1 质点运动学习题详解

习题一一、选择题1． 质点沿轨道AB 作曲线运动，速率逐渐减小，图中哪一种情况正确地表示了质点在C[ ](A) (B) (C) (D) 答案：C解：加速度方向只能在运动轨迹内侧，只有[B]、[C]符合；又由于是减速运动，所以加速度的切向分量与速度方向相反，故选（C ）。

2． 一质点沿x 轴运动的规律是245x t t =-+（SI 制）。

则前三秒内它的 [ ] （A ）位移和路程都是3m ；（B ）位移和路程都是-3m ； （C ）位移是-3m ，路程是3m ； （D ）位移是-3m ，路程是5m 。

答案：D 解：3253t t x xx==∆=-=-=-24dx t dt =-，令0dxdt=，得2t =。

即2t =时x 取极值而返回。

所以： 022*********|||||||||15||21|5t t t t S S S x x x x x x ----=====+=+=-+-=-+-=3． 一质点的运动方程是cos sin r R ti R tj ωω=+，R 、ω为正常数。

从t ＝/πω到t =2/πω时间内（1）该质点的位移是 [ ]（A ） -2R i ； （B ）2R i； （C ） -2j ； （D ）0。

（2）该质点经过的路程是 [ ]（A ）2R ； （B ）R π； （C ）0； （D ）R πω。

答案：B ；B 。

解：（1）122,t t ππωω==，21()()2r r t r t Ri ∆=-=； （2）∆t 内质点沿圆周运动了半周，故所走路程为πR 。

或者：,x y dx dy v v dt dt==，21,t t v R S vdt R ωπ===⎰4． 一细直杆AB ，竖直靠在墙壁上，B 端沿水平方向以速度v滑离墙壁，则当细杆运动到图示位置时，细杆中点C 的速度 [ ]（A ）大小为/2v ，方向与B 端运动方向相同；（B ）大小为/2v ，方向与A 端运动方向相同； （C ）大小为/2v , 方向沿杆身方向；（D ）大小为/(2cos )v θ ，方向与水平方向成θ角。

答案：D解：设细杆的长度为2l ，对C 点有 位置：sin ,cos C C x l y l θθ==；速度：cos ,sin Cx Cy d d v l v l dt dt θθθθ==；所以，2cos C d v v l dt θθ===.（B 点：2sin ,2cos ,2cos B B d d vx l v l v dt dt l θθθθθ===∴=）。

5． 某人以4km/h 的速率向东前进时，感觉风从正北吹来，如将速率增加一倍，则感觉风从东北方向吹来。

实际风速与风向为 [ ] (A) 4km/h ，从北方吹来； (B) 4km/h ，从西北方吹来；(C)，从东北方吹来； (D) ，从西北方吹来。

答案：D解：0v v v v v v '=+⇒=+风人风地人地 0v v v '+''=，002v v '= 0cos v v θ=，0tan v v θ'= v v '='' 45sin 0t a n v v θ'''=222220000002222200002cos 42.2cos cos cos 442tan cos2v v v v v vv v v v v v v θθθθθθ⎛⎫''''=+-=+- ⎪⎝⎭=+-=vv 'θv 'v θ45︒22sin 1sin 45θθθ︒===0cos v v θ==（从西北方吹来）。

二、填空题1．一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道P 点处速度大小为v ，其方向与水平方向成30°角。

则物体在P 点的切向加速度a τ = ，轨道的曲率半径ρ= 。

答案：12g -2。

解：j g a-=， a g = 1c o s ()s i n 3022a a gg τπθ=+=-=-cos cos30n a a g θ==。

又因 2n v a ρ= ，所以222c o s 30n v v a g ρ==2． 一质点在xy 平面内运动，其运动学方程为j t i t r )2(22-+=，其中t r ,分别以米和秒为单位，则从t = 1秒到t = 3秒质点的位移为 ；t =2秒时质点的加速度为 ；质点的轨迹方程是 。

答案：23i j -；2j -；224x y =-。

解： (2)(1)23r r r i j ∆=-=- ， 22222d x d ya i j j dt dt =+=-22,2x t y t ==-，消去时间t 得 224xy =-。

3. 一质点沿半径为R 的圆周运动，运动学方程为2021bt t v s -=，其中b v ,0都是常数，t 时刻，质点的加速度矢量=a；加速度大小为b 时，质点沿圆周运行的圈数为 。

答案：20()v bt n b R τ--；024v Rbπ。

Pxna a τa解：（1）bt v dt ds v -==0，b dtsd a -==22τ 20()n v bt a a n a n b Rτττ-=+=-（2）令0(v a b ⎡-=⎢， 得 b v t 0= 2200001()(0)()22v v v s s t s v b b b b ∆=-=-=， 得0224v sn R Rbππ∆==4在相对地面静止的坐标系内，A 、B 二船都以2ms -1的速率匀速行驶，A 船沿x 轴正向，B 船沿y 轴正向。

今在A 船上设置与该坐标系方向相同的坐标系（xy 方向的单位矢量为j i ,），那么在A 船上的坐标系中，B 船的速度（以ms -1为单位）为 。

答案：22i j -+ 解：如图地地地地A B A B BA v v v v v -=+=j v B2=地 i v A2=地答案(B)j i v BA22+-=5.一质点沿半径为0.1m 的圆周运动，其用角坐标表示的运动学方程为342t +=θ，θ的单位为rad ，t 的单位为s 。

问t = 2s 时，质点的切向加速度 法向加速度 ；θ等于 rad 时，质点的加速度和半径的夹角为45°。

答案：24Rt ；2230.4m/s ；2.67rad 。

解：（1）212d t dtθω==，2224d t dt θα==；24144n a R Rt ω==，24a R Rt τα==。

t = 2s 时，2230.4m/s n a =，24.8m/s a τ=（2）设t '时，a 和半径夹角为45°，此时n a a τ=，即414424Rt Rt ''=，得31/6t '= 所以3()24 2.67rad t t θ''=+=iv A2=地jv B2=地oy xBA题图三、计算题1．一质点由静止开始做直线运动，初始加速度为0a ，以后加速度均匀增加，每经过τ秒增加0a ，求经过t 秒后质点的速度和位移。

答案：2002a v a t t τ=+；2300126a x a t t τ=+。

由题意可知，角速度和时间的关系为0a a a t τ=+根据直线运动加速度定义dva dt=20000000()2t t a a dvv v dt adt a t dt a t t dt ττ-===+=+⎰⎰⎰0t =时刻，00v = 所以 2002av a t t τ=+又dxv dt=，所以 22300000001()226t t a a dx x x dt vdt a t t dt a t t dt ττ-===+=+⎰⎰⎰0t =时刻，00x = 所以 2300126a x a t t τ=+2．一质点以初速度0v 作一维运动，所受阻力与其速率成正比，试求当质点速率为v n(1)n >时，质点经过的距离与质点所能行经的总距离之比。

答案：11n-。

解：质点作一维运动。

初始条件：0t =时，0x =，0v v =。

又由题意，质点的加速度可表示为a kv =-式中，k 为大于零的常数。

解法一：由加速度的定义有dva kv dt==- 分离变量dvkdt v=- 由初始条件0t =时0v v =，有00vt v dvk dt v =-⎰⎰ 积分得0e (1)kt v v -=所以0e kt dxv v dt-== 由初始条件0t =时0x =，积分得00e (1e )tkt kt v x v dt k--==-⎰ 上式可写为m (1e ) (2)kt x x -=-其中，0m v x k=为质点所能行经的最大距离。

联立式（1）和式（2），得m 00()xx v v v =- 故m 0(1)x v x v =- 将0v v n=代入上式，得 11m x x n=- 解法二：由加速度的定义，并作变量替换有dva vkv dx==- 即dv kdx =-由初始条件0x =时0v v =，有vxv dv k dx =-⎰⎰积分得0 (3)v v kx =-由上式得0v vx k-=。

故当0v v n =时，01(1) (4)v x k n=-又由dxv dt=及式（3），有0dxdt v kx=-由初始条件0t =时0x =，积分得00lnv kxkt v -=-Br即(1e )kt v x k-=- 可见，质点所能行经的最大距离为 0m v x k=故当0v v n=时，由式（4）及上式得 11m x x n=-23.6,48()1n xy x t y t SI t s a a τ==-=一质点在平面内的运动方程，求时，质点的切向加速度与法向加速度。

228.4,4.6--==ms a ms a n τ答案：解：t dtdy v dt dx v y x 8,6====26436t v += 216932ttdt dv a +==τ 214.6-==ms a t τ28,8,0-===ms a a a y x2228.4-=-=ms a a a n τ4．如图，一超音速歼击机在高空 A 时的水平速率为1940 km/h ，沿近似于圆弧的曲线俯冲到点B ，其速率为2192 km/h ，所经历的时间为3s ，设圆弧 AB 的半径约为3.5km ，且飞机从A 到B 的俯冲过程可视为匀变速率圆周运动，若不计重力加速度的影响，求：（1）飞机在点B 的加速度；（2）飞机由点A 到点B 所经历的路程。

答案：（1）2109m s a -=⋅，与法向成12.4角；（2）m 1722=s 。

解：（1）因飞机作匀变速率运动，所以t a 和α为常量t d d v a t=，t t 0d d tB A v a t v v a t =⇒-=⎰⎰BAv v ，已知11940km h v -=⋅A ，12192km h v -=⋅B3s t =， 3.5km r =，所以 2t 23.3m s B Av v a t--==⋅ 在点 B 的法向加速度 22n 106m s Bv a r-==⋅在点 B 的总加速度大小2109m s a -==⋅a 与法向之间夹角tnarctan12.4a a β== （2）在时间t 内矢径r所转过的角度为 212A t t θωα=+ 飞机经过的路程为2t 11722m 2A s r v t a t θ==+=5．如图所示，一条宽度为d 的小河，已知河水的流速随着离开河岸的距离成正比地增加，靠两岸边河水的流速为零，而在河中心处流速最大，为0v 。