2015-2016学年高一数学人教B版必修4同步训练：2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式 Word版含解析

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2.3.2、2.3.3向量积的运算公式及度量公式概述.

张喜林制2.3.2 向量数量积的运算律2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式考点知识清单1．向量数量积的运算律： (1)交换律： (2)分配律：(3)数乘向量结合律： 2．常用结论：=+2))(1(b a =-2))(2(b a=-⋅+)())(3(b a b a3．两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若=a ),,(21a a ),,(21b b b =则=⋅b a 4．设).,(),,(2121b b b a a a == 如果,b a ⊥则如果,02211=+b a b a 则对于任意实数k ，向量),(12b b k -与向量),(21b b 垂直．5．向量),,(),,(2121b b b a a a ==则=||a ,cos a <>=b6．若),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=所以=||AB要点核心解读1．向量数量积的运算律 a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）； )()())(2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）； c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）． 2．向量数量积的运算律的证明a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）证明：,,cos ||||,cos ||||a b a b a b b a b a b a ⋅>=<>=<=⋅.a b b a ⋅=⋅∴)()()()2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）证明：.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ①.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλλ②当0>λ时，a λ与a 同向，),,(,b a b a >=<λ.,cos ||||)(><=⋅∴b a b a b a λλ当0=λ时，,00)0()(=⋅=⋅=⋅b b a b a λ,0,cos ||||>=<b a b a λ.,cos ||||)(><=⋅∴b a b a b a λλ,0时当<λb a 与λ反向，),,,(b a b a <->=πλ],cos[||||)()(><--=⋅∴b a b a b a πλλ],cos [||||><--=b a b a λ .,cos ||||><=b a b a综合以上可得.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ ③由②同理可证得：.,cos ||||)(><=b a b a b a λλ综合以上可得：.||||)()()(b a b a b a b a λλλλ=⋅=⋅=⋅.,cos ><b ac b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）证明：作轴L 与向量c 的单位向量0c 平行．如图2-3 -2 -1，作==a ,,b 则.b a +=设点0、A 、B 在轴L 上的射影为、O ,//B A 、跟据向量的数量积的定义有,00/c a c OA ⋅=⋅= ,00//c b c AB B A ⋅=⋅== ,)(00/c b a c OB OB ⋅+=⋅=但对轴上任意三点,//B A O 、、都有,0////B A A OB += 即,)(000c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+ 上式两边同乘以|,|c 由c c c =0||得：.)(c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+∴ 得证．3．关于向量数量积的运算律需要注意的几点(1)数量积是由向量的长度和夹角来确定的，它对于这两个向量是对称的，即与次序无关，因而有交换律．.a b b a ⋅=⋅(2)从力做功情况来看，若力增大几倍，则功也增大几倍，而当力反转方向时，功要变号，于是有).()(b a b a ⋅=⋅λλ(3)两个力在同一物体上所做的功等于合力所做的功，于是有分配律.)(2121b a b a b a a ⋅+⋅=⋅+(4)值得注意的是，平面向量的数量积不满足结合律，.a C b a c b ⋅⋅=⋅)()(是错误的，这是因为c b b a ⋅⋅与都是数量，所以c b a c b a ⋅⋅⋅⋅)()(与分别表示a 的共线向量和c 的共线向量，当然就不能相等．(5)由,)()(d b c b d a c a d c b a ⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+可得向量的三个运算公式：,||||)()(22b a b a b a -=-⋅+,||2||)(222b b a a b a +⋅+=+ .||2||)(222b b a a b a +⋅-=-4．向量内积的坐标运算建立正交基底}.,{21e e 已知),(),,(2121b b b a a a ==，则.)()(121111122112211e b a e e b a e b e b e a e a b a +⋅=+⋅+=⋅.2122e b a e +⋅⋅+22221e e b a e因为,0,112212211=⋅=⋅=⋅=⋅e e e e e e e e 所以我们得到数量积的坐标表达式：5．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件设),,(),,(2121b b b a a a == 则.02211=+⇔⊥b a b a b a 6．向量的长度、距离和夹角公式(1)如图2-3 -2 -2，已知,1a a （=),2a 则=⋅=⋅=),(),(||21212a a a a a a a .2221a a +因此①这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式，这个公式用语言可以表述为：向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．(2)如果),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=从而②AB 的长就是A 、B 两点之间的距离，因此②式也是求两点的距离公式．这与我们在解析几何初步中得到的两点距离公式完全一样．(3)设),,(),,(2121b b b a a a == 则两个向量夹角余弦的坐标表达式7．如何运用坐标来解决垂直问题(1)设两非零向量),,(),,(2211y x b y x a ==则⇔⊥b a .02121=+y y x x利用向量垂直的坐标的条件，可使向量垂直问题代数他，从而有利于问题的解决．例如：已知： <<<<==βαββαα0)sin ,(cos ),sin ,(cos b a ),π则b a +与b a -是否互相垂直？并说明理由．解：由已知),sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a 有=+b a ),sin sin ,cos (cos βαβα++),sin sin ,cos (cos βαβα--=-b a又++-+=-<+αβαβα(sin )cos )(cos cos (cos )).(b a b a ).sin β)sin (sin βα-.0sin sin cos cos 2222=-+-=βαβα所以).()(b a b a -⊥+(2)平面向量数量积的坐标形式，一定要注意a 与b 的数量积等于两个向量对应坐标乘积之和．在用坐标形式判断两个向量垂直时，要与判断两个向量平行的坐标条件相区别：.0//;012212121=-⇔=+⇔⊥y x y x b a y y x x b a8．利用数量积求两个向量的夹角一定要注意两个向量的数量积为正不能得到它们的夹角一定为锐角，同样，两个向量的数量积为负也不能得到它们的夹角一定为钝角．设a ，b 为非零向量，如果,0>⋅b a 那么a ，b 的夹角为锐角或a ，b 同向，反之也成立；如果,0<⋅b a 那么a ，b 的夹角为钝角或a ，b 反向，反之也成立，典例分类剖析考点1 判断向量运算的正误[例1] 给出下列命题：①设a 、b 、c 是非零向量，则c b a ⋅⋅)(与c 共线；②若=a λ,R b ∈<λλ 且),0=/λ则0;=⋅=b a b a ③与a ⊥b 是等价命题；④若,.c b c a =⋅则;b a =⑤若a 与b 共线，则.||a b a =⋅ |;|b ⑥若.0<⋅b a 则),(b a 是钝角．其中真命题为（填序号）．[解析] 向量的加、减、数乘、数量积运算及运算律要理解透彻；注意有些命题在特殊情况下是否成立．①因为a ×b 是一个实数，不妨记作λ，故.)(λ=⋅⋅c b a ,//c c C λ=所以①正确．,0)(0=-⇔=-⇔=b a b a b a λλλλλ②因为,0=/λ所以,0=-b a 所以,b a =故②正确．③因为,c o s ||||,0θb a b a b a =⋅=⋅所以0||0||==b a 或或,0cos =θ所以0=a 或0=b 或.90 =θ又因为规定O 与任意向量垂直，所以.b a ⊥反之，.0cos 90,a b a b a ⇔=⇔>=⇔<⊥θ ,090cos ||||== b a b 故③正确．c b c a ⋅=⋅④不一定有.b a =例如,,C b c a ⊥⊥且,2b a =此时,0=⋅=⋅c b C a 但.b a =/故④错．⑤a 与b 共线b a 与⇒方向相同或方向相反0,>=⇒<b a 或.||||),(b a b a b a ±=⋅⇒=π故⑤错， ⑥因为,cos ||||,0θb a ab b a ⋅=<⋅所以,0cos <θ所以),,2(ππθ∈所以θ为钝角或平角，故⑥错．[答案] ①②③[点拨] 此例题为概念综合题，其中③是重要结论，注意深刻理解，灵活应用；⑤⑥的完整形式应用也较广泛，注意特殊情况1．已知a 、b 、c 是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为( )．;//||||||b a b a b a ⇔⋅=⋅①②a 、b 反向.||a b a -=⋅⇔|;|b |;|||b a b a b a -=+⇔⊥③④=a;c b c a b ⋅=⋅⇔⑤.000==⇔=⋅b a b a 或 1.A 2.B 3.C 4.D考点2 向量的混合运算[例2] (1)已知,2||,4||,120==>=⋅<b a b a则+a |=+⋅-+)()2(|b a b a b(2)若向量a 、b 、c 满足,0=++c b a 且,1||,3||==b a .4||=c 则=⋅+⋅+⋅a c c b b a [解析] （1）)()2(b a b a b a +⋅-++2222)(b a b b a a b a -⋅-⋅+++= 2222b b a a b b a a -⋅-++⋅+=222120cos 24164120cos 24216⨯-⨯⨯-++⨯⨯+= .1232+=(2)根据已知条件，可知a 与b 同向，c 与a+b 反向．解法一：由已知得.|,|||||b a c b a c --=+=可知向量a 与b 同向，而向量c 与它们反向，-=++=⋅+⋅+⋅∴3180cos 12180cos 40cos 3 o a c c b b a .13124-=-解法二： ),(2)(2222a c cb b ac b a c b a ⋅+⋅+⋅+++=++a c cb b a ⋅+⋅+⋅∴2)()(2222c b a c b a ++-++=2)413(0222++-=.13-=[答案] 2132)1( + 13)2(- [点拨] ①利用公式2||a a a =⋅和向量数量积的运算性质计算．②(2)问解法二是利用2222)(b b a a b a +⋅+=+推广到=++2)(C b a +++222C b a)(2a c c b b a ⋅+⋅+⋅予以解答的．2．已知,21||,5||,4||=+==b a b a 求：;)1(b a ⋅)2()2)(2(b a b a -⋅+的值，考点3 利用数量积及运算律求横[例3] 已知向量a 、b 满足,1||||==b a 且,3|23|=-b a 求|3|b a +的值．[解析] 通过数量积a ×b 来探求已知条件3|23|=-b a 与目标式|3|b a +之间的关系..1||||,1||||22==∴==b a b a又,9)23(,3|23|2=-∴=-b a b a,9||412||922=+⋅-∴b b a a 将,1||||22==b a 代入有,31=⋅b a而 ,1213169||6||9)3(222=+⨯+=+⋅+=+b b a a b a.32|3|=+∴b a[点拨] 解题过程中要注意模与数量积之间的转换．3．已知向量a 、b 、c 满足：.0a c b a ，（=++:)(:)c b b ⋅=⋅)(a c ),23(:3:1-当1||=a 时；求||b 及||c 的值．考点4 向量夹角问题[例4] 已知a ，b 是两个非零向量，且|,|||||b a b a +==求向量b 与b a -的夹角．[解析] 我们可以利用向量减法的平行四边形法则，画出以a 、b 为邻边的平行四边形．如图2-3 -2 -3所示，若,,b a ==则=,,b a D b a -=+由+==a b a ||||||,b 可知,60oABC =∠b 与D所成角是.150我们还可以利用数量积的运算，得出b 与a-b 的央角，为了巩固数量积的有关知识，我们采用第二种方法解题，由||||)(,cos b a b b a b b a b --⋅>=-<作为切入点，.)(|,||||,|||22b a b a b b a b +=∴=+=.||21||)(2||||2222b b a b b a a b -=⋅+⋅+=∴ 而.||23||||21)(2222b b b b a b b a b -=--=-⋅=-⋅ ①由+-⨯-=+⋅-=-22222||)21(2||)(2)(b b b b a a b a ,|31||22b b =而.||3||,||3)(||222b b a b b a b a =-∴=-=- ②,||||)(,cos b a b b a b b a b --⋅>=-<代入①②得⋅-=⋅->=-<23||3||||23,cos 2b b b b a b 又 ⋅=-∴>∈-<65),(],,0[,ππb a b b a b 4．已知.3||,4||==b a(1)若a 与b 的夹角为,600求+-⋅+a b a b a |),3()2(|;3||,2b a b -(2)若,61)2()32(=+⋅-b a b a 求a 与b 的夹角．考点5 垂直问题[例5] 已知,4||,5||==b a 且a 与b 的夹角为,60问：当且仅当k 为何值时，向量b ka -与b a 2+垂直？[解析] 利用,0=⋅⇔⊥b a b a 得到关于k 的方程，通过解此方程得到k 的值．于是,4||,5||==b a且a 与b 的夹角为,60o.10214560cos ||||=⨯⨯==⋅∴ b a b a 又向量b ka -与b a 2+垂直，.0)2()(=+⋅-∴b a b ka 则有k ,0||2)12(||22=-⋅-+b b a k a 即,042)12(10252=⨯--+k k解得⋅=1514k [点拨] 非零向量a ，b 若满足,0=⋅b a 则,b a ⊥反之也成立．根据这一结论我们可以解决两类问题：(1)由垂直条件求参数的值；(2)利用题谩条件证明向量垂直或直线垂直．5．已知a 、b 都是非零向量，且b a 3+与b a 57-垂直，b a 4-与b a 27-垂直，求a 与b 的夹角．考点6 向量线性运算与数量积的综合问题[例6] △ABC 三边的长分别为a 、b 、c ，以A 为圆心，r 为半径作圆，如图2 -3 -2 -4，PQ 为直径，试判断P 、Q 在什么位置时，C ⋅有最大值？[解析] 由三角形法则构造P B 及Q C 的数量积转化为实数范围内求最大值，,.Q ,B B CA QA C A AP P =+-=即,--=--=A A C---=⋅∴AC AB C B ().AP (.Q P ⋅+⋅-=B A AC AP AP .)()22.r AC AB AP AB AP AC -⋅=⋅+- =-+)(=⋅+-⋅r AC ..2..cos ||.||2r A AB +-.cos 2+-=r A bc ⋅当与同向时，⋅最大为.||.||ra AP =即当QP 与共线且同方向时，C BP ⋅有最大值+A bc cos .2r ar -[点拨] 利用||||b a b a ⋅≤⋅求最值，但必须先构造出..C B ⋅6．如图2 -3 -2 -5，在Rt△ABC 中，已知,a BC =若长为2a 的线段PQ 以点A 为中心，问：Q B P 与的夹角θ为何值时，.CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值，考点7 向量内积的坐标运算[例7] 已知),3,1(),1,2(-==b a 若存在向量c ，使得：.9,4-=⋅=⋅C b c a 试求向量c 的坐标． [解析] 设),,(y x c =则由4=⋅c a 可得;42=+y x 又由9-=⋅c b 可得.93-=+-y x于是有⎩⎨⎧-=+-=+,93,42y x y x 解得⎩⎨⎧-==⋅.2,3y x⋅-=∴)2,3(c[点拨] 已知两向量a 、b ，可以求出它们的数量积a ×b ，但是反过来，若已知向量a 及数量积a ×b ，却不能确定b ．需要像本例一样，已知两向量，及这两个向量与第三个向量的擞量积，则我们可利用数量积的坐标表示，通过解方程组的方法，确定第三个向量．7．巳知,1),4,2(),3,2(-=-==（c b a ),2-求.)()(),)((,2b a C b a b a b a b a +⋅+⋅-+⋅ 考点8 运用坐标运算处理垂直问题[例8] 在△ABC 中，),,1(),3,2(k ==且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值． [解析] 题目没有明确哪一个角是直角，要对三个角分别进行讨论，当90=A 时，;32,0312,0.-=∴=⨯+⨯∴=⋅k k A A当90=B =--=-==)3,21(,0k A B ),3,1(--k,0)3(3)1(2=-⨯+-⨯∴k;311=∴k 当oC 90=时，,0)3(1,0C C =-+-∴=⋅k k B A⋅±=∴2133k 32-=∴k 或⋅±2133311或8．(1)已知点A(1，2)和B(4，一1)，问在y 轴上是否存在一点C ，使得.90=∠ACB 若不存在，请说明理由；若存在，求出点C 的坐标．(2)已知),2,4(=a 求与a 垂直的单位向量的坐标，考点9 运用坐标运算求向量的夹角[例9] 已知a 、b 是两个非零向量，同时满足==b a |||,|b a -求a 与b a +的夹角．[解析] 解法一：根据,|||||,|||22b a b a ==有又由|,|||b a b -=得,||.2||||222b b a a b +-=.||212a b a =⋅∴ 而,||3||2||||2222a b b a a b a =+⋅+=+.||3||a b a =+∴设a 与b a +的夹角为θ，则,23||3||||21||||.||)(cos 22=⋅+=++=a a a a b a a b a a θ .30,1800o o =∴≤≤θθ解法二：设向量),,(),,(2211y x b y x a ==.|,|||22222121y x y x b a +=+∴=由|,|||b a b -= 得),(2121212121y x y y x x +=+即⋅+=⋅)(212121y x b a 由),(3)(212)(2||2121212121212y x y x y x b a +=+⨯++=+ 得.3||211y x b a +=+设a 与b a +的夹角为θ，则⋅=+⋅⋅++++=+⋅+=233)(21)(||||)(cos 212121212121212y x y x y x y x b a a b a a t θ .30,1800 =∴≤≤θθ解法三：根据向量加法的几何意义，作图（如图2 -3 -2 -6)．在平面内任取一点O ．作B b a 0,,以==为邻边作平行四边形OACB.|,|||b a = 即|,|||=∴ 四边形OACB 为菱形，OC 平分,AOB ∠这时,,0b a BA b a C -=+=而|,|||||b a b a -==即 .||||||==∴ △AOB 为正三角形，则,60 =∠AOB 于是,30 =∠AOC即a 与b a +的夹角为.30[点拨] 基于平面向量的表示上的差异，也就是表示方法的不同，才产生了以上三种不同的解法．9．(1)已知),1,1(),432,2(=-=b a 求a 与b 的夹角．(2)已知),1,1(),2,1(==b a 且a 与b a λ+的夹角为锐角，求实数A 的取值范围，考点10 向量坐标运算的综合应用[例10] 已知),23,21(),1,3(=-=b a 且存在实数k 和t ，使得,)3(2b t a x -+=,tb ka y +-=且 ,y x ⊥试求t t k 2+的最小值．[解析] 由题意可得,2)1()3(||22=-+=a,1)23()21(||22=+=b ,0231213=⨯-⨯=⋅b a 故有.b a ⊥ 由,y x ⊥知,0)(])3([2=+-⋅-+tb ka b t a即,0)3()3(2232=⋅+-+-+-b a k k t t b t t ka.00)3(1)3(22232=⋅+-+⋅-+⋅-∴k k t t t t k∴ 可得 433t t k -=故 ,47)2(41)34(41222-+=-+=+t t t t t k 即当2-=t 时，t t k 2+有最小值为⋅-47 [点拨] 向量与函数知识相结合的综合问题，关键是正确应用向量数量积的坐标形式，将其转化为函数问题，然后利用函数的相关知识来解决，10．已知向量,sin 2(),1,sin 3x b x a ==（],32,6[),1ππ∈x 记函数,)(b a x f ⋅Λ求函数)(x f 的值域．学业水平测试1．若),5,3(),2,(-==b a λ且a 与b 的夹角为钝角，则A 的取值范围是( )．),310.(+∞A ),310[+∞⋅B )310,.(-∞C )310,.(-∞D2．已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为、)2,1(A ),1,0()1,4(-C B 、则△ABC 的形状为( )．A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不对3．给定两个向量),1,2(),4,3(-==b a 且),()(b a xb a -⊥+则x 等于( )．23.A 223.B 323.C 423.D 4．已知),1,1(),2,3(--B A 若点)21,(-x P 在线段AB 的中垂线上，则=x 5．已知,,21),1,0(),0,1(mj i b j a j i +=-===给出下列命题：①若a 与b 的夹角为锐角，则;21<m ②当且仅当21=m 时，a 与b 互相垂直；③a 与b 不可能是方向相反的向量；④若|,|||b a =则.2-=m 其中正确的命题的序号是6．求与向量)1,2(),2,1(==b a 夹角相等的单位向量c 的坐标高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分×8 =40分）1．（2007年湖北高考题）设b a a 在),3,4(=上的投影为,225b 在x 轴上的投影为2，且,14||≤b 则b 为( )． )14,2(⋅A )72,2.(-B )72,2.(-C )8,2(⋅D 2．（2009年辽宁高考题）平面向量a 与b 的夹角为,2,60（=a=+=|2|,1||),0b a b 则( )． 3.A 32.B 4.C 12.D3．与)4,3(=a 垂直的单位向量是( ）．)53,54.(A )53,54.(--B )53,54.(-C 或)53,54(- )53,54.(D 或)53,54(-- 4．若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足+-OB O ().OC B (,0)2=-则△ABC 的形状为( )．A ．正三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形 D.A 、B 、C 均不正确5．（2011年辽宁理）若a ，b ，c 均为单位向量，且-=⋅a b a (,0,0)()≤-⋅c b c 则||c b a -+的最大值为( )．12.-A 1.B 2.C 2.D6．（2007年重庆高考题）已知向量),5,3(),6,4(==O 且,//,0⊥则向量=0( ))72,73.(-A )214,72.(-B )72,73.(-C )214,72.(-D 7．（2010年安徽高考题）设向量),21,21(),0,1(==b a 则下列结论中正确的是( )． ||||.b a A = 22.=⋅b a B b a C -.与b 垂直 b a D //. 8．（2009年陕西高考题）在△ABC 中，M 是BC 的中点，,1A =M 点P 在AM 上且满足⋅=PA PM AP 则,2)(PC PB +等于( )．94.-A 34.-B 34.C 94.D 二、填空题f5分x4 =20分）9．（2008年江西高考题）直角坐标平面上三点,3()2,1(B A 、),7,9()2C 、-若E 、F 为线段BC 的三等分点，则=⋅F E A A10．（2008年宁夏高考题）已知平面向量,4(),3,1(=-=b a b a +-λ),2与a 垂直，则=λ11．（2010年广东高考题）若向量===c b x a ),1,2,1(),,1,1(),1,1,1(满足条件,2)2()(-=⋅-b a c 则=x12．（2011年安徽理）已知向量a ，b 满足=-⋅+)()2(b a b a ,6-且,2||,1||==b a三、解答题（10分×4 =40分）13．(1)已知,120,,1||,1||ob a b a >=<==计算向量b a -2在向里b a +方向上的投影．(2)已知,4||,6||==b a a 与b 的夹角为,60 求).2(b a +)3(b a -的值．14．已知向量.),1,3(),1,2(),2,3(R t c b a ∈-==-=(1)求||tb a +的最小值及相应的t 值；(2)若tb a -与c 共线，求实数t 的值．15.如图2-3 -2 -7，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线BD 上的一点，PECF 是矩形，用向量法证明： ;)1(EF PA =.)2(EF PA ⊥16．平面内有向量)1,2(),1,5(B ),7,1(===OP O OA 点X 为直线OP 上的一个动点．(1)当≡⋅X 取最小值时，求O 的坐标；(2)当点X 满足(I)的条件和结论时，求AXB ∠cos 的值，。

高中数学人教B版必修4 2.3 教学课件《向量数量积的坐标运算与度量公式》(人教B版)

高中数学2.3.3 向量数量积的坐标表示与度量公式教案新人教B版必修4

2.3.3向量数量积的坐标表示与度量公式(舞蹈附中郭玥 )
（一）教学目标
1．知识与技能：
（1）掌握向量内积的坐标运算及其应用。

（2）掌握用向量的坐标表示向量垂直的条件。

（3）掌握向量的长度、距离和夹角公式。

2．过程与方法：
通过解题实践，体会公式和向量垂直的条件的应用。

3．情感、态度与价值观：
通过用向量的坐标反映向量的数量积，让学生体会到代数与几何的完美结合，说明事物是可以相互联系与相互转化的，激发学生的学习兴趣。

（二）教学重点、难点
教学重点：向量数量积的坐标表示以及由此推得的垂直条件，长度、距离和夹角公式的坐标表示。

教学难点：向量的长度、距离、夹角、垂直条件的坐标表示的灵活运用。

（三）教学方法：
本节的内容是在前面学习了向量的数量积的定义、性质、运算律的基础上，给出了向量内积的坐标运算公式，两向量垂直的坐标公式，向量的长度、运算、夹角的坐标公式，从而使向量数量积的运算代数化，在教学中，要引导学生分析解题思路，总结解题规律，提高学生分析问题解决问题的能力。

垂直平分线。

段的垂直平分线需要
证明什么？
学生：需要证明垂直
师生交流，）能够灵活运用所学知识。

高中数学第二章平面向量 2.3.3 向量数量积的坐标运

(2)求向量a与b夹角的余弦值. 解由a·b＝|a||b|cos θ，
∴cos θ＝|aa|·|bb|＝ 21×5＝102.
要点三向量垂直的坐标表示
例3 已知在△ABC中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)， AD为BC边上的高，求|A→D|与点D的坐标.
解设D点坐标为(x，y)，
2.你能用向量法推导两点间距离公式|A→B|＝ →
答 AB＝(x2－x1，y2－y1)，
x2－x12＋y2－y12吗？
∴A→B·A→B＝A→B2＝|A→B|2＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2，
即|A→B|＝ x2－x12＋y2－y12.
[预习导引]
1.平面向量数量积的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝ x1x2＋y1y2 . 即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和 .
∴C→A＝O→A－O→C＝(1－2t,7－t)， C→B＝O→B－O→C＝(5－2t,1－t)， ∴C→A·C→B＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)
＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8. ∴当 t＝2 时，C→A·C→B取得最小值，此时O→C＝(4,2).
(2)对(1)中求出的点C，求cos∠ACB.
第二章——
2.3 平面向量的数量积
2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式
[学习目标] 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算. 2.能根据向量的坐标计算向量的长度，并推导平面内两点间的距离公式. 3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.
2.两个向量垂直的坐标表示
设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔ x1x2＋y1y2＝0 .

高中数学人教B版必修4导学案：2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式

学习目标1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算。

2.掌握向量垂直的坐标表示及夹角的坐标表示及平面向量点间的距离公式。

学习过程一、课前准备 ~114页，找出疑惑之处）二、新课导学1. 向量内积的坐标运算已知两个非零向量()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,a b=⋅ （坐标形式）。

2.用向量的坐标表示两个向量垂直的条件：设()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,则a b ⊥⇔_________________ 3.平面内两点间的距离公式（１）设a=(x,y),则2a =________________或a ________________。

（２）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为22(,)AB x y 11（x ,y ),，则：AB =______________________________________（平面内两点间的距离公式）4.两向量夹角的余弦（0≤θ≤π）cos θ＝_______________________＝_________________三、※典型例题例1设a = (5， -7)，b = (-6， -4)，求a b •及a 、b 间的夹角θ变式：已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少? 例2 已知A (1， 2)，B (2， 3)，C (-2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明.变式：在△ABC 中，=(2， 3)，=(1， k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值.56365四、巩固练习1.已知(4,3),(5,6)a b =-=则23a 4a b=-⋅（）A.23B.57C.63D.832.已知()()a 3,4,b=5,12=则a b 与夹角的余弦为（）A. B.65 C. D. 3.()a=2,3,b=(2,4),-则()()a+b a-b =⋅__________。

高中数学人教B版必修四2.3.3《向量数量积的坐标运算与度量公式》ppt课件

(1)求向量 n； (2)设向量 a＝(1,0)，向量 b＝(cosx，sinx)，其中 x∈R，若 n·a＝0，试求|n＋b|的取值范围．
[解析] (1)设 n＝(x，y)，
x＋y＝－1，
根据题意，得
2· x2＋y2cos34π＝－1
，
解得yx＝＝0－1 ，或yx＝＝－0 1 . ∴n＝(－1,0)或 n＝(0，－1)．
易错疑难辨析
•
若a＝(λ ，2)、b＝(－3,5)，且a与b的
夹角是锐角，则λ 的取值范围是( )
A．－∞，130 C．130，＋∞
B．－∞，－65∪－65，130 D．－∞，130
[错解] ∵a 与 b 的夹角是锐角，
∴a·b＝－3λ＋10>0，∴λ<130.故选 A．
B．(4,0)
C．(130，0)
D．(3,0)
• [答案] D
[解析] 设点 P 的坐标为(x,0)，则 P→A＝(2－x，－1)，P→B＝(4－x,2)， ∴P→A·P→B＝(2－x)(4－x)－2＝x2－6x＋6＝(x－3)2－3， ∴当 x＝3 时，P→A·P→B取最小值－3，故 P(3,0)．
成才之路 ·数学
人教B版 ·必修4
路漫漫其修远兮吾将上下而求索
第二章平面向量
第二章 2.3 平面向量的数量积
2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式
1 课前自主预习
2 课堂典例讲练
4 思想方法技巧
3 易错疑难辨析
5 课时作业
课前自主预习
• “我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞飞过绝望，不去想他们拥有美丽的太阳，我看见每天的夕阳也会有变化，我知道我一直有双隐形的翅膀，带我飞给我希望……”如果能为平面向量的数量积插上 “翅膀”，它又能飞多远呢？本节讲解平面向量数量积的“翅膀”——坐标表示，它使平面向量的数量

人教B版高中数学必修四《2.3 平面向量的数量积 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式》_2

2.3.3向量数量积的坐标运算与度量公式教学设计一、背景描述在运算教学中，教师往往会从实效的角度出发，忽略了公式的本源而更加注重公式的应用。

结果会导致学生生搬硬套，不能灵活解题。

实际上，运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，教学设计要呈现出高中数学核心要素——数学运算。

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程。

主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等。

在数学运算核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展数学运算能力；能通过运算促进数学思维发展。

二、教材分析前面我们学习了平面向量的数量积运算以及平面向量的坐标表示，这为研究向量数量积的坐标表示奠定了知识和方法的基础。

由于数量积运算涉及了向量的模与夹角，因此在实现了数量积运算的坐标表示之后，推导出模与夹角的度量公式。

本节课把数量积运算的研究从“定性”推到“定量”的深度，使空间结构系统地代数化，为用“数”的运算解决“形”的问题搭建了桥梁。

不仅使使学生形成了完整的知识体系，而且对后续用空间向量求解立体几何问题有着深远的意义。

三、学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了向量数量积的性质、运算及向量线性运算的坐标运算，并且初步体会了研究向量的一般方法。

从知识层面上看，学生对于本节课的学习相对容易。

但由于学生数学思维能力较弱，知识迁移能力不强，体现在对向量运算法则易混以及运算不准确等方面。

鉴于农村普通高中学生基础薄弱，数学思维能力较差的特点，教师要着力于引导学生构建知识体系，再设计合理的导学案，提升学生运算素养；让学生主动参与课堂并组织互助式学习得到帮助，缩小学生学习差距，共同进步。

四、重难点分析由以上教材分析和学情分析，确定本节教学重难点如下：1.教学重点：向量数量积的坐标表示2.教学难点：向量数量积坐标表示的应用五、目标分析1.通过探究数量积的坐标运算，掌握两个向量数量积的坐标表达形式；2.会利用坐标形式进行平面向量数量积的运算解决有关长度、角度、垂直等几何问题；3.通过向量数量积的坐标表示，进一步加深学生对数量积的认识，提高运算速度，培养运算能力，提高归纳类比的能力及数形结合的能力，提升学生数学学科素养。

人教B版高中数学必修四《2.3 平面向量的数量积 2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式》_0

平面向量的数量积教学目标:1、掌握平面向量数量积的坐标表示方法；2、掌握向量垂直的坐标表示的条件，及平面内两点间的距离公式；3、能用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题；4、培养学生数形结合、转化与化归的数学思想；教学重点：平面向量数量积的坐标表示；教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合应用；教学过程：一、复习旧知1、平面向量数量积的定义：2、已知4,6==b a ，若与的夹角为300 ，则=⋅（）3、已知a 与b 的夹角为600，1,2==b a ，则=+b a （）4、已知254,9,12-=⋅==b a b a ，则a 与b 的夹角为（）二、新课讲解探究（一）：平面向量数量积的坐标表示思考1：设j i ,是分别与x 轴，y 轴同向的两个单位向量，若两个非零向量()11,y x =,()22,y x =，则向量与用i,j 如何表示？思考2：对于上述向量j i ,，则______,___,22=⋅==j i j i 根据数量积的运算性质，___=⋅请用文字描述平面向量数量积的坐标表示：探究（二）：向量的模和夹角的坐标表示思考1：设向量)(y x ,=，利用数量积的表示，___=a思考2：如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为()11,y x ，()22,y x ，那么向量a 的坐标如何表示？____=a思考3：设向量()11,y x a =，()22,y x b =，若⊥，则其坐标之间具有怎样的关系？反之成立吗？思考4：设，是两个非零向量，其夹角为θ，若()11,y x a =，()22,y x b =，那么，θcos 如何用坐标表示？三、典型例题【例1】已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2,5)，c ＝(2,1)．求：(1)a ·b ；(2)(a ＋b )·(2a －b )；(3)(a ·b )·c ，a ·(b ·c )。

[原创]新人教B数学：2.3.3《向量数量积的坐标运算与度量公式》课件(新人教B必修4)

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2020/4/14
探究练习：b若两x2非i零y向 2 j ,量则aa bx1i
y1 j ,
也就是：a b
由于a
x1i
x1x2
y1
j
y1
y2
a
（x1，y1）
b x2i y2 j b （x2，y2）
从a b x1x2 y1 y2得到：
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式
2020/4/14
向量数量积的坐标运算及度量公式
• 掌握数量积的坐标表达式，会进行平面数量积的坐标运算
• 能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积的坐标表达式判断两个平面向量的垂直关系
2020/4/14
一、复习练习:
1、若 | a | 2,| b | 1, a与b夹角为60。，a b | a || b | cos
), 则
y1 y2
0
x x y y 0 1 2 2020/4/14
12
例4（P113例2）已知A(1，2)，B(2，3)，
C(-2，5)，试判断ABC的形状，并给出证
明.
证：如右图，在平BC为直角三角形。
y C(-2,5)
AB (2 1,3 2) (1,1)
5、若i，j分别为与x轴、y轴方向
a a | a |2 | a | a a
相同的两个单位向量,
则i i ( 1 ); j j ( 1 );
2020/4/14 ij
j i
(0
);
提出问题
• 向量的加法、减法、数乘都可以用“坐标语言”表示，向量的数量积能否用“坐标语言”表示呢？
则a b （ 1 ）

数学人教B版必修4课堂探究：2.3.3向量数量积的坐标运

课堂探究探究一向量数量积的坐标运算已知向量的坐标，直接用公式来计算数量积、模和夹角等问题；若向量的坐标是未知的，一般考虑用定义和运算律进行转化．【例1】已知向量a＝e1－e2，b＝4e1＋3e2，其中e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．(1)试计算a·b及|a＋b|的值；(2)求向量a与b夹角的余弦值．解：(1)a＝e1－e2＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)，b＝4e1＋3e2＝4(1,0)＋3(0,1)＝(4,3)，所以a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，a＋b＝(5,2)，所以|a＋b|(2)设向量a与b的夹角为x，则cos ＝a ba b∙10．探究二向量的模、夹角的坐标表示1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a≠0，则向量a与b垂直⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0．2．向量垂直的坐标表示x1x2＋y1y2＝0与向量共线的坐标表示x1y2－x2y1＝0很容易混淆，应仔细比较并熟记、当难以区分时，要从意义上鉴别，垂直是a·b＝0，而共线是方向相同或相反．【例2】已知向量a＝(－2，－1)，a·b＝10，|a－b||b|＝()A．B．C．20 D．40解析：设b＝(x，y)，由a＝(－2，－1)，a·b＝10，可得－2x－y＝10．①a－b＝(－2－x，－1－y)，所以|a－b|②由①②可得x＝－4，y＝－2．所以b＝(－4，－2)，|b|答案：A反思本题是利用公式|a|(其中a＝(a1，a2))求解．【例3】在△ABC中，AB＝(2,3)，AC＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，求k 的值．分析：要对△ABC的三个内角分别讨论，并利用坐标反映垂直关系．解：当A＝90°时，AB·AC＝0，所以2×1＋3×k ＝0．所以k ＝－23．当B ＝90°时，AB ·BC ＝0，BC ＝AC －AB ＝(1－2，k －3)＝(－1，k －3)，所以2×(－1)＋3×(k －3)＝0．所以k ＝113．当C ＝90°时，AC ·BC ＝0，所以－1＋k (k －3)＝0，所以k．因此，当k ＝－23，或k ＝113，或k时，△ABC 的一个内角为直角．探究三数量积的坐标表示在几何中的应用用向量法解决几何问题的关键是把有关的边赋予向量，然后把几何图形中的夹角、垂直、长度等问题都统一为向量的坐标运算即可，最后再回归到原始几何图形中进行说明．【例4】以原点O 和点A (5,2)为两个顶点作等腰直角△ABO ，B 为直角顶点，试求AB 的坐标．解：设B (x ，y )，则OB ＝(x ，y )，AB ＝(x －5，y －2)．因为△ABO 是等腰直角三角形，故OB ⊥AB ，且|OB |＝|AB |，所以2222(5)(2)0,(5)(2),x x y y x y x y -+-=⎧⎨+=-+-⎩ 解得117,232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或22327.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以AB ＝73,22⎛⎫- ⎪⎝⎭或AB ＝73,22⎛⎫- ⎪⎝⎭．【例5】已知a ＝1)，b＝12⎛ ⎝⎭，且存在实数k 和t 使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求2k t t+的最小值．解：由题意有|a |＝2，|b |＝1．因为a ·b12－1×2＝0，所以a ⊥b ．因为x ·y ＝0，所以[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，化简得k ＝t 3－3t 4，所以2k t t +＝14(t 2＋4t－3)＝14(t＋2)2－74．当t＝－2时，2k tt+有最小值为－74．反思本题的关键是注意到a⊥b，以此来化简x·y＝0．探究四易错辨析易错点：因a·b<0理解不完全而致误【例6】设平面向量a＝(－2,1)，b＝(λ，－1)(λ∈R)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是()A．1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭∪(2，＋∞) B．(2，＋∞) C．1,2⎛⎫-+∞⎪⎝⎭D．1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭错解：由a与b的夹角为钝角，得a·b<0，即－2λ－1<0，解得λ>－12．错因分析：a·b<0⇔a与b的夹角为钝角或平角．因此上述解法中需要对结论进行检验，把a与b的夹角为平角的情况舍去．正解：a·b<0⇒(－2,1)·(λ，－1)<0⇒λ>－12．又设b＝t a(t<0)，则(λ，－1)＝(－2t，t)，所以t＝－1，λ＝2，即λ＝2时，a和b反向，且共线，所以λ∈1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭∪(2，＋∞)．故选A．答案：A。

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2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式
一、基础过关
1．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k等于 ( )
A．－12 B．－6 C．6 D．12
2．已知a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为 ( )

A．－17 B.17 C．－16 D.16
3．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|等于 ( )
A.3 B．23 C．4 D．12
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )

A.79，73 B.－73，－79
C.73，79 D.－79，－73
5．若向量a＝(1,2)，b＝(1，－1)，则2a＋b与a－b的夹角等于 ( )
A．－π4 B.π6

C.π4 D.3π4
6．已知a＝(3，3)，b＝(1,0)，则(a－2b)·b＝________.
7．若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝45，则b＝________.
8．已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)．
(1)求a与b的夹角的余弦；
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．

二、能力提升
9．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝52，则|b|等于 ( )
A.5 B.10 C．5 D．25
10．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的射影为______．

11．在△ABC中，AB→＝(2,3)，AC→＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值．
2

12．设a＝(1,2)，b＝(－2，－3)，又c＝2a＋b，d＝a＋mb，若c与d夹角为45°，求实数m
的值．

三、探究与拓展
13．已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD两对角线所成的锐角的余
弦值．
3

答案
1．D 2.A 3.B 4.D 5.C 6．1 7.(－4,8) 8.(1)2525 (2)529 9．C 10.655
11．解 ∵AB→＝(2,3)，AC→＝(1，k)，
∴BC→＝AC→－AB→＝(－1，k－3)．
若∠A＝90°，则AB→·AC→＝2×1＋3×k＝0，∴k＝－23；

若∠B＝90°，则AB→·BC→
＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，

∴k＝113；

若∠C＝90°，则AC→·BC→
＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，

∴k＝3±132.

故所求k的值为－23或113或3±132.
12．解 ∵a＝(1,2)，b＝(－2，－3)，
∴c＝2a＋b＝2(1,2)＋(－2，－3)
＝(0,1)，
d＝a＋mb＝(1,2)＋m(－2，－3)
＝(1－2m,2－3m)，
∴c·d＝0×(1－2m)＋1×(2－3m)
＝2－3m.
又∵|c|＝1，|d|＝1－2m2＋2－3m2，

∴cos 45°＝c·d|c||d|＝2－3m1－2m2＋2－3m2＝22.

化简得5m2－8m＋3＝0，解得m＝1或m＝35.
13．(1)证明 ∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，
∴AB→＝(1,1)，AD→＝(－3,3)，
又∵AB→·AD→＝1×(－3)＋1×3＝0，
∴AB→⊥AD→，即AB⊥AD.
(2)解 AB→⊥AD→，四边形ABCD为矩形，
4

∴AB→＝DC→.
设C点坐标为(x，y)，则AB→＝(1,1)，DC→＝(x＋1，y－4)，
∴ x＋1＝1，y－4＝1，得 x＝0，y＝5.
∴C点坐标为(0,5)．
由于AC→＝(－2,4)，BD→＝(－4,2)，
所以AC→·BD→＝8＋8＝16>0，
|AC→|＝2 5，|BD→|＝2 5.
设AC→与BD→夹角为θ，则

cos θ＝AC→·BD→|AC→|·|BD→|＝1620＝45>0，
∴解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.