凹凸性
《函数曲线的凹凸性》课件
CONTENTS 目录
• 引言 • 函数曲线的凹凸性判定 • 函数曲线的凹凸性性质 • 函数曲线的凹凸性与导数的关系 • 函数曲线的凹凸性与几何意义 • 总结与展望
CHAPTER 01
引言
凹凸性的定义
凹函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(frac{x_1+x_2}{2}) geq frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在区间$I$上是凹函数。
函数曲线的凹凸性可能会随着自变量x 的变化而发生变化。
凸函数曲线
表示函数图像呈上凸的几何形状，即 任意两点之间的连线位于曲线上方。
几何形状的凹凸性实例
下凹函数曲线
$f(x) = x^2$，$f(x) = sin x$
上凸函数曲线
$f(x) = log x$，$f(x) = e^x$
几何形状的凹凸性与生活中的应用
02
二次函数是典型的凹函数和凸函数，其图像为抛物 线。
03
指数函数和幂函数在其定义域内是凹函数，对数函 数在其定义域内是凸函数。
CHAPTER 04
函数曲线的凹凸性与导数的关系
导数与凹凸性的关系
01
导数大于0的区间内，函数曲线为 凹；
02
导数小于0的区间内，函数曲线为 凸。
导数在判断凹凸性中的应用
凸函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上，对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(frac{x_1+x_2}{2}) leq frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$，则称$f(x)$在区间$I$上是凸函数。
《函数的凹凸性》课件
凸函数的性质
凸函数图像呈上凸状，即对于函数图像上的任意两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，当x1 < x2时，y1 < y2。
凸函数的导数在定义域内小于0，即f''(x) < 0。
凸函数具有局部最大值，即对于任意x0属于定义域，存在一个邻域使得 该邻域内所有点的函数值都小于或等于f(x0)。
在物理学中，凹凸性可以用于描述物 体的弹性、光学性质等。
在经济学中，凹凸性可以用于描述商 品的需求和供给关系，以及价格和产 量的变化关系。
在计算机科学中，凹凸性可以用于图 像处理、机器学习等领域。
02
函数的凹凸性判定
判定方法一：二阶导数法
总结词
举例说明
二阶导数法是判断函数凹凸性的常用 方法之一，通过计算函数的二阶导数 并分析其符号来判断函数的凹凸性。
05
实际应用案例
金融领域的应用
金融数据分析
函数的凹凸性在金融数据分析中有着广泛的应用，如股票价格、收益率等金融时间序列数 据的分析，通过识别数据的凹凸性，可以预测未来的价格走势和风险评估。
投资组合优化
在投资组合优化中，凹凸性可用于确定最优投资组合，通过最小化投资组合的风险或最大 化预期收益，实现资产的有效配置。
判定方法三：几何意义法
总结词
几何意义法是通过观察函数图像 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ几何形状来判断函数的凹凸性
。
详细描述
如果一个函数的图像是一条向下 凸出的弧形线，则该函数是凹的 ；如果图像是一条向上凸起的弧
形线，则函数是凸的。
举例说明
以函数$f(x) = x^4 - x^2$为例 ，通过绘制该函数的图像可以观 察到，该函数在$x < 0$时图像 向下凸出，因此函数$f(x) = x^4
凹凸性的定义
凹凸性的定义数学中的几何概念是很重要的，其中凹凸性是很多数学领域中的一个重要概念。
凹凸性不仅在数学分析、计算机科学、经济学等领域中有重要的应用，也能够帮助我们更好地理解很多日常生活中的现象。
在不同的领域，凹凸性也有不同的定义。
本文将主要介绍在欧几里得空间和拓扑空间中的凹凸性概念及其一些重要性质。
欧几里得空间中的凸性在欧几里得空间中，凸性（Convexity）是最基本的凹凸性概念。
一个集合S如果满足对于S中的任意两点x和y，线段[x,y]都在S 中，那么S就是一个凸集。
此外，如果一个凸集S中任意两点之间的线段上的点都在S中，那么S就是一个严格凸集。
对于任意一个凸集S，我们可以定义它的边界：$ \partial S =\overline{S} \cap \overline{\mathbb{R}^n \backslash S} $，其中$\overline{S}$表示S的闭包，$\overline{\mathbb{R}^n \backslash S}$表示$\mathbb{R}^n \backslash S$的闭包。
如果一个凸集S的边界是非空的，那么我们称S为有界凸集。
实际上，一个凸集的边界就是它包含所有支撑超平面的点的集合。
一个支撑超平面是一个超平面，它可以将集合S分成两个部分，其中一个包含S，一个不包含S。
因此，一个有界凸集的边界就是它支撑超平面的交。
欧几里得空间中的凹性和凸性密切关联。
如果一个集合S不是凸的，那么它就是凹的。
一个集合S是凹的，如果对于任意两个在S中的点，线段连接这两个点的所有点都在S中。
拓扑空间中的凸性在拓扑空间中，凹凸性的定义与欧几里得空间中的定义稍有不同。
我们仍然可以定义一个集合S的边界为$\partial S = \overline{S} - S^\circ$，其中$S^\circ$表示S的内部。
然而，在拓扑空间中，凸性的定义需要用到更广泛的概念。
我们需要先定义凸结。
一个集合S是凸的，如果对于任意两个点x和y，都存在一个凸结T，使得x和y都在T中。
关于函数凹凸性两种定义与二阶导数符号之间的联系证明
关于函数凹凸性两种定义与二阶导数符号之间的联系证明首先，我们来介绍函数的凹凸性的两种常见定义：凹函数和凸函数。
定义1：凹函数设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，如果对于区间[a,b]内任意两点x1和x2以及0≤λ≤1，都有：f(λx1+(1-λ)x2)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)则称函数f(x)在[a,b]上为凹函数。
定义2：凸函数设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，如果对于区间[a,b]内任意两点x1和x2以及0≤λ≤1，都有：f(λx1+(1-λ)x2)≥λf(x1)+(1-λ)f(x2)则称函数f(x)在[a,b]上为凸函数。
通过上述定义，我们可以看到凹函数和凸函数的定义非常相似，只是不等式中的方向相反。
定理：设函数f(x)在(a,b)内二阶可导，那么：1.如果f''(x)>0，即f(x)在(a,b)内的二阶导数为正，那么f(x)在(a,b)上为凸函数。
2.如果f''(x)<0，即f(x)在(a,b)内的二阶导数为负，那么f(x)在(a,b)上为凹函数。
证明：先证明第一条，即如果f''(x)>0，那么f(x)在(a,b)上为凸函数。
由于f(x)在(a,b)内二阶可导，我们可以利用泰勒展开公式：f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+f''(η)(x-c)^2/2其中c和η是x和a之间的一些值。
由于f''(x)>0，所以f''(η)>0。
进一步，我们可以将泰勒展开公式中的常数部分去掉，得到：f(x)-f(c)=f'(c)(x-c)+f''(η)(x-c)^2/2将上式简化，得到：f(x)-f(c)=[f'(c)-f'(x)](x-c)+f''(η)(x-c)^2/2由于f''(η)>0，所以[f'''(η)(x-c)^2/2]大于等于0。
第四、六节 曲线凹凸性及函数图形描绘
x 则 = x0是 数 = f ( x)的 条 直 近 . 函 y 一 垂 渐 线
y C o x y o
x0
x
曲 例1 求 线 y =
1 的 平 近 . 水 渐 线 x −1
y
2 1 -2 -1 -1 -2
y = ( x −1)
−1
1 解 Qlim =0 x→ x −1 ∞
1 一条水平渐近线 ∴ y = 0 是y = x −1
1 曲 的 垂 近 . 铅 渐 线 例2 求 线 y = x −1
O 1
2
x
1 1 解 Qlim = −∞, lim = +∞, − + x→ x −1 1 x→ x −1 1
∴x =1 y = f (x)的 条 垂 近 . 为 一 铅 渐 线
利用导数工具描绘函数的图形，称为分析法作图. 利用导数工具描绘函数的图形，称为分析法作图. 分析法作图
[ (2) f ′′( x) < 0, 则 ( x)在a,b]上的图形是凸的 f .
例1 判断函数 y = ln x的凹凸性 . 解 y 的定义域为 (0,+∞ )
1 Q y′ = x
y ′′ = − 1 x2
∴ 在(0， ∞ )内，有 y′′ < 0 +
例2 判断 y = x 3 的凹凸性 . 解
2 y ′′ = 36 x − 24 x = 36 x x − 令 y′′ = 0 3 列表
x2 =
2 3
x y" y
(−∞,0)
0 0
1(拐点)
2 , 0 3
+
－
0
11 (拐 ) 点 27
凹凸性、渐近线、作图
符号不同,该点就是拐点的横坐标；
（5）求出拐点的纵坐标．
例2.求曲线 y5x33x27x1凹、凸区间 及拐点．
解：函数的定义域为 (,)
y'15x26x7, y''30x6
令 y '' 0, 得 x 1 , 没有二阶导数不存在的点 列表如下：5
解:
y 4 x3 , y 12x2
当x 0时，y 0; x 0时 , y 0,
y Ox
故曲线 y x 4 在 (, ) 上是凹的.
说明：若在某点二阶导数为0,在其两侧二 阶导数不变号,则曲线的凹凸性不变 .
求拐点的一般步骤：
（1）求函数的定义域； （2）求二阶导数； （3）求定义域内使二阶导数等于零
2
o
2
x
o
2
x
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例5.求曲线 f (x) 1 的铅直渐近线．
x(x 1)
解 因为 lim 1 ,
x0 x(x 1)
lim 1 x1 x(x 1)
所以 x 0 和x 1 是曲线的两条铅直渐近线．
y=1/x(x-1) 10
5
y
0 x=0 x=1
-5
-10 -10
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若(x0, f (x0 ))为 f (x)的
x
拐点,则有f (x0 ) 0.
o x0
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定理2（拐点的充分条件）
设f 在点x0的某邻域内有二阶, 导 若f 在x0两侧异号 ,则(x0, f (x0))是f 的一 个拐点 .
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1-6 凹凸性
名字的由来我们可以从图像上理解惯叫上凸）上是严格凸函数（我习在)(f 则称,换成把若不等号严格成立，即)x ()1()())1((f ，都有)1,0(和任意,,x 中任意两点上有定义，若对在区间)(设函数惯叫下凸）上是严格凹函数（我习在)(f 则称,换成把若不等号严格成立，即)x ()1()())1((f ，都有)1,0(和任意,,x 中任意两点上有定义，若对在区间)(设函数212121212121D x f x f x x x D D x f D x f x f x x x D D x f >≥-+≥-+∈<≤-+≤-+∈λλλλλλλλλλ1-6 函数的凹凸性首先介绍一下什么叫做凹凸性（这个内容很难写，但是很容易讲……）以下来自百度百科：())(,11x f x ())(,22x f x ())x ()1()(,)1(2121f x f x x λλλλ-+-+ ()))1((,)1(2121x x f x x λλλλ-+-+())(,11x f x ())(,22x f x ()))1((,)1(2121x x f x x λλλλ-+-+())()1()(,)1(2121x f x f x x λλλλ-+-+图像上任意两点连线，恒在图像曲线上方，那么这个函数称为凹函数（我习惯叫下凸）图像上任意两点连线，恒在图像曲线下方，那么这条曲线对应函数称为凸函数（我习惯叫上凸）函数到底上凸还是下凸，实际上与二阶导数有关，二阶导数大于0，函数下凸，二阶导数小于0，函数上凸为了能够证明这个结论，我们还需要一个叫拉格朗日中值定理的东西 如果函数f(x)满足（1）在[a,b]连续 （2）在[a,b]可导那么在开区间（a,b ）内至少有一点()b a m ,∈使等式))(()()(b a m f b f a f -'=-成立。
换成人话：割线斜率至少匹配一条切线斜率，割线可以通过平移与曲线相切割线可以通过平移变成与曲线相切二阶导数大于0，函数下凸，二阶导数小于0，函数上凸()()的类似证明略0二阶导数恒大于即图像上凸),x (f )()(x )x ()(0)(g 0)(g ，0)()}(g ，)(max{)(递增),(m 递减，在),(x 在)(0)(),,(m x 当;0)(),,(x x 当0)()(g 又0)(使),,(存在由拉格朗日中值定理，),x （x )x ()()()x (f -)()(x )x ()()(令)()(x )x ()(直线：则)，（)x (,,)(,x 取函数上任意两点方）上凸（图像恒在割线上),x 在（)(现证明成立，),x 在（0在)（不妨假设凸性的关系下面证明二阶导数与凹112121212121212121211121211121212122112121<+---∴<∴==<∴∴>'∈<'∈∴>''-=''='∈'---='∴+---=+---=<=<''x f x x x f x f x x x g x x g x g x m x g x g x x g m x f x m g x x m f x f x f x g x f x x x f x f x g x f x x x f x f y AB x x f x B x f A x x f y x x f Θ函数具有凹凸性，对应的曲线会拥有一个性质： 曲线下凸，则曲线的切线恒在曲线下方曲线上凸，则曲线的切线恒在曲线上方下面只证明“曲线下凸，则曲线的切线恒在曲线下方”)())(()(0)()(g 递增)(,0)(,当递减)(,0)(,当0)(递增在)(0)x （)()()(f )()())(()()(令内的常数定义域)(是x 其中)())(()(，求证0)(已知000000000000000x f x x x f x f x g x x g x g x x x g x g x x x g D x g f x g x f x x g x f x x x f x f x g D x f x f x x x f x f x f +-'≥∴=≥∴>'><'<∴=''∴>''=''∴'-'='∴--'-=+-'≥>''Θ。
函数的单调性与曲线凹凸性
一次函数图像是一条直线，没有凹凸性。
二次函数的单调性与凹凸性
二次函数
单调性
凹凸性
$y = ax^2 + bx + c$
当$a > 0$时，函数在区间$(infty, -frac{b}{2a})$上单调递 减，在区间$(-frac{b}{2a}, infty)$上单调递增；当$a < 0$时，函数在区间$(-infty, frac{b}{2a})$上单调递增，在 区间$(-frac{b}{2a}, infty)$上 单调递减。
凹凸性
正弦函数图像是下凹的。
余弦函数
$y = cos x$
单调性
在每个周期内，函数在$[0, pi]$上单调递减，在$[pi, 2pi]$上单调递增。
凹凸性
余弦函数图像是上凸的。
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产量之间的关系。
在物理学中，单调性与凹凸 性可用于描述物体的运动轨 迹、速度与加速度之间的关
系等。
在工程领域，单调性与凹凸性 可用于优化设计，例如在桥梁、 建筑和机械设计中考虑结构的
稳定性与安全性。
04 实例分析
一次函数的单调性与凹凸性
一次函数
$y = ax + b$
单调性
当$a > 0$时，函数在$mathbb{R}$上单调递增； 当$a < 0$时，函数在$mathbb{R}$上单调递减。
通过求函数的导数，分析导数的符号变化，判断函数的单 调性。如果导数大于0，函数单调递增；如果导数小于0， 函数单调递减。
定义法
通过比较函数在不同点上的函数值来判断函数的单调性。 如果对于任意两点，函数值满足递增或递减关系，则函数 在该区间内单调。
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回顾（4分钟）：
第四章的知识是如何应用导数。
利用导数， 1、 判断函数的单调性，当在一个区间内，,0)(>'x f 则函数在此区间递增； ,0)(<'x f 则函数在此区间递减。
2、 求函数的极值，即函数由递增和递减的转变点，即图形上的峰顶和谷底。
由一阶导数
判断单调性的方法得知：极值点肯定在驻点或不可导点处取得。
3、 求函数的最值，闭区间上的最值点肯定在驻点或不可导点又或端点处取得。
引入（3分钟）：
我们这节课将继续利用导数来研究曲线的弯曲方向——凹凸性。
如图。
（PPT ）
图形上任意弧段位于 图形上任意弧段位于
所张弦的下方,图形凹的。
所张弦的上方，图形凸的。
一 曲线凹凸性的定义（7分钟） 从图形上我们知道曲线的凹凸性，那书上是怎么定义的呢？
．
的（或凸弧）上的图形是（向上）凸在那么称如果恒有的（或凹弧）上的图形是（向上）凹在那么称恒有上任意两点如果对上连续在区间设I x f x f x f x x f I x f x f x f x x f x x I I x f )(,
2
)()()2(;)(,
2)()()2(,,,)(2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
+>++<+
设疑：用定义来判定曲线凹凸性很麻烦，我们寻找另一种较为简便的方法。
请观察屏幕凹凸图形上由左到右各点切线的斜率，发现
（1）在凹弧上，各点切线斜率递增，即一阶导数递增。
，说明它的导数 ；
（2）在凸弧上，各点切线斜率递减，即 ，说明它的导数 。
即是说，曲线凹凸性跟二阶导数有关，从而得出以下判定方法。
二 曲线凹凸性的判定（20分钟）
定理：
例如：
例1、 解 说明：此函数的二阶导
数在整个定义域内都>0
例2、判定曲线 的凹凸性。
解 说明：此函数的二阶导数在其定义域内≥0，
解题时要剔除=0的点。
最后判定区间， 要把剔除的点补上，仅一点不影响曲线
由于在 凹凸性，若不包括剔除的点，会显得
函 数定义区间不全。
0>''y 递增)(x f '递减)(x f '0<''y .
],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(),(,),(,],[)(上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则内若在内具有一阶和二阶导数在上连续在如果b a x f x f b a x f x f b a b a b a x f <''>''.)(的凹凸性判断曲线x e x f =,
)(x e x f =' ,
0)(>=''x e x f .)(）内是凹的，在定义域（曲线∞+∞-=∴x e x f 4
)(x x f =2312)(,4)(x x f x x f =''=' ),(+∞-∞函数定义域为),(+∞-∞函数定义域为,0)(0)0,(>''∞+-∞x f ）内都有，及（内是凹的。
在所以曲线),()(+∞-∞x f
在判断二阶导数正负号时，经常碰到寻找分界点问题。
而分界点在二阶导数=0或不可导点处取得。
（跟求函数单调性类似）
例1例2利用函数二阶导数判定曲线凹凸性，判定过程中，步骤如何呢？我们一起来小结： 1、 求定义域
2、 求一阶导，二阶导
3、 寻找分界点，即二阶导数=0的点或不可导点
4、 划分小区间，判断各小区间二阶导正负号，继而判定凹凸性
对照这个步骤，我们再看以下例题。
例3 说明：二阶导数在整个定义域内可>0，也可<0,哪个区间>0,哪个区间
<0,要先找出其分界点。
而分界点就是令二阶导数=0的点。
三 练习（10分钟）：判定下列曲线的凹凸性
1、 2、
,0<''y ,0>''y .
),31[为凹的在曲线+∞-∴）上，，在（31
-∞-）上，，在（∞+-3
1
解 1、
,
1232-+='x x y 3
10,26-
==''+=''x y x y ，得令,0<''y 为凸的；
在曲线]3
1
,(--∞∴,0>''y .
),31[为凹的在曲线+∞-∴)
,(+∞-∞函数定义域为）上，，在（31-∞-）上，，在（∞+-3
1
.
23的凹凸性判断曲线x x x y -+=),(+∞-∞
函数定义域为,1232-+='x x y 310,26-
==''+=''x y x y ，得令x x x y -+=2
33x y =为凸的；
在曲线]31,(--∞∴
说明：分界点为二阶导数不可导点。
四 小结（2分钟）
1、曲线弯曲的方向——凹凸性
2、曲线凹凸性的判定： 判定二阶导数正负号时，关键寻找分界点，以分界点划分区间，再判定所属区间的二阶导数的正负号。
分界点可能是曲线凹形和凸性的转变点，若能判断出转变点，有利于我们研究曲线的发展趋势。
我们称这样的转变点为拐点。
那么怎么求拐点？这将是我们下节课要探讨的问题。
五 作业（1分钟）：P189 第1大题
)
,(+∞-∞函数定义域为,3
12-='x y 35
3519292x
x y -=-=''-.
0时，二阶导数不存在当=x ）上，在（0,∞-;0>''y ）上，在（+∞,0,
0<''y 上是凸的。
上为凹的；在在),0[]0,(+∞-∞∴y 、2.
],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(),(,),(,],[)(上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则内若在一阶和二阶导数内具有在上连续在如果b a x f x f b a x f x f b a b a b a x f <''>''。