人教版高中数学高一A版必修4 第一章第四节三角函数的图象与性质(第四课时)

第一章第四节三角函数的图象与性质第四课时

作者：张云全

整体设计

教学分析

本节课的背景是：这之前我们已经用了三节课的时间学习了正弦函数和余弦函数的性质．函数的研究具有其本身固有的特征和特有的研究方式．一般来说，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后再从代数的角度对性质作出严格表述．但对正切函数，教科书换了一个新的角度，采取了先根据已有的知识(如正切函数的定义、诱导公式、正切线等)研究性质，然后再根据性质研究正切函数的图象．这样处理，主要是为了给学生提供研究数学问题更多的视角，在性质的指导下可以更加有效地作图、研究图象，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想体现得更加全面．教师要在学生探究活动过程中引导学生体会这种解决问题的方法．

通过多媒体教学，让学生通过对图象的动态观察，对知识点的理解更加直观、形象．以提高学生的学习兴趣，提高课题教学质量．从学生的实际情况为教学出发点，通过各种数学思想的渗透，合理运用各种教学课件，逐步培养学生养成学会通过对图象的观察来整理相应的知识点的能力，学会运用数学思想解决实际问题的能力．这样既加强了类比这一重要数学思想的培养，也有利于学生综合运用能力的提高，有利于学生把新旧知识前后联系，融会贯通，提高教学效果．

由于学生已经有了研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验，这种经验完全可以迁移到对正切函数性质的研究中，因此，我们可以通过“探究”提出，引导学生根据前面的经验研究正切函数的性质，让学生深刻领悟这种迁移与类比的学习方法．

三维目标

1．通过对正切函数的性质的研究，注重培养学生类比思想的养成，以及培养学生综合运用新旧知识的能力．学会通过对图象的观察来整理相应的知识点，学会运用数学思想解决实际问题的能力．

2．在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上，运用类比的方法，学习正切函数的图象与性质，从而培养学生的类比思维能力．

3．通过正切函数图象的教学，培养学生欣赏(中心)对称美的能力，激发学生热爱科学、努力学好数学的信心．

重点难点

教学重点：正切函数的性质与图象的简单应用．

教学难点：正切函数性质的深刻理解及其简单应用．

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数，前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，你能否根据研究正弦函数、余弦函数的图象与性质的经验，以同样的方法研究正切函数的图象与性质？由此展开新课．

思路2.先由图象开始，让学生先画正切线，然后类比正弦、余弦函数的几何作图法来画出正切函数的图象．这也是一种不错的选择，这是传统的导入法．

推进新课

新知探究

提出问题

①我们通过画正弦、余弦函数图象探究了正弦、余弦函数的性质．正切函数是我们高中要学习的最后一个基本初等函数．你能运用类比的方法先探究出正切函数的性质吗？都研究函数的哪几个方面的性质？

②我们学习了正弦线、余弦线、正切线，你能画出四个象限的正切线吗？

③我们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象，然后向左、右扩展，这样就可以得到它在整个定义域上的图象．那么我们先选哪一个区间来研究正切函数呢？为什么？

④我们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图，你能画出正切函数的简图吗？

你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的方法吗？

活动：问题①，教师先引导学生回忆：正弦、余弦函数的性质是从定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研究的，有了这些知识准备，然后点拨学生也从这几个方面来探究正切函数的性质．由于还没有作出正切函数图象，教师指导学生充分利用正切线的直观性．

(1)周期性

由诱导公式

tan(x ＋π)＝tan x ，x ∈R ，x ≠π2

＋k π，k ∈Z 可知，正切函数是周期函数，周期是π.

这里可通过多媒体课件演示，让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性，直观理解正切函数的周期性，后面的正切函数图象作出以后，还可从图象上观察正切函数的这一周期性．

(2)奇偶性

由诱导公式tan(－x )＝－tan x ，x ∈R ，x ≠π2

＋k π，k ∈Z 可知，正切函数是奇函数，所以它的图象关于原点对称．教师可进一步引导学生通过图象还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照，学生会发现正切函数也是中心对称函数，它的

对称中心是(k π2

，0)k ∈Z . (3)单调性

通过多媒体课件演示，由正切线的变化规律可以得出，正切函数在(－π2，π2

)内是增函数，又由正切函数的周期性可知，正切函数在开区间(－π2＋k π，π2

＋k π)，k ∈Z 内都是增函数． (4)定义域

根据正切函数的定义tan α＝y x

，显然，当角α的终边落在y 轴上任意一点时，都有x ＝0，这时正切函数是没有意义的；又因为终边落在y 轴上的所有角可表示为k π＋π2

，k ∈Z ，所以正切函数的定义域是{α|α≠k π＋π2，k ∈Z }，而不是{α≠π2

＋2k π，k ∈Z }，这个问题不少初学者很不理解，在解题时又很容易出错，教师应提醒学生注意这点，深刻明了其内涵本质．

(5)值域

由多媒体课件演示正切线的变化规律，从正切线知，当x 大于－π2且无限接近－π2

时，正切线AT 向Oy 轴的负方向无限延伸；当x 小于π2且无限接近π2

时，正切线AT 向Oy 轴的正方向无限延伸．因此，tan x 在(－π2，π2

)内可以取任意实数，但没有最大值、最小值． 因此，正切函数的值域是实数集R .

问题②，教师引导学生作出正切线，并观察它的变化规律，如图1.

图1 问题③，正切函数图象选用哪个区间作为代表区间更加自然呢？教师引导学生在课堂上展开充分讨论，这也体现了“教师为主导，学生为主体”的新课改理念．有的学生可能选取了[0，π]作为正切函数的周期选取，这正是学生作图的真实性的体现．此时，教师应调整计

划，把课件中先作出(－π2，π2

)内的图象，改为先作出[0，π]内的图象，再进行图象的平移，得到整个定义域内函数的图象，让学生观察思考．最后由学生来判断究竟选用哪个区间段内

的函数图象既简单又能完全体现正切函数的性质，让学生通过分析得到先作区间(－π2，π2

)的图象为好．这时条件成熟，教师引导学生来作正切函数的图象，如图2.

根据正切函数的周期性，把图2向左、右扩展，得到正切函数y ＝tan x ，x ∈R ，且x ≠π2

＋k π(k ∈Z )的图象，我们称正切曲线，如图3.

图2

图3

问题④，教师引导学生观察正切曲线，点拨学生讨论思考，只需确定哪些点或线就能画

出函数y ＝tan x ，x ∈(－π2，π2)的简图．学生可看出有三个点很关键：(－π4，－1)，(0,0)，(π4

，

1)，还有两条竖线．因此，画正切函数简图的方法就是：先描三点(－π4，－1)，(0,0)，(π4

，1)，再画两条平行线x ＝－π2，x ＝π2

，然后连线．教师要让学生动手画一画，这对今后解题很有帮助．

讨论结果：①略．

②正切线是AT .

③略．

④能，“三点两线”法．

提出问题

①请同学们认真观察正切函数的图象特征，由数及形从正切函数的图象讨论它的性质． ②设问：每个区间都是增函数，我们可以说正切函数在整个定义域内是增函数吗？请举一个例子．

活动：问题①，从图中可以看出，正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2

＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．教师引导学生进一步思考，这点反应了它的哪一性质——定义域；并且函数图象在每个区间都无限靠近这些直线，我们可以将这些直线称之为正切函数的什么线——渐近线；从y 轴方向看，上下无限延伸，得到它的哪一性质——值域为R ；每隔π个单位，对应的函数值相等，得到它的哪一性质——周期π；在每个区间图象都是上升趋势，

得到它的哪一性质——单调性，单调增区间是(－π2＋k π，π2

＋k π)，k ∈Z ，没有减区间．它的图象是关于原点对称的，得到是哪一性质——奇函数．通过图象我们还能发现是中心对称，

对称中心是(k π2

，0)，k ∈Z . 问题②，正切函数在每个区间上都是增函数，但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数．如在区间(0，π)上就没有单调性．

讨论结果：①略．

②略．

应用示例

例1比较大小．

(1)tan138°与tan143°；(2)tan(－13π4)与tan(－17π5

)． 活动：利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，可以先利用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小．教师可放手让学生自己去探究完成，由学生类比正弦、余弦函数值的大小比较，学生不难解决，主要是训练学生巩固本节所学的基础知识，加强类比思想的运用．

解：(1)∵y ＝tan x 在90°

∴由138°<143°，得tan138°

(2)∵tan(－13π4)＝－tan 13π4＝－tan(3π＋π4)＝－tan π4

， tan(－17π5)＝－tan 17π5＝－tan(3π＋2π5)＝－tan 2π5

. 又0<π4<2π5<π2，而y ＝tan x 在(0，π2

)上是增函数， ∴tan π4

.

∴－tan π4>－tan 2π5

， 即tan(－13π4)>tan(－17π5

)． 点评：不要求学生强记正切函数的性质，只要记住正切函数的图象或正切线即可． 例2用图象求函数y ＝tan x －3的定义域．

活动：如图4，本例的目的是让学生熟悉运用正切曲线来解题．不足之处在于本例可以通过三角函数线来解决，教师在引导学生探究活动中，也应以两种方法提出解决方案，但要有侧重点，应体现函数图象应用的重要性．

图4 图5

解：由tan x －3≥0，得tan x ≥3，

利用图4知，所求定义域为[k π＋π3，k π＋π2)(k ∈Z )． 点评：先在一个周期内得出x 的取值范围，然后再加周期即可，亦可利用单位圆求解，例3求函数y ＝tan(π2x ＋π3

)的定义域、周期和单调区间． 活动：类比正弦、余弦函数，本例应用的是换元法，由于在研究正弦、余弦函数的类似问题时已经用过换元法，所以这里也就不用再介绍换元法，可以直接将π2x ＋π3

作为一个整体．教师可让学生自己类比地探究，只是提醒学生注意定义域．

解：函数的自变量x 应满足π2x ＋π3≠k π＋π2

，k ∈Z ， 即x ≠2k ＋13

，k ∈Z . 所以函数的定义域是{x |x ≠2k ＋13

，k ∈Z }． 由于f (x )＝tan(π2x ＋π3)＝tan(π2x ＋π3＋π)＝tan[π2(x ＋2)＋π3

]＝f (x ＋2)， 因此，函数的周期为2.

由－π2＋k π<π2x ＋π3<π2＋k π，k ∈Z ，解得－53＋2k

＋2k ，k ∈Z . 因此，函数的单调递增区间是(－53＋2k ，13

＋2k )，k ∈Z .

点评：同y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的周期性的研究一样，这里可引导学生探究y ＝A tan(ωx

＋φ)(ω>0)的周期T ＝πω

.

例4把tan1，tan2，tan3，tan4按照由小到大的顺序排列，并说明理由．

活动：引导学生利用函数y ＝tan x 的单调性探究解题方法．也可利用单位圆中的正切线探究解题方法．但要提醒学生注意本节中活动的结论：正切函数在定义域内的每个区间上都是增函数，但我们不可以说正切函数在整个定义域内是增函数．学生可能的错解有：

错解1：∵函数y ＝tan x 是增函数，又1<2<3<4，∴tan1

错解2：∵2和3的终边在第二象限，∴tan2，tan3都是负数．∵1和4的终边分别在第一象限和第三象限，∴tan1，tan4都是正数．

又∵函数y ＝tan x 是增函数，且2<3,1<4，

∴tan2

教师可放手让学生自己探究问题的解法．发现错解后不要直接纠正，立即给出正确解法，可再让学生讨论分析找出错的原因．

解法一：∵函数y ＝tan x 在区间(π2，3π2

)上是单调递增函数， 且tan1＝tan(π＋1)，又π2<2<3<4<π＋1<3π2

， ∴tan2

解法二：如图6,1,2,3,4的正切函数线分别是AT 1，AT 2，AT 3，AT 4，

图6

∴tan2

知能训练

课本本节练习1～5.

解答：

1．在x 轴上任取一点O 1，以O 1为圆心，单位长为半径作圆，作垂直于x 轴的直径，将⊙O 1分成左右两个半圆，过右半圆与x 轴的交点作⊙O 1的切线，然后从圆心O 1引7条射

线把右半圆分成8等份，并与切线相交，得到对应于－3π8，－π4，－π8，0，π8，π4，3π8

等角的正切线．相应地，再把x 轴上从－π2到π2

这一段分成8等份．把角x 的正切线向右平行移动，使它的起点与x 轴上的点x 重合，再把这些正切线的终点用光滑的曲线连接起来，就得到函

数y ＝tan x ，x ∈(－π2，π2

)的图象． 点评：可类比正弦函数图象的作法．

2．(1){x |k π

＋k π

3．x ≠π6＋k π3

，k ∈Z . 点评：可用换元法．

4．(1)π2

；(2)2π. 点评：可根据函数图象得解，也可直接由函数y ＝A tan(ωx ＋φ)，x ∈R 的周期T ＝πω

得解． 5．(1)不是．例如0<π，但tan0＝tanπ＝0.

(2)不会．因为对于任何区间A 来说，如果A 不含有π2

＋k π(k ∈Z )这样的数，那么函数y ＝tan x ，x ∈A 是增函数；如果A 至少含有一个π2＋k π(k ∈Z )这样的数，那么在直线x ＝π2

＋k π两侧的图象都是上升的(随自变量由小到大)．

点评：理解正切函数的单调性．

课堂小结

1．先由学生回顾本节都学到了哪些知识方法，有哪些启发、收获．本节课我们是在研究完正、余弦函数的图象与性质之后，研究的又一个具体的三角函数，与研究正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同？研究正、余弦函数，是由图象得性质，而这节课我们从正切函数的定义出发得出一些性质，并在此基础上得到图象，最后用图象又验证了函数的性质．

2．(教师点拨)本节研究的过程是由数及形，又由形及数相结合，也是我们研究函数的基本方法，特别是又运用了类比的方法、数形结合的方法、化归的方法．请同学们课后思考总结：这种多角度观察、探究问题的方法对我们今后学习有什么指导意义？

作业

课本习题1.4 A 组6、8、9.

设计感想

1．本教案的设计背景刚刚学完正弦函数、余弦函数的图象与性质．因此教案的设计主线是始终抓住类比思想这条主线，让学生在巩固原有知识的基础上，通过类比，由学生自己来对新知识进行分析、探究、猜想、证明，使新旧知识点有机地结合在一起，学生对新知识也较易接受．

2．本教案设计的学习程序是：温故(相关知识准备)→新的学习对象与旧知识的联系→类比探究→解决问题→应用成果→归纳总结→进一步的发散思考→探索提高．

备课资料

函数f (x )±g (x )最小正周期的求法

若f (x )和g (x )是三角函数，求f (x )±g (x )的最小正周期没有统一的方法，往往因题而异，现介绍几种方法：

(一)定义法

例1求函数y ＝|sin x |＋|cos x |的最小正周期．

解：∵y ＝|sin x |＋|cos x |＝|－sin x |＋|cos x |＝|cos(x ＋π2)|＋|sin(x ＋π2

)| ＝|sin(x ＋π2)|＋|cos(x ＋π2

)|， 对定义域内的每一个x ，当x 增加到x ＋π2

时，函数值重复出现，因此函数的最小正周期是π2

. (二)公式法

这类题目是通过三角函数的恒等变形，转化为一个角的一种函数的形式，用公式去求，

其中正、余弦函数求最小正周期的公式为T ＝2π|ω|，正、余切函数T ＝π|ω|

. 例2求函数y ＝1tan x

－tan x 的最小正周期． 解：y ＝1tan x －tan x ＝1－tan 2x tan x ＝2·1－tan 2x 2tan x ＝2tan2x ，∴T ＝π2

. (三)最小公倍数法

设f (x )与g (x )是定义在公共集合上的两个三角周期函数，T 1、T 2分别是它们的周期，且T 1≠T 2，则f (x )±g (x )的最小正周期是T 1、T 2的最小公倍数，分数的最小公倍数＝分子的最小公倍数分母的最大公约数

. 例3求函数y ＝sin3x ＋cos5x 的最小正周期．

解：设sin3x 、cos5x 的最小正周期分别为T 1、T 2，则T 1＝2π3，T 2＝2π5

，所以y ＝sin3x ＋cos5x 的最小正周期T ＝2π1

＝2π. (四)图象法

例4求y ＝|cos x |的最小正周期.

解：由y ＝|cos x |的图象，可知y ＝|cos x |的周期T ＝π.

图7