§5.2 线性微分方程组的一般理论
第五章线性微分方程组
第五章：线性微分方程组本章教学目的和要求：使学生掌握线性微分方程组解的结构。
要求学生熟练掌握求解常系数线性问粉方程组。
熟练掌握常数变易法。
本章重点：解的性质与结构，常系数方程组的解法，常数变易法。
本章难点：向量函数组的线性相关性，一般理论中的定理证明。
本章课时安排：讲16学时，习题及总结测验2学时第五章：线性微分方程组说明：本章所讨论的线性微分方程组仅限与一阶微分方程，从讲义的开头所说的，方程组不仅能在实际中应用广泛，而且她对高阶方程的求解具有不可忽视的作用。
不仅如此，方程组的有关定理在近代微分方程理论中也占有重要地位。
本章内容：一．一阶微分线性方程组及其解的概念；初值问题解的存在和唯一性定理。
二.线性方程组及其解的一般理论/包括解的线线性相关性，基本解组和解的结构定理。
三.方程组的具体解法。
§5.1 存在唯一性定理5.1.1 记号和定义①引言：在第二章我们研究了含有一个未知函数的微分方程的解法以及它们的性质。
但是，在很多实际问题与理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知数函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质。
如空间运动质点P 的速度与t 以及坐标(,,)x y z 的关系式为：112232(,,,)(,,,)(,,,)x y z v f t x y z x f v f t x y z y f z f v f t x y z ⎧==⎧⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪==⎩⎩ 又如： 22sin d dt l θθθ=-令 sin d dtd dtl θωωθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化成一阶微分方程组。
用类似的方法，如果在 n 阶微分方程 ()(1)(,,...,)n n y x y y y -'=中，令(1)121.,,...,n n y y y y y y --'''=== 它就可以化成方程组 1212(1)121()(1),........(,,...,)n n n n n n y y y y y y y y y yy x y y y -----⎧'=⎪'''==⎪⎪⎨⎪'==⎪⎪'=⎩共同点：出现的未知函数的导数都是一阶的 它 们都是一阶微分方程组。
常系数线性微分方程组
基解矩阵
d x Ax (33) dt
定理8 矩阵 (t) exp At
是常系数线性方程组(33)的基解矩阵（即基本解组),
且Φ(0)=E。方程组(33)的任一解可表为(expAt)c。
证 显然， Φ(0)=exp0=E ，且
'(t) exp At ' A A2t A3t2 Ak1tk
• 而由绝对收敛的乘法定理又有
exp
A exp B
i0
Ai i!
j0
Aj j!
k
k0 l0
Al l!
Bkl (k l)!
• 比较上两式，即得 exp(A+B)=expA·expB
3 第五章线性方程组§5.2
矩阵指数性质(3)(4)
矩阵指数性质(2)
(2) 矩阵A、B可交换，即AB=BA时有
exp(A+B)=expA·expB； 证 利用绝对收敛级数的重排定理证明。
• 由二项定理及AB=BA有
exp(A B) (A B)k k0 k !
k 0
l
k 0
l
Al Bk !(k
l l)!
5
3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
u
u1 u2
5
3
2
6
34
0
必得须解满足u 线性1i代数此方即程为组对应(1特E 征A)值u λ155=i 3+55i5i的uu12 特 征55ui向u115量5iuu。22 0
5.2 线性微分方程组的一般理论5.2.1
c1 x + c2 x 2 + L + cn x n ≡ 0 从而
显然它的零点不会多于n 显然它的零点不会多于n个,矛盾. 矛盾.
问题:利用定义判断显然不方便, 问题:利用定义判断显然不方便,那么有什么简便办法来判别向量 函数的线性无关性？ 函数的线性无关性？
定义 设有 个定义在区间
上的向量函数
，…， 由这 个向量函数构成的行列式
证明下列n 例 证明下列n个向量函数在任何区间上都是线性无关的
x2 xn x 0 0 0 Y1 = , Y2 = ,L , Yn = M M M 0 0 0
det(Φ (t )) = e ≠ 0
2t
基解矩阵
Y 若不然， 证 若不然，1 , Y2 ,L , Yn 线性相关，则由线性相关的定义知， 线性相关，则由线性相关的定义知，
必存在不全为零的n个常数 c1 , c2 ,L cn ，使得 不全为零的n
xn x x2 0 0 0 ≡ 0 +c c1 +L+cn M M 2 M 0 0 0
定理 方程 (2))的 n 个解 x1 ( t ), x 2 ( t ), L , x n ( t ) 在 [ a , b ]上 (5
线性无关的充要条件为 W ( t ) ≠ 0 , t ∈ [ a , b ].
解的结构: 解的结构:
定理 齐线性微分方程组一定有n个线性无关解. 齐线性微分方程组一定有n个线性无关解. 定理 若x1(t),x2(t),…,xn(t)是齐线性微分方程组的 是齐线性微分方程组的n 是齐线性微分方程组的 个线性无关解，则其任一解 ( ) 个线性无关解，则其任一解x(t)可表示成 x(t)=c1x1(t)+c2x2(t)+…+cnxn(t) 这里c 是常数。 这里 1，c2，…，cn是常数。 定理 齐线性微分方程组的线性无关解的最大个数等于 . 齐线性微分方程组的线性无关解的最大个数等于n. 定义 (2)的n个线性无关的解称为 的一个基本解组 (2)的 个线性无关的解称为 的一个基本解组 个线性无关的解称为(2)的一个 对于（2）来说（n个方程），利用初值问题解的存在 个方程）， 对于（ 来说（ 个方程），利用初值问题解的存在 唯一性定理可以证明，(2)的所有解构成了一个n维线 的所有解构成了一个n 唯一性定理可以证明，(2)的所有解构成了一个 性空间，也就是存在一个由n个解组成的基本解组. 性空间，也就是存在一个由n个解组成的基本解组.
线性微分方程的一般理论
线性微分方程的一般理论摘要：本文描述了线性微分方程的定义,齐次线性微分方程的解的性质与结构,以及非齐次线性微分方程与常数变易法,给读者展示了线性微分方程的一般理论和解法.关键词：齐次线性微分方程； 朗斯基行列式；通解；基本解组；常数变易法The General Theory of Linear Differential Equation Abstract ：In this paper,we describe the definition of a linear differential equation, the properties and structure of the solutions of the homogeneous linear differential equation and nonhomogeneous linear differential equation,showing the readers the linear differential equation method of the general theory of reconciliation. KeyWords :Homogeneouslineardifferentialequation;Langyankeesdeterminant;General solution;Basic set of solutions;Method of variation constant前言在微分方程的理论中,线性微分方程是很重要的一部分.线性微分方程是研究非齐次线性微分方程的基础,它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛的应用.因此学习线性微分方程的一般理论是非常有用的.1. 引言先讨论如下的n 阶线性微分方程1111()()()()n n n n n n d x d x dxa t a t a t x f t dt dt dt---++++= ， (1) 其中()(1,2,)i a t i n = 及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数.如果()0f t ≡,则方程(1)变为1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt---++++= ， (2) 我们称它为n 阶齐次线性微分方程,简称齐次线性微分方程,而称一般的方程(1)为n 阶非齐次线性微分方程,简称非齐次线性微分方程,并且通常把方程(2)叫做对应于方程(1)的齐次线性方程.首先给出方程(！)的解的存在唯一性定理.定理1[1] 如果()(1,2,)i a t i n = 及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数,则对于任一[]0,t a b ∈及任意的0x ,()10x , ,()10n x -,方程(1)存在唯一解()x t ϕ=,定义于区间a t b ≤≤上,且满足初值条件()00t x ϕ=,()()100d t x dt ϕ=, ,()()11001n n n d t x dt ϕ---=. (3) 2. 齐次线性微分方程的解的性质与结构首先讨论齐次线性微分方程1111()()()0n n n n n n d x d x dxa t a t a t x dt dt dt---++++= . (2) 根据“常数可以从微分号下提出来”以及“和的倒数等于倒数之和”的法则,容易得到齐次线性微分方程的解的叠加原理.定理2(叠加原理) 如果()1x t ,()2x t , ,()k x t 是方程(2)的k 个解,则它们的线性组合()()()1122k k c x t c x t c x t +++ 也是(2)的解,这里1c ,2c , ,k c 是任意常数.特别地，当k n =时，即方程(2)有解()()()1122n n x c x t c x t c x t =+++ (4)它含有n 个任意常数.考虑定义在区间a t b ≤≤上的函数()1x t ,()2x t , ,()k x t ,如果存在不全为零的常数1c ,2c , ,k c ,使得恒等式()()()11220k k c x t c x t c x t +++≡对于所有[],t a b ∈都成立,我们称这些函数是线性相关的,否则就成这些函数在所给区间上线性无关.有定义在区间a t b ≤≤上的k 个可微1k -次的函数()1x t ,()2x t , ,()k x t 所做成的行列式()()()[]()()()()()()()()()()()()1212'''1211112,,,k k k k k k k W x t x t x t x t x t x t x t x t x t W t x t x t x t ---⎡⎤⎣⎦≡≡成为这些函数的朗斯基行列式.定理3 若函数()1x t ,()2x t , ,()n x t 在区间a t b ≤≤上线性相关，则在[],a b 上它们的朗斯基行列式[]0W t ≡.证明 有假设知,存在一组不全为零的常数1c ,2c , ,n c ,使得()()()11220n n c x t c x t c x t +++≡ ，a t b ≤≤ (5)依次对t 微分此等式,得到()()()()()()()()()'''1122''''''1122(1)(1)(1)11220,0,0.n n n n n n n n n c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t ---⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(6) 把(6)和(7)看成关于1c ,2c , ,n c 的齐次线性代数方程组,它的系数行列式()()()12,,,n W x t x t x t ⎡⎤⎣⎦ ,于是由线性代数理论知道，要此方程组存在非零解，则它的系数行列式必须为零,即[]0W t ≡()a t b ≤≤.定理证毕.定理 4 如果方程(2)的解()1x t ,()2x t , ,()n x t 在区间a t b ≤≤上线性无关,则()()()12,,,n W x t x t x t ⎡⎤⎣⎦ 在这个区间的任何点上都不等于零,即[]0W t ≠()a t b ≤≤.证明 采用反证法.设有某个0t 0()a t b ≤≤使得[]00W t =.考虑关于1c ,2c , ,n c 的齐次线性代数方程组()()()()()()()()()1102200'''1102200(1)(1)(1)1102200000.n n n n n n n n n c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t c x t ---+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(7) 其系数行列式[]00W t =,故(7)有非零解1c ,2c , ,n c .先在以这组常数构造函数()()()()1122n n x t c x t c x t c x t ≡+++ ,a t b ≤≤,根据叠加原理,()x t 是方程(2)的解.注意到(7),知道这个解()x t 满足初值条件()()()(1)000'0n x t x t x t -==== , (8)但是0x =显然也是方程(2)的满足初始条件(8)的解.有解的唯一性,即知()0x t ≡()a t b ≤≤,即()()()11220n n c x t c x t c x t +++≡ ,a t b ≤≤.因为1c ,2c , ,n c 不全为零,这就与()1x t ,()2x t , ,()n x t 线性无关的假设矛盾.定理得证.根据定理3和定理4可以知道,由n 阶齐次线性微分方程(2)的n 个解构成的朗斯基行列式或者恒等于零,或者在方程的系数为连续的区间内处处不等于零.定理 5[2] n 阶齐次线性微分方程(2)一定存在n 个线性无关的解. 证明 线性微分方程(2)存在满足下列初始条件()101y x =,()'100y x =, ,()(1)100n y x -=; ()200y x =,()'201y x =, ,()(1)200n y x -=; ()00n y x =,()'00n y x =, ,()(1)01n n y x -=的n 个解1()y x ,2()y x , ,()n y x ,[]0,,x x a b ∈.又因10200[(),(),,()]10n W y x y x y x =≠ ,于是可知这n 个解在[],a b 上线性无关.定理6[3](通解结构定理) 如果()1x t ,()2x t , ,()n x t 是方程(2)的n 个线性无关的解,则方程(2)的通解可表为()()()1122n n x c x t c x t c x t =+++ , (9)其中1c ,2c , ,n c 是任意常数.且通解(9)包括了方程(2)的所有解.推论 方程(2)的线性无关解的最大个数等于n .因此可得结论: n 阶齐次线性微分方程的所有解构成一个n 维线性空间.方程(2)的一组n 个线性无关解称为方程的一个基本解组.显然,基本解组不是唯一的.特别的,当[]01W t =时称其为标准基本解组.3.非齐次线性微分方程与常数变易法考虑n 阶非齐次线性微分方程1111()()()()n n n n n n d x d x dxa t a t a t x f t dt dt dt---++++= , (1) 易见方程(2)是它的特殊形式,首先容易验证如下两个简单性质:性质1 如果_()x t 是方程(1)的解,而()x t 是方程(2)的解,则()_()x t x t +也是方程(1)的解.性质2 方程(1)的任意两个解之差必为方程(2)的解. 有如下定理:定理7 设()1x t ,()2x t , ,()n x t 是方程(2)的基本解组，而_1()x t 是方程(1)的某一解,则方程(1)的通解可表为()()()_1122()n n x c x t c x t c x t x t =++++ , (10)其中1c ,2c , ,n c 是任意常数.而且这个通解(10)包括了方程(1)的所有解.证明 根据性质1易知(10)是方程(1)的解,它包含有n 个任意常数,像定理6的证明过程一样,不难证明这些常数是彼此独立的,因此,它是方程(1)的通解.现设()x t ≈是方程(1)的任一解,则由性质2,_()()x t x t ≈-是方程(2)的解,根据定理6,必有一组确定的常数1c,2c , ,n c,使得()()()_1122()()n n x t x t c x t c x t c x t ≈-=+++,即()()()_1122()()n n x t c x t c x t c x t x t ≈=++++这就是说,方程(1)的任一解()x t可以由(10)表出,其中1c ,2c , ,n c 为相应的确定常数,由于()x t的任意性,这就证明了通解表达式(10)包括方程(1)的所有解.定理证完.设()1x t ,()2x t , ,()n x t 是方程(2)的基本解组，因而()()()1122n n x c x t c x t c x t =+++ (11)为(2)的通解,把其中的任意常数1c 看作t 的待定函数()i c t (1,2,,)i n = ,这(11) 变为1122()()()()()()n n x c t x t c t x t c t x t =+++ . (12) 将它代入方程(1)，就得到()1c t ,()2c t , ,()n c t 必须满足的一个方程,但待定函数有n 个,即()1c t ,()2c t , ,()n c t ,为了确定它们,必须再找出1n -个限制条件,在理论上,这些另加的条件可以任意给出,其法无穷,当然以运算上简便为宜,考虑下面的1n -个条件.对t 微分等式(12)得()()()()()'''''''11221122()()()()()()()n n n n x c t x t c t x t c t x t x t c t x t c t x t c t =+++++++ , 令()()'''1122()()()()0n n x t c t x t c t x t c t +++= ， 1(13)得到()()()''''1122()()()n n x c t x t c t x t c t x t =+++ . 1(14)对t 微分等式(12),并像上面一样做法,令含有函数'()i c t 的部分等于零,我们又得到一个条件()()''''''1122()()()()0n n x t c t x t c t x t c t +++= 2(13)和表达式()()()''''''''''1122()()()n n x c t x t c t x t c t x t =+++ . 2(14)继续上面做法,在最后一次我们得到第1n -个条件.()()(2)'(2)'(2)'1122()()()()0n n n n n x t c t x t c t x t c t ---+++= 1(13)n -和表达式()()()(1)(1)(1)(1)1122()()()n n n n n n x c t x t c t x t c t x t ----=+++ 1(14)n -最后,对t 微分1(14)n - 得到()()()()()()()()()1122(1)'(1)'(1)'1122()()()()()()()n n n n n n n n n n n x c t x t c t x t c t x t x t c t x t c t x t c t ---=+++++++ (14)n现将(12), 1(14) , 2(14), ,(14)n 代入(1),并注意到()1x t ,()2x t , ,()n x t 是方程(2)的解，得到()()(1)'(1)'(1)'1122()()()()()n n n n n x t c t x t c t x t c t f t ---+++= (13)n这样,我们得到了含n 个未知函数'()i c t (1,2,,i n = 的n 个方程1(13),2(13), ,(13)n 它们组成一个线性代数方程组,其系数行列式就是()()()12,,,n W x t x t x t ⎡⎤⎣⎦ ,它不等于零,因而方程的解可以唯一确定,设求得'()()i i c t t ϕ=,1,2,,i n = ,积分得'()()i i i c t t dt ϕγ=+⎰ 1,2,,i n = ,这里i γ是任意常数.将所得'()i c t (1,2,,)i n = 的表达式代入(11)即得方程(1)的解11()()()nni i i i i i x x t x t t dt γϕ===+∑∑⎰.显然,它并且是方程(1)的通解.为了得到方程的一个解,只需给常数i γ(1,2,,)i n = 以确定的值.例如,当取0i γ=(1,2,,)i n = 时,即得解1()()ni i i x x t t dt ϕ==∑⎰.从这里可以看出,如果已知对应的齐次线性微分方程的基本解组,那么非齐次线性微分方程的任一解可由求积得到.因此,对于线性微分方程来说,关键是求出齐次线性微分方程的基本解组.例1 求方程''1cos x x t+=的通解,已知它的对应齐次线性微分方程的基本解组为cos t ,sin t .解 应用常数变易法,设12()cos ()sin x c t t c t t =+为齐次方程的解. 则1()c t ,2()c t 满足下列方程组:''12''12()cos ()sin 01()(sin )()cos cos c t t c t t c t t c t t t ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩解之得'1sin ()cos tc t t=-,'2()1c t = 积分得1()ln cos c t t =,2()c t t =所以原方程的通解为cos ln cos sin x t t t t =+参考文献[1] 王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松.常微分方程第三版[M ],北京:高等教育出版社,2006. [2] 焦宝聪,王在洪,时红延.常微分方程[M ],北京:清华大学出版社,2008.[3] 王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松.常微分方程第三版[M ],北京:高等教育出版社,2006.。
线性微分方程组的基本理论
t 3t c c e c e e 1 1 2 . t 3 t 3t c e c e e c2 2 1 3t
二、非齐次线性微分方程组解的结构
x A(t ) x F (t )
'
（5.14） （5.15）
x A(t ) x
n个线性无关解，则 x (t ) 是方程组（5.15）的通解， 其中
c x (t )
i 1 i i
c1 , c2 , cn 是任意常数.
基本解组: 称方程组(5.15)的n个线性无关解
x1 (t ), x2 (t ), xn (t ) 为一个基本解组 .
解矩阵: 如果 n n 矩阵的每一列都是(5.15) 的解, 称这个矩阵为 (5.15) 的解矩阵. 基解矩阵: 由基本解组组成的矩阵为基解矩阵. 定理1* 方程组(5.15)一定存在一个基解矩阵 (t ) 并若 (t ) 为其任一解,则
c x (t )
i 1 i i
m
也是(5.15)的解。
证明: 因 xi (t )(i 1,2,, m) 是方程(5.15) 的解, 则有
dxi A(t ) xi (t ) (i 1,2,, m) cm xm ] dt dxm dx1 dx2 c1 c2 cm dt dt dt
c1x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) 0, t [a, b].
故解组线性相关.
定理4 方程组(5.15)的解组 x1 (t ), x2 (t ), xn (t )在 [a, b] 线性无关，则它们的朗斯基行列式
W (t ) 0, t [a, b]
成立,显然只需下面方程成立
常微分方程§5.2 线性微分方程组的一般理论5.2 线性微分方程组的一般理论
X (t) ( x1(t), x2 (t),, xn (t)) ( x1(t), x2 (t),, xn (t)) ( A(t) x1, A(t) x2 ,, A(t) xn ) A(t)( x1, x2 ,, xn ) A(t) X (t)
A(t)u(t) A(t) v(t) A(t)[ u(t) v(t)]
§ 5.2 General Theory of Linear ODEs
如果 x1(t), x2 (t),, xn (t) 是(5.15)的解，则
c1x1(t) c2 x2 (t) cn xn (t)
(t) (t)C A(t)(t)C A(t)(t) (t) 是解矩阵。
det (t) det (t) det C 0 a t b
(t)即(t)C 是(5.15)的基解矩阵。
证毕
§ 5.2 General Theory of Linear ODEs
1
0
x1(t0 ) 0 ,
x2
(t0
)
1,
0
0
x1(t), x2 (t),
0
xn
(t0
)
0
1
xn (t)
W (t0 ) 1 0, x1(t), x2 (t),, xn (t) 线性无关
定理得证。
§ 5.2 General Theory of Linear ODEs
设有 n 个定义在区间 a t b 上的向量函数
x11(t)
x1 (t )
x21
(t
),
线性微分方程组
bij (t (t ) ui (t ) 在区间 a t b 可微。 (t ))nn B(t ) (bij
(t ),u2 (t ),, un (t ))T u(t ) (u1
bij (t ) ui (t ) 在区间 a t b 可积。
a1n (t ) a2 n (t ) ann (t )
……….(5.2)
x1 x x 2 xn
x1 x dx x 2 ……(5.3) dt xn
………….(5.5)
定理1 如果 A(t )是n n 矩阵， f (t)是 n 维列向量， 它们都在区间
a t b 上连续，则对于区间
a t b 上的任何数 t 0 及任一常数向量
1 x (t 0 ) 2 η n
方程组(5.5)存在唯一解 (t )
第五章 线性微分方程组
本章主要内容
§ 5.1
线性微分方程组解的存在唯一性定理
§ 5.2 § 5.3
线性微分方程组的一般理论 常系数线性方程组的解法
本章要求
理解线性微分方程组解的存在唯一性定理。
掌握高阶线性微分方程与线性微分方程组的关系。 掌握线性微分方程组的解的代数结构。
dp dx 0 p x
x c2e
c1t
y c1c2ec1t
另外，由
p c1 x
dx c1 x dt
p0
xc y0
方程组的解为
x c2ec1t
y c1c2e
c1t
四 存在唯一性定理 初值问题(Cauchy Problem)
dx x A(t ) x f (t ) dt x (t0 ) η
常微分方程线性微分方程的基本理论
, xk (t ) 所作成的行列式
x1 (t ) (t ) x1 x2 (t ) (t ) x2 xk (t ) (t ) xk
W [ x1 (t ), x2 (t ), xk (t )]
( k 1) ( k 1) x1( k 1) (t ) x2 (t ) xk (t )
11
例3: sin t ,cos t在任何区间上都线性无关. 2 2 cos t ,1 sin t 在任何区间上都线性相关. 注3：函数组的线性相关与线性无关是 依赖于所取的区间。 例4: 函数 x1 (t ) t , x2 (t ) t在（ ， 上 ） 是线性无关, 而在 (0,)和 (,0) 上是线性相关的.
线性相关，不然称这些函数线性无关.
9
例2: 函数 1, t , t ,, t
2
2
n
在任何区间上都是
n
线性无关的，因为如果
c0 c1t c2t cnt 0
事实上, 如果至少有一个 ci 0,
(3.2.5)
只有当所有的 ci 0(i 0,1,, n) 时才成立.
(t ) 0,
14
c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) 0, (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) 0, c1 x1
cx
( n 1) 1 1
,
(t ) c2 x2
( n 1)
(t ) cn xn
'' '' ''
所以为方程的解.
8
dnx d n1 x dx a1 (t ) n 1 ……an 1 (t ) an (t ) x 0 (3.2.2) n dt dt dt 基本解组: 如果方程（3.2.2）的任意一个解 (t )
常微分方程5.2
(5.17)
由于W (t0 ) 0, 所以上述方程组存在非 零解 C1 , C 2 ,, C n , 则有
C1x1 (t0 ) C 2 x2 (t0 ) C n xn (t0 ) 0, 令 x(t ) C1x1 (t ) C 2 x2 (t ) C n xn (t ) (5.18)
行列式为零，即有 W (t ) 0, t [a, b].
证明 设存在不全为零的常数 C1, C2 ,, Cn , 使得 C1x1 (t ) C2 x2 (t ) Cn xn (t ) 0 , t [a, b],
C1 x11 (t ) C2 x12 (t ) Cn x1n (t ) 0, C x (t ) C x (t ) C x (t ) 0, 1 21 2 22 n 2n 则有 t [a, b], C1 xn1 (t ) C2 xn 2 (t ) Cn xnn (t ) 0,
从而（**）式为方程组（5.15）的通解
(2)下证任一解x (t )均可用 (**பைடு நூலகம் 来表示.
为此，我们只要证明可以找到这样的
C1 , C2 ,, Cn 使得x (t ) Ci xi (t )
i 1
n
为此考虑线性代数方程组
C1 x1 (t0 ) C2 x2 (t0 ) Cn xn (t0 ) x (t0 ), (5.20)
则该解组在 [a, b]上必线性相关 .
[a, b] 推论3 方程组(5.15)的n个解在其定义区间 上线性无关的充要条件 是： 它们的朗斯基行列式
W (t )在[a, b]上任一点处都不为零 .
3. 通解结构
定理5 齐线性方程组(5.15)一定存在n个线性无关的解。 证明
《常微分方程》课程教学标准
《常微分方程》课程教学标准第一部分：课程性质、课程目标与要求《常微分方程》课程，是我院数学与应用数学、信息与计算科学本科专业的必修课程，是系统地培养数学及其应用人才的重要的基础课程之一。
本课程的口的是利用微积分的思想，结合线性代数，解析儿何和普通物理学的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出现的若干最重要也是最基本的微分方程问题，使学生学会和掌握常微分方程的基础理论和方法，为他们学习其它数学理论，如数理方程、微分儿何、泛函分析等后续课程打下基础；同时，通过这门课本身的学习和训练，使学生们学习数学建模的一些基本方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题，为将来从事相关领域的科学研究和教学工作培养兴趣, 做好准备。
教学时间应安排在第四学期或第三学期。
这时，学生已学完线性代数，基本学完数学分析和普通物理中的力学部分，这是学习《常微分方程》课程必要的基础知识。
同时，建议在条件允许的情况下，介绍利用常用的数学软件解决微分方程问题的基本方法和技能，使学生初步体会计算机在解决数学及其应用问题的重要作用，增强使用数学方法和计算机解决问题的意识和能力。
第二部分：教材与学习参考书本课程拟采用山中山大学王高雄周之铭朱思铭王寿松等人编写的、高等教育出版社1993年岀版的《常微分方程》笫二版一书,作为本课程的主教材。
为了更好地理解和学习课程内容，建议学习者可以进一步阅读以下儿本重要的参考书：1、常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群，高等教育出版社，19632、常微分方程讲义（第二版），叶彦谦，人民教育出版社，19823、常微分方程讲义，周钦德、李勇，吉林大学出版社，1995第三部分：教学内容纲要和课时安排第一章绪论主要介绍如何根据科学定律和原理，并利用微积分的思想，解决实际问题所导岀的若干常微分方程实例，如物体冷却过程、R-L-C电路、单摆等问题微分方程模型的建立。
同时介绍常微分方程的若干最基本的概念。
通过这一章的学习,学习者要理解常微分方程的若干基本概念，特别要对“积分曲线”、“等斜线”、“方向场”等与儿何意义有关的概念的理解，为进一步学习后续内容打好基础；初步掌握建立常微分方程模型的一般方法。