初中数学二次函数真题汇编及解析

A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【答案】C
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后
根据抛物线与 x 轴交点及 x=-1 时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判
断．
【详解】
解：由图象可知，a＜0，c＞0，故①正确；抛物线与 x 轴有两个交点，则 b²-4ac>0,故②
初中数学二次函数真题汇编及解析
一、选择题
1．如图，坐标平面上，二次函数 y＝﹣x2+4x﹣k 的图形与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交 于 C 点，其顶点为 D，且 k＞0．若△ABC 与△ABD 的面积比为 1：4，则 k 值为何？( )
பைடு நூலகம்
A．1
B． 1
C． 4
D． 4
2
3
5
【答案】D
【解析】
6．已知抛物线W : y x2 4x c ，其顶点为 A ，与 y 轴交于点 B ，将抛物线W 绕原点
旋转180 得到抛物线W ' ，点 A, B 的对应点分别为 A', B ' ，若四边形 ABA' B' 为矩形，则 c 的值为（ ）
A． 3 2
【答案】D 【解析】
B． 3
C． 3 2
D． 5 2
A．当 m=-3 时，函数图象的顶点坐标是（ 1 ， 8 ） 33
B．当 m>0 时，函数图象截 x 轴所得的线段长度大于 3 2
C．当 m≠0 时，函数图象经过同一个点
D．当 m<0 时，函数在 x> 1 时，y 随 x 的增大而减小 4
【答案】D 【解析】
分析：A、把 m=-3 代入[2m，1-m，-1-m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用顶点坐标公 式解答即可；
C．3
D．4
【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次函数 y＝ax2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与 y 轴的交点抛物
线与 x 轴交点的个数确定解答．
【详解】
①由抛物线的对称轴可知：﹣ ＞0，
∴ab＜0， ∵抛物线与 y 轴的交点在正半轴上， ∴c＞0， ∴abc＜0，故①正确；
②∵﹣ ＝1，
数 y＝x2﹣4x 与直线 y＝t 的交点，﹣1＜x＜4 时﹣4≤y＜5，进而求解；
【详解】
解：∵对称轴为直线 x＝2，
∴b＝﹣4，
∴y＝x2﹣4x，
关于 x 的一元二次方程 x2+bx﹣t＝0 的解可以看成二次函数 y＝x2﹣4x 与直线 y＝t 的交点，
∵﹣1＜x＜4，
∴二次函数 y 的取值为﹣4≤y＜5，
∴ b 2a ， ∴ 2a b c 4a c ， ∵ a 0 ， 4a 0 ， c0，a0， ∴ 2a b c 4a c 0 ，
故③错误；
④∵对称轴为直线 x 1 ，抛物线与 x 轴一个交点 3 x1 2 ， ∴抛物线与 x 轴另一个交点 0 x2 1 ， 当 x 1时， y a b c 0 ，
4
4
再递减，此结论错误；
根据上面的分析，①②③都是正确的，④是错误的． 故选 D． 点睛：考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐
标特征．
9．已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图像如图所示，则下列结论正确的个数有（ ） ①c＞0；②b2－4ac＜0；③ a－b＋c＞0；④当 x＞－1 时，y 随 x 的增大而减小．
B、令函数值为 0，求得与 x 轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题； C、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可； D、根据特征数的特点，直接得出 x 的值，进一步验证即可解答． 详解：
因为函数 y=ax2+bx+c 的特征数为[2m，1﹣m，﹣1﹣m]；
A、当 m=﹣3 时，y=﹣6x2+4x+2=﹣6（x﹣ 1 ）2+ 8 ，顶点坐标是（ 1 ， 8 ）；此结论正
D、当 m＜0 时，y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m） 是一个开口向下的抛物线，其对称轴
是：直线 x= m 1 ，在对称轴的右边 y 随 x 的增大而减小．因为当 m＜0 时， 4m
m 1 1 1 1 ，即对称轴在 x= 1 右边，因此函数在 x= 1 右边先递增到对称轴位置，
4m 4 4m 4
3．二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图象如图所示，下列结论① b2 4ac ， ② abc 0 ，③ 2a b c 0 ，④ a b c 0．其中正确的是（ ）
A．①④
B．②④
C．②③
D．①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】
①抛物线与 x 轴由两个交点，则 b2 4ac 0 ，即 b2 4ac ，所以①正确；②由二次函
【分析】
先求出 A(2，c-4)，B(0，c)， A'(2，4 c)，, B '(0， c) ，结合矩形的性质，列出关于 c 的方
程，即可求解．
【详解】
∵抛物线W : y x2 4x c ，其顶点为 A ，与 y 轴交于点 B ，
∴A(2，c-4)，B(0，c)，
∵将抛物线W 绕原点旋转180 得到抛物线W ' ，点 A, B 的对应点分别为 A', B ' ， ∴ A'(2，4 c)，, B '(0， c) ，
33
33
确；
B、当 m＞0 时，令 y=0，有 2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=0，解得：x1=1，x2=﹣ 1 ﹣ 2
1， 2m
|x2﹣x1|= 3 + 1 ＞ 3 ，所以当 m＞0 时，函数图象截 x 轴所得的线段长度大于 3 ，此结
2 2m 2
2
论正确；
C、当 x=1 时，y=2mx2+（1﹣m）x+（﹣1﹣m）=2m+（1﹣m）+（﹣1﹣m）=0 即对任意 m，函数图象都经过点（1，0）那么同样的：当 m=0 时，函数图象都经过同一个点（1， 0），当 m≠0 时，函数图象经过同一个点（1，0），故当 m≠0 时，函数图象经过 x 轴上一 个定点此结论正确．
数图象可知， a 0 ， b 0 ， c 0 ，所以 abc 0 ，故②错误；
③对称轴：直线 x b 1， b 2a ，所以 2a b c 4a c ， 2a
2a b c 4a c 0 ，故③错误；
④对称轴为直线 x 1 ，抛物线与 x 轴一个交点 3 x1 2 ，则抛物线与 x 轴另一个交
∴b<0 ∴abc＞0；①正确； ∵抛物线与 x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线 x=1， ∴抛物线与 x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间． ∴当 x=-1 时，y<0， 即 a-b+c<0，所以②不正确； ∵抛物线的顶点坐标为（1，m）， ∴ 4ac b2 =m，
错误;∵当 x=-1 时，y>0,即 a-b+c>0， 故③正确;
由图象可知，图象开口向下，对称轴 x＞-1，在对称轴右侧， y 随 x 的增大而减小，而在对
称轴左侧和-1 之间，是 y 随 x 的增大而减小，故④错误．
点 0 x2 1 ，当 x 1 时， y a b c 0 ，故④正确．
【详解】
解：①∵抛物线与 x 轴由两个交点，
∴ b2 4ac 0 ，
即 b2 4ac ，
所以①正确； ②由二次函数图象可知，
a0，b0，c 0， ∴ abc 0 ，
故②错误；
③∵对称轴：直线 x b 1， 2a
∴﹣4≤t＜5；
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数
与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键．
8．定义[a，b，c]为函数 y=ax2+bx+c 的特征数，下面给出特征数为[2m，1-m，-1-m]的函数 的一些结论，其中不正确的是（ ）
【分析】
求出顶点和 C 的坐标，由三角形的面积关系得出关于 k 的方程，解方程即可．
【详解】
解：∵y＝﹣x2+4x﹣k＝﹣(x﹣2)2+4﹣k，
∴顶点 D(2，4﹣k)，C(0，﹣k)，
∴OC＝k，
∵△ABC 的面积＝ 1 AB•OC＝ 1 AB•k，△ABD 的面积＝ 1 AB(4﹣k)，△ABC 与△ABD 的面积
7．二次函数 y＝x2+bx 的对称轴为直线 x＝2，若关于 x 的一元二次方程 x2+bx﹣t＝0（t 为
实数）在﹣1＜x＜4 的范围内有解，则 t 的取值范围是（ ）
A．0＜t＜5
B．﹣4≤t＜5
C．﹣4≤t＜0
D．t≥﹣4
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出 b，确定二次函数解析式，关于 x 的一元二次方程 x2+bx﹣t＝0 的解可以看成二次函
A． 12＜t≤3
B． 12＜t＜4
C． 12＜t≤4
D． 12＜t＜3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据给出的对称轴求出函数解析式为 y＝－x2−2x＋3，将一元二次方程－x2＋bx＋3−t＝0 的
实数根看做是 y＝－x2−2x＋3 与函数 y＝t 的交点，再由﹣2＜x＜3 确定 y 的取值范围即可 求解. 【详解】 解：∵y＝－x2＋bx＋3 的对称轴为直线 x＝－1， ∴b＝−2， ∴y＝－x2−2x＋3， ∴一元二次方程－x2＋bx＋3−t＝0 的实数根可以看做是 y＝－x2−2x＋3 与函数 y＝t 的交 点， ∵当 x＝−1 时，y＝4；当 x＝3 时，y＝－12， ∴函数 y＝－x2−2x＋3 在﹣2＜x＜3 的范围内－12＜y≤4， ∴－12＜t≤4， 故选：C． 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质，能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点 问题是解题关键．
5．如图是抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，m），且与 x 铀的 一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＞0；③b2＝ 4a（c﹣m）；④一元二次方程 ax2+bx+c＝m+1 有两个不相等的实数根，其中正确结论的个 数是（ ）
2
2
2
比为 1：4，
∴k＝ 1 (4﹣k)， 4
解得：k＝ 4 ． 5
故选：D．
【点睛】
本题考查了抛物线与 x 轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解
决问题的关键．
2．抛物线 y＝ x2+bx+3 的对称轴为直线 x＝ 1．若关于 x 的一元二次方程 x2+bx+3﹣t＝
0（t 为实数）在﹣2＜x＜3 的范围内有实数根，则 t 的取值范围是（ ）
故④正确． 故选：A． 【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
4．已知二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列 4 个结论：①abc＜0；②2a+b ＝0；③4a+2b+c＞0；④b2﹣4ac＞0；其中正确的结论的个数是（ ）
A．1
B．2
4a ∴b2=4ac-4am=4a（c-m），所以③正确； ∵抛物线与直线 y=m 有一个公共点， ∴抛物线与直线 y=m+1 有 2 个公共点， ∴一元二次方程 ax2+bx+c=m+1 有两个不相等的实数根，所以④正确． 故选:C． 【点睛】 考核知识点：抛物线与一元二次方程．理解二次函数性质，弄清抛物线与一元二次方程的 关系是关键．
∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，故②正确． ③∵（0，c）关于直线 x＝1 的对称点为（2，c）， 而 x＝0 时，y＝c＞0， ∴x＝2 时，y＝c＞0， ∴y＝4a+2b+c＞0，故③正确； ④由图象可知：△＞0， ∴b2﹣4ac＞0，故②正确； 故选：D． 【点睛】 本题考查二次函数的图象与系数的关系，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质， 属于中考常考题型．
∵四边形 ABA' B' 为矩形， ∴ AA' BB' ，
∴2 (2)2 (c 4) (4 c)2 (2c)2 ，解得： c 5 ．
2
故选 D． 【点睛】 本题主要考查二次函数图象的几何变换以及矩形的性质，掌握二次函数图象上点的坐标特 征，关于原点中心对称的点的坐标特征以及矩形的对角线相等，是解题的关键．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线的开口方向和与坐标轴的交点及对称轴可判别 a，b，c 的正负；根据抛物线的
对称轴位置可判别在 x 轴上另一个交点；根据抛物线与直线 y=m 的交点可判定方程的解．
【详解】
∵函数的图象开口向上，与 y 轴交于负半轴
∴a>0,c<0
∵抛物线的对称轴为直线 x=－ b =1 2a