数学建模 装箱问题概述
数学建模之锁具装箱问题
P181 锁具装箱1.某厂生产一种弹子锁具，每个锁具有n个槽，每个槽的高度从{1，2，3，4}这4个数（单位略）中任取一个，限制至少有一个相邻的槽高之差等于3，且至少有3个不同的槽高，每个槽的高度取遍这4个数且满足上面这两个限制时生产出一批锁（例如，当n等于3时，3个槽高为1，4，2的锁符合要求，而3个槽高为1，4，4的锁不满足要求）。
求一批锁的把数。
解：取不同的n的值，通过matlab编程，求出对应的锁的把数（1）当n=3时：源程序：s=0;n=3;for j1=1:n+1for j2=1:n+1for j3=1:n+1a1=j1;a2=j2;a3=j3;amax=max([a1,a2,a3]');amin=min([a1,a2,a3]');numbers=(amax-a1)*(a1-amin)+(amax-a2)*(a2-amin)+(amax-a3)*(a3-amin);neighbors=max([abs(a1-a2),abs(a2-a3)]');if numbers>0.5if neighbors==3s=s+1;endendendendends输出结果：s =8所以当每个锁具有3个槽时，满足要求的这批锁的把数为8把。
（2）当n=4时：源程序：s=0;n=3;for j1=1:n+1for j2=1:n+1for j3=1:n+1for j4=1:n+1a1=j1;a2=j2;a3=j3;a4=j4;amax=max([a1,a2,a3,a4]');amin=min([a1,a2,a3,a4]');numbers=(amax-a1)*(a1-amin)+(amax-a2)*(a2-amin)+(amax-a3)*(a3-amin)+( amax-a4)*(a4-amin);neighbors=max([abs(a1-a2),abs(a2-a3),abs(a3-a4)]');if numbers>0.5if neighbors==3s=s+1;endendendendendends输出结果：s =64所以当每个锁具有4个槽时，满足要求的这批锁的把数为64把。
最新1.3装箱问题与背包问题
装箱问题的LINGO软件求解
例1 已知30个物品,其中6个长0.51m，6个长 0.27m，6个长0.26m，余下12个长0.23m， 箱子长为1m，问最少需多少个箱子才能把30 个物品全部装进箱子。
见lingo程序
装箱问题的近似求解算法
NF（Next Fit－下次适应）算法：按照物 体给定的顺序装箱：把物品wi放到它第 一个能放进去的箱子中。Bj是具有最大 下标的使用过的箱子，若wi的长度不大 于Bj的剩余长度，则把wi放入Bj，否则 把wi放入一个新的箱子Bj+1，且Bj在以 后的装箱中不再使用。
多机调度问题要求给出一种作业调度方案，使所给的n个 作业在尽可能短的时间内由m台机器加工处理完成。
[分析]这个问题可以看成装箱问题，也是NP完全问题。对 于这一类问题，用贪婪选择策略有时可以设计出较好的近似 算法。采用最长处理时间作业优先的贪婪选择策略可以设计 出解多处理器调度问题的较好的近似算法。按此策略，当 n≤m时，我们只要将机器i的[0,ti]时间区间分配给作业i即 可。
适应算法的特点是当处理当前物品，如果有已经打 开的箱子中能够放下这个物品，则不打开新的箱子。
在线算法：如果一个近似装箱算法在执行过程中， 每当一个物品到达时，就立刻决定把该物品放入哪 个箱子中，而不管后序物品如何，这种算法就被称 为在线算法。下次适应算法、首次适应算法等都是 在线算法，其时间复杂度都为O(n) 。
FFD算法： { 输入箱子的容积； 输入物品种数n； 按体积从大到小顺序，输入各物品的体积； 预置已用箱子链为空； 预置已用箱子计数器box_count为0； for (i=0;i<n;i ++ ) { 从已用的第一只箱子 开始顺序寻找能放入物品i 的箱子j；
数学建模过程(讨论问题-锁具装箱问题)
§1.4.2 模型假设
一、意义： 假设是简化实际问题的必须手段。 假设能缩小问题的涉及范围，使问题的条件更加明确且条
理更加清晰。
做假设的过程中，能进一步辨清问题的主次方面。 二、作用： 1、简化问题，有利于辨识并列出与问题的研究目标更紧密 的相关因素及其关系。 2、使模型更加严谨。拟建立的数学模型常被认为是对实际问 题的近似刻划，这种数学形式应该符合数学的要求，不能显示 出任何逻辑破绽。
2. 原则:
1）深入理解问题的含义和背景。 2）确立解决该问题的最高层目标。 3）从最高层目标出发顺藤摸瓜，即揭示影响最高目
标的各个子层。
4）坚持抓主要因素和主要关系的原则 二、符号设定 符号设定是与问题分析过程相伴完成的同时也与建立模型
过程结伴而行。任何一个建模过程中，最高目标层的符号都
是相对独立地首先设定的。
199
201
锁具装箱问题
某厂生产一种弹子锁，每个锁具的钥匙有5个槽，每个槽高度从{1，2，3，4，5，6} （单位略）中任取一个数，由于工艺及其它原因，制造锁具时对5个槽的高度还有两个限 制：至少有3个不同的数；相邻两个槽的高度之差不能为5。满足以上条件制造出来的所 有互不相同的锁具称为一批。 从顾客的利益出发，自然希望在每批锁具中“一把钥匙开一把锁”。但是在当前的工艺 条件下，对于同一批锁是否能够互开，有以下试验结果：若二者相对应的5个槽的高度中 有4个相同，另一个槽的高度差1，则可能互开；在其它情形下不可能互开。
二、模型求解 模型求解必须在明确认识模型的数学归类的基础上进行.
1）结论为归纳型或猜想型的模型，用论证的方式给出求解过 程。 2）表达式或表达式组类型的模型，用相应的数学算法计算出 问题的结论。这类模型中的大多数都有很大的运算量，运算结 构也较复杂，或者现有数学方法不可能给出其精确解，于是， 不借助于计算机，求解工作一般无法完成。
第三章 装箱问题
§1
装箱问题的描述
Go back
BP 的应用举例： 的应用举例：
1.44 × 7 = 10.08 > 10
1、下料问题 轧钢厂生产的线材一般为同一长度 而用 、 轧钢厂生产的线材一般为同一长度, 户所需的线材则可能具有各种不同的尺寸, 户所需的线材则可能具有各种不同的尺寸 如何根据用 户提出的要求，用最少的线材截出所需的定货； 户提出的要求，用最少的线材截出所需的定货； 4、生产流水线的平衡问题 给定流水节拍 C , 如何设置 、 2、 二维 BP 玻璃厂生产出长宽一定的大的平板玻璃, 、 最少的工作站，（按一定的紧前约束）沿着流水线将任 ，（按一定的紧前约束 最少的工作站玻璃厂生产出长宽一定的大的平板玻璃 ，（按一定的紧前约束） 但用户所需玻璃的长宽可能有许多差异， 但用户所需玻璃的长宽可能有许多差异，如何根据用 务分配到各工作站上 . 称为带附加优先约束的 BP . 户提出的要求，用最少的平板玻璃截出所需的定货; 户提出的要求，用最少的平板玻璃截出所需的定货 3、计算机的存贮问题 如要把大小不同的共 10 MB 的 、 BP 是容量限制的工厂选址问题的特例之一 是容量限制的工厂选址问题的特例之一. 文件拷贝到磁盘中去， 文件拷贝到磁盘中去，而每张磁盘的容量为 1. 44 MB , 已知每个文件的字节数不超过 1.44 MB , 而且一个文件 不能分成几部分存贮， 不能分成几部分存贮，如何用最少的磁盘张数完成 .
是最优解的一个下界 .
第三章 装箱问题
Proof : 仅考虑对 I1,I2,I3中物品的装箱 . Q I1 U I 2 中物品的长度大于C/2 ,
C C-a Note: w 可能小于零 C/2 a
∴
1.3装箱问题与背包问题
其在工业生产及日常生活中有广泛的用途， 其应用在实际生活中无处不在，货物装运， 服装裁剪，以及我们计算机科学中的存储分 配、共享资源调度、文件存储都是装箱问题 在实际应用中的体现。所以具有重要的研究 价值。
【问题】 装箱问题
问题描述：装箱问题可简述如下：设有编 号为1、…、n的n种物品，体积分别为v1、 v2、…、vn。将这n种物品装到容量都为V的若 干箱子里(更一般的装箱问题还可以要求容量 不是相同的)。约定这n种物品的体积均不超过 V，即对于1≤i ≤ n，有0＜vi≤V。不同的装箱方 案所需要的箱子数目可能不同。装箱问题要求 使装尽这n种物品的箱子数要少。
按本例所给数值，取j=0时，因就是前述普通贪婪 算法，已经得到100的结果；取j=1时，共有8种方 案，当用29或23先装入时，可得到54+29+23+1=107 的更好结果；取j=2时，共有28种方案，其中有能 将背包完全装满的结果（43+23+29+14+1=110）。 故知此问题当取k≥2时就可得到最优解。
xij =1表示物品j装入箱 子i ，反之表示物品j未
放入箱子i
若考察将n种物品的集合分划成n个或小于n个 物品的所有子集，最优解就可以找到。但所有 可能划分的总数太大。对适当大的n，找出所 有可能的划分要花费的时间是无法承受的。为 此，对装箱问题采用非常简单的近似算法，即 贪婪法。该算法依次将物品放到它第一个能放 进去的箱子中，该算法虽不能保证找到最优解， 但还是能找到非常好的解。
FFD算法： { 输入箱子的容积； 输入物品种数n； 按体积从大到小顺序，输入各物品的体积； 预置已用箱子链为空； 预置已用箱子计数器box_count为0； for (i=0;i<n;i ++ ) { 从已用的第一只箱子 开始顺序寻找能放入物品i 的箱子j；
三维装箱问题算法
三维装箱问题算法一、问题概述三维装箱问题是一种经典的优化问题，涉及到在有限的空间内放置多个物体，以满足一定的约束条件并最大化空间利用率。
在这个问题中，我们考虑一个三维盒子，其中可以放置一定数量的物体，每个物体都有一定的体积，我们需要找到一种放置方式，使得盒子的剩余空间最小。
二、算法介绍为了解决三维装箱问题，我们可以使用多种算法，其中一种常用的算法是遗传算法。
遗传算法是一种基于生物进化原理的优化算法，通过模拟自然选择和遗传机制来寻找问题的最优解。
具体步骤如下：1. 初始化：随机生成一组装箱方案，作为种群。
2. 评估：对每个装箱方案进行评估，计算剩余空间的大小。
3. 选择：根据每个装箱方案的剩余空间大小，选择出适应度较高的方案作为父代。
4. 交叉：对父代进行交叉操作，生成新的子代。
5. 变异：对子代进行变异操作，以增加种群的多样性。
6. 终止条件：当满足终止条件（如达到最大迭代次数或找到满足要求的解）时，停止算法，输出当前最优解。
三、算法实现下面是一个简单的遗传算法实现示例，使用Python语言编写：```pythonimport numpy as np# 定义适应度函数def fitness(solution):remaining_space = np.prod(solution) -np.prod(np.delete(solution, axis=0))return remaining_space# 初始化种群population = np.random.randint(low=1, high=10, size=(pop_size, 3)) # 迭代进化for generation in range(max_generations):# 评估种群中每个装箱方案的适应度fitness_values = np.apply_along_axis(fitness, axis=1,arr=population)# 选择适应度较高的方案作为父代parents = np.argmax(fitness_values, axis=0)# 进行交叉和变异操作offspring = crossover(population, parents)population = offspring + np.random.randint(low=-1, high=1, size=offspring.shape, dtype=np.int32)# 输出当前最优解和最优解的适应度值if generation % print_freq == 0:best_solution = np.argmin(fitness_values)best_fitness = fitness_values[best_solution]print(f"Generation {generation}: Best solution:{best_solution}, Best fitness: {best_fitness}")# 判断是否达到终止条件，如果是则输出最终结果if best_fitness <= optimal_fitness:break```以上代码实现了一个简单的遗传算法，通过交叉和变异操作生成新的种群，并在每一代选择适应度较高的方案作为父代进行繁殖，最终得到最优解。
数学建模之锁具装箱
锁具装箱摘要（第06组）本文针对锁具如何装箱问题，建立了模型，并对其进行了分析和评价。
首先根据排列组合知识，用Matlab编程列举出所有符合条件的锁具，得到一批锁具的个数为5880，可装58箱。
就如何装箱及销售问题，本文根据如何对每一批锁具进行装箱和标记才能是消费者的满意度最高的模型，再具体分析实际销售情况，建立了按槽高进行序贯销售的模型。
即先把槽高和为偶数的锁具按字典序列排序装箱，之后装槽高和为奇数的锁具，并对每一个锁具进行编号，计算锁具“安全”距离的极小值为2562，即42.7箱，得到序贯销售时团体顾客最大购买量为42箱时不会出现互开现象。
顾客抱怨互开程度可用所购的一箱或二箱锁具中平均有多少对可能互开来衡量。
本文运用计算机模拟，得到平均一箱中可以互开的个数为2.33，平均两箱中可以互开的个数为9.41。
关键词：排列组合，数学模型，互开，奇偶，概率一、问题重述某厂生产一种弹子锁具，该锁具的锁匙共有5个槽，每个槽可取6种不同的高度,分别以1-6的整数表示。
在生产中要求每把锁匙的5个槽至少具有3种不同的高度且相邻两槽的高差不能是5。
满足上述条件的互不相同的锁具称为一批。
由于工艺条件的限制，当两把锁匙对应的5个槽的高度有4个相同，另一个槽的高差为1时,两锁具可能互开,否则不能互开。
在锁具出厂时，工厂对锁具按批进行随意装箱，每60付装1箱。
当遇到购买量较大时团体顾客时(买几箱到几十箱)，由于装箱的随意性，容易引起他们对锁具互开现象的抱怨，现要求解决以下几个问题：（1）每批锁具有多少个,可装多少箱；（2）为售销部门提供一种方案，包括如何装箱，如何给箱子以标记，出售时如何利用这些标记，从而使团体顾客不再或减少抱怨；（3）当团体顾客的购买量不超过多少箱时，可以保证一定不会出现互开的情形；（4）按原来的随意装箱方法，如何定量地衡量团体顾客抱怨互开的程度，并对购买一、二箱者给出具体结果。
二、问题假设（1）随机装箱对锁具来说是等可能概率。
装箱问题和排序问题
NP-难问题按照其可逼近性分类
精品课件
多项式时间近似方案（Polynomial Time Approximation Scheme ,PTAS),
0,存在多项式时A间 ，算 使法 A得 (I)(1)op(tI) 算法的计算复杂定性的 是 对n的 固多项式。
譬如 O(n1/ )
渐近多项式时间近似方案
原来的物件尺 行下 寸 。面 仍证 A然 (I)明 可 op(Jt)(1)op(It)从 , 而引理成立
.
精品课件
Step3. 再通过将每组每个尺 物寸 件缩小到该组最件 小的 物尺寸， 从而构造一个新的J实 ',显例然opt(J)' opt(（ I) ？.） 注意到关，于J'的一个装箱方案给 J的出一个装箱方案，实 除例 了 J的最大的 Q个物件之(外 ?)。 因此，opt(J) opt(J)' Q opt(I)Q.(?)
证明：（ 1）考虑下述划分问题
( partition problem )：
给定 n 个非负数 a 1 , a 2 ,..., a n，否可将其可划分为两
部分，
使得每部分之和恰好为
1
2
i
a i .已知该判定问题是
NP - 难的。
（ 2）上述问题的回答是
YES 当且仅当 n 个物件可放入
容量为
1 2
i
案使得所用的箱子数目最少？
通俗地说，把 a 1 , a 2 ,..., a n ( 0 ,1 ] 组数，
分成最少的
使得每组数的和不超过1。
在工业中有许多应用，譬如a i 在下料问题中，箱子 代表标准木料的长度，而 表示实际问题中需
要裁截成的木料长度。当然，需要的标准料越少
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设有许多具有同样结构和负荷的箱子 B1，B2，… 其数量足够供所达到目的之用 . 每个箱子的负荷（可为 长度、重量 etc.）为 C ,今有 n 个负荷为 wj，0 < wj < C j = 1，2，…，n 的物品 J1，J2，…，Jn 需要装入箱内. 装箱问题：
是指寻找一种方法，使得能以最小数量的箱子数将 J1，J2，…，Jn 全部装入箱内.
§1 装箱问题的描述
Go back
BP 的应用举例：
1 .4 4 7 1 0 .0 8 1 0
1、下料问题 轧钢厂生产的线材一般为同一长度, 而用
户所需的线材则可能具有各种不同的尺寸, 如何根据用
户4、提生出产的流要水求线，的用平最衡少问的题线材给截定出流所水需节的拍定C货, 如；何设置 2最、少二的维工作BP站，玻（璃厂按生一产定出的长紧宽前一约定束的）大沿的着平流板水玻线璃将,任
它不能与 I1 中的物品共用箱子, 但可能与 I2 中的
物品共用箱子，由于放 I2 中物品的 I 2 个箱子的剩余
总长度为 C I2 C wj jI2
在最好的情形下，C 被 I3 中的物品全部充满，故剩
下总长度
w
wj
jI3
C
将另外至少与
Iw 2 C
中个的附物品加如的何？箱子
.
§2 装箱问题的最优解值下界
Go back
问 L(a) ？ L1 未必！ 如 (w ja, j1:n)
Corollary 3.1 记 L 2 m a x L ( a )0 a C 2 ,a 为 整 数
则 L2 是装箱问题的最优解的一个下界，且 L2 L1 .
Proof : L2 为最优解的下界是显然的 .
(若证明 L(0) L1 ，则可得 L2 L1 )
n
w
i
Theorem 3.1
BP 最优值的一个下界为 L 1
i1
C
.
a 表示不小于 a 的最小整数.
Theorem 3.2
设 a 是任意满足 0 a C 2的整数,对 BP 的任一实例 I ,
记 I1物 品 jw jC a, I2物 品 jC a w j C 2,
I3物 品 jC 2w ja,
装箱问题的其他一些提法：
1、在装箱时，不仅考虑长度，同时考虑重量或面积、 体积 etc . 即二维、三维、…装箱问题；
2、对每个箱子的负荷限制不是常数 C ; 而是 Ci, i1: n.
3、物品J1，J2，…，Jn 的负荷事先并不知道，来货是 随到随装；即 在线（On-Line）装箱问题；
4、由于场地的限制，在同一时间只能允许一定数量的 箱子停留现场可供使用, etc .
n
i1
C((BBPP)) s.t. wjxij Cyi i1: n (1)
j1
n
xij 1
j 1: n (2)
i1
y i 0 0 y i o r 1 1 , ,0 x i j x i 0 j o 1 r 1 i ,j i , j 1 : 1 n : . n .
§2 装箱问题的最优解值下界
则装箱问题的整数线性规划模型为：
(BP )
n
min z yi
n
i1
s.t. wjxij Cyi i1: n (1)
j1
i1
y i 0 o r 1 ,x i j 0 o r 1i ,j 1 :n .
第八章 装箱问题
上述装箱问题是这类问题最最早优被目标研可究如的何，提也？是提 法上最简单的问题，称为一维装箱问题 . 但 BPNPC.
但务用 分户配所到各需工玻作璃站的上长宽. 称可为能带有附许加多优差先异约，束如的何根BP据. 用
户提出的要求，用最少的平板玻璃截出所需的定货;
3、计B算P 机是的容存量贮限问制题的工如厂要选把址大问小题不的同特的例共之一10.MB 的
文件拷贝到磁盘中去，而每张磁盘的容量为 1. 44 MB ,
已知每个文件的字节数不超过 1.44 MB , 而且一个文件
L(0)0I2
max0,(jn1wj
I2
C) C
当L I(2 a aL ) 2 = m I01a L x 时(0 I2 )，0 ,L m IL 1 1a 1 x I0 2 ,, (I j 2 I3 U w mIja3 x(是I2I所C 2 , 有L j 1I2 物w j品)L)C 1 .
组合优化理论
Combinatorial Optimization Theory
第八章 装箱问题
第八章 装箱问题
§1 装箱问题的描述 §2 装箱问题的最优解值下界 §3 装箱问题的近似算法
第八章 装箱问题
装箱问题（Bin Packing）是一个经典的组合优化 问题，有着广泛的应用，在日常生活中也屡见不鲜 .
则
L(a)I1I2m ax 0, (j I3w j(I2Cj I2w j))C
是最优解的一个下界 .
第八章 装箱问题
C
Proof : 仅考虑对 I1,I2,I3中物品No的te:装w 箱可能. 小C-于a 零
Q I1UI2 中物品的长度大于C/2 ,
C/2
又是 Q最优I每这L 3 (中解就个a )每的 需物I 个一要品1 物个需II1品2 下单 长界独m I 2度a 放.个x 至入箱0 ,少一 子(为j个 I.3w 箱aj, 子(，I2C aj I2w jI)1)C I2 I3
§1 装箱问题的描述
由于 wi < C，所以 BP 的最优解的箱子数不超过 n .
设约的束物条品y件i总（负 1 01荷）箱不否表子超则示B过：i 被一C使；旦用箱i子1:Bni ;被使用，放入 Bi
约束条xi件j （ 1 0 2）物否表品 则示J：j 放每入个箱物子品Bi 恰中好放i,入j 一1:个n 箱. 子中 .
不能分成几部分存贮，如何用最少的磁盘张数完成 .
第八章 装箱问题
§2 装箱问题的最优解值下界
改进显简由然单于的BP穷x ii是举 1 搜N,P索x -ijC法 问0 ，题( 减i， 少所j) 搜,以n 索y 求i工 解w C 作i考,量虑i,.j一如 1 是::尽分n可支.能
定是界它法的；一二个是最启优发mi解式n （. z近 似nz o py）ti 算i 1C法w i .