广东省深圳高中高考数学模拟试卷(理科)(6月份)解析版
高考数学模拟试卷（理科）（6月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x |y =}，B ={x |log 2x ≤1}，则A ∩B =（ ） A. {x |-3≤x ≤1} B. {x |0＜x ≤1} C. {x |-3≤x ≤2} D. {x |x ≤2} 2. 已知（其中i 为虚数单位），则的虚部为（）A.B. C. 1D. 23. 在等比数列{}中,,前n 项和为 ,若数列{}也是等比数列,则等于( )A. B. 3n C. 2n D.4. 若，α是第三象限的角，则=（ ）A.B. C. 2 D. -25. 勒洛三角形是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，所以以他的名字命名.其作法为：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.现在勒洛三角形内部随机取一点，则此点取自等边三角形内部的概率为( )A.B.C.D.6. 已知的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（）A.B. C. D.7. 现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题,学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本,制作出如图两个等高堆积条形图,根据这两幅图中的信息,下列哪个统计结论不．正确的是A. 样本中的女生数量多于男生数量B. 样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量C. 样本中的男生偏爱理科D. 样本中的女生偏爱文科8.抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A. 4B.C.D. 89.在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，=，=，若=12，则∠ADC=（）A. B. C. D.10.在平面直角坐标系xOy中，已知点A，F分别为椭圆的右顶点和右焦点，过坐标原点O的直线交椭圆C于P，Q两点，线段AP的中点为M，若Q，F，M三点共线，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D. 或11.设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=-x对称，且f（-2）+f（-4）=1，则a=（）A. -1B. 1C. 2D. 412.设O是正三棱锥P-ABC底面是三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的延长线分别交于Q、R，则和式++（）A. 有最大值而无最小值B. 有最小值而无最大值C. 既有最大值又有最小值,两者不等D. 是一个与面QPS无关的常数二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在数列{a n}中，，则a2019的值为______．14.已知函数f（x）=sin（x+φ）-2cos（x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=π对称，则cos2φ=______．15.在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，△ABC是边长为6的等边三角形，△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为______．16.已知函数若方程恰有两个不同的实数根，则的最大值是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.工程队将从A到D修建一条隧道,测量员测得图中的一些数据B,C,D在同一水平面内,求A,D之间的距离．18.已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PD=PB，H为PC上的点，过AH的平面分别交PB，PD于点M，N，且BD∥平面AMHN．（1）证明：MN⊥PC；（2）当H为PC的中点，，PA与平面ABCD所成的角为60°，求AD与平面AMHN所成角的正弦值．19.在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆过点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线x+y+m=0上存在点G，且过点G的椭圆C的两条切线相互垂直，求实数m的取值范围．20.某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y（万人）与年份x的数据：模型①：由最小二乘法公式求得y与x的线性回归方程；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线y=ae bx的附近．（1）根据表中数据，求模型②的回归方程．（a精确到个位，b精确到0.01）．（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．参考公式、参考数据及说明：①对于一组数据（v1，w1），（v2，w2），…，（v n，w n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为．②刻画回归效果的相关指数．③参考数据：e5.46 1.43表中．21.已知函数f（x）=x-ln x-2．（1）求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）函数f（x）在区间（k，k+1）（k∈N）上有零点，求k的值；（3）若不等式对任意正实数x恒成立，求正整数m的取值集合．22.在平面直角坐标系xOy中,曲线的方程为,直线l的参数方程为为参数,若将曲线上的点的横坐标不变,纵坐标变为原来的倍,得曲线．写出曲线的参数方程；设点,直线l与曲线的两个交点分别为A,B,求的值．23.已知实数正数x，y满足x+y=1．（1）解关于x的不等式；（2）证明：．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．求出A中x的范围确定出A，求出B中不等式的解集确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中y=，得到（1-x）（x+3）≥0，即（x-1）（x+3）≤0，解得：-3≤x≤1，即A={x|-3≤x≤1}，由B中不等式变形得：log2x≤1=log22，解得：0＜x≤2，即B={x|0＜x≤2}，则A∩B={x|0＜x≤1}，故选：B．2.【答案】B【解析】解：∵=，∴，则的虚部为-1．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】C【解析】【分析】根据数列{a n}为等比可设出a n的通项公式，因数列{a n+1}也是等比数列，进而根据等比性质求得公比q，进而根据等比数列的求和公式求出s n．本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力．【解答】解：因数列{a n}为等比，则a n=2q n-1，因数列{a n+1}也是等比数列，则（a n+1+1）2=（a n+1）（a n+2+1）∴a n+12+2a n+1=a n a n+2+a n+a n+2∴a n+a n+2=2a n+1∴a n（1+q2-2q）=0∴q=1即a n=2，所以s n=2n，故选：C．4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力，属于基础题.将欲求式中的正切化成正余弦，还要注意条件中的角α与待求式中角的差别，注意消除它们之间的不同．【解答】解：由，α是第三象限的角，∴可得，则，故选A．5.【答案】B【解析】【分析】本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出相对应的面积，属于基础题．设正三角形ABC的边长为2，先求出S△ABC，S扇形BAC，即可求出S勒洛三角形，根据几何概型的概率公式计算即可．【解答】解：如图，设BC=2，以B为圆心的扇形的面积为=，∴ABC的面积为××2×2=，∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形的面积，即为×3-2=2π-2，故勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率为：=.故选：B．6.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了二项式定理及二项式展开式通项公式，属中档题．由二项式定理及二项式展开式通项公式得：易得a=1，则（2x-）5展开式的通项为T r+1=（2x）5-r（-）r=（-1）r25-r x5-2r，则（1+）（2x-）5展开式中常数项为（-1）225-2=80，得解．【解答】解：令x=1得（1+a）（2-1）5=2，解得a=1，则（2x-）5展开式的通项为T r+1=（2x）5-r（-）r=（-1）r25-r x5-2r，则（1+）（2x-）5展开式中常数项为（-1）225-2=80.故选D．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查等高堆积条形图，考查学生对图形的认识，比较基础．根据这两幅图中的信息，即可得出结论．【解答】解：由图1知，样本中的女生数量多于男生数量；由图2知，样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量，样本中的男生偏爱理科；女生选理科的人数略多于选文科的人数，故A,B,C,正确，D错误.故选D．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断△AKF为等边三角形是解题的关键．【解答】解：由抛物线的定义可得AF=AK，∵AF的斜率等于，∴AF的倾斜角等于60°，∵AK⊥l，∴∠FAK=60°，故△AKF为等边三角形．又焦点F（1，0），AF的方程为y-0=（x-1），设A（m，m-），m＞1，由AF=AK得=m+1，∴m=3，故等边三角形△AKF的边长AK=m+1=4，∴△AKF的面积是×4×4sin60°=4，故选C．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了平面向量线性运算及平面向量数量积运算，属中档题．由平面向量线性运算及平面向量数量积运算得：=（）（+）=（-）（-）=2+2=12，所以=-3，所以||||cos∠ADC=-3，即cos∠ADC=-，又∠ADC∈（0，π），所以∠ADC=，得解．【解答】解：因为AB=3，AD=2，=，=，所以=（）（+）=（-）（-）=2+2=12，所以=-3，即||||cos∠ADC=-3，即cos∠ADC=-，又∠ADC∈（0，π），所以∠ADC=，故选：C．10.【答案】A【解析】【分析】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．设P（x0，y0），则Q（-x0，-y0），（y0≠0）．A（a，0），F（c，0），则M．根据Q，F，M三点共线，可得k QF=k MF，利用斜率计算公式即可得出．【解答】解：设P（x0，y0），则Q（-x0，-y0），（y0≠0）．A（a，0），F（c，0），则M．∵Q，F，M三点共线，∴k QF=k MF，∴=，化为：a=3c，∴e=．故选A．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查反函数的概念、互为反函数的函数图象的关系、求反函数的方法等相关知识和方法，属于基础题．先求出与y=2x+a的反函数的解析式，再由题意f（x）的图象与y=2x+a的反函数的图象关于原点对称，继而求出函数f（x）的解析式，问题得以解决．【解答】解：∵与y=2x+a的图象关于y=x对称的图象是y=2x+a的反函数，y=log2x-a（x＞0），即g（x）=log2x-a，（x＞0）．∵函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于y=-x对称，∴f（x）=-g（-x）=-log2（-x）+a，x＜0，∵f（-2）+f（-4）=1，∴-log22+a-log24+a=1，解得a=2，故选：C．12.【答案】D【解析】解：设正三棱锥P-ABC中，各侧棱两两夹角为α，PC与面PAB所成角为β，则V S-PQR=S△PQR•h=（PQ•PR sinα）•PS•sinβ．另一方面，记O到正三棱锥P-ABC各侧面的距离为d，则V S-PQR=V O-PQR+V O-PRS+V O-PQS，即S△PQR•d=S△PRS•d+S△PRS•d+•d=×PQ•PR sinα+×PS•PR sinα+×PQ•PS•sinα，故有：PQ•PR•PS•sinβ=d（PQ•PR+PR•PS+PQ•PS），即++==常数．故选：D．设正三棱锥P-ABC中，各侧棱两两夹角为α，PC与面PAB所成角为β，则V S-PQR=S△PQR•h=（PQ•PR sinα）•PS•sinβ，记O到各面的距离为d，利用v S-PQR=v O-PQR+v O-PRS+v O-PQS，可得：PQ•PR•PS•sinβ=d（PQ•PR+PR•PS+PQ•PS），由此可得结论．本题考查三棱锥体积的计算，考查学生的探究能力，正确求体积是关键，是中档题．13.【答案】1【解析】【分析】本题主要考查数列的递推公式的应用，涉及数列的求和，属于基础题．根据题意，将a n+1=a n+变形可得a n+1-a n==-，利用“累加法”得到答案.【解答】解：根据题意，数列{a n}中，a n+1=a n+，变形可得a n+1-a n==-，则a2019=（a2019-a2018）+（a2018-a2017）+……+（a2-a1）+a1=+（1-）+（-）+……+（-）=+1-=1.故答案为1.14.【答案】【解析】【分析】本题考查的知识要点为三角函数的关系式的变换，对称性的应用及诱导公式，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．直接利用函数的关系式的对称性的应用求出正切值，进一步求出结果．【解答】解：函数f（x）=sin（x+φ）-2cos（x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=π对称，所以：f（）=f（），所以：cosφ+2sinφ=-cosφ-2sinφ，即：cosφ=-2sinφ，解得：tanφ=-，所以：cos2φ==．故答案为：．15.【答案】48π【解析】【分析】本题主要考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．由题意画出图形，由已知求出三棱锥外接球的半径，代入表面积公式得答案．【解答】解：如图，在等边三角形ABC中，设其中心为O，取AB中点F，由AB=6，得CO=CF=2．∵△PAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，∴F为△PAB的外心，则O为棱锥P-ABC的外接球球心，则外接球半径R=OC=2．∴该三棱锥外接球的表面积为4π×=48π．故答案为48π．16.【答案】3ln2-2【解析】【分析】本题考查了函数零点及计算能力，考查了数形结合思想，属于中档题．当方程[f（x）]2=a恰有两个不同的实数根x1，x2时，a＞1，则有，（其中t=＞1），则x1+x2=-+ln t令g（m）=-m+ln2m2，（m），利用导数求解．【解答】解：函数的图象如下：当方程[f（x）]2=a恰有两个不同的实数根x1，x2时，a＞1，则有，（其中t=＞1），则x1+x2=-+ln t，令g（m）=-m+ln2m2，（m），，可得g（m）在（，2）递增，在（2，+∞）递减，g（m）的最大值是g（2）=3ln2-2．∴x1+x2的最大值是3ln2-2．故答案为：3ln2-2．17.【答案】解：连接AC，在，．=，在三角形ACD中，.【解析】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力，是中档题．连接AC，利用勾股定理求出AC，然后在三角形ACD中利用余弦定理求解AD即可．18.【答案】证明：（1）连结AC、BD且AC∩BD=O，连结PO．因为，ABCD为菱形，所以，BD⊥AC，且O为BD的中点，又因为PD=PB，所以，PO⊥BD，因为AC∩PO=O且AC、PO⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC，因为PC⊂平面PAC，所以BD⊥PC，因为BD∥平面AMHN，且平面AMHN∩平面PBD=MN，平面PBD，所以BD∥MN，所以，MN⊥PC．解：（2）由（1）知BD⊥AC且PO⊥BD，因为PA=PC，且O为AC的中点，所以，PO⊥AC，,平面ABCD，所以，PO⊥平面ABCD，所以PA与平面ABCD所成的角为∠PAO，所以∠PAO=60°，所以，，，因为，，所以，．以，，分别为x，y，z轴，如图所示建立空间直角坐标系．记PA=2，所以，O（0，0，0），A（1，0，0），，C（-1，0，0），，，，所以，，，．记平面AMHN的法向量为，所以，，即，令x=2，解得y=0，，所以，，记AD与平面AMHN所成角为θ，所以，．所以，AD与平面AMHN所成角的正弦值为．【解析】（1）连结AC、BD且AC∩BD=O，连结PO．推导出BD⊥AC，PO⊥BD，从而BD⊥平面PAC，BD⊥PC，推导出BD∥MN，MN⊥平面PAC，由此能证明MN⊥PC．（2）由BD⊥AC且PO⊥BD，得PO⊥AC，PO⊥平面ABCD，从而PA与平面ABCD所成的角为∠PAO=60°，以，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AD与平面AMHN所成角的正弦值．本题主要考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．19.【答案】解：（1）由题意，椭圆过点且其离心率为，解得a2=3b2，又，解得所以椭圆C的标准方程为，（2）①当过点G的椭圆C的一条切线的斜率不存在时，另一条切线必垂直于y轴，易得；②当过点G的椭圆C的切线的斜率均存在时，设切线方程为y=k（x-x0）+y0，代入椭圆方程得，，化简得：，由此得，设过点G的椭圆C的切线的斜率分别为k1，k2，所以．因为两条切线相互垂直，所以，即，由①②知G在圆上，又点G在直线x+y+m=0上，所以直线x+y+m=0与圆x2+y2=4有公共点，所以，所以，综上所述，m的取值范围为．【解析】（1）根据题意，分析可得解得a、b的值，代入椭圆的方程即可得答案；（2）根据题意，分过点G的椭圆C的切线的斜率存在与不存在2种情况讨论，求出m 的取值范围，综合即可得答案．本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的标准方程以及几何性质，属于综合题．20.【答案】解：（1）对y=ae bx取对数，得ln y=bx+ln a，设u=ln y，=ln a，先建立u关于x的线性回归方程．，，，∴模型②的回归方程为；（2）由表格中的数据，有30407＞14607，即，即，∴，模型①的相关指数小于模型②的，说明回归模型②的拟合效果更好，2021年时，x=13，预测旅游人数为（万人）．【解析】本题考查回归方程的求法，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是中档题．（1）对y=ae bx取对数，得ln y=bx+ln a，设u=ln y，=ln a，先建立u关于x的线性回归方程．求得的值，再求出，即可得到模型②的回归方程；（2）由表格中的数据，有30407＞14607，即，得到，说明模型①的相关指数小于模型②的，说明回归模型②的拟合效果更好.在（1）中的回归方程中，取x=13，求得y值，即可预测2021年该景区的旅游人数．21.【答案】解：（1）∵，∴切线斜率为f'（1）=0，又f（1）=-1，切点为（1，-1），∴切线方程为y=-1；（2）令，得x=1，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x＞1时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，所以f（x）的极小值为f（1）=-1＜0，又，∴f（x）在区间（0，1）上存在一个零点x1，此时k=0；∵f（3）=3-ln3-2=1-ln3＜0，f（4）=4-ln4-2=2-2ln2=2（1-ln2）＞0，∴f（x）在区间（3，4）上存在一个零点x2，此时k=3．综上，k的值为0或3；（3）当x=1时，不等式为0＞-1，显然恒成立，此时m∈R；当0＜x＜1时，不等式可化为，令，则，由（2）可知，函数f（x）在（0，1）上单调递减，且存在一个零点x1，此时f（x1）=x1-ln x1-2=0，即ln x1=x1-2，当0＜x＜x1时，f（x）＞0，即＞0，函数g（x）单调递增；当x1＜x＜1时，f（x）＜0，即＜0，函数g（x）单调递减．∴g（x）有极大值即最大值为，于是m＞x1．当x＞1时，不等式可化为，由（2）可知，函数f（x）在（3，4）上单调递增，且存在一个零点x2，同理可得m＜x2．综上可知x1＜m＜x2．又∵x1∈（0，1），x2∈（3，4），∴正整数m的取值集合为{1，2，3}．【解析】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，体现了数学转化思想方法，属难题．（1）求出原函数在x=1处的导数，得到切线斜率，再求出切点坐标，利用直线方程点斜式得答案；（2）利用导数研究原函数的单调性，结合函数零点的判定得到原函数的零点所在区间，则k值可求；（3）当x=1时，对于任意m∈R，不等式恒成立；当0＜x＜1时，不等式化为，令，由（2）可知，函数f（x）在（0，1）上单调递减，且存在一个零点x1，得到g（x）有极大值即最大值为，于是m＞x1．当x＞1时，不等式化为，由（2）可知，函数f（x）在（3，4）上单调递增，且存在一个零点x2，得m＜x2．则x1＜m＜x2．结合x1∈（0，1），x2∈（3，4），可得正整数m的取值集合为{1，2，3}．22.【答案】解：（1）∵曲线C1的方程为x2+y2=4，若将曲线C1上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得曲线C2．∴曲线C2的直角坐标方程为，整理得，∴曲线C2的参数方程为（θ为参数）．（2）将直线l的参数方程化为标准形式为（t'为参数），将参数方程代入，得，整理得，∴，，∴．【解析】本题考查曲线的参数方程的求法，考查两线段长的倒数之和的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．（1）推导出曲线C2的直角坐标方程，由此能求出曲线C2的参数方程．（2）将直线l的参数方程化为标准形式，将参数方程代入，得，由根与系数的关系可求的值．23.【答案】解：∵正数x，y满足x+y=1，∴由不等式|x+2y|+|x-y|≤，得∴，∴≤x＜1，∴不等式的解集为{x|≤x＜1}．（2）∵正数x，y满足x+y=1，∴===+5≥2+5=9，当且仅当x=y=时取等号．【解析】（1）利用x的取值，去掉绝对值符号，求解绝对值不等式即可．（2）利用已知条件，通过“1”的代换以及基本不等式求解表达式的最小值，证明不等式即可．不等式选讲本小题考查绝对值不等式、基本不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等，属基础题．。
2020年深圳市高三一模理科数学试卷(含答案及解析)
2020年广东深圳高三一模理科数学试卷一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分。
）1. A.B.C.D.已知集合，，则（ ）．2. A.B.C.D.设，则的虚部为（ ）．3. A.B.C.D.某工厂生产的个零件编号为，，，，，现利用如下随机数表从中抽取个进行检测．若从表中第行第列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第个零件编号为（ ）．4. A.B.C.D.记为等差数列的前项和，若，，则为（ ）．5. A.B.C. D.若双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（）．6. A.B.C.D.已知，则（ ）．7.A.B.C.D.的展开式中的系数为（ ）．8. A.B.C. D.函数的图像大致为（ ）．9. A. B. C. D.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球表面积为（ ）．10.A.B.C.D.已知动点在以，，为焦点的椭圆 ，动点在以为圆心，半径长为的圆上，则的最大值为（ ）．11.A.B.C.D.著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点，分别是的外心、垂心，且为中点，则（ ）．12.A.B. C. D.已知定义在上的函数的最大值为，则正实数的取值个数最多为（ ）．二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分。
）13.若，满足约束条件，则的最小值为 ．14.设数列的前项和为，若，则 ．15.很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全．某马拉松赛事报名网站的登录验证码由，，，，中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型验证码”（如），已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是的概率为 ．16.已知点和点，若线段上的任意一点都满足：经过点的所有直线中恰好有两条直线与曲线：相切，则的最大值为 ．三、解答题（本大题共5题，每小题12分，共计60分。
2020年湘赣粤高考(理科)数学(6月份)模拟试卷 (解析版)
2020年高考数学模拟试卷（理科）（6月份）一、选择题（共12小题）.1．设集合M＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，集合N＝{x|2x−2＞12），则M∩N＝（）A．{x|x＞2}B．{x|x＞1}C．（x|x＞2或x＜﹣1）D．{x|x＞1或x＜﹣1}2．设i为虚数单位，复数z=41−i，则|z﹣i|＝（）A．√2B．√3C．2D．√53．2019年12月12日我国出现了新型冠状病毒所感染的肺炎，新型冠状病毒的传染性极强．如图是2020年1月26号到2月17号全国/湖北/非湖北新增新型冠状病毒感染确诊病例对比图，根据图象下列判断错误的是（）A．该时段非湖北新增感染确诊病例比湖北少B．全国新增感染确诊病例平均数先增后减C．2.12全国新增感染确诊病例明显增加，主要是由湖北引起的D．2.12全国新增感染确诊病例数突然猛增，不会影响该段时期全国新增病例数的中位数4．已知f（x）是R上的奇函数，满足f（x+2）＝﹣f（x），且当x∈[﹣2，0）时，f(x)={x21+x2，−1≤x＜01 2x+1，−2≤x＜−1，则f[f(92)]=（）A．126B．15C．34D．745．若（1+ax）5（1+2x）的展开式所有系数之和为﹣3，则此展开式中不含下列哪一项（）A．x项B．x2项C．x3项D．x6项n∈N*），则数列{a n}的通项公式6．已知数列{a n}的前n项和为S n，a2＝4，S n=(n+1)a n2（为（）A．a n＝2n（n∈N*）B．a n＝2n（n∈N*）C．a n＝n+2（n∈N*）D．a n＝n2（n∈N*）7．已知向量a→=（m，2），b→=（√3，1），若向量a→在向量b→方向上的投影为﹣2，则向量a→与向量b→的夹角是（）A．30°B．60°C．120°D．150°8．由实数组成的等比数列{a n}的前n项和为S n．则“a1＞0”是“S11＞S10”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．骰子，古代中国民间娱乐用来投掷的博具，早在战国时期就有．最常见的骰子是正六面体，也有正十四面体、球形十八面体等形制的骰子，如图是满城汉墓出土的铜茕，它是一个球形十八面体骰子，有十六面刻着一至十六数字，另两面刻“骄”和“酒来”，其中“骄”表示最大数十七，“酒来”表示最小数零，每投一次，出现任何一个数字都是等可能的．现投掷铜茕三次观察向上的点数，则这三个数能构成公比不为1的等比数列的概率为（）A ．181B ．2729C ．1324D ．197210．已知双曲线x 2a −y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，实轴的两个端点分别为A 1、A 2，虚轴的两个端点分别为B 1、B 2．以坐标原点O 为圆心，|B 1B 2|为直径的圆O （b ＞a ）与双曲线交于点M （位于第二象限），若过点M 作圆的切线恰过左焦点F 1，则双曲线的离心率是（ ） A ．√3B ．2C ．√62D ．√7211．已知函数f （x ）＝sin x cos x +cos 2x ，x ∈R ，则下列命题中： ①f （x ）的最小正周期是π，最大值是√2+12；②f （x ）的单调增区问是[−3π8+kπ，π8+kπ]（k ∈Z ）； ③f(x)+f(π2−x)=1+sin2x ；④将f （x ）的图象向右平移π4个单位可得函数y ＝sin 2x +sin x cos x 的图象，其中正确个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．在三棱锥A ﹣BCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA =√7，BD =2√3，二面角A ﹣BD ﹣C 是钝角．若三棱锥A ﹣BCD 的体积为2．则三棱锥A ﹣BCD 的外接球的表面积是（ ） A ．12πB ．373π C ．13π D ．534π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共21分13．若点（x ，y ）在不等式组{3x −2y +6≥0x −4y +2≤0x +y −3≤0，所表示的区域内，则目标函数z ＝x ﹣y 的最大值与最小值之和为 ．14．2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蚂虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为5%，最初有N 0只．则经过 天能达到最初的16000倍（参考数据：ln 1.05≈0.0488，ln 1.5≈0.4055，ln 1600≈7.3778，ln 16000≈9.6803）．15．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过焦点F 作直线MN ⊥x 轴，交抛物线于M ，N 两点，再过F 点作直线AB 使得AB ∥OM 其中O 是坐标原点），交抛物线于A 、B 两点，则三角形ABN的面积是．16．函数f（x）＝e x﹣e1﹣x﹣b|2x﹣1|在（0，1）内有两个零点，则实数b的取值范围是三、解答题：共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．且bc=57，cos A=45，△ABC的面积S＝21．（1）求边b和c；（2）求角B．18．如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AB⊥BC，AC⊥CD．（1）设E是PD的中点，求证：CE∥平面PAB；（2）设PA⊥平面ABCD，若PD与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A﹣PC﹣B 的余弦值．19．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴的两个端点分别为A1、A2．短轴的两个端点分别为B1，B2．菱形A1B1A2B2的面积为2√3，离心率e=√63．（1）求椭圆的标准方程；（2）设M（﹣1，0），N（0，−12），经过点M作斜率不为0的直线l交椭圆C于A、B两点，若NA→•AB→+NB→•AB→=0，求直线l的方程．20．已知函数f(x)=(x−1)e x−13x3+ax2（a∈R）（1）当a＝﹣1时，证明函数f（x）在区间（﹣2.2）上有三个极值点；（2）若f（x）≥﹣1对于x∈R恒成立，求a的取值范围．21．时至21世纪．环境污染已经成为世界各国面临的一大难题，其中大气污染是目前城市急需应对的一项课题．某市号召市民尽量减少开车出行以绿色低碳的出行方式支持节能减排．原来天天开车上班的王先生积极响应政府号召，准备每天从骑自行车和开小车两种出行方式中随机选择一种方式出行．从即日起出行方式选择规则如下：第一天选择骑自行车方式上班，随后每天用“一次性抛掷6枚均匀硬币”的方法确定出行方式，若得到的正面朝上的枚数小于4，则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方式． （1）求王先生前三天骑自行车上班的天数X 的分布列；（2）由条件概率我们可以得到概率论中一个很重要公式﹣﹣全概率公式．其特殊情况如下：如果事件A 1A 2相互对立并且P （A i ）＞0（i ＝1，2），则对任一事件B 有P （B ）＝P （B |A 1）P （A 1）+P （B |A 2）P （A 2）＝P （A 1B ）+P （A 2B ）．设P n （n ∈N *）表示事件“第n 天王先生上班选择的是骑自行车出行方式”的概率． （i ）用p n ﹣1表示p n （n ≥2）；（ii ）王先生的这种选择随机选择出行方式有没有积极响应该市政府的号召，请说明理由． （二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知圆C 的极坐标方程为ρ（ρ﹣2cos θ）＝3，直线l 的参数方程为{x =a +tcos π6y =tsinπ6（t 为参数，a ∈R ），假设极点与直角坐标原点重合，极轴与直角坐标的非负半轴重合． （1）求圆C 的直角坐标的标准方程，并指出圆心和半径； （2）若直线l 与圆C 相交于A 、B 两点且|AB |=2√3，求a 的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|2x +2|﹣5． （1）解不等式：f （x ）≥|x ﹣1|；（2）当m ≥﹣1时，函数g （x ）＝f （x ）+|x ﹣m |的图象与x 轴围成一个三角形，求实数m 的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，集合N＝{x|2x−2＞12），则M∩N＝（）A．{x|x＞2}B．{x|x＞1}C．（x|x＞2或x＜﹣1）D．{x|x＞1或x＜﹣1}【分析】可以求出集合M，N，然后进行交集的运算即可．解：M＝{x|x＜﹣1或x＞2}，N＝{x|x﹣2＞﹣1}＝{x|x＞1}，∴M∩N＝{x|x＞2}．故选：A．2．设i为虚数单位，复数z=41−i，则|z﹣i|＝（）A．√2B．√3C．2D．√5【分析】先由复数的除法法则求出z，再求复数z﹣i的模．解：因为复数z=41−i=4(1+i)(1−i)(1+i)=2+2i，所以|z﹣i|＝|2+i|=√5，故选：D．3．2019年12月12日我国出现了新型冠状病毒所感染的肺炎，新型冠状病毒的传染性极强．如图是2020年1月26号到2月17号全国/湖北/非湖北新增新型冠状病毒感染确诊病例对比图，根据图象下列判断错误的是（）A．该时段非湖北新增感染确诊病例比湖北少B ．全国新增感染确诊病例平均数先增后减C ．2.12全国新增感染确诊病例明显增加，主要是由湖北引起的D ．2.12全国新增感染确诊病例数突然猛增，不会影响该段时期全国新增病例数的中位数【分析】根据图象分析即可 解：由图可知A 、C 正确；由图可知2.12之前平均数先增后减，但2.12新增病例数突然猛增，使得平均数也突然增大，但不会影响中位数，故B 错误；D 正确 故选：B ．4．已知f （x ）是R 上的奇函数，满足f （x +2）＝﹣f （x ），且当x ∈[﹣2，0）时，f(x)={x 21+x 2，−1≤x ＜012x +1，−2≤x ＜−1，则f[f(92)]=（ ）A ．126B ．15C ．34D ．74【分析】由已知可得函数的周期T ＝4，然后结合奇函数定义及已知函数解析式即可求解． 解：因为f （x +2）＝﹣f （x ）， 所以f （x +4）＝f （x ）， 因为f （x ）为奇函数，故f （92）＝f （4+12）＝f （12）＝﹣f （−12）=−(−12)21+(−12)2=−15， 则f[f(92)]=f （−15）=126． 故选：A ．5．若（1+ax ）5（1+2x ）的展开式所有系数之和为﹣3，则此展开式中不含下列哪一项（ ）A ．x 项B ．x 2项C ．x 3项D ．x 6项【分析】取x ＝1，结合展开式的所有项系数之和为﹣3求得a 值，再根据通项公式可得展开式中含x k 项的系数为C 5k （﹣2）k +2C 5k ﹣1（﹣2）k ﹣1；分析可得答案．解：根据题意，因为（1+ax 2）5（1+2x ）的展开式所有系数之和为﹣3， 在（1+ax 2）5（1+2x ）中，令x ＝1得3（1+a ）5＝﹣3，解可得a ＝﹣2； 则（1+ax 2）5（1+2x ）＝（1﹣2x 2）5（1+2x ），因为（1﹣2x 2）5展开式的通项公式为：T k +1＝C 5k （﹣2）k •x k ；（0≤k ≤5，k ∈Z ）；则展开式中含x k 项的系数为C 5k （﹣2）k +2C 5k ﹣1（﹣2）k ﹣1； 其中x 3的系数为C 51（﹣2）1+2C 50（﹣2）0＝0， 即此展开式中不含x 3项； 故选：C ．6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝4，S n =(n+1)a n 2（n ∈N *），则数列{a n }的通项公式为（ ） A ．a n ＝2n （n ∈N *） B ．a n ＝2n （n ∈N *） C ．a n ＝n +2（n ∈N *）D ．a n ＝n 2（n ∈N *）【分析】先根据递推关系求出首项，利用排除法即可得到结论． 解：因为数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝4，S n =(n+1)a n2（n ∈N *）， ∴当n ＝2时，S 2=(2+1)a 22=a 1+a 2⇒a 1＝1； 把n ＝1代入检验，只有答案AD 成立，排除BC ； 当n ＝3时，S 3=(2+1)a 32=a 1+a 2+a 3⇒a 3＝6；排除D ； 故选：A ．7．已知向量a →=（m ，2），b →=（√3，1），若向量a →在向量b →方向上的投影为﹣2，则向量a →与向量b →的夹角是（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【分析】由已知结合向量数量积的定义可求m ，然后根据向量夹角公式即可求解． 解：由向量数量积的定理可知，|a →|cos ＜a →，b →＞=a →⋅b →|b →|=2+√3m2=−2， 故m ＝﹣2√3， 所以cos ＜a →，b →＞=a →⋅b→|a →||b →|=−6+24×2=−12， 而0°≤＜a →，b →＞≤180°， 故夹角为120°． 故选：C ．8．由实数组成的等比数列{a n }的前n 项和为S n ．则“a 1＞0”是“S 11＞S 10”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】直接利用四个条件和等比数列的性质的应用求出结果．解：等比数列{a n}的前n项和为S n．当a1＞0时，则：S11﹣S10＝a11=a1⋅q10＞0．当S11−S10=a1⋅q10＞0，所以a1＞0．故“a1＞0”是“S11＞S10”的充要条件．故选：C．9．骰子，古代中国民间娱乐用来投掷的博具，早在战国时期就有．最常见的骰子是正六面体，也有正十四面体、球形十八面体等形制的骰子，如图是满城汉墓出土的铜茕，它是一个球形十八面体骰子，有十六面刻着一至十六数字，另两面刻“骄”和“酒来”，其中“骄”表示最大数十七，“酒来”表示最小数零，每投一次，出现任何一个数字都是等可能的．现投掷铜茕三次观察向上的点数，则这三个数能构成公比不为1的等比数列的概率为（）A．181B．2729C．1324D．1972【分析】由乘法原理知掷铜茕三次共有183种，再由列举法找出可构成等比数列的三个数，进而求出等比数列的个数，相比即可．解：投掷铜茕三次共有183个基本事件，其中三个数能构成公比不为1的等比数列的数有：1，2，4；1，3，9；1，4，16；2，4，8；4，6，9；3，6，12；4，8，16；9，12，16； 共有8A22=16种，所以这三个数能构成公比不为1的等比数列的概率P =16183=2729． 故选：B ． 10．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1、F 2，实轴的两个端点分别为A 1、A 2，虚轴的两个端点分别为B 1、B 2．以坐标原点O 为圆心，|B 1B 2|为直径的圆O （b ＞a ）与双曲线交于点M （位于第二象限），若过点M 作圆的切线恰过左焦点F 1，则双曲线的离心率是（ ） A ．√3B ．2C ．√62D ．√72【分析】设M 的坐标，由M 在圆O 和在椭圆上可得M 的坐标，再由因为F 1M 与圆O 相切，所以F 1M →⋅OM →=0，可得方程，进而求出椭圆的离心率．解：设M （x ，y ），由题意可得x 2+y 2＝b 2，又M 在双曲线上，M 在第二象限，所以x 2a −y 2b =1，两式联立求出x =−√2ab c ，y =b √b 2−a 2c，所以F 1M →=（c −√2ab c ，b√b 2−a 2c ），OM →=（−√2ab c，b√b 2−a 2c），因为F 1M 与圆O相切，所以F 1M →⋅OM →=0， 即（c −√2abc）•（−√2abc）+（b√b 2−a 2c）2＝0，即−√2ab +2a 2b 2c 2+b 2(b 2−a 2)c 2=0，所以√2ab =2a 2b 2c 2+b 2(c 2−2a 2)c 2=b 2c 2c 2=b 2，所以b =√2a ，b 2＝2a 2，即c 2﹣a 2＝2a 2， 即c 2＝3a 2解得：e =√3 故选：A ．11．已知函数f （x ）＝sin x cos x +cos 2x ，x ∈R ，则下列命题中： ①f （x ）的最小正周期是π，最大值是√2+12；②f （x ）的单调增区问是[−3π8+kπ，π8+kπ]（k ∈Z ）； ③f(x)+f(π2−x)=1+sin2x ；④将f （x ）的图象向右平移π4个单位可得函数y ＝sin 2x +sin x cos x 的图象，其中正确个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】直接利用三角函数的关系式的变换，和正弦型函数的性质的应用求出函数的周期，单调区间函数的关系式的变换．解：函数f （x ）＝sin x cos x +cos 2x =12sin2x +1+cos2x 2=√22sin(2x +π4)+12，（1）所以函数的最小正周期为2π2=π，故①正确．（2）令−π2+2kπ≤2x +π4≤2kπ+π2，解得x ∈[−3π8+kπ，π8+kπ]（k ∈Z ）故②正确． （3）f(x)+f(π2−x)=sinxcosx +cos 2x +sin(π2−x)cos(π2−x)+cos 2(π2−x)=2sin x cos x +sin 2x +cos 2x ＝sin2x +1，故③正确．（4）函数f （x ）=√22sin(2x +π4)+12的图象向右平移π4个单位得到g （x ）═√22sin[2(x −π4)+π4)+12=√22(√22sin2x −√22cos2x)+12=sin x cos x +sin 2x ，故④正确． 故选：D ．12．在三棱锥A ﹣BCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA =√7，BD =2√3，二面角A ﹣BD ﹣C 是钝角．若三棱锥A ﹣BCD 的体积为2．则三棱锥A ﹣BCD 的外接球的表面积是（ ） A ．12πB ．373π C ．13π D ．534π【分析】取BD 的中点K ，连结AK ，CK ，得到∠AKC 为二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角，V =13×12AK ×CK ×sin ∠AKC ×BD ＝2，进而求得∠AKC ＝120°，数形结合，得到外接球半径即可．解：取BD 的中点K ，连结AK ，CK ，由已知△ABD 和△BCD 是全等的等腰三角形，所以AK ⊥BD ，CK ⊥BD ，∴∠AKC 为二面角A ﹣BD ﹣C 的平面角，且BD ⊥平面AKC ，AK ＝CK ， 所以V =13×12AK ×CK ×sin ∠AKC ×BD ＝2， 又AK =√AD 2−KD 2=2，故sin ∠AKC =√32，因为∠AKC 为钝角， 所以∠AKC ＝120°，设△ABD ，△BCD 的外接圆的圆心分别为M ，N ， 则M ，N 分别在AK ，CK 上且MK ＝NK ，连结DM ，由（2﹣AM ）2+3＝DM 2，其中AM ＝DM ，解得AM =74，同理CN =74， 所以MK ＝NK =14，过M ，N 分别作平面ABD ，平面BCD 的垂线，两垂线的交点O 为四面体ABCD 的外接球的球心，连结OK ，则OK 平分∠AKC ，∴∠OKN ＝60°，从而ON =√34，OK =12，在Rt △ONC 中，ON =√34，CN ＝AM =74，外接球的半径为OC =√ON 2+CN 2=√316+4916=√132，所以四面体ABCD 外接球的表面积S ＝4πr 2＝4π×134=13π， 故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共21分13．若点（x ，y ）在不等式组{3x −2y +6≥0x −4y +2≤0x +y −3≤0，所表示的区域内，则目标函数z ＝x ﹣y 的最大值与最小值之和为 ﹣2 ．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z ＝x ﹣y 得y ＝x ﹣z ，利用数形结合即可的得到结论．解：不等式组{3x −2y +6≥0x −4y +2≤0x +y −3≤0，所表示的区域如图：由题意可知A （0，3），B （﹣2，0），C （2，1），当x ﹣y ＝z 的平行线经过点A 时，截距最大，z 有最小值，最小值为：﹣3，经过C 时，截距最小，此时z 最大：1，所以目标函数z ＝x ﹣y 的最大值与最小值之和为：﹣2． 故答案为：﹣2．14．2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蚂虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为5%，最初有N 0只．则经过 199 天能达到最初的16000倍（参考数据：ln 1.05≈0.0488，ln 1.5≈0.4055，ln 1600≈7.3778，ln 16000≈9.6803）．【分析】设过x 天能达到最初的16000倍，由指数函数的定义可得N 0（1+0.05）x＝16000N 0，化简整理，两边取自然对数，计算可得所求值．解：设过x 天能达到最初的16000倍，由已知N 0（1+0.05）x ＝16000N 0， 即1.05x ＝16000， 所以x =ln16000ln1.05≈198.4， 又x ∈N ，所以过199天能达到最初的16000倍， 故答案为：199．15．设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过焦点F 作直线MN ⊥x 轴，交抛物线于M ，N 两点，再过F 点作直线AB 使得AB ∥OM 其中O 是坐标原点），交抛物线于A 、B 两点，则三角形ABN 的面积是 √54．【分析】画出图形，求得直线AB 的斜率，可得直线AB 的方程，代入抛物线的方程，根据抛物线的焦点弦公式，以及点到直线的距离，通过三角形的面积公式即可求得△ABN 的面积．解：由题意作出抛物线的图象如图：可得p ＝1，F （12，0），M （12，1），N （12，﹣1），所以K AB ＝k OM ＝2，则直线AB 的方程为：y ＝2（x −12），由{y =2x −1y 2=2x ，k 可得4x 2﹣6x +1＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=32，因为弦AB 是焦点弦，所以|AB |＝x 1+x 2+p =52，又点N 到直线AB 的距离为d =|2×12−1−1|√2+(−1)=√55，三角形ABN 的面积为S =12×|AB|×d =12×52×√55=√54．故答案为：√54．16．函数f （x ）＝e x ﹣e 1﹣x ﹣b |2x ﹣1|在（0，1）内有两个零点，则实数b 的取值范围是 （1﹣e ，−√e ）∪（ √e ，e ﹣1）【分析】利用换元法设t ＝x −12，则函数等价为y ＝e t+12−e12−t−2b |t |，条件转化为et+12−e12−t=2b |t |，研究函数的单调性结合绝对值的应用，利用数形结合进行求解即可．解：f （x ）＝e x ﹣e 1﹣x ﹣2b |x −12|，设t ＝x −12，则x ＝t +12， ∵0＜x ＜1，∴−12＜t ＜12，则函数f （x ）等价为y ＝e t+12−e12−t−2b |t |，即等价为y ＝e t+12−e12−t−2b |t |在−12＜t ＜12上有两个零点，即et+12−e12−t=2b |t |有两个根， 设h （t ）＝et+12−e12−t ；则h（﹣t）＝e12−t−e12+t=−（e t+12−e12−t）＝﹣h（t），即函数h（t）是奇函数，则h′（t）＝e t+12+e12−t＞0，即函数h（t）在−12＜t＜12上是增函数，h（0）＝0，h（12）＝e﹣1，h（−12）＝1﹣e，当0≤t≤1 2，若b＝0，则函数f（x）只有一个零点，不满足条件．若b＞0，则g（t）＝2bx，设过原点的直线g（t）与h（t）相切，切点为（a，e a+12−e12−a），h′（t）＝e t+12+e12−t，即h′（a）＝e a+12+e12−a；则切线方程为y﹣（e a+12−e12−a）＝（e a+12+e12−a）（x﹣a），切线过原点，则﹣（e a+12−e12−a）＝﹣a（e a+12+e12−a），即﹣e a+12+e12−a=−ae a+12−ae12−a；则（a+1）e12−a=（﹣a+1）e a+12，得a＝0，即切点为（0，0），此时切线斜率k＝h′（0）＝e12+e12=2e12；若2e12=2b，则b＝e12=√e，此时切线y＝2 √e x与h（t）相切，只有一个交点，不满足条件．当直线过点（12，e﹣1）时，e﹣1＝2b×12=b，此时直线g（t）＝2（e﹣1）x，要使g（t）与h（t）有两个交点，则√e＜b＜e﹣1，当b＜0时，t＜0时，g（t）＝﹣2bx，由﹣2b＝2e12得b=−√e，当直线过点（−12，1﹣e）时，1﹣e＝﹣2b（−12）＝b，要使g（t）与h（t）有两个交点，则1﹣e＜b＜−√e，综上1﹣e＜b＜−√e或√e＜b＜e﹣1，即实数b的取值范围是（1﹣e，−√e）∪（√e，e﹣1），故答案为：（1﹣e，−√e）∪（√e，e﹣1）．三、解答题：共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．且bc=57，cos A =45，△ABC的面积S ＝21． （1）求边b 和c ； （2）求角B ．【分析】（1）先根据同角三角函数基本关系式得sin A =35；结合面积即可求得结论； （2）先根据余弦定理求得a ；再结合正弦定理求得结论． 解：（1）由cos A =45，及0＜A ＜π⇒sin A =35； 由bc=57，可设b ＝5k ，c ＝7k ，k ＞0，因为△ABC 的面积S ＝21=12bc sin A ⇒k =√2； ∴b ＝5√2，c ＝7√2；（2）根据余弦定理得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝50+98﹣2×5√2×7√2×45=36⇒a ＝6； ∴由正弦定理得sin B =bsinA a =5√26×35=√22；∵b ＜c ； ∴B ＝45°．18．如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，∠BAD ＝60°，AC 平分∠BAD ，AB ⊥BC ，AC ⊥CD ． （1）设E 是PD 的中点，求证：CE ∥平面PAB ；（2）设PA ⊥平面ABCD ，若PD 与平面ABCD 所成的角为45°，求二面角A ﹣PC ﹣B 的余弦值．【分析】（1）利用向量运算可知CE →=−12AB →+12AP →，即CE →能被平面PAB 内两个不共线的向量表示，而CE 不在平面PAB 内，即得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面APC 及平面PBC 的法向量，利用向量的夹角公式即可得解．解：（1）证明：CE →=CA →+AE →=CF →+FA →+12(AP →+AD →)=−12AB →+12AP →，即CE →能被平面PAB 内两个不共线的向量表示，且CE ⊄平面PAB ， ∴CE ∥平面PAB ；（2）∵PA ⊥平面ABCD ，且PD ∩平面ABCD ＝D ，故∠PDA 为PD 与平面ABCD 所成角，则∠PDA ＝45°，从而PA ＝AD ，不妨设AC =2√3，由已知可得BC =√3，AB =3，CD =2，AD =4，D 到AB 的距离为2√3，以A 为坐标原点，AB ，AP 分别为y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(0，3，0)，C(√3，3，0)，D(2√3，2，0)，P(0，0，4)， ∵PA ⊥平面ABCD ， ∴PA ⊥CD ，又CD ⊥AC ，且PA ∩AC ＝A ，且都在平面PAC 内， ∴CD ⊥平面PAC ，∴CD →=(√3，−1，0)是平面PAC 的一个法向量，设平面PCB 的一个法向量为n →=(x ，y ，z)，PB →=(0，3，−4)，BC →=(√3，0，0)，则{n →⋅PB →=3y −4z =0n →⋅BC →=√3x =0，则可取n →=(0，4，3)， 设所求的角为θ，由图象可知θ为锐角，则cosθ=|CD →⋅n→|CD →||n →||=42×5=25，∴所求二面角的余弦值为25．19．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴的两个端点分别为A 1、A 2．短轴的两个端点分别为B 1，B 2．菱形A 1B 1A 2B 2的面积为2√3，离心率e =√63．（1）求椭圆的标准方程；（2）设M （﹣1，0），N （0，−12），经过点M 作斜率不为0的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，若NA →•AB →+NB →•AB →=0，求直线l 的方程．【分析】（1）由离心率和菱形的面积及a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）由题意设直线l 方程，与椭圆联立求出两根之和，进而求出弦AB 的中点K 的坐标，由NA →•AB →+NB →•AB →=0，所以AB →（NA →+NB →）＝0，即可得NK 是AB 的中垂线， 可得k NK +k AB ＝0，可得参数的值，进而求出直线l 的方程． 解：（1）由题意可得{ e =c a =√63122a ⋅2b =2√3c 2=a 2−b 2解得：a 2＝3，b 2＝1，所以椭圆的方程为：x 23+y 2＝1；（2）由题意设直线l 的方程为：x ＝my ﹣1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设AN 的中点为K ，联立直线l 与椭圆的方程可得：{x =my −1x 23+y 2=1，整理可得：（3+m 2）y 2﹣2my ﹣2＝0，y 1+y 2=2m 3+m 2，y 1y 2=−23+m 2，x 1+x 2＝m （y 1+y 2）﹣2=2m 23+m 2−6+2m 23+m 2=−63+m 2， 所以AB 的中点K （−33+m，m 3+m ）因为NA →•AB →+NB →•AB →=0，所以AB →（NA →+NB →）＝0， 所以可得NK 是AB 的中垂线， k NK =m3+m 2+12−33+m 2=2m+3+m 2−6， 所以2m+3+m 2−6=−m ，整理可得：m 2﹣4m +3＝0，解得：m ＝1，m ＝3，所以直线l 的方程为：x ＝y ﹣1或x ＝3y ﹣1，即：x ﹣y +1＝0或x ﹣3y +1＝0． 20．已知函数f(x)=(x −1)e x −13x 3+ax 2（a ∈一、选择题）（1）当a ＝﹣1时，证明函数f （x ）在区间（﹣2.2）上有三个极值点；（2）若f（x）≥﹣1对于x∈R恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）代入a的值，求出函数的导数，结合函数的单调性怎么即可；（2）求出函数的导数，令h（x）＝f′（x）＝x（e x﹣x+2a），结合函数的单调性求出h（x）的最小值，通过讨论a的范围求出f（x）的最小值，从而确定a的范围即可．解：（1）证明：当a＝﹣1时，f（x）＝（x﹣1）e x−13x3﹣x2，则f′（x）＝xe x﹣x2﹣2x＝x（e x﹣x﹣2），令g（x）＝e x﹣x﹣2，g′（x）＝e x﹣1，易知当x＞0时，g′（x）＞0，当x＜0时，g′（x）＜0，故g（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，故g（x）min＝g（0）＝﹣1＜0，又g（﹣2）＝e﹣2＞0，g（2）＝e2﹣4＞0，故g（x）在（﹣2，0）以及（0，2）内各有1个零点，由此可知，f′（x）在区间（﹣2，2）有3个零点：x1∈（﹣2，0），x2∈（0，2），x3＝0，当x∈（﹣2，x1）时，f′（x）＜0，当x∈（x1，0）时，f′（x）＞0，当x∈（0，x2）时，f′（x）＜0，当x∈（x2，2）时，f′（x）＞0，从而知f（x）在（﹣2，2）上有3个极值点x1，x2，x3；（2）f′（x）＝x（e x﹣x+2a），（x∈R），令h（x）＝e x﹣x+2a，则h′（x）＝e x﹣1，由（1）的证明过程知h（x）min＝h（0）＝1+2a，当1+2a≥0即a≥−12时，有x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，故f（x）min＝f（0）＝﹣1，从而知x∈R时，恒有f（x）≥﹣1，当a＜−12时，h（x）min＝h（0）＝1+2a＜0，但h（2a）＝e2a＞0，由h（x）在（﹣∞，0）递减，故h（x）在（﹣∞，0）上有唯一零点x0，从而知f′（x）在（﹣∞，0）上有唯一零点x0，且当x∈（﹣∞，x0）时，f′（x）＜0，当x∈（x0，0）时，f′（x）＞0，故f（x）在（﹣∞，x0）递减，在（x0，0）递增，故f （x 0）＜f （0）＝﹣1， 综上，a 的范围是[−12，+∞）．21．时至21世纪．环境污染已经成为世界各国面临的一大难题，其中大气污染是目前城市急需应对的一项课题．某市号召市民尽量减少开车出行以绿色低碳的出行方式支持节能减排．原来天天开车上班的王先生积极响应政府号召，准备每天从骑自行车和开小车两种出行方式中随机选择一种方式出行．从即日起出行方式选择规则如下：第一天选择骑自行车方式上班，随后每天用“一次性抛掷6枚均匀硬币”的方法确定出行方式，若得到的正面朝上的枚数小于4，则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方式． （1）求王先生前三天骑自行车上班的天数X 的分布列；（2）由条件概率我们可以得到概率论中一个很重要公式﹣﹣全概率公式．其特殊情况如下：如果事件A 1A 2相互对立并且P （A i ）＞0（i ＝1，2），则对任一事件B 有P （B ）＝P （B |A 1）P （A 1）+P （B |A 2）P （A 2）＝P （A 1B ）+P （A 2B ）．设P n （n ∈N *）表示事件“第n 天王先生上班选择的是骑自行车出行方式”的概率． （i ）用p n ﹣1表示p n （n ≥2）；（ii ）王先生的这种选择随机选择出行方式有没有积极响应该市政府的号召，请说明理由． 【分析】（1）根据二项分布计算出行方式与前一天相同的概率，再计算X 的可能取值对应的概率，得出分布列；（2）（i ）根据全概率公式计算P n ，（ii ）根据（i ）判断{P n −12}是等比数列，计算P n 的通项，得出结论．解：（1）设一把投掷6枚均匀的硬币，得到正面向上的枚数为ξ，则ξ～B （6，12），故P （ξ＜4）＝（12）6+C 61（12）6+C 62（12）6+C 63（12）6=2132，P （ξ≥4）＝1−2132=1132，X 的可能取值为1，2，3， P （X ＝1）=1132•2132=2311024，P （X ＝3）=2132⋅2132=4411024， P （X ＝2）＝1−2311024−4411024=3521024， ∴X 的分布列为：X 123P231102435210244411024（2）（i ）P n ＝P n ﹣1•2132+（1﹣P n ﹣1）•1132=516P n ﹣1+1132（n ≥2）． （ii ）由（i ）可知：P n −12=516（P n ﹣1−12），又P 1−12=12， ∴{P n −12}是以12为首项，以516为公比的等比数列， ∴P n −12=12•（516）n ﹣1，即P n =12•（516）n ﹣1+12． ∵P n =12•（516）n ﹣1+12＞12， ∴王先生每天骑自行车的概率总大于开小汽车的概率，∴王先生的这种选择随机选择出行方式有积极响应该市政府的号召．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知圆C 的极坐标方程为ρ（ρ﹣2cos θ）＝3，直线l 的参数方程为{x =a +tcos π6y =tsin π6（t 为参数，a ∈R ），假设极点与直角坐标原点重合，极轴与直角坐标的非负半轴重合． （1）求圆C 的直角坐标的标准方程，并指出圆心和半径；（2）若直线l 与圆C 相交于A 、B 两点且|AB |=2√3，求a 的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）圆C 的极坐标方程为ρ（ρ﹣2cos θ）＝3，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为（x﹣1）2+y 2＝4，所以圆心坐标为（1，0），半径为2．（2）将直线{x =a +tcos π6y =tsin π6代入圆的方程得到(a −1+√32t)2+14t 2=4，整理得：t 2+√3(a −1)t +(a −1)2−4=0．所以△＝3（a ﹣1）2﹣4[（a ﹣1）2﹣4]＞0，解得﹣3＜a ＜5．由于t 1+t 2=−√3(a −1)，t 1t 2=(a −1)2−4，故|AB |＝|t 1﹣t 2|=√△=3(a −1)2−4[(a −1)2−4]=2√3，解得a ＝﹣1或3．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|2x +2|﹣5．（1）解不等式：f （x ）≥|x ﹣1|；（2）当m ≥﹣1时，函数g （x ）＝f （x ）+|x ﹣m |的图象与x 轴围成一个三角形，求实数m 的取值范围．【分析】（1）通过讨论x 的范围，得到关于x 的不等式组，解出即可；（2）通过讨论m 的范围，得到g （x ）的解析式，各个关于m 的不等式，求出m 的范围即可．解：（1）由题意知，原不等式等价于{x ≤−1−2x −2−5≥1−x 或{−1＜x ≤12x +2−5≥1−x 或{x ＞12x +2−5≥x −1截得x ≤﹣8或ϕ或x ≥2，综上所述，不等式f （x ）≥|x ﹣1|的解集为（﹣∞，﹣8]∪[2，+∞）．（2）当m ＝﹣1时，则g （x ）＝|2x +2|﹣5+|x +1|＝3|x +1|﹣5，此时g （x ）的图象与x 轴围成一个三角形，满足题意；当m ＞﹣1时，g(x)=|2x +2|−5+|x −m|={−3x +m −7，x ≤−1x +m −3，−1＜x ≤m 3x −m −3，x ＞m，则函数g （x ）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，要使函数g （x ）的图象与x 轴围成一个三角形，则{g(−1)=m −4＜0g(m)=2m −3≥0，解得32≤m ＜4； 综上所述，实数m 的取值范围为[32，4)∪{−1}．。
广东省深圳市高级中学2020届高三数学适应性考试(6月)试题 理
广东省深圳市高级中学2020届高三数学适应性考试（6月）试题 理本试卷共6页，23小题，满分150分， 考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．已知集合{|A x y ==，2{|log 1}B x x =≤，则A B =I（A ）{|31}x x -≤≤ （B ）{|01}x x <≤ （C ）{|32}x x -≤≤ （D ）{|2}x x ≤2．已知3i1iz -=-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为 （A ）i - （B ）1- （C ） 1 （D ）23．在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于(A)122n +- (B) 3n (C) 2n (D)31n -4．若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan21tan 2αα+=-(A) 12-(B)12(C) 2 (D) 2-5．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现， 其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形内的概率为(A)2π332(π3)--(B)32(π3)-(C) 32(π3)+(D)2π332(π3)-+6．已知51(1)(2)a x x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为(A) 80- (B) 40- (C) 40 (D) 807．现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列统计结论是不．正确的是. (A)样本中的女生数量多于男生数量(B)样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量 (C)样本中的男生偏爱理科 (D)样本中的女生偏爱文科8．抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，l AK ⊥，垂足为K ，则△AKF 的面积是(A) 4 (B) 33 (C) 34 (D) 89．在平行四边形ABCD 中，113,2,,,32AB AD AP AB AQ AD ====u u u r u u u r u u u r u u u v 若12,CP CQ ⋅=u u uv u u u v则ADC ∠= 5()6A π 3()4B π 2()3C π ()2D π10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点, A F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于, P Q 两点，线段AP 的中点为M ，若, , Q F M 三 点共线，则椭圆C 的离心率为 (A)13 (B) 23 (C) 83 (D) 32或8311． 设函数()y f x =的图像与2x ay +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =（A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）412． 设O 是正四面体P ABC -底面ABC 的中心，过O 的动平面与PC 交于,S 与,PA PB 的延长线分别交于,,Q R 则111||||||PQ PR PS ++ (A) 有最大值而无最小值 (B) 有最小值而无最大值 (C) 既有最大值又有最小值，且两者不相等 (D)是一个与平面QRS 无关的常数第II 卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分． 13．在数列{}n a 中，1111,,(*)2019(1)n n a a a n N n n +==+∈+，则2019a 的值为______． 14. 已知函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x =π对称，则cos2_____ϕ=．15．在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为的等边三角形，PAB∆是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_________．16．已知函数22, 0,()e , 0,x x x f x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩≤若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）工程队将从A 到D 修建一条隧道，测量员测得图中的一些数据（,,,A B C D 在同一水平面内），求,A D 之间的距离.18．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PD PB =,H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交PB ，PD 于点M ，N ，且BD ∥平面AMHN ． （1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，PA PC AB ==，PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求AD 与平面AMHN 所成角的正弦值．HPABCDM N19. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点M ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线0x y m ++=上存在点G ，且过点G 的椭圆C 的两条切线相互垂直，求实数m的取值范围．20. （本小题满分12分）某景区的各景点从2020年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2020年至2020年，该景点的旅游人数y （万人）与年份x 的数据：第x 年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10旅游人数y（万人）300 283 321 345 372 435 486 527 622 800y x 模型①：由最小二乘法公式求得y 与x 的线性回归方程$50.8169.7y x =+；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线bxy ae =的附近．（1）根据表中数据，求模型②的回归方程$bxy ae =．（a 精确到个位，b 精确到0．01）．（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．回归方程①50.8169.7y x =+②$bxy ae =µ1021()iii y y =-∑3040714607①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n v w v w v w L ，其回归直线µµµwv αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为µµµ121()(),()niii nii w w v v w v v v βαβ==--==--∑∑．②刻画回归效果的相关指数µ2 2121()1()ni iiniiy yRy y==-=--∑∑．③参考数据： 5.46235e≈， 1.43 4.2e ≈．表中1ln ,10i i i i u y u u===∑．21．（本小题满分12分）已知函数()ln 2f x x x =--．（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）函数()f x 在区间(,1)()k k k +∈N 上有零点，求k 的值； （3）若不等式()(1)()x m x f x x-->对任意正实数x 恒成立，求正整数m 的取值集合．请考生从第（22）、（23）两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分）平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为224x y +=，直线l 的参数方程为2,,x t y t =--⎧⎪⎨=⎪⎩ （t 为参数），若将曲线1C 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的32倍，得曲线2C ． （1）写出曲线2C 的参数方程;（2）设点(P -，直线l 与曲线2C 的两个交点分别为,A B ，求11PA PB+的值．23．[选修4-5：不等式选讲](10分）已知实数正数x , y 满足1x y +=． （1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤； （2）证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2020届高三年级适应性测试理科数学参考答案及说明 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BBCABD DACCCD13．___1_________； 14．____35____； 15．__48π___； 16. ___3ln22-_____ .17．（本小题满分12分）工程队将从A 到D 修建一条隧道，测量员测得图中的一些数据（,,,A B C D 在同一水平面内），求,A D 之间的距离.AC 解：连接,在4154AC 中，ABC 22=+=∆....................................................3分414sin ,415cos =∠=∠ACB ACB .…………………………….5分.)32cos(cos ACB ACD ∠-=∠π=412534414*23415*)21(-=+-…….9分312-65412534*3*412-341AD 中，ACD 在2=-+=∆…….12分18．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PD PB =,H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交PB ，PD 于点M ，N ，且BD ∥平面AMHN ． （1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，3PA PC AB ==，PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求AD 与平面AMHN 所成角的正弦值．HPABCDM N【解析】（1）证明：连结AC 、BD 且AC BD O =I ，连结PO ． 因为，ABCD 为菱形，所以，BD AC ⊥， 因为，PD PB =，所以，PO BD ⊥，因为，AC PO O =I 且AC 、PO ⊂平面PAC ， 所以，BD ⊥平面PAC ，因为，AC ⊂平面PAC ，所以，BD PC ⊥， 因为，//BD 平面AMHN ， 且平面AMHN I 平面PBD MN =， 所以，//BD MN ，MN ⊥平面PAC ，所以，MN PC ⊥． ……………………………….5分 （2）由（I ）知BD AC ⊥且PO BD ⊥， 因为PA PC =，且O 为AC 的中点，所以，PO AC ⊥，所以，PO ⊥平面ABCD ,所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠，所以60PAO ∠=︒， 所以，12AO PA =，3PO PA =，因为，3PA AB =，所以，3BO PA =. 以OA u u u r ，OD u u ur ，OP uuu r 分别为x ，y ，z 轴，如图所示建立空间直角坐标系……….…..7分记2PA =，所以，(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，3(0,,0)B -，(1,0,0)C -，3(0,,0)D ，(0,0,3)P ，13(,0,)22H -，所以， 23(0,,0)3BD =u u u r ，33(,0,)22AH =-u u u r ，3(1,,0)3AD =-u u u r .……………..8分记平面AMHN 的法向量为(,,)n x y z =r ，所以，00n BD n AH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 即23033302y x z ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令2x =，解得0y =，23z =，所以，(2,0,23)n =r，.…………………….…..10分记AD与平面AMHN所成角为θ，所以，sin|cos,|||||||n ADn ADn ADθ⋅=<>==r u u u rr u u u rr u u u r.………………………………………………………………………………………….…..11分所以，AD与平面AMHN所成角的正弦值为4.………………………………..…..12分19. （本小题满分12分）如图：在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>过点M．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线0x y m++=上存在点G，且过点G的椭圆C的两条切线相互垂直，求实数m 的取值范围．解：（1）由题意，222,caa b c⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得223a b=，又221213a b+=，解得223,1,ab⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C的标准方程为2213xy+=．------------------------------------------4分（2）①当过点G的椭圆C的一条切线的斜率不存在时，另一条切线必垂直于y轴，易得(1)G±；--------------------------------------------------------------6分②当过点G的椭圆C的切线的斜率均存在时，设000(,),G x y x≠切线方程为00()y k x x y=-+，代入椭圆方程得2220000(31)6()3()30k x k kx y x kx y+--+--=，2220000[6()]4(31)[3()3]0k kx y k kx y∆=--+--=，化简得：2200()(31)0kx y k--+=，由此得2220000(3)210x k x y k y--+-=，--------------------------------------8分设过点G的椭圆C的切线的斜率分别为12,k k，所以212213yk kx-=-．因为两条切线相互垂直，所以22113yx-=--，即220004(x y x+=≠，---------9分由①②知G 在圆22004x y +=上，又点G 在直线0x y m ++=上， 所以直线0x y m ++=与圆224x y +=有公共点， 211m +≤，所以2222m -≤≤-------------------------11分综上所述，m 的取值范围为[22,22]-．---------------------------12分 20. （本小题满分12分）某景区的各景点从2020年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2020年至2020年，该景点的旅游人数y （万人）与年份x 的数据：第x 年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10旅游人数y（万人）300 283 321 345 372 435 486 527 622 800模型①：由最小二乘法公式求得y 与x 的线性回归方程$50.8169.7y x =+；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线bxy ae =的附近．（1）根据表中数据，求模型②的回归方程$bxy ae =．（a 精确到个位，b 精确到0．01）．（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．回归方程①50.8169.7y x =+②$bxy ae =µ1021()iii y y =-∑3040714607解：（1）对bxy ae =取对数，得ln ln y bx a =+，……1分 设ln u y =，ln c a =，先建立u 关于x 的线性回归方程。
2020年广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)(含答案解析)
2020年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合，集合，则A. B. C. D.2.下列函数中为奇函数的是A. B. C. D.3.已知复数，则z的共轨复数A. B. C. D.4.已知是圆周率，e为自然对数的底数，则下列结论正确的是A. B.C. D.5.将直线l：绕点按逆时针方向旋转得到直线，则直线的方程为A. B.C. D.6.已知数列为等比数列，若，，则A. B. 8 C. D. 167.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.B.C.D.8.已知过原点O的直线l与曲线C：相切，则l的斜率为A. B. C. D. e9.珠算被誉为中国的第五大发明，最早见于汉朝徐岳撰写的数术记遗年联合国教科文组织正式将中国珠算项目列入教科文组织人类非物质文化遗产．如图，我国传统算盘每一档为两粒上珠，五粒下珠，也称为“七珠算盘”未记数或表示零时，每档的各珠位置均与图中最左档一样；记数时，要拨珠靠梁，一个上珠表示“5”，一个下珠表示“1”，例如：当千位档一个上珠、百位档一个上珠、十位档一个下珠、个位档一个上珠分别靠梁时，所表示的数是现选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，若规定每档拨动一珠靠梁其它各珠不动，则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，这个数能被3整除的概率为A. B. C. D.10.已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于P，Q两点，M为线段PF的中点，连接OM，则的最小面积为A. 1B.C. 2D. 411.已知定义在R上的函数在上有且仅有3个零点，其图象关于点和直线对称，给出下列结论：；函数在上有且仅有3个极值点；函数在上单调递增；函数的最小正周期是2．其中所有正确结论的编号是A. B. C. D.12.将边长为5的菱形ABCD沿对角线AC折起，顶点B移动至B处，在以点，A，C，为顶点的四面体中，棱AC、的中点分别为E、F，若，且四面体的外接球球心落在四面体内部，则线段EF长度的取值范围为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.记为等差数列的前n项和，若，则数列的公差为______．14.某地为了解居民的每日总用电量万度与气温之间的关系，收集了四天的每日总用电量和气温的数据如表：气温19139每日总用电量万度24343864经分析，可用线性回归方程拟合y与X的关系．据此预测气温为时，该地当日总用电量万度为______．15.已知等边三角形ABC的边长为3，点D，E分别在边AB，BC上，且，，则的值为______．16.已知点、分别为双曲线C：的左、右焦点，点为C的渐近线与圆的一个交点，O为坐标原点，若直线与C的右支交于点N，且，则双曲线C的离心率为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.函数．求函数的最小正周期；已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，求的面积．18.已知三棱柱的所有棱长都相等，平面平面ABC，C.求证：平面；求二面角的余弦值．19.已知椭圆C：的短轴长为2，离心率为，左顶点为A，过点A的直线l与C交于另一个点M，且与直线交于点N．求椭圆C的方程；是否存在实数t，使得为定值？若存在，求实数t的值；若不存在，请说明理由．20.某市为提升中学生的数学素养，激发学生学习数学的兴趣，举办了一次“数学文化知识大赛”，分预赛和复赛两个环节．已知共有8000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图．规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求恰有1人预赛成绩优良的概率；由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值同一组数据用该组区间的中点值代替，且利用该正态分布，估计全市参加预赛的全体学生中预赛成绩不低于91分的人数；预赛成绩不低于91分的学生将参加复赛，复赛规则如下：每人的复赛初始分均为100分；参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量n，每一题都需要“花”掉即减去一定分数来获取答题资格，规定答第k题时“花”掉的分数为；每答对一题加分，答错既不加分也不减分；答完n题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩．已知学生甲答对每道题的概率均为，且每题答对与否都相互独立．若学生甲期望获得最佳的复赛成绩，则他的答题数量n应为多少？参考数据：；若，则，，．21.已知函数．当时，求的导函数在上的零点个数；若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围．22.如图，有一种赛车跑道类似“梨形”曲线，由圆弧和线段AB，CD四部分组成，在极坐标系Ox中，，，，，弧所在圆的圆心分别是，，曲线是弧，曲线是弧．分别写出，的极坐标方程：点E，F位于曲线上，且，求面积的取值范围．23.已知．若，求实数t的取值范围；求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合，集合，故选：C．求出集合A，集合B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A，，其定义域为R，有，且，即函数既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意；对于B，，其定义域为R，有，为偶函数，不符合题意；对于C，，其定义域为R，有，为偶函数，不符合题意；对于D，，有，解可得，即其定义域为，有，为奇函数，符合题意；故选：D．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性的判断，关键是函数奇偶性的定义，属于基础题．3.答案：C解析：解：，复数，的共轨复数．故选：C．直接利用复数运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．本题考查了复数的高次乘方运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．4.答案：A解析：解：函数对数和在上单调递增，且，，又，，故选：A．利用对数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的合理运用．5.答案：D解析：解：直线l：绕点按逆时针方向旋转得到直线，设直线的斜率为k，则根据到角公式的应用，，解得，所以直线的方程为，整理得．故选：D．直接利用到角公式的应用和点斜式的应用求出结果．本题考查的知识要点：到角公式的应用，直线方程的确定，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．6.答案：A解析：解：数列为等比数列，若，所以：，由于，所以，整理得．故选：A．直接利用关系式的变换和等比性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：等比数列的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7.答案：D解析：解：根据几何体的三视图可得直观图为：该几何体为上面为一个半径为2的半球，下面为底面半径为2，高为3的半圆柱体．如图所示：故．故选：D．首先把三视图转换为直观图，进一步求出直观图的体积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．8.答案：B解析：解：由题意设切点为，，．，由切线过原点得，所以，所以．故选：B．设切点为，然后利用导数求出切线方程，将代入即可求出切点坐标，问题可解．本题考查导数的几何意义与切线的求法，属于基础题．9.答案：C解析：解：选定“个位档”、“十位档”、“百位档”和“千位档”，规定每档拨动一珠靠梁其它各珠不动，则在其可能表示的所有四位数中随机取一个数，基本事件总数，这个数能被3整除包含的基本事件有：5511，5115，5151，1155，1515，1551，共6个，这个数能被3整除的概率为．故选：C．基本事件总数，利用列举法求出这个数能被3整除包含的基本事件有6个，由此能求出这个数能被3整除的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：B解析：解：设，，设P在x轴上方，由题意可得直线PQ的斜率不为0，设直线PQ的方程为，联立直线与抛物线的方程，整理可得，，，因为M为PF的中点，所以，所以，所以，故选：B．由题意可得直线PQ的斜率不为0，设直线PQ的方程，与抛物线联立球心两根之和及两根之积，可得PF的中点M的纵坐标，由，整理可得由，而为定值可得的面积的最小值本题考查直线与抛物线的综合及均值不等式的应用，属于中档题．11.答案：A解析：解：曲线关于点对称，所以：；又因为其图象关于直线对称，所以：，；由可得：即，；因为数在上有且仅有3个零点，所以，即，；由可得；，，又，；；所以易知；错误；令，则，；令，则可取，1，2；，，；正确；令；；当时，为的一个递增区间，而，在上单调递增，正确；；；错误．综上所述，其中正确的结论为；故选：A．先根据条件求得函数的解析式，再结合三角函数的性质判断选项即可．本题主要考查命题的真假判断以及三角函数的图象和性质，属于中档题目，也是易错题目．12.答案：B解析：解：如图，由已知可得，，且，平面，是AC的中点，到点A、C的距离相等的点位于平面ACF内，同理可知，到点、D的距离相等的点位于平面ACF内，球心O到点A，，C，D的距离相等，球心O位于平面与平面ACF的交线上，即直线EF上．球心O落在线段EF上不含端点E、，显然，由题意，，则，且．，，则，显然，，即．又，．故选：B．由题意画出图形，可证平面，得到球心O位于平面与平面ACF的交线上，即直线EF上，由勾股定理结合，，可得线段EF长度的取值范围．本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，属中档题．13.答案：解析：解：设等差数列的公差为d．，，则数列的公差．故答案为：．利用等差数列的通项公式及求和公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式及求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.答案：32解析：解：由题意可知：，，所以，解得．线性回归方程，预测气温为时，可得．故答案为：32．求出样本中心，代入回归直线方程，求出a，然后求解该地当日总用电量．本题考查回归直线方程的求法，是基本知识的考查，基础题．15.答案：3解析：解：以B为原点，BC和垂直BC的线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，．故答案为：3．以B为原点，BC和垂直BC的线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，再分别写出C、D、E三点坐标，结合平面向量数量积的坐标运算即可得解．本题考查平面向量在几何中的应用，在规则平面多边形中建立坐标系求解可事半功倍，考查学生的运算能力，属于基础题．16.答案：解析：解：如图，由题意可得，直线与圆O相切于点M，且，由双曲线的定义可知，，，且，，即，，又，联立解得，即．故答案为：．由题意画出图形，可得直线与圆O相切于点M，且，再由双曲线的定义及隐含条件列式求解双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．17.答案：解：，函数的最小正周期；，，，，即，由正弦定理以及可得，由余弦定理可得，可得，，．解析：根据三角函数恒等变换的应用和正弦函数的性质即可求出；先求出A的值，再根据正弦定理余弦定理即可求出b的值，根据三角形的面积公式可得．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：解：证明：设直线与直线交于点G，连结，四边形是菱形，，，G为的中点，，，平面．解：取BC中点O为坐标原点，如图，分别以OA，OC，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设棱柱的棱长为2，则1，，0，，0，，，0，，1，，2，，设平面的一个法向量y，，则，取，得，设平面的一个法向量为b，，则，取，得0，，设二面角的平面角为，则．二面角的余弦值为．解析：设直线与直线交于点G，连结，推导出，，由此能证明平面．取BC中点O为坐标原点，分别以OA，OC，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．19.答案：解：由题意可得，即，，，解得，，则椭圆C的方程为；假设存在实数，使得为定值．由题意可得直线l的斜率存在，由，可设直线l的方程为，，联立，可得，由韦达定理可得，即，，即，将代入，可得，则，若为定值，则，解得，此时为定值，所以存在实数，使得为定值．解析：由题意可得，运用椭圆的离心率的公式和a，b，c的关系，解方程可得a，c，进而得到椭圆方程；假设存在实数，使得为定值．可设直线l的方程为，，联立椭圆的方程，运用韦达定理，求得M的坐标，将代入，求得N的坐标，再由向量的数量积的坐标表示，结合定值，可得所求值．本题以直线和椭圆为载体，其几何关系向量表达为背景，利用方程思想解决几何问题，主要考查椭圆的基本量，直线和椭圆的位置关系，向量的数量积的运算，考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养及思维能力，属于中档题．20.答案：解：由题意得样本中成绩不低于60分的学生共有：人，其中成绩优良的人数为人，记“从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，恰有1人预赛成绩优良”为事件C，则恰有1人预赛成绩优良的概率：．由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值为：，则，又由，，，估计全市参加参赛的全体学生中成绩不低于91分的人数为：，即全市参赛学生中预赛成绩不低于91分的人数为182．以随机变量表示甲答对的题数，则，且，记甲答完n题所加的分数为随机变量X，则，，依题意为了获取答n题的资格，甲需要“花”掉的分数为：，设甲答完n题的分数为，则，由于，当时，取最大值105，即复赛成绩的最大值为105．若学生甲期望获得最佳复赛成绩，则他的答题量n应该是10．解析：求出样本中成绩不低于60分的学生共有40人，其中成绩优良的人数为15人，由此能求出恰有1人预赛成绩优良的概率．样本中的100名学生预赛成绩的平均值为：，则，由，得，从而，由此能求出估计全市参加参赛的全体学生中成绩不低于91分的人数．以随机变量表示甲答对的题数，则，且，记甲答完n题所加的分数为随机变量X，则，，为了获取答n题的资格，甲需要“花”掉的分数为：，设甲答完n题的分数为，则，由此能求出学生甲期望获得最佳复赛成绩的答题量n的值．本题考查概率、频数、数学期望的求法及应用，考查频率分布直方图、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.答案：解：易知，显然，所以是的一个零点，令，则时，，所以在单调递减，在单调递增，则的最小值为，又，且，所以在上存在唯一零点，则在上亦存在唯一零点，因为是奇函数，所以在上也存在唯一零点，综上所述，当时，的导函数在上的零点个数为3；不等式恒成立，即不等式恒成立，令，则等价于不等式恒成立，若，即时，不等式显然成立，此时，若时，不等式等价于设，当时，，令则，已知，，且，则在，上单调递减，在上单调地增，又，，所以在上恒成立，所以在上单调递减，则，显然函数为偶函数，故函数在上的最大值为1，因此，综上所述，满足题意的实数a的取值范围为．解析：易知，显然，对导函数求导得到，在单调递减，在单调地增，则可得在上存在唯一零点，所以在上亦存在唯一零点，因为是奇函数，所以在上也存在唯一零点，故共3个零点；条件等价于不等式恒成立，令，则等价于不等式恒成立，则若，即时，不等式显然成立，此时，若时，不等式等价于，构造函数，利用导数求得单调性进而可判断a的范围．本题考查函数导数的综合应用，考查利用导数判断函数零点个数，导数求函数单调性，属于难题．22.答案：解：由题意可知：的极坐标方程为．记圆弧AD所在圆的圆心易得极点O在圆弧AD上．设为上任意一点，则在中，可得所以：，的极坐标方程为和设点，点，，所以，．所以．由于，所以．故．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用三角形的面积公式和极径的应用及三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．曲线是弧，本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角形面积公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．23.答案：解：，取等号的条件为，解得，即实数t的取值范围为；证明：易知，，，，．解析：利用绝对值不等式的性质可得，解出即可；利用绝对值不等式及基本不等式即可得证．本题以绝对值不等式，均值不等式和二次不等式为载体，考查不等式的求解及证明，分类讨论思想，及数学抽象，逻辑推理等数学核心素养，难度不大．。
2020届广东省深圳高中高考数学模拟试卷(6月份)(含解析)
2020届广东省深圳高中高考数学模拟试卷(6月份)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 集合A ={x|x 2−4x +3<0}，集合B ={y|y =2x2+1}，则A ∩B =( )A. (1,3)B. ⌀C. (2,3)D. [2,3)2. 设复数z 的共轭复数为z ，且满足z −z =1+i1−i ，i 为虚数单位，则复数z 的虚部是( )A. 12B. 2C. −12D. −23. 等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3=7，S 6=63，则a 6=( )A. 32B. 16C. 4D. 644. 已知tanθ=2，则2sin(θ+π)+3cos(π−θ)sin(π2+θ)−cos(3π2−θ)=( )A. 7B. −13C. −73D. 15. 如图，随机地在圆内取一点，则该点落到圆内接正三角形内(阴影区域不包括边界)的概率为( )A. π3B. 3√34πC. √34D. 以上全错6. 设i 为虚数单位，则(x −i)6的展开式中含x 4的项为( )A. −15x 4B. 15x 4C. −20ix 4D. 20ix 47. 某养老院在统计不同年龄面的老人对养老院服务的满意情况时，得到具体数据如表所示：年龄 满意程度 60～8080～100满意 12 12 不满意818则下列说法正确的是( )A. 在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为老人的年龄与对服务的满意程度有关B. 在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为老人的年龄与对服务的满意程度无关C. 在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为老人的年龄与对服务的满意程度有关D. 在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为老人的年龄与对服务的满意程度无关8. 设抛物线的顶点在原点，其焦点在x 轴上，又抛物线上的点A(−1,a)与焦点F 的距离为2，则a =( )A. 4B. 4或−4C. −2D. −2或29. 已知△ABC 中，AB =2，BC =3，∠ABC =60°，BD =2DC ，AE =EC ，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 1B. −2C. 12 D. −1210. 若方程x 2a −y 2b=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则下列关系成立的是 ( )A. √−b >√aB. √−b <√aC. √b >√−aD. √b <√−a11. 设x 、y 、z 为正数，且2x =3y =5z ，则( )A. 2x <3y <5zB. 5z <2x <3yC. 3y <5z <2xD. 3y <2x <5z12. 在△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cosC =19，且acosB +bcosA =2，则△ABC 面积的最大值为( )A. √5B. 8√59 C. 4√39 D. √52二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知数列{a n }满足a n +a n−1=(−1)n(n+1)2⋅(n +1)(n ≥2)，S n 是其前n 项和，若S 2017=−1007−b ，(其中a 1b >0)，则2a 1+3b 的最小值是______．14. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 2−c 2=2b 且tanA =3tanC ，则b = ______ ． 15. 一个透明的球形装饰品内放置了两个公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，圆锥圆锥底面面积是这个球面面积的316，设球的半径为R ，圆锥底面半径为r.则两个圆锥的体积之和与球的体积之比为______ ．16.已知函数f(x)的周期为4，且x∈(−1,3]时，f(x)={√1−x2,x∈(−1,1]1−|x−2|,x∈(1,3]，若方程mf(x)=x恰有5个实数解(其中m>0)，则m的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB与E.求证(Ⅰ)AB⋅AC=BC⋅AD(Ⅱ)AD3=BC⋅CF⋅BE．18.如图1中矩形ABCD中，已知AB=2，AD=2√2，MN分别为AD和BC的中点，对角线BD与MN交于O点，沿MN把矩形ABNM折起，使平面ABNM与平面MNCD所成角为60°，如图2(1)求证：BO⊥DO；(2)求AO与平面BOD所成角的正弦值．19. 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a +y 2b =1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B两点，|AF 1|=3|BF 1|，且|AB|=4，△ABF 2的周长为16 (1)求|AF 2|；(2)若直线AB 的斜率为1，求椭圆E 的方程．20. 某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：(1)画出散点图；(2)求y 关于x 的线性回归方程． 可能用到公式：{b =i i −x)(y i −y)∑(n x −x)2=∑x i n i=1y i −nxy∑x i 2n i=1−nx2a =y −bx．21. 水以20米 3/分的速度流入一圆锥形容器，设容器深30米，上底直径12米，试求当水深10米时，水面上升的速度．22. 已知曲线C 的极坐标方程是ρ=1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是{x =−1+4ty =3t (t 为参数)，求直线l 与曲线C 相交所截的弦长．23. 如图，有一段长为18米的屏风ABCD(其中AB =BC =CD =6米)，靠墙l 围成一个四边形，设∠DAB =α．(1)当α=60°，且BC ⊥CD 时，求AD 的长；(2)当BC//l ，且AD >BC 时，求所围成的等腰梯形ABCD 面积的最大值．【答案与解析】1.答案：D解析：解：由集合A ={x|x 2−4x +3<0}，集合B ={y|y =2x 2+1}，可得A ={x|1<x <3}，B ={y|y ≥2}， ∴A ∩B =[2,3)． 故选：D ．可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．本题考查了一元二次不等式的解法，指数函数的值域，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．设z =a +bi(a,b ∈R)，z =a −bi ，则z −z =2bi ，然后利用复数代数形式的乘除运算化简1+i1−i ，再由复数相等的充要条件即可得到b 的值，则答案可求． 解：设z =a +bi(a,b ∈R)，z =a −bi ，则z −z =2bi ．1+i1−i=(1+i)2(1−i)(1+i)=2i 2=i ，即2bi =i ，b =12．则复数z 的虚部是：12． 故选：A ．3.答案：A解析：解：设等比数列{a n }的公比为q ，由题设条件知q ≠1，∵S 3=7=a 1(1−q 3)1−q，S 6=63=a 1(1−q 6)1−q，可解得：a 1=1，q =2 ∴a 6=a 1q 5=32． 故选：A ．先由S 3=7，S 6=63求出首项与公比，再求a 6． 本题主要考查等比数列基本量的运算，属于基础题．解析：解：∵tanθ=2， ∴2sin(θ+π)+3cos(π−θ)sin(π2+θ)−cos(3π2−θ)=−2sinθ−3cosθcosθ+sinθ=−2tanθ−31+tanθ=(−2)×2−31+2=−73．故选：C ．由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简化简求值得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．5.答案：B解析：解：设落在阴影部分内接正三角形上的概率是P ，圆的半径为R ， ∵S 圆=πR 2，正三角形的面积S A =3×12×R 2×sin120°=3√34R 2∴P =S A S 圆=3√34．故选B ．先明确是几何概型中的面积类型，分别求三角形与圆的面积，然后求比值即可．本题主要考查几何概型中的面积类型，基本方法是：分别求得构成事件A 的区域面积和试验的全部结果所构成的区域面积，两者求比值，即为概率．6.答案：A解析：解：(x −i)6的展开式的通项为T r+1=C 6r⋅x 6−r ⋅(−i)r ，令6−r =4，求得r =2， 故展开式中含x 4的项为C 62⋅(−i)2⋅x 4=−15x 4，故选：A ．在二项式展开式的通项中，令x 的幂指数等于4，求得r 的值，可得展开式中含x 4的项． 本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项，属于基础题．7.答案：A解析：解：依题意，K 2的观测值k =50×(12×18−12×8)220×30×26×24≈1.923>1.323，故在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为老人的年龄与对服务的满意程度有关，计算K 的观测值K 2，对照参照值，得出统计结论．本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目．8.答案：D解析：解：∵抛物线以x 轴为对称轴，原点为顶点，∴设抛物线方程为y 2=−2px ，(p >0)，其准线方程为x =p2， ∵抛物线上的一点A(−1,a)到焦点的距离为2， ∴点A(−1,a)到准线的距离为2， ∴p2+1=2，解得p =2， ∴抛物线方程为y 2=−4x ． x =−1时，a =2或−2． 故选D ．由已知条件，设抛物线方程为y 2=−2px ，(p >0)，且抛物线上的一点A(−1,a)与焦点F 的距离为2，由此能求出抛物线的标准方程，即可求出a 的值．本题考查抛物线的标准方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线定义的灵活运用．9.答案：C解析：解：∵△ABC 中，AB =2，BC =3，∠ABC =60°，BD =2DC ，AE =EC ，得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−12|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =13×9−12×4−16×3×2×cos60°=12． 故选：C ．根据所给数量关系可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，代入进行化简即可． 本题考查平面向量基本定理，属于中档题．10.答案：A解析：解：方程x 2a−y 2b=1化为方程x 2a+y 2−b=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则a >0，−b >0，且−b >a ，∴√−b >√a >0， 故选A ． 把方程x 2a−y 2b=1化为方程x 2a+y 2−b=1，根据焦点在y 轴上的条件可判断答案．本题考查了椭圆的标准方程．11.答案：D解析：本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．x 、y 、z 为正数，令2x =3y =5z =k >1，lgk >0，可得x =lgk lg2，y =lgk lg3，z =lgk lg5，可得3y =lg √33，2x =lg 2，5z =lg √55，比较分母大小即可得出大小关系．另解：x 、y 、z 为正数，令2x =3y =5z =k >1，lgk >0.可得x =lgk lg2，y =lgk lg3，z =lgklg5，作商比较可得三个数之间的大小关系． 解：x 、y 、z 为正数，令2x =3y =5z =k >1，则lgk >0， 则x =lgk lg2，y =lgk lg3，z =lgklg5． ∴3y =lg √33，2x =lg √2，5z =lg √55． ∵√33=√96>√86=√2，√2=√3210>√2510=√55．∴lg √33>lg √2>lg √55>0． ∴3y <2x <5z ． 故选：D ．另解：x 、y 、z 为正数，令2x =3y =5z =k >1，lgk >0， 则x =lgklg2，y =lgklg3，z =lgklg5．∴2x3y =23×lg3lg2=lg9lg8>1，可得2x >3y ，5z 2x =52×lg2lg5=lg25lg52>1，可得5z>2x．综上可得：5z>2x>3y．故选：D．12.答案：D解析：本题考查三角函数关系式的恒等变换，余弦定理和三角形面积的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于一般题．首先利用同角三角函数的关系式求出sin C的值，进一步利用余弦定理和三角形的面积公式及基本不等式的应用求出结果．解析：解：△ABC中角A，B，C的对边分别为a、b、c，cosC=19，则．利用同角三角函数的关系式sin2C+cos2C=1，解得sinC=4√59．由于acosB+bcosA=2，利用余弦定理a⋅a2+c2−b22ac +b⋅b2+c2−a22bc=2，解得c=2．所以c2=a2+b2−2abcosC，整理得4=a2+b2−29ab，由于a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，取等号，故4≥169ab，所以ab≤94．则S△ABC=12absinC≤12×94×4√59=√52，所以△ABC面积的最大值为√52．故选D．13.答案：5+2√6解析：解：根据题意，由已知得：a3+a2=3，a5+a4=−5，…a2017+a2016=−2017，把以上各式相加得：S2017−a1=−1008，即：a1−1008=−1007−b，∴a1+b=1，则则2a1+3b=(2a1+3b)(a1+b)=5+2ba1+3a1b≥5+2√2ba1×3a1b=5+2√6，即2a1+3b的最小值是5+2√6，故答案为：5+2√6．由已知递推式得到：a3+a2=3，a5+a4=−5，…a2017+a2016=−2017，累加可求S2017−a1，结合S2017=−1007−b，求得a1+b=1，将其代入2a1+3b中，由基本不等式的性质分析可得答案．本题考查了数列递推式和累加法求数列的和，涉及基本不等式的性质以及应用，属于综合题．14.答案：4解析：解：∵tanA=3tanC，∴sinAcosA =3sinCcosC，即sinA3sinC=cosAcosC，∴a3c =b2+c2−a22bca2+b2−c22ab，整理得：b2=2(a2−c2)，∵a2−c2=2b，∴b2=4b，解得：b=4或b=0(舍去)，则b=4．故答案为：4．已知第二个等式利用同角三角函数间的基本关系化简，再利用正弦、余弦定理化简，整理得到关系式，把第一个等式代入求出b的值即可．此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．15.答案：38 解析：解：球的半径为：R ； 则球的表面积为：4πR 2，圆锥的底面积为：316×4πR 2=34πR 2，两个圆锥的体积和为：13×(34πR 2)×(BO 1+O 1A)=13×(34πR 2)×2R =12πR 3，球的体积为：43πR 3，故两个圆锥的体积之和与球的体积之比为：12πR 343πR 3=38． 故答案为：38．利用球的半径，求出球的面积，然后求出圆锥的底面积，求出两个圆锥体积的和及球的体积，可得答案．本题考查的知识点是球的体积和表面积，其中熟练掌握球和圆锥的体积公式，是解答的关键． 16.答案：(√15,6)解析：解：方程mf(x)=x 恰有5个实数解，就是方程f(x)=1m x 恰有5个实数解，在同一个坐标系中画出y =f(x)与y =1m x 的图象如图：当直线y =1m x 过点(6,1)和直线y =1m x 与半圆(x −4)2+y 2=1相切，可得m ∈(√15,6)．故答案为：(√15,6)．画出函数的图象，利用已知条件转化求解直线与半圆的位置关系，推出结果即可．本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，是基本知识的考查，中档题． 17.答案：证明：(Ⅰ)在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于D ，∴S △ABC =12AB ⋅AC =12BC ⋅AD∴AB ⋅AC =BC ⋅AD(Ⅱ)在Rt △ADB 中，DE ⊥AB 与E ，由射影定理得：BD 2=BE ⋅AB ，同理在Rt △ADC 中，CD 2=CF ⋅AC ，又∵在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AD ⊥BC 于D ，∴AD 2=BD ⋅CD ，∴AD 4=BD 2⋅CD 2=BE ⋅AB ⋅CF ⋅AC ，又由(I)中AB ⋅AC =BC ⋅AD∴AD 4=BE ⋅BC ⋅CF ⋅AD∴AD 3=BC ⋅CF ⋅BE ．解析：(I)在Rt △ABC 中，根据S △ABC =12AB ⋅AC =12BC ⋅AD ，可得结论；(Ⅱ)根据射影定理可得BD 2=BE ⋅AB ，CD 2=CF ⋅AC ，AD 2=BD ⋅CD ，故AD 4=BD 2⋅CD 2=BE ⋅AB ⋅CF ⋅AC ，结合(I)中结论，可得结论．本题考查的知识点是三角形等积法，射影定理，难度不大，属于基础题．18.答案：方法一：(1)证明：由题设，M ，N 是矩形的边AD 和BC 的中点，所以AM ⊥MN ，BC ⊥MN ， ∵折叠垂直关系不变，∴∠AMD 是平面ABNM 与平面MNCD 的平面角，依题意，所以∠AMD =60°，…(2分)由AM =DM ，可知△MAD 是正三角形，所以AD =√2，在矩形ABCD 中，AB =2，AD =2√2，所以，BD =√6，由题可知BO =OD =√3，由勾股定理可知△BOD 是直角三角形，所以BO ⊥DO …(5分)(2)解：如图1(2)设E ，F 是BD ，CD 的中点，则EF ⊥CD ，OF ⊥CD ，所以CD ⊥面OEF ，OE ⊥CD 又BO =OD ，所以OE ⊥BD ，OE ⊥面ABCD ，OE ⊂面BOD ，平面BOD ⊥平面ABCD过A 作AH ⊥BD ，由面面垂直的性质定理，可得AH ⊥平面BOD ，连接OH ，…(8分)所以OH 是AO 在平面BOD 的投影，所以∠AOH 为所求的角，即AO 与平面BOD 所成角．…(11分)AH 是RT △ABD 斜边上的高，所以AH =2√33，BO =OD =√3， 所以sin∠AOH =23(14分)方法二：空间向量：取MD ，NC 中点P ，Q ，如图2建系，则Q(0,0，0)，B(√62,0，0)，D(0,√22,2)，O(0,−√22,1)，所以BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√62,−√22,1)，DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−√2,−1) 所以BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即BO ⊥DO(5分)(2)设平面BOD 的法向量是n⃗ =(x,y,z)， 可得−√62x −√22y +z =0−√2y −z =0，令y =√2可得x =−√6,z =−2所以A n ⃗ =(−√6,√2,−2)又AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√62,−√22,−1)， 设AO 与平面BOD 所成角为θ则sinθ=|cos <AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=23(14分)解析：方法一：(1)先判断∠AMD 是平面ABNM 与平面MNCD 的平面角，进一步证明△BOD 是直角三角形，即可知BO ⊥DO ；(2)设E ，F 是BD ，CD 的中点，则EF ⊥CD ，OF ⊥CD ，所以CD ⊥面OEF ，OE ⊥CD ，过A 作AH ⊥BD ，由面面垂直的性质定理，可得AH ⊥平面BOD ，连接OH ，则可证∠AOH 为AO 与平面BOD 所成角；方法二：(1)建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，证明BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即可； (2)求出平面BOD 的法向量是n ⃗ =(x,y,z)，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√62,−√22,−1)，再利用向量夹角公式即可求得结论．本题以平面图形的翻折为载体，考查线线垂直，考查线面角，既用传统方法，又用向量方法，两法并举，细细体会．19.答案：解：(1)由|AF 1|=3|F 1B|，|AB|=4，得：|AF 1|=3，|F 1B|=1，因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a =16，|AF 1|+|AF 2|=2a =8，故|AF 2|=2a −|AF 1|=8−3=5，(2)由(1)可设椭圆方程为x 216+y 2b 2=1，F 1(−c,0)，其中c =√16−b 2， 设直线AB 的方程为y =x +c ，即x =y −c ，代入椭圆方程得：b2(y−c)2+16y2=16b2，整理得：(b2+16)y2−2b2cy−b4=0，△=4b4c2+4b4(b2+16)=128b4，y1=2b2c+8√2b22(b2+16)，y2=2b2c−8√2b22(b2+16)，由|AF1|=3|BF1|知y1=−3y2，得2b2c+8b2√2=−3(2b2c−8b2√2)，又由于c=√16−b2解得c=2√2，b2=8所以椭圆的方程为x216+y28=1．解析：(1)利用|AF1|=3|BF1|，且|AB|=4，求出：|AF1|=3，|F1B|=1，根据△ABF2的周长为16，结合椭圆的定义，即可求|AF2|；(2)若直线AB的斜率为1，设直线AB的方程为y=x+c，代入椭圆方程，利用|AF1|=3|BF1|知y1=−3y2，即可求椭圆E的方程．本题考查椭圆的方程与定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20.答案：解：(1)散点图如图：(2)x=2+4+5+6+85=5，y=30+40+60+50+705=50，b=2×30+4×40+5×60+6×50+8×70−5×5×5022+42+52+62+82−5×52=6.5，a=50−6.5×5=17.5．回归直线方程为y=6.5x+17.5．解析：(1)根据表中所给的五组数据，得到五个点的坐标，在平面直角坐标系中画出散点图．(2)先求出横标和纵标的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出a的值，写出线性回归方程．本题考查了线性回归方程的求法及应用，解题的关键是利用最小二乘法求回归直线方程的系数．21.答案：解：设容器中水的体积在t分钟时为V，水深为h则V=20t又V =13πr 2ℎ 由图知r ℎ=630 ∴r =15ℎ ∴V =13π⋅(15)2⋅ℎ3=π75ℎ3∴20t =π75ℎ3， ∴ℎ=31500πt于是ℎ′=31500π⋅ 13⋅t −23． 当ℎ=10时，t =23π，此时ℎ′=5π．∴当ℎ=10米时，水面上升速度为5π米/分．解析：利用平行线分线段成比例定理得到水面的半径与水高的关系；利用圆锥的体积公式求出水深与时间的函数关系；对水深求导数即为水上升的速度．本题考查圆锥的体积公式、平行线分线段成比例定理、对水深求导即为水上升的速度．22.答案：解：曲线C 的极坐标方程是ρ=1，转化为：x 2+y 2=1．直线l 的参数方程是{x =−1+4t y =3t(t 为参数)，转化为：3x −4y +3=0， 则：点(0,0)到直线的距离为d =35，所以：2l =2√12−(35)2=85． 即弦长为：85解析：首先把方程进行转化，进一步利用点到直线的距离公式求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用． 23.答案：解：(1)连接BD ，作BO ⊥AD ，垂足为O ，则AO =3，BO =3√3，BD =6√2，∴OD =√27+72=3√11，∴AD=AO+OD=3+3√11；(2)由题意，梯形的高为6sinα，AD=6+12cosα，∴所围成的等腰梯形ABCD面积S=6+6+12cosα2×6sinα=36sinα(1+cosα)，S′=36(2cosα−1)(cosα+1)，∴0<α<π3，S′>0，π3，<α<π，S′<0，∴α=π3，S取得最大值27√3．解析：(1)连接BD，作BO⊥AD，垂足为O，利用三角函数，结合勾股定理，求AD的长；(2)由题意，梯形的高为6sinα，AD=6+12cosα，所围成的等腰梯形ABCD面积S=6+6+12cosα2×6sinα=36sinα(1+cosα)，利用导数确定单调性，即可求出所围成的等腰梯形ABCD面积的最大值．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
【精品】广东省深圳市2020届高三适应性考试(6月)数学(理)试题及答案
2020届高三年级适应性模拟测试理科数学本试卷共6页，23小题，满分150分， 考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．1．已知集合{|A x y ==，2{|log 1}B x x =≤，则A B =I（A ）{|31}x x -≤≤ （B ）{|01}x x <≤ （C ）{|32}x x -≤≤ （D ）{|2}x x ≤2．已知3i1iz -=-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为 （A ）i - （B ）1- （C ） 1 （D ）23．在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于(A)122n +- (B) 3n (C) 2n (D)31n -4．若4cos5α=-，α是第三象限的角，则1tan21tan2αα+=-(A)12-(B)12(C) 2(D) 2-5．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形内的概率为(A)2π332(π3)--(B)32(π3)-(C)32(π3)+(D)2π332(π3)-+6．已知51(1)(2)axx x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为(A) 80-(B) 40-(C) 40(D) 807．现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列统计结论是不．正确的是.(A)样本中的女生数量多于男生数量(B)样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量(C)样本中的男生偏爱理科(D)样本中的女生偏爱文科8．抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，l AK ⊥，垂足为K ，则△AKF 的面积是(A) 4 (B) 33 (C) 34 (D) 89．在平行四边形ABCD 中，113,2,,,32AB AD AP AB AQ AD ====u u u r u u u r u u u r u u u v 若12,CP CQ ⋅=u u uv u u u v则ADC ∠= 5()6A π 3()4B π 2()3C π ()2D π10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点, A F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于, P Q 两点，线段AP 的中点为M ，若, , Q F M 三 点共线，则椭圆C 的离心率为 (A)13 (B) 23 (C) 83 (D) 32或8311． 设函数()y f x =的图像与2x ay +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =（A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）412． 设O 是正四面体P ABC -底面ABC 的中心，过O 的动平面与PC 交于,S 与,PA PB 的延长线分别交于,,Q R 则111||||||PQ PR PS ++ (A) 有最大值而无最小值 (B) 有最小值而无最大值 (C) 既有最大值又有最小值，且两者不相等 (D)是一个与平面QRS 无关的常数第II 卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分． 13．在数列{}n a 中，1111,,(*)2019(1)n n a a a n N n n +==+∈+，则2019a 的值为______． 14. 已知函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x =π对称，则cos2_____ϕ=．15．在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为的等边三角形，PAB ∆是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_________．16．已知函数22, 0,()e , 0,x x x f x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩≤若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）工程队将从A 到D 修建一条隧道，测量员测得图中的一些数据（,,,A B C D 在同一水平面内），求,A D 之间的距离.18．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PD PB =,H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交PB ，PD 于点M ，N ，且BD ∥平面AMHN ． （1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，PA PC AB ==，PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求AD 与平面AMHN 所成角的正弦值．HPABCDM N19. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，离心率为6的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点6(1,)M ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线0x y m ++=上存在点G ，且过点G 的椭圆C 的两条切线相互垂直，求实数m 的取值范围．20. （本小题满分12分）某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y （万人）与年份x 的数据：第x 年 12345678910旅游人数y （万人）300 283 321 345 372 435 486 527 622 800该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y 与x 的两个回归模型： 模型①：由最小二乘法公式求得y 与x 的线性回归方程$50.8169.7y x =+；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线bx y ae =的附近．（1）根据表中数据，求模型②的回归方程$bxy ae =．（a 精确到个位，b 精确到0．01）．（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．回归方程①50.8169.7y x =+②$bxy ae =µ1021()iii y y =-∑ 30407 14607①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n v w v w v w L ，其回归直线µµµwv αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为µµµ121()(),()niii nii w w v v w v v v βαβ==--==--∑∑． ②刻画回归效果的相关指数µ22121()1()niii nii y y R y y ==-=--∑∑ ．③参考数据： 5.46235e≈， 1.43 4.2e ≈．表中1ln ,10i i i i u yu u ===∑．21．（本小题满分12分）已知函数()ln 2f x x x =--．（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）函数()f x 在区间(,1)()k k k+∈N 上有零点，求k 的值； （3）若不等式()(1)()x m x f x x-->对任意正实数x 恒成立，求正整数m 的取值集合．请考生从第（22）、（23）两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分）平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为224x y +=，直线l 的参数方程为2,,x t y t =--⎧⎪⎨=⎪⎩ （t 为参数），若将曲线1C 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的32倍，得曲线2C ．（1）写出曲线2C 的参数方程;（2）设点(P -，直线l 与曲线2C 的两个交点分别为,A B ，求11PA PB+的值．23．[选修4-5：不等式选讲](10分）已知实数正数x , y 满足1x y +=． （1）解关于x 的不等式522x y x y ++-≤； （2）证明：2211119x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭高三年级适应性测试理科数学参考答案及说明题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BBCABDDACCCD13．___1_________； 14．____35____； 15．__48π___； 16. ___3ln22-_____ .17．（本小题满分12分）工程队将从A 到D 修建一条隧道，测量员测得图中的一些数据（,,,A B C D 在同一水平面内），求,A D 之间的距离.AC 解：连接,在4154AC 中，ABC 22=+=∆....................................................3分414sin ,415cos =∠=∠ACB ACB .…………………………….5分.)32cos(cos ACB ACD ∠-=∠π=412534414*23415*)21(-=+-…….9分312-65412534*3*412-341AD 中，ACD 在2=-+=∆…….12分18．（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PD PB =,H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交PB ，PD 于点M ，N ，且BD ∥平面AMHN ． （1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，3PA PC AB ==，PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求AD 与平面AMHN 所成角的正弦值．HPABCDM N【解析】（1）证明：连结AC 、BD 且AC BD O =I ，连结PO ． 因为，ABCD 为菱形，所以，BD AC ⊥， 因为，PD PB =，所以，PO BD ⊥，因为，AC PO O =I 且AC 、PO ⊂平面PAC ， 所以，BD ⊥平面PAC ，因为，AC ⊂平面PAC ，所以，BD PC ⊥， 因为，//BD 平面AMHN ， 且平面AMHN I 平面PBD MN =， 所以，//BD MN ，MN ⊥平面PAC ，所以，MN PC ⊥． ……………………………….5分 （2）由（I ）知BD AC ⊥且PO BD ⊥， 因为PA PC =，且O 为AC 的中点， 所以，PO AC ⊥，所以，PO ⊥平面ABCD ,所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠，所以60PAO ∠=︒， 所以，12AO PA =，32PO PA =，因为，3PA AB =，所以，36BO PA =. 以OA u u u r ，OD u u u r，OP uuu r分别为x ，y ，z 轴，如图所示建立空间直角坐标系……….…..7分 记2PA =，所以，(0,0,0)O ，(1,0,0)A ，3(0,,0)3B -，(1,0,0)C -，3(0,,0)3D ，(0,0,3)P ，13(,0,)22H -，所以， 23(0,,0)BD =u u u r，33(,0,)2AH =-u u u r ，3(1,,0)AD =-u u u r .……………..8分 记平面AMHN 的法向量为(,,)n x y z =r ，所以，00n BD n AH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u r r u u u r 即23033022y x z ⎧=⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令2x =，解得0y =，23z =，所以，(2,0,23)n =r，.…………………….…..10分记AD 与平面AMHN 所成角为θ，所以，3sin |cos ,|||4||||n AD n AD n AD θ⋅=<>==r u u u rr u u u r r u u ur . ………………………………………………………………………………………….…..11分 所以，AD 与平面AMHN 所成角的正弦值为34.………………………………..…..12分19. （本小题满分12分）如图：在平面直角坐标系xOy 中，离心率为63的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点6(1,)3M ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线0x y m ++=上存在点G ，且过点G 的椭圆C 的两条切线相互垂直，求实数m 的取值范围．解：（1）由题意，2226,,c a a b c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得223a b =，又221213a b +=，解得223,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=．------------------------------------------4分（2）①当过点G 的椭圆C 的一条切线的斜率不存在时，另一条切线必垂直于y 轴，易得(3,1)G ±；--------------------------------------------------------------6分②当过点G 的椭圆C 的切线的斜率均存在时，设000(,), 3G x y x ≠± 切线方程为00()y k x x y =-+，代入椭圆方程得2220000(31)6()3()30k x k kx y x kx y +--+--=，2220000[6()]4(31)[3()3]0k kx y k kx y ∆=--+--=，化简得：2200()(31)0kx y k --+=，由此得2220000(3)210x k x y k y --+-=，--------------------------------------8分设过点G 的椭圆C 的切线的斜率分别为12,k k ，所以20122013y k k x -=-．因为两条切线相互垂直，所以2020113y x -=--，即220004(3)x y x +=≠±，---------9分 由①②知G 在圆22004x y +=上，又点G 在直线0x y m ++=上， 所以直线0x y m ++=与圆224x y +=有公共点，所以211m +≤，所以2222m -≤≤．-------------------------11分综上所述，m 的取值范围为[22,22]-．---------------------------12分 20. （本小题满分12分）某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y （万人）与年份x 的数据：第x 年 12345678910旅游人数y （万人）300 283 321 345 372 435 486 527 622 800 y x 模型①：由最小二乘法公式求得y 与x 的线性回归方程$50.8169.7y x =+；模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线bxy ae =的附近．（1）根据表中数据，求模型②的回归方程$bxy ae =．（a 精确到个位，b 精确到0．01）．（2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．回归方程①50.8169.7y x =+②$bxy ae =µ1021()iii y y =-∑ 30407 14607解：（1）对bxy ae =取对数，得ln ln y bx a =+，……1分 设ln u y =，ln c a =，先建立u 关于x 的线性回归方程。
2020年6月广东省深圳市普通高中2020届高三下学期调研考试(二)(二模)数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前广东省深圳市普通高中2020届高三毕业班下学期第二次调研考试(二模)理科数学试题(解析版)2020年6月一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设z 21(1)i i +=-,则|z |＝（ ）A. 12 C. 1【答案】B【解析】【分析】把已知等式变形,再由商的模等于模的商求解即可.【详解】解：∵z 211(1)2i i i i++==--,∴|z |＝|12i i+-|122i i +==-. 故选：B.【点睛】本题考查复数模的求法,考查数学转化思想方法,是基础题.2.已知集合{}|2x A y y ==,{}2|320B x x x =-+≤则（ ） A. A B =∅B. A B R =C. A B ⊆D. B A ⊆【答案】D【解析】【分析】根据指数函数的值域化简集合A 的表示,解一元二次不等式化简集合B 的表示,最后根据集合的交集和并集的定义、子集的定义进行判断即可.【详解】因为{}{}|2|0x A y y y y ===>,{}{}2|320|12B x x x x x =-+≤=≤≤, 所以{}|12A B x x =≤≤≠∅,故选项A 不正确；{}|0y y A B R =>≠,故选项B 不正确；根据子集的定义有B A ⊆.故选：D【点睛】本题考查了集合交集、并集的运算,考查了子集的定义,考查了指数函数的值域,考查了解一元二次不等式,考查了数学运算能力.3.设α为平面,m ,n 为两条直线,若m α⊥,则“m n ⊥”是“n ⊂α”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分性和必要性的定义,结合线面垂直的性质进行判断即可.【详解】当m α⊥时,如果m n ⊥,不一定能推出n ⊂α,因为直线n 可以在平面α外,当m α⊥时,如果n ⊂α,根据线面垂直的性质一定能推出m n ⊥,所以若m α⊥,则“m n ⊥”是“n ⊂α”的必要不充分条件.故选：C【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断,考查了线面垂直的性质,考查了推理论证能力.4.已知双曲线C ：22221y x a b -=（0a >,0b >）的两条渐近线互相垂直,则C 的离心率为（ ）B. 2 D. 3。
2019届广东省深圳市高级中学高三适应性考试(6月)数学(理)试题(解析版)
2019届广东省深圳市高级中学高三适应性考试（6月）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{|A x y =，2{|1}B x log x =≤，则A B ⋂=( ) A ．1{|}3x x ≤≤- B ．{|01}x x <≤ C ．{|32}-≤≤x x D ．{|2}x x ≤【答案】B【解析】根据函数的定义域化简集合A ，利用对数函数的单调性化简集合B ，由交集的定义可得结果. 【详解】由二次根式有意义的条件可得(1)(3)0x x -+≥， 解得31x -≤≤，所以{|A x y =={|31}x x =-≤≤. 由对数函数的性质可得22log log 2x ≤， 解得02x <≤，所以2{|1}B x log x =≤{|02}x x =<≤， 所以A B ⋂={|01}x x <≤. 故选B. 【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合. 2．已知31iz i-=-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为( ) A ．i - B ．1-C ．1D ．2【答案】B【解析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，进而可得结果. 【详解】因为3(3)(1)4221(1)(1)2i i i iz i i i i --++====+--+, 所以2z i =-，故z 的虚部为1-，故选B. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．在等比数列{}n a 中,21=a ,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于（ ） A ．122n +- B ．3nC ．2nD ．31n -【答案】C【解析】等比数列{}n a 前三项为，又{}1n a +也是等比数列，，∴，∴，选C4．若4cos 5α=-, α是第三象限的角,则1tan21tan 2αα+=-（ ） A ．12- B ．12C ．2D ．-2【答案】A【解析】试题分析：∵4cos 5α=-， α为第三象限，∴3sin 5α=-, ∵2sin21cos sin 1tancos cos sin 2222221tansin cossincos sin cos sin 222222221cos2αααααααααααααααα+⎛⎫+++ ⎪⎝⎭===⎛⎫⎛⎫---+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-22311sin 1sin 154cos 2cos sin 225ααααα⎛⎫+- ⎪++⎝⎭====---．【考点】同角间的三角函数关系，二倍角公式．5．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现， 其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形内的概率为( )ABCD【答案】B【解析】利用3个扇形面积减去2个正三角形面积可得勒洛三角形的面积，利用几何概型概率公式可得结果. 【详解】如图：设2BC =，以B 为圆心的扇形面积是22263ππ⨯=，ABC ∆的面积是12222⨯⨯⨯=所以勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，即2323ππ⨯-=- 所以在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率是= B.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.6．已知51(1)(2)ax x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( ) A ．80- B ．40- C ．40 D ．80【答案】D【解析】51(1)(2)a x x x+-中，给x 赋值1求出各项系数和,列出方程求出a ，展开式中常数项为512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的常数项与x 的系数和，利用二项展开式的通项公式求出通项,进而可得结果 【详解】令二项式中的x 为1得到展开式的各项系数和为1a +，12a ∴+= 1a \=551111212a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5511122x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，展开式中常数项为512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的常数项与x 的系数和512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为55215(1)2r r r r r T C x --+=-， 令521r -=得2r =;令520r -=，无整数解，展开式中常数项为25880C =，故选D.【点睛】本题主要考查二项展开式定理的通项与各项系数和，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1r n r rr n T C a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.7．现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图.根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（ ）A ．样本中的女生数量多于男生数量B ．样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量C ．样本中的男生偏爱理科D ．样本中的女生偏爱文科 【答案】D【解析】由条形图知女生数量多于男生数量，有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量，男生偏爱理科，女生中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量，所以选D.8．抛物线的焦点为，准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点，，垂足为，则的面积是 （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】解：∵抛物线y2=4x 的焦点F （1，0），准线为l ：x=-1，经过F 且斜率为 3 的直线y=" 3" (x-1)与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A （3，），AK ⊥l ，垂足为K （-1，），∴△AKF 的面积是故选C ．9．在平行四边形ABCD 中，113,2,,,32AB AD AP AB AQ AD ====若12,CP CQ ⋅=则ADC ∠=( )A ．56πB ．34π C ．23π D ．2π 【答案】C【解析】由23CP CB BP AD AB =+=--，12CQ CD DQ AB AD =+=--,利用平面向量的数量积运算,先求得,3BAD π∠=利用平行四边形的性质可得结果.【详解】如图所示,平行四边形ABCD 中, 3,2AB AD ==,11,32AP AB AQ AD ==， 23CP CB BP AD AB ∴=+=--，12CQ CD DQ AB AD =+=--,因为12CP CQ ⋅=, 所以2132CP CQ AD AB AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22214323AB AD AB AD =++⋅222143232cos 12323BAD =⨯+⨯+⨯⨯⨯∠=, 1cos 2BAD ∠=，,3BAD π∴∠= 所以233ADC πππ∠=-=，故选C. 【点睛】本题主要考查向量的几何运算以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量的运算有两种方法：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点, A F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和右焦点，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP 的中点为M ，若, , Q F M 三点共线，则椭圆C 的离心率为( ) A ．13B ．23C ．83D ．32或83【答案】A【解析】设()()0000,,,P x y Q x y --,结合(,0),(,0)A a F c ，求出M 坐标，利用MF QF k k =，消去00,x y ，进而可得结果.【详解】 如图设()()0000,,,P x y Q x y --,又(,0),(,0)A a F c ，00,22x a y M +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭,,,Q F M 三点共线,MF QF k k =00022y y x a c x c-∴=++-, 即00002y y c x x a c=++-, 002c x x a c ∴+=+-,3a c ∴=,13c e a ∴==,故选A. 【点睛】本题主要考查利用椭圆的简单性质以及椭圆的离心率，属于中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解． 11．设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：设是函数的图像上任意一点，它关于直线对称为（），由已知知（）在函数的图像上，∴，解得，即，∴，解得，故选C ． 【考点】函数求解析式及求值12．设O 是正四面体P ABC -底面ABC 的中心，过O 的动平面与PC 交于,S 与,PA PB 的延长线分别交于,,Q R 则111||||||PQ PR PS ++( ) A ．有最大值而无最小值 B ．有最小值而无最大值C ．既有最大值又有最小值，且两者不相等D ．是一个与平面QRS 无关的常数 【答案】D【解析】设正三棱锥P ABC -中,各侧棱两两夹角为α, PC 与面PAB 所成角为β,记O 到各面的距离为d ,利用S PQR O PQR O PRS O PQS V V V V ----=++化简可得111sin PQ PR PS dβ++=，从而可得结论.【详解】设正三棱锥P ABC -中,各侧棱两两夹角为α, PC 与面PAB 所成角为β, 则111sin sin 332S PQR PQR S h PQ PR S V P αβ-⎛⎫=⋅=⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭.另一方面,记O 到各面的距离为d ,则S PQR O PQR O PRS O PQS V V V V ----=++, 即11113333PQR PQR PRS PQS S d S d S d S d ⋅=⋅+⋅+⋅ 111sin sin sin 323232d d d PQ PR PS PR PQ PS ααα=⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅⋅, 故有: sin ()PQ PR PS d PQ PR PR PS PQ PS β⋅⋅⋅=⋅+⋅+⋅,即111sin PQ PR PS dβ++==常数，故选D. 【点睛】本题主要考查正四面体的性质、棱锥的体积公式以及分割法的应用，属于中档题. （1）求简单几何体的体积时若所给的几何体为柱体锥体或台体，则可直接利用公式求解；(2)求组合体的体积时若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解.二、填空题13．在数列{}n a 中，1111,,(*)2019(1)n n a a a n N n n +==+∈+，则2019a 的值为______． 【答案】1【解析】由11,(*)(1)n n a a n N n n +=+∈+，可得1111(1)1n n a a n n n n +-==-++，利用“累加法”可得结果. 【详解】 因为11,(*)(1)n n a a n N n n +=+∈+所以1111(1)1n n a a n n n n +-==-++，2111,2a a -=-3211,23a a -=- ...,201920181120182019a a -=-, 各式相加，可得20191112019a a -=-， 201911120192019a -=-，所以，20191a =，故答案为1. 【点睛】本题主要考查利用递推关系求数列中的项，属于中档题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列；（3）将递推关系变形，利用累加法、累乘法以及构造新数列法求解.14．已知函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称，则cos 2ϕ=___．【答案】35【解析】由函数()y f x =的图象关于直线x π=对称可得322f f ππ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,化简得tan ϕ的值,再根据222222cos sin 1tan cos 2cos sin 1tan ϕϕϕϕϕϕφ--==++,计算可得结果.【详解】因为函数sin 2cos ()()(()0)f x x x ϕϕϕ+=+<<π-的图象关于直线x π=对称,322f f ππ⎛⎫⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即cos 2sin cos 2sin ϕϕϕϕ+=--,即cos 2sin ϕϕ=-, 即1tan 2ϕ=-, 则22222211cos sin 1tan 34cos 21cos sin 1tan 514ϕϕϕϕϕϕϕ---====+++, 故答案为35.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用、考查了同角三角函数的关系以及二倍角公式的应用，属于中档题. 应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.15．在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为6的等边三角形，PAB ∆是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为_______．【答案】48π【解析】在等边三角形ABC 中，取AB 的中点F ，设其中心为O ，则23AO BO CO CF ====，再利用勾股定理可得OP =O 为棱锥P ABC -的外接球球心，利用球的表面积公式可得结果.【详解】如图，在等边三角形ABC 中，取AB 的中点F ， 设其中心为O ，由6AB =，得23AO BO CO CF ====， PAB ∆是以AB 为斜边的等腰角三角形，PF AB ∴⊥,又因为平面PAB ⊥平面ABC ，PF ∴⊥平面 ABC ，PF OF ∴⊥，OP ==则O 为棱锥P ABC -的外接球球心，外接球半径R OC ==∴该三棱锥外接球的表面积为(2448ππ⨯=，故答案为48π. 【点睛】本题考查主要四面体外接球表面积，考查空间想象能力，是中档题. 要求外接球的表面积和体积，关键是求出球的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用22224R a b c =++（,,a b c 为三棱的长）；②若SA ⊥面ABC （SA a =），则22244R r a =+（r 为ABC ∆外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.16．已知函数22,0,(),0,x x x f x e x ⎧≤=⎨>⎩若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根12,x x ，则12x x +的最大值是______．【答案】3ln 22-【解析】不妨设12x x < ，则2212x x e ==(1)t t =>，可得()12ln x x t g t +=-=，利用导数研究函数的单调性，根据单调性可得结果. 【详解】作出()f x 的函数图象如图所示，由()2f x a =⎡⎤⎣⎦，可得()1f x =>， 即1a >，不妨设12x x < ，则2212x x e ==(1)t t =>，则12ln x x t ==，12ln x x t ∴+=-()ln g t t =，则4'()4g t t=， ∴当 18t <<时，()'0g t >，()g t 在()1,8上递增；当8t >时，()'0g t <，()g t 在()8,+∞上递减；∴当8t =时，()g t 取得最大值g(8)=ln82=3ln22--,故答案为3ln 22-. 【点睛】本题主要考查方程的根与图象交点的关系，考查了利用导数判断函数的单调性以及求函数的极值与最值，属于难题.求函数()f x 极值与最值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数()f x '；(3) 解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4)判断()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.三、解答题17．工程队将从A 到D 修建一条隧道，测量员测得图中的一些数据（,,,A B C D 在同一水平面内），求,A D 之间的距离.【解析】在直角ABC ∆中 ，求得cosACB ACB ∠=∠=，利用两角差的余弦公式可得cos ACD ∠的值，再由余弦定理可得结果. 【详解】 连接AC,在ABC ∆中 AC ==，cosACB ACB ∠=∠=21cos cos322ACD ACB π⎛⎫⎛⎫∠=-∠=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在ACD ∆ 中，AD ==【点睛】本题主要考查两角差的余弦公式以及余弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）2222cos a b c bc A =+-；（2）222cos 2b c a A bc+-=，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住30,45,60o o o等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.18．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PD PB =,H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交PB ，PD 于点M ，N ，且//BD 平面AMHN ．（1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，PA PC ==，PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求AD 与平面AMHN 所成角的正弦值．【答案】(1)见证明(2)【解析】（1）连结AC 、BD 且AC BD O =，连结PO ，先证明BD ⊥平面PAC ，可得BD PC ⊥，再利用线面平行的性质定理证明//BD MN ，从而可得结论；（2）利用（1）可证明PO ⊥平面ABCD ,利用PA 与平面ABCD 所成的角为60︒求出线段间的等量关系，以OA ，OD ，OP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，求出(,0)AD =-，再利用向量垂直数量积为零列方程求出平面AMHN 的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果. 【详解】（1）连结AC 、BD 且AC BD O =，连结PO ．因为，ABCD 为菱形，所以，BD AC ⊥， 因为，PD PB =，所以，PO BD ⊥， 因为，ACPO O =且AC 、PO ⊂平面PAC ，所以，BD ⊥平面PAC ，因为，AC ⊂平面PAC ，所以，BD PC ⊥， 因为，//BD 平面AMHN ， 且平面AMHN平面PBD MN =，所以，//BD MN ， 所以，MN PC ⊥．（2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥， 因为PA PC =，且O 为AC 的中点， 所以，PO AC ⊥，所以，PO ⊥平面ABCD ,所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠，所以60PAO ∠=︒，所以，12AO PA =，2PO PA =，因为，PA =，所以，6BO PA =. 以OA ，OD ，OP 分别为x ，y ，z 轴，如图所示建立空间直角坐标系记2PA =，所以，(0,0,0)O ，(1,0,0)A，(0,3B -，(1,0,0)C -，(0,3D，P，1(,0,22H -，所以，BD =，3(2AH =-，(AD =- 记平面AMHN 的法向量为(,,)n x y z =，所以，00n BD n AH ⎧⋅=⎨⋅=⎩即03302y x z ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，令2x =，解得0y =，z =(2,0,23)n =， 记AD 与平面AMHN 所成角为θ，所以，3sin |cos ,|||||||n AD n AD n AD θ⋅=<>==. 所以，AD 与平面AMHN 【点睛】本题主要考查线面平行的性质定理、线面垂直证明面面垂直以及利用空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19．在平面直角坐标系xOy 中，离心率为3的椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点M ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线0x y m ++=上存在点G ，且过点G 的椭圆C 的两条切线相互垂直，求实数m 的取值范围．【答案】(1) 2213x y+=(2) [-【解析】（1的椭圆过点M ，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 即可得结果；（2）设000(,), G x y x ≠切线方程为00()y k x x y =-+，代入椭圆方程得2220000(31)6()3()30k x k kx y x kx y +--+--=，则201220113y k k x -==--，化为22004x y +=，利用直线0x y m ++=与圆224x y +=有公共点，即可得结果.【详解】（1）由题意，222,c a a b c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩解得223a b =，又221213a b +=，解得223,1,a b ⎧=⎨=⎩ 所以椭圆C 的标准方程为2213x y +=．（2）①当过点G 的椭圆C 的一条切线的斜率不存在时，另一条切线必垂直于y 轴，易得(1)G ±②当过点G 的椭圆C的切线的斜率均存在时，设000(,), G x y x ≠ 切线方程为00()y k x x y =-+，代入椭圆方程得2220000(31)6()3()30k x k kx y x kx y +--+--=，2220000[6()]4(31)[3()3]0k kx y k kx y ∆=--+--=，化简得：2200()(31)0kx y k --+=，由此得2220000(3)210x k x y k y --+-=，设过点G 的椭圆C 的切线的斜率分别为12,k k ，所以20122013y k k x -=-．因为两条切线相互垂直，所以2020113y x -=--，即220004(x y x +=≠， 由①②知G 在圆22004x y +=上，又点G 在直线0x y m ++=上， 所以直线0x y m ++=与圆224x y +=有公共点，2≤，所以m -≤综上所述，m的取值范围为[-．【点睛】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22221x y b a+=()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.20．某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y （万人）与年份x 的数据：该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y 与x 的两个回归模型：模型①：由最小二乘法公式求得y 与x 的线性回归方程50.8169.7y x =+； 模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线bxy ae =的附近． （1）根据表中数据，求模型②的回归方程bx y ae =．（a 精确到个位，b 精确到0．01）． （2）根据下列表中的数据，比较两种模型的相关指数2R ，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．参考公式、参考数据及说明： ①对于一组数据()()()1122,,,,,,n n v w v w v w ，其回归直线w v αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为121()(),()niii nii w w v v w v v v βαβ==--==--∑∑．②刻画回归效果的相关指数22121()1()nii i n ii yy R yy ==-=--∑∑ ．③参考数据： 5.46235e ≈， 1.43 4.2e ≈．表中1011ln ,10i i i i u y u u ===∑． 【答案】(1) 0.11235x y e = (2)见解析【解析】（1）对bxy ae =取对数，得ln ln y bx a =+， 设ln u y =，ln c a =，先建立u 关于x 的线性回归方程，进而可得结果；（2）由表格中的数据， 30407>14607，可得101022113040714607()()iii i y y y y ==>--∑∑，从而得2212R R < ，进而可得结果.【详解】（1）对bxy ae =取对数，得ln ln y bx a =+，设ln u y =，ln c a =，先建立u 关于x 的线性回归方程，()()()10110219.000.10883iii ii x x u u b x x ==--==≈-∑∑， 6.050.108 5.5 5.456 5.46c u bx =-≈-⨯=≈ 5.46235c a e e =≈≈∴模型②的回归方程为0.11235x y e =（2）由表格中的数据，有30407>14607，即101022113040714607()()iii i y y y y ==>--∑∑，即10102211304071460711()()iii i y y y y ==-<---∑∑，2212R R <模型①的相关指数21R 小于模型②的22R ，说明回归模型②的拟合效果更好.2021年时，13x =，预测旅游人数为0.1113 1.43235235235 4.2987y e e ⨯==≈⨯=（万人） 【点睛】本题考查了非线性拟合及非线性回归方程的求解与应用，是源于课本的试题类型，解答非线性拟合问题，先作出散点图，再根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，利用换元法将非线性回归方程化为线性回归方程，求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算要细心，避免计算错误. 21．已知函数()ln 2f x x x =--．（1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）函数()f x 在区间(,1)()k k k N +∈上有零点，求k 的值； （3）若不等式()(1)()x m x f x x-->对任意正实数x 恒成立，求正整数m 的取值集合．【答案】(1) 1y =- ；(2) k 的值为0或3 ；(3) {}1,2,3.【解析】（1）由()1f 的值可得切点坐标，求出()'1f 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）先利用导数判断函数的单调性，然后根据零点存在定理可判断()f x 在区间(0,1)、(3,4)上分别存在一个零点，从而可得结果；（3）当1x =时，不等式为(1)10g =>恒成立；当01x <<时，不等式可化为ln 1x x x m x +>-，可得1m x >，当1x >时，不等式可化为ln 1x x x m x +<-，可得2m x <，结合（2），综合三种情况，从而可得结果.【详解】（1）1()1f x x'=-，所以切线斜率为()01f '=， 又(1)1f =-，切点为(1,1)-，所以切线方程为1y =-．（2）令1()1f x x'=-，得1x =， 当01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；当1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，所以()f x 的极小值为(1)10f =-<，又22221111()ln 20e e e e f =--=>， 所以()f x 在区间(0,1)上存在一个零点1x ，此时0k =；因为(3)3ln321ln30f =--=-<，(4)4ln 4222ln 22(1ln 2)0f =--=-=->， 所以()f x 在区间(3,4)上存在一个零点2x ，此时3k =．综上，k 的值为0或3． （3）当1x =时，不等式为(1)10g =>．显然恒成立，此时m R ∈；当01x <<时，不等式()(1)()x m x f x x -->可化为ln 1x x x m x +>-， 令ln ()1x x x g x x +=-，则22ln 2()()(1)(1)x x f x g x x x --'==--， 由（2）可知，函数()f x 在(0,1)上单调递减，且存在一个零点1x ，此时111()ln 20f x x x =--=，即11ln 2x x =-所以当10x x <<时，()0f x >，即()0g x '>，函数()g x 单调递增；当11x x <<时，()0f x <，即()0g x '<，函数()g x 单调递减．所以()g x 有极大值即最大值1111111111ln (2)()11x x x x x x g x x x x +-+===--，于是1m x >． 当1x >时，不等式()(1)()x m x f x x -->可化为ln 1x x x m x +<-， 由（2）可知，函数()f x 在(3,4)上单调递增，且存在一个零点2x ，同理可得2m x <．综上可知12x m x <<．又因为12(0,1), (3,4)x x ∈∈，所以正整数m 的取值集合为{}1,2,3．【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在P 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'000()()y y f x x x -=⋅-.22．在平面直角坐标系中，曲线的方程为，直线的参数方程（为参数），若将曲线上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍，得曲线．（1）写出曲线的参数方程；（2）设点，直线与曲线的两个交点分别为，，求的值.【答案】（1）（为参数）；（2）【解析】分析：（1）若将曲线上的点的纵坐标变为原来的，则曲线的直角坐标方程，进而得到曲线的参数方程.（2）将直线的参数方程化为标准形式代入曲线，得到，进而可求解结论. 详解：（1）若将曲线上的点的纵坐标变为原来的，则曲线的直角坐标方程为， 整理得，曲线的参数方程（为参数）．（2）将直线的参数方程化为标准形式为（为参数），将参数方程带入得整理得.，，．点睛：本题考查了参数方程与普通方程的互化，及直线的参数方程的应用，重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用直线参数的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程.23．已知正实数x，y满足x+y=1．（1）解关于x的不等式；（2）证明：．【答案】(1).(2)见解析.【解析】（1）利用零点分段法即可求解.（2）利用“1”的转换，以及基本不等式即可证明.【详解】（1）解得，所以不等式的解集为（2）解法1：且，.当且仅当时，等号成立.解法2：且，当且仅当时，等号成立.【点睛】主要考查了绝对值不等式的求解、不等式证明、以及基本不等式的应用，属于中档题.对于绝对值不等式的求解，主要运用零点分段法，也可以运用图像法.而不等式的证明，关键是灵活运用不等式的性质以及基本不等式.。
2022年广东省深圳中学高考数学模拟试卷及答案解析
2022年广东省深圳中学高考数学模拟试卷注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A ＝{x |﹣1＜x ＜3}，B ＝{x ∈N *|0＜x ＜4}，则A ∩B ＝（ ）A ．{x |0＜x ＜3}B ．{x |﹣1＜x ＜4}C ．{1，2}D ．{0，1，2} 2．复数i 2+i 在复平面内对应点的坐标为（ ）A ．(15，25)B ．(13，23)C ．(−13，23)D ．(15，−25) 3．命题“∀x ＞0，x 2﹣2x +3＜0”的否定是（ ）A ．∀x ＞0，x 2﹣2x +3≥0B ．∃x ≤0，x 2﹣2x +3≥0C ．∃x ＞0，x 2﹣2x +3≥0D ．∃x ≤0，x 2﹣2x +3＞0 4．在边长为3的等边△ABC 中，若BD →=2DC →，则AD →⋅AB →=（ ）A ．6−3√3B ．83C ．3D ．65．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则得到的点数之和为6的概率为（ ）A ．16B ．536C ．736D ．1126．函数f （x ）=(e x +1)ln|x|e x −1的图像大致为（ ） A ．B ．C ．D ．7．已知a ＞0，（2x ﹣1）（x +a ）6展开式的各项系数之和为64，则展开式中x 3的系数为（ ）A ．10或2970B ．10C ．1890D ．29708．已知三棱锥P ﹣ABC 三条侧棱P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝PB ＝PC ＝2，M ，N分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则M ，N 两点间距离的最小值为（ ）A ．2+2√33B ．2√33−1C ．2−2√33D ．4√33−2二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.（多选）9．关于函数f （x ）＝3sin （2x −π3）+1（x ∈R ），下列命题正确的是（ ）A ．由f （x 1）＝f （x 2）＝1可得x 1﹣x 2 是π的整数倍B ．y ＝f （x ） 的表达式可改写成f （x ）＝3cos （2x −5π6）+1C ．y ＝f （x ）的图象关于点（3π4，1）对称D ．y ＝f （x ）的图象关于直线x =−π12对称（多选）10．医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层，内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）．国家质量监督检验标准中，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率X ～N （0.9372，0.01392）．若生产状态正常，下列结论正确的是（ ）（参考数据：若x ～N （μ，σ2）（σ＞0），则P （μ﹣σ＜x ≤μ+σ）≈0.6827，P （μ﹣2σ＜x ≤μ+2σ）≈0.9545，P （μ﹣3σ＜x ≤μ+3σ）≈0.9973；0.9850≈0.364）A ．P （x ≤0.9）＜0.5B ．x 的取值在（0.93，0.9439）内的概率与在（0.9372，0.9511）内的概率相等C ．P （x ＜0.9）＝P （x ＞0.9744）D ．记ξ表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于μ+2σ的数量，则P （ξ≥1）＞0.6（多选）11．已知曲线C的方程为x2k−2+y26−k=1（k∈R），下列结论正确的是（）A．当k＝4时，曲线C为圆B．“k＞4”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分而不必要条件C．当k＝0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y=±√3xD．存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为√2（多选）12．函数y＝log a（x+4）﹣1的图象恒过定点A，若点A在直线l：mx+ny+1＝0上，其中mn＞0，则（）A．点A的坐标为（﹣3，﹣1）B．1m +1n的最小值为4+2√3C．点（m，n）的轨迹是一条直线D．点（3，1）到直线l的距离最大值为2√10三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图的面积为2π，则该圆锥的高为．14．若函数f（x）同时具有下列性质：①f（x1+x2）＝f（x1）f（x2）；②当x∈（0，+∞）时，f（x）＞1．请写出f（x）的一个解析式．15．设等比数列{a n}满足a1+a3＝10，a2+a4＝5，则log2a1+log2a2+⋯+log2a n＝．16．已知直线y＝2x+1与圆x2+y2+ax+2y+1＝0交于A，B两点，直线mx+y+2＝0垂直平分弦AB，则m的值为，弦AB的长为．四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，前n项和为S n，S4＝10，且a2，a4，a8成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设b n=1a n a n+2(n∈N∗)，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）已知袋子里有编号分别为1，2，3，4，5，6，7的小球各一个，现设计一款摸小球的两人游戏，规则如下：两人有放回地轮流摸出一个球，设双方摸球的总次数为n，当n为奇数时，摸球的人若摸到偶数序号的球，则此人获胜，游戏结束；当n为偶数时，摸球的人若摸到奇数序号的球，则此人获胜，游戏结束；如果一直无人获胜，则游戏玩到约定的摸球总次数为止结束．（1）现甲、乙两人约定总摸球次数最多2次，请计算出甲先摸球并且甲获胜的概率．如果甲想取得较高的胜率，他是否应该选择先摸球？并说明理由．（2）现甲、乙两人约定总摸球次数最多4次，记摸球总次数为X，求X的分布列和数学期望．19．（12分）△ABC的三条边a，b，c所对的角分别为A，B，C，已知c＝3，2b＝a+c，A ＝120°．（1）求△ABC的面积；（2）若点D在边BC上，且∠BDA＝60°，求BD的长度．20．（12分）已知椭圆C 与双曲线x 220−y 216=1有相同的焦点，且该椭圆经过点P （5，2）．（1）求椭圆C 的标准方程； （2）已知椭圆C 左焦点为F ，过F 作直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若弦AB 中点在直线y ＝1上，求直线l 的方程．21．（12分）如图1，已知五边形P ABCD，其中△P AD是边长为2的等边三角形，ABCD为等腰梯形，且BC∥AD，AB＝BC＝1，现沿着其中一条对角线AD将△P AD向上翻折成四棱锥P﹣ABCD，设E为棱PD的中点．（1）如图2，当点P在底面ABCD的射影H恰好在线段BD上时，求证：PD⊥平面EAB；（2）如图3，当四棱锥P﹣ABCD的体积最大时，求二面角B﹣AE﹣D的余弦值．22．（12分）已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2+x（a∈R）．（1）当a＝0时，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）有两个零点x1，x2，且x1＞2x2，证明：x1x2＞8e2．2022年广东省深圳中学高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A ＝{x |﹣1＜x ＜3}，B ＝{x ∈N *|0＜x ＜4}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |0＜x ＜3}B ．{x |﹣1＜x ＜4}C ．{1，2}D ．{0，1，2}解：因为集合A ＝{x |﹣1＜x ＜3}，B ＝{x ∈N *|0＜x ＜4}＝{1，2，3}， 则A ∩B ＝{1，2}． 故选：C ． 2．复数i 2+i在复平面内对应点的坐标为（ ）A ．(15，25) B ．(13，23)C ．(−13，23)D ．(15，−25)解：∵i 2+i =i(2−i)(2+i)(2−i)=1+2i 22−i 2=15+25i ，∴复数i 2+i在复平面内对应点的坐标为（15，25），故选：A ．3．命题“∀x ＞0，x 2﹣2x +3＜0”的否定是（ ） A ．∀x ＞0，x 2﹣2x +3≥0 B ．∃x ≤0，x 2﹣2x +3≥0 C ．∃x ＞0，x 2﹣2x +3≥0D ．∃x ≤0，x 2﹣2x +3＞0解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论， 命题“∀x ＞0，x 2﹣2x +3＜0”的否定是：∃x ＞0，x 2﹣2x +3≥0． 故选：C ．4．在边长为3的等边△ABC 中，若BD →=2DC →，则AD →⋅AB →=（ ） A ．6−3√3B ．83C ．3D ．6解：因为BD →=2DC →，AD →=AB →+BD →=AB →+23BC →=AB →+23(AC →−AB →)=23AC →+13AB →， 则AD →⋅AB →=13AB →2+23AB →⋅AC →=13×9+23×3×3×12=6． 故选：D ．5．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则得到的点数之和为6的概率为（ ） A ．16B ．536C ．736D ．112解：抛掷一枚质地均匀的骰子两次，基本事件数为6×6＝36，点数和为6的基本事件数为（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1）； 故概率为p （A ）=536． 故选：B ．6．函数f （x ）=(e x +1)ln|x|e x −1的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．解：函数的定义域为{x |x ≠0}， f （﹣x ）=(e −x +1)ln|−x|e −x −1=(1+e x )ln|x|1−e x =−(e x +1)ln|x|e x −1=−f （x ），所以函数f （x ）为奇函数，排除选项A 和C ，令f （x ）＝0，则ln |x |＝0，所以x ＝±1，当x ＞1时，e x +1＞0，ln |x |＞0，e x ﹣1＞0，所以f （x ）＞0，排除选项D ． 故选：B ．7．已知a ＞0，（2x ﹣1）（x +a ）6展开式的各项系数之和为64，则展开式中x 3的系数为（ ）A ．10或2970B ．10C ．1890D ．2970解：已知a ＞0，（2x ﹣1）（x +a ）6展开式的各项系数之和为64，令x ＝1时，（2﹣1）（a +1）6＝64， 解得a ＝1；所以（x +1）6的二项展开式满足T r+1=C 6r x 6−r ， 所以x 3的系数为2C 64+(−1)C 63=10．故选：B ．8．已知三棱锥P ﹣ABC 三条侧棱P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且P A ＝PB ＝PC ＝2，M ，N 分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则M ，N 两点间距离的最小值为（ ） A ．2+2√33B ．2√33−1 C ．2−2√33D ．4√33−2解：由已知可将该三棱锥补成正方体，如图所示．设三棱锥内切球球心为O 1，外接球球心为O 2，内切球与平面ABC 的切点为G ，易知O 1，O 2，G 三点均在PD 1上，且PD 1⊥平面ABC ，设内切球的半径为r ，外接球的半径为R ，则R =12×√22+22+22=√3，由等体积法可得13（S △ACP +S △ABP +S △ACP +S △ABC ）r =13S △ABP •PC ，得r ＝1−√33，由等体积法可得13S △ABC •PG =13S △ABP •PC ，得PG =2√33， M ，N 两点间的距离的最小值为PG ﹣2r =2√33−（2−2√33）=4√33−2， 故选：D ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.（多选）9．关于函数f （x ）＝3sin （2x −π3）+1（x ∈R ），下列命题正确的是（ ） A ．由f （x 1）＝f （x 2）＝1可得x 1﹣x 2 是π的整数倍 B ．y ＝f （x ） 的表达式可改写成f （x ）＝3cos （2x −5π6）+1 C ．y ＝f （x ）的图象关于点（3π4，1）对称D ．y ＝f （x ）的图象关于直线x =−π12对称 解：A ．由f （x ）＝3sin （2x −π3）+1＝1得sin （2x −π3）＝0， 则函数的周期T ＝π，则x 1﹣x 2是T2=π2的整数倍，故A 错误，B ．f （x ）＝3sin （2x −π3）+1＝3cos[π2−（2x −π3）]＝3cos （5π6−2x ）+1＝3cos （2x −5π6）+1，故B 正确， C ．当x =3π4时，sin （2×3π4−π3）＝sin （3π2−π3）＝sin 7π6=−12≠0，即函数关于（3π4，1）不对称，故C 错误，D ．当x =−π12时，sin[2×（−π12）−π3]＝sin （−π6−π3）＝sin （−π2）＝﹣1，是最小值，则y ＝f （x ）的图象关于直线x =−π12对称，正确， 故正确的是BD ， 故选：BD ．（多选）10．医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层，内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）．国家质量监督检验标准中，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率X ～N （0.9372，0.01392）．若生产状态正常，下列结论正确的是（ ）（参考数据：若x ～N （μ，σ2）（σ＞0），则P （μ﹣σ＜x ≤μ+σ）≈0.6827，P （μ﹣2σ＜x ≤μ+2σ）≈0.9545，P （μ﹣3σ＜x ≤μ+3σ）≈0.9973；0.9850≈0.364） A ．P （x ≤0.9）＜0.5B ．x 的取值在（0.93，0.9439）内的概率与在（0.9372，0.9511）内的概率相等C ．P （x ＜0.9）＝P （x ＞0.9744）D ．记ξ表示一天内抽取的50只口罩中过滤率大于μ+2σ的数量，则P （ξ≥1）＞0.6 解：∵X ～N （0.9372，0.01392）， ∴μ＝0.9372，σ＝0.0139，对于A ，P （x ≤0.9）＜P （x ＜0.9372）＝0.5，故A 正确， 对于B ，0.9439﹣0.93＝0.0139，0.9511﹣0.9372＝0.0139， 两个区间长度均为1个σ，但μ＝0.9372＞0.93，故x 的取值在（0.93，0.9439）内的概率与在（0.9372，0.9511）内的概率不相等，故B 错误， 对于C ，∵0.9+0.97442=0.9372=μ，∴P （x ＜0.9）＝P （x ＞0.9744），故C 正确， 对于D ，∵P （μ﹣2σ＜x ≤μ+2σ）≈0.9545， ∴P （x ≥μ+2σ）≈1−0.95452=0.02275，即1只口罩中过滤率大于μ+2σ的概率为p ≈0.02275， ξ～B （50，p ），P （ξ≥1）＝1﹣P （ξ＝0）＝1﹣（1﹣p ）50＞1﹣（1﹣0.02）50＝1﹣0.9850≈1﹣0.364＝0.636＞0.6，故D 正确． 故选：ACD ．（多选）11．已知曲线C 的方程为x 2k−2+y 26−k=1（k ∈R ），下列结论正确的是（ ）A ．当k ＝4时，曲线C 为圆B ．“k ＞4”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的充分而不必要条件C ．当k ＝0时，曲线C 为双曲线，其渐近线方程为y =±√3xD ．存在实数k 使得曲线C 为双曲线，其离心率为√2 解：曲线C 的方程为x 2k−2+y 26−k=1，当k ＝4时，曲线C 为x 2+y 2＝2，表示圆，所以A正确；“k ＝8”是“曲线C 为双曲线，所以“k ＞4”推不出曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”，反之成立，所以“k ＞4”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的必要而充分不条件，所以B 不正确；当k ＝0时，曲线C 为双曲线：y 26−x 22=1，其渐近线方程为y =±√3x ，所以C 正确；存在实数k 使得曲线C 为双曲线，但是6﹣k ≠2﹣k ，所以其离心率不为√2，所以D 不正确； 故选：AC ．（多选）12．函数y ＝log a （x +4）﹣1的图象恒过定点A ，若点A 在直线l ：mx +ny +1＝0上，其中mn ＞0，则（ ） A ．点A 的坐标为（﹣3，﹣1） B ．1m+1n的最小值为4+2√3C ．点（m ，n ）的轨迹是一条直线D ．点（3，1）到直线l 的距离最大值为2√10解：对于函数y ＝log a （x +4）﹣1，令x +4＝1，求得x ＝﹣3，y ＝﹣1， 可得它的图象恒过定点A （﹣3，﹣1），故A 正确；若点A 在直线l ：mx +ny +1＝0上，则﹣3m ﹣n +1＝0，即 3m +n ＝1，其中mn ＞0， ∴1m +1n =3+n m +3mn +1≥4+2√3，当且仅当n m =3m n时，等号成立， ∴1m+1n的最小值为4+2√3，故B 正确；由于点（m ，n ）满足 3m +n ＝1，其中mn ＞0，故它的轨迹是一条线段，故C 错误； 由于点（3，1）到直线l 的距离为√m 2+n 2=√m 2+n 2，故当√m 2+n 2最小时，点（3，1）到直线l 的距离最大．而√m 2+n 2表示点（m ，n ）到原点的距离，它的最小值为原点（0，0）到直线3m +n ＝1的距离d ，即d=√9+1=√1010，故点（3，1）到直线l的距离最大为2d =√1010=2√10，故D正确，故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图的面积为2π，则该圆锥的高为√3．解：设圆锥的母线长为l，高为h，因为圆锥底面的半径为1，侧面展开图的面积为2π，所以S侧＝πrl＝πl＝2π，解得l＝2，则ℎ=√l2−r2=√22−12=√3，所以该圆锥的高为√3．故答案为：√3．14．若函数f（x）同时具有下列性质：①f（x1+x2）＝f（x1）f（x2）；②当x∈（0，+∞）时，f（x）＞1．请写出f（x）的一个解析式f（x）＝2x（答案不唯一）．解：根据①f（x1+x2）＝f（x1）f（x2）；②当x∈（0，+∞）时，f（x）＞1．所以满足的函数关系式为f（x）＝2x．故答案为：f（x）＝2x，（答案不唯一）．15．设等比数列{a n}满足a1+a3＝10，a2+a4＝5，则log2a1+log2a2+⋯+log2a n＝−n2+7n2．解：因为等比数列{a n}中，a1+a3＝10，a2+a4＝5，所以q=a2+a4a1+a3=12，所以a1+a3＝a1+q2a1＝10，所以a1＝8，a n＝8×(12)n−1=（12）n﹣4，所以log2a n＝4﹣n，则log2a1+log2a2+⋯+log2a n＝（4﹣1）+（4﹣2）+•+（4﹣n）=(3+4−n)n2=7n−n22．故答案为：7n−n 22．16．已知直线y ＝2x +1与圆x 2+y 2+ax +2y +1＝0交于A ，B 两点，直线mx +y +2＝0垂直平分弦AB ，则m 的值为12，弦AB 的长为8√55．解：由圆x 2+y 2+ax +2y +1＝0，得(x +a 2)2+(y +1)2=a 24，则圆心为（−a2，﹣1），半径为|a|2．由直线y ＝2x +1与圆x 2+y 2+ax +2y +1＝0交于A ，B 两点，且直线mx +y +2＝0垂直平分弦AB ，∴2×（﹣m ）＝﹣1，m ×（−a2）﹣1+2＝0， 解得：m =12，a ＝4．∴圆心坐标为（﹣2，﹣1），半径为2． 圆心到直线y ＝2x +1的距离d =√5=2√55．则弦AB 的长为222−(2√55)2=8√55． 故答案为：12；8√55． 四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知等差数列{a n }的公差d ≠0，前n 项和为S n ，S 4＝10，且a 2，a 4，a 8成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）设b n =1a n a n+2(n ∈N ∗)，求数列{b n }的前n 项和T n ．解：（1）a 2，a 4，a 8成等比数列，则a 42=a 2⋅a 8，即(a 1+3d)2=(a 1+d)(a 1+7d)，化简得：d 2＝a 1d ， ∵d ≠0，∴d ＝a 1，①又S 4＝10，则4a 1+4×32d =10，即2a 1+3d ＝5，② 联立①②解得：a 1＝d ＝1， ∴a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝n ．（2）当n ∈N *时，b n =1a n a n+2=1n(n+2)=12(1n −1n+2)，∴T n=12[(1−13)+(12−14)+(13−15)+⋯+(1n−2−1n)+(1n−1−1n+1)+(1n−1n+2)]=1 2(1+12−1n+1−1n+2)=34−2n+32(n+1)(n+2)，所以n∈N*时，T n=34−2n+32(n+1)(n+2)．18．（12分）已知袋子里有编号分别为1，2，3，4，5，6，7的小球各一个，现设计一款摸小球的两人游戏，规则如下：两人有放回地轮流摸出一个球，设双方摸球的总次数为n，当n为奇数时，摸球的人若摸到偶数序号的球，则此人获胜，游戏结束；当n为偶数时，摸球的人若摸到奇数序号的球，则此人获胜，游戏结束；如果一直无人获胜，则游戏玩到约定的摸球总次数为止结束．（1）现甲、乙两人约定总摸球次数最多2次，请计算出甲先摸球并且甲获胜的概率．如果甲想取得较高的胜率，他是否应该选择先摸球？并说明理由．（2）现甲、乙两人约定总摸球次数最多4次，记摸球总次数为X，求X的分布列和数学期望．解：（1）甲先摸球并且甲获胜的概率P1=3 7，甲后摸球并且甲获胜的概率P2=(1−37)×47=1649＜P1，故甲想取得较高的胜率，他应该选择先摸球；（2）由题意，X的可能取值为1，2，3，4，则P(X=1)=37，P(X=2)=(1−37)×47=1649，P(X=3)=(1−37)×(1−47)×37=36343，P(X=4)=1−37−1649−36343=48 343，所以X的分布列为：X1234P3716493634348343故E(X)=1×37+2×1649+3×36343+4×48343=671343．19．（12分）△ABC的三条边a，b，c所对的角分别为A，B，C，已知c＝3，2b＝a+c，A ＝120°．（1）求△ABC的面积；（2）若点D 在边BC 上，且∠BDA ＝60°，求BD 的长度．解：（1）根据题意得cosA =b 2+c 2−a 22bc =b 2+9−(2b−3)26b =−12，解得b ＝5， ∴△ABC 的面积S =12bcsinA =12×5×3×√32=15√34． （2）由（1）得a ＝2b ﹣c ＝2×5﹣3＝7，∴cosB =32+72−522×3×7=1114，∴sinB =√1−(1114)2=5√314，sin ∠BAD ＝sin （B +∠ADB ）＝sin B cos ∠ADB +cos B sin ∠ADB =5√314×12+1114×√32=4√37， 又BD sin∠BAD=AB sin∠ADB，即4√37=√32，∴BD =247．20．（12分）已知椭圆C 与双曲线x 220−y 216=1有相同的焦点，且该椭圆经过点P （5，2）．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知椭圆C 左焦点为F ，过F 作直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若弦AB 中点在直线y ＝1上，求直线l 的方程． 解：（1）由题意，由双曲线x 220−y 216=1，得焦点为F （±6，0），由题意设椭圆的方程为：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)， ∵椭圆过点P （5，2），∴25a 2+4b 2=1，又由c ＝6，a 2＝b 2+c 2，解得a 2＝45，b 2＝9， ∴椭圆的方程为x 245+y 29=1；（2）当直线与x 轴重合时不满足题意；当直线与x 轴不重合时，设直线方程为x ＝my ﹣6， 由{x =my −6x 245+y 29=1，消去x 化简得（m 2+5）y 2﹣12my ﹣9＝0． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 得y 1+y 2=12mm 2+5，∵弦AB中点在直线y＝1，∴12mm2+5=2，解得m＝1或m＝5，直线1的方程为x﹣y+6＝0或x﹣5y+6＝0．21．（12分）如图1，已知五边形P ABCD，其中△P AD是边长为2的等边三角形，ABCD为等腰梯形，且BC∥AD，AB＝BC＝1，现沿着其中一条对角线AD将△P AD向上翻折成四棱锥P﹣ABCD，设E为棱PD的中点．（1）如图2，当点P在底面ABCD的射影H恰好在线段BD上时，求证：PD⊥平面EAB；（2）如图3，当四棱锥P﹣ABCD的体积最大时，求二面角B﹣AE﹣D的余弦值．（1）证明：连接PH，因为点P在底面ABCD的射影H恰好在线段BD上，所以PH⊥平面ABCD，又AB⊂平面ABCD，则PH⊥AB，在等腰梯形ABCD中，cos∠BAD=2−12=12，所以∠BAD＝60°，因为BC＝CD，则∠CBD＝（180°﹣120°）÷2＝30°，故AB⊥BD，又BD∩PH＝H，BD，PH⊂平面PBD，所以AB⊥平面PBD，又PD⊂平面PBD，故AB⊥PD，因为E为PD中点，所以AE⊥PD，又AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面EAB，故PD⊥平面EAB；第21 页共23 页第 22 页 共 23 页（2）设AD 中点为O ，则PO =√3，当PO ⊥平面ABCD ，时PO 为四棱锥P ﹣ABCD 的高，当PO 不垂直平面ABCD 时，四棱锥P ﹣ABCD 的高小于PO ，由于梯形ABCD 的面积不变，所以当PO 为四棱锥的高，即PO ⊥平面ABCD 时，四棱锥P ﹣ABCD 的体积最大， 设BC 中点为M ，分别以OM ，OD ，OP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则B(√32，−12，0)，A(0，−1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，√3)，E(0，12，√32)， 所以AB →=(√32，12，0)AE →=(0，32，√32)，设平面ABE 的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅AB →=√32x +12y =0n →⋅AE →=32y +√32z =0， 令x =1，n →=(1，−√3，3)，又平面ADE 的一个法向量为m →=(1，0，0)，所以cos〈m →，n →〉=√1+3+9⋅√1=√1313， 由图可知二面角B ﹣AE ﹣D 的平面角是锐角，故二面角B ﹣AE ﹣D 的余弦值为√1313．22．（12分）已知函数f （x ）＝xlnx ﹣ax 2+x （a ∈R ）．（1）当a ＝0时，求f （x ）的单调区间；（2）若f （x ）有两个零点x 1，x 2，且x 1＞2x 2，证明：x 1x 2＞8e 2．解：（1）当a＝0时，f（x）＝xlnx+x（x＞0），∴f'（x）＝lnx+2，令f'（x）＞0，得x＞1e2，令f'（x）＜0，得0＜x＜1e2，∴f（x）的单调增区间是(1e2，+∞)，单调减区间是(0，1e2)；（2）证明：若f（x）有两个零点x1，x2，则x1lnx1−ax12+x1=0，x2lnx2−ax22+x2=0，∴a=lnx1x1+1x1=lnx2x2+1x2．由x1＞2x2，令x2＝tx1（t＜12），则lnx1x1+1x1=ln(tx1)tx1+1tx1，∴lnx1=lntt−1−1，∴lnx2=ln(tx1)=lnt+lnx1=tlntt−1−1，∴ln(x1x2)=lnx1+lnx2=lntt−1−1+tlntt−1−1=(t+1)lntt−1−2．令ℎ(t)=(t+1)lntt−1−2(t＞2)，则ℎ′(t)=−2lnt+t−1t(t−1)2，令φ(t)=−2lnt+t−1t(t＞2)，则φ′(t)=−2t+1+1t2=(t−1)2t2＞0，∴φ（t）在（2，+∞）上单调递增，∴φ(t)＞φ(2)=32−2ln2＞0，∴ℎ′(t)=φ(t)(t−1)2＞0，则h（t）在（2，+∞）上单调递增，∴ℎ(t)＞ℎ(2)=3ln2−2=ln 8e2，即ln(x1x2)＞ln8e2，∴x1x2＞8e2．第23 页共23 页。
广东深圳市2025届高三第六次模拟考试数学试卷含解析
广东深圳市2025届高三第六次模拟考试数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|{|2,}A x N y B x x n n Z =∈===∈,则A B =（ ）A ．[0,4]B ．{0,2,4}C ．{2,4}D ．[2,4]2．已知双曲线()222:10y C x b b-=>的一条渐近线方程为y =，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，点P在双曲线C 上，且13PF =，则2PF =( ) A ．9B ．5C ．2或9D ．1或53．已知集合{|12},{|15}=-<=-A x x B x x ，定义集合*{|,,}==+∈∈A B z z x y x A y B ，则*(*)B A B 等于（ ） A ．{|61}-<x x B ．{|112}<x x C ．{|110}-<x xD ．{|56}-<x x4．已知函数()()3cos 0f x x x ωωω=+>，对任意的1x ，2x ，当()()1212f x f x =-时，12min2x x π-=，则下列判断正确的是（ ） A ．16f π⎛⎫=⎪⎝⎭B ．函数()f x 在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上递增 C ．函数()f x 的一条对称轴是76x π=D ．函数()f x 的一个对称中心是,03π⎛⎫⎪⎝⎭5．若复数z 满足()134i z i +=+，则z 对应的点位于复平面的（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为()01p p <<，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围为( ) A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭7．学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级．某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科，这两科的学业水平测试成绩如图所示．该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B ，则该班（ ）A ．物理化学等级都是B 的学生至多有12人 B ．物理化学等级都是B 的学生至少有5人C ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至多有18人D ．这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至少有1人 8．设复数z 满足12z zz +=+，z 在复平面内对应的点的坐标为(),x y 则（ ） A ．221x y =+ B ．221y x =+ C ．221x y =-D ．221y x =-9．函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位得到函数()y g x =的图象，并且函数()g x 在区间[,]63ππ上单调递增，在区间[,]32ππ上单调递减，则实数ω的值为（ ） A ．74B ．32C ．2D ．5410．复数432iz i +=-的虚部为（ ） A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-11．函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移34π个单位12．一个正三角形的三个顶点都在双曲线221x ay +=的右支上，且其中一个顶点在双曲线的右顶点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()3,+∞B ．()3,+∞C ．(),3-∞-D ．(),3-∞-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。