顺序统计量X(1)和X(n)的相关结构
2-5顺序统计量
X p
0 1/3
1 1/3
2 1/3
现抽取容量为 3 的样本, 共有 27 种可能取值, 列表如下
x1 0 0 0 1 0 0 2 0 1 x2 x3 x(1) x(2) x(3) x1 x2 x3 x(1) x(2) x(3) x1 x2 x3 x(1) x(2) x(3) 0 0 1 0 0 2 0 1 0 0 1 0 0 2 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 2 2 2 1 1 1 0 0 1 2 1 2 0 2 1 1 2 0 0 2 1 2 0 0 2 1 2 1 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0 2 1 1 2 2 1 1 2 0 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2
例 设总体 X 分布为 U(0,1), X1 , X2……, Xn 是取自总
体的样本，
(1) 试写出 (X(1) , X(n)) 的联合密度函数.
(2) 次序统计量的函数 X(n) - X(1) 称为样本极差, 求其
密度函数.
思考题
设总体X的分布函数为F ( x)，X 1 ,..., X n为简单随机样本， 考虑（不需严格证明）
计量 (X(i) , X( j)) ( i < j ) 的联合密度函数为
n! i 1 j i 1 n-j F ( y) F ( z) F ( y) (1 F (z ) p( y ) p (z ), a y z b pij ( y, z ) (i 1)!( j i 1)!(n j )! 0 其它
统计学（第六版）期末考试考点梳理
统计学（第六版）期末考试考点梳理统计学（第六版）期末考试考点梳理第⼀章导论1.1.1 什么是统计学统计学是收集、处理、分析、解释数据并从数据中得出结论的科学。
数据分析所⽤的⽅法分为描述统计⽅法和推断统计⽅法。
1.2 统计数据的类型1.2.1 分类数据、顺序数据、数值型数据按照所采⽤的计算尺度不同，可以将统计数据分为分类数据、顺序数据、数值型数据。
分类数据：只能归于某⼀类别的⾮数字型数据，它是对事物进⾏分类的结果，数据表现为类别，是⽤⽂字来表⽰。
例如：⽀付⽅式、性别、企业类型等。
顺序数据：只能归于某⼀有序类别的⾮数字型数据。
例如：员⼯对改⾰措施的态度、产品等级、受教育程度等。
数值型数据：按数字尺度测量的观测值，其结果表现为具体的数值。
例如：年龄、⼯资、产量等。
统计数据⼤体上可分为品质数据（定性数据）和数量数据（定量数据、数值型数据）。
1.2.2 观测数据和实验数据按照统计数据的收集⽅法，可以分为观测数据和实验数据。
观测数据：通过调查或观测⽽收集的数据。
例如：降⾬量、GDP、家庭收⼊等。
实验数据：在实验中控制实验对象⽽收集到的数据。
例如：医药实验数据、化学实验数据等。
1.2.3 截⾯数据和时间序列数据按照被描述的现象与时间的关系，可分类截⾯数据和时间序列数据。
截⾯数据：在相同或近似相同的时间点上收集的数据。
例如：2012年我国各省市的GDP。
时间序列数据：同⼀现象在不同的时间收集的数据。
例如：2000-2012年湖北省的GDP。
1.3.1 总体和样本总体：包含所研究的全部个体（数据）的集合。
样本：从总体中抽取的⼀部分元素的集合。
1.3.2 参数和统计量参数：⽤来描述总体特征的概括性数字度量。
统计量：⽤类描述样本特征的概括性数字度量。
例如：某研究机构准备从某乡镇5万个家庭中抽取1000个家庭⽤于推断该乡镇所有农村居民家庭的年⼈均纯收⼊。
这项研究的总体是5万个家庭；样本是1000个家庭；参数是5万个家庭的⼈均纯收⼊；统计量是1000个家庭的⼈均纯收⼊。
统计学课后思考
1.1什么是统计学统计学是关于数据的一门学科，它收集，处理，分析，解释来自各个领域的数据并从中得出结论。
1.2解释描述统计和推断统计描述统计；它研究的是数据收集，处理，汇总，图表描述，概括与分析等统计方法。
推断统计；它是研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计方法。
1.3统计学的类型和不同类型的特点统计数据；按所采用的计量尺度不同分；（定性数据）分类数据：只能归于某一类别的非数字型数据，它是对事物进行分类的结果，数据表现为类别，用文字来表述；（定性数据）顺序数据：只能归于某一有序类别的非数字型数据。
它也是有类别的，但这些类别是有序的。
（定量数据）数值型数据：按数字尺度测量的观察值，其结果表现为具体的数值。
统计数据；按统计数据都收集方法分；观测数据：是通过调查或观测而收集到的数据，这类数据是在没有对事物人为控制的条件下得到的。
实验数据：在实验中控制实验对象而收集到的数据。
统计数据；按被描述的现象与实践的关系分；截面数据：在相同或相似的时间点收集到的数据，也叫静态数据。
时间序列数据：按时间顺序收集到的，用于描述现象随时间变化的情况，也叫动态数据。
1.4解释分类数据，顺序数据和数值型数据答案同1.31.5举例说明总体，样本，参数，统计量，变量这几个概念对一千灯泡进行寿命测试，那么这千个灯泡就是总体，从中抽取一百个进行检测，这一百个灯泡的集合就是样本，这一千个灯泡的寿命的平均值和标准差还有合格率等描述特征的数值就是参数，这一百个灯泡的寿命的平均值和标准差还有合格率等描述特征的数值就是统计量，变量就是说明现象某种特征的概念，比如说灯泡的寿命。
1.6变量的分类变量可以分为分类变量，顺序变量，数值型变量。
变量也可以分为随机变量和非随机变量。
经验变量和理论变量。
1.7举例说明离散型变量和连续性变量离散型变量，只能取有限个值，取值以整数位断开，比如“企业数”连续型变量，取之连续不断，不能一一列举，比如“温度”。
2.1什么是二手资料？使用二手资料应注意什么问题与研究内容有关，由别人调查和试验而来已经存在，并会被我们利用的资料为“二手资料”。
1.3 顺序统计量
PX (1) u, X ( n ) v Pu X 1 v,, u X n v Pu X 1 v Pu X n v [ F ( v ) F ( u)]n , 若u v， 0 , 若u v ； F ( u, v ) PX (1 ) u, X ( n ) v PX ( n ) v PX (1 ) u, X ( n ) v [ F (v )]n [ F (v ) F ( u )]n , 若u v， n ， 若 u v． [ F (v )]
1.3 顺序统计量
§1.3
顺序统计量、经验分布函数和直方图
一、顺序统计量 另一类常见的统计量是顺序统计量. 定义 1 设 X 1 , X 2 ,, X n 是取自总体 X 的样本, X ( i ) 称为 该样本的第 i 个顺序统计量，它的取值是将样本观测值由小 到大排列后得到的第 i 个观测值。x(1) x( 2 ) x( n ) ，X ( i ) 的值是 x ( i ) 。其中 X (1) minX 1 , X 2 ,, X n 称为该样本的最小顺 序统计量，称 X ( n ) maxX 1 , X 2 ,, X n 为该样本的最大顺序统 计量。 我们知道， 在一个样本中， X 1 , X 2 ,, X n 是独立同分布的， 而次序统计量 X (1) , X ( 2) ,, X ( n) 则既不独立，分布也不相同， 看下例。
假设总体 X 在区间[0,2]上服从均匀分布； Fn ( x )
是总体 X 的经验分布函数， 基于来自 X 的容量为 n 的简单随 机样本，求 Fn ( x ) 的概率分布，数学期望和方差． 解 总体 X 的分布函数为
§2-3 顺序统计量,经验分布函数
一．顺序统计量及其分布
例题 1
设总体 X 在 ( 0, ) 上服从均匀分 布，求容量为 2 的样本 ( X1, X2) 的顺序 统计量X (1),X (2) 的联合概率密度，并且
讨论X (1) , X (2) 是否相互独立．
1 f ( x) θ 0
0 xθ 其它
f1, 2 ( x1 , x2 ) 2! f ( x1 ) f ( x2 )
从而是统计量（随机变量）。 （3）当样本容量 n 足够大时，总体的经验分布 函数是它的理论分布函数很好的近似。
样本点：20
样本点：40
样本点：150
三、直方图
三． 直方图
概率密度函数的 估计问题
设 ( x1, x2, …, xn ) 是来自连续型总体
X ~f ( x )的一个样本观测值，试估计未知
§2-3 顺序统计量 经验分布函数
一、顺序统计量及其分布 二、经验分布函数及其性质
三、直方图
一、顺序统计量及其分布
一．顺序统计量及其分布
顺序统计量的定义
设 ( X1, X2, …, Xn ) 是抽自总体 X ～F ( x) 的样本， 将它们按从小到大的次序排列为 X (1)≤X (2) ≤ … ≤X (n) ， 则称X (1), X (2) , … ,X (n) 为由样本X1, X2, …, Xn 生成的顺序 统计量， X (k),称为第 k 个顺序统计量． 最大顺序统计量 最小顺序统计量 X (n) = max {X1, X2, …, Xn} X (1) = min {X1, X2, …, Xn}
三． 直方图
概率密度函数 的 估计问题
步骤 1 设 ( x1, x2, …, xn ) 是来自连续型总体 X ~f ( x )的一个样本观测值 ，试估计未知的 概率密度函数 f ( x ) 。
秩统计量
1 Ri = ∑ I ( X j ≤ X i ) ， I ( X j ≤ X i ) = j ≠i 0 Ri 是不超过 X i 的 X j 的计数，记
n
X j ≤ Xi X j > Xi
R = ( R1 , R2 ,L, Rn )
称为秩统计量。 6 有结数据的秩 设 X 1 , X 2 ,L X n 是来自总体 X 的样本， 样本中相同 的数据称为结，一个结的数据重复的次数称为结长， 结的秩为排列后位置序号按结长的平均。例如 样本观测值为： 2 排序后： 1 1 1 1 2 2 2 4 2 2 4
为线性秩统计量。an (g) 为记分函数。 cn (i) 为回归常数，
i = 1,L, n 。
3
3 顺序统计量分布函数
n为奇数 n为偶数
设总体的分布函数 F ( x ) ， 则第 r 个顺序统计量 X ( r ) 的分布函数为
Fr ( x) = P ( X ( r ) ≤ x) = P (至少r个X i小于或等于x)
= ∑ P( X 1 , X 2 ,L, X n中恰好有j个小于x)
j =r
n i i = ∑ Cn F ( x) [1 − F ( x) ] i =r n −i
时， S n+ 记为 S + ，是符号统计量。 8 线性秩统计量： 设 X 1 , X 2 ,L X n 为样本， Ri 为 X 1 , X 2 ,L X n 中的秩。 定义 an (g) 和 cn (g) 为在1,2,L, n 上的函数，称
n
S n = ∑ cn (i )an ( Ri )
i =1
7 线性符号秩统计量
+ (g) 设 Ri+ 为 | X i | 在 X 1 , X 2 ,L, X n 中的秩，定义 an
顺序统计量
X1 min X1, X 2 ,, X n ：最小顺序统计量， X(n) max X1, X2 ,, Xn ：最大顺序统计量
**********************************************************
而计算 X k 的密度函数）
设 X k 的分布函数为 Fk x ，计算 X k 落于 x, x的概率
P Xk x, x x Fk x x Fk x
2
k
n!
1 ! n
k
!
F
x k 1
F
1000 0 0 0 1100 0 0 1 1200 0 0 2
64
32
64
1001 0 0 1 1101 0 1 1 1201 0 1 2
32
16
32
1002 0 0 2 1102 0 1 2 1202 0 2 2
64
32
64
1010 0 0 1 1110 0 1 1 1 210 0 1 2
32
16
第十周 独立随机变量和的分布与顺序统计量
10.4 顺序统计量
顺（次）序统计量
X1, X2,, Xn 独 立 同 分 布 ， 分 布 函 数 F x ， 将 这 n 个 随 机 变 量 做 升 序 排 列
X1 X2 Xn ， X1 , X2 ,, Xn 称为顺（次）序统计量(ordered statistics)。
序排列 X 1 X 2 X n ，求 X k 的分布。
1
（分析：考虑 X k 在 x 点附近的分布规律，x 非
上海工程技术大学数理统计复习题(2016.12)
c
s n
t1 (n 1)
200 12
1.796
103.686
拒绝域为
K0 {X 200 c 103.686}
由于 X 2000 9 c ，所以接受 H0 ，拒绝 H1 ，即认为该制造商的 产品与他所说的标准不相符合。
例题 5 某商场为了比较来自两个不同厂家的同一类商品的销量 有无显著差异，随机抽取了商场 9 周的该商品销量数据如下：
F (x))n1
f
(x)
n(
1/ 0,
2
x) n1 ,
x [ 1/ 2, 1/ 2] 其他
f(n)
(x)
n(F
( x)) n1
f
(x)
n(1/
2
x 0,
)n1 ,
x [ 1/ 2, 1/ 2] 其他
二、参数的点估计-极大似然估计法
例题 2 设总体 X ~ N[, 2 ]，其中 R, 0 是未知参数，X1, X 2 ,X n 为
SB rt ( X j X )2 98.0 ， j1
-----列间离差平方和
rs
SAB t
( X ij X j X i X )2 50.0 ， ----行列交互离差平方和
i1 j1
SE ST SA SB SAB 184.0 ，
从 X 中随机抽取的一个样本，x1, x2 ,, xn 是样本的一个观察值，求 参数 , 2 及 2 2 的极大似然估计。
解 总体 X 的密度函数为
f (x, , 2 )
1 2 Βιβλιοθήκη exp (x )2 2 2
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C ( u , v ) H ( F 1 ( u ) ,G1 ( v ) ) . 注 由 Sklar 定理可知, 当随机变量联合分布已知时, 可利用边缘分布的反函数和联合分布, 求出相应 的 Copula 函数. 利用 Copula 函数度量连续型随机变量之间的相关性, 优点在于由其导出的相关性指标是严格单增变 换下的相关性, 比线性相关使用的范围更广. 下面介绍一种重要的相关性测度. 定义 2[2] 设 X 和 Y 是连续型随机变量, 它们具有 Copula 函数 C ( u , v) , 则
中图分类号: O212
文献标识码: A
文章编号: 1672-5298(2 Structure Between Order Statistics
X(1)and X(n)
PENG Dingzhong
(School of Mathematics, Hunan Institute of Science and Technology, Yueyang 414006, China)
画 X (1) 和 X (n) 相关结构的 Copula, 并在此基础上计算它们的相关性测度.
1 预备知识
定义 1[2] 若一个二元函数 C :[ 0 , 1]2 [ 0 , 1] 满足如下条件: (1) 对任意的变量 t I [ 0, 1] , 都有 C ( t , 0 ) C ( 0, t ) 0 , C ( t , 1) C (1, t ) t ; (2) 对任意的 u1,u2, v1, v2 I [ 0 , 1] , 且 u1 ≤ u2, v1 ≤ v2 , 有
X,Y 4 C ( u , v ) dC ( u, v ) 1
( s ( X ) , t (Y ) ) ~ Cs ( X ), t (Y ) ( u, v ) v C (1 u, v ) ; (2) 若 u , v 独立, 则 C ( u , v ) uv . Sklar 定理[2] 设随机变量 ( X , Y ) 的联合分布为 H ( x, y ) , 边缘分布分别为 F ( x) , G ( y) . 令
F1,n ( x ,
y
)
[ [
F F
( (
y y
) )
]n ]n
,
[
F
(
y
)
F
(
x
)
]n
, xy, x≥ y.
(1)
二元 Copula 能联系随机变量 X , Y 的联合分布函数与边缘分布函数. 作为一种灵活而稳健的相关性分
析工具, Copula 理论在分析变量间的相关结构时有很多优势[2~4]. 本文借助文[2]中的 Sklar 定理得到了能刻
C ( u2 , v2) C ( u2 , v1 ) C ( u1 , v2 ) C ( u1 , v1 ) ≥ 0 , 则称 C 为 Copula 函数.
收稿日期: 2018-03-22 基金项目: 湖南省教育厅一般项目(15C0618) 作者简介: 彭定忠(1981− ), 男, 湖南浏阳人, 硕士, 讲师. 主要研究方向: 概率论与数理统计
X (1) min{X1, X 2,Λ, X n}, X (n) max{X1, X 2,Λ, X n} . 最小项顺序统计量与最大项顺序统计量在可靠性理论、均匀分布的参数估计等方面起着非常重要的
作用. 由文[1]可知, 当 x, y ( 0, 1) 时,
X (1) ~ F1( x ) 1 [1 F( x ) ]n , X (n) ~ Fn( y ) [ F ( y ) ]n . ( X (1) , X (n) ) 的联合分布函数为
第2期
彭定忠: 顺序统计量 X(1)和 X(n)的相关结构
7
条件(1)称为二元函数具有零基面(grounded); 条件(2)称为二元函数二维递增(2-increasing). 本文需用到 Copula 函数的两个基本性质: (1) 设 s (x ) 是关于 x 的严格递减函数, t ( y ) 是关于 y 的严格递增函数, 若 ( X ,Y ) ~ C ( u , v ) , 则
Key words: order statistics; Copula; asymptotic independent; Kendall’s
设 X1, X 2, Λ, X n 是来自总体 X 的简单随机样本, X 具有分布函数 F(x) , X (1) ≤ X (2) ≤Λ≤ X (n) 为其顺 序统计量. 显然,
第 31 卷 第 2 期 2018 年 6 月
湖南理工学院学报(自然科学版)
Journal of Hunan Institute of Science and Technology (Natural Sciences)
Vol.31 No.2 Jun. 2018
顺序统计量 X(1)和 X(n)的相关结构
彭定忠
(湖南理工学院 数学学院, 湖南 岳阳 414006)
摘 要: 利用 Copula 研究顺序统计量 X(1)和 X(n)的相关结构, 证明了当样本容量 n 时, X(1)与 X(n)是渐近独立的. 并 计算了它们的相关性测度.
关键词: 顺序统计量; Copula; 渐近独立; Kendall’s
Abstract: In this paper, we study the dependence structure between order statistics X(1)and X(n), give a proof for their asymptotic independence as n approaches infinity, and calculate the dependence measures.