将定性分析与定量分析结合起来 完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。 完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。
层次分析法的具体步骤
层次分析法的具体步骤(1)建立层次结构模型如上所述，家纺纺织产业实施循环经济评价指标体系可被分为四层，最上层为最高层(目标层)，即纺织企业循环经济各个方面的综合水平；第二层为准则层，即相互独立、分别隶属于总系统层的子系统；第三层为指数层，是对准则层的进一步细分和阐述；最底层为指标层，该层隶属于准则层，是对纺织企、Ek循环经济各个方面具体的评价指标。
在层次分析法巾多采用三层分析，即目标层、准则层和指标层。
(2)构造比较判断矩阵根据层次结构模型，通过对某层次中各元素的相对重要性做出比较判断，即对于上一层次某一推则而言，在其下一层次中所有与之相关的元素中依次两两比较，从而得出逐层进行判断评分，进而构成两两判断矩阵，如表6—2所示。
如A1，A2，…，久，在考虑相对上一层准则H：前提下构造判断矩阵H‘—A。
具体的做法是：先将矩阵左侧的指标A1依次与矩阵上边一排所列的指标Al—A。
相对于目标Hf做两两比较，比较结果按AHP法设计的范围标度(表6—3)对它的重要性给予量化，并相应填入矩阵第一行；接着依次用左列指标A2，A3，…，A4重复进行上述比较，以完成矩阵的第二行至第n行。
对于每个准则层以及每个准则下的指标群，进行同样过程，这样也就形成了多级比较判断矩阵。
AHP采用这种标度方法，不仅能克服一些指标和指标子系统无标度情况下无法测量、统计等困难，而且这种标度法有特定的科学依据，这主要表现为：第一。
实验心理学有关研究表明，人们对不同程度刺激的感觉区别，最佳的区别个数为7土2，若取其最大的极限，恰好是9个。
也就是说，人们对某个事物的属性同时进行比较，要使其前后的判断基本保持一致，最多只能对9个不向事物向时进行比较判断。
按照人们惯用的相邻标度差为1的离散标度值确定法，对1—9种事物进行比较判别时，其比例标度恰好为[1，9]间的整数。
第二，人们在估计事物问区别时，习惯采用五种判断表述：相等、较强、强、4硼、绝对强。
若需要更高精度，还可在这五种相邻判断之间做出比较，这样共有9个等级。
层次分析法(AHP)建模
新余高等专科学校 数学建模教练组 2005-
6
Mathematical Contest in Modeling
层次分析法
3
计算权向量并做一致性检验
什么是权重(权系数)? 在决策问题中，通常要把变量Z表成变量x1,x2, … , xn的线性组合:
z w1x1 w2 x2 wn xn
n
其中 wi 0, wi 1 w1, w2 ,...., w则n
1 例: A 1/ 2
2 1
6 4
列向量 归一化
0.6 0.3
0.615 0.308
0.545 0.364
按行求和
1.760 0.972
1/ 6 1/ 4 1
0.1 0.077 0.091
0.268
, 即为
归一化
0.587 0.324 w
0.089
1.769 Aw 0.974
0.268
1 (1.769 0.974 0.268) 3.009
比较因素的权向量,其不一致程度应在容许的范围内.如何确定这个范围?
Mathematical Contest in Modeling 第5讲: 层次分析法(AHP)建模
层次分析法基本简介 层次分析法的基本步骤
1. 建立层次结构模型 2. 构造成对比较阵(判断矩阵) 3. 计算权向量并做一致性检验 4. 计算组合权向量并做组合一致性检验
不完全层次结构模型
新余高等专科学校 数学建模教练组 (设计制作: syllen
权重(权系数)?
a. 将A的每一列向量归一化得 w~ij aij / n aij
w~ b. 对 ij
按行求和得w~i n w~ij
j 1
i 1
层次分析法-数学建模
层次分析法一、分析模型和一般步骤二、建立层次结构模型三、构造成对比较矩阵四、作一致性检验五、层次总排序及决策一. 层次分析模型和一般步骤层次分析法是一种定性与定量分析相结合的多因素决策分析方法。
这种方法将决策者的经验判断给于数量化，在目标因素结构复杂且缺乏必要数据的情况下使用更为方便，因而在实践中得到广泛应用。
层次分析的四个基本步骤：（1）在确定决策的目标后，对影响目标决策的因素进行分类，建立一个多层次结构；（2）比较同一层次中各因素关于上一层次的同一个因素的相对重要性，构造成对比较矩阵；（3）通过计算，检验成对比较矩阵的一致性，必要时对成对比较矩阵进行修改，以达到可以接受的一致性；（4）在符合一致性检验的前提下，计算与成对比较矩阵最大特征值相对应的特征向量，确定每个因素对上一层次该因素的权重；计算各因素对于系统目标的总排序权重并决策。
二. 建立层次结构模型将问题包含的因素分层：最高层（解决问题的目的）；中间层（实现总目标而采取的各种措施、必须考虑的准则等。
也可称策略层、约束层、准则层等）；最低层（用于解决问题的各种措施、方案等）。
把各种所要考虑的因素放在适当的层次内。
用层次结构图清晰地表达这些因素的关系。
〔例1〕购物模型某一个顾客选购电视机时，对市场正在出售的四种电视机考虑了八项准则作为评估依据，建立层次分析模型如下：例2〕选拔干部模型对三个干部候选人、、，按选拔干部的五个标准：品德、才能、资历、年龄和群众关系，构成如下层次分析模型：假设有三个干部候选人、、，按选拔干部的五个标准：品德，才能，资历，年龄和群众关系，构成如下层次分析模型例3〕评选优秀学校某地区有三个学校，现在要全面考察评出一个优秀学校。
主要考虑以下几个因素：（1）教师队伍（包括平均学历和年龄结构）（2）教学设施（3）教学工作（包括课堂教学，课外活动，统考成绩和教学管理）（4）文体活动三、构造成对比较矩阵比较第 i 个元素与第 j 个元素相对上一层某个因素的重要性时，使用数量化的相对权重来描述。
层次分析法的操作流程
层次分析法的操作流程
层次分析法的操作流程主要包括以下四个步骤：
1.建立递阶层次结构模型：首先，明确决策的目标，然后将决策的目标、
考虑的因素（决策准则）和决策对象按照他们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层。
最高层是决策的目的、要解决的问题，通常只有一个因素；最低层是决策时的备选方案或对象层；中间层是考虑的因
素、决策的准则，可以有一个或多个层次。
当准则过多时，应进一步分解出子准则层。
这样，就形成了一个递阶层次结构模型。
2.构造判断矩阵：从层次结构模型的第二层开始，对于从属于（或影响）
上一层每个因素的同一层诸因素，用成对比较法和1~9比较尺度构造成对比较阵，直到最下层。
这一步是为了确定各因素之间的相对重要性。
3.层次单排序及一致性检验：对于每一个成对比较阵，计算其最大特征根
及对应特征向量，然后利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率进行一致性检验。
若检验通过，则特征向量（归一化后）即为权向量；
若不通过，则需重新构造成对比较阵。
这一步的目的是确定各因素或方案的权重。
4.层次总排序及一致性检验：在完成各层次单排序的基础上，计算各层元
素对系统目标的合成权重，并进行总排序。
最后，对排序结果进行一致性检验。
这一步是为了得出各备选方案对于目标的排序权重，从而进行方案选择。
层次分析法是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法，它将决策者的经验判断与定量分析结合起来，能够有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。
在操作过程中，需要注意保持层次结构的清晰和逻辑连贯，同时确保判断矩阵的一致性和准确性。
【数学建模】1.层次分析法
【数学建模】1.层次分析法1.解决问题的类型⾸先，提出⼀个⽅法考虑的应该是他对应解决什么类型的问题，对于层次分析法来说，它是⽤来解决确定评价指标、形成评价体系的评价类问题.解决评价类问题需要考虑的三个问题1.评价⽬标是什么2.为了达到这种⽬标有⼏种可以选择的⽅案3.评价的准则是什么2.层次分析法的步骤第⼀步建⽴系统的递阶层次结构.注：如果⽤到了层次分析法，层次结构图要放在建模论⽂中.层次结构图可以⽤PPT的SmartArt⽣成层次结构图可以⽤专业软件：亿图图⽰⽣成第⼆步构造判断矩阵对于判断矩阵来说很重要的⼀点就是确定各个指标的权重，那么下⾯就来说⼀说怎么确定权重3.权重的确定（1）⾸先填写判断矩阵把评价准则（景⾊、花费、居住、饮⾷、交通）和可选择的⽅案（苏杭、北戴河、桂林）做成判断矩阵（制表）我们采⽤填写判断矩阵的⽅法确定权重，参考如图总的判断表格判断矩阵判断指标然后需要对总的判断表格中的评价准则和针对不同准则⽅案之间的差异重新制表写判断表格。
对⾓线均为1评价准则的判断矩阵针对不同准则⽅案之间的差异值得注意的⼀点，填写完判断矩阵后我们要判断矩阵是否为⼀致矩阵⼀致矩阵特点：各⾏（各列）成倍数关系注：判断矩阵中的元素只能是1-9和他们的倒数.（2）其次进⾏⼀致性检验⼀致性检验：检查我们构造的判断矩阵和⼀致矩阵是否有太⼤的差别。
检验的具体原理这⾥就不详细的叙述了，下⾯就直接讲⼀致性检验的步骤了注：matlab中可以进⾏特征值计算，如果特征值为虚数，那么就⽐较特征值的模长.如果得到的判断矩阵符合⼀致性检验，那么我们就可以计算⼀致矩阵的权重了。
（3）再次⼀致矩阵权重的计算有三种⽅法：算术平均法、⼏何平均法、特征值法。
通常采⽤特征值法计算权重如果⼀个矩阵是⼀致矩阵那么采⽤特征值法计算权重的⽅法为那么对于通过⼀致性检验的矩阵来说，也可以采⽤这种⽅法最后汇总权重，计算得分得到的表格(4)CR>0.1的修正上⾯说的都是判断矩阵经过⼀致性检验的步骤，那如果没有经过⼀致性检验呢，这就需要我们对判断矩阵进⾏修正调整的原则就是：往⼀致矩阵调整就OK了，⼀致矩阵隔⾏成倍数关系4.层次分析法的局限性5.模型拓展6.例⼦7.附录优先选择知⽹（万⽅、百度学术、⾕歌学术等平台）搜索⽂献。
数学建模-层次分析法
三、判断矩阵的一致性
定义1:设 如果满足下列二个条件：
则称 A 为互反矩阵。
定义2:设
A ( aij )m m，A 0,
1 (2) a ij , a ji
(1) a ii 1,
则称 A 为一致性矩阵。
N
TU
a ik ； i , j , k 1, 2, , m (3) a ij a jk
N
根据线性代数知识，3是矩阵A的最大特征值，G是矩阵A属于特征值3的特征向量。 因此，物体测重问题就转化为求判断矩阵的特征值和对应的特征向量，3个物体的
TU
AG 3G
-M
3 g1 g1 g1 / g1 g1 / g2 g1 / g3 g1 A G g2 / g1 g2 / g2 g2 / g3 g2 3 g2 3 g2 3G g / g g / g g / g g 3g g 3 1 3 2 3 3 3 3 3
人才培养 B2
可行性 B3
发展前景 B4
研 究 周 期 C5
财 政 支 持 C6
-M
课题1
课题N
6
1
AHP方法的基本原理
数学建模-层次分析法
二、判断矩阵及其特征向量
AHP方法采用优先权重作为区分方案优劣程度的指标。 优先权重是一种相对度量数，表示方案相对优劣的程度，其数值介于0和 方案关于目标准则体系整体的优先权重，是通过递阶层次从上到下逐层计算
数学建模-层次分析法
三、判断矩阵的一致性
定理3:设 A 是一致性矩阵，则：
① 一致性正矩阵是互反正矩阵； ② A 的转置矩阵AT也是一致性矩阵；
层次分析法步骤
层次分析法步骤一、准备阶段1、定义分析目标。
泛化层次分析法是一种比较主观的方法，用于评估潜在变量或多个变量之间的关系。
在这种情况下，需要确定分析的目标，也就是对变量之间的关系进行分析，了解情况的发展趋势、分析变量的稳定性或不稳定性等。
2、选择分析变量。
分析变量是用来衡量指标的变量，可以为定性变量或定量变量，而且根据研究需要精选变量数量。
3、数据收集。
利用特定的数据收集工具收集相关信息，以便对变量进行分析。
二、建模阶段1、构建层次结构。
首先，要明确需要分析的参数，并将参数归类成不同的层次。
这将是建模和构建层次结构的基础。
2、选择比较参数。
选择可以产生有效的结果的参数作为比较参数，以估算不同层次之间或相同层次之间变量的重要程度。
3、定量化变量并建立模型。
将变量定量化，并根据层次结构和参数选择建立模型，以获得有意义的结果。
三、结果分析阶段1、模型结果检查。
在建模阶段产生的模型结果中，需要检查模型结果。
检查是要确定模型的准确性，检查模型是否满足该分析的要求。
2、变量重要性重要性是指分析中衡量变量重要性的指标，是指由变量的框架和公式组成的模型的可靠性和准确性。
3、层次分析。
层次分析旨在定量的相关变量之间的层次结构的优先关系和重要性。
4、数据可视化。
为了更加清楚地描述结果，需要图形表示，比如柱状图、折线图或饼型图等进行数据可视化。
五、结论根据层次分析法的结果，可以总结出变量的重要性，分析变量的层次之间的关系，用图表的形式表示数据的可视化，更加清楚地为研究者提供了一种量化测量变量之间关系的方法。
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层次分析法实例与步骤
结合一个具体例子，说明层次分析法的基本步骤和要点。
【案例分析】市政工程项目建设决策：层次分析法问题提出
市政部门管理人员需要对修建一项市政工程项目进行决策，可选择的方案是修建通往旅游区的高速路（简称建高速路）或修建城区地铁（简称建地铁）。
除了考虑经济效益外，还要考虑社会效益、环境效益等因素，即是多准则决策问题，考虑运用层次分析法解决。
1. 建立递阶层次结构
应用AHP解决实际问题，首先明确要分析决策的问题，并把它条理化、层次化，理出递阶层次结构。
AHP要求的递阶层次结构一般由以下三个层次组成：
●目标层（最高层）：指问题的预定目标；
●准则层（中间层）：指影响目标实现的准则；
●措施层（最低层）：指促使目标实现的措施；
通过对复杂问题的分析，首先明确决策的目标，将该目标作为目标层（最高层）的元素，这个目标要求是唯一的，即目标层只有一个元素。
然后找出影响目标实现的准则，作为目标层下的准则层因素，在复杂问题中，影响目标实现的准则可能有很多，这时要详细分析各准则因素间的相互关系，即有些是主要的准则，有些是隶属于主要准则的次准则，然后根据这些关系将准则元素分成不同的层次和组，不同层次
1
元素间一般存在隶属关系，即上一层元素由下一层元素构成并对下一层元素起支配作用，同一层元素形成若干组，同组元素性质相近，一般隶属于同一个上一层元素（受上一层元素支配），不同组元素性质不同，一般隶属于不同的上一层元素。
在关系复杂的递阶层次结构中，有时组的关系不明显，即上一层的若干元素同时对下一层的若干元素起支配作用，形成相互交叉的层次关系，但无论怎样，上下层的隶属关系应该是明显的。
最后分析为了解决决策问题（实现决策目标）、在上述准则下，有哪些最终解决方案（措施），并将它们作为措施层因素，放在递阶层次结构的最下面（最低层）。
明确各个层次的因素及其位置，并将它们之间的关系用连线连接起来，就构成了递阶层次结构。
【案例分析】市政工程项目进行决策：建立递阶层次结构
在市政工程项目决策问题中，市政管理人员希望通过选择不同的市政工程项目，使综合效益最高，即决策目标是“合理建设市政工程，使综合效益最高”。
为了实现这一目标，需要考虑的主要准则有三个，即经济效益、社会效益和环境效益。
但问题绝不这么简单。
通过深入思考，决策人员认为还必须考虑直接经济效益、间接经济效益、方便日常出行、方便假日出行、减少环境污染、改善城市面貌等因素（准则），从相互关系上分析，这些因素隶属于主要准则，因此放在下一层次考虑，并且分属于不同准则。
假设本问题只考虑这些准则，接下来需要明确为了实现决策目标、在上述准则下可以有哪些方案。
根据题中所述，本问题有两个解决方案，即建高速路或建地铁，这两个因素作为措施层元素放在递阶层次结构的最下层。
很明显，这两个方案于所有准则都相关。
将各个层次的因素按其上下关系摆放好位置，并将它们之间的关系用连线连接起来。
同时，为了方便后面的定量表示，一般从上到下用A、B、C、D。
代表不同层次，同一层次从
2
3
左到右用1、2、3、4。
代表不同因素。
这样构成的递阶层次结构如下图。
目标层A
准则层B
准则层C
措施层D
图1 递阶层次结构示意图
2. 构造判断矩阵并赋值
根据递阶层次结构就能很容易地构造判断矩阵。
构造判断矩阵的方法是：每一个具有向下隶属关系的元素（被称作准则）作为判断矩阵的第一个元素（位于左上角），隶属于它的各个元素依次排列在其后的第一行和第一列。
重要的是填写判断矩阵。
填写判断矩阵的方法有：
大多采取的方法是：向填写人（专家）反复询问：针对判断矩阵的准则，其中两个元素两两比较哪个重要，重要多少，对重要性程度按1-9赋值（重要性标度值见下表）。