差分方程的现状
差分方程在经济学中的应用应用数学
本科毕业论文(设计) 论文题目：差分方程在经济学中的应用学生姓名：雷晶学号： 1004970226专业：数学与应用数学班级：数学1002班指导老师：舒蕊艳完成日期：2014年5月20日差分方程在经济学中的应用内容摘要本文叙述了研究差分方程的意义和背景、差分方程的定义、常见的解法以及差分方程相关模型,重点介绍差分方程经济学中的应用模型—筹措教育经费模型,包括问题的提出、模型举例和分析、提出假设、模型建立、模型求解、结果分析等等步骤对模型进行了更深层次的分析,做了进一步的推广.本文所介绍的筹措教育经费模型主要研究的是子女的教育费用,假定某家庭从孩子m岁起,每月拿出一部分钱存进银行,用于投资子女的大学教育,并计划n年后支出一些,直到孩子大学毕业,全部用完账户中的资金.差分方程的理论研究近十年来发展十分迅速,尤其是在经济领域,帮助人们解决了很多实际问题,筹措教育经费模型的建立为广大中国家庭子女教育的费用问题提供了明确的解决方法,是差分方程理论最贴近实际的模型之一.关键词：差分方程存款模型经济增长模型筹措教育经费模型The Application of Differential Equations in EconomicsAbstractThis paper is about the significance, background and definition of differential equations. It also describes the common solutions and some related models of differential euqations. The paper focuses on the differential equations in economics model- raising educational funds model which includes proposing questions, the model for example and analysis, putting forword the hypothesis, building and solving the model, analysing the result and so on. And this paper makes a deeper analysing of the model and does the futher promotion.The main aspect of the raising educational funds model in this paper is children’s education expenses. Here comes the hypothesis, assuming that the family puts some money in the bank for investment in their children’s college education from their children’s m years old and plans to spend some after n years until the children graduated from college, run out of all the funds in the account.Researching on the theory of differential equations in past decade developes very quickly, especially in the economic field. It helps people a lot in solving many practical problems. The building of raising educational funds model which is one of the most close model to reality provides a clear solution to the cost of children’s education for the majority of Chinese family.Key word:D ifferential equations Deposit model Economic-gain model Raising educational funds model目录一、绪论 (1)（一）研究差分方程在经济学中的应用的目的意义 (1)（二）研究背景 (2)二、研究的理论基础 (2)（一）差分 (2)（二）差分方程 (3)（三）差分方程的解 (4)（四）特征根法 (4)三、差分方程的经济应用模型简介 (5)（一）贷款模型 (5)（二）存款模型 (6)（三）乘数-加速数模型 (7)（四）哈罗德-多马经济增长模型 (10)（五）投入产出模型 (11)（六）筹措教育经费模型 (12)四、总结 (14)参考文献 (16)序言数学这一学科从建立到现在,发展迅速,在人们的生活中也得到了越来越多的应用,人们把数学理论与生活实际相结合,这样的做法不仅解决了实际问题,也更加丰富了数学理论.差分方程是数学知识应用最广泛的部分之一,它在经济领域中的应用效果最为显著.本文先描述了差分方程的理论,然后对应用广泛的几个差分方程经济模型做了简单介绍,最后重点介绍了筹措教育经费模型,这是差分方程在经济领域最贴近实际生活的一个模型之一,从问题的描述出发,到模型建立、求解,最后对结果进行了分析和推广.研究差分方程在经济学中的应用,不仅能帮助解决生活中的经济问题,反过来更能进一步丰富数学理论.所以,研究差分方程的应用,在实际生活当中具有重要的意义.一、绪论（一）研究差分方程在经济学中的应用的目的和意义数学这一基础性学科在不断发展,在现代经济学中所起的作用也日益突出.数学是一切学科的基础,经济领域也不例外,要发展经济就要研究经济理论,掌握经济规律,预测经济发展的趋势,这些都离不开数学这一工具.经济学中的变量有三种类型,自变量和因变量、存量和流量、内生变量和外生变量,经济模型是研究经济学领域中的经济变量之间的关系的,在其中加入数学元素,使得问题的描述简洁清楚、语言严密精确.在研究过程中通过参考已有的数学模型或数学定理有利于新结果的产生,可得到精准的结论.经济模型[1]是研究分析经济变量关系的一个重要工具,连接了经济理论和经济现实,也让数学理论得到更加广泛的应用.经济数学模型具体来说,是在经济理论的指导下,通过建立数学模型的这个过程,把研究对象简单化,转化为本质同一的对象,使研究对象具有代表性,以一代全,实际操作起来更加方便,从而实现对经济现实的简化.故对于变量数量繁多,而且变量之间的关系复杂多变的经济数量关系进行分析研究,经济数学模型不可或缺.在经济数学模型中,差分方程的应用非常广泛,人们建立了一系列以差分方程理论为核心的一系经济类数学模型,如市场经济中的蛛网模型、养老保险模型以及筹措教育经费模型等等,相应模型的建立也就解决了相应的经济学中的问题,如市场经济中的蛛网模型的研究就是基于自由竞争的市场经济中的供需变化与价格变化的循环现象,筹措教育经费模型则是站在一个理性角度,定量研究某家庭投资子女教育所需的费用.其实,总结一下,不难发现,以上的模型都是关于离散变量的规律、性质问题,只要判断出要研究的问题具有这类共同点,就可以考虑用差分方程模型来分析求解问题.差分方程其实与微分方程有些许相似,差分方程是含有未知函数及其差分的函数方程,微分方程是含有未知函数的导数的方程,差分方程是微分方程的离散化.差分方程反映的是离散变量的取值规律.整个模型研究过程是通过建立离散变量取值所满足的平衡关系,从而建立起差分方程.建立差分方程模型,不仅可以从定性角度为社会问题的解决提供思路,还从定量的角度解决了实际问题.在经济学中,差分方程的应用使得实证研究更加系统化、规范化,精确的数学方法让广大研究者最大程度地汲取有用的信息,得到定量性结论.在得到结论的同时,也方便对未来的经济形势和发展情况作出较为精确预测,这对于个人的理财和国家的经济发展无疑起到了非常重大的作用.举个例子,市场经济中的蛛网模型主要是研究在自由市场上的一种现象：商品的供给大于需求时,销售不畅会导致价格的大幅下跌,而价格的下降又会使得商品的供给量下降,因此价格又会上升,如果没有干预,会如此的往复.人们利用差分方程的知识对此过程进行研究,又发现在图像中,商品产量和价格的图形轨迹类似于蜘蛛网状,于是便有了差分方程的蛛网模型的诞生.对于政府来说,也会更加方便,便于及时地进行经济干预.中国的社会主义市场经济体制强调的是以市场和计划两种手段来调配社会资源,市场为主,计划为辅,蛛网模型的建立,把市场调配资源的整个过程体现了出来,同时也让政府可以更有计划性、更有目的性地来干预经济,经济调控的效果也会更好.所以,研究差分方程,对于数学理论的发展和实际生活都具有十分重大的意义.（二）研究背景应用差分方程的知识,建立经济模型,解决经济学的问题是要针对目标问题,确定离散变量,根据实际,建立离散变量所满足的平衡关系式,从而建立差分方程.通过求出方程的解和对解的分析,把握这个离散变量变化的规律,并进一步结合其他的分析,得出原问题的解.差分方程的研究历史比较短暂,真正开始于上个世纪90年代,发展迅速,且成果显著,在国内外一直都是数学学者们的研究热点.在国内,很多学者也在这一领域辛勤工作着,怀化学院的数学系主任魏耿平就是代表人物之一,他的论文发表在国内外许多著名的期刊杂志上,如美国的SCI源刊、国内的《数学学报》等.在国外,随着差分方程理论的快速发展,国际上出现了一种专业性的差分方程的期刊,它的名称叫做journal of difference equations and applications,能在这样一个国际性的期刊上发表学术成果,对个人的研究成果是一种很大的肯定,同时对数学学科的发展是具有非常大的意义的.这一专业期刊杂志的出现更加推动了差分方程理论在竞争中的不断发展,以及差分方程在实际中应用的进程,差分方程众多优秀的研究成果也有了展示的平台.如今,随着人们对知识产权的重视程度的提高,中国国内的学术氛围更加浓厚,个人对于这方面的保护意识也越来越强.这样越来越好的氛围有利于国内各领域内的学者们的研究工作的进行,也会推进数学理论的进程.在这样一个良好的气氛之下,相信差分方程理论的发展会越快越好,同时它对中国经济的繁荣发展也会起到更加强大的推动作用和理论指导作用.二、研究的理论基础（一）差分[2]设定义在整数集上的函数：()n f y = ,,2,1,0,1,2, --=n则函数()n f y n =的一阶差分定义为：()()n f n f y y y n n n -+=-=∆+11.函数()n f y n =的二阶差分n y 2∆定义为一阶差分的差分,即： ()()n n n n y y y y -∆=∆∆=∆+12.由差分四则运算法则之中的：()n n n n z y z y ∆+∆=+∆,可得：n n n n n n y y y y y y +-=∆-∆=∆+++12122.以此类推，k 阶差分就可以定义为1-k 阶差分的差分,即：(),,3,2,10111 =-=∆-∆=∆-+=-+-∑k y c y y y i k n i k k i in k n k n k 其中,()!!!i k i k c i k -=. 例1、设n n y n 252+=,求n y ∆和n y 2∆. 解：()()()71025121522+=+-+++=∆n n n n n y n , ()()()1071071102=+-++=∆∆=∆n n y y n n . （二）差分方程[2]定义1：含有未知函数n y 及其差分 ,,2n n y y ∆∆的函数方程成为差分方程.形式：()0,,,,,n 2=∆∆∆n m n n n y y y y F .定义2：含有未知函数两个或两个以上的函数值 ,,1+n n y y 的等式,称为常差分方程. 形式： ()0,,,,1=++k n n n y y y n F .在差分方程出现的未知函数下标的最大差称为该差分方程的阶.根据定义,k 阶差分方程的一般形式为：()0,,,,1=++k n n n y y y n F ,其中，n 是自变量,n y 是未知函数.例如,方程n n n n y y y 23212⋅=-+++是二阶差分方程.注意,方程21232n y y n n =+++是一阶差分方程.（三）差分方程的解[5] 如果将函数()n y φ=代入差分方程后,使其称为恒等式,则称此函数该差分方程的解.若差分方程的解中含有任意常数,且所含独立的任意常数的个数与差分方程的阶数相同,则称这样的解为该差分方程的通解,由于通解中含有任意常数,所以在应用时,还需要确定这些常数的条件.这种条件称为定解条件.由定解条件确定了通解中的所有任意常数后所得到的解称为特解.对k 阶差分方程，常见的定解条件是初始条件：,,,,111100--===k k a y a y a y其中,110,,,-k a a a 都是已知常数.例2、验证()n n n n c y 332-+=是差分方程nn n n y y 321⋅=-+的通解. 解：将()nn n n c y 332-+=代入差分方程中,得： 左边=()()[]=⋅=-+--+++n n n n n n n c n c 3332232211右边 等式成立,故()nn n n c y 332-+=是所给差分方程的解.又因为其中含有一个任意常数,且给定的差分方程是一阶方程,所以,此解为通解.（四）特征根法[5]一阶常系数齐次线性差分方程的一般形式如下：)0(01==++a ay y x x （2-1） 这类方程的解法通常有两种,迭代法和特征根法,在这里介绍的是在差分方程模型中经常用到的特征根法.原一阶常系数齐次线性差分方程01=++x x ay y ,等价于()01=++∆x x y a y ,可以看出x y 的形式一定是某个指数函数.于是,假设()0≠=λλx x y ,代入方程,可得：01=++x x a λλ, （2-2）称方程（2-2）为齐次方程（2-1）的特征方程,解之得：a -=λ,是特征方程的根（简称特征根）.于是()xa y -=是齐次方程（2-1）的一个解,从而有： ()xx a c y -=（c 为任意常数）. 是齐次方程的通解.例3、求方程021=-+x x y y 的通解.解：原方程的特征方程为：02=-λ,解之得：2=λ,于是,原方程的通解为：x c y 2⋅=.三、差分方程的经济应用模型简介差分方程模型在解决实际问题是,一般步骤如下：第一步,先要检验变量是否符合差分方程的理论条件,并进一步分析实际问题,设定好实际问题中的未知函数,建立差分方程,提出初始条件;第二步,先求解所建立的方程的通解,再根据之前设定的初始条件求出特解;第三步,用所得出的解给实际问题一个答复,并结合实际进行分析.在经济学中的差分方程模型很多,下面简单介绍几个差分方程应用较广泛的经济模型.有与个人日常生活中理财相关的,也有与国家的经济增长相关的.（一）贷款模型贷款这是老百姓生活中常见的一种现象,现在,不管是买房、买车,甚至是大学教育都已经开始流行贷款.买房、买车是一个人的一生中的重头消费项,在存款不足的情况下,可以帮助实现自己的房子、车子梦.一般是先支付部分款项,再通过银行贷款付清余额.首先以买房为例介绍贷款模型,假设某房屋总价为a 元,先付首付款后便可入住,剩下的可以通过银行贷款来付清,年利率为r ,需要n 年付清,利用差分方程的知识就可以计算出平均每月需要付多少钱,以及总共需要付的利息.具体求解的过程如下：实际在买房时,所需的首付款是房款全额的40%-60%不等,假设首付款为房款全额的40%,贷款 总额为a 53元.假设每月应付x 元,总共需要支付的利息为I 元,月利率为12r ,即得到： 第一个月的应付利息为： 2053121ra a r y =⨯=, 第二个月的应付利息为： 121211253112rx y r r y x a y -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=, 由此类推,可以得到：121211rx y r y t t -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+, 上式是一个一阶常系数非齐次线性差分方程,先求其对应的齐次方程：01211=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+t t y r y , 的通解,再求原方程的一个特解,相加后即可求得原方程的通解.最后,就可以计算出每月需要支付的钱,即：112112121531212-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=n n r r r a x , （2-3）总共需要支付的利息为：a r r r a n I n n 5311211212153121212--⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯=. （2-4） 如下表,表2-1,是中国人民银行最新调整后的金融机构人民币贷款基准利率表：一般房贷或车贷都会在五年以上,所以采用6.55%的贷款利率,假设现在某人要买一栋全款为一百万元,贷款60万,在10年内还清,由（2-3）和（2-4）式,每月应支付的金额为：69.6912=x ,总共所需支付的利息为：47.829523=I .现实生活中,个人买房的实际情况不同,房子的具体地段、户型、大小面积、楼层等等有差异,所需支付的首付款数额也必然不同,在了解了这个模型后,只需带入相应字母所代表的数据,并相应地代入首付款金额,就可以很方便地计算出贷款的利息等数据,个人在还款的同时,心里也会有个底.（二）存款模型存款,同样也是生活中的一件平常的事,但其中也是有很多的数学知识的,掌握了,就可以大致了解存款的利息,更容易把握存钱的时机,也可以更好地树立理财的观念.存款是中国人比较传统的一种理财方式,因为银行存款利率的变化,如果想要获得更好的收益,就要掌握一定的数学知识,这样才能更准确地判断存款时机,获得更好地收益.先用字母代替具体数字,假设0s 为最初存入银行的资金总额,t s 为t 时期的存款总额,r 为存款利率,按年复利计息,就可以得到t s 与r 之间的关系,得到一个一阶常系数齐次线性方程：() ,2,1,0,11=+=+=+t s r rs s s t t t t求解方程,原方程的特征方程为：()01=+-r λ,解之得：r +=1λ,所以,原差分方程的通解如下：()0,1s c r c s tt =+=,即：t 时期取款所获取的收益为：()tt r s s +=10.如果要存款来获取收益,可以通过（2-5）式来得出最后的收益情况;如果在生活中需要贷款,那么就可以利用（2-3）,（2-4）两个式子大致计算出每月所需支付的资金,以及所需支付的全部利息,不会发生在银行贷款时理不清楚的现象,也有利于自己管理自己的财产.根据中国人民银行最新发布的金融机构人民币存款基准利率调整表,表2-2：活期存款利率为0.35%,若最初存进银行的金额是100000=S 元,3=t ,第3年的收益3S 为：()37.101050035.011000033=+=S .按照最长的5年的定期存款利率4.75%来计算，假设最初的存款100000=S ，5=t ，第5年的收益5S 为：()60.126110475.011000055=+=S .存款作为中国老百姓传统的理财方式,虽然已经不多见了,但平时生活中留有存款,也可以应对老人生病等突发的状况.平时留有一定数额的存款还是有不少作用的,对存款利率的了解是很重要的.（三）乘数-加速数模型[4]差分方程在经济学中的应用除了与实际生活联系密切的模型之外,也有关于宏观经济方面的模型,比如经济增长模型等.对于一个国家来说,经济的增长十分重要,持续稳定增长的经济会给人民带来更多的福祉.所以,第三个模型介绍的是由萨缪尔森提出的乘数-加速数模型,它是属于典型的凯恩斯主义.在介绍乘数-加速数模型之前,首先应明确本模型中所涉及的两个经济原理,乘数原理和加速原理.乘数原理说明了投资变动对国民收入变动的影响,而加速原理说明了国民收入的变动对投资变动的影响.乘数-加速数模型就是二者结合起来对经济周期的影响.假设K 为资本存量,Y 为产量水平,v 代表资本-产量比率,有：vY K =,一般情况下,资本-产量比1>v .()1-t 时期的K 和Y 的关系可表示为：11--=t t vY K ,从1-t 时期到t 时期,资本存量的增加量是1--t t K K .资本的增加需要投资的增加,记t I 是t 时期的投资净额,则有：1--=t t t K K I ,由11--=t t vK K ,可以推导出：()11---=-=t t t t t Y Y v Y vY I . （2-6） 上式表明,在资本-产量的比率保持不变的情况下,t 时期的净投资额t I 决定于1-t 到t 时期的产量的变动量,v 被称为加速数.由于生产过程中难以避免机器的磨损等,就会导致重置投资,将其视为折旧,与净投资额组成了总投资,则（2-6）式就变成了：t 时期的投资总额()t Y Y v t t +-=-1时期的折旧,所以，可以得到产量水平与投资支出之间的关系.加速数为大于1，资本存量的增加必须要超过产量的增加.前提是资本存量充分利用.萨缪尔森的乘数-加速数模型基本方程如下：t t t t G I C Y ++=, （2-7） 10,1<<=-ββt t Y C （2-8） ()0,1>-=-v C C v I t t t , （2-9） 其中,t Y 是国民收入,t C 是消费额,t G 是政府的购买.假定政府购买t G 是常数,G G t =.求解方程：将（2-8）（2-9）代入（2-7）式中,可得：()t t t t t G C C v Y Y +-+=--11β,化简后,有：()G vY Y v Y t t t =++-++ββ121,得出特征方程：()012=++-v v βλβλ,求解特征方程,是一个一元二次方程，由：()v v ac b ββ414222-+=-=∆,因为∆值有可能大于0等于0,或小于0,故对应∆的不同取值,解有三种情况. 故,化简之后的方程：()t t t t t G C C v Y Y +-+=--11β,通解为：=t Y 0-12211>∆++，βλλGC C tt , ()0,121=∆-++βλGt C C t, ()0,1sin cos 21<∆-++βϖϖGt C t C r t, 其中,()()[]()().1arctan ,,121,121,412,122v v r v v v v v +∆-===+=∆-+=-+=∆βϖβββλβλββ由此得到国民收入t Y 的计算公式,代入原方程就可以计算出本期消费t C ,本期私人投资t I .假设边际消费倾向5.0=β,加速数1=v ,政府每期开支相同,亿1=t G ,从上期国民收入中来此模型模型集合了两种经济原理,对经济周期的分析更注重外部的因素,投资影响收入和消费,消费和收入反过来也会影响投资,从而形成经济扩张或收缩的局面,这是西方学者的对经济波动的一种解释.政府对经济进行干预,就可以改变或缓和经济波动.采取适当政策刺激投资,鼓励提高劳动生产效率,就可以提高加速数,就可缓和经济萧条.（四）哈罗德-多马经济增长模型[6]宏观经济中的差分方程模型除了上述的萨缪尔森的乘数-加速数模型,还有另外一种经济增长模型,就是由哈罗德和多马共同提出的哈罗德-多马经济增长模型,同样也是凯恩斯理论的典型.这个模型与乘数-加速数模型的结论不同,它认为,经济的增长是不稳定的.具体的模型描述如下：假设,t S 为t 时期的储蓄额,t Y 为t 时期的国民收入,t I 则是t 时期的投资额,边际储蓄倾向用s 表示,10<<s ,与乘数-加速数模型一样,假定加速数v 保持不变.v s ,都是常数.哈罗德-多马经济增长模型的方程如下：10,1<<=-s sY S t t ,()0,1>-=-v Y Y v I t t t ,t t I S =, 化简方程,得到：011=----t t t sY vY vY ,可得到特征方程：0=--s v v λ,解之得：vs +=1λ,故原方程的通解：tt v s c Y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1.其中,c 是常数,vs指的就是要保证所有储蓄转化为投资的经济增长率,经济学中称为保证增长率.保证增长率vs中,v 是加速数,一般是假定不变的,s 是边际储蓄倾向,表示的是国民收入每增加一个单位,储蓄会增加的程度.依据哈罗德-多马经济增长模型,如果可以保证t 时期的储蓄额和投资保持平衡,储蓄额可以得到充分的利用,那么国民收入就会按照保证增长率vs增长.但在实际中,储蓄与投资之间的完全转化是难以实现的,因此会造成经济的增长不稳定的状况,就会得到相应的结论.（五）投入产出模型[8]如果说上述的两个经济增长模型是对经济增长速度的深刻阐述,那么最后要介绍的投入产出模型,则是更进一步的对结果的探究.投入产出模型,是一种定量分析并衡量经济效益的模型,可以为国家经济政策的制定提供依据.从事某一项经济活动之前会有成本的投入,如人力、财力等,经济活动结束后会有一定的收益,投入产出模型的提出,就是将投入与产出量化,用数学方法来进行宏观经济的核算,并经过合理的分析后,采取一定的措施,调控成本,提高国家经济效益.此模型诞生在美国,由著名经济学家列昂捷夫提出,是国民经济核算的重要组成之一.我们在这里介绍的是静态投入产出模型,是对一个时期的经济活动的计划投入、计划收入以及对应的实际收入进行计算.具体如下：假设,t 时期初,国家计划投资额t I ',对应的实际投资t I ,计划消费t C ',对应实际的消费是t C ,计划的收入t Y ',对应实际的收入是t Y ,假定计划消费可以实现,且计划投资与实际投资相等,则有：t t t t C C I I ='=',,也有：t t t t t Y C I C I =+='+', （2-10）实际的收入t Y 是这样计算的,假定t S 为实际的储蓄额,则有：t t t C Y S -=, （2-11） 由（2-10）和（2-11）两式可得：t t t t S C Y I =-=,即,实际的投资额与实际储蓄额相等,但计划储蓄与实际储蓄是不等的,所以,计划投资额与计划储蓄不等.一般本期计划消费是根据上一期的收入和消费额指定的,上期的收入与本期的计划消费是有函数关系的,假定计划消费是上期收入的一次线性函数,故有：k aY C t t +='-1,其中,a 是边际消费倾向,一般情况下10<<a ,k 是常数,代表基本生活消费.将上式代入（2-10）中,可以得到如下的一阶常系数线性差分方程：t t t Y I k aY =++-1,用特征根法解方程,原差分方程的特征方程为：0=--t I k λ,解之得：t I k +=λ,故,原差分方程的通解为：()tt t I k c Y +=.若已知基本的消费和计划投资（前提假定计划投资与实际投资相等）,就可以计算出实际的收入.差分方程的应用远远不止上述的这些日常生活中的理财行为,以及宏观经济上的应用,它的应用也远不止经济学这一个领域,它对我们生活的影响可大可小,可以帮助我们更好地规划生活,这也体现了以差分方程为代表的数学理论知识,在实践中的巨大作用.（六）筹措教育经费模型 1、问题描述中国整体的国民收入水平在改革开放之后大大提高,但由于传统观念的影响,老百姓的理财意识并不强,一般家庭的消费支出并不高,人们总是习惯于把钱存入银行或信用社,但有一个共同的大的消费支出是不可避免的,就是子女的教育经费支出.在一个小孩上大学之前,从小学到高中是义务教育阶段,国家会承担多数的教育费用,这时候家庭负担较轻,不会造成经济压力.但到了大学阶段,学费数额一下子上升,一般的中国家庭经济压力就会加大.为了解决老百姓的这个问题,国家也有了很多的优惠政策,如生源地助学贷款、学校方面所提供的助学贷款、贫困助学金等.对此,还是有很多父母不愿孩子在进入社会之初就背负经济上的压力,想要让孩子轻装上阵,于是就想有计划地存款,为孩子以后的高等教育做准备.那么,假如某家庭从孩子出生时就开始准备存款,每个月从工资中拿出一部分资金,存入银行账户,用于投资子女以后的高等教育,并计划在20年后开始从该账户中每月支取固定的数额b 元,直到子女完成学业,并且在5年内要用完全部资金,要实现这个投资目标,20年后共要筹措多少资金?每月要向银行存入多少钱?2、问题分析此问题可以分成两个阶段,第一阶段是在前面20年,每月向银行存入一笔数额固定的资金,第二阶段,是在20年后将所有资金用于子女的教育,每月支取b 元,因为大学的学制一般是4年,少数专业如机械类,学制为五年,所以假定要在5年内用完该账户上的资金.3、建立模型首先,假设从一开始到20年内总共要筹措x 元资金,第n 个月向银行存款账户存入了n I 元,每月存入资金a 元,同时,设20年后第n 个月银行账户里有n S 元.（假设月利率为r ）所以,采用逆向思维,从该账户设立20年后开始,每月从该账户支取固定数额b 元,且5年内用完,账户里的钱开始逐年递减,则关于n S 的差分方程为：b S r S n n -⋅=+1,因为是5年内取完前20年存入的x 元,共有120个月的时间,故，0,600==S x S .。
差分方程简介
差分方程简介
汇报人：
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目录
• 差分方程的基本概念 • 差分方程的求解方法 • 差分方程的应用 • 差分方程的局限性 • 差分方程的发展历程与未来趋势 • 差分方程的实际案例分析
01
差分方程的基本概念
定义与例子
• 差分方程是描述离散序列变化的方程式。例如，考虑一个数列{an}，我们可以写出一个差分方程：a{n+1} = 2a_n + 3。
应用
经济学中的差分方程模型适用于预测经济指标的未来趋势 、政策效应分析等。然而，由于现实世界中的复杂性，该 模型可能不适用于所有经济情况。
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公式法
公式法的原理
01
通过差分方程的解的公式直接计算出解。公式法的步骤 Nhomakorabea02
根据差分方程的特点，寻找解的公式，然后代入初值计算出解
。
公式法的优缺点
03
公式法适用于某些特定类型的差分方程，但不适用于所有类型
的差分方程，需要具体问题具体分析。
计算机方法
计算机方法的原理
利用计算机强大的计算能力，通过编程等方法求解差分方程。
人群、感染人群和免疫人群之间的转换。这些因素都可以通过差分方程来描述 。 • 数学方程：常见的传染病模型如SIR模型，其差分方程为 S(t+1) = S(t) b*S(t)*I(t)/N(t), I(t+1) = I(t) + b*S(t)*I(t)/N(t) - d*I(t), R(t+1) = R(t) + d*I(t)，其中S表示易感人群，I表示感染人群，R表示免疫人群，b表示感染率 ，d表示疾病死亡率。 • 应用：传染病模型适用于预测疾病的传播趋势、评估公共卫生干预措施的效果 等。然而，由于现实世界中的复杂性，该模型可能不适用于所有疾病传播情况 。
差分方程解法及其在离散系统中的应用
差分方程解法及其在离散系统中的应用差分方程是数学中一类重要的离散数学方程，广泛应用于动态系统建模和离散事件系统的分析。
本文将介绍差分方程的解法以及它在离散系统中的应用。
一、差分方程的定义和基本概念差分方程是一种以离散形式描述系统变化的数学方程。
其基本形式为：Δyₙ = f(n, yₙ₋₁)其中，Δyₙ为相邻两个时刻n和n-1之间y的变化量，f(n, yₙ₋₁)为给定时刻n和n-1之间的函数关系。
二、差分方程求解的方法对于简单的差分方程，可以直接通过迭代求解。
例如，对于一阶线性差分方程：Δyₙ = k其中，k为常数。
可以通过重复应用这一关系求解，即：yₙ = y₀ + kₙ其中，y₀为初始条件，kₙ为Δyₙ在不同时刻的取值。
对于更复杂的差分方程，可以采用数值方法求解，如欧拉法、龙格-库塔法等。
这些方法可以通过将差分方程转化为递推方程，并利用数值计算得到近似解。
三、离散系统中差分方程的应用1. 经济学中的应用差分方程可以用来描述经济系统中的离散变化。
例如，经济增长模型中的劳动力增长率、资本积累速度等，都可以通过差分方程来建模和分析。
2. 自然科学中的应用差分方程在物理学、生态学等自然科学领域中也有广泛的应用。
例如，天体运动、人口增长、物种竞争等系统的演化过程都可以用差分方程来描述和预测。
3. 计算机科学中的应用差分方程在计算机科学中的应用也是十分重要的。
例如，计算机网络中数据包的传输、媒体数据的压缩等问题，都可以通过差分方程来建模和解决。
四、差分方程解法的局限性和改进方法虽然差分方程是一种有效的数学工具，但其在一些特殊情况下存在局限性。
例如，对于非线性和高阶差分方程，常常难以求得解析解。
此时，可以利用数值方法进行近似求解，或者采用数值优化算法寻找最佳解。
总结：差分方程是一种重要的离散数学工具，广泛用于动态系统建模和离散事件系统的分析。
通过合适的差分方程求解方法，可以有效地描述和预测各种离散变化的系统。
差分方程的基本概念
差分方程的应用领域
01
02
03
金融领域
差分方程在金融领域中用 于描述股票价格、债券收 益率等金融变量的动态变 化。
物理学领域
在物理学中，差分方程用 于描述离散系统的动态行 为，如离散的弹簧振荡器、 离散的波动等。
生物学领域
在生态学和流行病学中， 差分方程用于描述种群数 量随时间的变化规律。
差分方程与微分方程的关系
定义
差分方程的稳定性是指当时间步 长趋于无穷大时，差分方程的解 是否收敛到原方程的解。
分类
根据稳定性性质的不同，差分方 程可以分为稳定、不稳定和临界 稳定三种类型。
稳定性判据
判据一
如果对于任意小的正数ε，存在一个正 数δ，使得当|Δt|<δ时，差分方程的 解满足|x(n+1)−x(n)|<ε，则称差分方 程是稳定的。
有限元法的基本思想是将连续的求解区域离 散化为有限个相互连接的子域（即有限元）， 并在每个子域上选择合适的基函数进行近似。 通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离 散的差分方程，从而进行数值求解。
有限体积法
总结词
有限体积法是一种将偏微分方程离散化为差 分方程的数值方法，通过在每个控制体积上 对微分进行离散近似，将微分方程转化为差 分方程。
数值解法
数值解法是一种通过数值计算方法来求解差分方程的方法。常用的数值解法包括 欧拉பைடு நூலகம்、龙格-库塔法等。
数值解法的优点是适用于各种类型的差分方程，特别是一些难以直接求解的差分 方程。数值解法的精度可以通过增加计算步数来提高。然而，数值解法的计算量 大，需要较高的计算能力。
03 差分方程的稳定性
定义与分类
详细描述
有限差分法的基本思想是将连续的空间离散化为有限个离散点，并利用泰勒级数展开式或其它近似方 法，将微分运算转化为差分运算。通过这种方式，可以将偏微分方程转化为离散的差分方程，从而进 行数值求解。
差分方程及其稳定性分析
差分方程及其稳定性分析随着科技的不断发展和应用，数学作为一门基础学科，得到了越来越广泛的应用。
其中，差分方程作为一种离散化的微积分，被广泛地运用于电子、天文、生物、经济等领域中的模型计算和分析。
本文将介绍差分方程的基本概念和常见类型，以及如何对其进行稳定性分析。
一、差分方程的基本概念差分方程是指在内插点上的函数值之间的关系方程，其通常形式为：$$x_{n+1} = f(x_n)$$其中，$x_{n}$ 表示第 $n$ 个内插点的函数值，$f$ 是描述$x$ 的随时间变化关系的任意函数。
当然，差分方程还可以有更多的变量和函数，形式也可以更加复杂。
二、差分方程的类型根据差分方程的形式和特征，可将其分为以下几种类型：1、线性差分方程线性差分方程的一般形式为：$$x_{n+1} = ax_n+b$$其中，$a,b$ 为常数，$x_n$ 为第 $n$ 个内插点的函数值。
线性差分方程的求解可以采用常数变易法、特征方程法、生成函数法等多种方法。
2、非线性差分方程非线性差分方程是指其中的关系函数 $f$ 不是线性函数。
一般来说，非线性差分方程更难于求解。
3、线性递推方程线性递推方程是指卷积和形式的一类差分方程。
其形式为：$$x_{n+k} = a_1x_{n+k-1} + a_2x_{n+k-2} + \cdots + a_kx_n$$其中，$a_1,a_2,\cdots,a_k$ 为常数。
三、稳定性分析差分方程作为一种离散化的微积分，常常代表系统的动态演化过程。
因此，判断差分方程的解在过程中是否保持稳定性非常重要。
下面将介绍两种常见的差分方程稳定性分析方法。
1、线性稳定性分析法线性稳定性分析法是指对线性差分方程的解进行稳定性分析。
对于一般型的线性差分方程：$$\Delta x_{n+1} = a\Delta x_n$$其中，$\Delta x_n = x_{n+1} - x_n$，$a$ 为常数。
通过求解特征方程 $r-1=ar$，求得 $a$ 的值，便可判断差分方程解的稳定性。
高考数学中的差分方程及相关概念
高考数学中的差分方程及相关概念在高中数学中，我们学习了许多数学知识，其中差分方程是一个比较重要的概念，在高考中也经常出现。
那么差分方程是什么？有什么用处呢？一、什么是差分方程差分方程，也叫离散微积分方程，是指用有限差分代替导数的微分方程，其本质是一种递推式。
差分方程的一般形式为y[n+1] = f(y[n], y[n-1], ... , y[n-k])，其中y[n]是第n个离散点的函数值，y[n-k]是第n-k个离散点的函数值。
差分方程是一种离散的动态系统，可以用来描述各种离散事件的演化。
它广泛应用于数学、物理、工程、经济等领域中各种动态系统的建模与分析。
二、差分方程的分类根据差分方程的阶数及系数对n的依赖关系，差分方程可以分为以下几类：1.一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为y[n+1] = ay[n] + b，其中a和b 是常数。
这种差分方程的解可以用递推公式y[n] = ay[n-1] + b求得。
2.二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为y[n+2] + ay[n+1] + by[n] = f[n]，其中a、b是常数，f[n]是已知函数。
这种差分方程的解可以用特征根法或借助于已知解求得通解。
3.非线性差分方程非线性差分方程的一般形式为y[n+1] = f(y[n])，其中f(y[n])是非线性函数。
这种差分方程的解一般需要运用迭代法或数值解法求解。
三、差分方程的应用差分方程是一种用来描述具有离散状态的系统演化的工具，它在许多领域中都有着广泛的应用，例如：1.物理学差分方程在物理学中应用广泛，例如：在天体物理学中，用差分方程描述行星运动的轨迹、研究宇宙星系的演化等；在量子力学中，用差分方程描述粒子的运动状态等。
2.经济学差分方程在经济学中也有着广泛的应用，例如：在货币政策分析中，用差分方程描述货币供应量、利率与物价水平等的变化；在经济增长模型中，用差分方程描述经济增长的变化趋势等。
经济数学 CH6 差分方程精品文档
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一阶差分方程：yt+1=f(yt) 例子：一阶线性差分方程
△yt=2→yt+1-yt=2 △yt=yt → yt+1-yt=yt →yt+1=2yt 一阶线性差分方程一般形式：
yt+1+ayt=x(t) 如果x(t)=0，方程是齐次方程：如果数列｛yt｝满
余函数的计算：
假设变量的解为：yt=Abt 代入齐次方程得到：Abt+1+aAbt=0
消去非零公因子Abt，得到b=-a
因此，余函数为：yc=A(-a)t
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特别积分的计算：
特别积分是原方程的任意解，假设为常数k。 则yt+1=yt=k，即k为系统的瞬时均衡值。
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b的绝对值小于1，y收敛。 11
一般方法
1、常系数和常数项的一阶线性差分方程：
yt+1+ayt=c 其中，a和c是两个常数。
方程的通解由两部分的和构成：特别积分yp（它是方程的一 个任意解），余函数yc（它是齐次方程yt+1+ayt=0的通解）。
解的含义：特别积分表示系统的瞬时均衡值，余函数表示时 间路径与均衡的偏离。
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CH7 差分方程
如果时间被作为离散变量，即变 量t仅取整数值，那么，导数的概念 将不再适用。微分方程被差分方程所 取代。
差分方程就是同时包含了内生变 量现值和滞后值的等式。
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一、离散时间、差分与差分方程
在离散情况下，仅当变量t从一个整数变为另外一个 整数值时，例如t=1变为t=2时，y的值才会变化。
非线性差分方程边值问题正解的存在性与多重性的开题报告
非线性差分方程边值问题正解的存在性与多重性的开题报告一、研究背景差分方程是离散数学中的基本概念，而非线性差分方程则在生产生活各领域有着广泛的应用。
非线性差分方程的研究不仅扩充了离散动力学的研究范围，而且也拓展了应用领域。
然而，非线性差分方程边值问题的正解是否存在以及存在的多重性一直是该领域的热点问题。
因此有必要进行深入研究。
二、研究内容1.非线性差分方程的定义与性质研究。
2.分析非线性差分方程边值问题的正解存在性方法。
3.研究非线性差分方程边值问题存在多重解的情形。
4.探讨一些存在多重解的非线性差分方程的应用。
三、研究方法1.文献资料法：查阅各种文献资料，阅读相关文献材料，并系统地总结和归纳相关研究成果。
2.数学建模法：通过建立相关数学模型来探究非线性差分方程边值问题的正解存在性及多重性等问题。
3.数值模拟法：通过计算机程序模拟非线性差分方程的特征值，利用软件来实现模拟计算。
四、预期成果1.对非线性差分方程的性质进行了深入了解。
2.对非线性差分方程边值问题正解存在性进行了探讨，提出了一定的结论。
3.研究了非线性差分方程边值问题存在多重解的情况，探讨其应用。
4.提出一些存在多重解的非线性差分方程的应用实例。
五、研究意义本研究对于推进非线性差分方程的研究，加深对其性质和特点的理解和认识，提高非线性差分方程领域的学术水平。
同时对生产生活中的应用也有重要意义，可以为相关领域的理论研究和实际应用提供一定的参考。
六、研究方案1.搜集并阅读相关文献，对已有的研究成果进行总结归纳。
2.建立非线性差分方程的数学模型，采用不同的方法进行求解和分析。
3.采用MATLAB等软件进行数值模拟，验证理论分析的正确性。
4.总结分析结果，撰写论文并进行答辩。
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差分方程的现状黄梅[1]（2014）在《具连续变量的变系数偶数阶差分方程的有界振动》文中研究说明研究时滞差分方程解的性质在理论和应用中是非常重要的.本文借助研究离散变量的差分方程振动性的一般方法,研究了一类具有连续变量的变系数偶数阶中立型差分方程的有界解的振动性,给出了有界解振动的几个充分条件.冯青华[2]（2013）在《关于时间尺度上几类积分不等式和动力方程解的定性分析》文中研究说明对于许多微分方程、差分方程以及关于时间尺度上的动力方程，如果不能得到其精确解，则对其解的定性分析如有界性、唯一性、对初值和参数的连续依赖性等将显得比较重要。
Gronwall-Bellman型不等式在对解的有界性、唯一性、对初值和参数的连续依赖性研究方面起着不可替代的作用。
对该类不等式，已有不少研究成果，但我们注意到目前对关于时间尺度上的Gronwall-Bellman型不等式以及关于不连续函数的Gronwall-Bellman型不等式的研究成果并不十分丰富。
对微分方程解的振动性和渐近性研究，近几十年来出现了大量研究成果，但这些研究成果大都是针对整数阶微分方程的，而关于分数阶微分方程的振动性研究成果鲜见报道，同时对时间尺度上三阶带阻尼项的动力方程解振动性和渐近性的研究也相对较少。
此外，对某些具有特定形式的微分方程，可以求得其精确解。
目前，出现了大量针对微分方程精确解求解的方法，如Exp 函数方法，Jacobi椭圆函数方法，齐次平衡法等。
但对微分-差分方程精确解的研究成果并不十分丰富，有待于进一步研究。
基于以上分析，本论文将做如下几个方面的研究。
第一章讨论了总的研究背景，并给出了时间尺度理论的一些重要的定义和定理，第二章主要研究了几类时间尺度上Gronwall-Bellman-Volterra-Fredholm型不等式、时间尺度上非线性Gronwall-Bellman型延时积分不等式、时间尺度上非线性Pachpatte型延时积分不等式，基于这几类不等式，推导并建立了未知函数的界，并在此基础上研究了一些具有特定形式的动力方程解的定性性质。
这些结论一方面比文献中已有的Gronwall-Bellman型积分不等式或离散不等式具有更一般的意义，另一方面也统一了连续和离散的分析。
第三章主要利用时间尺度理论，并结合利用广义Riccati 技巧、不等式技巧和积分平均技巧研究了时间尺度上带阻尼项的三阶动力方程和三阶延时泛函动力方程解的振动性和渐近性，得出了一些新的解振动和渐近的充分条件，并给出了相关的例子；关键之处在于对阻尼项的处理用到了时间尺度上的指数函数。
第四章主要利用广义Riccati技巧并结合不等式技巧和积分平均技巧研究了几类带阻尼项和不带阻尼项的含右边Liouville导数的分数阶微分方程解的振动性，得到了一些新的振动规则，并给出了相关的例子。
第五章主要建立了一些不连续函数情形下的Gronwall-Bellman型积分不等式，并将它们应用于某些具有特定形式的关于不连续函数的微分或积分方程解的有界性分析，所建立的各种不等式推广了文献中已有的结果。
第六章我们将求解微分方程精确解的Riccati 子方程方法推广到求解微分-差分方程的精确解。
利用该方法，结合数学软件Maple，得到了Hybrid点阵方程的若干双曲函数形式解、三角函数形式解、有理函数形式解，以及一类（2+1）维Toda点阵方程的变系数精确解孙彩萍[3]（2012）在《几类微分方程解的频率振动性》文中研究表明差分方程是用来描述微分方程离散化模型的一个工具。
经过长时间的探究，差分方程已经作为研究微分方程解的振动性的主要方法之一。
同时，在工程技术和科学领域，例如在控制理论，生命科学，经济，金融等出现的现象也只能用差分方程这种离散的数学模型来描述，因此差分方程的研究受到了高度重视。
偏差分方程是含有两个或两个以上独立变量的差分方程，在用有限差分法求偏微分方程近似解中，在研究分子轨道、数学物理方程等问题中常常会遇到这类方程。
近十年来，偏差分方程的振动理论得到了迅速的发展。
时标理论的出现开辟了数学研究的新领域，时标理论统一研究了连续和离散两种情况。
这一理论不仅可以把微分方程和差分方程的性质统一起来进行研究，同时还揭示了连续和离散的本质，避免了大量的重复性工作，因此对这一理论的研究有重要的现实意义。
论文主要内容如下：首先，概述了差分方程、泛函偏差分方程和时标上动力方程的研究背景和研究现状。
其次，利用频率测度法讨论了一类二阶具正负系数非线性差分方程组的频率振动性，得到了一些判别准则，并用实例进行说明。
再次，利用频率测度法研究了一类非线性变时滞中立型偏差分方程和一类特殊形式的非线性中立型偏差分方程的频率振动性，并举例说明。
最后，利用频率测度法研究了时标上三阶动力方程和三阶具正负系数变时滞动力方程的频率振动性。
得到了一些引理和判别定理。
最后给出实例。
郭瑞霞[4]（2012）在《变系数中立型差分方程非振动解存在性问题的研究》文中进行了进一步梳理差分方程被看作是微分方程及时滞微分方程的离散化和数值解，已经成为数学研究，特别是动力系统中的一个重要分支。
差分方程解的非振动性研究是差分方程理论的重要组成部分，具有重要的理论意义和实际应用价值。
如今，随着计算机技术的迅速发展，有关它们的研究已成为一个非常活跃的研究领域。
本文主要研究了一类带有力迫项的一阶非线性差分方程非振动解的存在性问题和一类变系数高阶中立型差分方程非振动解的存在性问题，分别给出了相应方程存在非振动解的一些判别条件。
这两类问题的研究均推广了已有文献中存在的结果。
首先，本文回顾了差分方程的发展历史、研究背景以及前人已取得的研究成果，并且引出了本论文的主要研究工作。
其次，本文提出了一类带有力迫项的一阶非线性差分方程非振动解的存在性问题，不仅将已有文献方程中的二元函数推广为三元函数，同时改变已有结果中保证非振动解存在的充分条件，在证明思想和方式上做了相应的变化和调整，利用巴拿赫不动点定理得到了方程存在非振动解的充分必要条件，之后列举实际例子说明定理的正确性和有效性。
再次，本文又讨论了另一类变系数高阶中立型差分方程非振动解的存在性问题，不仅删除了原有结果中保证非振动解存在的相对较强的假设条件，而且扩大了参数的取值范围，之后同样利用巴拿赫不动点定理得到了该类方程非振动解存在的充分条件，对于没有考虑到的参数取-1的情况，通过举反例说明此时方程的解可能是振动的。
最后，本文对全文的主要工作做了简单的总结，并对提出的一些开问题以及未来潜在可能的工作发展方向进行展望。
豆可可[5]（2012）在《几类具有时滞的中立型差分方程的振动性》文中研究说明微分方程是用来描述自然现象变化规律的有力工具,我们通常将相应的差分方程视作其离散形式,但它也具有自身的特殊性.随着计算机科学技术的发展,在许多学科中,如工程控制、医学、现代物理、生物数学等领域,不断提出了大量中立型差分方程.而差分方程的振动性是差分方程定性理论的重要内容,因此对中立型差分方程振动性的研究不仅是数学理论本身发展的需要,还是实际应用的需要.本文分别讨论了有时滞的常系数、变系数以及具有正负系数的中立型差分方程解的振动性质,全文共分以下几个部分：第一章介绍了几类中立型时滞差分方程的研究背景和基本定义以及本文所要研究的主要内容.第二章讨论了一阶常系数泛函微分方程解振动的一个充分条件以及中立型时滞差分方程一切解振动的若干充分必要条件,推广了现有文献中的结论.第三章讨论了一类二阶非线性变系数中立型时滞差分方程解的振动性,获得了判断其一切解振动的一系列定理.第四章讨论了具有正负系数的二阶中立型时滞差分方程获得了其一切解振动的若干充分条件.冯学文,吴开谡[6]（2012）在《一类带脉冲的时滞差分方程的振动准则》文中研究指明研究了一类带有脉冲的时滞差分方程的振动性,这类差分方程的最高阶项是变系数的。
将脉冲条件进行转换后,利用反证法给出了该差分方程所有解振动的一个充分条件。
蒋方方[7]（2012）在《几类差分方程和时标上动力方程解的频率振动性》文中研究表明随着科学技术的进步与发展，在物理学、种群动力学、自动控制、生物学、医学等许多自然科学和边缘学科的领域中提出了大量由差分方程和偏差分方程描述的具体数学模型，急需我们用相关的数学理论去解决。
偏差分方程经常应用在用无穷差分方法求偏微分方程近似解、随机游动、分子轨道和数学物理等问题中，但是其振动理论却是最近几年才得到人们的关注，是一个极具旺盛生命力的新的研究领域。
由于现代科技的发展，对这一领域的研究已不仅是数学理论本身发展的需要，而且也是实际应用的需要。
时标理论的出现开辟了数学研究的新领域，时标理论统一研究了连续和离散两种情况。
这一理论把微分方程和差分方程统一起来进行研究，避免了大量的重复性工作，因此对这一理论的研究有重要的现实意义。
论文的工作主要集中在三个方面：差分方程有界解的频率振动性，偏差分方程解的频率振动性，时标上动力方程解的频率振动性。
论文由四章组成，主要内容如下：首先概述了差分方程、偏差分方程及时标上动力方程的学术背景和国内、外研究现状。
其次讨论了二阶非线性中立型差分方程有界解的频率振动性，利用频率测度的相关知识建立了该类方程有界解频率振动的判别准则，并且给出了实际例子。
再次研究了变时滞中立型偏差分方程以及具连续变量的非线性偏差分方程的频率振动性，给出了方程解频率振动的充分条件，同时给出了实际应用例子。
最后在频率测度和时标理论的基础上研究了时标上二阶动力方程解的频率振动性，同时给出了实例。
刘雪飞[8]（2012）在《几类中立差分方程的振动性和非振动性》文中研究说明差分方程的解的定性研究理论是差分方程理论的重要的组成部分。
而今，随着现代计算机的蓬勃发展，对于经济学家，医学家，生物学家及物理学家来说，差分方程已经成为了一个有用而且特别重要的数学模型。
随着中立差分方程和高阶差分方程在现实生活中的应用越来越广泛，急需我们用数学理论对中立差分方程和高阶差分方程进行分析和研究。
因而，差分方程解的定性研究即现在涉及最多的振动性，渐近性，解的存在性的理论研究，不仅具有重要理论价值而且具有非常重要的实用价值。
论文研究了二阶中立时滞差分方程、带有极大值的二阶中立时滞差分方程、高阶中立时滞差分方程的振动性和渐近性的定性问题。
本论文中所研究的课题推广和改进了已有文献所研究的问题。
在每章研究的内容中分别得到了所研究问题的解的振动性和非振动解的渐近性的改进的充分条件。
首先，论文利用函数构造法和反证法研究了两类二阶非线性中立时滞差分方程的振动性问题，对两类差分方程的研究中分别给出了方程解的振动的几个充分条件。
其次，对带有极大值的二阶差分方程的研究。