常微分方程平衡点及稳定性研究.
微分方程稳定性判定方法在教学中的探讨
微分方程稳定性判定方法在教学中的探讨摘要：在微分方程课程教学中，会发现求解微分方程会比较困难。
我们想把求解的思想转移到相平面上或者利用李雅普若夫第二方法，通过分析方程的结构从而得到微分方程解的稳定性和发展趋势。
本文作者对教学中的教材的合理选择、方法的改进进行了探讨。
希望学生通过学习不仅可以学到理论知识，而且可以掌握实际应用手段来解决实际问题。
关键词：稳定性分析法微分方程的解 v函数系统的稳定性问题是微分方程定性理论研究的重要课题之一。
稳定性这个词的意义起始于力学，它刻画了一个刚体运动的平衡状态，通常说这个平衡状态是稳定的，就是说刚体在受到干扰力的作用从原来位置微微移动后，仍回到它原来的位置；反之，它趋于一个新位置，这时，我们说平衡状态是不稳定的。
由此可见，研究系统的稳定性具有重要现实意义。
求解微分方程一直是研究方程稳定性的最重要的内容之一。
随着研究的扩展和深入，人们遗憾地发现可以解析求解的常微分方程类型甚少。
法国数学家庞加莱（j.h.po incar6，1854—1912）顺应科学发展趋势，在微分方程求解过程中引入定性思想，突破了原有的微分方程求解的思维束缚，这是微分方程研究历史上的一次重大飞跃。
在定性理论研究基础上俄国数学家李雅普诺（a.m.liapunov，1857—1918）开创了常微分方程稳定性理论——亦称运动稳定性理论，在具体问题的研究中进一步完善和发展了定性理论。
一、基本思路在进行该课程的教学研究过程中，我们认识到，要使微分方程稳定性内容在教学中做到既能让学生学习到理论知识，又能利用这些理论知识处理实际问题。
为了解决这个问题，我们考察研究稳定性理论用于解决社会需求的实际问题、高校教学和学科发展的要求。
充分认识到学生通过很好地学习这部分内容，并将所学知识应用到实际中去，就要做到以下几点。
（1）对判定稳定性理论内容进行调整，删减陈旧冗余的内容，增加新颖实用且可以解决实际问题的内容。
（2）加强相关多学科知识整合的综合实验教学，加强设计性、研究性教学。
常微分方程的稳定性和周期性
常微分方程的稳定性和周期性常微分方程是研究自然现象变化过程的一种数学方法。
它描述的是一个变量随时间的变化规律，广泛应用于微积分、物理学、生物学、天文学等领域。
而稳定性与周期性是常微分方程解的重要特征。
稳定性是指一个解在微小扰动后仍能保持其原有的状态。
以简单的单摆为例，它的运动可以由常微分方程描述出来。
摆的稳定性取决于它的初始位置和速度，如果初始位置偏离了平衡点太远，摆就会摆动得很大。
但是如果初始位置非常接近平衡点，摆就会缓慢地回到平衡点，并逐渐停止摆动。
这就是稳定性表现出来的效果。
对于常微分方程的解来说，稳定性的研究可以帮助我们预测解的长期行为，以及在实际问题中制定合适的控制策略。
周期性则是指一个解在固定时间间隔内周期性地变化。
周期性解是常微分方程非常重要的一个特殊类型，它在自然界中很常见，如天体运动、震荡等。
以简单的谐振运动为例，它的运动可以由常微分方程描述出来。
在特定的参数条件下，谐振运动会产生周期性解，这种解有着固定的振动频率和振幅。
对于周期性解的研究，可以帮助我们了解自然现象的规律，找到有效的调控途径和优化方案。
那么如何判断一个常微分方程的解是否稳定或者周期性呢？这里有一些常用的方法。
首先是线性稳定性分析。
线性稳定性分析是判断一个非线性系统稳定性的一种重要方法。
它利用一个非线性系统在某个平衡点的线性近似来分析系统的稳定性。
如果近似后的系统方程具有稳定性，则原方程也是稳定的。
通过计算特征方程的特征根，可以得到系统的稳定性。
其次是Lyapunov函数法。
Lyapunov函数是判断非线性系统稳定性的一种常见方法。
一个Lyapunov函数是一个实数函数，它可以度量系统状态与平衡点的距离。
如果Lyapunov函数是严格下降的，那么系统就是稳定的。
通过构造合适的Lyapunov函数来判断系统的稳定性，是非常实用的方法。
最后是Poincaré-Bendixson定理。
Poincaré-Bendixson定理是关于非线性系统稳定性和周期性的一个重要定理。
微分方程的平衡点及稳定性分析
者 可 以不 一致 ， 比如 说 ， 线性 近 似方 程 的平衡 点 为 中心 时 ， 用其 它 的方 法来判 断（ ） 要 ４ 式平 衡 点 的稳
１２ 判 定 平 衡 点 稳 定 性 的 方 法 ．
① 间接法 ： 定义３ 的方法称为间接法。 ②直接法 ： 不求方程式（ 的解 ） １ ） ０的方法 ， 称
为直接法。 方法： 在 将 ） 。 处作泰勒展开， 只取一
次项 ， 有微 分方 程 （ ） 近似 为 １可
变化规律 ， 预测它的未来形态时 ， 要建立对象 的动 态模 型 ， 常 要用到 微分方 程模 型 。 通 而稳 定性 模 型 的对象仍是动态过程 ，而建模 的目的是研究时间 充分 长 以后 过程 的变 化趋 势— — 平衡 状 态是 否 稳 定。 稳定性模型不求解微分方程 ， 而是用微分方程
） ） （） １
①羞 ０ ０则称 ）， ＜ 。 为方程（和（的稳定的 １ ３ ） ） 平
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ｏ 则称 为方 程（） ３的不稳 定 的平 ， １和（） 衡点。
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程（） １的平衡 点 。 定 义 ３从 某 领 域 的任 意 值 出发 ， 方 程 （ ） ： 使 １
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贝 ） 却 ｒ０ 则根据定理 １ｘ Ｏ Ｉ ＝＞ ， ， 是不稳定的平衡 ＝
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分 析 ： 平衡 点 的稳 定性 来 看 ， 从 随着 时 间 的推 移 ， 口的增 长在 人 处 趋于 稳定 ， 也就 是人 口达
最新常微分方程平衡点及稳定性研究
稳定性研究
摘要
本文给出了微分方程稳定性的概念，并举了一些例子来说明不同稳定性定义 之间的区别和联系。这些例子都是通过求出方程解析解的方法来讨论零解是否 稳定。在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的，无法求出其解析解，这就 需要我们从方程本身来判断零解的稳定性。所以我们讨论了通过乙4"仍"稳定 性定理来判断自治系统零解的稳定性，并用类似的方法讨论了非自治系统零解 的稳定性。在此基础上，讨论了一阶和二阶微分方程的平衡点及其稳定性，这 对其研究数学建模的稳定性模型起到很大的作用，并且利用相关的差分方程的全 局吸引性研究了具时滞的单种群模型
第5章结论25
参考文献27
诸如电磁流体力学、化学流体力学、动 力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，在自然科学(如物 理化学生物天文)和社会科学(如工程经济军事)中的大量问题都可以用 微分方程来描述，尤其当我们描述实际对象的某些特性随时间(空间)而演变 的过程，分析它的变化规律，预测它的未来形态时，要建立对象的动态模型， 通常要用到微分方程模型，而稳定性模型的对象仍是动态过程，而建模的目的 是研究时间充分长以后过程的变化趋势、平衡状态是否稳定。稳定性模型不求 解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。
的平衡点元=1的全局吸引性，所获结果改进了文献中相关的结论。
关键词:自治系统平衡点稳定性全局吸引性
Abstract
In this paper,we gived the conceptions of differential equation stability・Simultaneously a number of examples to illustrate the difference between the definition of different stability and contact. These examples are obtained by analytical solution equation method to discuss the stability of zero solution. Practical issues raised in the often very complicated differential equations, analytical solution can not be obtained, which requires us to determine from the equation itself, the stability of zero solution. So we discussed the stability theorem to determine through the stability of zero solution of autonomous systems, and use similar methods to discuss the nonzero solution of autonomous system stability. On this basis.we discuss a step and the second-step and the stability, which plays the major role to its stability of the model, and the global attractivity of the positive equilibrium无=]of the following delay single population model
常微分方程的稳定解与不稳定解
常微分方程的稳定解与不稳定解常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODE）是数学中重要的一门分支，研究函数的导数或微分在各种条件下的变化规律，广泛应用于物理、生物、工程等领域。
在解常微分方程的过程中，存在着两种重要的解：稳定解和不稳定解。
本文将对这两种解进行详细的介绍和分析。
1. 稳定解稳定解是指在一定条件下，系统的解向该解趋近，即当初始条件发生微小变化时，解会收敛到该解附近。
在常微分方程中，稳定解对应着系统的平衡点或稳定点，其解析形式通常为一组常数。
稳定解的性质可通过线性稳定性判据进行分析。
对于一阶常微分方程，即形如dy/dt = f(y)的方程，设y = c为方程的一个平衡解，则只需考虑f(c)的符号即可判断平衡解的稳定性：1.1 当f(c) < 0时，平衡解c是局部稳定解。
1.2 当f(c) > 0时，平衡解c是不稳定解。
例如，考虑一阶线性常微分方程dy/dt = -ky，其中k为正常数。
解析解为y = ce^(-kt)，其中c为常数。
当k > 0时，f(c) = -kc < 0，即平衡解y = 0是稳定解。
2. 不稳定解不稳定解指的是在一定条件下，系统的解远离该解，即当初始条件发生微小变化时，解会远离该解。
与稳定解相对应的，不稳定解对应着系统的不稳定点。
不稳定解的性质与稳定解相反，也可通过线性稳定性判据进行判断：2.1 当f(c) < 0时，平衡解c是不稳定解。
2.2 当f(c) > 0时，平衡解c是局部稳定解。
以二阶微分方程为例进行说明。
考虑二阶线性常微分方程d^2y/dt^2 + c1 * dy/dt + c2 * y = 0，其中c1和c2为常数。
该方程的解形式为y = Ae^(m1t) + Be^(m2t)，其中A和B为常数，m1和m2为方程的特征根。
根据特征根的性质，可判断解的稳定性：2.3 当特征根m1和m2的实部大于零时，平衡解是不稳定解。
常微分方程定性与稳定性方法答案
由于常微分方程定性与稳定性方法是一个比较大的领域，这里只能提供一些基本的概念和答案，供参考：
什么是常微分方程？
常微分方程是描述物理、化学、生物等自然现象中的变化的方程。
常微分方程一般由一个或多个未知函数及其导数组成，通常用数学公式表示。
什么是定性分析？
定性分析是研究常微分方程解的行为特征而非求解具体解的方法。
它通常包括研究解的图像、相图、相平面等几何图形。
什么是稳定性？
稳定性是指一个系统在受到微小扰动后，是否能够回到原来的稳定状态的特性。
在常微分方程中，稳定性通常与平衡点相关。
什么是平衡点？
平衡点是指一个微分方程解中，导数为零的点。
在平衡点附近的解通常表现为一些稳定性特征，如稳定、不稳定、半稳定等。
什么是极限环？
极限环是指在相平面上，解沿着一个封闭轨迹无限接近平衡点的情况。
极限环通常是非线性微分方程中出现的现象，其表现形式与解在相平面上的轨迹有关。
以上是常微分方程定性与稳定性方法的一些基本概念和答案，仅供参考。
实际上，这个领域非常广阔，需要深入研究和掌握相关的理论和方法才能应用到实际问题中。
【精品】常微分方程解的稳定性修改
【关键字】精品常微分方程解的稳定性摘要本文简要介绍了常微分方程解的稳定性理论的相关概念及其在解决微分方程相关问题的重要意义。
最后，介绍用李雅普诺夫第二方法构造李雅普诺夫函数来判断常微分方程的稳定性及其在解决常微分方程的稳定性问题中的应用。
关键字：常微分方程稳定性李雅普诺夫函数V函数构造方法引言常微分方程在经历了长期的求精确解的努力后逐渐停滞，庞加莱在分析的基础上引入几何方法,开创了常微分方程定性理论, 同时在分析中引入几何方法,搭建起分析与几何之间的沟通桥梁,带来了微分方程研究的新突破。
李雅普诺夫则在庞加莱定性分析的基础上,转而进入了新的稳定性研究。
如今,李雅普诺夫稳定性理论被普遍认为是微分方程定性理论的基本成就之一。
不仅有精确的定义,更有严格的分析证明,将微分方程及稳定性理论的研究推向了新的高度。
本文论述常微分方程解的稳定性的定义及其研究常微分方程相关问题的重要思想，并用李雅普诺夫第二方法构造李雅普诺夫函数来判断常微分方程的稳定性及其在解决常微分方程的稳定性问题中的应用。
1、常微分方程稳定性微分方程自诞生以来就一直以微分方程解的求法为研究中心。
数学家在微分方程求解过程中进行了不懈的努力,但始终没有从根本上摆脱求确定解的桎梏,致使研究的道路越来越窄。
此时单纯的定量分析已不能解决问题,必须用一种综合化、整体化的思想加以考虑. 躲开微分方程求精确解的定量方法,转向运用稳定性方法探求解的性质,从而解决常微分方程（组）的解的问题.考虑微分方程组（2.1）其中函数对和连续，对满足局部利普希茨条件。
设方程（2.1）对初值存在唯一解, 而其他解记作. 本文中向量的范数取.如果所考虑的解的存在区间是有限闭区间，那么这是解对初值的连续依赖性。
现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对初值不一定有连续依赖性，这就产生的李雅普诺夫意义下的稳定性概念。
如果对于任意给定的和都存在,使得只要就有对一切成立，则称（2.1）的解是稳定的，否则是不稳定的。
常微分方程的定性分析
常微分方程的定性分析常微分方程是研究自变量只涉及一个变量的微分方程，在科学和工程中具有广泛的应用。
定性分析是常微分方程中重要的一部分，它是指通过分析方程的性质和图像来揭示方程的解的行为。
在本文中，我们将讨论常微分方程的定性分析的基本方法和技巧。
一、平衡点和稳定性分析在进行定性分析之前，首先需要确定方程的平衡点。
平衡点是指微分方程中导数为零的点，即解保持恒定的点。
通过求解方程等于零的情况，我们可以找到方程的平衡点。
确定平衡点后，我们需要分析平衡点的稳定性。
稳定性是指当初始条件接近平衡点时，解是否会趋向于平衡点。
通过线性化的方法可以分析平衡点的稳定性，即在平衡点附近做泰勒展开，然后分析展开式的特征根。
二、相图和相轨线相图是用来描述微分方程解的整体行为的图形表示。
在相图中，自变量通常表示时间，因变量表示微分方程的解。
通过绘制相图，我们可以看到解的轨迹和相位变化。
相轨线是相图中的曲线，表示微分方程解在相空间中的轨迹。
通过绘制相轨线，我们可以直观地了解方程的解的行为。
相轨线可以通过数值方法或者解析方法进行求解。
三、参数分析和稳定性改变在定性分析中，我们可以通过改变微分方程中的参数来观察解的行为的变化。
通过参数的分析，我们可以看到解在不同参数取值下的定性变化。
特别是可以通过稳定性分析，观察参数的改变对平衡点的稳定性有何影响。
四、存在性和唯一性在进行定性分析之前，我们需要先讨论微分方程解的存在性和唯一性问题。
存在性指的是在给定的初始条件下是否存在解。
唯一性指的是解是否是唯一的。
通过利用积分器的理论可以证明微分方程解的存在性和唯一性。
五、应用实例下面通过几个实例来说明常微分方程定性分析的具体应用。
例1：考虑简谐振动方程m*x''+c*x'+k*x=0。
分析方程的解的稳定性和相轨线。
解：首先确定平衡点。
当加速度为零时，m*x''+c*x'+k*x=0，可得平衡点为x=0。
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本文给出了微分方程稳定性的概念,并举了一些例子来说明不同稳定性定义之间的区别和联系。
这些例子都是通过求出方程解析解的方法来讨论零解是否稳定。
在实际问题中提出的微分方程往往是很复杂的,无法求出其解析解,这就需要我们从方程本身来判断零解的稳定性。
所以我们讨论了通过Liapunov稳定性定理来判断自治系统零解的稳定性，并用类似的方法讨论了非自治系统零解的稳定性。
在此基础上，讨论了一阶和二阶微分方程的平衡点及其稳定性，这对其研究数学建模的稳定性模型起到很大的作用,并且利用相关的差分方程的全局吸引性研究了具时滞的单种群模型()()()() ().11N tN t r t N tcN t ττ--=--的平衡点1x=的全局吸引性,所获结果改进了文献中相关的结论。
关键词：自治系统平衡点稳定性全局吸引性AbstractIn this paper,we gived the conceptions of differential equation stability. Simultaneously a number of examples to illustrate the difference between the definition of different stability and contact. These examples are obtained by analytical solution equation method to discuss the stability of zero solution. Practical issues raised in the often very complicated differential equations, analytical solution can not be obtained, which requires us to determine from the equation itself, the stability of zero solution. So we discussed the stability theorem to determine through the stability of zero solution of autonomous systems, and use similar methods to discuss the non-zero solution of autonomous system stability. On this basis,we discuss a step and the second-step and the stability, which plays the major role to its stability of the model, and the global attractivity of the positive equilibrium 1x=of the following delay single population model()()()() ().11N tN t r t N tcN t ττ--=--is investigated by using the corresponding result related to a difference equation.The obtained results improve some known results in the literature.Key Words:autonomous system;equilibrium point;stability;delay;globally asymptotic stability;global attractivity摘要 (I)Abstract (I)目录 (II)第1章引言 (1)第2章微分方程平衡点及稳定性分析 (3)2.1 平衡点及稳定性定义 (3)2.2 自治系统零解的稳定性 (4)2.2.1 V函数 (4)2.2.2 Liapunov稳定性定理 (5)2.3 非自治系统的稳定性 (8)2.3.1 V函数和k类函数 (8)2.3.2 零解的稳定性 (10)2.4 判定一阶微分方程平衡点稳定性的方法 (14)2.4.1 相关定义 (14)2.4.2 判定平衡点稳定性的方法 (14)2.5 判定二阶微分方程平衡点稳定性的方法 (15)2.5.1 相关定义 (15)2.5.2 判定平衡点稳定性的方法 (15)第3章一类时滞微分方程平衡点的全局吸引性 (17)3.1 差分方程(3-7)的全局渐近稳定性 (17)3.2 微分方程(3-1)的全局吸引性 (19)第4章常微分方程稳定性的一个应用 (23)第5章结论 (25)参考文献 (27)致谢 (29)第1章引言20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展，在自然科学（如物理化学生物天文）和社会科学（如工程经济军事）中的大量问题都可以用微分方程来描述，尤其当我们描述实际对象的某些特性随时间（空间）而演变的过程，分析它的变化规律，预测它的未来形态时，要建立对象的动态模型，通常要用到微分方程模型，而稳定性模型的对象仍是动态过程，而建模的目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势、平衡状态是否稳定。
稳定性模型不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。
20世纪50～60年代，在美国贝尔曼(R．Bellman)、莱夫谢茨(S．Lefschetz)及拉萨尔(J．P．LaSalle)等的大力介绍和推动下，稳定理论在世界范围内迅速发展起来。
在中国，则在秦元勋、张学铭、许淞庆等的大力提倡下，形成一支可观的研究队伍。
叶鲁金等研究李雅普诺夫第1方法中一次近似系统特征数与稳定性保持问题的关系，并进一步探讨特征数的性质与计算等。
50年代马尔金提出特征数的稳定性问题，贝洛夫等则研究了最大、最小特征数的上、下稳定性和特征数的重合等问题。
对于李雅普诺夫第2方法，切塔也夫等研究李雅普诺夫稳定性条件。
提出了一致稳定性等概念，建立了著名的切塔也夫不稳定定理。
同时研究了李雅普诺夫稳定性条件的必要性。
通过分类并应用微分方程的解构造V函数，基本上解决了各种稳定性定理的逆问题。
关于稳定性定理条件的研究，除了个别条件的削弱，例如dv dt定号性的减弱等条件之外，最有名的是向量李雅普诺夫函数和微分不等式比较方法的引入。
60年代贝尔曼和马特洛索夫通过向量V函数将微分方程稳定性的研究转化为以V 函数为自变量的另一微分方程的正解的稳定性的研究。
李雅普诺夫定义的稳定性原是局部性质的概念，在实际应用中往往要考虑全相空间的情形。
50年代初巴尔巴辛和克拉索夫斯基引进了无限大函数的概念把李雅普诺夫定理推广到全空间，建立了全局稳定性理论。
其结果后来广泛应用于自动调节系统、电力系统和生态系统中。
早在60年代，拉萨尔便应用拓朴动力系统的极限集概念建立了“不变性原理”。
用李雅普诺夫函数刻划微分方程解的极限集位置。
70年代以来，不变性原理用于全局稳定性的各种研究。
从力学问题中还提出了部分变元稳定性概念。
通过对V函数条件的改进也得到了部分变元稳定性的有关定理。
70年代以来，稳定性理论得到了进一步的发展。
除了50～60年代发展起来的控制系统的绝对稳定性、临界情形稳定性、向量李雅普诺夫函数和比较方法等继续得到发展外，在科学技术发展的推动下还提出了若干新的问题和方法。
同时，稳定性理论与方法，已广泛地渗透到其他学科中去。
李雅普诺夫方法已不限于研究稳定性问题，也可应用于研究解的有界性、振动性等。
吉泽太郎(T．Yoshizawa)曾深入研究概周期微分方程的稳定性、有界性。
同时，利用李雅普诺夫函数研究周期解、概周期解的存在性。
李雅普诺夫稳定性理论与方法已渗透到各类学科中去。
对动力系统、泛函微分方程、随机微分方程、微分积分方程、含脉冲系统及偏微分方程建立了相应的稳定性理论。
李雅普诺夫特征数在浑沌(Chaos)和分形(Fractals)研究中也起着重要作用。
今后，稳定性理论将继续在新技术的应用中发挥作用，并在控制理论、偏微分方程、微分积分方程等学科中得到发展。
同时，动力系统理论、非线性科学的发展和电子计算机的应用将为稳定性理论的发展开拓新的方向。
第2章 微分方程平衡点及稳定性分析2.1 平衡点及稳定性定义初始值的微小变化对不同系统的影响不同。
例如初始值问题dx ax dt= 0(0)x x = 0t ≥，00x ≥ (2-1) 的解为0()at x t x e =.0x =是(2-1)的一个解，我们称它为零解。
当0a >时，无论0x 多小，只要0x 0≠，当t →+∞时，总有()x t →∞，即初始值的微小变化会导致解的误差任意大；而当0a <时，0()at x t x e =与零解的误差不会超过初始误差0x ，且随着t 的增加很快就会消失，所以当0x 很小时，()x t 与零解的误差也很小。
这个例子表明0a >时(2-1)的零解是“不稳定的”，而当0a <时(2-1)的零解是“稳定”的。
下面我们就给出微分方程零解稳定的严格定义。
设微分方程(,)d t dt=x f x ，00()t =x x ，n R ∈x (2-2) 满足解的存在惟一性定理的条件，其解00()(,,)t t t =x x x 的存在区间是(,)-∞+∞，(,)t f x 还满足条件(,)t =00f (2-3)(2-3)保证()x t =0是(2-2)的解，我们称它为零解。
定义2.1 若对任意给定的0ε>，都能找到0(,)t δδε=，使得当0δ<x 时(2-2)的解00(,,)t t x x 满足 00(,,)t t ε<x x ，0t t ≥ (2-4)则称(2-2)的零解是稳定的，否则称(2-2)的零解是不稳定的。
注1 (2-2)零解稳定的意义是对任意给定的半径ε，总能在n R 中找到一个以原点为中心、半径为δ的开球B δ，使得(2-2)在0t t =时刻从B δ出发的解曲线当0t t >时总停留在半径为ε的开球B ε内。
注2 (2-2)的零解不稳定的数学描述是至少存在一个00ε>，使得对任意的0δ>，在开球B δ内至少有一个点0x 和一个时刻10t t >，使得00(,,)t t ε≥x x ．注3 对(2-2)的任何一个解都可以定义稳定性。
事实上，若0___0()(,,)t t t =x x x 是(2-2)的一个解，为了考察其他解00()(,,)t t t =x x x 和它的接近程度，我们就可以令()())t t t =-y x x _(，带入(2-2)得__()(,()())(,())d t t t t t t dt=+-y f y x f x (2-5) 这样一来，(2-2)解_()t x 的稳定性就转化为(2-2)零解的稳定性。