1[1]11正弦定理(两课时)
正弦定理教案
正弦定理教案1. 知识背景正弦定理是三角函数中的一个重要概念，它描述了三角形中边与角之间的关系。
在解决实际问题中，正弦定理常常被用来求解三角形的边长或角度。
本教案旨在通过讲解正弦定理的定义和应用，帮助学生掌握这个重要定理的使用方法。
2. 学习目标•了解正弦定理的定义和公式•能够运用正弦定理解决实际问题•掌握正弦定理在三角形计算中的应用方法3. 教学内容3.1 正弦定理的定义正弦定理是指：在任意三角形中，三条边的长度和其相对的角度之间有一个关系式。
即对于一个三角形ABC，其三条边的长度分别为a、b、c，对应的角度为A、B、C，则正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC3.2 正弦定理的推导我们可以通过三角形的面积来推导正弦定理。
设三角形ABC的面积为S，则可以使用海伦公式计算：S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))其中p为半周长，即p = (a + b + c) / 2。
根据三角形面积的计算公式，我们可以将其化简为：S = (1/2) * a * b * sinC将这两个公式相等，可以得到正弦定理的推导过程。
3.3 正弦定理的应用正弦定理可以应用于各种实际问题的求解中。
下面将通过一个例子来说明如何使用正弦定理解决问题。
例题：已知一个三角形的两条边分别为5cm和7cm，以及它们夹角的正弦值为0.6，求第三条边的长度。
解题步骤：首先，根据正弦定理的公式可以得到：5/sinA = 7/sinB = c/sinC。
由已知条件可得：sinC = 0.6。
再由正弦定理得：5/sinA = 7/sinB = c/0.6。
根据比例关系，我们可以得到：c = (5 * 0.6) / sinA = (7 * 0.6) / sinB。
由此，我们可以通过已知条件计算出第三条边的长度。
4. 教学过程4.1 导入引导学生思考以下问题：“在解决三角形相关问题时，我们经常会用到哪些定理？”帮助学生回顾并回答出正弦定理。
正弦定理和余弦定理
请问: 本题是已知什么? 求什么?
已知两边和一边所对的角, 求另外的角.
一般地, 把三角形的三个角 A、B、C 和它们的 对边 a、b、c 叫做三角形的元素, 已知三角形的三个
元素(其中至少有一个元素是边), 求其他元素的过程 叫做解三角形.
问题2. 一个三角形有几个元素? 已知怎样的几 个元素可以用正弦定理解三角形?
精确到1, 边长精确到1cm):
(1) a20cm, b11cm, B30; (2) c54cm, b39cm, C115.
解: (1) 由正弦定理得,
a sin
A
b sin B
,
B
20sin 30 11
≈0.9091,
A≈65, 或 A≈115.
② 当A≈115时,
C180-(A+B) 35,
c
asinC sin A
20sin 35 sin115
≈13(cm).
2. 在△ABC中, 已知下列条件, 解三角形 (角度
精确到1, 边长精确到1cm):
(1) a20cm, b11cm, B30; (2) c54cm, b39cm, C115.
② 当B≈139时,
注意解的检验.
B+C139+115254 >180, 不合题意 ∴此题只有一组解.
【课时小结】
1. 正弦定理
a sin
A
b sin
B
c sinC
.
【课时小结】
2. 正弦定理解三角形
(1) 已知两边和一边所对的角
如: 已知 a、b、A, 即可求 B.
sin B b
解: (2) 由正弦定理得,
人教版高中数学必修2《正弦定理》PPT课件
2．正弦定理的常见变形：
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R 为△ABC 外接圆的半径)．
(2)sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR(R 为△ABC 外接圆的半径)．
(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即 a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
题型一 已知两角及一边解三角形
【学透用活】
[典例 1] (1)在△ABC 中，c＝ 3，A＝75°，B＝60°，则 b 等于 ( )
32 A. 2
3 B.2 2
3
6
C.2
D. 2
(2)在△ABC 中，已知 BC＝12，A＝60°，B＝45°，则 AC＝_________.
[解析] (1)因为 A＝75°，B＝60°，
[方法技巧] 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角
三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等．利用正
弦定理判断三角形形状的方法如下：
(1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有：①a＝2Rsin A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C(R
为△ABC
＋ccos B＝asin A，则△ABC 的形状为
()
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
解析：由射影定理得 bcos C＋ccos B＝a，则 a＝asin A，于是 sin A＝ 1，即 A＝90°，所以△ABC 的形状为直角三角形．
答案：B
[应用二] 设△ABC 的内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c.已知 bcos
形，故选 D.
答案：D
《正弦定理》教案(含答案)
《正弦定理》教案（含答案）章节一：正弦定理的引入教学目标：1. 让学生理解正弦定理的概念和意义。
2. 让学生掌握正弦定理的数学表达式。
3. 让学生了解正弦定理的应用场景。
教学内容：1. 引入正弦定理的背景和意义。
2. 介绍正弦定理的数学表达式：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
3. 解释正弦定理的证明过程。
教学活动：1. 通过实际例子引入正弦定理的概念。
2. 引导学生推导正弦定理的数学表达式。
3. 让学生进行小组讨论，探索正弦定理的应用场景。
练习题：1. 解释正弦定理的概念。
2. 给出一个三角形，让学生计算其各边的比例。
章节二：正弦定理的应用教学目标：1. 让学生掌握正弦定理在三角形中的应用。
2. 让学生能够解决实际问题中涉及的三角形问题。
教学内容：1. 介绍正弦定理在三角形中的应用方法。
2. 讲解正弦定理在实际问题中的应用示例。
教学活动：1. 通过示例讲解正弦定理在三角形中的应用方法。
2. 让学生进行小组讨论，探讨正弦定理在实际问题中的应用。
练习题：1. 使用正弦定理计算一个三角形的面积。
2. 给出一个实际问题，让学生应用正弦定理解决问题。
章节三：正弦定理的证明教学目标：1. 让学生理解正弦定理的证明过程。
2. 让学生掌握正弦定理的证明方法。
教学内容：1. 介绍正弦定理的证明过程。
2. 解释正弦定理的证明方法。
教学活动：1. 通过几何图形的分析，引导学生推导正弦定理的证明过程。
2. 让学生进行小组讨论，理解正弦定理的证明方法。
练习题：1. 解释正弦定理的证明过程。
2. 给出一个三角形，让学生使用正弦定理进行证明。
章节四：正弦定理在实际问题中的应用教学目标：1. 让学生掌握正弦定理在实际问题中的应用。
2. 让学生能够解决实际问题中涉及的三角形问题。
教学内容：1. 介绍正弦定理在实际问题中的应用方法。
2. 讲解正弦定理在实际问题中的应用示例。
教学活动：1. 通过示例讲解正弦定理在实际问题中的应用方法。
正弦定理教案
正弦定理教案正弦定理教案引言：数学是一门抽象而又实用的学科，它的重要性不言而喻。
在数学的学习过程中，我们经常会遇到各种定理和公式。
其中，正弦定理是三角学中的重要定理之一，它在解决三角形相关问题时具有广泛的应用。
本教案将详细介绍正弦定理的概念、公式以及应用，帮助学生更好地理解和运用正弦定理。
一、正弦定理的概念正弦定理是指在任意三角形ABC中，三边的长度a、b、c与其对应的角A、B、C之间存在一个等式的关系。
这个关系可以用下面的公式来表示：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，a、b、c分别表示三角形ABC的三边的长度，A、B、C分别表示三角形ABC的三个内角的度数。
二、正弦定理的公式推导为了更好地理解正弦定理的公式，我们可以通过几何推导来得到它。
假设三角形ABC的三边分别为a、b、c，对应的角为A、B、C。
我们可以通过绘制高度、分割三角形等方法，将三角形ABC分解为两个直角三角形，如下图所示：（图示正弦定理公式推导过程）根据三角函数的定义，我们可以得到以下几个等式：sinA = h/csinB = h/asinC = h/b其中，h表示三角形ABC中高度的长度。
由此，我们可以得到以下等式：a/sinA = cb/sinB = c将这两个等式联立，可以得到正弦定理的公式：a/sinA = b/sinB = c/sinC三、正弦定理的应用正弦定理的应用非常广泛，它可以帮助我们解决各种与三角形相关的问题。
下面我们介绍一些正弦定理的常见应用场景。
1. 求解三角形的边长当我们已知一个三角形的两个角度和一个边长时，可以利用正弦定理来求解其他边长。
例如，已知三角形ABC的角A为60度，角B为30度，边a的长度为5，我们可以通过正弦定理来求解边b和边c的长度。
2. 求解三角形的角度当我们已知一个三角形的三个边长时，可以利用正弦定理来求解各个角度。
例如，已知三角形ABC的边a的长度为5，边b的长度为8，边c的长度为10，我们可以通过正弦定理来求解角A、角B和角C的度数。
高中数学高一必修《正弦定理》教育教学课件
摸索：若ΔABC中 b＝20，A＝60°,当a为何值角B有1解、 2解、无解
设在△ABC中，已知a、b、A的值，则解该三角形 可能显现以下情形： 1.若A是锐角 （1）若a < bsinA，则此时无解； （2）若a = bsinA，则此时恰有一解，即角B为直角； （3）若bsinA< a <b，则此时有两解，即角B可取钝角，
1.1.1 正弦定理
回想上节课所学内容
目录
本节课主要知识点
针对性练习
课后作业
回想上节课所学内容
一、正弦定理： a b c 2R sin A sin B sin C
二、可以用正弦定理解决的三角问题：
①知两角及一边，求其它的边和角 ②知三角形任意两边及其中一边的对角，求其它的边和角
例2、在△ABC中，b= 3 ，c=1，B=60o，解这个三角形.
2R
2R
2R
sin A : sin B : sin C a : b : c
例3、在ABC中，若
a2 b2
tan A , 试判断ABC的形状 tan B
解：由正弦定理，得
sin2 sin2
A B
tan tan
A B
sin2 sin2
A B
sin A cos A
cos B sin B
sin A 0，sin B 0,
sin Acos A sin Bcos B，即sin2A sin2B
2A 2k 2B 或 2A 2k 2B(k Z )
0 A,B ，∴k 0，则A B或A+B=
故△ABC为等腰三角ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，且 b sinB=c sinC，则△ABC的形状是 等腰直角三角形
余弦定理、正弦定理(第二课时) 课件-2021-2022学年高一下学期数学人教A版必修第二册
探究新知
下面先研究锐角三角形的情形. 证明：
由分配律，得 即 也即 所以
探究新知Байду номын сангаас
由分配律，得 即 也即 所以
探究新知
探究新知
证明：
由分配律，得 即 也即 所以 同理可得，
探究新知
文字语言
符号语言
正弦定理给出了任意三角形中三条边与它们各自所对的角的正弦之间的一 个定量关系.利用正弦定理，不仅可以解决“已知两角和一边，解三角形”的问题， 还可以解决“已知两边和其中一边的对角，解三角形”的问题.
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第2课时 正弦定理
探究新知
探究1：通过对直角三角形的研究，观察它的角和三边之间的关系，猜想它们之间 的联系.
1
c
思考1：那么对于锐角三角形或钝角三角形，上述关系式是否仍然成立？ 猜 想：对于锐角三角形或钝角三角形，上述关系式仍然成立.
探究新知
思考2：向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角的正弦.如何实现 转化？
课堂小结
正弦定理
文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的的正弦的比相等
课
已知两角和一边，解三角形
堂 小
定理应用
结
已知两边和其中一边的对角，解三角形（注意多解问题）
思想方法
数形结合 分类讨论
作业
近测高塔远看山， 量天度海只等闲； 古有九章勾股法， 今看三角正余弦。
感谢观看！
课后思考:探索和证明这个定理的方法很多，有些方法甚至比向量法更加简洁. 你还能想到其他方法证明正弦定理吗？
巩固练习
解：由三角形内角和定理，得 由正弦定理，得
跟踪训练
题型一：已知两角及一边解三角形
1.1正弦定理(两课时)
3.思维误区警示：
(1)正弦定理可以解任意三角形； (2)运用该定理解决“已知两边和其中一边 的对角，求另一边的对角，进而求其它 元素”这类问题时，注意对解的判断.
a sin C c 49.57 sin A
已知两边和其中一边的对角,求其他边和角 练习
1.根据下列条件解三角形 (1)b=13，a=26，B=30°.
[B=90°，C=60°， c= ]
(2) b=40，c=20，C=45°.
13 3
注意：
无解
三角形中角的正弦值小于１时，角可能有两解；
然后用大角对大边或三角形三边三角关系进行检验。
例 2 已知a=16， b= 16 3， A=30° . 已知两边和其中一边 求角B，C和边c 的对角,求其他边和角 a b 解：由正弦定理 C
sin A sin B b sin A 16 3 sin 30 3 得 sin B a 16 2
16 3
300
16
16
所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120° 当 Ｂ＝60°时
C=90°
A
B
B
c 32 .
a sin C c 16 . sin A
当Ｂ＝120°时 C=30°
变式: a=30, b=26, A=30°求角B，C和边c
a b 解：由正弦定理 sin A sin B b sin A 26 sin 30 13 A 得 sin B a 30 30
4.一般地，把三角形的三个角A，B，C和它 们的对边a，b，c叫做三角形的元素。已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三
角形
定理的应用
已知两角和任意边， 求其他两边和一角
。 。
例 1 在△ABC 中，已知c = 10,A = 45 , C = 30 求 C a,b. 解： a c ∵
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∴ B＝150°应舍去.
（2） b＝20，A＝60°，a＝10√3 C
sinB＝
b
sinA a
＝1 ，
20
B＝90°.
60°
A
B
（3） b＝20，A＝60°，a＝15.
sinB＝
b
sinA a
＝
2√3
3
，
C
∵
2√3
3
> 1，
20
∴ 无解.
60° A
正弦定理
已知边a,b和角Ａ，求其他边和角．
Ａ为锐角
a 形是否b也有这个c c = sin A , c = s关in系B？, c = sinC
c
a
a
b
c
=
=
A
sin A sin B sinC
bC
正弦定理
B
BAB' 90, C B'
sin C sin B' c
c
2R
c 2R
A
sin C
同理 a 2R, b 2R
sin A
sin B
a
O
解： ∵ b c
sin B sin C
且 B 180 (A C) 105
∴
b=
c sin B
sin C =
10 sin 105 sin 30
19
例 2 在△ ABC中，已知a＝2，b＝ 6
A＝45°，求B和c.
C
b
A
45° B2
B1
小结
1. 正弦定理
a＝ b ＝c sinA sinB sinC
则B＝_3_0_°_.
（3）已知c＝2，A＝45°，a＝ 2√6 ，则
3 B＝_7_5_°__或__1_5_°____.
Ｃ
b
a
Ｃ ba
Ｃ
b
a
பைடு நூலகம்
Ｃ
b
a
Ａ
Ａ
Ｂ Ａ Ｂ２ Ｂ１ Ａ
Ｂ
a<bsinA a=bsinA bsinA<a<b
a≥b
无解
一解
两解
一解
Ａ为直角或钝角
Ｃ a
b
Ａ
Ｂ
a>b
一解
Ｃ a
b
Ａ
a≤b 无解
正弦定理
△ABC中，
（1）已知c＝√3，A＝45°，B＝75°， 则a＝√_2___.
（2）已知c＝2，A＝120°，a＝2√3，
（1） b＝20，A＝60°，a＝20√3 ;
（2） b＝20，A＝60°，a＝10√3 ;
（3） b＝20，A＝60°，a＝15. C
b
A 60°
B
（1） b＝20，A＝60°，a＝20√3
sinB＝
b
sinA a
＝
1 2
，
B＝30°或150°，
C
2060° 20√3
A
B
∵ 150°＋60°> 180°，
＝2R
是解斜三角形的工具之一.
2. 正弦定理可解以下两种类型的三角形： （1）已知两角及一边； （2）已知两边及其中一边的对角.
变式训正练弦：定理
（1）在△ABC中，已知b= 3，A= 45，B=60，求a。
解：∵ a b sin A sin B
∴ a b sin A =
sin B
3 sin 45 = sin 60
C
b
B/
a b c 2R sin A sin B sin C
正弦定理
A
A
B
Ob C
B`
O bC B` B
b sinB =2R
A b OC
B
a＝ b ＝c sinA sinB sinC
＝2R.
正弦定理
一、 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦的比相等，即
a b c 2R sin A sin B sin C
2
（2）在△ABC中，已知c= 3，A= 75，B= 60，求b。
解：∵ C 1800 ( A B) = 180 (75 60) 45
又∵
bc sin B sin C
∴ b c sin B sin C
3 sin 60 3 2 sin 45 2
在例 2 中，将已知条件改为以下几种 情况，结果如何？
二、解三角形：已知三角形的几个元素求其他元素
的过程 (1)知两角和一边，可求其他两边和一角； (2)知两边和其中一边的对角，可求其他的边和角.
定理正的弦应定理用
已知两角和任意边， 求其他两边和一角
例 1 在△ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。 求 b (保留两位有效数字）。
正弦定理
1.1.1正弦定理
引入 正弦定理
引例：
为了测定河岸A点 到对岸C点的距离，在 岸边选定1公里长的基 线AB，并测得 ∠ABC=120o， ∠BAC=45o，如何求A、 C两点的距离？
.C .B .A
正弦定理
在直角三角形ABC中的边角关系有：
a
b
c
sin A = 对c ,于si一n B般=的c三,s角inC = 1 = c B