统计量和统计量的分布
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概率论与数理统计(06)第6章 统计量及其抽样分布
一个任意分 布的总体
σx =
σ
n
当样本容量足够 大时( 大时(n ≥ 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
6 - 11
µx = µ
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 的分布趋 于正态分布 的过程
6 - 12
6.4 正态总体 6.3.1 χ2分布 6.3.2 t 分布 6.3.3 F 分布
6 - 13
χ2 分布
第六章 样本与统计量
6.1引言 6.1引言
数理统计学： 运用概率论的基础知识，对要研究的随机现象进行 多次观察或试验，研究如何合理地获得数据资料， 建立有效的数学方法，根据所获得的数据资料，对 所关心的问题作出估计与检验。
6-1
§6.2总体与样本 6.2总体与样本
对某一问题的研究对象全体称为总体。 组成总体的某个基本单元，称为个体。 总体可以是具体事物的集合，如一批产品。 也可以是关于事物的度量数据集合，如长度测量。 总体可以包含有限个个体，也可以包含无限个个体。 有限总体在个体相当多的情况下，可以作为无限 总体进行研究。 总体中的个体，应当有共同的可观察的特征。该 特征与研究目的有关。
6 - 16
χ2分布
(图示) 图示)
n=1 n=4 n=10
n=20
6 - 17 不同容量样本的抽样分布
χ2
t 分布
6 - 18
t 分布
1. 高 塞 特 (W.S.Gosset) 于 1908 年 在 一 篇 以 (W. “Student”(学生)为笔名的论文中首次提出 Student”(学生)
X ~ N(µ,σ ) ，则
2
χ2分布
2. 3.
z=
X −µ
Y=z
σx =
σ
n
当样本容量足够 大时( 大时(n ≥ 30) ， 样本均值的抽样 分布逐渐趋于正 态分布
6 - 11
µx = µ
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x 的分布趋 于正态分布 的过程
6 - 12
6.4 正态总体 6.3.1 χ2分布 6.3.2 t 分布 6.3.3 F 分布
6 - 13
χ2 分布
第六章 样本与统计量
6.1引言 6.1引言
数理统计学： 运用概率论的基础知识，对要研究的随机现象进行 多次观察或试验，研究如何合理地获得数据资料， 建立有效的数学方法，根据所获得的数据资料，对 所关心的问题作出估计与检验。
6-1
§6.2总体与样本 6.2总体与样本
对某一问题的研究对象全体称为总体。 组成总体的某个基本单元，称为个体。 总体可以是具体事物的集合，如一批产品。 也可以是关于事物的度量数据集合，如长度测量。 总体可以包含有限个个体，也可以包含无限个个体。 有限总体在个体相当多的情况下，可以作为无限 总体进行研究。 总体中的个体，应当有共同的可观察的特征。该 特征与研究目的有关。
6 - 16
χ2分布
(图示) 图示)
n=1 n=4 n=10
n=20
6 - 17 不同容量样本的抽样分布
χ2
t 分布
6 - 18
t 分布
1. 高 塞 特 (W.S.Gosset) 于 1908 年 在 一 篇 以 (W. “Student”(学生)为笔名的论文中首次提出 Student”(学生)
X ~ N(µ,σ ) ，则
2
χ2分布
2. 3.
z=
X −µ
Y=z
概率论与数理统计第六章统计量,样本及抽样分布
(2) X 1
~
2 (n1 ),
X2
~
2 (n2 ),
X1,
X
独
2
立
，
则
X 1 X 2 ~ 2 (n1 n2 ).
(3) X ~ 2 (n), E( X ) n, D( X ) 2n,
.
2021/3/11
20
(4). 2分布的分位点
对于给定的正数，0 1,
称满足条件
P
2 2 (n)
k 1
,
X
k 2
,,
X
k n
独立且与X
k同分布,
E
(
X
k i
)
k
k 1,2,,n 再由辛钦大数定律可得上述结论.
再由依概率收敛性质知，可将上述性质推广为
g( A1, A2 ,, Ak ) p g(1,2 ,,k ) 其中g为连续函数.
这就是矩估计法的理论根据.
2021/3/11
18
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现 数理统计
10
3. 总体、样本、样本值的关系
事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确 定的值. 如我们从某班大学生中抽取10人测量身高, 得到10个数，它们是样本取到的值而不是样本. 我 们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量.
2021/3/11
11
总体（理论分布） ？
样本
样本值
统计是从手中已有的资料--样本值，去推断总 体的情况---总体分布F(x)的性质.
2. t分布的密度函数关于t 0对称.当n充分大时, 其图形近似于标准正态分布概率密度的图形，
再由函数的性质有
lim h(t)
n
1 et2 2. 2
统计量及其分布
2 最小，其中c为任意给定常数。 ( x x ) i
样本均值的抽样分布 (例题分析)
【例】设一个总体含有4 个个体，分别为X1=1、X2=2、 X3=3 、X4=4 。总体的均值、方差及分布如下。
总体均值和方差
总体的频数分布
X
i 1
N
i
N
N
2.5
2
2 ( X ) i i 1
0.02 0 2 1 0.1
21 Φ0.2
0.8414
(4) 样本 k 阶(原点)矩
1 n k Ak X i , k 1, 2, ; n i 1
1 n k 其观察值 k x i , k 1, 2, . n i 1
n n 1 2 1 2 2 E( S ) E X i nX (Xi X ) E n 1 i 1 n 1 i 1
2
1 n 2 2 E ( X i ) nE ( X ) n 1 i 1 2 1 n 2 2 2 ( ) n 2 n 1 i 1 n
n
k 1
n
2
2
n
,
定理 设总体X的期望E(X) = ,方差D(X) = 2，X1， X2，…，Xn为总体X的样本， X，S2分别为样本均值 和样本方差，则
E( X ) E( X )
D( X ) 2 D( X ) n n
E( S 2 ) D( X ) 2
思考：在分组样本场合，样本均值如何计算？ 二者结果相同吗？
x1 f1 x n f n 其中 x n
样本均值的抽样分布 (例题分析)
【例】设一个总体含有4 个个体，分别为X1=1、X2=2、 X3=3 、X4=4 。总体的均值、方差及分布如下。
总体均值和方差
总体的频数分布
X
i 1
N
i
N
N
2.5
2
2 ( X ) i i 1
0.02 0 2 1 0.1
21 Φ0.2
0.8414
(4) 样本 k 阶(原点)矩
1 n k Ak X i , k 1, 2, ; n i 1
1 n k 其观察值 k x i , k 1, 2, . n i 1
n n 1 2 1 2 2 E( S ) E X i nX (Xi X ) E n 1 i 1 n 1 i 1
2
1 n 2 2 E ( X i ) nE ( X ) n 1 i 1 2 1 n 2 2 2 ( ) n 2 n 1 i 1 n
n
k 1
n
2
2
n
,
定理 设总体X的期望E(X) = ,方差D(X) = 2，X1， X2，…，Xn为总体X的样本， X，S2分别为样本均值 和样本方差，则
E( X ) E( X )
D( X ) 2 D( X ) n n
E( S 2 ) D( X ) 2
思考：在分组样本场合，样本均值如何计算？ 二者结果相同吗？
x1 f1 x n f n 其中 x n
《概率论与数理统计》统计量及其分布
律性的数学学科.
但数理统计以概率论为基础，更着重于根据试验得
到的数据来对研究对象的客观规律作出种种合理的估
计和判断.
4
第5章
统计量及其分布
数
描述统计学
理
对随机现象进行观测、试验, 以取得有代表
统
性的观测值.
计
的
推断统计学
分
对已取得的观测值进行整理、分析, 作出推
类
断、决策,从而找出所研究的对象的规律性.
O
5
n 10
10
15
20
x
32
01
抽样分布
2. t 分布
2
X
~
N
(0,1)
，
Y
~
x
(n)，且X与Y 独立，则
设随机变量
X
T
Y /n
服从自由度为n的t分布，记为t(n).
性质 密度f(t)是偶函数，且t分布的极限分布是标准正
态分布.
33
01
抽样分布
t分布的密度函数
n 1
n 1
那么如何来利用样本呢?
列表?
画图?
统计量!
样本来自于总体，含有总体性质的信息，但较为分
散. 为了进行统计推断，需要把分散的信息进行整理，
针对不同的研究目的，构造不同的样本函数，这种函
数在统计学中称为统计量.
18
本讲内容
01
总体与个体
02
样本
03
统计量
03
统计量
3.统计量
统计量——不含有未知参数的样本函数
f ( x)
n1
n2
x
但数理统计以概率论为基础，更着重于根据试验得
到的数据来对研究对象的客观规律作出种种合理的估
计和判断.
4
第5章
统计量及其分布
数
描述统计学
理
对随机现象进行观测、试验, 以取得有代表
统
性的观测值.
计
的
推断统计学
分
对已取得的观测值进行整理、分析, 作出推
类
断、决策,从而找出所研究的对象的规律性.
O
5
n 10
10
15
20
x
32
01
抽样分布
2. t 分布
2
X
~
N
(0,1)
，
Y
~
x
(n)，且X与Y 独立，则
设随机变量
X
T
Y /n
服从自由度为n的t分布，记为t(n).
性质 密度f(t)是偶函数，且t分布的极限分布是标准正
态分布.
33
01
抽样分布
t分布的密度函数
n 1
n 1
那么如何来利用样本呢?
列表?
画图?
统计量!
样本来自于总体，含有总体性质的信息，但较为分
散. 为了进行统计推断，需要把分散的信息进行整理，
针对不同的研究目的，构造不同的样本函数，这种函
数在统计学中称为统计量.
18
本讲内容
01
总体与个体
02
样本
03
统计量
03
统计量
3.统计量
统计量——不含有未知参数的样本函数
f ( x)
n1
n2
x
统计量及其分布
思考题
设 X1, X2 , … , Xn 是取自正态总体 N (, 2 ),
的一个样本，求 E( XS 2 ) ?
定理 2 设 X1, X2 , … , Xn 是取自正态总体 N (, 2 )
的样本，X 和S 分别为样本均值和样本均方差，则有
1) X ~ N(0, 1); / n
2) X ~ t(n 1).
nx 2 ];
③ s
1 n 1
n i 1
( xi
x )2
;
④
ak
1 n
n i 1
xik ,
k 1, 2
;
⑤ bk
1 n
n
(xi x )k ,
i 1
k
1, 2
.
例1 设总体X 的期望为 E(X ) , 方差为 D(X ) 2 其样本为 X1, X2, , Xn , 求E(X ), D(X ), E(S 2) .
为t分布的上 分位点。
t1 (n) t (n)
若 0.5,直接查表;若 0.5, t (n) t1 (n).
当 n 45 , t (n) z .
(3) F-分布
设随机变量X与Y相互独立，且 X ~ 2 (n1), Y ~ 2 (n2 ),
则随机变量
F
X Y
/ n1 / n2
所服从的分布是自由度为 (n1, n2 )
~
F (2,
2)
作 业 17
P137: 4 P147: 4
1.6664.
解：因为
(n 1)
2
S
2
~ 2(n 1)
15S 2
2
~ 2(15)
P
S
2 2
1.6664
三大抽样分布及常用统计量的分布
随(1机) 样XX本132，试XX2问42 下; 列(2统) 计n量n各1XX服i21从; 什(么3)分(n3布？n1)Xi31i2
X
2 i
.
i2
i4
n
续解 (2) 因为X1～N(0,1)，
X
2 i
~
2(n
1)
故
i2
n 1X1
n
n
X1
～t(n-1).
X
2 i
X
2 i
(n 1)
i2
i2
例1 设总体X～N(0,1)， X1，X2，…，Xn为简单
项是独立的.所以(4.1)式的自由度是n-1.
定理3： 设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体
X～N( ， 2)的样本，则
(1) 样本均值 X与样n本方差S 2相互独立；
(2)
(n 1)S 2
2
(Xi
i 1
2
X)2
~
2(n 1)
(4.1)
与以下补充性质的结论比较：
性质 设(X1，X2，…，Xn)为取自正态总体
f(x)
其中f(x)是 2-分布的概率密度. O
图5-5 2(n) x
显然，在自由度n取定以后，2(n)的值只与有关.
例如，当n=21，=0.05时，由附表3(P254)可查得，
02.05(21) 32.67 即 P 2(21) 32.67 0.05.
二、t分布
定义3 设随机变量X～N(0，1)，Y～ 2(n) ，
(4.1)
(4.1)式的自n 由度为什么是n-1？
从表面上看， (Xi X)2是n个正态随机变量 Xi X 的平方和，
但实际上它们不i是1 独立的，它们之间有一种线性约束关系：
统计学6
6 - 33
经济、管理类 基础课程
统计学
三、样本方差的分布
6 - 34
经济、管理类 基础课程
统计学
（一）样本方差的分布
设总体服从正态分布N 设总体服从正态分布N ~ (µ,σ2 )， X1，X2，… ，Xn为来自该正态总体的样本，则样本方差 为来自该正态总体的样本， s2 的分布为
(n −1)s
2
2. 3.
，则
Z=
X −µ
令 Y = Z 2 ，则 Y 服从自由度为1的χ2分布，即 服从自由度为1 分布，
σ
~ N(0,1)
Y ~ χ (1)
2
4.
当总体 X ~ N(µ,σ 2 ) ，从中抽取容量为n的样本，则 从中抽取容量为n的样本，
样 本 6 - 10
经济、管理类 基础课程
（三）抽样分布
(sampling distribution) distribution)
统计学
1. 样本统计量的概率分布 2. 是一种理论概率分布 3. 随机变量是 样本统计量
样本均值, 样本均值, 样本比例，样本方差等
4. 结果来自容量相同的所有可能样本 结果来自容量相同的所有可能样本 5. 提供了样本统计量长远我们稳定的信息，是进 行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重 要依据
总体分布、样本分布、抽样分布
三、渐进分布和近似分布
6-3
经济、管理类 基础课程
统计学
一、统计量
（一）统计量的概念 • 是样本的特征值 • 设X1 , X2 ,…, Xn是从总体中抽取的容量 为n的一个样本，如果由此样本构造一 个函数T 个函数T（ X1 , X2 ,…, Xn ），不依赖于 任何未知参数，则称函数T 任何未知参数，则称函数T（ X1 , X2 ,…, Xn ）是一个统计量。
EViews序列的统计量检验和分布
N
4
意义同S中 ，正态分布的 K 值为3。如果 K 值大于3，
分布的凸起程度大于 正态分布；如果K值小于3，序列分布相 对于正态分布是平坦的。例1.1中X的峰度为2.5，说明X的分 布相对于正态分布是平坦的；而例1.3中GDP增长率的峰度为 2.14 ，说明GDP增长率的分布相对于正态分布也是平坦的。
16
其中，Cumulative Distribution(累积分布)操作用来描 绘序列的经验累积函数（CDF）。 CDF是序列中观测值不
超过指定值 r 的概率
Fx (r ) prob( x r )
Survivor(残存)操作用来描绘序列的经验残存函数
S x (r ) prob( x r ) 1 Fx (r )
23
居民消费（CS）和GDP的交叉相关系数
24
第三章
基本回归模型
经济计量研究始于经济学中的理论假设，根据经济理 论设定变量间的一组关系，如消费理论、生产理论和各种 宏观经济理论，对理论设定的关系进行定量刻画，如消费 函数中的边际消费倾向、生产函数中的各种弹性等进行实 证研究。单方程回归是最丰富多彩和广泛使用的统计技术 之一。本章介绍EViews中基本回归技术的使用，说明并估 计一个回归模型，进行简单的特征分析并在深入的分析中 使用估计结果。随后的章节讨论了检验和预测，以及更高 级，专业的技术，如加权最小二乘法、二阶段最小二乘法 (TSLS)、非线性最小二乘法、ARIMA/ARIMAX模型、 GMM（广义矩估计）、GARCH模型和定性的有限因变量 模型。这些技术和模型都建立在本章介绍的基本思想的基 础之上。
26
§3.1 创建方程对象
EViews中的单方程回归估计是用方程对象来完成 的。为了创建一个方程对象: 从主菜单选择Object/New
4
意义同S中 ，正态分布的 K 值为3。如果 K 值大于3，
分布的凸起程度大于 正态分布；如果K值小于3，序列分布相 对于正态分布是平坦的。例1.1中X的峰度为2.5，说明X的分 布相对于正态分布是平坦的；而例1.3中GDP增长率的峰度为 2.14 ，说明GDP增长率的分布相对于正态分布也是平坦的。
16
其中，Cumulative Distribution(累积分布)操作用来描 绘序列的经验累积函数（CDF）。 CDF是序列中观测值不
超过指定值 r 的概率
Fx (r ) prob( x r )
Survivor(残存)操作用来描绘序列的经验残存函数
S x (r ) prob( x r ) 1 Fx (r )
23
居民消费（CS）和GDP的交叉相关系数
24
第三章
基本回归模型
经济计量研究始于经济学中的理论假设，根据经济理 论设定变量间的一组关系，如消费理论、生产理论和各种 宏观经济理论，对理论设定的关系进行定量刻画，如消费 函数中的边际消费倾向、生产函数中的各种弹性等进行实 证研究。单方程回归是最丰富多彩和广泛使用的统计技术 之一。本章介绍EViews中基本回归技术的使用，说明并估 计一个回归模型，进行简单的特征分析并在深入的分析中 使用估计结果。随后的章节讨论了检验和预测，以及更高 级，专业的技术，如加权最小二乘法、二阶段最小二乘法 (TSLS)、非线性最小二乘法、ARIMA/ARIMAX模型、 GMM（广义矩估计）、GARCH模型和定性的有限因变量 模型。这些技术和模型都建立在本章介绍的基本思想的基 础之上。
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§3.1 创建方程对象
EViews中的单方程回归估计是用方程对象来完成 的。为了创建一个方程对象: 从主菜单选择Object/New