06微观经期末试题

一（14分）已知成本函数为：1212(,,)a b d c w w y w w y =
（1）对a 的值与b 的值有什么限定？（4分）
（2）请求出条件要素需求函数112(,,)x w w y 与212(,,)x w w y ；（5分）
（3）从题设中找出：在什么条件下是“CRS ”？在什么条件下是“IRS ”？在什么条件下是“DRS ”？ （5分）
1） a>=0, b>=0, a+b=1
2） 112112121
112212122(,,)(,,)(,,)(,,)a b d a b d c w w y x w w y aw w y w c w w y x w w y bw w y w --∂=
=∂∂=
=∂ 3) 比较单位成本和平均成本
单位成本为12a b UC w w =
112a b d AC w w y -=
CRS: UC=AC 等价于 d=1
IRS: UC>AC 等价于 d<1
DRS: UC<AC 等价于 d>1
二 （16分）已知：产出为1时的条件要素需求函数为：
13
11212(,,1)1a x w w w w -=+ 21212(,,1)1b c x w w dw w =+
请求出a ，b ，c ，d 的值（必须是具体的数值）。

根据x 对w 的零次齐次性得： a=1/3 b+c=0 又由于11221221
(,,)(,,)x w w y x w w y w w ∂∂=∂∂ 得: 1
2
13312121/3b c w w dbw w ---=
从而 db=1/3
C=-2/3
故： a=1/3, b=2/3, c=-2/3, d=1/2
三 （25分）考虑一个产业，只有三家企业，且每家企业的边际成本为零。

市场需求函数为：
()60P Q Q =-
这里，123Q q q q =++
（1） 在古诺竞争中，什么是企业1的最优反应函数（给定企业2与企业3的产量）？（5
分） 1112312323
1(60)
:6020302
q q q q FOC q q q q q q π=------=+=-
（2） 请计算古诺均衡：123123{,,,,,,}c c c c c c c q q q P πππ；
（5分） 602036015
60150225
i i j i
i i
i i i q q q thenQ q q q p Q pq ππ∂=--=∂==-==-==-=
123123{,,,,,,}{15,15,15,15,225,225,225}c c c c c c c q q q P πππ=
（3） 企业2与企业3决定合并为一家企业，并设合并后这家新企业的边际成本仍为零。

请问：企业1的状态是变好了，还是变糟了？企业2与企业3的“合并”决策对吗？（5分）
2与3合并后：
'21'12'12302
302
20
q q q q q q =-=-== 12320
400225
200225
p πππ==>==< 企业1变好了，2和3变坏了，所以合并决策不对。

（4） 如果3家企业合并为一家企业，求均衡产量与利润水平。

请问：从这三家企业的共
同利益来说，合并为一家企业的决策对吗？这里存在“违约冲动”吗？（5分） MR=60-2Q=0, then Q=30, p=30
总利润为PQ=900> 3*225= 675， 故从共同利益来说，合并决策是对的。

这里存在违约冲动。

考虑企业1， 在企业2和3共同生产20单位时，其最优反应的产量为23130202
q q q +=-
=，此时1400900/3π=>，故企业1有违约冲动。

企业2和3类似。

（5） 如果企业1先行，当企业1承诺了产量1q 之后，什么是企业2与企业3的最优产量
决策（即企业2与企业3是在观察到1q 后再进行双寡头的古诺博弈）？什么是企业1在这种先行优势下的产量决策？（5分）
企业1先行，企业2在企业3产量给定下的利润函数为：
21232
12313
2(60):6020602
q q q q FOC q q q q q q π=------=--= 同理12
3231
602
201/3q q q q q q --===- 对于企业1：
111
1123max(60402/3):202/30
30
10
q q q FOC q q q q -+--====
四 （15分）一个垄断企业的单位成本为c ，其面临的市场需求函数为q=1-p 。

（1）求该垄断者的产量决策；（5分）
q=1-p
MR=MC=c then 1-2q=c, so q=(1-c)/2 c<1
（2）假定市场需求函数不变，但由于生产经验作为一种学习效应可以降低成本，如果垄断者在第一期的产量为1q ，则在第二期的单位成本为：1c q λ-（λ>0）。

如果垄断者考虑两期利润极大化，并假定期际贴现因子为1，请求出这种条件下1(,)q c λ的决策。

（7分） 第一期的利润： 1111(1)q q cq π=--
第二期的利润：
22212(1)()q q c q q πλ=---
总利润： 1112212(1)(1)()q q cq q q c q q πλ=--+---
122112:120
120
12FOC q c q q c q c q q λλλ
--+=--+=-==
- 0<λ<2
（3）请讨论λ对1q 的影响。

（3分）
λ对1q 的影响是正方向的。

五 （10分）请证明：在2*2（俩人且每人只有两种策略）的策略型博弈中，若只存在一个纳什均衡，则在该纳什均衡中，每个参与人的行动是不可能被弱占优的。

弱占优的，则我们有e>=a, g>=c 。

不失一般性，我们设定f>=h,则我们可以证明（D ，L ）也是一个纳税均衡（因为e>=a,f>=h ） (如果h>=f,我们可以证明（D ，R ）是一个nash 均衡)。

由此，我们得到这个博弈中有两个nash 均衡，与题设只存在一个nash 均衡矛盾。

所以我们可以得出不可能存在有一个nash 均衡中有参与人的行动是被弱占优的。

六 （10分）假定一个团队由n 个人组成，每个成员都具有K （正整数）单位精力。

记成员i 投入于团队项目的精力为i e K ≤。

n 个人经营项目成功的机会取决于全体成员中出力最小的那位成员所投入的精力：12min{,,...,}{}min n j j
e e e e =。

如果成员i 的得益（payoff ）函数为 {}2min j i
j
e e - 这里，“i e ”为i 的努力成本。

问： 行动组合（e ，e ，….，e ）（即每个成员都投入同样多的精力于团队项目）对于任何水平的e K ≤来说，都会成为一个纳什均衡吗？为什么？
会成为一个nash 均衡，我们可以证明任何一个人没有动机改变当前策略。

设一个成员将原先e 改变为e ’。

1：e ’>e,由于其他人策略不变，则12min{,,...,}n e e e e =，这个成员的得益为2e-e ’<e 。

因此他没有动机令e ’>e 。

2：e ’<e,由于其他人策略不变，则12min{,,...,}'n e e e e =，这个成员的得益为2e ’-e ’=e ’<e 。

因此他也没有动机令e ’<e 。

由于每个人是相同的，所以每个人都没有动机改变自己的策略，形成了一个nash 均衡。

七（10分）请看下图所描述的广延型博弈：
（1）请问：上述博弈有几个子博弈？（3分）
（2）请问：上述博弈有几个纳什均衡？写出这些纳什均衡。

（7分）
1）存在两个子博弈：整个博弈和除去F分支的子博弈。

2）(F,a) (F,b)是nash均衡，1选F的收益是1，而他选其他策略的最高收益是1，因此他没有动机改变自己的策略。

而2无论选择a, b在1给定选择A的情况下都是相同的。

所以2无论选择a或b，也都没有改变策略的动机。

还有两个nash均衡分别是（A，a）（A，b）1选择A的收益不会肯定不会小于其他两个策略(B,F)，所以A没有改变策略动机。

而2无论选择a, b在1给定选择A的情况下都是相同的。

所以2无论选择a或b，也都没有改变策略的动机。

因此，有四个nash均衡：(F，a)，(F,b) 和（A，a）（A，b）。