高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理
高中数学三角函数公式大全全解
三角函数公式1.正弦定理：A a sin =B b sin =Cc sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cosbca cb A 2cos 222-+=3.S ⊿=21a a h ⋅=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =Rabc 4=2R 2A sin B sin C sin =AC B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p ---(其中)(21c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径)4.诱导公试注：奇变偶不变，符号看象限。
注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限注：三角函数值等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：函数名改变，符号看象限5.和差角公式①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=±6.二倍角公式：(含万能公式)①θθθθθ212cos sin 22sin tg tg +== ②θθθθθθθ22222211sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2θθ+=7.半角公式：（符号的选择由2θ所在的象限确定） ①2cos 12sinθθ-±= ②2cos 12sin 2θθ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12cos 2θθ+=⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2cos 2cos 12θθ=+ ⑦2sin2cos )2sin 2(cos sin 12θθθθθ±=±=±⑧θθθθθθθsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12-=+=+-±=tg8.积化和差公式：[])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[])sin()sin(21sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(21sin sin9.和差化积公式：①2cos2sin2sin sin βαβαβα-+=+ ②2sin2cos2sin sin βαβαβα-+=-③2cos2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ ④2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 锐角三角形函数公式总结大全1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
高中数学必修5知识点总结归纳(人教版最全)
高中数学必修五知识点汇总第一章 解三角形 一、知识点总结 正弦定理:1．正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C=== (R 为三角形外接圆的半径).步骤1.证明：在锐角△ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c 。
作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a ·sinB CH=b ·sinA ∴a ·sinB=b ·sinA得到b ba a sin sin =同理，在△ABC 中， bbc c sin sin =步骤2.证明：2sin sin sin a b cR A B C===如图，任意三角形ABC,作ABC 的外接圆O. 作直径BD 交⊙O 于D. 连接DA.因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90°因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C.所以C RcD sin 2sin ==故2sin sin sin a b c R A B C ===2.正弦定理的一些变式：()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a bii A B C R R==2c R =；()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；（4）R CB A cb a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 4.在ABC ∆中，已知a,b 及A 时，解得情况： 解法一：利用正弦定理计算解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，已知a,b 和角A ，则由余弦定理得 即可得出关于c 的方程：0cos 2222=-+-a b Ac b c 分析该方程的解的情况即三角形解的情况 ①△=0,则三角形有一解 ②△>0则三角形有两解 ③△<0则三角形无解 余弦定理:1．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩2.推论： 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩.设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C =； ②若222a b c +>，则90C <； ③若222a b c +<，则90C >．3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 面积公式:已知三角形的三边为a,b,c,1.111sin ()222a S ah ab C r a b c ===++（其中r 为三角形内切圆半径）2.设)(21c b a p ++=,))()((c p b p a p p S ---=(海伦公式)例：已知三角形的三边为，、、c b a 设)(21c b a p ++=，求证：（1）三角形的面积))()((c p b p a p p S ---=； （2）r 为三角形的内切圆半径，则pc p b p a p r ))()((---=（3）把边BC 、CA 、AB 上的高分别记为，、、c b h h a h 则))()((2c p b p a p p ah a ---=))()((2c p b p a p p b h b ---=))()((2c p b p a p p ch c ---=证明：（1）根据余弦定理的推论：222cos 2a b c C ab+-=由同角三角函数之间的关系，sin C ==代入1sin 2S ab C =，得12S ====记1()2p a b c =++，则可得到1()2b c a p a +-=-，1()2c a b p b +-=-，1()2a b c p c +-=-代入可证得公式（2）三角形的面积S 与三角形内切圆半径r 之间有关系式122S p r pr =⨯⨯=其中1()2p a b c =++，所以S r p == 注：连接圆心和三角形三个顶点，构成三个小三角形，则大三角形的面积就是三个小三角形面积的和 故得：pr cr br ar S =++=212121（3）根据三角形面积公式12a S a h =⨯⨯所以，2a S h a =a h =同理b h c h 【三角形中的常见结论】（1）π=++C B A (2) sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-2cos 2sinC B A =+,2sin 2cos CB A =+;A A A cos sin 22sin ⋅=, （3）若⇒>>C B A c b a >>⇒C B A sin sin sin >> 若C B A sin sin sin >>⇒c b a >>⇒C B A >> （大边对大角，小边对小角）（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边 （5）三角形中最大角大于等于 60，最小角小于等于 60(6) 锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.钝角三角形⇔最大角是钝角⇔最大角的余弦值为负值 （7）ABC ∆中，A,B,C 成等差数列的充要条件是 60=B .(8) ABC ∆为正三角形的充要条件是A,B,C 成等差数列，且a,b,c 成等比数列. 二、题型汇总:题型1:判定三角形形状判断三角形的类型（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.（2）在ABC ∆中，由余弦定理可知:222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形∆（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆） (3) 若B A 2sin 2sin =，则A=B 或2π=+B A .例1.在ABC ∆中，A b c cos 2=，且ab c b a c b a 3))((=-+++，试判断ABC ∆形状.题型2:解三角形及求面积一般地，把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.例2.在ABC ∆中，1=a ，3=b ，030=∠A ，求的值例3.在ABC ∆中，内角C B A ,,对边的边长分别是c b a ,,，已知2=c ，3π=C ．（Ⅰ）若ABC ∆的面积等于3，求a ，b（Ⅱ）若A A B C 2sin 2)(sin sin =-+，求ABC ∆的面积．题型3:证明等式成立证明等式成立的方法：（1）左⇒右，（2）右⇒左，（3）左右互相推.例4.已知ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，求证：B c C b a cos cos +=.题型4:解三角形在实际中的应用考察：（仰角、俯角、方向角、方位角、视角）例5．如图所示，货轮在海上以40km/h 的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时到达C 点观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？三、解三角形的应用 1.坡角和坡度：坡面与水平面的锐二面角叫做坡角，坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用i 表示，根据定义可知：坡度是坡角的正切，即tan i α=.lhα2.俯角和仰角：如图所示，在同一铅垂面内，在目标视线与水平线所成的夹角中，目标视线在水平视线的上方时叫做仰角，目标视线在水平视线的下方时叫做俯角.3. 方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为 .注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。
高中数学-三余弦定理(最小角定理)与三正弦定理
三余弦定理和三正弦定理
1.三余弦定理（又叫最小角定理）
（1）设点A为平面α上一点，过A点的斜线在平面α上的射影为，为平面α上的随意直线，则∠，∠，∠三角的余弦关系为：
∠∠×∠
即斜线与平面内一条直线夹角θ的余弦值=斜线与平面所成角
θ的余弦值⨯射影与
1
平面内直线夹角的余弦值。
（2）定理证明：
（3）说明：这三个角中，角θ是最大的，其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值之积。
斜线与平面所成角
θ是斜线与平面内全部直线所成的角中最小的角。
1
2.设二面角M－－N的度数为α，在平面M上有一条射线，它和棱所成角为β，和平面N所成的角为γ，则γα·β（如图）.
（1）定理证明：
假如将三余弦定理和联合起来运用，用于解答立体几何综合题，你会发觉出乎意料地简洁，甚至不用作任何协助线！
例1. (1994全国)如图，已知A1B1C1－是正三棱柱，D是中点，若
1⊥
1
，求面
1
与
面
1
所成的二面角度数。
例2.(1986上海)已知△的两直角边2，3.点P为斜边上一点，现沿将此直角三角形折成直二面角A－－B（如下图），当7时，求二面角P－－B的大小。
例3.已知菱形的边长为1，∠60°，现沿对角线将此菱形折成直二面角 (如下图)。
( 1)求异面直线与所成的角；( 2)求二面角的大小。
例4.（2012四川）如图，半径为的半球的底面圆在平面内，过点作平面的垂线交半球面于点，过圆的直径作与平面成角的平面并与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为，该交线上的一点满意，则、两点间的球面距离为。
高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理
高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理正弦定理与余弦定理是高中数学中的重要知识点，用于求解不规则三角形的边长和角度。
本文将对这两个定理进行详细总结与讲解。
一、正弦定理1.1 定义正弦定理是指在任意三角形中，三条边与其对应的角的正弦值之间的关系。
设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则正弦定理的表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC1.2 推导我们通过利用三角形的面积公式S=1/2 * a * b * sinC，并将其转换为对角线的形式，可以得到正弦定理的推导过程。
1.3 应用正弦定理可以用于求解不规则三角形的边长和角度。
当我们已知三条边或者两条边和夹角时，可以利用正弦定理求解未知的边长或者角度。
二、余弦定理2.1 定义余弦定理是指在任意三角形中，三条边和它们对应的角之间的关系。
设三角形的三边分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则余弦定理的表达式为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cosC2.2 推导我们可以通过利用向量的几何关系，将余弦定理的表达式推导出来。
这个过程较为繁琐，这里就不做详细讲解。
2.3 应用余弦定理可以用于求解不规则三角形的边长和角度。
当我们已知三条边或者两条边和夹角时，可以利用余弦定理求解未知的边长或者角度。
三、正弦定理与余弦定理的比较3.1 适用范围正弦定理适用于任意三角形，而余弦定理只适用于任意三角形，不能用于直角三角形。
3.2 计算难度正弦定理的计算相对简单，只需要记住一个公式，而余弦定理的计算稍复杂，需要使用开方和乘法等运算。
3.3 精度误差由于余弦定理中涉及到平方运算，可能会带来一定的误差，而正弦定理中没有涉及到平方运算，计算结果更加准确。
3.4 应用场景正弦定理在计算不规则三角形的边长和角度时较为常用，尤其适用于已知两边和夹角的情况。
而余弦定理在计算不规则三角形的边长和角度时同样常用，特别适用于已知三边的情况。
高中数学-必修二6.3解三角形-知识点
1高中数学-必修二6.3解三角形-知识点1、正弦定理：A sin a =B sin b =C sin c =2R （R 是三角形的外接圆半径）。
常见变形：① sinA ：sinB ：sinC= a ：b ：c ；② a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC ；③sinA=R 2a ，sinB=R 2b ，sinC=R 2c。
★在满足等号两边（或是分子与分母）齐次的情况下，可将正弦值和边相互切换。
比如：若b=a cosC ，则可快速切换为sinB = sinA cosC 。
2、余弦定理：a 2 = b 2 + c 2 +2bc cosA ；b 2 = a 2 + c 2 +2ac cosB ；c 2 = a 2 + b 2 +2ab cosC ；cosA =bc 2a c b 222-+，cosB =ac 2b c a 222-+，cosC =b a 2c b a 222-+。
3、三角形面积公式：S=21absinC = 21bcsinA = 21acsinB .4、解斜三角形时，如果已知条件是 SAS ， ASA ， AAS ， SSS ，则有 唯一 解；如果已知条件是 SSA ，则可能 一 解，也可能 两 解，要根据题目条件去判断。
5、在三角形中，大边对大角，小边对小角，等边对等角。
也就是说，非最长边所对的角，一定是锐角，而最长边所对的角，可能是锐角，可能是直角，可能是钝角。
6、在求角时，我们尽量用cos 而不用sin ，因为cos 在锐角和钝角的情况下，值是不一样的，这样就简化了计算，避免了讨论。
7、在三角形角的计算中，要熟练运用sinA = sin （B+C ），cosA = -cos （B+C ），tanA = -tan （B+C ）。
8、题型：三角形形状的判断。
主要看是否是等腰三角形，等边三角形，直角三角形，等腰直角三角形，锐角三角形，钝角三角形。
9、反正弦：arcsinx(x ∈[-1 ,1 ])表示一个在[-π/2，π/2]范围中且正弦值为x 的角。
高中数学三角函数知识点总结
高中数学三角函数知识点总结高中数学中的三角函数是一门重要的数学分支，它是解决各种三角形相关问题的基础。
以下是高中数学三角函数的知识点总结。
一、基本概念1. 角度与弧度：角度是用度（°）来衡量的，弧度是用弧长来衡量的，两者之间的转换关系是π弧度=180°。
2. 正弦定理和余弦定理：正弦定理是指在任意三角形ABC中，a/sinA = b/sinB = c/sinC；余弦定理是指在任意三角形ABC中，c² = a² + b² - 2abcosC。
3. 三角恒等式：包括正弦、余弦和正切的诸多恒等式以及它们的倒数形式。
二、常用三角函数及其性质1. 正弦函数（sin）：在单位圆上，给定一个角，将其终边与单位圆交点的纵坐标即为该角的正弦值，其值域为[-1,1]。
2. 余弦函数（cos）：在单位圆上，给定一个角，将其终边与单位圆交点的横坐标即为该角的余弦值，其值域为[-1,1]。
3. 正切函数（tan）：在单位圆上，给定一个角，将其终边与单位圆交点的纵坐标除以横坐标即为该角的正切值，其定义域为所有不为π/2+kπ（k为整数）的实数。
4. 余切函数（cot）、正割函数（sec）和余割函数（csc）：它们分别是tan、cos和sin的倒数函数，它们的定义域和值域分别是tan、cos和sin的值域和定义域的补集。
三、三角函数的图像和性质1. sin和cos的图像：在坐标平面中，将单位圆与x轴交点的横坐标和纵坐标作为y=sin(x)和y=cos(x)的函数图像，它们的图像具有周期性、奇偶性等性质。
2. 周期性：sin和cos的周期为2π，即sin(x+2π)=sin(x)和cos(x+2π)=cos(x)。
3. 奇偶性：sin是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)；cos是偶函数，即cos(-x)=cos(x)。
4. 其他性质：包括在特定区间的增减性、最大最小值以及特殊角的值等。
高中数学必修4平面向量复习5正弦定理余弦定理
5．5 正弦定理、余弦定理要点透视：1．正弦定理有以下几种变形，解题时要灵活运用其变形公式．（1）a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；（2）sin A ＝2a R ，sin B ＝2b R ，sin C ＝2c R： （3）sin A ：sin B ：sin C ＝a ：b ：c ．可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形中的边角关系转化，如常把a ，b ，c 换成2R sin A ，2R sin B ，2R sin C 来解题．2．判断三角形的形状特征，必须从研究三角形的边与边关系，或角与角的关系入手，充分利用正弦定理与余弦定理进行边角转化，由三角形的边或角的代数运算或三角运算，找出边与边或角与角的关系，从而作出正确判断．3．要注意利用△ABC 中 A ＋B ＋C ＝π，以及由此推得的一些基本关系式sin( B ＋C )＝sin A ，cos (B ＋C )=－sin A ，sin 2B C +＝cos 2A 等，进行三角变换的运用．4．应用解三角形知识解决实际问题时，要分析和研究问题中涉及的三角形，它的哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，应选用正弦定理还是余弦定理进行求解．5．应用解三角形知识解实际问题的解题步骤：（1）根据题意画出示意图．（2）确定实际问题所涉及的三角形，并搞清该三角形的已知元和末知元．（3）选用正、余弦定理进行求解，并注意运算的正确性．（4）给出答案．活题精析：例1．( 2001年全国卷)已知圆内接四边形ABCD 的边长是AB ＝2，BC ＝6，CD =DA ＝4，求四边形ABCD 的面积．要点精析：本题主要考查三角函数的基础知识，以及应用三角形面积公式和余弦定理解三角形的方法，考查应用数学知识分析、解决实际问题的能力．解：如图所示，连BD ，四边形ABCD 的面积S =ABD CDB S S + =21AB ·AD ·sin A +21BC ·CD sin C ， ∵ A ＋C =180°，∴ sin A = sin C ，于是 S =21(2×4＋4×6)·sin A =16sin A ． 在△ABD 中，BD 2=AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos A ＝20－16cos A ．在△CBD 中，BD 2＝CD 2＋BC 2－2CD ·BC cos C ＝52－48cos C ．又cos A =－cos C , ⇒cos A =－21, ∵ A ∈(0, π), ∴ A =32π, sin A =23. ∴ S =16×23=83. 例2．（2004春北京卷）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边长，已知a ，b ，c 成等比数列，且a 2－c 2＝ac －bc ，求∠A 的大小及sin b B c 的值。
高中数学必修五-正弦定理与余弦定理
正弦定理与余弦定理知识集结知识元正弦定理公式知识讲解1．正弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b一解两解一解一解解的个数由上表可知，当A为锐角时，a＜b sin A，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．2、三角形常用面积公式1．S＝a•h a（h a表示边a上的高）；2．S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A．3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．例题精讲正弦定理公式例1.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若A=45°，B=30°，a=，则b=（）A．B．1 C．2 D．例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B=（）A．B．C．D．或例3.在△ABC中，已知三个内角为A，B，C满足sin A：sin B：sin C=3：5：7，则C=（）A．90°B．120°C．135°D．150°利用正弦定理解三角形知识讲解【正余弦定理的应用】1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识例题精讲利用正弦定理解三角形例1.在△ABC中，a，b，c是内角A，B，C所对的边．若a>b，则下列结论不一定成立的（）A．A>B B．sin A>sin BC．cos A<cos B D．sin2A>sin2B例2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，则角A的大小为（）A．B．C．D．例3.在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin B =b sin A，则a=（）A ．B ．C．1 D．三角形面积公式的简单应用知识讲解1．余弦定理【知识点的知识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝2R（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bc cos A，b2＝a2+c2﹣2ac cos B，c2＝a2+b2﹣2ab cos C变形形式①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；②sin A＝，sin B＝，sin C＝；③a：b：c＝sin A：sin B：sin C；④a sin B＝b sin A，b sin C＝c sin B，a sin C＝c sin A cos A＝，cos B＝，cos C＝解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，a＜b sin A，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．例题精讲三角形面积公式的简单应用例1.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（a+b）2=c2+ab，B=30°，a=4，则△ABC的面积为（）A．4 B．3C．4D．6例2.设△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，其外接圆半径为2，且有，则三角形的面积为（）A．B．C．或D．或例3.在△ABC中角ABC的对边分别为a、b、c，cos C=，且a cos B+b cos A=2，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．利用余弦定理解三角形当堂练习填空题练习1.如图，O在△ABC的内部，且++3=，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为_____．练习2.锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c2-8=（a-b）2，a=2c sin A，则△ABC的面积为____．练习3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的最大值是____．解答题练习1.'在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角B的大小；（2）若D为AC的中点，且BD=1，求S△ABC的最大值．'练习2.'在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若（a+c）sin B-b sin C=b cos A．（1）求角A；（2）若△ABC的面积为4，a=6，求△ABC的周长．'练习3.'△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若。
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高中数学知识点总结正弦定理与余弦定理第7讲正弦定理与余弦定理[学生用书P82]1．正弦定理和余弦定理2.三角形中常用的面积公式(1)S＝ah(h表示边a上的高)；(2)S＝bc sin A＝ac sin_B＝ab sin C；(3)S＝，其中p＝(a＋b＋c)．1．辨明两个易误点(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要注意分类讨论．(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．2．余弦定理的推导过程如图，设＝a，＝b，＝c.则c＝a－b，所以|c|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos C.即c2＝a2＋b2－2ab cos C.同理可证a2＝b2＋c2－2bc cos A.b2＝c2＋a2－2ca cos B.3．三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A<a<b a≥b a>b解的个数一解两解一解一解1. 在△ABC中，A＝45°，C＝30°，c＝6，则a等于( )A．3 B．6C．2 D．3B [解析] 由正弦定理得＝，所以a＝＝＝6.2. 在△ABC中，已知a＝5，b＝7，c＝8，则A＋C＝( )A．90° B．120°C．135° D．150°B [解析] cos B＝＝＝.所以B＝60°，所以A＋C＝120°.3．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形( ) A．无解 B．有两解C．有一解 D．解的个数不确定B [解析] 因为＝，所以sin B＝·sin A＝×sin 45°＝.又因为a<b，所以B有两解．4．已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，若cos B＝，a＝10，△ABC的面积为42，则c＝________．[解析] 依题意可得sin B＝，又S△ABC＝ac sin B＝42，则c＝14.[答案] 145．(2016·高考北京卷)在△ABC中，∠A＝，a＝c，则＝________．[解析] 在△ABC中，∠A＝，所以a2＝b2＋c2－2bc cos，即a2＝b2＋c2＋bc.因为a＝c，所以3c2＝b2＋c2＋bc，所以b2＋bc－2c2＝0，所以(b＋2c)(b－c)＝0，所以b－c＝0，所以b＝c，所以＝1.[答案] 1利用正、余弦定理解三角形(高频考点)[学生用书P83] 利用正、余弦定理解三角形是高考的热点，三种题型在高考中时有出现，其试题为中档题．高考对正、余弦定理的考查有以下两个命题角度：(1)由已知求边和角；(2)解三角形与三角函数结合．[典例引领](1)(2016·高考全国卷丙)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝( )A. B.C．－ D．－(2)(2016·高考全国卷甲)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝________．【解析】(1)设△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，由题意可得a＝c sin ＝c，则a＝c.在△ABC中，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝c2＋c2－3c2＝c2，则b＝c.由余弦定理，可得cos A＝＝＝－，故选C.(2)因为A，C为△ABC的内角，且cos A＝，cos C＝，所以sin B＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C ＝×＋×＝.又a＝1，所以由正弦定理得b＝＝＝×＝.【答案】(1)C (2)利用正、余弦定理解三角形的应用(1)解三角形时，如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．[题点通关]角度一由已知求边和角1．(2017·兰州市实战考试)在△ABC中，a，b，c分别是内角A、B、C的对边．若b sin A＝3c sin B，a＝3，cos B＝，则b＝( )A．14 B．6C. D.D [解析] b sin A＝3c sin B⇒ab＝3bc⇒a＝3c⇒c＝1，所以b2＝a2＋c2－2ac cos B＝9＋1－2×3×1×＝6，b＝，故选D.角度二解三角形与三角函数结合2．(2017·河北省五校联盟质量检测)已知锐角△ABC中内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a2＋b2＝6ab cos C，且sin2C＝2sin A sinB.(1)求角C的值；(2)设函数f(x)＝sin－cos ωx(ω＞0)，且f(x)图象上相邻两最高点间的距离为π，求f(A)的取值范围．[解] (1)因为a2＋b2＝6ab cos C，由余弦定理知a2＋b2＝c2＋2ab cos C，所以cos C＝，又sin2C＝2sin A sin B，则由正弦定理得c2＝2ab，所以cos C＝＝＝，又因为C∈(0，π)，所以C＝.(2)f(x)＝sin－cos ωx＝sin ωx－cos ωx＝sin，由已知可得＝π，所以ω＝2，则f(A)＝sin，因为C＝，所以B＝－A，因为0＜A＜，0＜B＜，所以＜A＜，所以0＜2A－＜，所以f(A)的取值范围是(0，]．利用正弦、余弦定理判定三角形的形状[学生用书P83] [典例引领](1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为( )A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．不确定(2)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若＋＝2c，则△ABC是( )A．等边三角形 B．锐角三角形C．等腰直角三角形 D．钝角三角形【解析】(1)由正弦定理得sin B cos C＋cos B sin C＝sin2A，则sin(B＋C)＝sin2A，由三角形内角和，得sin(B＋C)＝sin A＝sin2A，即sin A＝1，所以∠A＝.即△ABC为直角三角形．(2)因为＋＝2c，所以由正弦定理可得＋＝2sin C，而＋≥2＝2，当且仅当sin A＝sin B时取等号，所以2sin C≥2，即sin C≥1.又sin C≤1，故可得sin C＝1，所以∠C＝90°.又因为sin A＝sin B，可得A＝B，故三角形为等腰直角三角形，故选C.【答案】(1)A (2)C若将本例(1)条件改为“2sin A cos B＝sin C”，试判断△ABC的形状．[解] 法一：由已知得2sin A cos B＝sin C＝sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，即sin(A－B)＝0，因为－π＜A－B＜π，所以A＝B，故△ABC为等腰三角形．法二：由正弦定理得2a cos B＝c，再由余弦定理得2a·＝c⇒a2＝b2⇒a＝b，故△ABC为等腰三角形．判断三角形形状的常用技巧若已知条件中有边又有角，则(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．[通关练习]1．在△ABC中，已知2A＝B＋C，且a2＝bc，则△ABC的形状是( )A．两直角边不等的直角三角形B．顶角不等于90°或60°的等腰三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形C [解析] 由2A＝B＋C，知A＝60°.又cos A＝，所以＝，所以b2＋c2－2bc＝0，即(b－c)2＝0，所以b＝c.故△ABC为等边三角形．2．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.(1)求角A的大小；(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．[解] (1)由题意知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.(*)由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，故cos A＝－，所以A＝120°.(2)由(*)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin B sin C.又sin B＋sin C＝1，故sin B＝sin C＝.因为0°<B<90°，0°<C<90°，故B＝C.所以△ABC是等腰钝角三角形．与三角形面积有关的问题[学生用书P84][典例引领](2017·高考全国卷乙)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.(1)求sin B sin C；(2)若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．【解】(1)由题设得ac sin B＝，即c sin B＝.由正弦定理得sin C sin B＝.故sin B sin C＝.(2)由题设及(1)得cos B cos C－sin B sin C＝－，即cos(B＋C)＝－.所以B＋C＝，故A＝.由题设得bc sin A＝，即bc＝8.由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，得b＋c＝.故△ABC的周长为3＋.与三角形面积有关问题的解题策略(1)求三角形的面积．对于面积公式S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式．(2)已知三角形的面积解三角形．与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化．(3)求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题．一般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解．(2017·重庆第一次适应性测试)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(B＋C)＝－sin 2A.(1)求A；(2)设a＝7，b＝5，求△ABC的面积．[解] (1)由cos(B＋C)＝－sin 2A可得，－cos A＝－sin 2A，所以cos A＝×2sin A cos A，因为△ABC为锐角三角形，所以cos A≠0，故sin A＝，从而A＝.(2)因为A＝，故cos A＝，由余弦定理可知，a2＝b2＋c2－2bc cos A，即49＝25＋c2－5c，所以c2－5c－24＝0，解得c＝－3(舍去)，c＝8，所以△ABC的面积为bc sin A＝×5×8×＝10.[学生用书P85])——正、余弦定理的应用(本题满分12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝，b2－a2＝c2.(1)求tan C的值；(2)若△ABC的面积为3，求b的值．[思维导图](1)(2)(1)由b2－a2＝c2及正弦定理得sin2B－＝sin2C，所以－cos 2B＝sin2C.(3分)又由A＝，即B＋C＝π，得－cos 2B＝sin 2C＝2sin C cos C，解得tan C＝2.(6分)(2)由tan C＝2，C∈(0，π)，得sin C＝，cos C＝.(8分)因为sin B＝sin(A＋C)＝sin，所以sin B＝.(9分)由正弦定理得c＝，(10分)又因为A＝，bc sin A＝3，所以bc＝6，(11分)故b＝3.(12分)(1)本题是解三角形与三角恒等变换的结合，求解中首先利用正弦定理把边的关系转化为三角函数关系，再利用恒等变换，再次应用正弦定理，求解所求问题．(2)计算准确，争取得满分①公式运用要准确，这是计算正确的前提．②算数要准确无误，尤其注意正、负号的选择，计算时要尽量利用学过的公式简化计算过程．[学生用书P280(独立成册)]1．(2017·兰州市实战考试)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2＝ac，c＝2a，则cos C＝( )A. B．－C. D．－B [解析] 由题意得，b2＝ac＝2a2，b＝a，所以cos C＝＝＝－，故选B.2．(2017·重庆适应性测试(二))在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2－c2＝ab＝，则△ABC的面积为( )A. B.C. D.B [解析] 依题意得cos C＝＝，C＝60°.因此，△ABC的面积等于ab sin C＝××＝，选B.3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＜cos A，则△ABC为( )A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．等边三角形A [解析] 已知＜cos A，由正弦定理，得＜cos A，即sin C＜sinB cos A，所以sin(A＋B)＜sin B cos A，即sin B·cos A＋cos B sin A－sin B cos A＜0，所以cos B sin A＜0.又sin A＞0，于是有cos B＜0，B为钝角，所以△ABC是钝角三角形．4．在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则的值为( )A．1 B．2C．3 D．4A [解析] 由正弦定理得＝，由余弦定理得cos A＝，因为a＝4，b＝5，c＝6，所以＝＝2··cos A＝2××＝1.5．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b sin A－a cos B＝0，且b2＝ac，则的值为( )A. B.C．2 D．4C [解析] 在△ABC中，由b sin A－a cos B＝0，利用正弦定理得sin B sin A－sin A cos B＝0，所以tan B＝，故B＝.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cos B＝a2＋c2－ac，即b2＝(a＋c)2－3ac，又b2＝ac，所以4b2＝(a＋c)2，求得＝2.6．(2017·哈尔滨一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b＝1，a＝2c，则当C取最大值时，△ABC的面积为( )A. B.C. D.B [解析] 当C取最大值时，cos C最小，由cos C＝＝＝≥，当且仅当c＝时取等号，且此时sin C＝，所以当C取最大值时，△ABC的面积为ab sin C＝×2c×1×＝.7．在△ABC中，若b＝2，A＝120°，三角形的面积S＝，则三角形外接圆的半径为________．[解析] 由面积公式，得S＝bc sin A，代入得c＝2，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝22＋22－2×2×2cos 120°＝12，故a＝2，由正弦定理，得2R＝＝，解得R＝2.[答案] 28．(2017·高考浙江卷)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________．[解析] 在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，由余弦定理得cos∠ABC＝＝＝，则sin∠ABC＝sin∠CBD＝，所以S△BDC＝BD·BC sin∠CBD＝.因为BD ＝BC＝2，所以∠CDB＝∠ABC，则cos∠CDB＝＝.[答案]9．(2017·贵阳市监测考试)在△ABC中，内角A、B、C所对边分别是a、b、c，若sin2＝，则△ABC的形状一定是________．[解析] 由题意，得＝，即cos B＝，又由余弦定理，得＝，整理，得a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形．[答案] 直角三角形10．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，sin A，sin B，sin C成等差数列，且a＝2c，则cos A＝________．[解析] 因为sin A，sin B，sin C成等差数列，所以2sin B＝sin A ＋sin C.因为＝＝，所以a＋c＝2b，又a＝2c，可得b＝c，所以cos A＝＝＝－.[答案] －11．(2016·高考天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a sin 2B＝b sin A.(1)求B；(2)若cos A＝，求sin C的值．[解] (1)在△ABC中，由＝，可得a sin B＝b sin A.又由a sin 2B＝b sin A，得2a sin B cos B＝b sin A＝a sin B，所以cos B＝，所以B＝.(2)由cos A＝，可得sin A＝，则sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin＝sin A＋cos A＝.12．(2017·河南省八市重点高中质量检测)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2a sin A＝(2sin B－sin C)b＋(2sin C －sin B)c.(1)求角A的大小；(2)若a＝2，b＝2，求△ABC的面积．[解] (1)由已知及正弦定理可得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，整理得b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝.又A∈(0，π)，故A＝.(2)由正弦定理＝，a＝2，b＝2，A＝，得sin B＝.又B∈，故B＝或.若B＝，则C＝，于是S△ABC＝ab＝2；若B＝，则C＝，于是S△ABC＝ab sin C＝.13．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，＝a，a＝2.若b∈[1，3]，则c的最小值为( )A．2 B．3C．2 D．2B [解析] 由＝a，得＝sin C．由余弦定理可知cos C＝，即3cos C＝sin C，所以tan C＝，故cos C＝，所以c2＝b2－2b＋12＝(b－)2＋9，因为b∈[1，3]，所以当b＝时，c取最小值3.14．已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，2a sin B＝b，b＝2，c＝3，AD是内角的平分线，则BD＝________．[解析] 由2a sin B＝b及正弦定理得2sin∠BAC·sin B＝sin B，所以sin∠BAC＝.因为∠BAC为锐角，所以∠BAC＝.因为AD是内角平分线，所以＝＝＝.由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC＝4＋9－2×2×3×＝7，所以BC＝，BD＝.[答案]15．(2017·武汉市调研测试)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＋＝4cos C，b＝1.(1)若A＝90°，求△ABC的面积；(2)若△ABC的面积为，求a，c.[解] (1)因为b＝1，所以a＋＝4cos C＝4×＝，所以2c2＝a2＋1.又A＝90°，所以a2＝b2＋c2＝c2＋1，所以2c2＝a2＋1＝c2＋2，所以c＝，a＝，所以S△ABC＝bc sin A＝bc＝×1×＝.(2)因为S△ABC＝ab sin C＝a sin C＝，所以sin C＝，因为a＋＝4cos C，sin C＝，所以＋＝1，化简得(a2－7)2＝0，所以a＝，从而c＝2.16．(2017·高考全国卷丙)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝0，a＝2，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．[解] (1)由已知可得tan A＝－，所以A＝.在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4c cos，即c2＋2c－24＝0.解得c＝－6(舍去)，c＝4.(2)由题设可得∠CAD＝，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝.故△ABD面积与△ACD面积的比值为＝1.又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC＝2，所以△ABD的面积为.。