密码学数学基础ppt课件
合集下载
密码学基础PPT课件
虽然仅有26个字母，但有26×26＝676种字母对， 因此，识别字母对要比单个字母要困难得多
一个明文字母有多种可能的代换密文字母，使 得频率分析困难的多(hs成为BP, hq成为YP)。
由于这些原因，Playfair密码过去长期被认 为是不可破的。
最简单的多表代换密码---Vigenère
注意
Internet的广泛应用，可以把全世界的计算机资源 连成一体，形成巨大的计算能力，从而拥有巨大的 密码破译能力，使原来认为安全的密码被破译。
1994年，40多个国家的600多位科学家通过Internet， 历时9个月破译了RSA-129密码，1999年又破译了RSA - 140密码，2005年，RSA-200也被成功破译。
经典密码运用的两种基本技术：
代换法：将明文字母替换成其他字母、数字 或符号
置换法：明文的字母保持相同，但顺序被打 乱
代换技术
代换法，是将明文字母替换成其他字母、数 字或符号的方法。
Caesar密码（已知的最早的代换密码）
例如：明晨五点发动反攻 明文：MING CHEN WU DIAN FA DONG FAN GONG 密文：PLQJ FKHQ ZX GLDQ ID GRQJ IDQ JRQJ
密码系统的分类(3)
根据加密算法是否变化分类
设E为加密算法，K0, K1,…,Kn,为密钥， M0,M1,…,Mn为明文，C为密文
固定算法密码体制
C0=E(M0,K0), C1=E(M1,K1),..., Cn=E(Mn,Kn)
变化算法密码体制
C0=E1 (M0,K0), C1=E2 (M1,K1),..., Cn=En (Mn,Kn)
密码学的发展历史(5)
一个明文字母有多种可能的代换密文字母，使 得频率分析困难的多(hs成为BP, hq成为YP)。
由于这些原因，Playfair密码过去长期被认 为是不可破的。
最简单的多表代换密码---Vigenère
注意
Internet的广泛应用，可以把全世界的计算机资源 连成一体，形成巨大的计算能力，从而拥有巨大的 密码破译能力，使原来认为安全的密码被破译。
1994年，40多个国家的600多位科学家通过Internet， 历时9个月破译了RSA-129密码，1999年又破译了RSA - 140密码，2005年，RSA-200也被成功破译。
经典密码运用的两种基本技术：
代换法：将明文字母替换成其他字母、数字 或符号
置换法：明文的字母保持相同，但顺序被打 乱
代换技术
代换法，是将明文字母替换成其他字母、数 字或符号的方法。
Caesar密码（已知的最早的代换密码）
例如：明晨五点发动反攻 明文：MING CHEN WU DIAN FA DONG FAN GONG 密文：PLQJ FKHQ ZX GLDQ ID GRQJ IDQ JRQJ
密码系统的分类(3)
根据加密算法是否变化分类
设E为加密算法，K0, K1,…,Kn,为密钥， M0,M1,…,Mn为明文，C为密文
固定算法密码体制
C0=E(M0,K0), C1=E(M1,K1),..., Cn=E(Mn,Kn)
变化算法密码体制
C0=E1 (M0,K0), C1=E2 (M1,K1),..., Cn=En (Mn,Kn)
密码学的发展历史(5)
[课件]第2讲 密码学的基本概念和理论基础PPT
![[课件]第2讲 密码学的基本概念和理论基础PPT](https://img.taocdn.com/s3/m/c96e9c1b376baf1ffc4fadc0.png)
20
（3）公元前50年，著名的恺撒大帝发明了一种密码叫做恺 撒密码。在恺撒密码中，每个字母都与其后第三位的字母 对应，然后进行替换。如果到了字母表的末尾，就回到开 始，如此形成一个循环。当时罗马的军队就用恺撒密码进 行通信。 恺撒密码明文字母表：A B C D E F G … X Y Z 恺撒密码密文字母表：D E F G H I J …A BC 26个字符代表字母表的26个字母，从一般意义上说，也可 以使用其它字符表，一一对应的数字也不一定要是3，可 以选其它数字。
3. 密码系统
一个好的密码系统应满足： 系统理论上安全，或计算上安全（从截获的密文或已知 的明文-密文对，要确定密钥或任意明文在计算上不可行 ）； 系统的保密性是依赖于密钥的，而不是依赖于对加密体 制或算法的保密； 加密和解密算法适用于密钥空间中的所有元素； 系统既易于实现又便于使用。
第2阶段：常规现代密码学,从1949年到1975年。
标志：1949年Shannon发表的《保密系统的信
息理论》一文。信息论为对称密码系统建立了理 论基础，从此密码学成为一门科学。
以及《破译者》的出版和美国数据加密标准DES
的实施，标志着密码学的理论与技术的划时代的 革命性变革，宣布了近代密码学的开始。
明文X 加密机 密文Y
原来的明文X
解密机
单钥密码的加密、解密过程
8
双密钥系统又称为非对称密码系统或公开密钥系统。双密钥 系统有两个密钥，一个是公开的，用K1表示，谁都可以使 用；另一个是私人密钥，用K2表示。
K1 明文X 加密算法 密文Y K2 解密算法
原来的明文X
双钥密码的加密、解密过程
双密钥系统的主要特点是将加密和解密密钥分开。即用公 开的密钥K1加密消息，发送给持有相应私人密钥K2的人， 只有持私人密钥K2的人才能解密；而用私人密钥K2加密的 消息，任何人都可以用公开的密钥K1解密，此时说明消息 来自持有私人密钥的人。前者可以实现公共网络的保密通 信，后者则可以实现对消息进行数字签名。
密码学的数学基础PPT39页
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的—易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
密码学的数学基础4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
信息安全导论5密码学数学基础
2024/4/3
13
3、模运算：对于某个固定模m的同余式可以象普通的等式那 样相加相减和相乘：
a(mod m)±b(mod m)=(a±b)(mod m)
a(mod m)*b(mod m)=a*b(mod m)
例：由同余式演算证明560－1是56的倍数，223－1是47的倍数。
解：
注意53=125≡13(mod56) 于是有56≡169≡1(mod56) 对同余式的两边同时升到10次幂， 即有56∣(560-1)。 其次, 注意26=64≡-30(mod47),
2024/4/3
5
互素与最大公约数
最大公约数（最大公因子）：
若a,b,c∈Z，如果c∣a，c∣b，称c是a和b的公约数。正 整数d称为a和b的最大公约数(记d=gcd(a,b)或(a,b)) ，如 果它满足:
d是a和b的公约数。 对a和b的任何一个公约数c有c∣d。
等价的定义形式是：
gcd(a,b)=max{k: k∣a，k∣b} 若gcd(a,b)=1，称a与b是互素的。
2024/4/3
4
整除基本性质 a|a; b≠0，b | 0;
If a|b,b|c,then a|c;
if a|1, then a=±1; if a|b, and b|a,then a=±b; if b|g and b|h, then b|(mg+nh),for any integers m and n 注意: if a=0 mod n, then n|a
g c d ( a ,b ) = P 1 m in ( e 1 ,f1 )P 2 m in ( e 2 ,f2 )
P m in ( e t,ft) t
lc m ( a ,b ) = P 1 m a x ( e 1 ,f 1 ) P 2 m a x ( e 2 ,f2 )
《密码学基本概念》PPT课件
19
精选PPT
六、密码学的理论基础
⑴ 商农信息论
①从信息在信道传输中可能受到攻击，引入密码理论；
②提出以扩散和混淆两种基本方法设计密码；
③阐明了密码系统，完善保密，理论保密和实际保密 等概念。
⑵ 计算复杂性理论
①密码的安全性以计算复杂度来度量；
②现代密码往往建立在一个数学难题之上，而难是计 算复杂度的概念；
③商用密码： 用于保护国家和事企业单位的非机密的敏感信息。
④个人密码： 用于保护个人的隐私信息。
前三种密码均由国家密码管理局统一管理！
3
精选PPT
二、密码的基本思想
伪装信息，使未授权者不能理解它的真实含义。
所谓伪装就是对信息进行一组可逆的数学变换。 伪装前的原始信息称为明文, 伪装后的信息称 为密文，伪装的过程称为加密。去掉伪装还原 明文的过程成为解密。加密在加密密钥的控制 下进行。解密在解密密钥的控制下进行。用于 加密的一组数学变换称为加密算法。用于解密 的一组数学变换称为解密算法。
②研究密码破译的科学称为密码分析学 (Cryptanalysis)，
③而密码编制学和密码分析学共同组成 密码学(Cryptology)。
14
精选PPT
密码分析
①如果能够根据密文系统地确定出明文或密钥， 或者能够根据明文-密文对系统地确定出密钥，
则我们说这个密码是可破译的。
②一个密码，如果无论密码分析者截获了多少 密文和用什么方法进行攻击都不能被攻破，则 称为是绝对不可破译的。
12
精选PPT
• DNA密码
• DNA密码基于生物学中的某种困难问题。
• 由于DNA密码的安全不依赖于计算困难问 题，所以不管未来的电子计算机、量子计 算机和DNA计算机具有多么强大的计算能 力，DNA密码对于它们的计算攻击都是免 疫的 。
密码学基础ppt课件
于对密钥的保密。
2019
29
对称密码算法 vs.非对称密码算法
对称密码算法（Symmetric cipher）：加密密钥和解 密密钥相同，或实质上等同，即从一个易于推出另一 个。又称传统密码算法（Conventional cipher)、秘密密 钥算法或单密钥算法。
DES、3DES、IDEA、AES
16
密码学
密码学（Cryptology）
• 研究信息系统安全保密的科学。由两个 相互对立、相互斗争，而且又相辅相成 、相互促进的分支科学所组成的，分别 称为密码编码学（Cryptography）和密码 分析学（Cryptanalysis）。
2019
17
密码编码学 Vs. 密码分析学
密码编码学（Cryptography） • 主要研究对信息进行编码，实现对信息的隐 蔽。 密码分析学（ Cryptanalysis ） • 主要研究加密消息的破译或消息的伪造。
加密和解密算法的操作通常都是在一组密钥的控制下进 行的,分别称为加密密钥(Encryption Key) 和解密密钥 (Decryption Key)。
2019 23
密码算法
密码算法（Cryptography Algorithm）：用于加密 和解密操作的数学函数。 加密算法（Encryption Algorithm）：发送者对明 文进行加密操作时所采用的一组规则。 解密算法（Decryption Algorithm）：接收者对密 文进行解密操作时所采用的一组规则。
90年代，逐步出现椭圆曲线等其他公钥算法。
公钥密码使得发送端和接收端无密钥传输的保密通 信成为可能！
2019 14
什么是密码学
密码学基本概念 密码体制分类 密钥管理
2019
29
对称密码算法 vs.非对称密码算法
对称密码算法（Symmetric cipher）：加密密钥和解 密密钥相同，或实质上等同，即从一个易于推出另一 个。又称传统密码算法（Conventional cipher)、秘密密 钥算法或单密钥算法。
DES、3DES、IDEA、AES
16
密码学
密码学（Cryptology）
• 研究信息系统安全保密的科学。由两个 相互对立、相互斗争，而且又相辅相成 、相互促进的分支科学所组成的，分别 称为密码编码学（Cryptography）和密码 分析学（Cryptanalysis）。
2019
17
密码编码学 Vs. 密码分析学
密码编码学（Cryptography） • 主要研究对信息进行编码，实现对信息的隐 蔽。 密码分析学（ Cryptanalysis ） • 主要研究加密消息的破译或消息的伪造。
加密和解密算法的操作通常都是在一组密钥的控制下进 行的,分别称为加密密钥(Encryption Key) 和解密密钥 (Decryption Key)。
2019 23
密码算法
密码算法（Cryptography Algorithm）：用于加密 和解密操作的数学函数。 加密算法（Encryption Algorithm）：发送者对明 文进行加密操作时所采用的一组规则。 解密算法（Decryption Algorithm）：接收者对密 文进行解密操作时所采用的一组规则。
90年代，逐步出现椭圆曲线等其他公钥算法。
公钥密码使得发送端和接收端无密钥传输的保密通 信成为可能！
2019 14
什么是密码学
密码学基本概念 密码体制分类 密钥管理
密码学的数学基础
素数
如何判断一个数是否为素数？
本章授课提纲
（1）整除
（2）素数
（3）最大公约数 （4）欧几里德算法
最大公约数
最大公约数的定义 a和b的最大公约数（Greatest Common Divisor ） 是能够同时整除a和b的最大正整数，记为gcd(a,b) 或者(a,b)。 例如：gcd(6,4)=2，gcd(5,7)=1，gcd(24,60)=12 互素的定义 如果gcd(a,b)=1，就称a和b互素
证明：记a-b=nk，b-c=nl，那么两式相减得ac=n(k-l)，所以a≡c(mod n)。
模运算和同余
模运算和同余的性质 性质五：如果m|(a-b)，则a≡b(mod m) 证明：由已知条件可得a-b=km，k为某一整数； 进而可得a=b+km，故a(mod m)=(b+km)除以m的余 数=b除以m的余数=b(mod m)，由同余的第二个定 义可以得证。
[11(mod 8)-15(mod 8)](mod 8)=(3-7)(mod 8)=4
=(11-15)(mod 8)=-4(mod 8)=4
模运算和同余
模运算的乘法的结合律 [a(mod n)〓b(mod n)](mod n)=(a〓b)(mod n) 举例： [11(mod 8)〓15(mod 8)](mod 8)=(3〓7)(mod 8)=21(mod 8)=5 =(11〓15)(mod 8)=165(mod 8)=5
欧几里德算法
欧几里德算法的精确描述 两个整数用a,b表示，商用q表示，余数用r表示 Step1 取a,b较大者为a，较小者为b Step2 做除法，计算并保留余数r=mod(a,b) Step3 将原来的除数改做被除数，余数作为除数 a=b,b=r 重复Step1和Step2直到r=0，返回b
第五讲密码学的数学基础第二部分ppt课件
（4）模的幂、模n逆矩阵、模n平方根 （5）有限域理论
（6）素数判定和因数分解
2013/10/23
1
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
★本讲授课提纲★
（1）有限域及其元素的多项式表示法 （2）有限域GF(pm)上的代数运算
定义2:有限群、无限群、交换群、循环群； 群的阶：一个有限群的元的个数。
定义3 G中元素g的阶为 g m 1的最小正整数m
的值. 定理1 假设G是一个阶为n的乘法群, G中元素g的 阶整除n.
定理2 如果p是素数,则 p 是一个循环群. 定义4如果p是素数,g是 p 中阶为p-1的元,则称g
为模201p3/的10/2本3 原元或生成元. 7
有限域中的每一个元素a，都是模f(x)的一个余数， f(x)为一阶数为m在模p中的不可分解的多项式。所 谓“模p的不可分解的多项式”，意味着f(x)不可分 解为阶数小于m的多项式的乘积。例如 f(x)=x3+x+1在GF(2n)中为不可分解多项式。
2013/10/23
19
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
★本章授课提纲★
（1）整除、素数、最大公约数，欧几里德算法
（2）模运算、同余、乘法逆元素、扩展的欧几里 德算法 （3）中国剩余定理、费马小定理、欧拉定理
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
密码学数学
1
整数性质
• 教学目的和要求 • （1）深刻理解整除、最大公因数、最小公
倍数、质数的概念，正确理解带余数除法 的意义及作用。 • （2）掌握并能直接运用辗转相除法求最大 公因数。
2
第一节 整除与带余数除法
• 定义1 设a，b是整数，b 0，如果存在 整数q，使得
•
a = bq
• 成立，则称b整除a或a被b整除，此时a
a(n) 1modn
• 当n为素数时，欧拉定理相当于费马定理
22
• 求7803的后三位数字 • 求11803的后三位数字
23
• 思考
• 1、如果今天是星期一，问从今天起再过
•
101010 天是星期几？
24
第七节 本原元
• 对于任何互素的两个整数a和n，在方程 • am 1modn 中，至少有一个正整数m满
7
• 任何大于1的整数a都可以分解成素数幂 之积，且唯一。
a
p a1 1
p a2 2
p at t
• 其中，pi为素数，ai为正整数。
8
第三节 最大公因数
• 定义1 设a1, a2, , an是n（n≥2）个整数， 若整数d是它们之中每一个的因数，则d就 叫做a1, a2, , an的一个公因数；其中最大 的一个公因数叫做a1, a2, , an的最大公因 数。记为(a1, a2, , an)。
• 由于每个非零整数的因数的个数是有 限的，所以最大公因数是存在的，且是正 整数。
9
最大公因数
• 若(a1, a2, , an) = 1， • 则称a1, a2, , an是互质的； • 若(ai, a j) = 1，1 i, j n，i j， • 则称a1, a2, , an是两两互质的。 • 显然，a1, a2, , an两两互质可以推出(a1,
17
第五节 模逆元
• 模逆元的计算可以通过扩展欧几里德算 法实现。
18
第六节 费马欧拉定理
• 费马定理 • 如果p是素数，且p不能被a整除，那么
a p1 1mod p
19
• 欧拉函数 (m) • 表示比m小，且与m互素的正整数的个
数 • 欧拉函数性质： • 当m是素数时，(m)=m-1 • 当m=pq，且p、q（p≠q）均为素数时， • (m) = ( p) (q) =(p-1)(q-1)
• a = bq r，0 r < b。
(1)
• 此外，ba的充要条 如果正整数P >1只能被1和它本身整除， 则该数为素数（也叫质数）
• 100以内的素数有25个，分别是2、3、5、 7、11、13、17、19、23、29、31、37、 41、43、47、53、59、61、67、71、73、 79、83、89和97。
整数)，则称 a 在mod n下与b同余，记为
，
a b modn
• 性质：
。
(a b)modn ((a modn) (bmodn))modn
(a b) modn ((a modn) (bmodn))modn
(a b)modn ((a modn)(bmodn))modn
14
• 例（7+9）mod11 • （7×9）mod11 • 计算 97 mod 13 • 证明 13200-1 是51的倍数
a2, , an) = 1，反之则不然，例如(2, 6, 15) = 1，但(2, 6) = 2。
10
最大公因数
由上我们容易得到： 定理 （裴蜀（Bézout,1730-1783）恒等式）
设a，b是任意两个不全为零的整数，则 存在s，t∈Z，使得
as bt = (a, b)
11
最大公因数
推论 (a, b)＝1的充要条件是：存在s， t∈Z，使得 as bt = 1。
20
• 计算欧拉函数的公式
•
1.
若一个数m可以写成m=
p e1 1
p e2 2
p et t
• ( pi 为素数)，则
t
(m) pi ei 1 ( pi 1)
i 1
• 2.对任一正整数m，若其可写成，
•
p e1 1
p e2 2
p et t
则
(m) m (1 1 )
Pi
pi
21
• 欧拉定理 • 对于任何互素的两个整数a和n，有
4
第一节 整除与带余数除法
• 注： ① ab ab； ② ba bcac，此处c是任意的非零整数； ③ ba，a 0 |b| |a|； • ba且|a| < |b| a = 0。
5
第一节 整除与带余数除法
• 定理2(带余数除法)
• 设a与b是两个整数，b >0，则存在唯一 的两个整数q和r，使得
此题可以推广为： 推论 (a1, a2, , an) = 1的充要条件是：存
在整数x1, x2, , xn，使得 a1x1 a2x2 anxn = 1。
12
• 欧几里德公式
gcd(a,b) gcd(b, a modb)
13
第四节 模运算
• 令整数 a, b及 n 0 ，若 a b kn (k为任一
足这一方程（因为 (n) 是其中的一个 解），那么，最小的正整数解m为模n下
15
• 例 说明 225 1是否被641整除。
•解： • 22 4，24 16，28 256，216 154，232
1 (mod 641)。
• 因此 225 1 0 (mod 641)，
• 即641225 1 16
• 例 求(25733 46)26 mod 50 • 解： • (25733 46)26 (733 4)26 = [7(72)16 4]26 • [7( 1)16 4]26 = (7 4)26 • 326 = 3(35)5 3(7)5 = 37(72)2 • 21 29 (mod 50)， • 即所求的余数是29。
是b的倍数，b是a的因数（约数或除
数），并且记作：ba；如果不存在整
数q使得a = bq成立，则称b不能整除a或
a不被b整除，记作：b | a。
3
第一节 整除与带余数除法
• 定理1 下面的结论成立： • (1) ab，bc ac；（传递性） • (2) ma，mb m(a±b) • (3) mai，i = 1, 2, , n • ma1q1 a2q2 anqn， • 此处qi∈Z（i = 1, 2, , n）。
1
整数性质
• 教学目的和要求 • （1）深刻理解整除、最大公因数、最小公
倍数、质数的概念，正确理解带余数除法 的意义及作用。 • （2）掌握并能直接运用辗转相除法求最大 公因数。
2
第一节 整除与带余数除法
• 定义1 设a，b是整数，b 0，如果存在 整数q，使得
•
a = bq
• 成立，则称b整除a或a被b整除，此时a
a(n) 1modn
• 当n为素数时，欧拉定理相当于费马定理
22
• 求7803的后三位数字 • 求11803的后三位数字
23
• 思考
• 1、如果今天是星期一，问从今天起再过
•
101010 天是星期几？
24
第七节 本原元
• 对于任何互素的两个整数a和n，在方程 • am 1modn 中，至少有一个正整数m满
7
• 任何大于1的整数a都可以分解成素数幂 之积，且唯一。
a
p a1 1
p a2 2
p at t
• 其中，pi为素数，ai为正整数。
8
第三节 最大公因数
• 定义1 设a1, a2, , an是n（n≥2）个整数， 若整数d是它们之中每一个的因数，则d就 叫做a1, a2, , an的一个公因数；其中最大 的一个公因数叫做a1, a2, , an的最大公因 数。记为(a1, a2, , an)。
• 由于每个非零整数的因数的个数是有 限的，所以最大公因数是存在的，且是正 整数。
9
最大公因数
• 若(a1, a2, , an) = 1， • 则称a1, a2, , an是互质的； • 若(ai, a j) = 1，1 i, j n，i j， • 则称a1, a2, , an是两两互质的。 • 显然，a1, a2, , an两两互质可以推出(a1,
17
第五节 模逆元
• 模逆元的计算可以通过扩展欧几里德算 法实现。
18
第六节 费马欧拉定理
• 费马定理 • 如果p是素数，且p不能被a整除，那么
a p1 1mod p
19
• 欧拉函数 (m) • 表示比m小，且与m互素的正整数的个
数 • 欧拉函数性质： • 当m是素数时，(m)=m-1 • 当m=pq，且p、q（p≠q）均为素数时， • (m) = ( p) (q) =(p-1)(q-1)
• a = bq r，0 r < b。
(1)
• 此外，ba的充要条 如果正整数P >1只能被1和它本身整除， 则该数为素数（也叫质数）
• 100以内的素数有25个，分别是2、3、5、 7、11、13、17、19、23、29、31、37、 41、43、47、53、59、61、67、71、73、 79、83、89和97。
整数)，则称 a 在mod n下与b同余，记为
，
a b modn
• 性质：
。
(a b)modn ((a modn) (bmodn))modn
(a b) modn ((a modn) (bmodn))modn
(a b)modn ((a modn)(bmodn))modn
14
• 例（7+9）mod11 • （7×9）mod11 • 计算 97 mod 13 • 证明 13200-1 是51的倍数
a2, , an) = 1，反之则不然，例如(2, 6, 15) = 1，但(2, 6) = 2。
10
最大公因数
由上我们容易得到： 定理 （裴蜀（Bézout,1730-1783）恒等式）
设a，b是任意两个不全为零的整数，则 存在s，t∈Z，使得
as bt = (a, b)
11
最大公因数
推论 (a, b)＝1的充要条件是：存在s， t∈Z，使得 as bt = 1。
20
• 计算欧拉函数的公式
•
1.
若一个数m可以写成m=
p e1 1
p e2 2
p et t
• ( pi 为素数)，则
t
(m) pi ei 1 ( pi 1)
i 1
• 2.对任一正整数m，若其可写成，
•
p e1 1
p e2 2
p et t
则
(m) m (1 1 )
Pi
pi
21
• 欧拉定理 • 对于任何互素的两个整数a和n，有
4
第一节 整除与带余数除法
• 注： ① ab ab； ② ba bcac，此处c是任意的非零整数； ③ ba，a 0 |b| |a|； • ba且|a| < |b| a = 0。
5
第一节 整除与带余数除法
• 定理2(带余数除法)
• 设a与b是两个整数，b >0，则存在唯一 的两个整数q和r，使得
此题可以推广为： 推论 (a1, a2, , an) = 1的充要条件是：存
在整数x1, x2, , xn，使得 a1x1 a2x2 anxn = 1。
12
• 欧几里德公式
gcd(a,b) gcd(b, a modb)
13
第四节 模运算
• 令整数 a, b及 n 0 ，若 a b kn (k为任一
足这一方程（因为 (n) 是其中的一个 解），那么，最小的正整数解m为模n下
15
• 例 说明 225 1是否被641整除。
•解： • 22 4，24 16，28 256，216 154，232
1 (mod 641)。
• 因此 225 1 0 (mod 641)，
• 即641225 1 16
• 例 求(25733 46)26 mod 50 • 解： • (25733 46)26 (733 4)26 = [7(72)16 4]26 • [7( 1)16 4]26 = (7 4)26 • 326 = 3(35)5 3(7)5 = 37(72)2 • 21 29 (mod 50)， • 即所求的余数是29。
是b的倍数，b是a的因数（约数或除
数），并且记作：ba；如果不存在整
数q使得a = bq成立，则称b不能整除a或
a不被b整除，记作：b | a。
3
第一节 整除与带余数除法
• 定理1 下面的结论成立： • (1) ab，bc ac；（传递性） • (2) ma，mb m(a±b) • (3) mai，i = 1, 2, , n • ma1q1 a2q2 anqn， • 此处qi∈Z（i = 1, 2, , n）。