第10章 Matlab数值积分计算
(完整版)MATLAB数值积分解读
定积分：函数f (x)在区间[a, b]上的定积分定义为
其中
b
n
I
a
f (x)dx lim max(xi )0 i1
f (i )xi
a x0 x1 L xn b, xi xi xi1,
i (xi1 , xi ), i 1, 2,L , n
6.1 数值积分基本原理
例2 求定积分:
x sin x
dx
0 (1 cos x cos x)
(1) 被积函数文件fx.m。
function f=fx(x) f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x));
(2) 调用函数quad8求定积分。
I=quad8('fx',0,pi)
例3
分别用quad函数和quad8函数求定积分
分别为x的上、下限，c,d分别为y上、下限。
例5 计算二重定积分
x2
2 1 e 2 sin( x2 y)dydx 2 1
(1) 建立一个函数文件fxy.m：
function f=fxy(x,y)
global ki;
ki=ki+1;
%ki用于统计被积函数的调用次数
f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);
syms 符号变量名1 符号变量名2 … 符号变 量名n
用这种格式定义符号变量时不要在变量名 上加字符串分界符(‘)，变量间用空格而不要用 逗号分隔。立符号表达式 含有符号对象的表达式称为符号表达式。
建立符号表达式有以下3种方法： (1) 利用单引号来生成符号表达式。 (2) 用sym函数建立符号表达式。 (3) 使用已经定义的符号变量组成符号表达式。
matlab高斯数值积分
MATLAB高斯数值积分在数值计算中，高斯数值积分（Gaussian numerical integration）是一种常用的数值积分方法。
它基于高斯求积公式，通过在给定区间上选择合适的节点和权重来近似计算积分值。
在MATLAB中，高斯数值积分可以通过内置函数或自定义函数来实现。
高斯数值积分的原理高斯数值积分的核心思想是通过在积分区间上选择合适的节点和权重，将被积函数转化为节点和权重的线性组合，从而实现对积分值的近似计算。
在一维情况下，高斯数值积分的基本公式为：I=∫fba (x)dx≈∑w ini=1f(x i)其中，a和b分别为积分区间的上下限，n为节点的个数，x i为节点，w i为节点对应的权重。
高斯数值积分通过选择合适的节点和权重，能够在一定程度上提高积分的精度。
常用的高斯数值积分方法包括高斯-勒让德求积、高斯-拉盖尔求积和高斯-埃尔米特求积等。
MATLAB中的高斯数值积分函数在MATLAB中，可以使用内置函数integral来进行高斯数值积分。
integral函数的基本语法如下：Q = integral(fun,a,b)其中，fun为被积函数的句柄，a和b为积分区间的上下限，Q为近似计算得到的积分值。
integral函数会根据被积函数的特性自动选择合适的高斯求积公式，并计算出积分值。
如果被积函数在积分区间上有奇点或不连续点，可以通过指定'Waypoints'参数来处理。
除了使用内置函数，我们还可以自定义高斯数值积分函数来实现更灵活的积分计算。
下面是一个自定义高斯数值积分函数的示例：function Q = gauss_integration(fun,a,b,n)[x,w] = gauss_nodes_weights(n,a,b); % 获取节点和权重Q = sum(w .* fun(x)); % 计算积分值end在自定义函数中，我们需要提供被积函数的句柄fun、积分区间的上下限a和b，以及节点的个数n。
matlab 数值积分
matlab 数值积分
matlab 数值积分是利用数值方法来计算求解数学积分的一种方法。
matlab有三种通用的数值积分方法，分别为：梯形法、Simpson's 法和
三点Newton-Cotes法。
梯形法：梯形法是一种简单、快速的数值积分算法，在数值积分上不
需要计算积分函数的导数，即可应用梯形法来进行积分。
梯形法的基本思
想是将曲线上的积分任务转化为一系列的梯形的积分，从而计算出积分的
数值结果。
Simpson's 法：Simpson's 法是一种积分方法，基于把被积函数用
多项式拟合，然后根据拟合出来的多项式进行积分，以计算出积分的数值
结果。
Simpson's 法相比梯形法精度更高，因为它不仅考虑了曲线开始和
结束处的截面，而且还考虑了曲线中间部分的截面。
三点Newton-Cotes法：三点Newton-Cotes法属于更精确的数值积分
的方法，该算法基于将被积函数用三次样条拟合，然后根据拟合出来的三
次样条进行积分，以计算出积分的数值结果。
因为它考虑了曲线的截面的
情况，所以比梯形法和Simpson's 法的精度都要高。
通过matlab可以非常方便地对函数进行数值积分，其中包括梯形法、Simpson's 法和三点Newton-Cotes法三种常用的方法，这些算法都可以
运用在积分运算中，用于将曲线上的积分任务转化为一系列的梯形、多项
式或样条的积分，以计。
matlab函数积分
matlab函数积分在MATLAB中，可以使用多种方法进行函数积分。
下面将详细介绍几种常用的方法。
1.基于符号计算的积分MATLAB的Symbolic Math Toolbox提供了一个功能强大的符号计算引擎，可以用于解析函数并求解积分。
首先，需要定义一个符号变量，然后使用int函数对其进行积分。
```matlabsyms x;f=x^2+3*x+2;integral_f = int(f, x);```这将返回一个符号表达式，表示函数f的积分。
如果要计算具体的数值积分，可以使用double函数对符号表达式进行求值。
```matlabnumerical_integral_f = double(integral_f);```这将返回函数f在积分区间上的数值积分结果。
2.数值积分对于无法通过符号方法求解的复杂函数，可以使用数值积分方法。
MATLAB提供了多种数值积分函数，其中最常用的是quad和quadl函数。
这些函数可以用于计算定积分和自适应积分。
```matlabintegral_f = quad(f, a, b);```这将返回函数f在积分区间[a, b]上的定积分结果。
quadl函数与quad函数类似，但可以处理更广泛的函数类型。
3.数值积分的误差控制在使用数值积分方法时，可以通过指定误差容限来控制积分的准确性。
例如，可以使用quad函数的相对误差容限选项来指定积分结果的相对误差范围。
```matlabintegral_opts = quadOptions('RelTol', 1e-6);integral_f = quad(f, a, b, integral_opts);```这将返回函数f在积分区间[a,b]上的定积分结果，并确保相对误差小于1e-64.多重积分MATLAB的Symbolic Math Toolbox还支持多重积分。
可以通过嵌套多个符号积分来进行多重积分的计算。
matlab数值积分
Matlab数值积分引言数值积分是一种计算近似定积分的方法，通过将积分区间划分成若干小区间并计算每个小区间上的函数面积之和来逼近定积分的值。
Matlab提供了多种数值积分的方法，使得用户能够方便地进行数值积分计算。
本文将介绍Matlab中常用的数值积分函数和方法，并通过示例演示其具体用法。
数值积分函数在Matlab中，常用的数值积分函数有： - quad：用于一维定积分的自适应数值积分函数。
- dblquad：用于二维定积分的自适应数值积分函数。
- triplequad：用于三维定积分的自适应数值积分函数。
- quad2d：用于二维定积分的数值积分函数（不支持自适应）。
- integral：用于一维定积分的自适应数值积分函数（推荐使用quad替代）。
接下来将分别介绍这些函数的用法。
一维定积分quad函数quad函数是Matlab中用于一维定积分的自适应数值积分函数。
其语法如下：[q,err] = quad(fun,a,b)[q,err] = quad(fun,a,b,tol)[q,err] = quad(fun,a,b,tol,[],p1,p2,...)•fun是用于计算被积函数的句柄或函数名称。
•a和b是积分区间的上下限。
•tol是计算精度（可选参数，默认值为1e-6）。
•p1,p2,...是传递给函数fun的额外参数（可选参数）。
quad函数将返回两个值： - q是定积分的近似值。
- err 是估计的误差。
下面是一个使用quad函数计算一维定积分的示例：fun = @(x) exp(-x.^2); % 定义被积函数a = 0; % 积分下限b = 1; % 积分上限[q,err] = quad(fun,a,b); % 计算积分disp(['定积分的近似值：', num2str(q)]);disp(['估计的误差：', num2str(err)]);integral函数integral函数是Matlab中用于一维定积分的自适应数值积分函数，与quad函数功能类似。
matlab数值积分 函数嵌套
数值积分在科学计算和工程领域中扮演着至关重要的角色。
作为一种近似计算方法，数值积分能够帮助研究人员和工程师在处理复杂的数学问题时提供有效的解决方案。
而在实际的数值积分计算中，函数嵌套则是一个常见的问题，它需要我们对嵌套函数的积分进行合理的计算和处理。
本文将以Matlab为例，探讨如何使用Matlab进行数值积分计算，并针对函数嵌套的情况给出相应的解决方案。
二、Matlab中的数值积分Matlab作为一种常用的科学计算工具，提供了丰富的数值积分计算函数，如trapz、quad等。
这些函数可以帮助用户对给定函数进行数值积分计算，从而得到函数的近似积分值。
在使用这些函数时，我们需要指定被积函数、积分区间等参数，以确保得到准确的积分结果。
下面以一个简单的例子来说明Matlab中的数值积分计算方法：```matlab定义被积函数f = (x) sin(x);指定积分区间a = 0;b = pi;使用trapz函数进行数值积分计算integral_value = trapz(linspace(a, b, 1000), f(linspace(a, b,disp(['The integral value of sin(x) from 0 to pi is: ',num2str(integral_value)]);```以上代码使用了Matlab中的trapz函数对sin(x)函数在区间[0, π]上进行数值积分计算，并输出了积分结果。
通过这样的方式，我们可以很快得到函数在给定区间上的积分值，而无需手动进行复杂的求解过程。
三、函数嵌套的数值积分计算虽然Matlab提供了丰富的数值积分计算函数，但在处理函数嵌套的情况时，我们需要对嵌套函数的积分进行合理的处理。
函数嵌套是指一个函数中包含了另一个函数作为变量，例如f(g(x))，在这样的情况下，我们需要对内层函数和外层函数进行逐层的积分计算。
对于函数嵌套的数值积分计算，Matlab提供了一个简单而有效的解决方案，即使用匿名函数进行嵌套积分计算。
matlab 函数积分
MATLAB函数积分1. 简介在MATLAB中，积分是一种常见的数学运算，用于计算函数在给定区间上的面积或曲线下的总体积。
MATLAB提供了多种函数用于数值积分，包括integral、quad、quadl和quadgk等。
这些函数可以根据不同的需求选择适合的方法进行数值积分计算。
2. integral函数2.1 定义和用途integral函数用于计算一元函数在给定区间上的数值积分。
其定义如下：Q = integral(fun,a,b)Q = integral(fun,a,b,'ArrayValued',true)Q = integral(___,Name,Value)其中，fun为要进行积分的一元函数句柄或匿名函数；a和b为积分区间的上下限；’ArrayValued’参数可选，指定是否返回数组形式的结果；Name-Value对可选，用于指定其他参数。
2.2 工作方式integral函数采用自适应Simpson法则进行数值积分计算。
它将指定区间[a, b]均匀划分成多个子区间，并使用Simpson法则对每个子区间进行近似求解。
然后将所有子区间上得到的近似结果相加得到最终结果。
2.3 示例以下是一个使用integral函数计算函数sin(x)在区间[0, pi]上的数值积分的示例：fun = @(x) sin(x);a = 0;b = pi;Q = integral(fun, a, b);disp(Q);输出结果为：2.0000即sin(x)在区间[0, pi]上的积分结果为2。
3. quad函数3.1 定义和用途quad函数用于计算一元函数在给定区间上的数值积分。
其定义如下：Q = quad(fun,a,b)Q = quad(fun,a,b,tol)Q = quad(___,Name,Value)其中，fun为要进行积分的一元函数句柄或匿名函数；a和b为积分区间的上下限；tol参数可选，指定积分精度；Name-Value对可选，用于指定其他参数。
matlab中积分
matlab中积分Matlab中积分Matlab是一种强大的数学软件，可以用于解决各种数学问题，其中包括积分问题。
在Matlab中，积分函数非常简单易用，可以帮助我们快速地计算各种类型的积分。
Matlab中的积分函数Matlab中有两个主要的积分函数：quad和integral。
这两个函数都可以用于求解定积分和不定积分。
1. quad函数quad函数是一个数值积分函数，它可以用于求解定积分。
该函数的语法如下：I = quad(fun,a,b)其中，fun是需要被积的函数句柄，a和b是积分区间的上下限。
该函数返回一个数值I，表示在[a,b]区间内fun(x)的定积分。
例如，要计算sin(x)在[0,pi]区间内的定积分，可以使用以下代码：fun = @(x) sin(x);a = 0;b = pi;I = quad(fun,a,b)运行结果为：I =2.0000这意味着sin(x)在[0,pi]区间内的定积分为2。
2. integral函数integral函数也是一个数值积分函数，它可以用于求解定积分和不定积分。
该函数的语法如下：I = integral(fun,a,b)或者[I,err] = integral(fun,a,b)其中fun、a和b的含义与quad函数相同。
该函数返回一个数值I，表示在[a,b]区间内fun(x)的定积分。
如果同时指定err输出参数，则该函数还会返回一个误差估计值。
例如，要计算sin(x)在[0,pi]区间内的定积分，可以使用以下代码：fun = @(x) sin(x);a = 0;b = pi;I = integral(fun,a,b)运行结果为：I =2.0000这意味着sin(x)在[0,pi]区间内的定积分为2。
Matlab中的符号积分除了数值积分外，Matlab还提供了符号积分功能。
符号积分是指对一个未知函数进行积分，并得到该函数的解析式。
Matlab中的符号积分功能由syms工具箱提供。
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2017/9/14
第三节 一般区域二重、三重积分
2017/9/14
一、 概要
一般区域上的二重积分，低版本的MATLAB向来支持不好， 7.X版本之前不能通过简单的形式直接求取一般区域上的的二重积 分，往往要借助广泛流传的NIT工具箱（数值积分工具箱）来实 现。后来到了7.X版本，MATLAB引入了匿名函数结构，dblquad的 被积函数可以是匿名函数的形式，利用匿名函数结构，通过适当改 写被积函数。dblquad可以求解一般区域上的二重积分。但这种改 写就是将积分区域表示成逻辑表达式形式并与被积函数相乘，本质 上还是 计算的矩形区域的积分。 仔细分析dblquad的帮助文档中求一般区域二重积分的例子就 会发现，这种办法是把原被积函数外推到了一个矩形区域上来实现 的，该矩形区域包含了被积区域，在被积区域上，外推函数取值和 原函数一样，而在矩形区域内被积区域外的那部分，外推函数取值 都为0.这样外推函数在矩形区域上积分的结果就等于原被积函数在 被积区域的结果。这种数学上简单的变换导致的结果就是，按这种 办法，计算量大增，特别是被积区域非常不规则并布满整个矩形区 域的时候。
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二、 离散数据积分
离散数据积分的函数MATLAB只有trapz函数，是针对一重情形的， 如果是二重情形，需要自己编写，其中会用到trapz函数 。 用法示例参见书中【例10.1-5】 以及【例10.1-6】
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第二节 含参数的积分
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在解决实际问题的时候我们常要求解一些带参数的积分问题， 这涉及到参数的传递，总的说来有以下几种方法可以求解： 用inline+num2str方法(MATLAB7.0以前版本使用，7.0以后不 推荐使用) 利用匿名函数实现 利用嵌套函数实现 利用积分函数本身传递参数 这几种方法的具体实现办法可以参见【例10.2-1】 。
quad (自适应Simpson 积分) quadl (自适应Gauss-Lobatto积分，最常用 ) quadgk (自适应 Gauss-Kronrod积分，尤其适合震荡积分、含奇点的 积分；从R2007b开始支持) 具体用法参见书中【例10.1-1】
2.二重情形
一般二重积分可以用下面两个函数解决： dblquad quad2d (R2009a开始支持，不仅可以求矩形区域二重积分，还可以 求一般区域二重积分) 具体用法参见书中【例10.1-2】
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二、一般区域二重积分的计算
dblquad求解一般区域二重三重积分的思路方法，就是将被积函数“延 拓”到矩形或者长方体区域，但是这种方法不可避免引入很多乘0运算浪 费时间。而quad2d虽然效率很高，但是R2009a之前没有这个函数。因 此，要想在2009a之前的MATLAB7版里里计算一般区域二重三重积 分，需要开辟新的方法。新的方法是调用已有的MATLAB函数求解， 在求一般区域二重积分时，效率和quad2d相比有一些差距，但是相对 于“延拓”函数的做法，效率大大提高了 。 【例10.3-2】和【例10.3-3】给出了这一方法的应用实例，可以看出该方 法在R2009a以前的版本中不失为一种方法，效率要明显高于dblquad帮 助文档里推荐的做法。更重要的是，这给我们求解一般区域三重积分提 供了一种途径。
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一、 概要
从MATLAB R2009a版本起，MATLAB终于有了专门求解一般区 域 二重积分的函数——quad2d，该函数采用的自适应积分算法基于L.F. Shampine 的文章："Vectorized Adaptive Quadrature in MATLAB," Journal of Computational and Applied Mathematics, 211, 2008。该函数 求解一般区域二重积分的效率要远高于上面提到的dblquad的方法。 虽然quad2d可以求解一般区域二重积分，但还是不能直接求解一 般 区域三重积分，而NIT工具箱也没有一般区域三重积分的计算函数 。 这些需要灵活运用MATLAB相关函数来构建。
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三、一般区域三重积分的计算
模板1： • quadl(@(x) arrayfun(@(xx) quad2d(被积函数f(xx,y,z)关于y,z变量的函数句 柄,y积分下限y1(xx),y积分上限y2(xx),z积分下限z1(xx,y),z积分上限 z2(xx,y)),x),x积分下限值,x积分上限值) 模板2： • quad2d(@(x,y) arrayfun(@(xx,yy) quadl(被积函数f(xx,yy,z)关于z变量的函数 句柄,z积分下限z1(xx,yy),z积分上限z2(xx,yy)),x,y),x积分下限值,x积分上限值,y 积分下限y1(x),y积分上限y2(x)) • 模板3： • quadl(@(x) arrayfun(@(xx) quadl(@(y) arrayfun(@(yy) quadl(被积函数 f(xx,yy,z)关于z变量的函数句柄,z积分下限z1(xx,yy),z积分上限z2(xx,yy)),y),y积 分下限y1(xx),y积分上限y2(xx)),x),x积分下限值,x积分上限值) 模板使用说明：x,y,z是积分变量，模板中除了用语言描述的参量用相应表达式
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一 、矩形区域积分
3. 三重情形 MATLAB中可以利用triplequad函数求解长方体区域的三重 积分。
具体用法参见书中【例10.1-3】
4. 向量化积分
所谓向量化积分，是指被积函数含有参数，需要对参数的一 系列值求出相应的积分。向量话积分可以用quadv函数 。
具体用法参见书中【例10.1-4】
数值积分计算
2017/9/14
主要内容 矩形区域积分以及离散数据积分 含参数的积分 一般区域二重、三重积分 一般区域n重积分 蒙特卡洛法计算n重积分
2017/9/14Fra bibliotek第一节矩形区域积分以及离散数 据积分
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一、 矩形区域积分
积分上下限是常数，分单重、二重、三重三种情况 1. 单重