2.3.2(直线与双曲线的位置关系上课)

2k (k 8)2 4(k 2 4)(k 2 16k 60) 0① 2k (k 8) x x 2② 1 2 2 k 4
由②解得 代入 ① 检验符合题意， 直线 l : x 2 y 15 0 即为所求。
k
1 2
典型例题: 法二： A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 中点P（1,8），
0
符合题意，即为所求（点差法）
中点弦问题
变式训练1．过点P(8,1)的直线与双曲线x2－4y2＝4相交 于A,B两点，且P是线段AB的中点，求直线AB的方程．
解：设 A,B 的坐标分别为(x1，y1),(x2，y2)，
2 2 则 x1 －4y1 ＝4， 2 x2 － 4 y 2 2＝4.
① ②
2当4 k 2 0时,由 6k 2 44 k 2 13 0,
得k 13, 此时l : y 13x 3
练习1．若直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1有且只有一个交 点，则k的值为________．
y＝kx－1， 解析：由 2 2 x －y ＝1，
2
16
注:
①相交两点: △＞0 同侧： ＞0 异侧: ＜0 一点: 直线与渐进线平行
②相切一点:
③相 离:
△=0
△＜0
17
x2 y2 1 的右焦点F2,倾斜角为 2：如图所示，过双曲线 3 6
30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|
分析:求弦长问题有两种方法: 法一 :如果交点坐标易求 , 可直接 用两点间距离公式代入求弦长; 法二 :但有时为了简化计算 , 常设 而不求,运用韦达定理来处理.
1
二、直线与双曲线的位置关系
复习: 椭圆与直线的位置关系及判断方法
相离
判断方法
（1）联立方程组 （2）消去一个未知数 （3）
相切
相交
∆<0
∆=0
∆>0
2
1.图象法 :
根据交点个数判定
Y
相交:两个交点 相切:一个交点
X
O
相离:0个交点 相交:一个交点
Y
温馨提示：
一解不一定相切， 相交不一定两解， 两解不一定同支.
（- 12m) 2 4 *10(3m 2 6) 0 6m x1 x2 5 3(m 2 2) x1 * x2 10
2
y 2x m
①
6m 2 3(m 2 2) AB (1 k ) ( x1 x2 ) - 4 x1 x2 （ 1 2 ） （ ) 4 6 5 10
O X
2判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程
得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0
相交
相切
相离4
y = kx + m 2 消去y，得 : (b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0 x y2 2 - 2 =1 a b
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 7 ∵x1·x2＝－ <0， 2
利用x1x2<0判断点A、B的位置是本题的难点！
15
∴A、B 两点分别位于双曲线的左、右两支上． 7 ∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝－ ， 2 ∴|AB|＝ 1＋12|x1－x2|＝ 2· （x1＋x2）2－4x1x2 ＝ 2· 7 （－2） －4（－ ）＝6. 2
【思路点拨】
先写出直线方程，代入双
14
曲线方程，利用根与系数的关系判断．
【解】 ∵a＝1，b＝ 3，c＝2， 又直线 l 过点 F2(2，0)，且斜率 k＝tan 45°＝1， ∴l 的方程为 y＝x－2.
y＝x－2 由 2 2 消去 3x －y ＝3
y 并整理得 2x2＋4x－7＝0.
19F1O来自A1 ( x1 x2 ) 2 3
B
F2 x
变式:
双曲线中的弦长问题
x2 y2 1 截得的弦长 直线l：y=2x+m被双曲线 3 2 为 , 求 m。
A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 解：设两交点为： 2x2 3 y 2 6 得 2 2 由 10 x 12 mx 3 ( m 2) 0

2

2
m 15 代入①检验符合题意，即为所求。
20
典型例题3:
双曲线中的中点弦问题
以P（1，8）为中点作双曲线：y2-4x2=4的一条 弦AB，求直线AB的方程。
y
.P(1,8)
双曲线： y 2 4x2 4
X
o
典型例题:
解：法一： （1） 易知当过P点的直线AB和x轴垂直时，直线被 双曲线截得的弦的中点不是P点。
26
2 y 2 练习:已知双曲线C: x 1 ,若 Q( 1 , 1 ), 4 2 2 试判断以Q为中点的弦是否存在？
2 2 4 x y 1 1 4 ① 解:设Ａ(x1,y1),B(x2,y2),则有 ①-②得 2 2 4 x y 2 4 ② 2
4( x1 x2 )( x1 x2 ) ( y1 y2 )( y1 y2 )
x1 x2 2 知 y1 y2 16
① 由题意知当 l AB x轴 时点 P不是线段AB的中点。
2 2 y1 4 x1 4 （y1 y2 )( y1 y2 ) 4( x1 x2 )(x1 x2 ) 0 ② 由 2 得： 2 y 4 x 2 4 2
显然，x1 x2 0, y1 y2 0
y
Q
0
y1 y2 x1 x2 4 所以有 x1 x2 y1 y2
得k=4
x
3 所以,得直线L: y 4 x 2
经检验:此直线与双曲线不相交,不合题意.因此中点弦不存在.
法一:设直线AB的方程为 y
3 ( x 3) 3
y
F1
O
B
F2 x
A
9 2 3 ( 3, 2 3),( , ) 与双曲线方程联立得A、B的坐标为 5 5
由两点间的距离公式得|AB|=
16 3 5
18
x2 y2 1 的右焦点F2,倾斜角为 2：如图所示，过双曲线 3 6
30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|
10
特别注意直线与双曲线的 位置关系中： 一解不一定相切，相交不一定 两解，两解不一定同支
11
x y 1只有 一个 1.过点P(1,1)与双曲线 9 16 Y 4 交点的直线 共有_______ 条. （ 1， 1）
。
2
2
变题:将点P(1,1)改为
O
X
1.A(3,4)
2.B(3,0)
3.C(4,0)
法二:设直线AB的方程为 y
3 ( x 3) 3
y
与双曲线方程联立消y得5x2+6x-27=0
设A、B的坐标为(x1,y1) 、(x2,y2),则
6 27 x1 x2 , x1 x2 5 5 由两点间的距离公式得
| AB | 2 3 * 3 ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ( x1 x2 )2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 16 3 5
2
得(1－k )x ＋2kx－2＝0.
2 2
当 1－k ＝0 时，即 k＝±1 时， 方程变为±2x－2＝0，则 x＝±1. 此时直线与双曲线渐近线平行，有且只有一个交点．
8
当 1－k2≠0 时，Δ＝4k2＋8(1－k2)＝0， 解得 k＝± 2. 此时直线与双曲线相切，有且只有一个公共点． 综上所述,k＝± 1，± 2.
答案：± 1,
± 2
9
例题讲解
2.如果直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4没有公共点，求k 的取值范围．
y＝kx－1 2 2 解：由 2 得 (1 － k )x ＋2kx－5＝0， 2 x －y ＝4
易知此方程无解． 2 1－k ≠0 5 5 由 得 k> 或 k<－ ， 2 2 2 2 Δ ＝4k ＋20（1－k ）<0 5 5 则 k 的取值范围为 k> 或 k<－ . 2 2
（2） 当过P点的直线AB和x轴不垂直时，设其斜率 为k，则直线AB的方程为y-8=k（x-1） 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )，中点P（1,8），知 x1 x2 2 ，
y k ( x 1) 8 （k 2 4) x 2 2k (k 8) x k 2 16k 60 0 由 得： 2 2 y 4 x 4
①－②得 (x1＋x2)(x1－x2)－4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
25
∵P 是线段 AB 的中点， ∴x1＋x2＝16，y1＋y2＝2. y 1－ y 2 x1＋x2 ∴ ＝ ＝2. x1－x2 4y1＋y2 ∴直线 AB 的斜率为 2. ∴直线 AB 的方程为 y－1＝2(x－8)， 即 2x－y－15＝0.
y1 y2 （ 8 y y ) 4 ( x x ) ① ② 1 2 1 2 k 将 代入 即 得： AB x x

l AB : x 2 y 15 0
1
2
1 2
由
x 2 y 15 2 15 y 240y 904 0 2 2 y 4x 4
4.D(0,0).答案又是怎样的? 1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.
12
练习
x2 y2 1 练习:过点(4,3)作直线L,使L与双曲线 16 9