四川大学离散数学试题
离散07—08期末考试题(B卷)
四川大学期末考试试题（闭卷B）（2007-2008学年第1学期）1．下列命题公式是永真式的是（）A．（P∧～P）↔Q B．（～（P→Q）∧Q）→Q C．（P→Q）∨Q D．（P∨P）∧（P→～P）2．命题公式A不存在主合取范式，则A是（）A．矛盾式B．可满足式C．永真式D．都不对3．谓词公式（∀x）P（X）→（∃x）P（X）是（）A．可满足式B．矛盾式C．无法判别D．永真式4．公式（∀x）（∃y）（P（x,y）∧Q（z））→R（x）中的x （）A．仅是约束变元B．仅是自由变元C．既是约束变元又是自由变元D．既不是约束变元也不是自由变元5．设S={I，Q，R} ，下列命题哪个正确（）A．I⊂Q，Q⊂R则I⊂R B．-1∈I，I∈S 则-1∈S C．D．都不正确6．下面的表达哪个不正确（）A．{a}⊆{{a}} B．{a}∈{{a}} C．{a}⊆{a，{a}} D．{a}∈{a，{a}}7．若集合A中共有n个元素，那么A上不同二元关系的个数为（）A．n2B．2 n2C．2 n2-1 D．都不对8．下列判断正确的是（）A．若R，S是自反的，则R-S是自反的B．若R，S是对称的，则R○S是对称的C．若R，S是传递的，则R∩S是传递的D．若R，S是传递的，则R∪S是传递的9．设R，S是非空集合上的等价关系，则R∪S是（）A．一定具有自反性，但不一定保持对称性B．一定具有对称性，但不一定保持自反性C．一定具有自反性和对称性D．是等价关系10．在5个元素的集合上可以定义的单射数目为（）A．5 B．10 C．60 D．12011．设函数f：X→Y；X，Y是有限集合，f是单射，那么下列关系一定不成立的是（）A．|X|=|Y| B．|X|﹥|Y| C．|X|﹤|Y| D．X∈Y12．平面非连通图G，n-m+f 的值为（）A．2 B．ω（G）C．ω（G）+1 D．313．若一棵树G（n，n-1）只有两个叶节点，则（）不正确A．不包含点度大于等于3的枝点B．节点总度数大于等于4C．最少包含2个节点D．节点总度数=2+2（n-2）14．设10阶简单连通图有32条边，则最少要去掉（）条边才能使其成为平面图A．10 B．12 C．32 D．815．下列代数系统，（）是群A．〈S1={1，1/2，2，1/3，1/4，4}，*：为普通乘法〉B．〈S2={ai | ai∈R，i=1，2，3…n}，o：∀ai，aj∈S2 → aioaj=ai 〉C．〈S3={0，1}，*：为普通乘法〉D．〈S4={-1，1}，+：为普通加法〉二、多项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的五个备选项中有二个至五个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
离散数学---本科 山大20年考试题库及答案
填空题（1/11）1、设无向图G有24条边，有4个3度的顶点，期顶点度数均小于3，则G中至少有( 22 ) 个顶点。
2、假设4={x|x*<10.x∈正整数}，B={x|x是素数，x<10}，c={13.5}（1）（C-4）U（B-4）=（2）（B∩O-d=3、一棵树有2个2度顶点，1个3度顶点，3个4度顶点，则有( 9 )叶。
.4.假设P：今天天气好，Q：我就去锻炼身体。
命题“如果今天天气好，我就去锻炼身体"符号化为_ P Q学生答案：5.假设A={x|x2 <30.x∈正整数}，B={x| x是正奇数，x<20}，C={13.5}（1）（C-0U（B-4）=（2）（B∩Q）-d=学生答案：6、假设4=1.23），f，&8h是4倒4的的数，其中：（af0= f（）=f（3）=1，（b>8（1）=1，g（2）=3，g（）=2，（e）h0）=3，h2）=h（3）=1，则：（1）是满射；（2）____是双射；学生答案：7.假设A={a.b}（{}}，B={a}{0}，{（}}试求出：“的幂集p（4）=8、设无向图G有12条边，有3个3度的顶点，其余顶点度数均小于3，则G中至少有_11_个顶点。
9假设d= 1.23.423上的关系R=<1.2>}，则：（1）r（R）=_（2）s（R）=_（3）t（R）=_10、假设A={x|x2 <30.x∈整数}，B={x[x是素数，x<20}，C=13.5）（1）（A∩B）UC=（2）（B-AUC=（3）（C-4）U（B-4）=（4）（B∩9-4=11、-棵树有2个2度顶点，1个3度顶点，3个4度顶点，则有_7_片叶。
二、综合题（59分）12、假设4、B是非空集合，并且P（4）=P（B）。
证明：d=B.学生答案：13、m≤二n（n-D）假设图G是n个顶点m条边的简单无向图，则”2学生答案：S={<xyxxy∈R.x→是整数}证明定义在实数集合R.上的关系”3是一个等价关系。
离散数学考试试题（A、B卷及答案）
离散数学考试试题（A、B卷及答案）离散数学考试试题(A卷及答案)一、证明题(10分)1) (P∧Q∧A→C)∧(A→P∨Q∨C)? (A∧(P?Q))→C。
P<->Q=(p->Q)合取(Q->p)证明: (P∧Q∧A→C)∧(A→P∨Q∨C)(?P∨?Q∨?A∨C)∧(?A∨P∨Q∨C)((?P∨?Q∨?A)∧(?A∨P∨Q))∨C反用分配律((P∧Q∧A)∨(A∧?P∧?Q))∨C( A∧((P∧Q)∨(?P∧?Q)))∨C再反用分配律( A∧(P?Q))∨C(A∧(P?Q))→C2) ?(P↑Q)??P↓?Q。
证明:?(P↑Q)??(?(P∧Q))??(?P∨?Q))??P↓?Q。
二、分别用真值表法与公式法求(P→(Q∨R))∧(?P∨(Q?R))的主析取范式与主合取范式,并写出其相应的成真赋值与成假赋值(15分)。
主析取范式与析取范式的区别:主析取范式里每个括号里都必须有全部的变元。
主析取范式可由析取范式经等值演算法算得。
证明:公式法:因为(P→(Q∨R))∧(?P∨(Q?R))(?P∨Q∨R)∧(?P∨(Q∧R)∨(?Q∧?R))(?P∨Q∨R)∧(((?P∨Q)∧(?P∨R))∨(?Q∧?R))分配律(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?Q)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨R∨?Q)∧(?P ∨R∨?R) (?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨?Q∨R)4M使(非P析取Q析取R)为0所赋真值,即100,二进制为4M∧6M∧50m∨1m∨2m∨3m∨7m所以,公式(P→(Q∨R))∧(?P∨(Q?R))为可满足式,其相应的成真赋值为000、001、010、011、111:成假赋值为:100、101、110。
真值表法:0 0 1 0 1 00 1 11 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0111111111111111111为000、001、010、011、111:成假赋值为:100、101、110。
四川大学2013离散数学(B 卷)
j
1, j是奇数 0, j是偶数
(C) f : Z N , f i 2 j 1
(D) f : R R, f r 2r 15 ）
8．连通非平凡的无向图 G 有一条欧拉回路当且仅当图 G（ (A) 只有一个奇度结点 (C) 只有三个奇度结点 (B) 只有两个奇度结点 (D) 没有奇度结点
4/4
q p 的主析取范式和主合取范式。 r
v1
v4
v2
3/4
v3
311019040 离散数学（A 闭）
（3） G 中长度为 3 的通路数，并指出其中的回路数； （3 分） （4）利用图的邻接矩阵求其可达矩阵． （3 分）
2013-2014-1
3． 在偏序集 Z , 中， 其中 Z 1, 2,3, 4,6,8,12,14 ， 是 Z 中的整除关系， 求集合 D 2,3, 4,6 的 极大元，极小元，最大元，最小元，最小上界和最大下界。 五、证明题（本大题共 2 个小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分，共 14 分） 。
x(P( x) Q( x))
_____ 从 R 到 R 的函数（填“是”或“不是” ） 。 。
10.将命题公式 P Q (R P) 化为只含和的尽可能简单的等值式_
四、计算题（本大题共 3 小题，第 1 小题为 6 分，第 2，3 小题每题 10 分，共 26 分） 。 1．用等值演算法求命题公式 A p q r 2．有向图 G 如右图所示： （1） G 中 v1 到自身长度小于或等于 3 的回路数； （2 分） （2） G 中 v1 到 v3 长度小于或等于 3 的通路数； （2 分）
六、分析题（本大题共 2 个小题，每小题 10 分，共 20 分） 。 1．用逻辑推理证明：所有的运动员都很乐观，王华是个学生且是个运动员。因此有些学生很乐观。 2．如图给出的赋权图表示六个城市 a,b,c, d ,e, f 及架起城市间直接通讯线路的预测造价。试给出一个设计 方案使得各城市间能够通讯且总造价最小，并计算出最小总造价。
四川大学出版编的离散数学课后习题答案
2、不， 不， 能 习题 1.4
1、 (3) P ( R (Q P)) ~ P ( R (~ Q P)) (~ P R) (T ) ~ P R (~ P R (~ Q Q)) (~ P R ~ Q) (~ P R Q)
习题参考解答
习题 1.1 1、 （3）P：银行利率降低 Q：股价没有上升 P∧Q （5） P：他今天乘火车去了北京 Q：他随旅行团去了九寨沟
PQ
（7） P：不识庐山真面目 Q：身在此山中 Q→P，或 ～P→～Q （9） P：一个整数能被 6 整除 Q：一个整数能被 3 整除 R：一个整数能被 2 整除 T：一个整数的各位数字之和能被 3 整除 P→Q∧R 2、 （1）T （6）T 习题 1（3）
P ( Q R ) P ( Q R ) ( P Q ) ( P R ) ( P Q ) ( P R)
，Q→T （3）F （8）悖论 （4）T （5）F
（2）F （7）F
1.3
1
（4）
( P Q) (Q R) ( R P) (( P R) Q) ( R P) (( P R) ( R P)) (Q ( R P)) ( P R) ( P R) (Q R) (Q P) 右
2.(1) T 3.(1) F 4. 习题
D : 实数
(2) T
P ( x, y ) : y e x , Q( y ) : y 0
2.3
1.（1） xyPx Q y
8
xy~ Px Q y xy ~ Px yQ y
2.(1) P 0 P 1 P 2 R0 R1 Q2 (2) P 0 Q0 P 1 Q1 P 2 Q2 4.(1)
川大离散数学习题
川大离散数学习题习题61.设A={1，2，3，4}，B=A×A。
确定下述集合是否为A到B的全函数或部分函数。
(1){(1,(2,3)),(2,(2,2)),(3,(1,3)),(4,(4,3))}.(2){(1,(1,2)),(1,(2,3)),(3,(2,4))}.(3){(1,(3,3)),(2,(3,3)),(3,(2,1)),(4,(4,1))}.解：（1）、全函数（2）、不符合单值（3）、全函数要点：根据全函数定义，X中每个元素x都在Y中有唯一元素y与之对应。
2.判别以下关系中那些是全函数。
(1){(n1,n2)|n1,n2∈N,0<2n1-n2<5}。
(2){(n1,n2)|n1,n2∈N,n2是n1的正因子个数}。
(3){(S1,S2)|S1,S2?{a,b,c,d}且S1 S2=?}。
(4){(a,b)|a,b∈N,gcd(a,b)=3}.(5){(x,y)|x,y∈Z,y=x2}.解：(1) {(n1,n2)|n1, n2∈N, 0<2 n1-n2<5}不是函数，n1=0时无定义，且(3,4),(3,5)在其中。
(2) {(n1,n2)|n1, n2∈N, n2是n1的正因子个数}部分函数，n1=0时无定义(3) {(S1,S2)|S1, S2?{a,b,c,d}且S1? S2= ?}不是函数，因为({a},{b}) ,({a},{c})均在其中。
(4) {(a, b)|a, b ∈N, gcd(a,b)=3}不是函数，因为(3, 3) ,(3, 6), (3, 9)均在其中。
(5) {(x, y)|x, y ∈Z, y=x2}全函数3.在§3.1中已经定义了集合的特征函数。
请利用集合A和B的特征函数χA（x）和χB（x）表示出A B，A B，A-B，A以及A○+B对应的特征函数。
解：（略）4.试确定在含n个元素的集合上可以定义多少个二元关系，其中有多少个是全函数。
四川大学2013离散数学 (A 闭 )
2013-2014-1
三、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 1、 设 G 是有 n 个结点的简单图，若 G 中每对结点的度数之和（ ） ，则 G 一定是哈密顿图。 ）条边。 ）也一定成立。 ）。
2、 设 G 是有 50 个结点，80 条边的连通图，要确定 G 的一颗生成树，必须删去 G 的（ 3、 在布尔代数中，有 a (a b) a b 成立. 则该式的对偶式 （ 4、 设 R，S 都是集合 A 上的等价关系，则对称闭包 s(RS)= （ 5、 设集合 A 的基数为 5，则集合 A 上有（ ）个不同的自反关系。
)条边可以得到树. （D） 、4.
12、连通图 G 是一棵树当且仅当 G 中（
1/4
311019040 离散数学（A 闭）
（A） 、图中存在割边 （C） 、图中不存在割边 （B） 、每条边都是割边 （D） 、图中存在一条欧拉道路
2013-2014-1
13、设 I 是如下一个解释： D {a, b} ， P(a, a) 1, P(a,b)=0, P(b,a)=1, P(b,b)=0 。则在解释 I 下取为 真的公式是( （A） 、 x P y xy (, ) ). （B） 、 xyP( x, y)
2、 设 R 是集合 A = {a, b, c, d}. R 是 A 上的二元关系, R = {(a,b), (b,a), (b,c), (c,d)}, 求出 r(R), s(R), t(R)； 3、设带权无向图一如下，求 G 的最小生成树 T 及 T 的权总和，要求写出解的 过程。 4、 如图二所示的有界格 是否为有补格？如是， 求出所有元素的补元。
311019040 离散数学（A 闭）
2013-2014-1
川大离散数学习题
川大离散数学习题习题 51. 设A={(a,b)|a,b∈N}.定义A上的一个二元关系R={（（a,b ）,(c,d)）|ad=bc},证明:R 是A 上的等价关系. 证：(){}+∈=N b a b a A ,|,Θ，R={（（a,b ）,(c,d)）|ad=bc} ①自反性：由A 的定义，N b a baab ∈=,()()()R b a b a ∈∴,,,②对称性设()()()R d c b a ∈,,,，则bc ad = 即 ()()()R b a d c dacb ∈∴=,,,③传递性设()()()R d c b a ∈1111,,，则1111c b d a =()()()R d c d c ∈2211,,，则2121c d d c =2121211211211c b d a c d b d c b d d a =?==?()()()R d c b a ∈∴2211,,,2. 定义复数集合的子集合C 1={a+bi|i 2=-1,a 、b ∈R,a ≠0}，在C 1上定义关系S 为：(a+bi)S(c+di)?ac>0。
证明：S 是C 1上的一个等价关系，并给出S 的等价类的几何说明。
证明:因为(a+b i )S(c+d i )?ac>0(a,b ∈R,a ≠0,c ≠0)r:?a ≠0,a2>0?(a+b i )S(a+b i )s:(a+b i )S(c+d i )?ac>0?ca>0?(c+d i )S(a+b i ) t:(a+b i )S(c+d i )∧(c+d i )S(u+v i )?ac>0∧cu>0au>0?(a+b i )S(u+v i ) 综上，S 是C 1上的一个等价关系。
由于ac>0，必须a ≠0,c ≠0且a 和c 同号，故S 只有2个等价类，其一是[1]={a+bi|a>0}，另一个是[-1]={a+bi|a<0}，它们分别对应于复平面上右半部和左半部。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
离散数学模拟试题1
一.单项选择题(每小题1.5分,共30分)
1. 永真命题公式( )
①只存在主析取范式;②只存在主合取范式;
③既存在主析取范式也存在主合取范式;④都不对.
2. 下列代数系统中消去侓不成立的是( )
①.群;②含幺半群;③整环;④分配格.
3.在4个元素的集合上可定义的满射有( )个
①4;②12; ③16 ④24
4. 在整环和格的定义中对运算都要求满足的性质是( )
①及收律; ②幂等律; ③交换律; ④分配律.
5. 下面说法中正确的是( )
①半群都有幂等元;②.剩余类环<Z9, ⊕,⊗>中没有零因子;
③.整数加法群<Z,+>不是循环群;④每个群都有正规子群.
6.Z5为模5剩余类集,定义f: Z5→Z5如下:f(x)=2x+1,则f0f( ).
①不是函数;②不是单射;③是置换;④不是满射(0:1;1:3;2:0;3:2;4:4)
7.下面图中可以具有边数最多的是( )
(114=38*3, 100=10*10,120=16*15/2,100=10*10,114=38*3,110=44*5/2 )
①40阶的简单连通平面图;②K10,10;③K16;④44阶的5度正则图
8.下面关于集合基数正确的说法是( )
①没有最大的基数集;②.任何集合都存在与它等势的真子集;
确③没有最小的基数;④有理数集合与实数集合等势
9. 下面图中,可以割边的图是( )
①K10,10; ②欧拉图;③平面图;④哈密顿图.
10. 在4个元素的集合上可定义的等价关系有( )个
①4;②8;③12 ④15.
11.群<G*>没有平凡子群,则G( )
①没有平凡子群;②是循环群;③是置换群;④不存在.
12. 设R是A上的二元关系,且R0RUR=R,则( )
①r®=R;②S( R )=R;③t( R )=R;④R=I A.
13.<L,≤>是一个格,a,b,c∈L,如果a≤b≤c,则( )
①a∨b=b∧c;②a∧c=a∨b;③b∧a=a∨c;④a∨b=c∧b
14.谓词合适公式同时又是命题合适公式时,公式中必无( )
①自由变量;②约束变量;③个体常量;④函数.
15.设T是G的生成树,则( )
①G的回路必含T的边;②G的回路必不含T的边;
③G的割边必含T的边;④G的割边必不含T的边.
16. 设18阶简单连通平面图G有35条边,则最多能为它增加( )条边使其仍能保持是简单平面图.
①13;②..18;③.20;④.25.
17.下式中( )是永真的.
①(P∧Q) →(P∨Q)；②(P→Q)∧(P∨Q)；
③(P→Q) →(P↔Q)；④(P∨Q)→(P→Q).
18. 下面在集合论和逻辑学中正确的公式有( , )
① P ∨～P ⇒P ∧～P;②2A U2B =2AUB ;③∀x(A (x) →B(x)) ⇒～∃xA(x)∨∀x B(x); ④A ⊕B=A ⊕C ⇒B=C;
19. 下面可由拉格朗日定理推出的结论是( )
①每个群都有循环子群;②素数阶的群是循环群;③群中方程有解;
④群的同态核是群的正规子群.
20. 下面能够符合既无割点也无割边的图类是( )
①.树; ②欧拉图;③哈密顿图;④二部图.
二.计算题(每题6分,共36分)
1.求剩余类环<Z 12, ⊕,⊗〉上方程2x 2+3x-3=0的全部解。
2.如果一个n 阶简单平面图又是自补图时,求n 的可能值。
3.写出(～P ↔R) ∧(Q →～R)的主析取范式。
4.设A={a,b,c,d,e},求该集合元素a 和b 在同一个等价类中的等价关系数目。
5.设G 是n 阶3度正则平面图,求要给它新加多少边才可能使它成为自对偶图。
6.写出置换群<S 3,0>中关于置换子群<S 2,0>的全部左陪集。
四．推理与证明题（共34分）
1设R 是集A 上的等价关系，证明对任何正整数n,R n 也是等价关系。
（8分）
2.证明连通图G 其对偶图是平面二部图当且仅当G 是平面欧拉图。
（9分） 3证明：Q →(P →R)，(R ∨S)→B,A ∨ (S ∧～B)⇒～Q ∨～P ∨A 。
（8分）
4.证明<2A ,⊕>是交换群,并判它的元素周期分布情况。
（9分）。