1.1.1正弦定理(第二课时)

3.设△ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c，
cos(A C ) cos B 3 2 b 2,
ac ，求 B
∴sin A cos A sin B cos B， 即sin 2 A sin 2 B
2 A 2k 2B
或
2 A 2k 2 B(k Z )
0 A ， 0 B ，∴k 0，则A B
2 故△ABC为等腰三角形或直角三角形。
。
或
A

B
即
tanA tanB tanC
又A,B,C (0 ,π), A B C,
从而ΔABC为正三角 形。
在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且
sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
【思路点拨】 利用正弦定理将角的关系式sin2A
＝sin2B＋sin2C转化为边的关系式，从而判断
• 在△ ABC 中， A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ， 若b＝acos C，试判断△ABC的形状． • 解析： ∵b＝acos C， • 由正弦定理得：sin B＝sin A·cos C. • ∵B＝π－(A＋C)， • ∴sin(A＋C)＝sin A·cos C. • 即sin Acos C＋cos Asin C＝sin A·cos C， • ∴cos Asin C＝0，
2
判断三角形的形状
a b c , co sA co sB co sC 试判断ΔAB C 的形状 . 在ΔAB C 中, 已知
解
a 令 k,由正弦定理，得 sin A
a k sinA, b k sinB, c k sinC
sinA sinB sinC 代入已知条件，得： cosA cosB cosC
若本例中的条件“sin A＝2sin B cos C”改为
“sin2A＝2sin B sin C”，试判断△ABC的形状．
解：由sin2A＝sin2B＋sin2C，
得a2＝b2＋c2.∴A＝90°. ∵sin2A＝2sin B sin C， ∴a2＝2bc，∴b2＋c2＝2bc. ∴b＝c，
∴△ABC为等腰直角三角形．
ha
D
a
∴
1 1 1 S Δ A B C ab sinC b csinA acsinB 2 2 2
1 1 S Δ A B C acsinB ab sinC 2 2 1 同理 S Δ A B C b csinA 2
∴
而 C
h a A D c sin B b sin C
△ABC的形状．
【解】 在△ABC 中， a b c 根据正弦定理： ＝ ＝ ＝2R. sin A sin B sin C a 2 b 2 c 2 2 2 2 ∵sin A＝sin B＋sin C，∴( ) ＝( ) ＋( ) ， 2R 2R 2R
即 a2＝b2＋c2.∴A＝90° ，∴B＋C＝90° . 由 sin A＝2sin Bcos C，得 sin 90° ＝2sin Bcos(90° －B)， 1 2 ∴sin B＝ . 2 ∵B 是锐角， 2 ∴sin B＝ ， 2 ∴B＝45° ，C＝45° . ∴△ABC 是等腰直角三角形．
课后探究:
a b c k sin A sin B sin C
那么这个k值是什么呢?你能用一个和三角形有 关的量来表示吗?
A
A C B B` b =2R sinB O b C
A O b B` B b =2R sinB C
O
B
b
b =2R sinB
a b c ＝ ＝ ＝2R. sinA sinB sinC
判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、 等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三 角形等，要特别注意“等腰直角三角形”与“等 腰三角形或直角三角形”的区别．
备用
1、在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C， 且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形Baidu Nhomakorabea．
a 2 sin A cos B 2、在ABC中，若 2 ，判断ABC的形状。 b cos A sin B
a b c (3) sin A sin B sin C abc 2 R. sin A sin B sin C
或a 2 R sin A，b 2 R sin B，c 2 R sin C.
讨论：
已知两边及夹角，怎样求 三角形面积？
数学建构
三角形面积公式：
c
B
1 1 1 S Δ A B C ab sinC b csinA acsinB A 2 2 2 1 b 证明：∵ S Δ A B C ah a
在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等, 即 a b c sin A sin B sin C
变式:
1sin A : sin B : sin C a : b : c
2 a sin B b sin A; b sin C c sin B; c sin A a sin C
1.1.1正弦定理
第二课时 主讲老师：张胜波
1、在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求c.
2、在△ABC 中，已知 a＝5 2，c＝10，A＝30° ， 求 B、C.
3、已知△ABC 中，a＝ 2，b＝ 3，B＝60° ，那么角 A 等于( ) B．90° D．30°
A．135° C．45°
∵A、C∈(0，π)， π ∴cos A＝0，∴A＝2， ∴△ABC 为直角三角形．
判断三角形的形状
2
a tan A ，试判断 在△ABC中，若 2 b tan B △ABC的形状。
解：由正弦定理，得
sin 2 A tan A 2 sin B tan B
sin 2 A sin A cos B · ，∵ sin A 0， sin B 0 2 sin B cos A sin B