最新高考专题 抛物线(解答题压轴题)解析版)-(全国通用版)

专题21 抛物线（解答题压轴题）1．（2021·全国高三模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线E ：()220y px p =>上一点00(4,)(0)S y y >到焦点F 的距离5SF =.不经过点S 的直线l 与E 交于A ，B . （1）求抛物线E 的标准方程；（2）若直线AS ，BS 的斜率之和为2，证明：直线l 过定点. 【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析. 【详解】（1）抛物线E ：()220y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，因为抛物线上一点00(4,)(0)S y y >到焦点F 的距离5SF =， 由抛物线的定义得452p+=，所以2p =. 所以抛物线E 的标准方程是24y x =；（2）将4x =代入24y x =可得04y =或04y =-（舍），所以点S 坐标为(4,4)， 因为直线l 的斜率不等于0，设直线l 的方程是x my n =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立24y x x my n⎧=⎨=+⎩，得2440y my n --=，因为直线l 与E 有两个交点，所以216160m n ∆=->，即20m n ->.由韦达定理得121244y y my y n +=⎧⎨=-⎩，因为直线AS ，BS 的斜率之和为2，所以121222121212444411444444444y y y y y y x x y y ⎛⎫----+=+=+ ⎪--++⎝⎭-- 1212124(8)24()16y y y y y y ++==+++，所以121224()0y y y y ++=，将121244y y m y y n+=⎧⎨=-⎩代入上式可得：8160n m -+=，即2n m =， 所以直线l 的方程是()2x my n m y =+=+，它过定点()0,2-.2．（2021·全国高三月考（理））已知直线l 过原点O ，且与圆A 交于M ，N 两点，4MN =，圆A 与直线2y =-相切，OA 与直线l 垂直，记圆心A 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程；（2）过直线1y =-上任一点P 作C 的两条切线，切点分别为1Q ，2Q ，证明： ①直线12Q Q 过定点； ②12PQ PQ ⊥．【答案】（1）24(0)x y y =≠；（2）①证明见解析；②证明见解析． 【详解】（1）解：如图，设(,)A x y ，因为圆A 与直线2y =-相切，所以圆Ａ的半径为|2|y +．由圆的性质可得222||||||OA ON AN +=，即2224(2)x y y ++=+，化简得24x y =． 因为O 与A 不重合，所以0y ≠， 所以C 的方程为24(0)x y y =≠．（2）证明：①由题意可知1Q ，2Q 与O 不重合．如图，设(,1)P t -，()111,Q x y ，则2114x y =，因为2xy '=，所以切线1PQ 的斜率为12x ， 故11112x y x t+=-，整理得11220tx y -+=． 设()222,Q x y ，同理可得22220tx y -+=． 所以直线12Q Q 的方程为220tx y -+=， 所以直线12Q Q 过定点(0,1)．②因为直线12Q Q 的方程为220tx y -+=，由2220,4,tx y x y -+=⎧⎨=⎩消去y 得2240x tx --=， 所以122x x t +=，124x x =-．又()()()()12121211PQ PQ x t x t y y ⋅=--+++ ()2121212221122tx tx x x t x x t ++⎛⎫⎛⎫=-+++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()21212122222t t x x t x x t x x ⎛⎫⎛⎫=-+++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()221212121244t x x t x x t x x t x x =-++++++2212144t x x t ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭0=，所以12PQ PQ ．3．（2021·安徽高三开学考试（理））已知中心在坐标原点O ，焦点在xC 过点1)2.（1）求C 的标准方程；（2）是否存在不过原点O 的直线:l y kx m =+与C 交于,P Q 两点，使得直线OP ､PQ ､OQ 的斜率成等比数列､若存在，求k 的值及m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）存在，12k =±，m的取值范围为(1)(1,0)(0,1)-⋃-⋃⋃.【详解】（1）设C 的标准方程为22221x y a b +=（a >b >0），由题意得，222223114a b cc e a a b ⎧=+⎪⎪⎪==⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴C 的标准方程为2214x y +=（2）联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(14)84(1)0k x kmx m +++-=（m ≠0）， 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则122841km x x k +=-+，21224(1)41m x x k -=+∴2212121212()()()y y kx m kx m k x x mk x x m =++=+++∵OP ，PQ ，OQ 的斜率成等比数列，∴2OP OQ PQ k k k ⋅=，∴21212y y k x x ⋅=， ∴21212y y k x x =，∴12()0k x x m ++=，∴228041k mm k -+=+，解得12k =± ∵22222(8)4(41)4(1)16(41)0km k m k m ∆=-+⨯-=-+>， ∴2224120k m m -+=->，解得m <， ∵120x x ≠，∴210m -≠，解得1m ≠±.综上，12k =±，m的取值范围为(1)(1,0)(0,1)-⋃-⋃⋃.4．（2021·全国高三专题练习）如图，已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为()1,0F ，D 为x 轴上位于F右侧的点，点A 为抛物线C 在第一象限上的一点，且AF DF =，分别延长线段AF 、AD 交抛物线C 于M 、N .（1）若AM MN ⊥，求直线AF 的斜率； （2）求三角形AMN 面积的最小值. 【答案】（12）16. 【详解】 （1）()1,0F ，则12p=，得2p =，所以，抛物线C 的方程为24y x =， 设()2,2A t t ，点A 为抛物线C 在第一象限上的一点，故0t >，设点(),0D d ，由AF DF =得211t d +=-，则22d t =+，得()22,0D t +，所以，221AMt k t =-，直线AM 的方程为2112t x y t-=+， 联立224112y xt x y t ⎧=⎪⎨-=+⎪⎩，得222240t y y t ---=，所以，42M A y y t -==-，进一步得()2222AN AD tk k t t t ===--+，直线AN 的方程为212x y t t=-++， 联立22124x y t t y x⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，得()224420y y t t +-+=，4N A y y t ∴+=-，则42N y t t=--，又AM MN ⊥，22224414444M N M N A M A M AM MN A M N M A M M N A M M Ny y y y y y y y k k y y y y x x x x y y y y ----∴⋅=⋅=⋅=⋅=---++--， 代入得44122422t tt t t⋅=-----，化简得：42230t t --=， 又0t >，t ∴=(3,A，AF k ∴=（2）由（1）知224,2N t t t t ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，212,M t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ()222221122A M t AM x x t t t+=++=++=，直线AM 的方程2112t x y t-=+即为()22120tx t y t ---=所以点N 到直线AM 的距离为()()()222221211t t d tt t++===+， ()332331122216AMNtS t t t +⎛⎛⎫==+≥= ⎪ ⎝⎭⎝△， 当且仅当1t =时，S 取到最小值16.5．（2021·全国高三月考（理））已知抛物线()220x py p =>上一点()02,P y 到其焦点F 的距离为2，过点(),0T t ()0t >作两条斜率为1k ，2k 的直线1l ，2l 分别与该抛物线交于A ，B 与C ，D 两点，且120k k +=，FAB FCD S S =△△．（Ⅰ）求抛物线的方程； （Ⅱ）求实数t 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）24x y =；（Ⅱ）()()0,11,2【详解】（Ⅰ）由抛物线()220x py p =>上一点()02,P y 到其焦点F 的距离为2，所以004222py py =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得2p =， 故抛物线的方程为24x y =；（Ⅱ）设直线()11:l y k x t =-，与抛物线24x y =联立，可得211440x k x k t -+=，设()11,A x y ，()22,B x y ， 则1214x x k +=，1214x x k t =，所以12AB x =-== 点F 到直线1l的距离为1d =，所以111122FABSAB d k t =⋅=⨯=+，同理可得2FCDSk t =+，因为120k k +=，且FAB FCD S S =△△所以12k t k t+=+，整理可得：()22121k t -=，即21212k t=-，所以22t <，所以0t <<由211122221644016440k k t k k t ⎧∆=-⨯>⎨∆=-⨯>⎩可得221k t >， 即2212t t >-，即()2210t ->，所以1t ≠， 综上所述，t 的取值范围为()()0,11,2．6．（2021·浙江瑞安中学高三模拟预测）已知抛物线()21:20C y px p =>和右焦点为F 的椭圆222:143x y C +=．如图，过椭圆2C 左顶点T 的直线交抛物线1C 于,A B 两点，且2AB TA =．连接AF 交2C 于两点,M N ，交1C 于另一点C ，连BC ，Q 为BC 的中点，TQ 交AC 于D ．（1）证明：点A 的横坐标为定值；（2）记CDT ∆，QMN ∆的面积分别为1S ，2S，若12S S = 【答案】(1)证明见解析;(2)2124y x =. 【详解】(1)证明：由题意知，()2,0T -，直线TA 的斜率存在设为k ，()()1122,,,A x y B x y ，不妨设直线TA 的方程为()()20y k x k =+>，与抛物线方程联立得()222y k x y px ⎧=+⎨=⎩，整理得，()22224240k x k p x k +-+=，则21212224,4p k x x x x k -+==，因为2AB TA =， 所以1213y y =，则21122219x y x y ==，设()10x a a =>，则29x a =，则21294x x a==，则23a =或23-(舍去)，所以123x =，即点A 的横坐标为定值.(2)由(1)知，()28,,6,833A k B k ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,0F ，则直线AF 的方程为()81y k x =-- ，与椭圆联立得()2214381x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=--⎩，整理得()22223256512256120k x k x k +-+-=，设()()3344,,,M x y N x y ，则2234342251225612,32563256k k x x x x k k -+==++， 则()22121643256k MN k++，直线AF 与抛物线联立得()2281y px y k x ⎧=⎪⎨=--⎪⎩，整理得，()2222641282640k x k p x k -++=，设()55,C x y ，则5213x ⋅=，所以532x =，即3,42C k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则15,24Q k ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以直线TQ 的方程为()8223k y x =+，与直线AF 联立得()()822381k y x y k x ⎧=+⎪⎨⎪=--⎩， 解得2124x y k⎧=⎪⎨⎪=⎩，则21,24D k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即CD ==T 到AF的距离1d ==，Q 到AF的距离2d =，则1112S CD d =，2212S MN d =，所以12CD S S MN =2121643256k k =++，整理得，24252563584190k k ⨯+-=，解得21256k =，则116k =， 所以21,36A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又21,36A ⎛⎫ ⎪⎝⎭在抛物线上，则212263p ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，解得148p =.则抛物线的方程为2124y x =. 7．（2021·全国高三专题练习（理））已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4．（1）求p ；（2）若点P 在M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB ∆面积的最大值． 【答案】（1）2p =；（2）【详解】（1）抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，42p FM =+，所以，F 与圆22:(4)1M x y ++=上点的距离的最小值为4142p+-=，解得2p =； （2）抛物线C 的方程为24x y =，即24x y =，对该函数求导得2x y '=，设点()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ， 直线PA 的方程为()1112x y y x x -=-，即112x xy y =-，即11220x x y y --=， 同理可知，直线PB 的方程为22220x x y y --=，由于点P 为这两条直线的公共点，则10102020220220x x y y x x y y --=⎧⎨--=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程00220x x y y --=， 所以，直线AB 的方程为00220x x y y --=，联立0022204x x y y x y --=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得200240x x x y -+=， 由韦达定理可得1202x x x +=，1204x x y =，所以，AB ，点P 到直线AB的距离为d =所以，()3220011422PABS AB d x y =⋅==-△， ()()2222000000041441215621x y y y y y y -=-+-=---=-++，由已知可得053y -≤≤-，所以，当05y =-时，PAB△的面积取最大值321202⨯=8．（2021·浙江省杭州第二中学高三模拟预测）已知抛物线()2:20C y px p=>经过点(2,，P 是圆()22:11M x y ++=上一点，PA 、PB 都是C 的切线．（1）求抛物线C 的方程及其准线方程； （2）求PAB ∆的面积的最大值．【答案】（1）抛物线C 的方程为24y x =，准线方程为1x =-；（2）【详解】（1）将点(2,的坐标代入抛物线C 的方程为228p ⨯=，解得2p =， 所以，抛物线C 的方程为24y x =，该抛物线的准线方程为1x =-；（2）先证明抛物线C 在其上一点()00,Q x y 处的切线方程为00220x y y x -+=.证明如下：由于点()00,Q x y 在抛物线C 上，则2004y x =，联立2004220y x x y y x ⎧=⎨-+=⎩，可得200202y y y x -+=，即220020y y y y -+=，则2200440y y ∆=-=，所以，抛物线C 在其上一点()00,Q x y 处的切线方程为00220x y y x -+=. 设点()11,A x y 、()22,B x y 、()33,P x y ，则直线PA 的方程为11220x y y x -+=，直线PB 的方程为22220x y y x -+=，因为点P 在直线PA 、PB 上，所以，31313232220220x y y x x y y x -+=⎧⎨-+=⎩，所以，点A 、B 的坐标满足方程33220x y y x -+=，由于两点确定一条直线，故直线AB 的方程为33220x y y x -+=，联立2334220y x x y y x ⎧=⎨-+=⎩，消去x 可得233240y y y x -+=，由韦达定理可得1232y y y +=，1234y y x =，所以，12AB y y -=点P 到直线AB的距离为d =所以，()3223311422PABS AB d y x =⋅==-△， 另一方面，()22233333342439y x x x x x -=---=-++，其中320x -≤≤， 所以，当32x =-时，2334y x -取得最大值8，因此，()3322233114822PABS y x =-≤⨯=△9．（2021·广东汕头·高三三模）已知圆()22:21C x y +-=与定直线:1l y =-，且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切.（1）求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；（2）已知点P 是直线1:2l y =-上一个动点，过点P 作轨迹E 的两条切线，切点分别为A 、B . ①求证：直线AB 过定点； ②求证：PCA PCB ∠=∠.【答案】（1）28x y =；（2）①证明见解析；②证明见解析. 【详解】（1）依题意知：M 到()0,2C 的距离等于M 到直线2y =-的距离，∴动点M 的轨迹是以C 为焦点，直线2y =-为准线的抛物线，设抛物线方程为()220x py p =>，则22p=，则4p =，即抛物线的方程为28x y =， 故：动圆圆心M 的轨迹E 的方程为：28x y =；（2）①由28x y =得：218y x =，14y x '∴=，设2111,8A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭、2221,8B x x ⎛⎫⎪⎝⎭，(),2P t -，其中12x x ≠，则切线PA 的方程为()2111184x y x x x -=-，即2111148y x x x =-，同理，切线PB 的方程为2221148y x x x =-， 由21122211481148y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得121228x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1212228x x t x x +⎧=⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩，即1212216x x t x x +=⎧⎨=-⎩，2111,8A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭、()222121,8B x x x x ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，∴直线AB 的方程为()222121121111888x x y x x x x x --=--，化简得121288x x x x y x +=-， 即24ty x =+， 故直线AB 过定点()0,2； ②由①知：直线AB 的斜率为4AB t k =， （i ）当直线PC 的斜率不存在时，直线AB 的方程为2y =，PC AB ∴⊥，PCA PCB ∴∠=∠； （ii ）当直线PC 的斜率存在时，(),2P t -、()0,2C ，∴直线PC 的斜率2240PC k t t --==--，414AB PC t k k t-∴⋅=⨯=-， PC AB ∴⊥，PCA PCB ∴∠=∠.综上所述：PCA PCB ∠=∠得证.10．（2021·河南郑州·高三三模（理））已知抛物线2:4C x y =和圆()22:11E x y ++=，过抛物线上一点()00,P x y ，作圆E 的两条切线，分别与x 轴交于,A B 两点.（1）若切线PB 与抛物线C 也相切，求直线PB 的斜率； （2）若02y ≥，求PAB ∆面积的最小值. 【答案】（1）3±；（2）最小值为2. 【详解】（1）由题意，可设切线PB 的方程为y kx m =+，代入抛物线的方程得2440x kx m --=， 由相切的条件得：216160k m ∆=+=，即20k m +=，由直线与圆相切可得圆心到直线距离1d ==，即222k m m =+，∴230m m +=，可得3m =-或0m =，∵当0m =时，有PB 的方程为0y =，此时(0,0)P 与圆E 的有且仅有一条切线， ∴3m =-，舍去0m =，故23k =，即3k =±.（2）设切线方程为00()y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=，圆心到直线距离1d ==，整理得222000000(1)(22)20k x x y x k y y --+++=，而220004(2)0x y y ∆=++>(02y ≥)，设PA ，PB 斜率分别为12,k k ，则20000012122200222+,,11x y x y y k k k k x x ++=⋅=-- 令y =0，得000012,A B y yx x x x k k =-=-，0000120000121212000|||()()|||||y y y y k k AB x x y y k k k k k k -=---=-=⋅==00011||22PABSAB y y =⋅== 令222(6)(),2(2)y y y f y y y +=≥+，2232(4+18()0(2)y y y f y y +'=>+），则()f y 在[2,)+∞上单调递增，即min ()(2) 4.f y f ==∴PABS的最小值为2.11．（2021·浙江高三三模）如图，已知抛物线C ：214y x =，点()()000,1A x y y ≥为抛物线上一点，过点A 的圆G 与y 轴相切于点()0,M t ，且与抛物线C 在点A 处有相同切线，8OM NO =，过点N 的直线l 交抛物线于点E ，F ，直线AE ，AF 的斜率分别为1k ，2k ，满足120k k +=.（1）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程； （2）求点A 到直线l 的距离的最小值.【答案】（1）焦点坐标()0,1，准线方程1y =-；（2. 【详解】（1）抛物线的标准方程为24x y =，所以其焦点坐标()0,1，准线方程1y =-；（2）已知204x y =，则点A 处的切线方程：20024x x y x =-，因为过点A 的圆G 与y 轴相切于点()0,M t ，且与抛物线C 在点A 处有相同切线所以()202222004124x t x t x x x t t t ⎧-⎪⋅=-⎪⎪-⎨⎪⎛⎫⎪-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，化简得：224200030216x t t x x +--=.由0t >得：)200202x t y t -==-+> 设()11,E x y ，()22,F x y ，则由120k k +=得：1020044x x x x +++=，即0122x x x -=+， 所以021212EF x y y k x x -==--，由8OM NO =得0,8t N ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以，直线l ：028x t y x =--，则023y d =23[)01,y ∈+∞上单调递增所以，当01y =时，min d =此时，直线l 与抛物线相交.12．（2021·四川泸州·高三三模（理））从抛物线24y x =上各点向x 轴作垂线段，记垂线段中点的轨迹为曲线P ．（1）求曲线P 的方程，并说明曲线P 是什么曲线；（2）过点()2,0M 的直线l 交曲线P 于两点A 、B ，线段AB 的垂直平分线交曲线P 于两点C 、D ，探究是否存在直线l 使A 、B 、C 、D 四点共圆？若能，请求出圆的方程；若不能，请说明理由． 【答案】（1）曲线P 的方程为2y x =，曲线P 是焦点为1,04⎛⎫⎪⎝⎭的抛物线；（2）存在；圆N 的方程为227113222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或227113222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【详解】（1）设抛物线2y x =上的任意点为()00,S x y ，垂线段的中点为(),x y ，故002x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩，则002x x y y =⎧⎨=⎩，代入2004y x =得()224y x =，得曲线P 的方程为2y x =， 所以曲线P 是焦点为1,04⎛⎫⎪⎝⎭的抛物线；（2）若直线l 与x 轴重合，则直线l 与曲线P 只有一个交点，不合乎题意.设直线l 的方程为2x ty =+，根据题意知0t ≠，设()11,A x y 、()22,B x y ，联立22y x x ty ⎧=⎨=+⎩，得220y ty --=，280t ∆=+>，则12y y t +=，122y y ⋅=-，则12A y y B =-=且线段AB 中点的纵坐标为1222y y t +=，即2121222222x x y y t t ++=⋅+=+， 所以线段AB 中点为22,22t t M ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为直线CD 为线段AB 的垂直平分线，可设直线CD 的方程为1x y m t =-+，则21222t t m t ⎛⎫+=-⨯+ ⎪⎝⎭，故252t m +=， 联立22152y x t x y t ⎧=⎪⎨+=-+⎪⎩，得()222250ty y t t +-+=，设()33,C x y 、()44,D x y ，则341y y t +=-，()234152y y t ⋅=-+，故34y CD =-线段CD 中点为22151,222t N tt ⎛⎫++- ⎪⎝⎭， 假设A 、B 、C 、D 四点共圆，则弦AB 的中垂线与弦CD 中垂线的交点必为圆心， 因为CD 为线段AB 的中垂线，则可知弦CD 的中点N 必为圆心，则12AN CD =， 在Rt AMN △中，222AN AM MN =+，所以22212CD AM MN ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()()222222221111111121018442222t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故4228810t t t +--=，即()()24264222198880t t t t t t t t -+++--==， 解得21t =，即1t =±，所以存在直线l ，使A 、B 、C 、D 四点共圆，且圆心为弦CD 的中点N ， 圆N 的方程为227113222x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或227113222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．13．（2021·浙江高三期末）如图，已知抛物线21:C x y =在点A 处的切线l 与椭圆222:12x C y 相交，过点A 作l 的垂线交抛物线1C 于另一点B ，直线OB （O 为直角坐标原点）与l 相交于点D ，记()11,A x y 、()22,B x y ，且1>0x ．（1）求12x x -的最小值； （2）求DO DB的取值范围．【答案】（1）2；（2）40,17⎛⎫⎪⎝⎭．【详解】 （1）对函数2yx 求导得2y x '=，所以抛物线1C 在点A 处的切线方程为()1112y y x x x -=-，即2112y x x x =-，联立21122212y x x x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()2234111188220x x x x x +-+-=， 所以()()62411164418220x x x ∆=-+->，解得2104x <<所以直线AB 的方程为2111122y x x x =-++， 联立21121122y x x x x y⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，得23111220x x x x x +--=，所以12112x x x +=-，所以12111222x x x x -=+≥=，当且仅当112x =时取等号， 所以12x x -的最小值为2；（2）记点O 、B 到直线l 的距离分别为1d 、2d ，所以21d =，211211214124x x x x d ⎫++=⎪⎭，所以()4112222121441414DOd x DB d x x ===⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为2104x <<2114x +，所以222440,1714DODBx ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以DO DB 的取值范围为40,17⎛⎫⎪⎝⎭．14．（2021·河北沧州·高三二模）已知(2,0)M -，(2,0)N ，动点P 满足：直线PM 与直线PN 的斜率之积为常数14-，设动点P 的轨迹为曲线1C .抛物线22:2(0)C x py p =>与1C 在第一象限的交点为A ，过点A 作直线l 交曲线1C 于点B 交抛物线2C 于点E (点,B E 不同于点A ). （1）求曲线1C 的方程.（2）是否存在不过原点的直线l ，使点E 为线段AB 的中点？若存在，求出p 的最大值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）221(2)4x y x +=≠±；（2）存在，p【详解】解：（1）设动点()(),2P x y x ≠±，则2PM yk x =+，2PN y k x =-. 14PM PN k k =-，1224y y x x ∴⋅=-+-，即22144y x =--， 即221(2)4x y x +=≠±， ∴曲线C 1的方程为221(2)4x y x +=≠±. （2）设()1111,(0,0)A x y x y >>，()22,B x y ，()00,E x y ，显然直线l 存在斜率， 设:(0,0)l y kx m k m =+≠≠，()2222244,148440,x y k x kmx m y kx m ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 122814km x x k -∴+=+，02414kmx k -=+. 又2222,2()220,x py x p kx m x pkx pm y kx m ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩，102x x pm ∴=-，21124142142km k x pm x p k k ⎛⎫-+∴=-⇒=⎪+⎝⎭，因此有0k >，2422221,442,x x y x p x py ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩，42422221421442k p k k p k p ⎛⎫+ ⎪⎛⎫+⎝⎭∴+= ⎪⎝⎭， 224224141422p k k k k ∴=⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设222214112224222k k t k k k ⎛⎛⎫+⎛⎫=+=⋅ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝=， 当且仅当122k k =时取等号，即当12k =时取等号， 则2224411()24p t t t ==++-，当4t ≥时，211()2024t +-≥，当12k =，即4t =时，2p 取得最大值，最大值为15，即p =此时A ⎝⎭，直线l 不过点M ，N . 故存在不过原点的直线l ，使点E 为线段AB 的中点，且p . 15．（2021·湖南长沙·高三模拟预测）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，点(),1m 在抛物线C 上，该点到原点的距离与到C 的准线的距离相等． （1）求抛物线C 的方程；（2）过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且与以焦点F 为圆心2为半径的圆交于M ，N 两点，点B ，N 在y 轴右侧．①证明：当直线l 与x 轴不平行时，AM BN ≠②过点A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，1l 与2l 相交于点D ，求DAM △与DBN 的面积之积的取值范围．【答案】（1）28x y =；（2）①证明见解析；②[)16,+∞． 【详解】（1）由题意可得2212m pp ⎧==+，解得4p =， 所以抛物线C 的方程为28x y =．（2）由（1）知，圆F 方程为：()2221x y +-=， 由已知可设:2l y kx =+，且()11,A x y ，()22,B x y ，由228y kx x y=+⎧⎨=⎩得28160x kx --=，设()00,Q x y 是抛物线C 上任一点，则2QF ==，故抛物线与圆相离．①证明：当直线l 与x 轴不平行时，有0k ≠， 由抛物线定义知，12AF y =+，22BF y =+． 所以()()22AM BN AF BF -=---()()121222AF BF y y kx kx =-=-=+-+12k x x =-=80k =>，所以AM BN ≠②由（1）知抛物线方程为218y x =．所以14y x '=．所以过点A 的切线()2111111:84l y x x x x -=-，即2111148y x x x =-．同理可得，过点B 的切线2l 为2221148y x x x =-． 由1l ，2l 方程联立，得222112211188x y x y x x x x -=-+，解之，得12128D y x x ==-，又得()()22212111048x x x x x ---=，所以1242D x xx k +==．()4,2D k -到:2l y kx =+的距离d =()()22AM BN AF BF ⋅=--()()122222y y =+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()222121212148864x x y y x x ==⨯==，从而1122QAM QBN S S AM d BN d ⋅=⋅△△()22214161164d d k =⨯==+≥． 16．（2021·浙江高三专题练习）已知椭圆22:14x T y +=，抛物线2:2M y px =的焦点是F ，且动点()1,G t -在其准线上.（1）当点G 在椭圆T 上时，求GF 的值；（2）如图，过点G 的直线1l 与椭圆T 交于,P Q 两点，与抛物线M 交于,A B 两点，且G 是线段PQ 的中点，过点F 的直线2l 交抛物线M 于,C D 两点.若//AC BD ，求2l 的斜率k 的取值范围.【答案】（1）GF =2）k >k <【详解】 解：（1）由已知12p=，2p =，则()1,0F ， 因为G 在椭圆T 上，所以2114t +=，所以234t =，所以GF =； （2）设()1:1l x m y t +=-，2:1l x ny =+，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，因为G 是PQ 的中点，所以114t m -⋅=-，且2114t +<， 所以4m t =①，且234t <②， 由()241y x x m y t ⎧=⎪⎨+=-⎪⎩消去x 得24440y my mt -++=，则()21610m mt ∆=-->③，且12y y -=由241y x x ny ⎧=⎨=+⎩消去x 得2440y ny --=，所以34y y -=因为//AC BD ，所以132444y y y y =++，即1234y y y y -=-， 所以2222122n m mt t =--=-④， 由①②③解得213124t <<， 由④得207n <<，即217k >，所以k >k <17．（2021·河南高三月考（理））已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，且点F 与圆()22:41M x y ++=1． （1）求p ；（2）已知直线:4l y kx =+与C 相交于A ，B 两点，过点B 作平行于y 轴的直线BD 交直线:4l y '=-于点D ．问：直线AD 是否过y 轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由． 【答案】（1）2p =；（2）直线AD 恒过定点()0,0． 【详解】（1）抛物线C 的焦点为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，FM F ∴与圆M11，解得2p =．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，则()2,4D x -，由24,4,x y y kx ⎧=⎨=+⎩得24160x kx --=， 0∴∆>，且124x x k +=，1216x x =-，()12124kx x x x ∴=-+， 又直线AD 的方程为()121244y y x x x x ++=--， 令0x =，得()212144x y y x x ++=-，114y kx =+，()()21122212184844x kx x x x y x x x x +-++∴+===--，0y ∴=，故直线AD 恒过定点()0,0．18．（2021·上海市实验学校高三月考）已知直线2y x =与抛物线:Γ()220y px p =>交于1G ，2G 两点，且12G G ，过椭圆221:143x y C +=的右顶点Q 的直线l 交于抛物线Γ于A ，B 两点.（1）求抛物线Γ的方程；（2）若射线OA ，OB 分别与椭圆1C 交于点D ，E ，点O 为原点，ODE ，OAB 的面积分别为1S ，2S ，问是否存在直线l 使213S S =？若存在求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由；（3）若P 为2x =-上一点，PA ，PB 与x 轴相交于M ，N 两点，问M ，N 两点的横坐标的乘积M N x x ⋅是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由.【答案】（1）24y x =（2）不存在，理由见解析；（3）M N x x ⋅是定值，且定值为4，理由见解析. 【详解】（1）设()111,G x y ，()222,G x y ，由222y xy px =⎧⎨=⎩可得2420x px -=，所以10x =，22p x =，所以()10,0G ，2,2G p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以12G G =0p >，所以2p =，所以抛物线Γ的方程为24y x =；（2）椭圆的右顶点为()2,0Q ，设直线:l 2x my =+，()33,A x y ，()44,B x y ， 将:l 2x my =+代入24y x =可得：2480y my --=， 所以344y y m +=，348y y =-， 假设存在，设()55,D x y ，()66,E x y ， 射线OA ：33233344y y y x x xy x y === ，由3224143y x y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 可得：2523643364y y ⨯=+，同理可得2624643364y y ⨯=+， 11sin 2S OD OE DOC =∠，21sin 2S OA OB AOB =∠， 所以342156OA OB y y S S OD OE y y ==⋅ ， 所以()()()2234222156********64643643364364y y S S y y y y y y ⎛⎫=== ⎪⨯⨯⎝⎭⨯++()()()22222343496436464931616644812164999y y y y m m +⨯++⨯++++===⨯， 所以211133S S ≥>，所以不存在直线l ，使213S S =； （3）设()02,P y -，则()3003:22y y PA y y x x --=++， 令0y =可得：()030332M y y x y x y -=+①， 同理可得：()040442N y y x y x y -=+②，两式相乘可得()()()()030404403322M N y y y y x x y x y y x y --=++()2222223434034034433400433424244444y y y y y x x y x y x y y y y y y y y y ⎛⎫⋅=+++=+⋅+⋅+ ⎪⨯⎝⎭()()2342234003434003434244164y y y y y y y y y y y y y y y y +⎛⎫⎡⎤=++=-++ ⎪⎣⎦⎝⎭即()()()203040034344M N y y y y x x y y y y y y ⎡⎤--=-++⎣⎦，所以()()220034340034344M N y y y y y y x x y y y y y y ⎡⎤⎡⎤-++=-++⎣⎦⎣⎦， 即()()22000048448M N y my x x y my --=--，当点P 不在直线AB 上时，200480y my --≠，所以4M N x x =，当点P 在直线AB 上时，2M N Q x x x ===，所以4M N x x =， 综上所述：M N x x ⋅是定值，且定值为4.19．（2021·全国高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，原点为O ，抛物线C 的方程为24x y =，线段AB 是抛物线C 的一条动弦． （1）求抛物线C 的准线方程；（2）求=4OA OB ⋅-，求证：直线AB 恒过定点；（3）过抛物线的焦点F 作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 与抛物线交于P 、Q 两点，2l 与抛物线交于C 、D 两点，M 、N 分别是线段PQ 、CD 的中点，求FMN 面积的最小值．【答案】（1）准线方程：1y =-；（2）直线AB 恒过定点()0,2，证明见解析；（3）4． 【详解】（1）由24x y =可得：2p =，焦点为()0,1F ，所以准线方程：1y =-， （2）设直线AB 方程为y kx b =+，()11,A x y ，()22,B x y由24y kx b x y =+⎧⎨=⎩得2440x kx b --=， 所以124x x k +=，124x x b =-，222121212124416x x OA OB x x y y x x b b ⋅=+=+=-+=-，即2440b b -+=，解得：2b = 所以直线2y kx =+过定点()0,2（3）()0,1F ，由题意知直线1l 、2l 的斜率都存在且不为0， 设直线1l 的方程为1y kx =+，()33,P x y ，()44,Q x y ， 则直线2l 的方程为11y x k=-+， 由241x y y kx ⎧=⎨=+⎩得2440x kx --=， 所以344x x k +=，344x x =-， 所以()34122M x x x k =+=，2121M M y kx k =+=+，所以()22,21M k k +用1k -替换k 可得2N x k =-，221N y k =+，所以222,1N k k⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，所以12FMNSFM FN =====224≥⨯=，当且仅当221k k =即1k =±时，等号成立， 所以FMN 的面积取最小值4．20．（2021·浙江高三模拟预测）已知点F 为抛物线C ：214y x =的焦点，点()0,4D ，点A 为抛物线C 上的动点，直线l ：y t =截以AD 为直径的圆所得的弦长为定值.（1）求t 的值；（2）如图，直线l 交y 轴于点E ，抛物线C 上的点B 满足AB 的中垂线过点D 且直线AB 不与x 轴平行，求ABE 的面积的最大值.【答案】（1）3t =；（2【详解】解：（1）()0,4D ，设200,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，AD 的中点为20044,22x x C ⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，2r =设截得的弦为GH ，圆心C 到弦的距离为d .则2222200022244414442x x x GH r d t ⎛⎫⎛⎫+- ⎪+ ⎪⎝⎭=-=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭，()222011242444t GH x t -⎛⎫=-++-- ⎪⎝⎭与0x 无关3t ⇒=. （2）由上题可得()0,3E ，设()11,A x y ，()22,B x y ， 线段AB 中点为G ，直线AB 的斜率存在且不等于0， 设直线AB ：y kx m =+，联立直线与抛物线方程得：224404y kx mx kx m x y =+⎧⇒--=⎨=⎩， 由2016160k m ∆>⇒+>，由韦达定理可得：124x x k +=，124x x m =-， 21242y y k m +=+,则AB 的中点为()22,2G k k m +则AB 的中垂线为()()2122y k m x k k-+=--， 代入()0,4D ，得222m k =-则124AB x x =-=E AB d -=则(21142322122S AB d m k =⋅⋅=⋅=-=+=记2t k =，()()()2212f t t t =-+，()()()7612f t t t '=-+，70,6t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f t 单调递增，7,26t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f t 单调递减，76t =，即276k k =⇒=时，ABES 此时13m =-满足0∆>，所以ABES。