21 一元二次方程全章教案

21．1一元二次方程

1．理解一元二次方程及其相关概念，能够熟练地把一元二次方程化为一般形式．2．会应用一元二次方程的解的定义解决有关问题．

3．在分析、揭示实际问题中的数量关系，并把实际问题转化为数学模型的过程中，感受方程是刻画现实世界中的数量关系的工具，增强对一元二次方程的感性认识．

一、情境导入

参加一次集会，如果有x个人，每两人之间都握一次手，共握了21次手，请你列出符合上述条件的方程，并判断方程是什么类型？

二、合作探究

探究点一：一元二次方程的概念

【类型一】一元二次方程的识别

下列选项中，是关于x的一元二

次方程的是( )

A．x2＋

1

x2

＝1 B．3x2－2xy－5y2＝0

C．(x－1)(x－2)＝3 D．ax2＋bx＋c

＝0

解析：选项A中的方程分母含有未知数，

所以它不是一元二次方程；选项B中的方程

含有2个未知数，所以它不是一元二次方程；

当a＝0时，选项D中的方程不含二次项，

所以它不是一元二次方程，排除A、B、D，

故选C.

方法总结：判断一个方程是不是一元二

次方程，必须将方程化简后再进行判断．一

元二次方程的三个条件：一是方程两边都是

整式；二是只含有一个未知数；三是未知数

的最高次数是 2.上述三个条件必须同时满

足，缺一不可．

【类型二】利用一元二次方程的概念确

定字母系数

关于x的方程(k＋1)x|k－1|＋kx＋1

＝0是一元二次方程，则k的值为________．

解析：由题意得

⎩⎪

⎨

⎪⎧|k－1|＝2，

k＋1≠0，

∴

⎩⎪

⎨

⎪⎧k＝3或k＝－1，

k≠－1.

∴k＝3.

方法总结：由一元二次方程的概念满足

的条件：未知数最高次数为2，构造方程，

解出字母取值，并利用二次项系数不为0排

除使二次项系数为0的字母取值，从而确定

字母取值．

探究点二：一元二次方程的一般形式

将下列方程化为一元二次方程的

一般形式，并指出它们的二次项系数、一次

项系数及常数项．

(1)3x2－2＝5x；

(2)9x2＝16；

(3)2x(3x＋1)＝17；

(4)(3x－5)(x＋1)＝7x－2.

解析：先分别将各方程化为一般形式，

再指出它们的各部分的名称．

解：(1)方程化为一般形式为3x2－5x－

2＝0，二次项系数是3，一次项系数是－5，

常数项是－2.

(2)方程化为一般形式为9x2－16＝0，

二次项系数是9，一次项系数是0，常数项

是－16.

(3)方程化为一般形式为6x2＋2x－17

＝0，二次项系数是6，一次项系数是2，常

数项是－17.

(4)方程化为一般形式为3x2－9x－3＝

0，二次项系数是3，一次项系数是－9，常

数项是－3.

方法总结：求一元二次方程的各项系数和常数项，必须先把方程化为一般形式，特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号．

探究点三：列一元二次方程

(2015·深圳一模)在一张矩形的

床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面

积为1.6m 2

.已知床单的长是2m ，宽是1.4m ，求花边的宽度．请根据题意列出方程．

解析：设花边的宽度为x m ，则由图可知剩下部分的长为(2－2x )m ，剩下部分的宽为

(1.4－2x )m.∵剩下部分面积为1.6m 2

，∴可列方程(2－2x )(1.4－2x )＝1.6.

方法总结：列方程最重要的是审题，只有理解题意，才能恰当的设出未知数，准确地找出已知量和未知量之间的等量关系，正确的列出方程．

探究点四：一元二次方程的解 【类型一】判断一元二次方程的解

方程x －2x ＝0的解为( ) A ．x 1＝1，x 2＝2 B ．x 1＝0，x 2＝1

C ．x 1＝0，x 2＝2

D ．x 1＝1

2，x 2＝2

解析：把各选项中未知数的值分别代入方程的左右两边，只有选项C 中的x 1＝0，x 2＝2都能使方程x 2－2x ＝0的左右两边相等，所以选C.

方法总结：判断一个未知数的值是否是一元二次方程的解，可以把未知数的值代入方程左右两边，能使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解．

【类型二】利用一元二次方程的解的意义求字母或代数式的值

已知1是关于x 的一元二次方程(m －1)x 2

＋x ＋1＝0的一个根，则m 的值是( )

A ．1

B ．－1

C ．0

D ．无法确定

解析：根据方程的根的概念，直接代入方程，左右两边相等，但考虑到是一元二次方程，所以二次项系数不能等于0.由此得，(m －1)＋1＋1＝0，解得m ＝－1，此时m －1＝－2≠0，∴m ＝－1.故选B.

方法总结：方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值，在涉及方程根的题目中，我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题．

三、板书设计

教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的思想方法.

21．2.1 配方法 第1课时 直接开平方法

1．学会根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．

2．运用开平方法解形如(x ＋m )2

＝n 的方程． 3．体验类比、转化、降次的数学思想方法，增强学习数学的兴趣．

一、情境导入

一个正方形花坛的面积为10，若设其边长为x ，根据正方形的面积可列出怎样的方程？用怎样的方法可以求出所列方程的解呢？

二、合作探究

探究点：直接开平方法 【类型一】用直接开平方法解一元二次方程

运用开平方法解下列方程： (1)4x 2

＝9；

(2)(x ＋3)2

－2＝0.

解析：(1)先把方程化为x 2

＝a (a ≥0)的

形式；(2)原方程可变形为(x ＋3)2

＝2，则x ＋3是2的平方根，从而可以运用开平方法求解．

解：(1)由4x 2＝9，得x 2

＝

94，两边直接

开平方，得x ＝±32，∴原方程的解是x 1＝3

2

，

x 2＝－32

.

(2)移项，得(x ＋3)2

＝2.两边直接开平

方，得x ＋3＝± 2.∴x ＋3＝2或x ＋3＝－ 2.∴原方程的解是x 1＝2

－3，x 2＝－2－3. 方法总结：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通过降次，把一元二次方程转化为一元一次方程求解的，这是解一元二次

方程的基本思想；一般地，对于形如x 2

＝a (a ≥0)的方程，根据平方根的定义，可解

得x 1＝a ，x 2＝－a .

【类型二】直接开平方法的应用 次方程ax 2＝b (ab >0)的两个根分别是m ＋1与2m －4，则b

a

＝________.

解析：∵ax 2

＝b ，∴x ＝±

b

a

，∴方程的两个根互为相反数，∴m ＋1＋2m －4＝

0，解得m ＝1，∴一元二次方程ax 2

＝b (ab

＞0)的两个根分别是2与－2，∴b

a

＝2，∴b a

＝4，故答案为4.

【类型三】直接开平方法与方程的解的综合应用

若一元二次方程(a ＋2)x 2

－ax ＋

a 2－4＝0的一个根为0，则a ＝________．

解析：∵一元二次方程(a ＋2)x 2

－ax ＋

a 2－4＝0的一个根为0，∴a ＋2≠0且a 2

－4＝0，∴a ＝2.故答案为2.

【类型四】直接开平方法的实际应用

有一个边长为11cm 的正方形和一

个长为13cm ，宽为8cm 的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，边长应为多少厘米？

分析：要求新正方形的边长，可先求出原正方形和矩形的面积之和，然后再用开平方计算．

解：设新正方形的边长为x cm ，根据题意得x 2＝112＋13×8，即x 2

＝225，解得x ＝±15.因为边长为正，所以x ＝－15不合

题意，舍去，所以只取x ＝15.答：新正方形的边长应为15cm.

方法总结：在解决与平方根有关的实际问题时，除了根据题意解题外，有时还要结合实际，把平方根中不符合实际情况的负值舍去．

三、板书设计

教学过程中，强调利用开平方法解一元二次方程的本质是求一个数的平方根的过程．同时体会到解一元二次方程过程就是一个“降次”的过程.

第2课时 配方法

1．了解配方的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．

2．探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系，能够熟练地运用配方法解决有关问题．

一、情境导入

李老师让学生解一元二次方程x 2

－6x －5＝0，同学们都束手无策，学习委员蔡亮考虑了一下，在方程两边同时加上14，再把方程左边用完全平方公式分解因式……，你能按照他的想法求出这个方程的解吗？

二、合作探究 探究点：配方法 【类型一】配方

用配方法解一元二次方程x 2

－4x

＝5时，此方程可变形为( )

A ．(x ＋2)2＝1

B ．(x －2)2

＝1

C ．(x ＋2)2＝9

D ．(x －2)2

＝9 解析：由于方程左边关于x 的代数式的二次项系数为1，故在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边写成完

全平方式的形式，右边化简即可．因为x

2

－4x ＝5，所以x 2

－4x ＋4＝5＋4，所以(x －2)2

＝9.故选D.

方法总结：用配方法将一元二次方程变形的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边，使方程的左边只留下二次项和一次项；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

【类型二】利用配方法解一元二次方程

用配方法解方程：x2－4x＋1＝0.

解析：二次项系数是1时，只要先把常

数项移到右边，然后左、右两边同时加上一

次项系数一半的平方，把方程配成(x＋m)2

＝n(n≥0)的形式再用直接开平方法求解．

解：移项，得x2－4x＝－1.配方，得x2

－4x＋(－2)2＝－1＋(－2)2.即(x－2)2＝3.

解这个方程，得x－2＝± 3.∴x1＝2＋3，

x2＝2－ 3.

方法总结：用配方法解一元二次方程，

实质上就是对一元二次方程变形，转化成开

平方所需的形式．

【类型三】用配方解决求值问题

已知：x＋4x＋y－6y＋13＝0，

求

x－2y

x2＋y2

的值．

解：原方程可化为(x＋2)2＋(y－3)2＝

0，∴(x＋2)2＝0且(y－3)2＝0，∴x＝－2

且y＝3，∴原式＝

－2－6

13

＝－

8

13

.

【类型四】用配方解决证明问题

(1)用配方法证明2x－4x＋7的

值恒大于零；

(2)由第(1)题的启发，请你再写出三个

恒大于零的二次三项式．

证明：(1)2x2－4x＋7＝2(x2－2x)＋7＝

2(x2－2x＋1－1)＋7＝2(x－1)2－2＋7＝

2(x－1)2＋5.∵2(x－1)2≥0，∴2(x－1)2＋

5≥5，即2x2－4x＋7≥5，故2x2－4x＋7的

值恒大于零．

(2)x2－2x＋3；2x2－2x＋5；3x2＋6x＋

8等．

【类型五】配方法与不等式知识的综合

应用

证明关于x的方程(m2－8m＋17)x2

＋2mx＋1＝0不论m为何值时，都是一元二

次方程．

解析：要证明“不论m为何值时，方程

都是一元二次方程”，只需证明二次项系数

m2－8m＋17的值不等于0.

证明：∵二次项系数m2－8m＋17＝m2－

8m＋16＋1＝(m－4)2＋1，又∵(m－4)2≥0，

∴(m－4)2＋1＞0，即m2－8m＋17＞0.∴不论

m为何值时，原方程都是一元二次方程．

三、板书设计

教学过程中，强调配方法解方程就是将方程

左边配成完全平方式的过程．因此需熟练掌

握完全平方式的形式.

21．2.2 公式法

1．知道一元二次方程根的判别式的概念． 2．会用判别式判断一元二次方程的根的情况及根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围． 3．经历求根公式的推导过程并会用公式法解简单的一元二次方程． 一、情境导入

老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小强突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道他是如何判断的吗？ 二、合作探究 探究点一：一元二次方程的根的情况 【类型一】

判断一元二次方程根的情况 不解方程，判断下列方程的根的情况． (1)2x 2＋3x －4＝0； (2)x 2－x ＋14＝0； (3)x 2－x ＋1＝0. 解析：根据根的判别式我们可以知道当b 2－4ac ≥0时，方程才有实数根，而b 2－4ac <0时，方程没有实数根．由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况． 解：(1)2x 2

＋3x －4＝0，a ＝2，b ＝3，c ＝－4，∴b 2－4ac ＝32

－4×2×(－4)＝41＞0.∴方程有两个不相等的实数根． (2)x 2－x ＋14＝0，a ＝1，b ＝－1，c ＝14.

∴b 2－4ac ＝(－1)2

－4×1×14

＝0.∴方程有

两个相等的实数根．

(3)x 2

－x ＋1＝0，a ＝1，b ＝－1，c ＝1.∴b 2－4ac ＝(－1)2

－4×1×1＝－3＜

0.∴方程没有实数根． 方法总结：给出一个一元二次方程，不

解方程，可由b 2

－4ac 的值的符号来判断方

程根的情况．当b 2

－4ac ＞0时，一元二次方

程有两个不相等的实数根；当b 2

－4ac ＝0

时，一元二次方程有两个相等的实数根；当b 2－4ac ＜0时，一元二次方程无实数根．

【类型二】由一元二次方程根的情况确

定字母系数的取值

已知关于x 的一元二次方程(a －

1)x 2

－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则

a 的取值范围是( )

A ．a >2

B ．a <2

C ．a <2且a ≠1

D ．a <－2 解析：由于一元二次方程有两个不相等

的实数根，判别式大于0，得到一个不等式，

再由二次项系数不为0知a －1不为0.即4－4(a －1)＞0且a －1≠0，解得a ＜2且a ≠1.选C.

方法总结：若方程有实数根，则b 2

－

4ac ≥0.由于本题强调说明方程是一元二次方程，所以，二次项系数不为0.因此本题还是一道易错题．

【类型三】说明含有字母系数的一元二

次方程根的情况

已知：关于x 的方程2x 2

＋kx －1

＝0，求证：方程有两个不相等的实数根．

证明：Δ＝k 2－4×2×(－1)＝k 2＋8，

无论k 取何值，k 2≥0，所以k 2

＋8＞0，即Δ

＞0，∴方程2x 2

＋kx －1＝0有两个不相等的实数根． 方法总结：要说明一个含字母系数的一元二次方程的根的情况，只需求出该方程根

的判别式，分析其正、负情况，即可得出结

论．

【类型四】一元二次方程的根的情况的

实际应用

小林准备进行如下操作实验：把

一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2”，他的说法对吗？请说明理由．

解：假设能围成．设其中一个正方形的边长为x，则另一个正方形的边长是(10－x)，由题可得，x2＋(10－x)2＝48.化简得x2－10x＋26＝0.因为b2－4ac＝(－10)2－4×1×26＝－4<0，所以此方程没有实数根．所以小峰的说法是对的．

探究点二：公式法解一元二次方程

【类型一】用公式法解一元二次方程

用公式法解下列方程：

(1)2x2＋x－6＝0；

(2)x2＋4x＝2；

(3)5x2－4x＋12＝0；

(4)4x2＋4x＋10＝1－8x.

解析：方程(1)(3)是一元二次方程的一

般形式，可以直接确定a，b，c的值，并计

算b2－4ac的值，然后代入求根公式，即可

求出方程的根；方程(2)(4)则需要先化成一

般形式，再求解．

解：(1)这里a＝2，b＝1，c＝－6，b2

－4ac＝12－4×2×(－6)＝1＋48＝49.∴x

＝

－b±b2－4ac

2a

＝

－1±49

2×2

＝

－1±7

4

，即

原方程的解是x1＝－2，x2＝

3

2

.

(2)将方程化为一般形式，得x2＋4x－2

＝0.∵b2－4ac＝24，∴x＝

－4±24

2

＝－

2± 6.∴原方程的解是x1＝－2＋6，x2＝

－2－ 6.

(3)∵b2－4ac＝－224<0，∴原方程没有

实数根．

(4)整理，得4x2＋12x＋9＝0.∵b2－4ac

＝0，∴x1＝x2＝－

3

2

.

方法总结：用公式法解一元二次方程

时，一定要先将方程化为一般形式，再确定

a，b，c的值．

【类型二】一元二次方程解法的综合运

用

三角形的两边分别为2和6，第三

边是方程x2－10x＋21＝0的解，则第三边的

长为( )

A．7 B．3

C．7或3 D．无法确定

解析：解一元二次方程x2－10x＋21＝

0，得x1＝3，x2＝7.根据三角形三边的关系，

第三边还应满足4

＜x

＜8.所以第三边的长x

＝7.故选A.

方法总结：解题的关键是正确求解一元

二次方程，并会运用三角形三边的关系进行

取舍．

三、板书设计

教学过程中，强调用判别式去判断方程根的

情况，首先需把方程化为一般形式．同时公

式法的得出是通过配方法来的，用公式法解

方程∴前提是Δ≥0.

21．2.3 因式分解法

1．认识用因式分解法解方程的依据． 2．会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程．

一、情境导入

我们知道ab ＝0，那么a ＝0或b ＝0，类似的解方程(x ＋1)(x －1)＝0时，可转化为两个一元一次方程x ＋1＝0或x －1＝0来解，你能求出(x ＋3)(x －5)＝0的解吗？ 二、合作探究 探究点一：用因式分解法解一元二次方程 【类型一】利用提公因式法分解因式解

一元二次方程

用因式分解法解下列方程： (1)x 2

＋5x ＝0；

(2)(x －5)(x －6)＝x －5.

解析：变形后方程右边是零，左边是能分解的二次三项式，可用因式分解法．

解：(1)原方程转化为x (x ＋5)＝0，∴x ＝0或x ＋5＝0，∴原方程的解为x 1＝0，x 2＝－5； (2)原方程转化为(x －5)(x －6)－(x －5)＝0，∴(x －5)[(x －6)－1]＝0，∴(x －5)(x －7)＝0，∴x －5＝0或x －7＝0，∴原方程的解为x 1＝5，x 2＝7. 【类型二】利用公式法分解因式解一元

二次方程 用因式分解法解下列方程： (1)x 2

－6x ＝－9； (2)4(x －3)2－25(x －2)2

＝0. 解：(1)原方程可变形为：x 2

－6x ＋9＝0，

则(x －3)2

＝0，∴x －3＝0，因此原方程的解为：x 1＝x 2＝3.

(2)[2(x －3)]2－[5(x －2)]2

＝0，[2(x －3)＋5(x －2)][2(x －3)－5(x －2)]＝0，(7x －16)(－3x ＋4)＝0，∴7x －16＝0或－

3x ＋4＝0，∴原方程的解为x 1＝167，x 2＝4

3

. 方法总结：因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②

将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，就得到两个一元

一次方程；④解这两个一元一次方程，它们

的解就是原方程的解．

探究点二：用因式分解法解决问题

若a 、b 、c 为△ABC 的三边，且a 、b 、c 满足a 2－ac －ab ＋bc ＝0，试判断△ABC

的形状． 解析：先分解因式，确定a ，b ，c 的关系，再判断三角形的形状．

解：∵a 2

－ac －ab ＋bc ＝0，∴(a －b )(a

－c )＝0，∴a －b ＝0或a －c ＝0，∴a ＝c 或a ＝b ，∴△ABC 为等腰三角形．

三、板书设计

利用因式分解法解一元二次方程，能否分解

是关键，因此，要熟练掌握因式分解的知识，提高用分解因式法解方程的能力．在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法.

*

21.2.4 一元二次方程的根与

系数的关系 1．探索一元二次方程的根与系数的关系． 2．会不解方程利用一元二次方程的根与系数解决问题．

一、情境导入

一般地，对于关于x 的方程x 2

＋px ＋q ＝0(p ，q 为已知常数，p 2

－4q ≥0)，试用求根公式求出它的两个解x 1、x 2，算一算x 1＋x 2、x 1·x 2的值，你能得出什么结果？ 二、合作探究 探究点：一元二次方程根与系数的关系 【类型一】利用一元二次方程根与系数的关系求关于方程根的代数式的值 已知m 、n

是方程2x －x －2＝0的两实数根，则1m ＋1

n

的值为( )

A ．－1 B.12 C ．－1

2 D ．1

解析：根据根与系数的关系，可以求出

m ＋n 和mn 的值，再将原代数式变形后，整

体代入计算即可．因为m 、n 是方程2x 2

－x －2＝0的两实数根，所以m ＋n ＝1

2，mn ＝－

1，1m ＋1n ＝n ＋m mn ＝1

2－1＝－12.故选C. 方法总结：解题时先把代数式变形成与两根和、积有关的形式，注意前提：方程有两个实数根时，判别式大于或等于0.

【类型二】根据方程的根确定一元二次方程

已知一元二次方程的两根分别是

4和－5，则这个一元二次方程是( )

A ．x 2－6x ＋8＝0

B ．x 2

＋9x －1＝0

C ．x 2－x －6＝0

D ．x 2

＋x －20＝0

解析：∵方程的两根分别是4和－5，

设两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－1，x 1·x 2＝

－20.如果令方程ax 2

＋bx ＋c ＝0中，a ＝1，则－b ＝－1，c ＝－20.∴方程为x 2

＋x －20

＝0.故选D. 方法总结：先把所构造的方程的二次项

系数定为1，利用一元二次方程根与系数的关系确定一元二次方程一次项系数和常数

项． 【类型三】根据根与系数的关系确定方

程的解 (2014·云南曲靖)已知x ＝4是一

元二次方程x 2

－3x ＋c ＝0的一个根，则另一

个根为________．

解析：设另一根为x 1，则由根与系数的关系得x 1＋4＝3，∴x 1＝－1.故答案为x ＝－1.

方法总结：解决这类问题时，利用一元二次方程的根与系数的关系列出方程即可解决． 【类型四】利用一元二次方程根与系数

的关系确定字母系数 )关于x 的方程

x 2－ax ＋2a ＝0的两根的平方和是5，则a

的值是( )

A ．－1或5

B ．1

C ．5

D ．－1

解析：将两根平方和转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决．设方程两根为x 1，x 2，由

题意，得x 21＋x 22＝5.∴(x 1＋x 2)2

－2x 1x 2＝

5.∵x 1＋x 2＝a ，x 1x 2＝2a ，∴a 2

－2×2a ＝5.

解得a 1＝5，a 2＝－1.又∵Δ＝a 2

－8a ，当a ＝5时，Δ<0，此时方程无实数根，所以舍去a ＝5.当a ＝－1时，Δ>0，此时方程有两实数根．所以取a ＝－1.故选D.

方法总结：解答此类题的关键是将与方程两根有关的式子转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．注意不要忽略题目中的隐含

条件Δ≥0，导致解答不全面．

【类型五】一元二次方程根与系数的关

系和根的情况的综合应用

已知x 1、x 2是一元二次方程(a －6)x 2

＋2ax ＋a ＝0的两个实数根．

(1)是否存在实数a ，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成立？若存在，求出a 的值；若不存在，请你说明理由；

(2)求使(x 1＋1)(x 2＋1)为负整数的实数a 的整数值．

解：(1)根据题意，得Δ＝(2a )2

－4×a (a －6)＝24a ≥0.解得a ≥0.又∵a －6≠0，∴a ≠6.由根与系数关系得：x 1＋x 2＝－

2a

a －6

，x 1x 2＝a

a －6

.由－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2得x 1＋x 2＋

4＝x 1x 2，∴－

2a a －6＋4＝a a －6

，解得a ＝24.经检验a ＝24是方程－

2a a －6＋4＝a

a －6

的解．即存在a ＝24，使－x 1＋x 1x 2＝4＋x 2成

立．

(2)原式＝x 1＋x 2＋x 1x 2＋1＝－

2a a －6

＋a

a －6＋1＝6

6－a 为负整数，则6－a 为－1或－2，－3，－6.解得a ＝7或8，9，

12.

三、板书设计

教学过程中，强调一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式得到的，在利用此关系确定字母的取值时，一定要记住Δ≥0这个前提条件.

21．3实际问题与一元二次方程

第1课时传播问题与一元二次方程

1．会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题中的实际意义，检验所得的结果是否合理．

2．联系实际，让学生进一步经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程，获得更多运用数学知识分析、解决实际问题的方法和经验，进一步掌握解应用题的步骤和关键．

一、情境导入

某细菌利用二分裂方式繁殖，每次一个分裂成两个，那么五次繁殖后共有多少个细菌呢？

二、合作探究

探究点：传播问题与一元二次方程

【类型一】疾病传染问题

有一人患了流感，经过两轮传染

后共有64人患了流感．

(1)求每轮传染中平均一个人传染了多

少个人？

(2)如果不及时控制，第三轮将又有多

少人被传染？

解析：设每轮传染中平均一个人传染了

x个人，根据题意可知，在第一轮，有x个

人被传染，此时，共有(1＋x)人患了流感；

到了第二轮，患流感的(1＋x)人作为“传染

源”，每个人又传染给了x个人，这样，在

第二轮中新增加的患了流感的人有x(1＋x)

人，根据等量关系可列一元二次方程解答．

解：(1)设每轮传染中平均一个人传染

了x个

人，由题意，得1＋x＋x(1＋x)＝64，

解之，得x1＝7，x2＝－9(不合题意，舍去)．

答：每轮传染中平均一个人传染了7个

人．

(2)7×64＝448(人)．

答：又将有448人被传染．

方法总结：建立数学模型，利用一元二

次方程来解决实际问题．读懂题意，正确的

列出方程是解题的关键．

【类型二】分裂增长问题

月季生长速度很快，开花鲜艳诱

人，且枝繁叶茂．现有一棵月季，它的主干

长出若干数目的支干，每个支干又长出同样

数目的小分支，主干、支干、小分支的总数

是73.求每个支干长出多少小分支？

解：设每个支干长出x个小分支，根据

题意得：1＋x＋x2＝73，解得：x1＝8，x2＝

－9(舍去)．

答：每个支干长出8个小分支．

三、板书设计

教学过程中，强调利用一元二次方程解应用

题的步骤和关键．特别是解有关的传播问题

时，一定要明确每一轮传染源的基数.

第2课时平均变化率与一元二次方程

1．掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．

2．会解有关“增长率”及“销售”方面的实际问题．

一、情境导入

月季花每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？

二、合作探究

探究点：用一元二次方程解决增长率问题

【类型一】增长率问题

(2014·辽宁大连)某工厂一种产

品2013年的产量是100万件，计划2015年

产量达到121万件．假设2013年到2015年

这种产品产量的年增长率相同．

(1)求2013年到2015年这种产品产量

的年增长率；

(2)2014年这种产品的产量应达到多少

万件？

解析：(1)通过增长率公式列出一元二

次方程即可求出增长率；(2)依据求得的增

长率，代入2014年产量的表达式即可解决．

解：(1)设这种产品产量的年增长率为

x，根据题意列方程得100(1＋x)2＝121，解

得x1＝0.1，x2＝－2.1(舍去)．

答：这种产品产量的年增长率为10%.

(2)100×(1＋10%)＝110(万件)．

答：2014年这种产品的产量应达到110

万件．

方法总结：增长率问题中可以设基数为

a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增

长后的结果为a(1＋x)n；而增长率为负数

时，则降低后的结果为a(1－x)n

.

(2014·新疆乌鲁木齐)某工厂使

用旧设备生产，每月生产收入是90万元，

每月另需支付设备维护费5万元；从今年1

月份起使用新设备，生产收入提高且无设备

维护费，使用当月生产收入达100万元，1

至3月份生产收入以相同的百分率逐月增

长，累计达364万元，3月份后，每月生产

收入稳定在3月份的水平．

(1)求使用新设备后，2月、3月生产收

入的月增长率；

(2)购进新设备需一次性支付640万元，

使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不

低于使用旧设备的累计利润？(累计利润是

指累计生产收入减去旧设备维护费或新设

备购进费)

解析：(1)设2月，3月生产收入的月增

长率为x，根据题意建立等量关系，即3个

月之和为364万元，解方程时要对结果进行

合理取舍；(2)根据题意，建立不等关系：

前三个月的生产收入＋以后几个月的收入

减去一次性支付640万元大于或等于旧设备

几个月的生产收入－每个月的维护费，然后

解不等式．

解：(1)设2月，3月生产收入的月增长

率为x，根据题意有100＋100(1＋x)＋100(1

＋x)2＝364，即25x2＋75x－16＝0，解得，

x1＝－3.2(舍)，x2＝0.2，所以2月，3月生

产收入的月增长率为20%.

(2)设m个月后，使用新设备所得累计

利润不低于使用旧设备的累计利润，根据题

意有364＋100(1＋20%)2(m－3)－640≥90m

－5m，解得，m≥12.所以，使用新设备12

个月后所得累计利润不低于使用旧设备的

累计利润．

方法总结：根据实际问题中的数量关系

或是题目中给出的数量关系得到方程，通过解方程解决实际问题，当方程的解不只一个时，要根据题意及实际问题确定出符合题意的解．

【类型二】利润问题

一学校为了绿化校园环境，向某

园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：

如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120

元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，

所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，

但每棵树苗最低售价不得少于100元．该校

最终向园林公司支付树苗款8800元．请问

该校共购买了多少棵树苗？

解析：根据条件设该校共购买了x棵树

苗，根据“售价＝数量×单价”就可求解．

解：∵60棵树苗售价为120元×60＝

7200元<8800元，∴该校购买树苗超过60

棵．设该校共购买了x棵树苗，由题意得

x[120－0.5(x－60)]＝8800，解得x1＝220，

x2＝80.当x1＝220时，120－0.5(220－60)

＝40＜100，∴x1＝220不合题意，舍去；当

x2＝80时，120－0.5(80－60)＝110＞100，

∴x2＝80，∴x＝80.

答：该校共购买了80棵树苗．

方法总结：根据实际问题中的数量关系

或题目中给出的数量关系得到方程，当求出

的方程的解不只一个时，要根据题意及实际

问题确定出符合题意的解．

【类型三】方案设计问题

(2014·内蒙古兴安)菜农李伟种

植的某蔬菜计划以每千克5元的价格对外批

发销售．由于部分菜农盲目扩大种植，造成

该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，

对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的

价格对外批发销售．

(1)求平均每次下调的百分率；

(2)小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，

因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以

供选择：方案一，打九折销售；方案二，不

打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择

哪种方案更优惠？请说明理由．

分析：第(1)小题设平均每次下调的百

分率为x，列一元二次方程求出x，舍去不

合题意的解；第(2)小题通过计算进行比较

即可求解．

解：(1)设平均每次下调的百分率为x，

由题意，得5(1－x)2＝3.2，解得x1＝0.2＝

20%，x2＝1.8(舍去)．∴平均每次下调的百

分率为20%；

(2)小华选择方案一购买更优惠，理由

如下：方案一所需费用为：3.2×0.9×5000

＝14400(元)；方案二所需费用为：

3.2×5000－200×5＝15000(元)，∵14400

＜15000，∴小华选择方案一购买更优惠．

三、板书设计

教学过程中，强调解决有关增长率及利润问

题时，应考虑实际，对方程的根进行取舍.

第3课时 几何图形与一元二次方程

1．掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题． 2．继续探究实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题． 3．通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力．

一、情境导入

如图，在长为10cm ，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，你能求出所截去小正方形的边长吗？

二、合作探究 探究点：用一元二次方程解决图形面积问题 【类型一】利用面积构造一元二次方程

模型 (2014·甘肃陇南)用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方

米．若设它的一条边长为x 米，则根据题意可列出关于x 的方程为( )

A ．x (5＋x )＝6

B ．x (5－x )＝6

C ．x (10－x )＝6

D ．x (10－2x )＝6 解析：设一边长为x 米，则另外一边长为(5－x )米，根据它的面积为6平方米，即可列出方程得：x (5－x )＝6，故选择B.

方法总结：理解题意，恰当的设未知数，把题中相关的量用未知数表示出来，

用相等

关系列出方程．

(2014·黑龙江农垦)现有一块长

80cm 、宽60cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm 的小正方形，做成一

个底面积为1500cm 2

的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长． 解析：设小正方形的边长为x cm ，则长

方体盒子底面的长、宽均可用含x 的代数式表示，再根据面积，即可建立等量关系，列

出方程． 解：设小正方形的边长为x cm ，则可得

这个长方体盒子的底面的长是(80－2x )cm ，宽是(60－2x )cm ，根据矩形的面积的计算方

法即可表示出矩形的底面积，方程可列为(80－2x )(60－2x )＝1500，整理得x 2

－70x

＋825＝0，解得x 1＝55，x 2＝15.又60－2x >0，∴x ＝55(舍)．∴小正方形的边长为15cm.

方法总结：要从已知条件中找出关键的

与所求问题有关的信息，通过图形求出面积，解题的关键是熟记各种图形的面积公式，列出符合题意的方程，整理即可．

【类型二】整体法构造一元二次方程模

型

(2014·甘肃兰州)如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路

分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．设道路宽

为x 米，根据题意可列出的方程为

______________．

解析：解法一：把两条道路平移到靠近

矩形的一边上，用含x 的代数式表示草坪的长为(22－x )米，宽为(17－x )米，根据草坪的面积为300平方米可列出方程(22－x )(17－x )＝300.

解法二：根据面积的和差可列方程：

22×17－22x －17x ＋x 2

＝300.

方法总结：解答与道路有关的面积问题，可以根据图形面积的和差关系，寻找相等关系建立方程求解；也可以用平移的方法，把道路平移构建特殊的图形，并利用面积建立方程求解．

【类型三】利用一元二次方程解决动点

问题

如图所示，在△ABC 中，∠C ＝

90°，AC ＝6cm ，BC ＝8cm ，点P 从点A 出发沿边AC 向点C 以1cm/s 的速度移动，点Q 从C 点出发沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动．

(1)如果P 、Q 同时出发，几秒钟后，可使△PCQ 的面积为8平方厘米？

(2)点P 、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ 的面积等于△ABC 的面积的一半．若存在，求出运动的时间；若不存在，说明理由．

解析：这是一道动态问题，可设出未知数，表示出PC 与CQ 的长，根据面积公式建立方程求解．

解：(1)设x s 后，可使△PCQ 的面积为8cm 2

，所以AP ＝x cm ，PC ＝(6－x )cm ，CQ ＝2x cm.则根据题意，得1

2·(6－x )·2x ＝8.整

理，得x 2

－6x ＋8＝0，解这个方程，得x 1＝2，x 2＝4.所以P 、Q 同时出发，2s 或4s

后可使△PCQ 的面积为8cm 2

.

(2)设点P 出发x 秒后，△PCQ 的面积等于△ABC 面积的一半．则根据题意，得12(6

－x )·2x ＝12×12×6×8.整理，得x 2

－6x ＋

12＝0.由于此方程没有实数根，所以不存在使△PCQ 的面积等于△ABC

面积一半的时刻．

三、板书设计

与图形有关的问题是一元二次方程应用的常见题型，解决这类问题的关键是将不规则图形分割或补全成规则图形，找出各部分面积之间的关系，运用面积等计算公式列出方程；对图形进行分割或补全的原则：转化成为规则图形时越简单越直观越好.