6.4.3余弦定理、正弦定理第二课时 正弦定理-【新教材】高中数学必修第二册同步讲义0
余弦定理、正弦定理课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
，c＝2，C＝30°，那么此三角形 B.有两解 D.解的个数不确定
C 解析 由正弦定理和已知条件，得s4in 3B＝sin230°， ∴sin B＝ 3>1，
∴此三角形无解.故选C.
高中数学 必修第二册 RJ·A
5.在△ABC中，a＝5，b＝5 3，A＝30°，则B＝____6_0_°或__1_2_0_°_.
二 已知两边及其中一边的对角解三角形
例 2 在△ABC 中，已知 c＝ 6，A＝45°，a＝2，解三角形.
解
∵sina A＝sinc C，∴sin C＝csian A＝
6sin 2
45°＝
23，
∵0°<C<180°，∴C＝60°或C＝120°.
当 C＝60°时，B＝75°，b＝cssiinnCB＝ s6isnin607°5°＝ 3＋1； 当 C＝120°时，B＝15°，b＝cssiinnCB＝ s6insi1n2105°°＝ 3－1. ∴b＝ 3＋1，B＝75°，C＝60°或 b＝ 3－1，B＝15°，C＝120°.
高中数学 必修第二册 RJ·A
反思感悟
(1)正弦定理实际上是三个等式：
a ＝b ，b ＝ c ，a ＝ c sin A sin B sin B sin C sin A sin C
，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个.
(2)因为三角形的内角和为180°，所以已知两角一定可以求出第三个角.
知识点 正弦定理
条件
结论
文字叙述
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c
a＝b＝c sin A sin B sin C
在一个三角形中，各边和它所对角的 正弦 的比相等
6.4.3.2正弦定理-【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件(1)
2
=
,
sin sin45 °
解:由正弦定理及已知条件,有
3
2
故 sin A= .
因为 a>b,所以 A>B.所以 A=60°或 120°.
当 A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,
c=
sin 2sin75 ° 6+ 2
=
=
.
sin
sin45 °
2
当 A=120°时,C=180°-45°-120°=15°,
方法规律
已知三角形的两边和其中一边的对角
解三角形的方法
(1)由正弦定理求出另一边对角的正弦值.
(2)如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边
对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,
由正弦值可求唯一的锐角.
(3)如果已知的角为小边所对的角时,那么不能判断另
一边所对的角为锐角,这时由正弦值可得到两个角,要分类
a=
= π = 2= .
sin sin
2
答案:D
(
3 2
D.
2
)
探索点二 已知两边及一边的对角解三角形
【例 2】 已知下列各三角形中的两边及一边的对
角,解三角形.
(1)b=10,c=5 6,C=60°;
(2)a=2 3,b=6,A=30°.
解:(1)由正弦定理,得
sin 10·sin60 ° 2
(2)化边为角:将题目中所有的条件,先利用正弦定理化
边为角,再根据三角函数的有关知识得到三个内角的关系,
进而确定三角形的形状.
易错提醒:在两种解法的等式变形中,一般两边不要约
去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.
数学人教A版(2019)必修第二册6.4.3余弦定理(共21张ppt)
温馨提示：
(1)适用范围：任意三角形. (2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”. (3)简单应用：每个等式都涉及三边和一角四个元素，在等式中可以做到“知 三求一”.
例 1 一个三角形的两边长分别为 5 和 3，它们夹角的余弦值为－35，则三角形的
另一边长为 A.52
√B.2 13
C.16
D.4
探究1 在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c，怎样用a，b和C 表示c? 提示 如图，设C→B＝a，C→A＝b，A→B＝c， 那么c＝a－b，① 我们的研究目标是用|a|，|b|和C表示|c|， 联想到数量积的性质c·c＝|c|2， 可以考虑用向量c(即a－b)与其自身作数量积运算. 由①得|c|2＝c·c＝(a－b)·(a－b) ＝a·a＋b·b－2a·b ＝a2＋b2－2|a||b|cos C. 所以c2＝a2＋b2－2abcos C， 同理可得a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝c2＋a2－2cacos B.
a2＋c2－b2 cos B＝ _________2_aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱc________ ，
a2＋b2－c2 cos C＝ __________2_a_b________.
例3 若△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，6a＝4b＝3c，则cos B
＝ 15
3
A. 4
B.4
3 15 C. 16
√11 D.16
coAs .C－＝15 1134，则最大角B的.－余61弦值是
√C.－17
D.－81
根据题意，由余弦定理可得 c＝ a2＋b2－2abcos C ＝ 64＋49－2×8×7×1134＝3. 因为a>b>c，所以A>B>C，即A为最大角. 因此 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝429＋ ×79－ ×364＝－17.
6.4.3余弦定理、 正弦定理 余弦定理(课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
cos B
3 ,所以B 30,因此C 105
2ac
4( 3 1)
2
3. 在△ABC中,已知b 5, c 2, 锐角A满足 sin A 231 ,求C(精确到1) 20
因为sin A 231 , 且A为锐角,所以cos A= 1 sin2 A 13 ,
20
20
由余弦定理, 得a2 b2 c2 2bc cos A 16, 所以a 4;
而勾股定理是余弦定理的特例.
一般地, 三角形的三个角A, B, C和它们的对边a, b, c b
c
叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他
元素的过程叫做解三角形.
C
a
B
环节五：课堂练习，巩固运用
例5 在△ABC中,已知b 60 cm, c 34 cm, A 41, 解这个三角形 (角度精确到1, 边长精确到1 cm).
余弦定理(law of cosines)三角形中任何一边的平方，等于其他两边
平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
即
a2 b2 c2 2bc cos A
你能用其他方法
b2 a2 c2 2ac cosB
证明余弦定理吗？
c2 a2 b2 2abcosC
问题：利用余弦定理可以解决三角形的哪类问题？
所以cos C a2 b2 c2 37 ,利用计算器可得C 22
2ab
40
所以C 180 ( A B) 180 (41 106) 33
例6 在△ABC中, a 7, b 8, 锐角C满足 sin C 3 3 , 求B(精确到1). 14
分析：由条件可求cosC, 再利用余弦定理及其推论可求出B的值.
因为sin C 3 3 , 且C为锐角,所以cos C 1 sin2 C 1 ( 3 3 )2 13 ,
高中数学必修二 6 4 3 余弦定理、正弦定理2课时(含答案)
6.4.3正弦定理导学案编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波【学习目标】1.了解正弦定理的推导过程，掌握正弦定理及其基本应用2.能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状3.能利用正、余弦定理解决综合问题【自主学习】知识点1 正弦定理的呈现形式1.a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (其中R 是△ABC 外接圆的半径)； 2．a ＝b sin A sin B ＝c sin A sin C＝2R sin A ； 3．sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. 知识点2 正弦定理的常见变形1．sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ；2.a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R ； 3．a ＝2R sin_A ，b ＝2R sin_B ，c ＝2R sin_C ；4．sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R. 知识点3 利用正弦定理判断三角形的解的个数已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下：由正弦定理得sin B ＝b sin A a， ①若b sin A a>1，则满足条件的三角形个数为0，即无解． ②若b sin A a＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解． ③若b sin A a <1，则满足条件的三角形个数为1或2.【合作探究】探究一 已知两角和任意一边解三角形【例1】在△ABC 中，已知B ＝30°，C ＝105°，b ＝4，解三角形．[分析] 由三角形的内角和定理可求A 的度数．根据正弦定理可求a ，c .[解] 因为B ＝30°，C ＝105°，所以A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(30°＋105°)＝45°.由正弦定理，得a sin45°＝4sin30°＝c sin105°， 解得a ＝4sin45°sin30°＝42，c ＝4sin105°sin30°＝2(6＋2)．归纳总结：【练习1】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝45，cos C ＝513，a ＝1，则b ＝ .【答案】2113解析：在△ABC 中，由cos A ＝45，cos C ＝513， 可得sin A ＝35，sin C ＝1213， sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝6365， 又a ＝1，由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝2113.探究二 已知两边及一边的对角解三角形【例2】下列三角形是否有解？有解的作出解答．(1)a ＝7，b ＝8，A ＝105°；(2)b ＝10，c ＝56，C ＝60°；(3)a ＝23，b ＝6，A ＝30°.[分析] 利用三角形中大边对大角定理以及结合有解无解的图形来考虑．[解] (1)a ＝7，b ＝8，a <b ，A ＝105°>90°，本题无解．(2)b ＝10，c ＝56，b <c ，C ＝60°<90°，本题有一解．△sin B ＝b sin C c ＝10·sin60°56＝22， △B ＝45°，A ＝180°－(B ＋C )＝75°.△a ＝b sin A sin B ＝10×sin75°sin45°＝10×6＋2422＝5(3＋1)． (3)a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°，又△b sin A ＝6sin30°＝3，△a >b sin A ，△本题有两解． 由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin30°23＝32，△B ＝60°或120°， 当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a sin C sin A ＝23sin90°sin30°＝43； 当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a sin C sin A ＝23sin30°sin30°＝2 3. △B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3.归纳总结：【练习2】在三角形ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是 。
6.4.3余弦定理与正弦定理课件(人教版)
所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，
所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形.
正弦定理
思考：怎么解决AAS型的解三角形问题？
例.在ABC中，已知角 A, B, 边a, 求边b.
A
c
b
C
a
B
b
a
若ABC为直角三角形，有 sin B, sin A
bsin C 72
2
sin B＝ c ＝50sin C>sin C＝ 2 .
所以B>45°，所以B＋C>180°，故三角形无解.
反思感悟
(2)在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径
画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形
解的个数，解的个数见下表：
A为钝角
A为直角
所以
b 2 c 2 a 2 2ca cosC
余弦定理——向量法
余弦定理的文字描述：三角形中任何一边的平方，等于其他两
边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 即
a b c 2bc cos C
2
2
2
b c a 2ca cos C
2
2
2
c a b 2ab cos C
C
B
图6.4-8
| c |2 (a b) (a b) a a b b 2a b a 2 b 2 2 | a | | b | cos C
c 2 a 2 b 2 2ab cosC
同理可得 a 2 b 2 c 2 2bc cosC
最新人教A版高一数学必修二课件：6.4.3平面向量的应用正弦定理
【解析】由题意得：sinb B＝sinc C，
所以 sin B＝bsicn C＝
6× 3
3 2＝
2 2.
因为 b＜c，所以 B＝45°.所以 A＝180°－B－C＝75°.
| 自学导引 |
| 课堂互动 |
| 素养达成 |
| 课后提能训练 |
数学 必修第二册 配人版A版
第六章 平面向量及其应用
(2)解：因为sina A＝sinc C，
| 自学导引 |
| 课堂互动 |
| 素养达成 |
| 课后提能训练 |
数学 必修第二册 配人版A版
第六章 平面向量及其应用
2．满足 B＝60°，AC＝12，BC＝k 的△ABC 恰有一个，则 k 的取值
范围是
()
A．k＝8 3
B．0＜k≤12
C．k≥12
D．0＜k≤12 或 k＝8 3
【答案】D
| 自学导引 |
a (2)sin
A＝sinb
B＝sinc
C＝sin
a＋b＋c A＋sin B＋sin
C＝_____2_R_____；
(3)a＝__2_R__si_n__A__，b＝__2_R__si_n__B__，c＝__2_R_s_in__C___；
a
b
c
(4)sin A＝___2_R___，sin B＝___2_R___，sin C＝___2_R___.
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第六章 平面向量及其应用
| 课堂互动 |
| 自学导引 |
| 课堂互动 |
| 素养达成 |
| 课后提能训练 |
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第六章 平面向量及其应用
新教材人教版高中数学必修第二册 6-4-3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例 教学课件
数学应用
例2、如图所示，某海岛上一观察哨A上午
11时测得一轮船在海岛北偏东 600 的C处，
12时20分测得船在海岛北偏西 600 的B处，
12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛 5km的E港口，如果轮船始终匀速直线前进 问船的速度多大？ 如果轮船始终匀速直线前
解：轮船从C到B用时80分钟， 从B到E用时20分钟， 而船始 终匀速前进 BC 4EB，设 EB x ，则
构建三角形
第十四页，共十五页。
变式训练
如图所示，甲船以每小时 30 2海里的速度向正北方向航行，乙 船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于 A1 处时，乙船位于甲船的 南偏西 75°方向的 B1 处，此时两船相距 20 海里．当甲船航行 20 分钟 到达 A2 处时，乙船航行到甲船的南偏西 60°方向的 B2 处，此时两船 相距 10 2海里．问乙船每小时航行多少海里？
复习回顾
正弦定理
abc sin A sin B sin C
应用： 1.已知两角及任一边，求其他两边和一角
2.已知两边和其中一边所对的角，求另一边所 对的角 （从而进一步求出其他的边和角）
第三页，共十五页。
建构3.有数关学概念
（1）．仰角和俯角 与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹
角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线 下方时叫俯角．(如图所示)
坡面与水平面的夹角 (如图所示) ．
（5）坡比 坡面的铅直高度与水平宽度之比，即 i＝hl ＝tan α(i 为坡
比，α 为坡角)．
第五页，共十五页。
数学应用
例 1.如图，设 A、B 两点在河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在 所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，∠ACB＝45°， ∠CAB＝105°后，就可以计算出 A、B 两点的距离为_____m.