第九章--曲线积分与曲面积分习题解答(详解)
华南理工大学高数答案第9章
第九章 曲线积分与曲面积分作业13 对弧长的曲线积分1．计算d Lx s ⎰，其中L 为直线y x =及抛物线2y x =所围成的区域的整个边界．解：L 可以分解为[]1:,1,0,1L y x y x '==∈及[]22:,2,0,1L y x y x x '==∈1211d d d LL L x s x s x s x x x x =+=+⎰⎰⎰⎰⎰()()113222001121d 1414883212x x x x =++=+⋅+=+2．4433d L x y s ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰，其中L 为星形线33cos ,sin x a t y a t = =在第一象限内的弧π02t ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭．解：L 为33cos ,sin ,0,,2x a t y a t t π⎡⎤= =∈⎢⎥⎣⎦223cos sin ,3sin cos ,3sin cos dx dya t t a t t ds a t tdt dt dt=-== 原式()4722442233031cossin 3sin cos 1sin 2sin 222a t t a t tdt a t tdt ππ⎛⎫=+⋅=- ⎪⎝⎭⎰⎰()7772223333003311cos 2cos 2cos 2cos 2883a t d t a t t a ππ⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭⎰ 3．计算d xyz s Γ⎰，其中Γ折线ABC ，这里A ，B ，C 依次为点)3,4,1(),3,2,1(),0,0,0(．解：[]:,,2,3,0,1,123x y zAB x t y t z t t ds =====∈= []:1,3,,2,4,BC x z y t t ds dt ===∈=[]:,,4,3,0,1,143x y zCA x t y t z t t ds =====∈=142d d d 231318ABBCxyz s xyz s xyz s t t t t dt Γ=+=⋅⋅+⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰4．()22d xy z s Γ+⎰，其中Γ为螺线cos ,sin ,x t t y t t z t = ==上相应于t 从0变到1的一段弧．解：Γ为[]cos ,sin ,,0,1,x t t y t t z t t ds = ==∈=()()112222201d (222x y z s t t t t Γ+=⋅=+-+⎰⎰⎰ ()()1532222122222253t t ⎡⎤=+-⋅+==⎢⎥⎣⎦5．计算22d Lx y s +⎰，其中L ：0,22>=+a ax y x ．解：将L 参数化，22cos ,sin cos ,cos ,cos ,x r t y r t r ar t r a t x a t ==⇒===cos sin ,,,sin 2,cos 2,22y a t t t dx a tdt dy a tdt ds adt ππ⎡⎤=∈-=-==⎢⎥⎣⎦222222222d 2cos 2sin 2Lx y s a tdt a ta ππππ-+====⎰⎰⎰6．计算22ed x y Ls +⎰，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．解：边界曲线需要分段表达，从而需要分段积分[]12:0,0,,;:sin,cos ,0,,;4L y x a ds dx L x a t y a t t ds adt π⎡⎤=∈===∈=⎢⎥⎣⎦2123:,,;L y xx ds L L LL ⎡=∈==++⎢⎣⎦从而22400ed 4aax yxax aLa s e dx e adt e e ππ+=+⋅+=++⎰⎰⎰112244a a a a aa a e e e e e ππ=-++-=+-作业14 对坐标的曲线积分1．计算下列第二型曲线积分：(1) ()()d d L x y x x y y ++-⎰，其中L 为按逆时针方向绕椭圆22221x y a b+=一周；解：L 为cos ,sin ,:02x a t y b t t π==→原式()()20sin cos sin cos cos sin a t a t b t b t a t b t dt π=-++-⎡⎤⎣⎦⎰ 22222200sin 2cos 2sin 2cos 20224a b ab t a b ab t t dt t ππ⎛⎫⎛⎫++=-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰(2)()d d 1d x x y y x y z Γ+++-⎰，其中Γ是从点()1,1,1到点()2,3,4的一段直线；解：Γ是111,1,12,13,:01213141x y z x t y t z t t ---===+=+=+→--- 原式()()()1121231121t t t t dt =+++++++-⎡⎤⎣⎦⎰()()1126146713t dt t t=+=+=⎰(3)d d d y x x y z Γ-+⎰，其中Γ是圆柱螺线2cos ,2sin , 3 x t y t z t ===从0t =到2πt =的一段弧；解：Γ是2cos ,2sin , 3 ,:02x t y t z t t π===→原式()()202sin 2sin 2cos 2cos 3t t t t dt π=--+⎡⎤⎣⎦⎰ ()()2200432dt t πππ=-+=-=-⎰(4) 计算曲线积分(12e )d (cos e )d y y Lxy x y x y +--⎰,其中L 为由点A (-1, 1)沿抛物线2y x =到点O (0, 0), 再沿x 轴到点B (2, 0)的弧段．解：由于积分曲线是分段表达的，需要分段积分2:,:10AO y x x =-→；:0,:02OB y x =→原式222221(12e )d (cos e )2dx (e )d x x xx x x x x x -=+--+⎰⎰2223221(12e 2cos 2e )d d x x x x x x x x -=+-++⎰⎰()222004211113sin e d de 21sin1sin11xx x x xx x xee ----=-+++=-++=+-⎰⎰2． 设力F 的大小等于作用点的横坐标的平方，而方向依y 轴的负方向，求质量为m 的质点沿抛物线21x y -=从点()1,0移动到点()0,1时，力F 所作的功．解：{}{}{}2220,10,,,,:1,:01F x x ds dx dy L x y y =-=-==-→()()11352240028123515L L y y W Fds x dy y y dy y ⎛⎫==-=--+=--+=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰3．把对坐标的曲线积分()(),d ,d LP x y x Q x y y +⎰化成对弧长的曲线积分，其中L为：(1) 在xOy 平面内沿直线从点()0,0到点()1,1； (2) 沿抛物线2y x =从点()0,0到点()1,1．解：（1）:,:01,0;L y x x dx ds =→>==()()()(),,,d ,d ,,d L L P x x Q x x P x y x Q x y y P x x Q x x x +⎡⎤+=+=⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰（2）2:,:01,0;L y x x dx ds =→>=()()()()22,2,,d ,d ,2,d L L P x x xQ x x P x y x Q x y y P x x xQ x x x +⎡⎤⎡⎤+=+=⎣⎦⎰⎰⎰作业15 格林公式及其应用1．填空题(1) 设L 是三顶点(0, 0), (3, 0), (3, 2)的三角形正向边界,(24)d (536)d Lx y x y x y -+++-=⎰12 ．(2) 设曲线L 是以)1,0(),0,1(),1,0(),0,1(--D C B A 为顶点的正方形边界，d d L x yx y ++⎰不能直接用格林公式的理由是_所围区域内部有不可导的点_．（3）相应于曲线积分(,,)d (,,)d (,,)d LP x y z x Q x y z y R x y z z++⎰的第一型的曲线积分是⎰． 其中L 为从点(1, 1 ,1)到点(1, 2, 3)的直线段． 2．计算33(e sin )d (ecos )d x xLI y y x y x y =-++⎰,其中L 是沿半圆周x =从点),0(a A -到点),0(a B 的弧．解：L 加上:0,:BA x x a a =→-构成区域边界的负向()3322(e sin )d (e cos )d 3cos axxLDaI y y x y x y x y d ydy σ-=-++=-+-⎰⎰⎰⎰34230233cos 2sin 4a aaa d r dr ydy a πππθ-=-+=-+⎰⎰⎰v3．计算e 31d e 33d xy xy Ly x y x x x y y ⎡⎤⎡⎤+-+++-+⎣⎦⎣⎦⎰,其中L 为椭圆 22221x y a b+=正向一周． 解：原式()()e 33e 31xy xyD x x y y x y dxdy x y ⎡⎤∂∂=+-+-+-+⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰ 44Ddxdy ab π==⎰⎰4．计算曲线积分[]()sin d ()cos πd ,LI f x y x f x y x y '=+-⎰其中)(x f '为连续函数，L 是沿圆周222(1)(π)1πx y -+-=+按逆时针方向由点(2,2π)A 到点)0,0(O 的一段弧．解：令1:,:02L y x x π=→ 则，原式()[]111π()sin d ()cos πd L L L L DI dxdy f x y x f x y x y +'=-=--+-⎰⎰⎰⎰⎰()222π1()sin ()cos ππd 2f x x f x x x x ππππ'⎡⎤=-⋅+-+-⎣⎦⎰ ()()222422223π1()sin ππ1222222x f x x ππππππππ⎡⎤=-⋅+--=-⋅++=-⎢⎥⎣⎦5．计算22d d L x y y xx y -+⎰,其中L 为（1）圆周()()22111x y -+-=（按反时针方向）；解：()()222222222222222x x y x x y x y x x y y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∂+-⋅-∂-=== ⎪ ⎪∂+∂+⎝⎭⎝⎭++，而且原点不在该圆域内部，从而由格林公式，原式0= （2）闭曲线1x y +=（按反时针方向）．解：()()222222222222222x x y x x y x y x x y y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∂+-⋅-∂-=== ⎪ ⎪∂+∂+⎝⎭⎝⎭++，但所围区域内部的原点且仅有该点不满足格林公式条件，从而可作一很小的圆周220.01x y +=（1L 也按反时针方向），在圆环域上用格林公式得， 原式()1122d d d d 1001120.01L L Dx y y xx y y xdxdy x y π--===+=+⎰⎰⎰⎰ 6．证明下列曲线积分在xOy 平面内与路径无关,并计算积分值： （1）()()(),0,0e cos d sin d a b x y x y y -⎰；解：由于()()e sin e sin e cos x xx y y y x y∂∂-=-=∂∂在全平面连续，从而该曲线积分在xOy 平面内与路径无关，沿折线()()()0,00,,b a b →→积分即可， 原式()()0sin e cos d cos 11cos cos 1bax a ay dy b x b e b e b =-+=-+-=-⎰⎰ （2）()()()()2,14231,023d 4d xy yx x xy y -++-⎰；解：由于()()233442423x xy x y xy y x y∂∂-=-=-+∂∂在全平面连续，从而该曲线积分在xOy 平面内与路径无关，沿直线10,1,:122110x y y x x --==-→--积分也可， 原式=()()()24321211341d x x x x x x x ⎡⎤---++--⎣⎦⎰()()243213235141d x x x x x ⎡⎤=-+----⎣⎦⎰()()2543213115x x x x x ⎡⎤=-+----=⎣⎦ （3）()()()()π,20,0ecos d e sin d yy x m x x my y -+-⎰．解：由于()()e sin e cos e cos y y y x my x x m x y∂∂-==-∂∂在全平面连续，从而该曲线积分在xOy 平面内与路径无关，沿折线()()()0,0,0,2ππ→→积分即可，原式()()20cos e sin d y ex m dx my y ππ=-+-⎰⎰()2200sin 2my x mx π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭2m m π=--7．设()f x 在(),-∞+∞上具有连续导数，计算()()2221d 1d L y f xy x x y f xy y y y +⎡⎤+-⎣⎦⎰， 其中L 为从点23,3⎛⎫ ⎪⎝⎭到点()1,2的直线段．解：由于()()()()2222111y f xy x y f xy f xy xyf xy x y y y y ⎡⎤+⎧⎫∂∂'⎡⎤-=+-=⎨⎬⎢⎥⎣⎦∂∂⎩⎭⎣⎦在右半平面连续，从而该曲线积分右半平面内与路径无关，沿曲线12:2,,:31L xy y x x==→积分即可，原式()()()()2122232421122d d 22x f f x x x x x x x⎡⎤-+⎢⎥-⎣⎦+⎰13xdx =⎰1232x ⎛⎫= ⎪⎝⎭1942-==- 8．验证下列()(),d ,d P x y x Q x y y +在整个xOy 平面内是某一函数的全微分,并求出它的一个原函数：（1）()()e e d e 1e d x y x yx y x x y ⎡⎤⎡⎤+-+-+⎣⎦⎣⎦；解：由于()()e 1e e e x y x yx y x e e x y x y∂∂⎡⎤⎡⎤-+=-=+-⎣⎦⎣⎦∂∂在全平面连续，从而该曲线积分在xOy 平面内是某一函数的全微分，设这个函数为(),u x y ， 则()(),e 1e ,e e x y x y u u u u du dx dy x x y x y y x∂∂∂∂=+=-+=+-∂∂∂∂ 从而()()()e 1e e 1e x y x yu x dy y x g x ⎡⎤=-+=-++⎣⎦⎰()()()e e e e =e x y x y x ux y y g x g x x x∂''=+-=-+⇒∂ ()=e x x x x x g x xd xe e dx xe e c =-=-+⎰⎰，()()1e 1e x y u x y x c =+--++（2）()()223238d 812e d yx y xy x x x y y y ++++；解：由于()()32222812e 31638y x x y y x xy x y xy x y∂∂++=+=+∂∂在全平面连续，从而该曲线积分在xOy 平面内是某一函数的全微分，设这个函数为(),u x y ， 则原式3223224d 412e d yydx y x x dy x dy y y =++++()3322224d 412de yydx x dy y x x dy d y =++++⎰()()()32241212e d yyd yx d x y d ye y =++-⎰()32241212e y y d yxx y ye =++-可取32241212e yyu yx x y ye =++-（3）()()222cos cos d 2sin sin d x y y x x y x x y y ++-解：可取折线()()()0,0,0,x x y →→作曲线积分()()22202d 2sin sin d sin cos yx u x x y x x y y y x x y =+-=+⎰⎰9．设有一变力在坐标轴上的投影为2,28X x y Y xy =+=-,这变力确定了一个力场,证明质点在此场内移动时,场力所作的功与路径无关．证：{}2,28F x y xy =+-，质点在此场内任意曲线L 移动时，场力所作的功为()()228Lw x y dx xy dy =++-⎰由于()2282xy y x y x y∂∂⎡⎤-==+⎣⎦∂∂在全平面连续，从而质点在此场内移动时，场力所作的功与路径无关．作业16 对面积的曲面积分1．计算下列对面积的曲面积分： (1)()d xy yz zx S ∑++⎰⎰,其中∑为锥面z =被柱面222x y ax +=所截得的有限部分； 解：∑为x y z z z ===dS ==，:02cos ,22D r a ππθθ≤≤-≤≤原式2cos 2302d d cos a Dzx S x y d r dr πθπθθ∑-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()42242422cos cos 12sin sin sin 4a d d πππθθθθθθ--+=⎰⎰ （2）()222d xy z S ∑++⎰⎰,其中∑为球面2222x y z ax ++=．解：∑为两块y y x a x x =±==dS ==，:0,02D r a θπ≤≤≤≤原式12222d 2d Da a ax S ax S ∑∑+=+=⎰⎰⎰⎰22Da a +2334aDaad πθ=⎰223340=888a d a r aa a πππ--=-=2．计算d y S ∑⎰⎰，∑是平面4=++z y x 被圆柱面122=+y x截出的有限部分．解：∑为两块4,1,1x y z x y z z =--=-=-，dS =，:01,02D r θπ≤≤≤≤原式D=13220sin 03ar d r dr ππθθθ==⋅=⎰ （或由()(),,,,x y z x y z ∈∑⇒-∈∑，而积分微元反号推出）3．求球面2222a z y x =++含在圆柱面ax y x =+22内部的那部分面积． 解：∑为两块x y z z z ===dS ==，:0,02D r a θπ≤≤≤≤原式12d 2DS dS ∑∑=+=⎰⎰⎰⎰cos 22=2a ad πθπθ-⎰⎰()()cos 222202=2sin 41242a ad a a a d a a ππθππθθθπ-⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰4．设圆锥面z =()a h 为圆锥面的底面半径，为高,其质量均匀分布,求它的重心位置．解：设密度为单位1，由对称性可设重点坐标为()00,0,zDDzdS ∑==⎰⎰200ad r dr πθ==⎰⎰DDdS dxdy ∑==⎰⎰ad rdr πθπ==⎰⎰023h z ==，故重点坐标为20,0,3h ⎛⎫ ⎪⎝⎭5．求抛物面壳()2212z x y =+()01z ≤≤的质量，此壳的密度按规律z ρ=而变更． 解：(2212Dm dS x y ρ∑==+=⎰⎰⎰⎰2012d r π=⎰()()22532200222(1112253515t t t πππ⎛⎫⎡⎤=+-=+-+=- ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭⎰作业17 对坐标的曲面积分1．d d d d d d z x y x y z y z x ∑++⎰⎰，其中∑是柱面221x y +=被平面0z =及3z =所截得的在第一卦限内的部分前侧．解：:01,03,cos 0,0yz y z x D y z x x α=≤≤≤≤>==原式=d d d d d d 0d d yzzxD D z x y x y z y z x y z z x ∑∑∑++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰13100032d 262yz D y z dy π====⎰2．计算曲面积分2()d d d d z x y z z x y ∑+-⎰⎰，其中∑为旋转抛物面221()2z x y =+下侧介于平面0z =及2z =之间的部分． 解：22221(),,,:4;2x y xy z x y z x z y D x y =+==+≤:02,yz x D z y =≤≤≤原式=1122()d d ()d d d d zx y z z x y z z x y ∑∑∑+++-⎰⎰⎰⎰⎰⎰((22221d d d d ()d d 2yz yz zxD D D z y z z y z x y z x =-++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22222300112d ()d d 222yzzx D D y z x y z x dz d r dr πθ=++=+⎰⎰⎰⎰⎰224232000222824z dz r dr z πππππ=+=+⋅=⎰⎰3．计算d d d d d d xy y z yz z x xz x y ∑++⎰⎰其中∑是平面1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧．解：分片积分。
第九章 作业题解答(详解)
曲线积分与曲面积分习题详解习题9-11 计算下列对弧长的曲线积分：（5）2 ds x yz Γ⎰，其中Γ为折线段ABCD ，这里A ,B ,C ,D 的坐标依次为(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,2,3)；解 如图所示， 2222ABBCCDx yzds x yzds x yzds x yzds Γ=++⎰⎰⎰⎰．线段AB 的参数方程为 0,0,2(01)x y z t t ===≤≤，则ds2dt =，故02200 12=⋅⋅⋅=⎰⎰dt t yzds x AB．线段BC 的参数方程为,0,2(01)x t y z t ===≤≤，则,ds dt ==故122 0020BCx yzds t dt =⋅⋅⋅=⎰⎰，线段CD 的参数方程为1,2,2x y t z t===+)10(≤≤t ，则ds ==，故112212(2))x yzds t t t t dt =⋅⋅+=+=⎰⎰ 2 (2所以2222A BB CC Dx y z d s x y z d sx y z d sd s Γ=++⎰⎰⎰⎰ 2 设一段曲线ln (0)y x a x b =<≤≤上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的平方，求其质量．解 依题意曲线的线密度为2x ρ=，故所求质量为2CM x ds =⎰，其中:ln (0)C y x a x b =<≤≤．则C 的参数方程为ln x xy x =⎧⎨=⎩(0)a x b <≤≤， 故ds ===，所以3221[(1)]3b a aM x ==+⎰3322221[(1)(1)]3b a =+-+． 习题9-22 计算下列对坐标的曲线积分：（4）,Lydx xdy +⎰L 是从点(,0)A a -沿上半圆周222x y a +=到点(,0)B a 的一段弧； 解利用曲线的参数方程计算．L 的参数方程为:cos ,sin x a y a θθ==，在起点(,0)A a -处参数值取π，在终点(,0)B a 处参数值相应取0，故θ从π到0．则0sin (cos )cos (sin )Lydx xdy a d a a d a πθθθθ+=+⎰⎰=02cos 20a d πθθ=⎰．（6）()d x y z x Γ++⎰，其中Γ是螺旋线：cos x t =,sin y t =,z t =从0t =到πt =上的一段；解π3()d (c o s s i n )(s i n )d π.2x y z x t t t t t Γ++=++-=-⎰⎰习题9-51. 利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积:(1) 星形线33cos ,sin ,x a t y a t ⎧=⎨=⎩ (02t π≤≤)；） 解 12L A xdy ydx =-⎰ 32322014[cos 3sin cos sin 3cos (sin )]2a t a t t a t a t t dt π=⨯--⎰ yo(,0)A a -(,0)B a x242422222206[cos sin sin cos ]6cos sin at t t t dt at tdt ππ=+=⎰⎰238a π=。
9-习题课
Pdx Qdy
非闭
闭合 I (
Q P )dxdy x y
由 I ( x 2 2 xy )dx ( x 2 y 4 )dy 解 L
P 2 知 ( x 2 xy ) 2 x y y
y
1
D
A
Q 2 ( x y4 ) 2x x x
2 2 2 2
: z 1 x y
2
2
z 0 的下侧.
解 下向xoy面的投影区域Dxy : x 2 y 2 1
x 2 y 2 z x 2 y 2 dxdy = x 2 y 2 dxdy
三重积分
当 R3上区域时,
f ( M )d f ( x , y , z )dV
当 R3上空间曲线时,
曲线积分
f ( M )d f ( x , y , z )ds.
曲面积分
当 R3上曲面S时,
S
f ( M )d f ( x , y , z )dS .
Pdydz Qdzdx Rdxdy
( P cos Q cos R cos )dS
理论上的联系
1.定积分与不定积分的联系
b
a
f ( x )dx F (b) F (a )
( F ( x ) f ( x ))
牛顿--莱布尼茨公式
2.二重积分与曲线积分的联系
对坐标的曲线积分
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
L
f ( x , y )ds lim f ( i , i )si
第九章--曲线积分与曲面积分习题解答(详解)
曲线积分与曲面积分习题详解习题9-11 计算下列对弧长的曲线积分：（1）I s=⎰，其中C是抛物线2y x=上点(0,0)O到(1,1)A之间的一段弧；解: 由于C由方程2y x=（01x≤≤）给出，因此1I s x x===⎰⎰⎰123211(14)1)1212x⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦.（2）dCI x s=⎰，其中C是圆221x y+=中(0,1)A到B之间的一段劣弧；解:C AB=的参数方程为：cos,sinx yθθ==()42ππθ-≤≤，于是24cosIππθ-=⎰24cos1dππθθ-==⎰．（3）(1)dCx y s++⎰，其中C是顶点为(0,0),(1,0)O A及(0,1)B的三角形的边界；解: L是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示，根据积分的可加性，则有(1)Cx y ds++⎰(1)OAx y ds=++⎰(1)ABx y ds+++⎰(1)BOx y ds+++⎰，由于OA:0y=，01x≤≤，于是ds dx===，故13(1)(01)2x y ds x dx++=++=⎰⎰OA，而:AB1y x=-,01x≤≤，于是ds==．xyoABC10(1)[(1)ABx y ds x x ++=+-+=⎰⎰同理可知:BO 0x =（01y ≤≤），0ds =，则13(1)[01]2BOx y ds y dy ++=++=⎰⎰． 综上所述33(1)322Cx y ds -+=+=+⎰． （4）22Cx y ds +⎰，其中C 为圆周22x y x +=；解 直接化为定积分．1C 的参数方程为11cos 22x θ=+,1sin 2y θ=（02θπ≤≤）, 且12ds d θθ=．于是22201cos222Cx y ds d πθθ+=⋅=⎰⎰．（5）2 ds x yz Γ⎰，其中Γ为折线段ABCD ，这里A ,B ,C ,D 的坐标依次为(0,0,0), (0,0,2),(1,0,2),(1,2,3)；解 如图所示， 2222ABBCCDx yzds x yzds x yzds x yzds Γ=++⎰⎰⎰⎰．线段AB 的参数方程为 0,0,2(01)x y z t t ===≤≤，则ds =2dt =，故02200 12=⋅⋅⋅=⎰⎰dt t yzds x AB．线段BC 的参数方程为,0,2(01)x t y z t ===≤≤，则,ds dt ==122 0020BCx yzds t dt =⋅⋅⋅=⎰⎰，线段CD 的参数方程为1,2,2x y t z t===+)10(≤≤t ，则ds ==，故1122012(2))CDx yzds t t t t dt =⋅⋅+=+=⎰⎰ 2 (2所以2222A BB CC Dx y z d s x y z d sx y z d sd s Γ=++⎰⎰⎰⎰（6）2ds y Γ⎰，其中Γ为空间曲线2222,(0),x y z a a x z a ⎧++=>⎨+=⎩. 解: Γ在,x y 平面的投影为：2222()x y a x a ++-=，即22220x y ax +-=，从而2221222a x y a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.利用椭圆的参数方程得Γ的参数方程为11cos ,22:, 02.11cos ,22x a a y z a x a a θθθπθ⎧=+⎪⎪⎪Γ=≤≤⎨⎪⎪=-=+⎪⎩由于d s θθθ==. 则332π2π2222 01ds sin d sin d 222y a θθθθΓ===⎰⎰2 设一段曲线ln (0)y x a x b =<≤≤上任一点处的线密度的大小等于该点横坐标的平方，求其质量．解 依题意曲线的线密度为2x ρ=，故所求质量为2CM x ds =⎰，其中:ln (0)C y x a x b =<≤≤．则C 的参数方程为ln x xy x =⎧⎨=⎩(0)a x b <≤≤， 故ds ==，所以3221[(1)]3b a aM x ==+⎰3322221[(1)(1)]3b a =+-+．3 求八分之一球面2221(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥的边界曲线的重心，设曲线的密度1ρ=。
华南理工大学高数下答案(第九章曲线积分与曲面积分)
对弧长的曲线积分1、计算C，其中曲线C是y =02x a ≤≤的一段弧()0a >。
解：C 的参数方程为22cos 022cos sin x a y a θπθθθ⎧=≤≤⎨=⎩原式222202cos 4cos 4a a d a ππθθ===⎰⎰2、计算4433L x y ds ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰，其中L 星形线33cos ,sin x a t y a t ==在第一象限的弧02t π⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭。
解：原式()47766244333200sin cos cos sin 3cos sin 36t ta t t a t tdt a a ππ⎡⎤-=+==⎢⎥⎣⎦⎰ 3、计算xyzds Γ⎰，其中Γ为折线ABC ，这里,,A B C 依次为点()()()0,0,0,1,2,3,1,4,3。
解：AB 段参数方程2013x t y t t z t=⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩，BC 段参数方程122013x y t t z =⎧⎪=+≤≤⎨⎪=⎩原式()11301212ABBCxyzds xyzds dt t dt =+=++⎰⎰⎰⎰11420012618t t ⎤⎡⎤=++=⎣⎦⎥⎦ 4、计算()22xy ds Γ+⎰，其中Γ为螺旋线cos ,sin ,x t t y t t z t ===上相应于t 从0到1的弧。
解：方法一 原式11t t ==⎰⎰)(()2111222000111222222t dt t t t dt ⎫'⎡=+=+-+⎣⎰⎰100t =-⎰⎰原式(100111ln 222t ⎡⎤=-=-+⎢⎥⎣⎦⎰122=- 方法二、原式11tt ==⎰⎰)001112222t dt ===⎰⎰⎰2101112u +-=⎰(1101111222u ⎡=+--⎢⎣⎰⎰(10011ln 122u ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰(011ln 222=-+⎰原式(1ln 24= 方法三、原式11t t ==⎰⎰因为422234t t '==(22'==(()ln 1t '⎛⎫+=+=所以(11ln 42t t '⎫+=⎪⎭原式((11111ln ln 14222t ⎤==-++⎥⎦5、计算22Lx y ds +⎰，其中22:0L x y ax a +=>解：22cos x y ax r a θ+=⇒=，曲线L 的参数方程为2cos 22sin cos x a y a θππθθθ⎧=-≤≤⎨=⎩原式222202cos 2cos 2a ad a πππθθθ-===⎰⎰6、计算22x y Leds +⎰,其中L 为圆周222x y a +=，直线,0y x y ==在第一象限内所围成的扇形的边界。
曲面积分习题解答
0
0
1 4r2 2 1 9 1 t 1 8 14
t dt
16
2 5
t5
2
2 3
t3
2
9
1
149
30
解： dS 1 zx2 z2y d 2d
由对称性， zxdS 2D x x2 y2 dxdy
2
2
d
3 42 2 8
7 证明面密度为1的圆锥体的侧面Σ1绕其对称轴的转动 惯量I1与其底面Σ2绕此轴的转动惯量I2之比为常数：
I1 I2 csc (θ是圆锥的半顶角)。
解 1 : z cot x2 y2 ,
dS 1 cot x
2
x2 y2 cot y
I 1 1 ,
1 11 2z 2dv
2
2 d
1
rdr
1 zdz 2
1
r r3
dr
0
0
r
0
2
因为Σ1在yoz，zox上的投影为零，所以
1 xdydz 1 ydzdx 0
0
0
83
03
解 Iz
x2 y2 0dS 0a
D
x2 y2 a2 x2 y2
d
0a
2
d
0
a 0
r2 rdr a2 r2
20a
0
2 a3 sin3 tdt
20a4
2 3
4 3
0
a
4
解
x2 y2 z2 dydz 2 xdv 0
曲线积分及曲面积分习题46页PPT
曲线积分
计算
定积分
Stokes公式
计算 曲面积分
Guass公式
计算 重积分
计算上的联系
f(x ,y)d b[y2(x)f(x ,y)d]d y,(x d 面)元
D
a y1(x)
f(x ,y ,z )d V b dy 2 x (x ) dz 2 y (x ,y )f(x ,y ,z )d,(d z体 V)元
闭合
Q P
I
( D
x
)dxdy y
y x 非闭 补充曲线或用公式
例 计算
I (exsinymy)dx(excosym)dy, L
其中L为由点(a,0)到点(0,0)的上半圆周 x2 y2 ax, y0.
解 P (exsiy n m ) e yxco y m s y y
Q (exco ys m )exco ys x x
旋度 rA o ( tR Q )i ( P R ) j ( Q P )k y z z x x y
二、典型例题
对坐标的曲线积分
P(x,y)dxQ(x,y)dy的计算法
L
思路
ILPdxQdy
(x,y)
I
PdxQdy非闭
(x0,y0)
P
Q
ILPdxQ dy0f(x,y)d sl i0m i1f(i,i)si
Ln
l i0im 1[P (i, i) xi Q (i, i) yi]
联 系
L P Q d L x ( d P cy o Q c s) o ds s
计 L f(x, y)ds
f[,]
2 2dt
算 三代一定
()
LPdxQdy
[P(,)Q(,)]dt
曲线积分及格林公式(包括第一、二类曲线积分-图文并茂-自学必备)
x 2d s y 2 d s z 2d s
( 2a ds , 球面大圆周长 )
18
对弧长的曲线积分
例5 曲线
是中心在
( R,0), 半径为R
2
的上半圆周.求 提示:用极坐标
此时需把它化为参数方程 (选择x , y, z中某一个 为参数), 再按上述方法计算.
14
对弧长的曲线积分
例1
求I yds , 其中L为y 2 2 x上自原点到
L
( 2,2)的一段 .
2
对x积分?
2
y (0 y 2) 解 y 2x x 2 2 1 2 I y 1 y dy (5 5 1) 0 3
2
2
2
通过几何直观,还有更简单的方法吗?
21
x2 y 2 例6 求椭圆柱面 2 2 1, ( x 0, y 0) a b xy 介于xoy平面与空间曲面 z c
之间部分的面积.
提示:
xy A ds L c
x y L : 2 2 1 a b
2
2
22
对弧长的曲线积分
3
解 对称性,得
y
x 2 y 2 R2
L
( x y 3 )ds xds y 3ds 0
L L
L
O
x
对 xds, 因积分曲线L关于 x=0对称,
被积函数x是L上 关于x的奇函数 xds 0
对 y 3ds , 因积分曲线L关于 y=0对称, L
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为了便于计算，利用 的参数方程
于是
习题9-2
1设 为 面内一直线 （ 为常数），证明
。
证明：设 是直线 上从点 到点 的一段，其参数方程可视为
，（ ），
于是
。
2计算下列对坐标的曲线积分：
（1） ，其中 为上半椭圆 ，其方向为顺时针方向；
解
.
（2） ，其中 为抛物线 上从点 到点 的一段弧。
解将曲线 的方程 视为以 为参数的参数方程 ，其中参数 从 变到 。因此
。
习题9-6
1．求曲线积分 ，其中 是圆 的上半圆周，取顺时针方向.
解令 ， ，则 在整个 面内恒成立，因此，曲线积分 在整个 面内与路线无关。故可取沿 轴上的线段 （如右图所示）积分，即 ，于是， ，有
.
2证明下列曲线积分在整个 面内与路径无关，并计算积分值:
(1) ；
解令 ， ，则 在整个 面内恒成立，因此，曲线积分 在整个 面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有
解由高斯公式， ，于是
其中 是由平面 及三个坐标面围成的立方体区域。则
。
（2） ，其中 为柱面 及平面 及 所围成的空间闭区域 的整个边界曲面的外侧。
解这里 ， ， ，由高斯公式得
。
（3） ，其中 为曲面 及平面 ﹑ 所围成的空间区域的整个边界的外侧。
解这里 ， ， ，用高斯公式来计算，得
，
其中 是曲面 及平面 所围成的空间闭区域．
解容易求得法向量： ，又速度场为 ，故
.
这里 .
习题9-5
1.利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积:
(1)星形线 ( )；）
解
。
(2)圆 ，（ ）；
解设圆的参数方程为 , 从 变到 .那么
。
2利用格林公式计算下列曲线积分:
(1) ,其中 是圆 ,方向是顺时针方向；
解由格林公式， ，于是
其中 是圆域 。设 ，则
解如右图所示，设从点 到点 的有向直线段的方程为
， 从 变到 。
则 与曲线 构成一闭曲线，设它所围成闭区域为 ，令
， ，
， ，
由格林公式，得
。
而
，
故
。
(5) ，其中 ， 为圆周 取逆时针方向， 是 沿 的外法线方向导数。
解由于 ，其中 是在曲线 上点 处的切线的方向角，故 ．根据两类曲线积分之间的联系及格林公式，有
为 ，那么
，
当 取上侧时，上式右端取正号;当 取下侧时，上式右端取负号。
2计算下列第二型曲面积分:
(1) ，其中 是椭球面 的 的部分，取椭球面的外侧为正侧；
解当 时，椭球面的方程是
于是
令 ，则
.
(2) ，其中 是以坐标原点为中心，边长为2的立方体整个表面的外侧；
解把 分成下面六个部分:
的上侧；
的下侧；
．
因为 为圆周 ，所以 所围成的圆的面积 ，因此
。
3.计算曲线积分 ,其中 为
(1)椭圆 ,取逆时针方向；
(2)平面内任一光滑的不经过坐标原点的简单正向闭曲线.
解(1)令 ， ，则当 时， ，
但积分曲线 所围区域包含点 ， 在该点不具有连续的偏导数，因此不能直接应用格林公式计算，需要将奇点 去掉，为此作半径足够小的圆 : ，使 位于 的内部，如图右所示． 的参数方程为
。
(2) ，其中 是圆 ，方向是逆时针方向；
解设闭曲线 所围成闭区域为 ，这里
， ， ， ，
由格林公式，得
。
(3) ，其中 是依次连接 三点的折线段，方向是顺时针方向。
解令 ， ，则 ，且线段 ， 由1变化到-1，故有
．
其中 为 所围成的闭区域．
(4) ，其中 为常数， 为圆 上从点 到点 的一段有向弧；
第九章--曲线积分与曲面积分习题解答(详解)
LT
曲线积分与曲面积分习题详解
习题9-1
1计算下列对弧长的曲线积分：
（1） ，其中 是抛物线 上点 到 之间的一段弧；
解:由于 由方程
（ ）
给出，因此
.
（2） ，其中 是圆 中 到 之间的一段劣弧；
解: 的参数方程为：
，于是
．
（3） ，其中 是顶点为 及 的三角形的边界；
解 的参数方程为
， ， ， 从 变到 ，
。
3设 轴与重力的方向一致，求质量为 的质点从位置 沿直线移到 时重力所作的功。
解因为力
所以
。
4.设 为曲线 , , 上相应于 从 变到 的一段有向弧，把第二型曲线积分 化成第一型曲线积分.
解 ，故 ，于是
，
，
，
所示
。
习题9-3
1当 为 面内的一个闭区域时,曲面积分 与二重积分有什么关系?
，
而
，
，பைடு நூலகம்
故
。
同理可得 ， 。
所以
。
6利用斯托克斯公式计算下列曲线积分：
（1） ，其中 为平面 与三个坐标面的交线，其正向为逆时针方向，与平面 上侧的法向量之间符合右手规则；
解由斯托克斯公式得
其中 是平面 ，取上侧。由曲面积分的计算法，得
，
，
，
故
。
（2） ，其中 为以点 ﹑ ﹑ 为顶点的三角形沿 的方向。
。
（3） 。
解令 ， ，则在全平面上有
，满足全微分存在定理的条件，故在全平面上，
是全微分．
下面用三种方法来求原函数：
解法1运用曲线积分公式，为了计算简单，如图9－10所示，可取定点 ，动点 与 ，于是原函数为
．
取路径: ，得
．
解法2从定义出发，设原函数为 ，则有 ，两边对 积分（ 此时看作参数），得
解将曲面 分成丙个曲面: 和 ， ﹑ 在 面上的投影区域都为 ,先算 .由于
, ，
从而
，
.
同理可求得
.
所以
.
5求抛物面壳 （ ）的质量，此壳的密度为 。
解在抛物面壳 （ ）上取一小块微小曲面 ,其质量 整个抛物面壳的质量为 . 在 面上的投影 为圆域 , ,故
.
习题9-4
1当 为 面内的一个闭区域时,曲面积分 与二重积分有什么关系?答当 为 面内的一个闭区域时, 的方程为 。若 在 面上的投影区域
（1） ；
解令 ，
，
∴原式在全平面上为某一函数的全微分，取
，
= =
（2） ；
解因为 ， ，所以 在整个 面内恒成立，因此，：在整个 面内， 是某一函数 的全微分，即有
。
于是就有
（4）
（5）
由（4）式得
（6）
将（6）式代入（5）式，得
（7）
比较（7）式两边，得
于是 （其中 是任意常数）
代入（6）式便得所求的函数为
的前侧；
的后侧；
的右侧；
的左侧.
因为除 ﹑ 处,其余四片曲面在 面上的投影都为零,故有
；
同理可得
； .
于是所求的曲面积分为
.
（3） ，其中 为旋转抛物面 介于 之间部分的下侧；
解由两类曲面积分之间的联系，可得
，
在曲面 上，有
。
故
。
再依对坐标的曲面积分的计算方法，得
。
注意到
，
故
。
（4） ，其中 为 ， 的上侧；
．则 的参数方程为
，
故
，
所以
．
3求八分之一球面 的边界曲线的重心，设曲线的密度 。
解设曲线在 坐标平面内的弧段分别为 、 、 ，曲线的重心坐标为 ，则曲线的质量为 ．由对称性可得重心坐标
．
故所求重心坐标为 ．
4.计算半径为 、中心角为 的圆弧 对于它的对称轴的转动惯量 （设线密度 ）.
解:如右图建立坐标系，则
解平面 的上侧的法向量为 ，其方向余弦是
于是
4.已知稳定流体速度 ，求单位时间内流过曲面 的流量，法向量方向与 轴正向是钝角.
解如右图所示，依题设，所求的流量为
其中积分曲面是有向曲面 ，取下侧。
由第二型曲面积分的计算方法可知
.
5.设 是上半球面 ， ≥ ，速度场为 ， 是 上的单位法向量，它与 轴的夹角为锐角，试求曲面积分 .
。
4计算下列曲面积分:
（1） ，其中 是左半球面 , ；
解 .
（2） ,其中 是锥面 被柱面 所截得的有限部分；
解被截得的曲面在 面上的投影区域 是圆心在点 直径为 的圆域，即 ，由曲面 的方程 得 ， ， ，于是
。
（注：这里要用到被积函数的奇偶性： 。）
(3) ，其中 是抛物面在 面上方的部分： , ；
（*）
待定函数 作为对 积分时的任意常数，上式两边对 求偏导，又 ，于是
，
即 ，从而 （ 为任意常数），代入（*）式，得原函数 ．
4可微函数 应满足什么条件时，曲线积分
与路径无关？
解令 ， ，则
， 。
当 ，即 或 在整个 面内恒成立时，曲线积分 在整个 面内与路径无关。
5.求函数 使得
.
解由 知，可令
。
(2) ；
解令 ， ，则 在整个 面内恒成立，因此， 在整个 面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有
。
（3） ，其中 和 为连续函数。
解令 ， ，则 在整个 面内恒成立，因此，曲线积分 在整个 面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有
。
3验证下列 在整个 面内为某一函数 的全微分，并求出这样的一个 ：
解利用曲线的参数方程计算． 的参数方程为: ，在起点 处参数值取 ，在终点 处参数值相应取 ，则