江苏专用2018高考数学一轮复习第五章三角函数解三角形第23课两角和与差的正弦余弦和正切公式教师用书

第23课两角和与差的正弦、余弦和正切公式 [最新考纲]

内容 要求 A B C 两角和(差)的正弦、余弦及正切 √

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； (2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；

(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β. 2．有关公式的变形和逆用 (1)公式T(α±β)的变形： ①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)； ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)． 3．辅助角公式

asin α＋bcos α＝a2＋b2sin(α＋φ)其中tan φ＝ba.

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．( )

(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( ) (4)公式asin x＋bcos x＝a2＋b2sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× 2．(教材改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝________. 12 [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10° ＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12.] 3．(2017·苏州模拟)若α∈(0，π)，cos α＝－45，则tan α＋π4＝________. 17 [∵α∈(0，π)，cos α＝－45，∴sin α＝1－cos2α＝35，

∴tan α＝－34.

∴tanα＋π4＝tan α＋11－tan α＝－34＋11＋34＝17.] 4．若sin α＋3cos α＝1，且α∈0，π2，则α＝________. π2 [∵sin α＋3cos α＝2sinα＋π3＝1，

∴sinα＋π3＝12，又α∈0，π2， ∴α＋π3＝5π6，∴α＝π2.] 5．若tan α＝13，tan(α＋β )＝12，则tan β＝________. 17 [tan β＝tan[(α＋β)－α]＝α＋β－tan α1＋α＋βα＝12－131＋12×13＝17.]

三角函数公式的基本应用 (2014·江苏高考)已知α∈π2，π，sin α＝55. (1)求sinπ4＋α的值； (2)求cos5π6－2α的值． [解] (1)因为α∈π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin2α＝－255. 故sinπ4＋α＝sinπ4cos α＋cos π4sin α ＝22×－255＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×－255＝－45，cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×552＝35， 所以cos5π6－2α＝cos5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α ＝－32×35＋12×－45＝－4＋3310. [规律方法] 1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征． 2．使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．

[变式训练1] (1)若α∈π2，π，tanα＋π4＝17，则sin α＝________.

(2)已知cosx－π6＝－33，则cos x＋cosx－π3的值是________． (1)35 (2)－1 [(1)∵tanα＋π4＝tan α＋11－tan α＝17， ∴tan α＝－34＝sin αcos α，∴cos α＝－43sin α. 又∵sin2α＋cos2α＝1， ∴sin2α＝925.

又∵α∈π2，π，∴sin α＝35. (2)cos x＋cosx－π3 ＝cos x＋12cos x＋32sin x ＝32cos x＋32sin x ＝332cos x＋12sin x ＝3cosx－π6＝－1.] 三角函数公式的逆用及变形应用 (1)若锐角α，β满足tan α＋tan β＝3－3tan αtan β，则α＋β＝________. (2)sin 50°(1＋3tan 10°)＝________.

(1)π3 (2)1 [(1)∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tanαtan β＝3－3tan αtan β1－tan αtan β＝3. 又α，β∈0，π2， ∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3. (2)sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°1＋3·sin 10°cos 10°

＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°

＝sin 50°×212cos 10°＋32sin 10°cos 10° ＝2sin 50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.] [规律方法] 1.逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． 2．tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用． [变式训练2] (1)sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)的值为________． (2)在斜三角形ABC中，sin A＝－2cos B·cos C，且tan B·tan C＝1－2，则角A的值为________．

(1)22 (2)π4 [(1)原式＝sin(65°－x)·cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos[90°－(x－20°)]＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·sin(x－20°)＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin 45°＝22. (2)由题意知：sin A＝－2cos B·cos C＝sin(B＋C)＝sin B·cos C＋cos B·sin C，在等式两边同除以cos B·cos C得tan B＋tan C＝－2，

又tan(B＋C)＝tan B＋tan C1－tan Btan C＝－1＝－tan A，所以A＝π4.] 角的变换问题 (1)设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝________. (2)若0于________． (1)2525 (2)539 [(1)依题意得

sin α＝1－cos2 α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin2α＋β＝±45. 又α，β均为锐角，所以0cos α>cos(α＋β)．

因为45>55>－45， 所以cos(α＋β)＝－45. 于是cos β＝cos[]α＋β－α ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α

＝－45×55＋35×255＝2525. (2)∵0所以由cosπ4＋α＝13， 得sinπ4＋α＝223， 又－π2∴sinπ4－β2＝63， 故cosα＋β2＝cosπ4＋α－π4－β2 ＝cosπ4＋αcosπ4－β2＋sinπ4＋αsinπ4－β2＝539.] [规律方法] 1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已 知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．

2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝α＋β2－α2＋β等．

[变式训练3] 定义运算a bc d＝ad－bc.若cos α＝17，sin α sin βcos α cos β＝3314，0＜β＜α＜π2，则β等于________． π3 [依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0＜β＜α＜π2，

∴0＜α－β＜π2， 故cos(α－β)＝1－sin2α－β＝1314， 而cos α＝17，∴sin α＝437， 于是sin β＝sin[α－(α－β)] ＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)

＝437×1314－17×3314＝32.故β＝π3.]