1.1.1正弦定理(第二课时)
【数学】1.1.1《正弦定理》课件(新人教B版必修5)
对任意三角形,这个等式都会成立吗 对任意三角形 这个等式都会成立吗? 这个等式都会成立吗 怎么证明这个结论？ 怎么证明这个结论？
（一）正弦定理的证明 方法一(向量法) 方法一(向量法)
已知: ABC中，CB=a,AC=b,AB=c. 求证: 求证
a b c = = s in A s in B s in C
\ a = s in A b = s in B c s in C
90
0
即等式对任意三角 形都成立
B a c A b C
证法二：(等积法) 证法二： 等积法) 在任意斜 ABC当中 作AD⊥BC于D
c h a
A
b
∴ S ∆ABC = 1 a h 2 B ∵ h = b sin C ∴ S ∆ABC = 1 a b sin C 2
已知在Δ a,b和 例1.已知在ΔABC中，c=10,A=450,C=300,求a,b和B 已知在 中
解：∵c=10 A=450,C=300
a c 10sin 450 a sin A = =10 由 sin A = 得 a= 0 sin C sin 30 sin C b c 由 = sin B sin C
A+ B C sin = cos 2 2
cos( A + B ) = − cos C
3、边角关系： 、边角关系： 1）大边对大角，大角对大边，等边对等角 ）大边对大角，大角对大边， 0,则 sin A = a , cos A = b 2）在直角三角形 ）在直角三角形ABC中,C=90 则 中
c c
二、展示目标
请同学们思考两个问题： 请同学们思考两个问题： 1.为什么会出现两个解？ 为什么会出现两个解？ 为什么会出现两个解 2.当a=1时C有几个解；当a= 有几个解； 当 时 有几个解 几个解； 几个解；当a=3时C有几个解 时 有几个解
高一数学“四步教学法”教案：1.1 正弦定理2
AB AC AB BD ，即 . BD DC AC DC
教
环节四
当堂检测
二次备课
1、一艘船以 42 n mile/h 的速度向正北方向航行，从 A 处看灯
学
30 min 后船航行到 B 处， 塔 S 位于船北偏东 25 的方向上， 从B
处看灯塔 S 位于船北偏东 58 的方向上， 求灯塔 S 与 B 之间的距
二次备课
a b c ， sin A sin B sin C
即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等.
1
方 法
2、变形式： （1） 接圆的半径）
a b c 2 R （ R 为 ABC 外 sin A sin B sin C
（2） a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C
AB BD ． AC DC
证
明
：
设
BAD ,
BDA ,
则
CAD , CDA 180 ,
在 ABD 和 ADC 中分别运用正弦定理， 得
AB sin AC sin(180 ) ， ， BD sin CD sin
又 sin(180 ) sin ，所以
过
离（精确到 0.1n mile ）
程
3
及
2、课后练习题 1-3.
方 法
课 堂 小 结
课后 作业 板 书 设 计
正弦定理： 2、例题解析： 3、点拨拓展： 4、达标检测： 5、作业布置： 变形式： 正弦定理（第二课时） 1、知识回顾： 课本 11 页 3、4、9
课 后 反 思
4
5
苏教版数学必修五同步讲义：1.1正弦定理(2)
1．1 正弦定理(2)1.了解正弦定理及其变式的结构特征和功能．2.理解三角形面积公式及解斜三角形．3．掌握把实际问题转化成解三角形问题．, [学生用书P3])1．三角形中常用的结论 (1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C2.(2)在三角形中，大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 2．三角形面积公式(1)S ＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c (h a ，h b ，h c 分别表示a ，b ，c 边上的高)．(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .1．在△ABC 中，A ＝30°，AB ＝2，BC ＝1，则△ABC 的面积为________． 解析：由BC sin A ＝ABsin C ，知sin C ＝1，则C ＝90°，所以B ＝60°，从而S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝32.★答案★：322．若△ABC 中，cos A ＝13，cos B ＝14，则cos C ＝________．解析：由cos A ＝13得sin A ＝223；由cos B ＝14得sin B ＝154.所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－()cos A cos B －sin A sin B＝－⎝⎛⎭⎫13×14－223×154＝230－112.★答案★：230－1123．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于________． 解析：由于S △ABC ＝3，BC ＝2，C ＝60°， 所以3＝12×2·AC ·32，所以AC ＝2，所以△ABC 为正三角形， 所以AB ＝2. ★答案★：2三角形面积公式的应用[学生用书P4]在△ABC 中，已知B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2.求△ABC 的面积． 【解】 由正弦定理，得sin C ＝AB ·sin B AC ＝32，又AB ·sin B ＜AC ＜AB ，故该三角形有两解：C ＝60°或120°，所以当C ＝60°时，A ＝90°， S △ABC ＝12AB ·AC ＝23；当C ＝120°时，A ＝30°， S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝ 3.所以△ABC 的面积为23或 3.把本例中的B ＝30°改为B ＝45°，AB ＝2 3 改为AB ＝3，其他条件不变，求△ABC 的面积．解：由正弦定理c sin C ＝bsin B ，得AB sin C ＝AC sin B ，则sin C ＝64， 又AC ＞AB ，故该三角形有一解，且C 为锐角，cos C ＝104，由sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝22×104＋22×64＝5＋34，则S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×3×2×5＋34＝3＋154.三角形的面积公式是在解三角形中经常用到的一个公式，其应用关键是根据题目条件选择合适的两边及其夹角．1.在△ABC 中，a ＝2，A ＝30°，C ＝45°，则△ABC 的面积S △ABC 等于________．解析：b ＝a sin B sin A ＝2×sin 105°sin 30°＝6＋2，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝(6＋2)×22＝3＋1.★答案★：3＋1正弦定理在几何图形中的运用[学生用书P4]如图所示，D 是直角三角形ABC 的斜边BC 上的一点，且AB ＝AD ，记∠CAD＝α，∠ABC ＝β.(1)求证：sin α＋cos 2β＝0； (2)若AC ＝3DC ，求β的值．【解】 (1)证明：因为AB ＝AD ，所以∠ADB ＝∠ABD ＝β.又因为α＝π2－∠BAD ＝π2－(π－2β)＝2β－π2，所以sin α＝sin ⎝⎛⎭⎫2β－π2＝－cos 2β， 即sin α＋cos 2β＝0.(2)在△ADC 中，由正弦定理得DC sin α＝ACsin ∠ADC， 即DC sin α＝ACsin （π－β）， 即DC sin α＝3DCsin β，所以sin β＝3sin α. 由(1)知sin α＝－cos 2β，所以sin β＝－3cos 2β＝－3(1－2sin 2β)， 即23sin 2β－sin β－3＝0. 解得sin β＝32或－33.因为0＜β＜π2，所以sin β＝32，所以β＝π3.(1)先找出α与β之间的关系，再取正弦即得要证明的结论．(2)利用正弦定理先找出三角函数之间的关系，再利用(1)的结论将其化简，最后求得sin β的值，从而求出角β.2.如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连结EC ，ED ，则sin ∠CED ＝________．解析：由题意得EB ＝EA ＋AB ＝2，则在Rt △EBC 中，EC ＝EB 2＋BC 2＝4＋1＝ 5.在△EDC 中，∠EDC ＝∠EDA ＋∠ADC ＝π4＋π2＝3π4，由正弦定理得sin ∠CED sin ∠EDC ＝DC EC ＝15＝55， 所以sin ∠CED ＝55·sin ∠EDC ＝55·sin 3π4＝1010. ★答案★：1010正弦定理的实际应用[学生用书P5]为了求底部不能到达的水塔AB 的高，如图，在地面上引一条基线CD ＝a ，这条基线延长后不过塔底，若测得∠ACB ＝α，∠BCD ＝β，∠BDC ＝γ，求水塔AB 的高．【解】 在△BCD 中，BC sin γ＝a sin ∠CBD ＝asin （β＋γ），所以BC ＝a sin γsin （β＋γ），在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan α＝a sin γ·tan αsin （β＋γ）.根据具体问题画出符合题意的示意图，把角、距离在示意图中表示出来，借助图形审题．在三角形中，利用正弦定理解决问题．3.在埃及，有许多金字塔，经过几千年的风化蚀食，有不少已经损坏了．考古人员在研究中测得一座金字塔的三角形横截面如图所示(顶部已经坍塌了)，A ＝50°，B ＝55°，AB ＝120 m ，则此金字塔的高约为________米．(sin 50°≈0.766，sin 55°≈0.819，精确到1米)解析：先分别从A ，B 出发延长断边，确定交点C ， 则C ＝180°－A －B ＝75°，AC ＝AB sin C ·sin B ＝120sin 75°×sin 55°≈101.7.设高为h ，则h ＝AC ·sin A ＝101.7×sin 50°≈78米．★答案★：781．三角形中的诱导公式sin(A ＋B )＝sin C ，cos(A ＋B )＝－cos C ， tan(A ＋B )＝－tan C ，sin A ＋B 2＝cos C2，cos A ＋B 2＝sin C2.2．三角形中边角转化的等价关系 a >b >c ⇔A >B >C ⇔sin A >sin B >sin C . 3．三角形面积公式S ＝12(a ＋b ＋c )r (r 为三角形内切圆半径)．在△ABC 中，若C ＝3B ，求cb 的取值范围．[解] 由正弦定理可知c b ＝sin 3B sin B ＝sin B cos 2B ＋cos B sin 2B sin B ＝cos 2B ＋2cos 2B ＝4cos 2B －1.又因为A ＋B ＋C ＝180°，C ＝3B ， 所以0°<B <45°，22<cos B <1， 所以1<4cos 2B －1<3， 故1<c b<3.即cb的取值范围是(1，3)．(1)错因：在解决有关三角形问题时，经常因忽视三角形中的隐含条件而出现解题错误．本题隐含条件0°<4B<180°，即0°<B<45°.(2)防范：①注意隐含条件，记住三角形中的常用结论，理清三角形中基本量的关系，②将要求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为求函数的值域或最值的问题．1．在△ABC中，B＝60°，b＝76，a＝14，则A＝________．解析：由正弦定理得sin A＝2 2，所以A＝45°或135°，又B＝60°，b＞a，所以B＞A，即A＜60°，故A＝45°.★答案★：45°2．如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝45°，则圆O的面积等于________．解析：因为2R＝4sin 45°＝42，所以R＝2 2.所以S＝πR2＝8π.★答案★：8π3．在△ABC中，a＝2b cos C，则△ABC的形状为________三角形．解析：由已知，可得2R sin A＝2·2R sin B·cos C，即sin(B＋C)＝2sin B cos C，所以sin B cos C－cos B sin C＝0，sin(B－C)＝0，所以B＝C，即△ABC为等腰三角形．★答案★：等腰,[学生用书P71(单独成册)])[A 基础达标]1．在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝4∶1∶1，则a ∶b ∶c 等于________． 解析：由条件知A ＝2π3，B ＝C ＝π6，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶1∶1.★答案★：3∶1∶12．在△ABC 中，已知B ＝45°，c ＝22，b ＝433，则A 的值是________．解析：由正弦定理，得sin C ＝32，从而C ＝60°或120°，故A ＝15°或75°. ★答案★：15°或75°3．在△ABC 中，c b ＝cos Ccos B ，则此三角形为________三角形．解析：由正弦定理得c b ＝sin Csin B ，所以sin C sin B ＝cos C cos B.所以sin B cos C －sin C cos B ＝0. 所以sin(B －C )＝0. 所以B ＝C .所以△ABC 为等腰三角形． ★答案★：等腰4．△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于________．解析：由题意得cos 2B －3cos B ＋2＝0， 即2cos 2B －3cos B ＋1＝0，解得cos B ＝12或cos B ＝1(舍去)，所以sin B ＝32，由正弦定理得c sin C ＝b sin B ＝332＝2. ★答案★：25．如图，△ABC 是半径为R 的⊙O 的内接正三角形，则△ABC 的边长为________，△OBC 的外接圆半径为________．解析：因为ABsin 60°＝2R ，所以AB ＝3R .设△OBC 外接圆半径为x ，BC sin 120°＝2x ，x ＝3R2·32＝R .★答案★：3R R6．在△ABC 中，若a ＝c sin A ，sin C ＝2sin A sin B ，则△ABC 的形状为________三角形． 解析：由已知，2R sin A ＝2R sin C sin A ， 因为sin A ≠0，所以sin C ＝1，C ＝90°，又sin C ＝2sin A sin B ＝2sin A cos A ， 所以sin 2A ＝1，2A ＝90°，A ＝45°， 即△ABC 为等腰直角三角形． ★答案★：等腰直角7．海上A ，B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是________．解析：如图，在△ABC 中，C ＝180°－(B ＋A )＝45°，由正弦定理，可得BC sin 60°＝ABsin 45°，所以BC ＝32×10＝56(海里)． ★答案★：5 6 海里8．在△ABC 中，sin A ＝34，a ＝10，则边长c 的取值范围是________．解析：因为c sin C ＝a sin A ＝403，所以c ＝403sin C .所以0<c ≤403.★答案★：⎝⎛⎦⎤0，403 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b c ＝233，A ＋3C ＝π.(1)求cos C 的值；(2)若b ＝33，求△ABC 的面积．解：(1)因为A ＋B ＋C ＝π，A ＋3C ＝π， 所以B ＝2C .又由正弦定理b sin B ＝csin C ，得b c ＝sin B sin C ，233＝2sin C cos C sin C，化简得，cos C ＝33. (2)由(1)知B ＝2C ，所以cos B ＝cos 2C ＝2cos 2C －1＝2×13－1＝－13.又因为C ∈(0，π)， 所以sin C ＝1－cos 2C ＝1－13＝63. 所以sin B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ＝2×63×33＝223. 因为A ＋B ＋C ＝π.所以sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×33＋⎝⎛⎭⎫－13×63＝69. 因为b c ＝233，b ＝33，所以c ＝92.所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×33×92×69＝924.10．在△ABC 中，已知2B ＝A ＋C ，b ＝1，求a ＋c 的范围．解：由已知，B ＝60°，b ＝1， 所以△ABC 外接圆半径R ＝12sin 60°＝33.a ＋c ＝2R (sin A ＋sin C ) ＝2R [sin A ＋sin(120°－A )] ＝2×33×3sin(A ＋30°) ＝2sin(A ＋30°)． 因为0°<A <120°，所以a ＋c 的取值范围为(1，2]．[B 能力提升]1．已知锐角三角形ABC 中，边a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A 、B 满足2sin(A ＋B )－3＝0，则△ABC 的面积＝______．解析：因为a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，根据根与系数的关系得ab ＝2，由2sin(A ＋B )－3＝0得sin(A ＋B )＝32.因为△ABC 为锐角三角形，所以A ＋B ＝120°，C ＝60°.所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2sin 60°＝32.★答案★：322．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.解析：由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BCsin 30°，解得BC ＝300 2 m.在Rt △BCD 中，CD ＝BC ·tan 30°＝3002×33＝1006(m)． ★答案★：100 63．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，c cos A ＝b ，则△ABC 的形状为________．解析：因为c cos A ＝b ， 所以sin C cos A ＝sin B .而sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 所以sin A cos C ＝0.因为0°<A <180°，所以sin A >0， 所以cos C ＝0，且0°<C <180°.所以C ＝90°，即△ABC 是角C 为直角的直角三角形． ★答案★：直角三角形4. (选做题)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km 处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西约 3 km 有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12 km 的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟，检查员开始收不到信号，并至少持续多少时间该考点才算合格？解：如图，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C 、D 两点到考点的距离为1 km.在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠ABC ＝30°， 由正弦定理，得sin ∠ACB ＝sin 30°AC ·AB ＝32， 所以∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)，所以∠BAC ＝30°，所以BC ＝AC ＝1， 在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， 所以△ACD 为等边三角形，所以CD ＝1. 因为BC12×60＝5(min)，所以在BC 上需5 min ，CD 上需5 min.最长需要5 min 检查员开始收不到信号，并至少持续5 min 才算合格．。
§1.1.1-2 正弦定理(二)
§1.1.1-2 正弦定理(二)
课堂练习 <<教材>> P.4
练习1.2
书面作业
<<教材>> P.10 习题1.1 A组1(1).2(1.3) B组2
2013-1-16
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
12
（３）正弦定理的变形：
①
a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C
边角 互化
③ a : b : c sin A : sin B : sin C
2013-1-16
a b c , sin B , sin C wzzxzgr@ 11
①
a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C
边角 互化
a b c , sin B , sin C ② sin A 2R 2R 2R
③ a : b : c sin A : sin B : sin C
2013-1-16
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
解法二：由正弦定理 a b c 2 R 得：
sin A sin B sin C
sin A
a b c , sin B , sin C 2R 2R 2R
b c a 2 b2 c2 所以 b c , 2 2 2 2R 2R 4R 4R 4R 即 b2 c2 , a 2 b2 c2，则 b c, a2 b2 c2 ,
4
§1.1.1-2 正弦定理(二)
已知边a,b和角Ａ，求其他边和角．
Ａ为锐角
Ｃ b Ａ a<bsinA 无解 Ｃ b a Ａ Ｃ b a b Ｃ a Ｃ
正弦定理和余弦定理
请问: 本题是已知什么? 求什么?
已知两边和一边所对的角, 求另外的角.
一般地, 把三角形的三个角 A、B、C 和它们的 对边 a、b、c 叫做三角形的元素, 已知三角形的三个
元素(其中至少有一个元素是边), 求其他元素的过程 叫做解三角形.
问题2. 一个三角形有几个元素? 已知怎样的几 个元素可以用正弦定理解三角形?
精确到1, 边长精确到1cm):
(1) a20cm, b11cm, B30; (2) c54cm, b39cm, C115.
解: (1) 由正弦定理得,
a sin
A
b sin B
,
B
20sin 30 11
≈0.9091,
A≈65, 或 A≈115.
② 当A≈115时,
C180-(A+B) 35,
c
asinC sin A
20sin 35 sin115
≈13(cm).
2. 在△ABC中, 已知下列条件, 解三角形 (角度
精确到1, 边长精确到1cm):
(1) a20cm, b11cm, B30; (2) c54cm, b39cm, C115.
② 当B≈139时,
注意解的检验.
B+C139+115254 >180, 不合题意 ∴此题只有一组解.
【课时小结】
1. 正弦定理
a sin
A
b sin
B
c sinC
.
【课时小结】
2. 正弦定理解三角形
(1) 已知两边和一边所对的角
如: 已知 a、b、A, 即可求 B.
sin B b
解: (2) 由正弦定理得,
人教版数学必修51.1.1正弦定理
正弦定理应用
1.解三角形（1）已知两角和一边
（2）已知两边及其中一边对角
法一：代数法
数 形
法二：几何法
结 合
2.正弦定理的变形应用
转
化
——统一边角关系 化
归
一.解三角形
C
b
a
1.已知两角和一边 A
c
B
2.已知两边a、b 和其中边 a 的对角 A
思考：利用几何图形，判断何时无解，一解，两解？
C．
a absin A b
a
A
B
B?
1.A为锐角时：
C a
b
C
b
a
AHale Waihona Puke (1) a < b sinA，无解；
A
B
(2) a = b sinA，一个解；
C
C
b
a
a
b
a
A
(2)ABC中，a 6,b 3, A 45,求B B 30 (3)ABC中，a 2,b 6, A 30,求B sin B 3 无解
2
(4)ABC中，a 3,b 1, A 120,求B B 30
注意：1.由值求角，注意标明角的范围 2.ABC中sin B B 两角 取舍 勿漏解，多解
正弦定理（第二课时）
．B
c
A．
b
a
．
C
复习回顾：
1.正弦定理
a
b
c
外接圆
2R 半径
sin A sin B sin C
2.三角形的面积公式
S A B C
1 2
ab sin
C
1 bcsin A 2
1 acsin B 2
§1.1.1正弦定理(2)
第一章 1.1.1正弦定理（2）学习目标：加深对正弦定理的理解，熟练掌握正弦定理的应用。
1．正弦定理有哪几种变形？问题探究：探究问题（一）画图判断三角形的解的个数 （1）已知 △ABC 中，A= 30°，a=1，b=2，则 （ ） A 、有一解 B 、有两解 C 、无解 D 、不能确定 （2）已知△ABC 中,A=30°, a= 2，b=2，则 （ ）A 、有一解B 、有两解C 、无解D 、不能确定（3）已知 △ABC 中,A=30°, a= 21，b=2，则 （ ）A 、有一解B 、有两解C 、无解D 、不能确定总结：已知两边和其中一边的对角,求其他边和角时,三角形什么情况下有一解,二解,无解?探究问题（一）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况: （1）若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,(b a bsinA )( bsinAasin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a已知边a,b 和∠A有两个解仅有一个解无解CH=bsinA<a<b a=CH=bsinA a<CH=bsinA（2）若A 为直角或钝角时:⎩⎨⎧>≤)( b a 锐角一解无解b a说明：已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法：①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；②在△ABC 中，已知a ，b 和A ，以点C 为圆心，以边长a 为半径画弧，此弧与除去顶点A 的射线AB 的公共点的个数即为三角形的个数。
练习.画图判断满足下列条件的三角形的个数:(1)b=11, a=20, B=30o (2)c=54, b=39, C=120o (3)b=26, c=15, C=30o (4)a=2,b=6,A=30o探究问题（二） 利用正弦定理证明两个结论： 1、三角形内角平分线定理的证明：已知：如图，在ΔABC 中，∠A 的平分线AD 与边BC 相交于点D ，求证：BD ABDC AC=证明：如图在ΔABD 和ΔCAD 中，由正弦定理，得sin sin BD AB βα=，0sin sin(180)sin DC AC ACβαα==-，两式相除得BD ABDC AC = 三角形内角平分线定理:三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。
1.1.1正弦定理2
a b a sin B 1 sin A 解：由 sin A sin B 得 b 2
∵ 在 ABC 中 a b ∴ A 为锐角
A 30
变式：在例 2 中，将已知条件改为以下 几种情况，角B的结果有几种？
1 2
b 20, A 60 , a 20 3 ;
S ABC
∴
S ABC
1 ab sin C bc sin A ac sin B 2 2 2
1 1 S ABC ac sin B ab sin C 2 2 1 bc sin A 2 1 1
正弦定理
在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等.
即
变式:
a b c sin A sin B sin C
j AB j AC j CB
B A
j
csin A asinC
同理，过点C作 j BC
a c sin A sin C
则
j AB j (AC CB )
变式训练：
（1） 在△ABC中，已知b= ， 3 A=
45 ， B=
，求 60 a。
b sin A a b 3 sin 45 = = 2 解： ∵ ∴ a sin B sin A sin B sin 60
（2） 在△ABC中，已知c= ， 3A=
， 75B =
60b。 ，求
a b c 3 2 R（R为△ABC外接圆半径） sin A sin B sin C
a b b c c a 1 ; ; sin A sin B sin B sin C sin C sin A 2sin A : sin B : sin C a : b : c
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a b c (3) sin A sin B sin C abc 2 R. sin A sin B sin C
或a 2 R sin A，b 2 R sin B，c 2 R sin C.
讨论：
已知两边及夹角，怎样求 三角形面积？
数学建构
三角形面积公式：
c
B
1 1 1 S Δ A B C ab sinC b csinA acsinB A 2 2 2 1 b 证明：∵ S Δ A B C ah a
2
判断三角形的形状
a b c , co sA co sB co sC 试判断ΔAB C 的形状 . 在ΔAB C 中, 已知
解
a 令 k,由正弦定理，得 sin A
a k sinA, b k sinB, c k sinC
sinA sinB sinC 代入已知条件，得： cosA cosB cosC
3.设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c，
cos(A C ) cos B 3 2 b 2,
ac ，求 B
△ABC的形状．
【解】 在△ABC 中， a b c 根据正弦定理： ＝ ＝ ＝2R. sin A sin B sin C a 2 b 2 c 2 2 2 2 ∵sin A＝sin B＋sin C，∴( ) ＝( ) ＋( ) ， 2R 2R 2R
即 a2＝b2＋c2.∴A＝90° ，∴B＋C＝90° . 由 sin A＝2sin Bcos C，得 sin 90° ＝2sin Bcos(90° －B)， 1 2 ∴sin B＝ . 2 ∵B 是锐角， 2 ∴sin B＝ ， 2 ∴B＝45° ，C＝45° . ∴△ABC 是等腰直角三角形．
∵A、C∈(0，π)， π ∴cos A＝0，∴A＝2， ∴△ABC 为直角三角形．
判断三角形的形状
2
a tan A ，试判断 在△ABC中，若 2 b tan B △ABC的形状。
解：由正弦定理，得
sin 2 A tan A 2 sin B tan B
sin 2 A sin A cos B · ，∵ sin A 0， sin B 0 2 sin B cos A sin B
即
tanA tanB tanC
又A,B,C (0 ,π), A B C,
从而ΔABC为正三角 形。
在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且
sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
【思路点拨】 利用正弦定理将角的关系式sin2A
＝sin2B＋sin2C转化为边的关系式，从而判断
∴sin A cos A sin B cos B， 即sin 2 A sin 2 B
2 A 2k 2B
或
2 A 2k 2 B(k Z )
0 A ， 0 B ，∴k 0，则A B
2 故△ABC为等腰三角形或直角三角形。
。
或
A
B
1.1.1正弦定理
第二课时 主讲老师：张胜波
1、在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求c.
2、在△ABC 中，已知 a＝5 2，c＝10，A＝30° ， 求 B、C.
3、已知△ABC 中，a＝ 2，b＝ 3，B＝60° ，那么角 A 等于( ) B．90° D．30°
A．135° C．45°
ha
D
a
∴
1 1 1 S Δ A B C ab sinC b csinA acsinB 2 2 2
1 1 S Δ A B C acsinB ab sinC 2 2 1 同理 S Δ A B C b csinA 2
∴
而 C
h a A D c sin B b sin C
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等, 即 a b c sin A sin B sin C
变式:
1sin A : sin B : sin C a : b : c
2 a sin B b sin A; b sin C c sin B; c sin A a sin C
课后探究:
a b c k sin A sin B sin C
那么这个k值是什么呢?你能用一个和三角形有 关的量来表示吗?
A
A C B B` b =2R sinB O b C
A O b B` B b =2R sinB C
O
B
b
b =2R sinB
a b c ＝ ＝ ＝2R. sinA sinB sinC
若本例中的条件“sin A＝2sin B cos C”改为
“sin2A＝2sin B sin C”，试判断△ABC的形状．
解：由sin2A＝sin2B＋sin2C，
得a2＝b2＋c2.∴A＝90°. ∵sin2A＝2sin B sin C， ∴a2＝2bc，∴b2＋c2＝2bc. ∴b＝c，
∴△ABC为等腰直角三角形．
• 在△ ABC 中， A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ， 若b＝acos C，试判断△ABC的形状． • 解析： ∵b＝acos C， • 由正弦定理得：sin B＝sin A·cos C. • ∵B＝π－(A＋C)， • ∴sin(A＋C)＝sin A·cos C. • 即sin Acos C＋cos Asin C＝sin A·cos C， • ∴cos Asin C＝0，
判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、 等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三 角形等，要特别注意“等腰直角三角形”与“等 腰三角1、在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C， 且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
a 2 sin A cos B 2、在ABC中，若 2 ，判断ABC的形状。 b cos A sin B