勾股定理的简单应用(强化卷)解析版 -2021-2022学年八年级数学上册(苏科版)教材同步课时精练

3.3勾股定理的简单应用强化卷一、单选题1．如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要多少米?（）A．4B．8C．9D．7【答案】D【解析】解：楼梯的水平宽度4，∵地毯的长度为楼梯的水平宽度和垂直高度的和，∵地毯的长度至少为：3+4=7米，故选D.2．如图所示，一根长度为17cm的筷子，斜放在底面半径为3cm的圆柱形水杯内，量得露在水杯外面的部分AD的长为7cm，则水杯的高AC是（）A．10cm B．8cm C．9cm D．7cm【答案】B【解析】解：连接BC，根据题意BC=3×2=6（cm），AB=BD-AD=17-7=10（cm），在RtΔABC中根据勾股定理AC2=AB2−BC2=102−62=64,∵AC=8故选B.3．如图，一客轮以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一客轮同时以12海里/时的速度从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A．25海里B．30海里C．35海里D．40海里【答案】D【解析】解：连接BC，由题意得：AC=16×2=32（海里），AB=12×2=24（海里），CB=22AC AB+=40（海里），故选D．4．如图，圆柱的高为8cm，底面半径为6πcm，一只蚂蚁从点A沿圆柱外壁爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm 【答案】C【解析】底面圆周长为6212ππ=cm，底面半圆弧长为6cm，展开图如图所示，连接AB，∵BC=8cm，AC=6cm，∵22226810 AB AC BC故选C．5．如图，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（）A．12cm≤h≤19cm B．12cm≤h≤13cm C．11cm≤h≤12cm D．5cm≤h≤12cm【答案】C【解析】当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24-12=12cm．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB= =13cm，故h=24-13=11cm．故h的取值范围是11cm≤h≤12cm．故选C．6．小亮想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子从顶端垂到地面还多2米，当他把绳子的下端拉开8米后，下端刚好接触地面，那么学校旗杆的高度为( )A．8米B．10米C．15米D．17米【答案】C【解析】解：设旗杆高为xm，由勾股定理得：x2+82=（x+2）2解得x=15．故旗杆的高为15m．故选：C7．为了求出湖两岸的A、B两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形．如图，通过测量，得到AC长160 m，BC长128 m，则从点A穿过湖到点B的距离是( )A．48 m B．90 m C．96 m D．69 m【答案】C【解析】解：在Rt∵ABC中，∵ABC=90°，由勾股定理得，AB2+BC2=AC2，∵AB2=AC2-BC2，=1602-1282=9216，∵AB=96（m），故选：C．8．如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm. 若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一周到达Q点，则蚂蚁爬行的最短距离为（）A．11 cm B．12 cm C．13cm D．15 cm【答案】C【解析】将长方体的侧面展开，如图，连接PQ，则PQ的长即所求的最短距离，由题意可知，PA=2×(4+2)=12（cm），QA=5cm.在RtΔPAQ中，由勾股定理得，PQ2=PA2+QA2=122+52=132，∵PQ=13cm.故选C.9．如图，一圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（ 取3）是（）A．10cm B．12cm C．14cm D．无法确定【答案】A【解析】解：如图所示：可以把A和B展开到一个平面内，即圆柱的半个侧面是矩形：矩形的长BC=42π=2π=6，矩形的宽AC=8，在直角三角形ABC中，AC=8，BC=6，根据勾股定理得：AB=()2264π+≈10．故选A．10．如图，已知圆柱的底面直径6BCπ=，高3AB=，小虫在圆柱侧面爬行，从C点爬到A点，然后再沿另一面爬回C点，则小虫爬行的最短路程的平方为（）A．18B．48C．120D．72【答案】D【解析】解：把圆柱侧面展开，展开图如图所示，点A ，C 的最短距离为线段AC 的长.∵已知圆柱的底面直径6BC π=， ∵623AD ππ=⋅÷=， 在Rt ADC ∆中，90ADC ∠=︒ ，3CD AB ==，∵22218AC AD CD =+=，∵从C 点爬到A 点，然后再沿另一面爬回C 点，则小虫爬行的最短路程的平方为()222472AC AC ==. 故选D.二、填空题11．小丽从家出发先向正东方向直线前进了40米，接着又向正北方向直线前进了9米，此时小丽若以20米/分钟的速度回家，最少需要________分钟.【答案】2.05【解析】如图：AC=40米，BC=9米，根据勾股定理得：=41(米)，41÷20=2.05.故答案为2.05；12．如图，一旗杆离地面6m 处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8m 处，旗杆折断之前的高度是______ m ．【答案】16m【解析】解：∵旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为8m ，旗杆离地面6m 折断，且旗杆与地面是垂直的，∵折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．根据勾股定理，折断的旗杆为，∵旗杆折断之前高度为：10m+6m=16m ．故答案为16m ．13．有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一个树的树梢，则小鸟至少飞行_________________米【答案】10【解析】解：如图，设大树高为12AB m =，小树高为6CD m =，过C 点作CE AB ⊥于E ，则四边形EBDC 是矩形，连接AC ，6EB m ∴=，8EC m =，1266()AE AB EB m =-=-=，在Rt AEC ∆中，10()AC m ==．故小鸟至少飞行10m ．故答案为：10．14．如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，问小鸟至少飞行_______米．【答案】10【解析】解：如图，设大树高为AB=10米，小树高为CD=4米，过C点作CE∵AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∵EB=4m，EC=8m，AE=AB-EB=10-4=6米，在Rt∵AEC中，10AC=米．故答案为10．15．如图，某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏，它的高为2m，宽为1.5m，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为________．【答案】2.5m【解析】设木棒的长为xm，根据勾股定理可得：x2=22+1.52，解得x=2.5．故木棒的长为2.5m．故答案为2.5m．16．如图，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地面4.5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m内，灯就会自动发光，小明身高1.5m，他走到离墙_______的地方灯刚好发光.【答案】4米【解析】如图，传感器A距地面的高度为AB=4.5米，人高CD=1.5米，过点C作CE∵AB于点E，则人离墙的距离为CE，由题意可知AE=AB-BE=4.5-1.5=3（米）.当人离传感器A的距离AC=5米时，灯发光.此时，在Rt∵ACE中，根据勾股定理可得，CE2=AC2-AE2=52-32=42，∵CE=4米.即人走到离墙4米远时，灯刚好发光.17．如图，正方形B的面积是_____．【答案】144.【解析】解：如图，根据勾股定理可以得出：a2+b2=c2，a2=25，c2=169，b2=169-25=144，因此B的面积是144.故答案为：144．18．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20 dm,3 dm,2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是__________dm.【答案】25【解析】如图所示．∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为（2+3）×3，∵蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252，解得：x=25．故答案为25．19．如图，一架长5米的梯子A1B1斜靠在墙A1C上，B1到墙底端C的距离为3米，此时梯子的高度达不到工作要求，因此把梯子的B1端向墙的方向移动了1.6米到B处，此时梯子的高度达到工作要求，那么梯子的A1端向上移动了_____米．【答案】0.8【解析】解：在Rt∵ABO中，根据勾股定理知，A1=4（m），在Rt∵ABO中，由题意可得：BO=1.4（m），根据勾股定理知，=4.8（m），所以AA1=AO-A1O=0.8（米）．故答案为0.8．20．如图，铁路MN和公路PQ在O点处交汇，公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，如果火车行驶时，周围两百米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向，以144千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间是_______s【答案】8【解析】解：如图：过点A作AC∵ON，AB=AD=200米，∵公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，∵AC=120米，当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，∵AB=200米，AC=120米，∵由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，∵144千米/小时=40米/秒，∵影响时间应是：320÷40=8秒．故答案为：8．三、解答题21．如图，在∵ABC中，D是BC边上一点，已知AB＝15，AD＝12，AC＝13，CD＝5，求BD的长．【答案】BD＝9.【解析】在∵ACD中，AD2＋CD2＝122＋52＝169，AC2＝132＝169，∵AD2＋CD2＝AC2，∵∵ACD是直角三角形，且∵ADC＝90°，在Rt∵ABD中，BD2＝AB2－AD2＝152－122＝81，∵BD＝9.22．如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB=12km，AC=5km，BC=13km，要从A修一条公路AD直达BC，已知公路的造价为26000元/km，求这条公路的最低造价是多少万元？【答案】最低造价为120000元．【解析】∵AB2+AC2=122+52=169，BC2=132=169，∵AB2+AC2=BC2，∵∵A=90°，当AD∵BC时AD最短，造价最低,故过A点作AD∵BC，垂足为D，如图，∵S∵ABC=12AB•AC=12BC•AD，∵AD=6013 AB ACBCkm∵6013×26000=120000元． 故最低造价为120000元．23．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做多长？【答案】17.6【解析】解：如图；杯内的吸管部分长为AC ，杯高AB=12cm ，杯底直径BC=5cm ；Rt∵ABC 中，AB=12cm ，BC=5cm ；由勾股定理得：AC=13cm故吸管的长度最少要：13+4.6=17.6cm ．24．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面．求旗杆的高度．【答案】12米【解析】设旗杆的高度为x 米，则绳长为（x+1）米，根据题意得：（x+1）2=x 2+52，即2x -24=0，解得：x=12．答：旗杆的高度是12米．25．某地区为了开发农业，决定在公路上相距25km 的A ，B 两站之间E 点修建一个土特产加工基地，使E 点到C ，D 两村的距离相等．如图，DA AB ⊥于点A ，CB AB ⊥于点B ，15km DA =，10km CB =，土特产加工基地E 应建在距离A 站多少千米的地方？【答案】土特产加工基地E 应建在距离A 站10千米的地方．【解析】解：设km AE x =，则25km ()=-BE x ．在Rt DAE 中，222DA AE DE +=，在Rt EBC 中，222BE BC CE +=．∵DE CE =，∵2222DA AE BE BC +=+，∵()2222152510x x +=-+，解得10x =．答：土特产加工基地E 应建在距离A 站10千米的地方．26．如图，AB 为一棵大树，在树上距地面10米的D 处有两只猴子，他们同时发现C 处有一筐水果，一只猴子从D 处往上爬到树顶A 处，又沿滑绳AC 滑到C 处，另一只猴子从D 滑到B ，再由B 跑到C 处，已知两只猴子所经路程都为15米，求树高AB ．【答案】12米【解析】设BC=a(米),AC=b(米),AD=x(米)则10+a=x+b=15(米).∵a=5(米),b=15−x(米)又在Rt∵ABC 中,由勾股定理得：(10+x)²+a²=b²，∵(10+x)²+5²=(15−x)²，解得,x=2,即AD=2(米)∵AB=AD+DB=2+10=12(米)答：树高AB 为12米．27．如图所示，湖的两岸有两点A ，B ，在与AB 成直角的BC 方向上的点C 处测得AC ＝50米，BC ＝40米．求：（1）A ，B 两点间的距离；（2）点B 到直线AC 的距离．【答案】（1）30米；（2）24米．【解析】解：由图可知，三角形ABC 是直角三角形50CA m ，40CB m ， 2222504030AB CA CB m ；（2）过点B 作BD AC ⊥于点D ， 1122ABC S AB BC AC BD ，即 503040BD， 24BD即点B 到直线AC 的距离是24米．28．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB 由A 行驶向B ，已知点C 为一海港，且点C 与直线AB 上的两点A ，B 的距离分别为300AC km =，400BC km =，又500AB km =，以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域．（1）求ACB ∠的度数．（2）海港C 受台风影响吗？为什么？（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E 处时，海港C 刚好受到影响，当台风运动到点F 时，海港C 刚好不受影响，即250CE CF km ==，则台风影响该海港持续的时间有多长？【答案】（1）90︒；（2）海港C 受台风影响，证明见解析；（3）台风影响该海港持续的时间为7小时．【解析】（1）300AC km =，400BC km =，500AB km =，222AC BC AB ∴+=，ABC ∆∴是直角三角形，∵∵ACB=90°；（2）海港C 受台风影响，过点C 作CD AB ⊥，ABC ∆是直角三角形，AC BC CD AB ∴⨯=⨯，300400500CD ∴⨯=⨯，240()CD km ∴=，以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域，∴海港C 受台风影响．（3）当250EC km =，250FC km =时，正好影响C 港口，70()ED km ，140EF km ∴=，台风的速度为20千米/小时，140207∴÷=（小时）答：台风影响该海港持续的时间为7小时．29．先阅读下面的材料，再解决问题.（实际问题）如图1，一圆柱的底面半径为5cm ，BC 是底面直径，高AB 为5cm ，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到点C 的最短路线，小明设计了两条路线.（解决方案）路线 1：侧面展开图中的线段AC ，如图所示设路线1的长度为1l ，则()22222221552525l AC AB BC ππ==+=+=+.路线2：高线AB +底面直径BC .设路线2的长度为2l ，则()()2222510225l AB BC =+=+=. 为比较1l ，2l 的大小，采用“作差法”：因为()222122580l l π-=->；所以2212l l >，所以12l l >，所以小明认为路线2较短.（1）（问题类比）小亮对 上述结论有些疑惑，于是他把条件改成“圆柱的底面半径为1cm ，高AB 为5 cm".请你用上述方法帮小亮比较出1l 与2l 的大小.（2）（问题拓展）请你帮他们继续研究：在一般情况下，若圆柱的底面半径为r cm ，高为h cm ，蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C ，当r h满足什么条件时，路线2较短?请说明理由. （3）（问题解决）如图是紧密排列在一起的2个相同的圆柱，高为5cm.当蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到C 点的两条路线长度相等时，求圆柱的底面半径r .【答案】（1）路线1较短；（2）路线2较短；（3）半径r 为2104π- 【解析】解：（1）因为圆柱的底面半径为1cm ，高AB 为5cm ，所以路线1：22222125l AC AB BC π==+=+；路线2：2527l AB BC =+=+=，则2249l =因为2222122549240l l ππ-=+-=-<，所以2212l l <，所以12l l <，所以路线1较短（2）因为圆柱的底面半径为r cm ，高为h cm ， 所以路线1：()2222221l AC AB BC h r π==+=+，路线2：()()22222l AB BC h r =+=+， 所以()()()()22222221224444l l h r h r r r r h r r h πππ⎡⎤-=+-+=--=--⎣⎦.因为r 恒大于0，所以当()2440r h π-->，即244r h π>-时，2212l l >， 此时路线2较短（3）圆柱的高为5 cm.路线1：()222221252l AC AB BC r π==+=+， 路线2：()()222254l AB BC r =+=+，由题意，得()()2225254r r π+=+， 解得2104r π=- 即当圆柱的底面半径r 为2104π-时，蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到C 点的两条路线长度相等.。