11.2第1课时 正弦定理(1)-【新教材】苏教版(2019)高中数学必修第二册课件
苏教版高中数学必修五第一学生教案第课时正弦定理(1)
听课随笔第2课时【学习导航】知识网络正弦定理→测量问题中的应用学习要求1．正弦定理的教学要达到“记熟公式”和“运算正确”这两个目标；2．学会用计算器，计算三角形中数据。
【课堂互动】自学评价1．正弦定理：在△ABC 中，===C cB b A a sin sin sin R 2, 变形：（1）A R a sin 2=，_____________，________________.（2）RaA 2sin =，______________，________________.2．三角形的面积公式：（1）C ab s sin 21==_________=_________（2）s=C B A R sin sin sin 22 （3）Rabcs 4=【精典范例】【例1】 如图，某登山队在山脚Ａ处测得山顶Ｂ的仰角为３５°，沿倾斜角为２０°的斜坡前进１０００ｍ后到达Ｄ处，又测得山顶的仰角为６５°，求山的高度ＢＣ（精确到１ｍ）．分析：要求ＢＣ，只要求ＡＢ，为此考虑 解△ＡＢＤ． 【解】【例2】在埃及，有许多金字塔形的王陵，经过几千年的风化蚀食，有不少已经损坏了，考古人员在研究中测得一座金字塔的横截面如图（顶部已经坍塌了），∠A=050，∠B=055，AB=120m ，如何求得它的高？ （819.055sin ,766.050sin 0≈≈） 分析：本题可以转化成：（1）解三角形，确定顶点C ；（2）求三角形的高。
【解】【例3】一座拦水坝的横断面为梯形，如图所示，求拦水坝的横断面面积。
（请用计算器解答，精确到1.0） 【解】注：本题也可以构造直角三角形来解，过C 作CE ⊥AB 于E ，过D 作DF ⊥AB 于F 即可。
【例4】已知a 、b 、c 是△ABC 中∠A 、 ∠B 、∠C 的对边，S 是△ABC 的面积，若听课随笔【师生互动】学生质疑教师释疑a =4，b =5，S =35，求c 的长度。
苏教版高中数学必修五1.1正弦定理(一).docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作第1章解三角形 §1.1 正弦定理(一)课时目标 1.熟记正弦定理的内容；2.能够初步运用正弦定理解斜三角形．1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝______，A 2＋B 2＋C 2＝π2.2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝________，bc＝_______________________________.3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即______，这个比值是________________．一、填空题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c 等于________．2．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为____________．3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 的形状为________________． 4．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为________． 5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于______________． 6．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则C ＝___________________________.7．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________.8．在△ABC 中，b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________.9．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝______.10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于________．二、解答题11．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形．12．在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，解三角形．能力提升13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．14．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，求ab的取值范围．1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：(1)已知两角和任一边，求其它两边和一角．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角．2．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其它两个角，这时三角形解的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解．例如：已知a、b和A，用正弦定理求B时的各种情况．A为锐角a<b sin A a＝b sin A b sin A<a<b a≥b无解一解(直角) 两解(一锐角，一钝角) 一解(锐角)A为直角或钝角a≤b a≤b无解一解(锐角)§1.1正弦定理(一)答案知识梳理1．π 2.sin A sin B 4.asin A＝bsin B＝csin C三角形外接圆的直径2R作业设计1．1∶3∶2 2．2 6解析由正弦定理asin A＝bsin B，得4sin 45°＝bsin 60°，∴b＝2 6.3．直角三角形解析sin2A＝sin2B＋sin2C⇔(2R)2sin2A＝(2R)2sin2B＋(2R)2sin2C，即a2＝b2＋c2，由勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形．4．A>B解析由sin A>sin B⇔2R sin A>2R sin B⇔a>b⇔A>B.5．45°解析由asin A＝bsin B得sin B＝b sin Aa＝2sin 60°3＝22.∵a>b，∴A>B，B<60°∴B＝45°.6．75°解析 由正弦定理得2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22. ∵BC ＝2<AC ＝6，∴A 为锐角．∴A ＝45°.∴C ＝75°. 7.102解析 ∵tan A ＝13，A ∈(0°，180°)，∴sin A ＝1010.由正弦定理知BC sin A ＝AB sin C ，∴AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 150°1010＝102.8．1解析 由正弦定理，得3sin 2π3＝1sin B ，∴sin B ＝12.∵C 为钝角，∴B 必为锐角，∴B ＝π6，∴A ＝π6.∴a ＝b ＝1.9．30°解析 ∵b ＝2a ∴sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°，∴sin (A ＋60°)＝2sin A即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简得：sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°. 10．120°解析 ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin (180°－30°－C)＝3sin (30°＋C)＝3⎝⎛⎭⎫32sin C ＋12cos C ，即sin C ＝－3cos C.∴tan C ＝－ 3.又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.11．解 ∵a sin A ＝b sin B ＝csin C，∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4.∵C ＝180°－(A ＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝2＋2 3.12．解 a ＝23，b ＝6，a<b ，A ＝30°<90°. 又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a>b sin A ， 所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°.当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3. 所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3. 13.π6解析 ∵sin B ＋cos B ＝2sin (π4＋B)＝ 2.∴sin (π4＋B)＝1.又0<B<π，∴B ＝π4.由正弦定理，得sin A ＝a sin Bb ＝2×222＝12. 又a<b ，∴A<B ，∴A ＝π6.14．解 在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C<90°， 即⎩⎪⎨⎪⎧B<90°，2B<90°，180°－3B<90°，∴30°<B<45°.由正弦定理知：a b ＝sin A sin B ＝sin 2Bsin B＝2cos B ∈(2，3)，故ab的取值范围是(2，3)．。
高一数学苏教版课件：余弦定理、正弦定理的应用
A，B两点之间的距离（精确到1m）.
重点探究
解：在△ADC中，∠ADC=85°，∠ACD=47°，则∠DAC=48°.
又DC=100m，由正弦定理，得 =
∙∠
∠
=
°
°
≈ . （m）
30 2
sin ACB
sin 45
3
10 6
3
，在 Rt
PCB
中， PCB 90 。 PBC 30 ，则
（m）所以建筑物的高度为10 6 m.故答案为：10
6
随堂练习
6．如图所示，为测算某自然水域的最大宽度（即 A，B 两点间的距离），现取与 A，B 两
点在同一平面内的两点 C，D，测得 C，D 间的距离为 1500 米，ADB 135 ，BDC DCA 15 ，ACB 120 ，
PB 2
30( 6 2)
6 2
4
，由正弦定理得： sin 30 sin15 ，
树的高度为 PB sin 45 30 (
6 2)
2
(30 30 3)
2
(m).故选：A．
，
随堂练习
2．已知轮船 A 和轮船 B 同时从 C 岛出发， A 船沿北偏东 30 的方向航行， B 船沿正北方向航行
. ( )所以AB≈57(m)
答：A，B两点之间的距离约为57m.
探究新知
核心知识点：二
高度问题
类型一：底部可达
如图，测得BC＝a，∠BCA＝C，AB＝
a·
tan C.
探究新知
类型二：底部不可达
第一种情况：点B与C，D共线
苏教版高中数学11.2正弦定理课件(28张)
【答案】
3 2
.
【详解】如图，
分别取 AB ， AC 的中点 D ， E ，连接OD ，OE ，则 AB OA AB 1 AB 1 c2 ； AC OA AC 1 AC 1 b2 ，因为
2
2
2
2
，设 cos B AB cosC AC 2OA
sin C
sin B
ABC 的外接圆半径为R ，由正弦定理可得 a b c 2R ，所以两边同 sin A sin B sin C
2
2
c cos B b cosC 2R
c
a2
c2 b2 2ac
b
a2
b2 c2 2ab
2 R
a 2R
.故答案为： . a sin A sin 3
3
2R
32
2
随堂练习
9．在
ABC
中，
A
0
π 2
，b
m．分别根据下列条件，求边长
a
的取值范围．
(1) ABC 有一解；
又 ，所以 ， ，则 mn sin 2C
sin 2C 2sin Ccos C sin C
0Cπ
sin C 0
所以cosC 1 ．又0 C π ，所以C π ；
2
3
（2）由已知sin Asin B 2sin C 及正弦定理得2c a b ．
因为CA AB AC CACB 18 ，所以 abcosC 18 ，所以 ab 36 ．
(2) ABC 有两解；
(3) ABC 无解．
随堂练习
【详解】（1）由正弦定理
a sin A
b sin B
可得，sin
B
b sin a
苏教版数学必修五1《正弦定理》ppt课件
步，下结论．
栏
(1)若所得值不在(0，1]内，则此三角形不存在．
目 链
接
(2)若所得值在(0，1]内，①若是特殊角的三角函数值，
求出所对应的角，注意用∠A＋∠B<180°判断解的
个数；②若所求角的三角函数值不是特殊值，则利用
单位圆中的三角ห้องสมุดไป่ตู้数线判断解的个数．
典例解析
栏 目 链
接
题型1 利用正弦定理解三角形
苏教版数学必修五
1．1 正弦定理
情景导入
栏 目 链
接
在雷达兵的训练中，有一个项目叫“捉鬼”(战士语)，即准确
地发现敌台的位置．在该项目训练中，追寻方的安排都是两
个小组作为一个基本单位去执行任务，用战士的话说就是两
条线(即两台探测器分别探出了敌台的方向)一交叉就把敌人给 栏
叉出来了，想藏想跑，门都没有．其实这里面不仅仅是两线
栏
目
当 C＝π3 时，B＝51π2 ，b＝assiinnAB＝ 3＋1；
链 接
当 C＝2π3 时，B＝π12，b＝assiinnAB＝ 3－1.
题型2 利用正弦定理进行边角转换题
例 3 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a
＝2bsin A，求角 B.
解析：由正弦定理sina
c＝sina A·sin C＝sin 425°·sin 15°＝
6－ 2
2 .
＝25( 6＋ 2)．
名师点评：已知三角形两边和其中一边的对角解三角 形时的方法．
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边 对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为
苏教版必修第二册112正弦定理课件_1
故选 A．
2．在△ABC 中，A＝60°，sin B＝12，a＝3，求三角形中其他边与角的大小． 解：因为 sin B＝12，所以 B＝30°或 150°，当 B＝30°时，由 A＝60°得 C＝ 90°；当 B＝150°时，不合题意，舍去． 所以由正弦定理sinb B＝sinc C＝sina A，得 b＝ssiinn AB·a＝ssiinn 3600°°×3＝ 3，c ＝ssiinn AC·a＝ssiinn 9600°°×3＝2 3.
2．在△ABC中，若(a－a cos B)sin B＝(b－c cos C)sin A，试判断△ABC的形 状． 解：因为(a－a cos B)sin B＝(b－c cos C)sin A， 所以a sin B－a cos Bsin B＝b sin A－c cos C sin A， 而由正弦定理可知a sin B＝b sin A，所以a cos B sin B＝c cos C sin A. 即sin A cos B sin B＝sin C cos C sin A， 所以cos B sin B＝sin C cos C，即sin 2B＝sin 2C， 所以2B＝2C或2B＋2C＝180°，即B＝C或B＋C＝90°， 故△ABC是等腰三角形或直角三角形．
1．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a＝3，b＝6，
sin A＝ 43，则 B＝(
)
A．π3
B．23π
√C．π3或23π
D．π6或56π
解析：因为
a＝3，b＝6，sin
A＝
43，所以由正弦定理可得
sin
B＝b
sin a
A＝
6× 3
3 4＝
23，又
sin
A＝
高一数学苏教版2019必修第二册同步备课课件112正弦定理(第2课时)
．
2
2
2
2
2
课堂总结
求边
求角
解三角形
求理
余弦定理
题型
求周长
判断三角形形状
解四边形
课堂达标
2 3
1．在△ABC 中，若 a＝c＝2，B＝120°，则边 b＝________.
2．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a2
60
＝b2－bc＋c2，则 A＝________.
(1)求 B ；(2)a = 1, c = 4，角 B 的平分线交 AC 于 D ，求 AD．
解：(1)由正弦定理及 2a cos B sin C c sin A 0 ，得 2ac cos B ac 0 ，
1
2
B
0,
π
B
π．
．因为
，所以
3
2
2π
2
2
2
2
b
a
c
2
ac
cos
,
cos A cos B cos C
tan A tan B tan C , 又A, B, C （0，），
A B C ,ABC为正三角形.
数学应用
变2.在 ABC中，若
a
cos
A.等腰三角形
A
2
b
cos
B
2
B.等腰直角三角形
c
cos
，则 ABC是( D )
C
2
C.直角三角形
的形状．
解:结合正弦定理及余弦定理知,原等式可化为
b2＋c2－a2
11.2正弦定理(第1课时)(课件)高一数学(苏教版2019必修第二册)
c
b c sin B
B
a
b
c
sin A sin B
sin C 1
a
b
c
sin A sin B sin C
结论:对于直角三角形，结论也成立
a
b
C
数学证明
在钝角三角形中
证明：作AD垂直BC于点D，则
A
sin =
, sin ∠ = sin ∠
∴ = sin
=
=
数学建构
正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等
即
a
b
c
sin A sin B sin C
正弦定理是揭示三角形边、角之间数量关系的重要公式。
数学应用
例1. 在△ABC中，已知A=600，C=450，c=1，解三角形.
解：
A 60 , C 45, c 1
=
∴
sin
=
sin
c
= sin ∠
∴ b sin = sin
即同理可证
D
sin
=
sin
结论:对于钝角三角形，结论也成立
b
B
a
C
2、正弦定理的用法
活动体验
(多选)下列哪些条件可以直接使用正弦定理来解三角形？答案： (1)(2)
(1)
��
=
=
(2)
=
=
(3)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
·
8
·
情 景
2．在△ABC 中，已知 A＝30°，B＝60°，a＝10，则 b 等于(
课
)堂
导
小
学
A．5 2
B．10 3
·
结
探
提
新
素
知
C．103 3
D．5 6
养
合 作 探 究
释
B
[由正弦定理得，b＝assiinnAB＝10×1
3 2 ＝10
3.]
课 时 分 层 作
疑 难
2
业
返 首 页
·
9
·
情 景
第11章 解三角形
11.2 正弦定理 第1课时 正弦定理(1)
2
·
情
学习目标
核心素养
课
景 导
1.通过对任意三角形边长和角
1.通过对正弦定理的推导及应用
堂 小
学
结
·
探 度关系的探索，掌握正弦定理的 正弦定理判断三角形的形状，培养 提
新
素
知 内容及其证明．(难点)
逻辑推理的核心素养．
养
合
作 探
2．能运用正弦定理与三角形内 2．借助利用正弦定理求解三角形
课 时
究
思考 2：正弦定理的主要功能是什么？
分 层
释
作
疑 难
提示： 正弦定理实现了三角形中边角关系的转化．
业
返 首 页
·
6
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
探
2．应用正弦定理解三角形
·
提
新
素
知
应用正弦定理可以解两类三角形：
养
合 作
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；
课
探
时
究
(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.
课
探
时
究
释 疑
＝5×sin
60°cos
45°＋cos sin 30°
60°sin
45°
分 层 作 业
难
＝52( 6＋ 2).
返
首
页
·
·
17
用正弦定理解三角形
情
课
景
堂
导 学
【例 2】
已知△ABC 中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角 B，
小 结
·
探 新
边 b，c.
提 素
知
养
合
[思路点拨] ①角 A，B，C 满足什么关系；
时 分 层
释
作
疑 难
∴B＝105°，b＝5( 6＋ 2)，c＝10 2.
业
返 首 页
·
19
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
探 新
正弦定理实际上是三个等式：sina A＝sinb B，sinb B＝sinc C，sina A＝
·
提 素
提 素
养
课 时 分 层 作 业
·
返 首 页
13
·
根据正弦函数的定义知：
情
课
景 导 学
CbD＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sin A，CaD＝sin B．
·
堂 小 结
探
提
新
∴CD＝bsin A＝asin B．
素
知
养
合 作
∴sina A＝sinb B.
课
探
时
究 释
同理，sinb B＝sinc C.
提 素 养
合 自等于什么？对于斜三角形类似关系成立么？
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
5
·
情 景 导 学
1．正弦定理：三角形的各边与它所对角的正弦之比相等．即sina A
课 堂 小 结
·
探 新 知
＝sinb B＝sinc C.
提 素 养
合
思考 1：正弦定理的适用范围是什么？
作 探
提示： 正弦定理对任意三角形都成立．
分 层 作
疑
业
难
故sina A＝sinb B＝sinc C.
返
首
页
·
14
·
情
课
景 导
1．本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联
堂 小
学
结
·
探 系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．
提
新
素
知
养
合 作
2．要证sina A＝sinb B，只需证 asin B＝bsin A，而 asin B，bsin A 课
探 究
都对应 CD．初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会
时 分
层
释
疑 思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．
作 业
难
返 首 页
·
15
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探
提
新
素
知
[跟进训练]
养
合 作
1．在△ABC 中，a＝5，B＝45°，C＝105°，求边 c.课探时来自究分层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
16
[解] 由三角形内角和定理知 A＋B＋C＝180°，
·
情
课
景
所以 A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.
堂
导
小
学
探 新
由正弦定理sina A＝sinc C，
·
结
提 素
知
养
合 作
得
c＝a·ssiinn
CA＝5×ssiinn13005°°＝5×sin
60°＋45° sin 30°
·
10
·
情 景 导
4．在△ABC 中，若 a＝3，b＝ 3，A＝π3，则 C＝________.
课 堂 小
学
结
探 新
π 2
[由正弦定理得：
3 π＝sin3B，所以 sin B＝12.
·
提 素
知
sin 3
养
合
作 探 究
又 a>b，所以 A>B，所以 B＝π6，
课 时 分
层
释 疑 难
所以 C＝π－π3＋π6＝π2.]
分 层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
7
·
情
课
景
堂
导 学
探
1．在△ABC 中，下列式子与sina A的值相等的是( )
·
小 结
提
新
素
知
A．bc
B．ssiinn
B A
养
合
作
课
探 究
C．sinc C
D．sinc C
时 分 层
释
作
疑
难
C
[由正弦定理得，sina
A＝sinc
C，所以sina
A＝sinc
C .]
业
返 首 页
作
课
探
②105°可拆分成哪两个特殊角的和；
究
时 分
层
释 疑
③由正弦定理如何求得 b，c 的值．
作 业
难
·
返 首 页
18
·
情
课
景
[解] ∵A＝30°，C＝45°，
堂
导
小
学 探
∴B＝180°－(A＋C)＝105°，
·
结 提
新
素
知
又由正弦定理得：c＝assiinnAC＝10 2.
养
合
作
课
探 究
b＝assiinnAB＝10s·isnin3100°5°＝20sin(60°＋45°)＝5( 6＋ 2)．
3．在△ABC 中，A＝π3，BC＝3，AB＝ 6，则 C＝(
)
课 堂
导
小
学
探 新
A．π4或34π
B．34π
·
结
提 素
知
养
合 作
C．π4
D．π6
课
探 究
释
C
[由sBinCA＝siAnBC，得 sin C＝ 22.∵BC＝3，AB＝
时
6，∴A>C，
分 层
作
疑
难 则 C 为锐角，故 C＝π4.]
业
返
首 页
作 业
返 首 页
·
11
·
情
课
景
堂
导
小
学
结
·
探
提
新 知
合
合作
探究
释疑
难
素 养
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返 首 页
·
·
12
定理证明
情
课
景
堂
导 学
【例 1】 在钝角△ABC 中，证明正弦定理．
小 结
·
探 新
[证明]
知
一点，
合
作
探
究
释 疑 难
如图，过 C 作 CD⊥AB，垂足为 D，D 是 BA 延长线上
课 时
究
角和定理解决简单的解三角形
的边长或角的大小的学习，培养数
分 层