离散数学组合计数基础篇
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离散数学-第二章 计数法初步(一)
12
有重复的组合
【例】从包含苹果、橙子、和梨的框子里选4
个水果。如果不关心选择水果的顺序，且只关 心水果的类型，那么当框中每类水果至少有4 个时有多少种选法？
2020/12/29
计算机应用技术研究所
13
有重复的组合
【解答】共有15种方式：4个苹果；4个橙子；4个梨； 3个苹果，1个橙子；3个苹果，1个梨；3个梨，1个苹果； 3个橙子，1个梨；3个梨，1个苹果；3 个梨，1个橙子； 2个苹果，2个橙子；2个苹果，2个梨；2个橙子，2个梨 2个苹果，1个橙子，1个梨；2个橙子，1个苹果，1个梨 2个梨，1个苹果，1个橙子。
C(3 11,11) C(13,11) C(13, 2) 1312 78 1 2
2020/12/29
计算机应用技术研究所
20
计数法初步
➢ 基本原理 ➢ 排列与组合 ➢ 容斥原理 ➢ 鸽笼原理
2020/12/29
计算机应用技术研究所
21
容斥原理
【定理2.4】设A和B是任意有
限集合，有：
n1×n2 × ×nt
2020/12/29
计算机应用技术研究所
3
加法原理
假定X1, X2, …, Xt均为集合，第i个集合Xi有ni个 元素。如{X1, X2, …, Xt}为两两不相交的集合， 则可以从X1, X2, …, Xt中选出的元素总数为：
n1 + n2 + … + nt
即集合X1∪X2∪…∪Xt含有n1+n2+ … +nt个元素。
【定理2.7】(鸽笼原理) 若有n+1只鸽子 住进n个鸽笼，则有一个鸽笼至少住进2只 鸽子。
2020/12/29
离散数学组合分析初步
常见的组合恒等式
杨辉三角恒等式
杨辉三角是组合数学中的经典工具，其恒等式表示了组合 数之间的关系，如C(n,k) = C(n, n-k)等。
帕斯卡恒等式
帕斯卡恒等式是组合恒等式中的另一个重要公式，它描述 了阶乘与组合数之间的关系，如n! = n*(n-1)!。
欧拉恒等式
欧拉恒等式是组合恒等式中的又一经典公式，它描述了二 项式系数与阶乘之间的关系，如C(n,k) = n! / (k!(n-k)!) 。
离散数学组合分析初步
目
CONTENCT
录
• 组合数学概述 • 组合计数原理 • 组合恒等式 • 组合排列问题 • 组合问题求解方法 • 组合数学的应用实例
01
组合数学概述
组合数学的定义
02
01
03
组合数学是一门研究离散结构和组合关系的数学学科 。
它主要关注计数、排列和组合问题，以及与之相关的 结构和性质。
归纳法
归纳法是一种通过观察和总结规律来求解问题的方法。在组合问题中，归 纳法通常用于求解具有规律性或模式的问题。
归纳法的关键在于找到问题的规律性或模式，并利用这些规律或模式来推 导出问题的解。
归纳法的优点是思路简单，易于操作。但是，对于一些没有明显规律或模 式的问题，归纳法可能无法适用。
反证法
反证法是一种通过假设与已知条件矛盾 的结论来推导出问题解的方法。在组合 问题中，反证法通常用于证明某些组合 恒等式或不等式。
组合数学在计算机科学、统计学、运筹学和其他领域 都有广泛的应用。
组合数学的应用领域
80%
计算机科学
组合数学在计算机科学中用于设 计和分析算法，特别是在数据结 构和算法方面。
100%
离散数学第12章基本的组合计数公式
离散数学
第12章 基本的组合计数公式
2020年4月6日星期一
前言
组合数学是一个古老而又年轻的数学 分支。
据传说，大禹在4000多年前就观察 到神龟背上的幻方…...
前言
幻方可以看
作是一个3阶方阵， 4 9 2
其元素是1到9的正 整数，每行、每列
357
以及两条对角线的 和都是15。
816
前言
贾宪
前言
组合数学经常使用的方法并不高深复杂。 最主要的方法是计数时的合理分类和组合模型的 转换。
但是，要学好组合数学并非易事，既需要 一定的数学修养，也要进行相当的训练。
计数问题
计数问题是组合数学研究的主要问题之一。西 班 牙 数 学 家 Abraham ben Meir ibn Ezra(1092 ～ 1167)和法国数学家、哲学家、天文学家Levi ben Gerson(1288～1344)是排列与组合领域的两位早期 研究者。另外，法国数学家Blaise Pascal还发明 了一种机械计算器，这种计算器非常类似于20世纪 40年代在数字电子计算机发明之前使用的一种机械 计算器。同时，计数技术在数学和计算机科学中是 很重要的，特别是在《数据结构》、《算法分析与 设计》等后续课程中有非常重要的应用。
例1 在允许移动被切割的物体的情况下， 最少用多少次切割可以将 333 的立方 体切成 27个单位边长的立方体？
中间的小立方体的6个面都是切割产生的面，每次切割 至多产生一个面，至少需要6次切割。存在一种切割方 法恰好用 6 次切割。
例2 100个选手淘汰赛，为产生冠军至少需要多少轮比赛？ 方法1：50+25+12+6+3+2+1=99 方法2：比赛次数与淘汰人数之间存在一一对应，总计淘 汰99人，因此至少需要99场比赛.
第12章 基本的组合计数公式
2020年4月6日星期一
前言
组合数学是一个古老而又年轻的数学 分支。
据传说，大禹在4000多年前就观察 到神龟背上的幻方…...
前言
幻方可以看
作是一个3阶方阵， 4 9 2
其元素是1到9的正 整数，每行、每列
357
以及两条对角线的 和都是15。
816
前言
贾宪
前言
组合数学经常使用的方法并不高深复杂。 最主要的方法是计数时的合理分类和组合模型的 转换。
但是，要学好组合数学并非易事，既需要 一定的数学修养，也要进行相当的训练。
计数问题
计数问题是组合数学研究的主要问题之一。西 班 牙 数 学 家 Abraham ben Meir ibn Ezra(1092 ～ 1167)和法国数学家、哲学家、天文学家Levi ben Gerson(1288～1344)是排列与组合领域的两位早期 研究者。另外，法国数学家Blaise Pascal还发明 了一种机械计算器，这种计算器非常类似于20世纪 40年代在数字电子计算机发明之前使用的一种机械 计算器。同时，计数技术在数学和计算机科学中是 很重要的，特别是在《数据结构》、《算法分析与 设计》等后续课程中有非常重要的应用。
例1 在允许移动被切割的物体的情况下， 最少用多少次切割可以将 333 的立方 体切成 27个单位边长的立方体？
中间的小立方体的6个面都是切割产生的面，每次切割 至多产生一个面，至少需要6次切割。存在一种切割方 法恰好用 6 次切割。
例2 100个选手淘汰赛，为产生冠军至少需要多少轮比赛？ 方法1：50+25+12+6+3+2+1=99 方法2：比赛次数与淘汰人数之间存在一一对应，总计淘 汰99人，因此至少需要99场比赛.
计数原理与排列组合(基础篇)
计数原理与排列组合我们先对所学知识进行一个简单的梳理：分类加法计数原理和分步乘法计数原理是排列组合组合的基础，只有我们对这两种计数原理理解到位，我们才能更好、更深刻理解排列组合，并利用它们解决一些相关问题。
进一步讲，只有较好理解了组合的意义，我们才能对“二项式”展开有更加建党而清晰的理解——组合的基本操作在于“选择”，而二项式展开正是运用选择的思想进行的。
另外，排列组合是我们学好后期“概率问题”的一个基础。
好了，我们开始吧。
基础篇：1、 两种计数原理： 1.1加法计数原理问题引入：在200321，，，， 中，能够被5整除的数共有几个？分类加法计数原理：完成一件事情，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N +⋅⋅⋅++=21种不同的方法.（也称加法原理）1.2乘法计数原理问题引入：从A 村道B 村的道路有3条，从B 村去C 村的路有2条，从C 村去D 的道路有3条，小明要从A 村经过B 村，再经过C 村，最后到D 村，一共有多少条路线可以选择？从A 村经 B 村去D 村分作 3 步：第一步, 由A 村去B 村有 3 种方法, 第二步, 由B 村去C 村有 2 种方法,第三步，从C 村到Ｄ村有３种方法分步乘法计数原理：完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法.那么完成这件事共有n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21种不同的方法.（也称乘法原理） 2、排列与组合基础准备：阶乘n的阶乘：正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘记为：n!即：n*(n-1)*(n-2)......2*1=n!2.1、排列：从n个不同元素中,任取m(m£n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.排列数：简单来说就是所有不同排列的个数。
离散数学组合计数基础篇共126页文档
离散数学组合计数基础篇
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
60、人民的幸福是至高无个的法。— 。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
离散数学第七章 计数
乘法原理
③ 如果选取事物O1，O2，…，Om分别有n1， n2，…，nm种方法，并且选取诸事物方法不重 叠，则事物O1与O2与…与Om依次选取有 n1n2…nm种方法。
乘法原理
例7.1.2 一个学生要选修两门课，第一门课在 上午4小时内任选1小时，第二门课在下午3小 时内也可任选1小时，试问该生有多少种可能 的时间安排？
由于在圆排列中重要的是元素彼此间相对 位置，因此一个圆排列经过旋转后得到的仍是 同一个圆排列，而线排列则不然了，只要有一 个元素的位置发生变化便得到不同的排列。考 虑到对每一个固定的n个元素取r个的圆排列均 恰有 r 种不同方式展成 r 个不同线排列，不同的 圆排列展成的线排列彼此也必不同，全部圆排 列展出的恰好就是全部线排列，因此线排列数 是圆排列数的r倍，于是 K(n，r)=P(n，r)/r 特别当r=n时，K(n，n)=P(n，n)/n=(n-1)!
鸽洞原理
因此74个数t1,t2,……,t37,t1+13,……t37+13 都位于1和73之间，根据鸽洞原理，它们之中 必有两个数相等 由于前37个数和后37个数都是彼此不相等的， 故存在两个数i和j，使得ti=tj+13 于是j+1，j+2，……，i这些天中，该生恰好学 习13小时
鸽洞原理的推广
鸽洞原理
例7.2.3 一个学生用37天准备考试。根据以往 的经验他知道需要复习的时间不超过60个小时， 他打算每天至少复习1小时，证明不管他如何 安排学习时间表（假定每天学习时数为整数）， 必存在相继的若干天，他恰好共学习13小时。
鸽洞原理
设t1是第一天学习的时数，t2是前2天学习时 数，t3是前3天学习时数…… 因为每天至少学习1小时，所以t1≥1,数列 t1,t2,……,t37是严格单调递增的： t1<t2<……<t37 复习的时间不超过60个小时,所以t37≤60 数列t1+13,……t37+13也是严格递增的，并且 t37+13 ≤73
离散数学中的组合
推论3
C n 1, r 1 C n 2, r 1 C r 1, r 1 C n, r (1.10)
证明：反复应用Pascal公式容易得到式(1.10).
[例1] 在一个平面上有42个点，且没有任何三个点在同一条直线上. 通过 这些点可以确定多少条不相同的直线？可以构成多少个位置不相同的三角形？ 解：由于没有三个点在一条线上，故每两个点可确定唯一的一条直线. 故 42! 有
C 42, 2
条不同直线. 42! 又由于任意三点可以构成一个三角形，故有 C 42,3 11480 3!39! 个位置不同的三角形.
2!40!
861
[例2] 数510510能被多少个不同的奇数整数？ 解：由于510510=2·3·5·7·11·13·17，其中除2是偶数外都是奇数. 于是要整除510510的奇数只能是除2以外的奇素数之积，而且在一个积中一个奇 数至多出现一次. 奇素数之积分下面几种情况讨论： 只包含一个奇素数，一共有C 6,1 6 个 包含两个奇素数，一共 C 6, 2 15 个 包含三个奇素数，一共 C 6,3 20 个 包含四个奇素数，一共 C 6, 4 15 个 包含五个奇素数，一共 C 6,5 6 个 包含六个奇素数，一共 C 6,6 1 个 于是，由加法法则知总共有6+15+20+15+6+1=63个. 故510510能被63个不同的奇数整除.
C n, r C n 1, r C n 1, r 1
n 1! n 1! C n 1, r C n 1, r 1 r ! n 1 r ! r 1! n 1 r 1!
组合与排列的计算方法(知识点总结)
组合与排列的计算方法（知识点总结）组合和排列是离散数学中的两个重要概念，用于描述从一组元素中选择出一部分元素的方式。
在实际生活和数学问题中，我们经常需要计算不同元素的排列或组合情况。
下面将介绍组合和排列的定义、计算方法及应用。
1. 组合的计算方法组合指的是从一个元素集合中选出若干个元素，不考虑元素的顺序。
假设有n个元素，要从中选出k个元素的组合数可以用C(n, k)表示。
计算组合数的公式为：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
例如，从5个元素中选出3个元素的组合数为：C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 5! / (3! * 2!) = 102. 排列的计算方法排列指的是从一个元素集合中选出若干个元素，考虑元素的顺序。
同样假设有n个元素，要从中选出k个元素的排列数可以用P(n, k)表示。
计算排列数的公式为：P(n, k) = n! / (n-k)!例如，从5个元素中选出3个元素的排列数为：P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 603. 组合与排列的应用组合和排列的计算方法在实际生活和数学问题中有广泛的应用。
在数学问题中，组合和排列的计算方法可以用于计算概率。
例如，在一个抽奖活动中，有10个人参与，每人只能抽出一张奖券，那么获奖的组合数为C(10, 1) = 10。
如果要计算中奖概率，则需要将获奖的组合数除以总的可能组合数。
在计算机科学中，组合和排列的计算方法可以用于算法设计。
例如，在某个问题中，需要对一组数据进行全排列的处理，即将这组数据的所有可能的排列情况都生成出来。
通过排列的计算方法，可以快速计算出所有排列的结果。
在实际生活中，组合和排列的计算方法常用于安排座位、制定菜单、组织比赛等场景下。
例如，某个宴会上有8个座位，要从10个人中选出来安排座位，那么可能的座位组合数为C(10, 8) = 45。
离散数学第12章基本组合计数公式
（ 1 ） 根 据 乘 法 法 则 ， 可 能 的 选 法 种 数 为 6×5×4= 120；
（2）[法一] 根据题意，确定职位可分为3个步骤： 确定主席有2种选择；主席选定后，秘书有5个人选； 主席和秘书都选定后，出纳有4个人选。根据乘法 法则，可能的选法种数为2×5×4 = 40；
[法二]若Alice被选为主席，共有5×4 = 20种方法 确定其他职位；若Ben为主席，同样有20种方法确 定其他职位。由于两种选法得到的集合不相交，所 以根据加法法则，共有20＋20 = 40种选法；
开胃食品
种类
价格 (元)
玉米片 2.15
(Co)
色拉(Sa) 1.90
主食
饮料
种类 价格 种类 价格
汉堡(H) 3.25 茶水(T) 0.70
三明治 3.65 牛奶(M) 0.85 (S)
鱼排(F) 3.15 可乐(C) 0.75
啤酒(B) 0.75
表1
如果一些工作需要t步完成，第一步有n1种 不同的选择，第二步有n2种不同的选择，… ， 第t步有nt种不同的选择，那么完成这项工作所 有可能的选择种数为：
分析 用8位进行编码可分为8个步骤：选择第一位， 选择第二位，… ，选择第八位。每一个位有两种 选择，故根据乘法原理，8位编码共有 2×2×2×2×2×2×2×2 = 28 = 256种取值。
解 每个点有256( = 28) 种不同的取值。
假定X1, X2, …, Xt均为集合，第i个集合Xi有 ni个元素。如{X1, X2, …, Xt}为两两不相交的集 合，则可以从X1, X2, …, Xt中选出的元素总数为：
毒某解 共 50个非有×磁常5根0盘快×据5上速0M×e，地l5i当转0s+磁发s5a0盘邮病×5占件毒0×满，的5后将扩0+，被散50系转原×统发5理0将的+，会邮5经0死件过+锁临1四甚时次至存转崩储发溃在，。 问= 经63过77四5次51转个发接，收共者有。多少个接收者？
离散数学基础 第三章 计数
a b
d
c
§1
圆周排列
与
从n中取r个作圆周排列的排列数 的关系是：
【例】5对夫妻出席一宴会，围一圆桌坐下， 试问有多少种不同的方案？若要求每对夫妻相 邻又有多少种不同的方案？
§2 有重复的排列
【例】用英文字母可以构成多少个n位字符串？
【定理】 具有n个物体的集合允许重复 的r排列数为 。
【例】 r个不同的球放入n个盒子，每个盒
（4）将给D、F和另一个人指定职位分为3步： 给D指定职位，有3个职位可选； 给F指定职位，有2个职位可选； 确定最后一个职位的人选，有4个人选。 根据乘法原理，共有3×2×4 = 24种选法。
§2 排列与组合
一、排列
【例】假定有10名长跑运动员，按成绩给前3名运动
员分别颁发金银铜牌。如果比赛可能出现所有可能
二、生成集合{1,2,…,n}的r-组合
一个r-组合可以表示成一个序列，这个序列按 照递增的顺序包含这个子集中的元素，使用在这 个序列的字典顺序可以列出这些r-组合 。 在a1a2…ar后面的下一个组合可以按下列的方 法得到。首先找到序列中使得ai<>n-r+i的最后元 素ai，然后用ai+1代替ai，且对于j=i+1,i+2,…,r, 用ai+j-i+1代替aj。
【定义】乘法法则：假定一个过程可以分解成两个 相互独立的任务。如果完成第一任务有n1种方式， 完成第二个任务有n2种方式，那么完成这个过程有 n1*n2种方式，（可推广到多个任务的情形）
§1 基本的计数原则
【例】假定要从计算机学院10信管本①②班中推选 一名学生参加院座谈会，若10信管本①班有30名学 生， 10信管本②班有38名学生，那么有多少种不同 的选择？ 【例】设一标识符由两个字符组成，第一个字符由 a,b,c,d ,e 组成，第二个字符由1,2,3组成，则可以 组成多少不同的标识符？
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件B有n种产生方式，则事件A与B有 m ·n种
产生方式。
集合论语言： 若 |A| = m , |B| = n ,
AB = {(a,b) | a A,b B}, 则 |A B| = m ·n 。
8.1.1 加法法则与乘法法则
[例] 某种字符串由两个字符组成，第一个字符 可选自{a，b，c，d，e}，第二个字符可选自{1 ，2，3}，则这种字符串共有5 3 = 15 个。
8.1.1 加法法则与乘法法则
8.1.1 加法法则与乘法法则
[ 加法法则 ]设事件A有m种产生方式， 事件B有n种产生方式，则事件A或B之一 有m+n种产生方式。 集合论语言：
若 |A| = m , |B| = n , AB = , 则 |AB| =m+n。
8.1.1 加法法则与乘法法则
P(n,r)=n(n-1)······(n-r+1) 有时也用[n]r记n(n-1)······(n-r+1)
8.1.2排取r个的组合 的模型。若放入盒子后再将盒子标号区别，则又 回到排列模型。每一个组合可有r!个标号方案。
故有
C(n,r)·r!=P(n,r),
[ 例 ] 某班选修企业管理的有 18 人，不选 的有 10 人，则该班共有 18 + 10 = 28 人。
[ 例 ] 北京每天直达上海的客车有 5 次，客 机有 3 次， 则每天由北京直达上海的旅行 方式有 5 + 3 = 8 种。
8.1.1 加法法则与乘法法则
[ 乘法法则 ]
设事件A有m种产生式，事
4
9
2
是1到9的正整数，每 行、每列以及两条对
357
角线的和都是15。
816
前言
贾宪 北宋数学家（约11世纪） 著有《黄帝九 章细草》、《算法斅古集》斅 音“笑（“古算法 导引”）都已失传。杨辉著《详解九章算法》 （1261年）中曾引贾宪的“开方作法本源”图 （即指数为正整数的二项式展开系数表，现称 “杨辉三角形”）和“增乘开方法”（求高次幂 的正根法）。前者比帕斯卡三角形早600年，后者 比霍纳（William Geoge Horner，1786—1837）的 方法（1819年）早770年。
8.1.1 加法法则与乘法法则
含0小于10000的正整数有 9999－7380=2619个
不含0小于10000的正整数有 9+9 +9 +9 =(9 －1)/(9－1)=7380个
8.1.2排列与组合
定义 从n个不同的元素中，取r个不重复的 元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重 排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。 排列的个数用P(n,r)表示。当r=n时称为全排 列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记 号为P(n,r).
前言
• 本章主要讲组合分析（计数和枚举）以及组 合优化的一部分（线性规划的单纯形解）。
• 组合分析是组合算法的基础。
前言
组合数学经常使用的方法并不高深复杂。 最主要的方法是计数时的合理分类和组合模型 的转换。
但是，要学好组合数学并非易事，既需要 一定的数学修养，也要进行相当的训练。
第八章 (一)排列组合
另: 全部4位数有9999 个,不含1的四位数有6560 个, 含1的4位数为两个的差: 9999 －6560 = 3439个
8.1.1 加法法则与乘法法 则
2)“含0”和“含1”不可直接套用。0019 含1但不含0。
在组合的习题中有许多类似的隐含的 规定，要特别留神。
不含0的1位数有9个，2位数有9 个， 3位数有9 个，4位数有9 个
计算机科学及信息类专业基础课程
离散数学
（组合计数基础篇）
Combinatorics
（Permutations and Combinations）
内蒙古大学计算机学院: 段禅伦, 斯勤夫
前言
组合数学是一个古老而又年轻的数学分支。 据传说，大禹在4000多年前就观察到神龟背 上的幻方…...
前言
幻方可以看作是 一个3阶方阵，其元素
[例] 从A到B有三条道路，从B到C有两条道路 ，则从A经B到C有32=6 条道路。
8.1.1 加法法则与乘法法则
• 例 某种样式的运动服的着色由底色和装饰条 纹的颜色配成。底色可选红、蓝、橙、黄，条 纹色可选黑、白，则共有42 = 8种着色方案。
• 若此例改成底色和条纹都用红、蓝、橙、黄四 种颜色的话，则方案数就不是4 4 = 16， 而只 有 4 3 = 12 种。
8.1.2排列与组合
定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成 一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个 中取r个的无重组合。 组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个 数用C(n,r)表示，对应于可重组合 有记号C(n,r).
8.1.2排列与组合
从n个中取r个的排列的典型例子是从n个不同 的球中,取出r个,放入r个不同的盒子里,每盒 1个。第1个盒子有n种选择，第2个有n-1种选 择，······，第r个有n-r+1种选择。 故有
前言
1666年莱布尼兹所著《组合学论文》一书 问世，这是组合数学的第一部专著。书中首次 使用了组合论（Combinatorics）一词。
前言
组合数学的蓬勃发展则是在计算机问世和 普遍应用之后。由于组合数学涉及面广，内容 庞杂，并且仍在很快地发展着，因而还没有一 个统一而有效的理论体系。这与数学分析形成 了对照。
C(n,r)=P(n,r)/r!=[n]r/r!=( 易见 P(n,r)r=n
nr )=
— r!(n—n!-r—)!
8.1.2排列与组合
例 有5本不同的日文书，7本不同的英文， 10本不同的中文书。 1)取2本不同文字的书； 2)取2本相同文字的书； 3)任取两本书
8.1.2排列与组合
解
1) 5×7+5×10+7×10=155; 2) C(5,2)+C(7,2)+C(10,2)
• 在乘法法则中要注意事件 A 和 事件 B 的相互 独立性。
8.1.1 加法法则与乘法法则
例 1)求小于10000的含1的正整数的个数 2)求小于10000的含0的正整数的个数
1)小于10000的不含1的正整数可看做4位数, 但0000除外.
故有9×9×9×9－1＝6560个. 含1的有：9999－6560=3439个