四川大学离散数学第二章
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离散数学第二章关系
例9 .设A={1,2,3,4} ，B={2,4,6,8,10} 。 R={(1,2),(2,4),(3,6)}。
则 (R) = {1,2,3}A ， (R) = {2,4,6}B 。
二.关系的一些关联性质 17
离散数学
定理1. 设R1,R2 A×B是两个关系。若 R1 R2 ，则
(1)保序性： (R1) (R2) ； (2)保序性： (R1) (R2) ；
注：笛卡尔(1596-1650 )，法国数学家， 1637年发表《方法论》之 一《几何学》，首次提出坐标及变量概念。这里是其概念的推广。
定义2. • 二个集合A，B的(二维或二重)叉积定义为 A×B ={(a, b): a A bB} ； •其元素——二元组(a, b)通常称为序偶或偶对(ordered
故 (R1)∩ (R2) = {1,2 }
21
离散数学
所以 (R1)∩ (R2) (R1 ∩ R2) 。
元素aA和集合A1A在关系R A×B下的关联集 (1)a的R-关联集(R-relative set of a)：
R(a)={b : bBaRb }B ；
(2) A1的R-关联集(R-relative set of A1)： R(A1)={b : bB (aA1)(aRb) }B 。
•当A=B时，即RA×A，则称R是A上的一个二元关 系。
例1 . 设A是西安交通大学全体同学组成的集合。 11
离散数学
R={(a,b) : aAbAa与b是同乡}A×A 于是，R是西安交通大学同学之间的同乡关系。
例2 . 设A是某一大家庭。
R1 = {(a,b) : aAbAa是b的父亲或母亲}A×A R2 = {(a,b) : aAbAa是b的哥哥或姐姐}A×A R3 = {(a,b) : aAbAa是b的丈夫或妻子}A×A 于是，
离散数学第2章谓词逻辑新
第二章 谓词逻辑
问题的提出：
所有的金属都导电，铜是金属，所以铜导电。 设： A：所有的金属都导电。 B：铜是金属。 C：铜导电。 该推理符号化为： A，B C
这是著名的三段论推理，A是大前提，B是小前 提，C是结论。显然，这个推理是有效的，但是这个 推理用命题逻辑是无法推证的。
为什么？
因为命题 A、B、C 在句子内部是有联系的，而 仅把命题表示成一个大写字母，就掩盖了这种联系。 也就是说一个命题仅用一个大写字母表示的方式太粗 了，我们必须加以细化，用另外的表示方式来表达命 题。 命题是表达判断的陈述句，将其细分，表达出主 语、谓语及宾语(若有的话)，而一个句子中“谓语”
I
I 包含 N x(N(x)→I(x))
对于存在量词：例如， 有些大学生吸烟。 令 S：大学生集合，A：烟民的集合。
S
A
吸烟的大学生
吸烟大学生是 S 与 A 的交集 x(S(x)∧A(x))
例题3.
每个人都有一个生母。 M(x,y)：y 是 x 的生母。 此命题可以表达为： xyM(x,y)
约定：
将不带个体变元的谓词称为
0 元谓词。
例如，S(a)，G(3,7) 等。
当谓词是常项时，0
元谓词是命题；
当谓词是变项时， 0 元谓词是命题变元。
四、命题函数 含有 n 个变元的命题函数是以个体域为定 义域，以{ F,T } 为值域的 n 元函数。 例： A(x)：x身体好。 G(x, y)：x > y。 B(x, y, z)：点 x 在点 y 与点 z 之间。 这些都是命题函数。
例：若 A(x)：x 身体好。 B(x)：x 学习好。 C(x)：x 工作好。 A(x)→(B(x)∧C(x)) 表示：如果 x 身 体不好，则 x 的学习与工作都不会好。 这也是命题函数 。 约定：对于一个命题函数，如果没有指明其 个体域，则假定其个体域是全总个体域。
问题的提出：
所有的金属都导电，铜是金属，所以铜导电。 设： A：所有的金属都导电。 B：铜是金属。 C：铜导电。 该推理符号化为： A，B C
这是著名的三段论推理，A是大前提，B是小前 提，C是结论。显然，这个推理是有效的，但是这个 推理用命题逻辑是无法推证的。
为什么？
因为命题 A、B、C 在句子内部是有联系的，而 仅把命题表示成一个大写字母，就掩盖了这种联系。 也就是说一个命题仅用一个大写字母表示的方式太粗 了，我们必须加以细化，用另外的表示方式来表达命 题。 命题是表达判断的陈述句，将其细分，表达出主 语、谓语及宾语(若有的话)，而一个句子中“谓语”
I
I 包含 N x(N(x)→I(x))
对于存在量词：例如， 有些大学生吸烟。 令 S：大学生集合，A：烟民的集合。
S
A
吸烟的大学生
吸烟大学生是 S 与 A 的交集 x(S(x)∧A(x))
例题3.
每个人都有一个生母。 M(x,y)：y 是 x 的生母。 此命题可以表达为： xyM(x,y)
约定：
将不带个体变元的谓词称为
0 元谓词。
例如，S(a)，G(3,7) 等。
当谓词是常项时，0
元谓词是命题；
当谓词是变项时， 0 元谓词是命题变元。
四、命题函数 含有 n 个变元的命题函数是以个体域为定 义域，以{ F,T } 为值域的 n 元函数。 例： A(x)：x身体好。 G(x, y)：x > y。 B(x, y, z)：点 x 在点 y 与点 z 之间。 这些都是命题函数。
例：若 A(x)：x 身体好。 B(x)：x 学习好。 C(x)：x 工作好。 A(x)→(B(x)∧C(x)) 表示：如果 x 身 体不好，则 x 的学习与工作都不会好。 这也是命题函数 。 约定：对于一个命题函数，如果没有指明其 个体域，则假定其个体域是全总个体域。
离散数学第二章
P (t1 , t2 , , tn ) 是原子公式。
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§2.1.3 谓词逻辑公式（公式 ）
定义 谓词公式由下述各条规定组成： （1）原子公式是谓词公式。 （2）若A是谓词公式，则﹁ A也是谓词公式。 （3）若A和B是谓词公式，则A ∨ B，A ∧ B，A → B， 也是谓词公式。
22
2．存在量词
注意：１．在存在量词 的作用下，x不再起变量的作用， 存在量词也“约束”了x的变量作用。 注意：２．在存在量词作用下，命题中的特性谓词与命题 变元之间必须采用联结词合取，而不能用条件。 注意：3．命题的表示形式与个体域密切相关。 例：有些狗是聪明的。 若个体域为所有狗的集合，则该命题表示为：
这种“描述主语性质的谓语结构的抽象形式或描述主语所 涉及对象之间的关系的抽象形式”就是谓词。语句中的主 语称为个体。 在原子命题中引进谓词和个体的概念，这种以命题中的谓 词为基础的分析研究，称为谓词逻辑(或称谓词演算)。
7
§2.1.1 谓词与个体
在谓词逻辑中，将原子命题分解为谓词与个体两部分。
F (a1 , a2 , , an )
例如， T（a）：a是教师。 D（３，２）：３大于２。 C（武汉，北京，广州）：武汉位于北 京和 广州之间。 注意顺序
9
§2.1.1 谓词与个体
在一个谓词中，个体是可以变化的，如 “是大学生” 中个体是可以变化的，可以是“张华是大学生” 也可
以是“何勇是大学生” ，等等。
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§2.1.3 谓词逻辑公式（公式 ）
定义( 项 ) (1)个体常量符是项；
(2)个体变量符是项；
(3)设f是n元函数符，
t1 , t2 , , tn 为项，则
离散数学第2章-高等教育出版社-屈婉玲-耿素云-张立昂--ppt课件
p(qr) （蕴涵等值式，置换规则） (pq)r （结合律，置换规则） (pq)r （德摩根律，置换规则） (pq)r （蕴涵等值式，置换规则）
今后在注明中省去置换规则 注意：用等值演算不能直接证明两个公式不等值
8
等值演算的应用举例
证明两个公式不等值 例3 证明 p(qr) 与 (pq)r 不等值 证 方法一 真值表法, 见例1(2)
(pqr)(pqr)(pqr)
m0m1m3 m5m7
非重言式的可满足式
29
主范式的应用
3. 判断两个公式是否等值 例8 用主析取范式判以下每一组公式是否等值
⑴ p(qr) 与 (pq)r ⑵ p(qr) 与 (pq)r 解 p(qr) = m0m1m2m3 m4m5 m7 (pq)r = m0m1m2m3 m4m5 m7 (pq)r = m1m3 m4m5 m7 显见，⑴中的两公式等值，而⑵的不等值.
例如 (pq)r m1m3m5 m6m7 成真赋值为 001, 011, 101, 110, 111， 成假赋值为 000, 010, 100.
类似地，由主合取范式也立即求出成假赋值和成真赋值.
27
主范式的应用
2. 判断公式的类型 设A含n个命题变项. A为重言式 A的主析取范式含全部2n个极小项 A的主合取范式不含任何极大项, 记为1. A为矛盾式 A的主合析取范式含全部2n个极大项 A的主析取范式不含任何极小项, 记为0. A为非重言式的可满足式 A的主析取范式中至少含一个、但不是全 部极小项 A的主合取范式中至少含一个、但不是全 部极大项.
30
主范式的应用
4. 解实际问题 例9 某单位要从A,B,C三人中选派若干人出国考察, 需满足下
述条件: (1) 若A去, 则C必须去; (2) 若B去, 则C不能去; (3) A和B必须去一人且只能去一人. 问有几种可能的选派方案? 解 记 p:派A去, q:派B去, r:派C去 (1) pr, (2) qr, (3) (pq)(pq) 求下式的成真赋值 A=(pr)(qr)((pq)(pq))
今后在注明中省去置换规则 注意：用等值演算不能直接证明两个公式不等值
8
等值演算的应用举例
证明两个公式不等值 例3 证明 p(qr) 与 (pq)r 不等值 证 方法一 真值表法, 见例1(2)
(pqr)(pqr)(pqr)
m0m1m3 m5m7
非重言式的可满足式
29
主范式的应用
3. 判断两个公式是否等值 例8 用主析取范式判以下每一组公式是否等值
⑴ p(qr) 与 (pq)r ⑵ p(qr) 与 (pq)r 解 p(qr) = m0m1m2m3 m4m5 m7 (pq)r = m0m1m2m3 m4m5 m7 (pq)r = m1m3 m4m5 m7 显见，⑴中的两公式等值，而⑵的不等值.
例如 (pq)r m1m3m5 m6m7 成真赋值为 001, 011, 101, 110, 111， 成假赋值为 000, 010, 100.
类似地，由主合取范式也立即求出成假赋值和成真赋值.
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主范式的应用
2. 判断公式的类型 设A含n个命题变项. A为重言式 A的主析取范式含全部2n个极小项 A的主合取范式不含任何极大项, 记为1. A为矛盾式 A的主合析取范式含全部2n个极大项 A的主析取范式不含任何极小项, 记为0. A为非重言式的可满足式 A的主析取范式中至少含一个、但不是全 部极小项 A的主合取范式中至少含一个、但不是全 部极大项.
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主范式的应用
4. 解实际问题 例9 某单位要从A,B,C三人中选派若干人出国考察, 需满足下
述条件: (1) 若A去, 则C必须去; (2) 若B去, 则C不能去; (3) A和B必须去一人且只能去一人. 问有几种可能的选派方案? 解 记 p:派A去, q:派B去, r:派C去 (1) pr, (2) qr, (3) (pq)(pq) 求下式的成真赋值 A=(pr)(qr)((pq)(pq))
离散数学第二章讲解
2018/12/20 18
练习
1. 设A={0,1}, B={1,2}, 则AB ={(0,1),(0,2), (1,1),(1,2)} BB ={(1,1),(1,2), (2,1),(2,2)}
2. #A=2, #B=3 则#(AB)= 6
#(2AB)= 26 由A到B的不同的关系的个数是 26
2018/12/20 16
普遍关系 因为AB AB，AA AA 所以AB是一个由A到B的关系 AA是A上的一个关系
常将AA记作UA={(ai,aj)|ai,ajA}
恒等关系 定义集合A上的恒等关系IA={(a,a)|aA}
例:设A={a,b,c},则 UA=AA={(a,a),(a,b),(a,c), (b,a),(b,b),(b,c), (c,a),(c,b),(c,c)}是A上的普遍 关系 IA={(a,a),(b,b),(c,c)}是A上的恒等关系
2018/12/20 14
对于B={2,5,8}
则B×B ={(2,2),(2,5),(2,8),(5,2),(5,5),(5,8) ,(8,2),(8,5),(8,8)} 令6={(2,2),(5,2),(8,2)}
7={(8,5), (5,2),(2,8),(2,5)}
因为6 BB, 7 BB, 所以，6, 7均是集合B上的关系
其中第i个元素ai称为该有序n元组的第i个坐标。
例 {a,b,c,d}={b,a,d,c},但(a,b,c,d)(b,a,d,c) {4,4,3,2}={4,3,2} ,但(4,4,3,2)(4,3,2) 当n=2时，有序二元组(a,b)又称为序偶。
2018/12/20 2
定义：设(a1,a2,…,an) 和(b1,b2,…,bn)是两个有序n元组， 若a1= b1, a2=b2,…,an=bn,则称这两个有序n元组相等，并 记作(a1,a2,…,an)=(b1,b2,…,bn)。
练习
1. 设A={0,1}, B={1,2}, 则AB ={(0,1),(0,2), (1,1),(1,2)} BB ={(1,1),(1,2), (2,1),(2,2)}
2. #A=2, #B=3 则#(AB)= 6
#(2AB)= 26 由A到B的不同的关系的个数是 26
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普遍关系 因为AB AB，AA AA 所以AB是一个由A到B的关系 AA是A上的一个关系
常将AA记作UA={(ai,aj)|ai,ajA}
恒等关系 定义集合A上的恒等关系IA={(a,a)|aA}
例:设A={a,b,c},则 UA=AA={(a,a),(a,b),(a,c), (b,a),(b,b),(b,c), (c,a),(c,b),(c,c)}是A上的普遍 关系 IA={(a,a),(b,b),(c,c)}是A上的恒等关系
2018/12/20 14
对于B={2,5,8}
则B×B ={(2,2),(2,5),(2,8),(5,2),(5,5),(5,8) ,(8,2),(8,5),(8,8)} 令6={(2,2),(5,2),(8,2)}
7={(8,5), (5,2),(2,8),(2,5)}
因为6 BB, 7 BB, 所以，6, 7均是集合B上的关系
其中第i个元素ai称为该有序n元组的第i个坐标。
例 {a,b,c,d}={b,a,d,c},但(a,b,c,d)(b,a,d,c) {4,4,3,2}={4,3,2} ,但(4,4,3,2)(4,3,2) 当n=2时，有序二元组(a,b)又称为序偶。
2018/12/20 2
定义：设(a1,a2,…,an) 和(b1,b2,…,bn)是两个有序n元组， 若a1= b1, a2=b2,…,an=bn,则称这两个有序n元组相等，并 记作(a1,a2,…,an)=(b1,b2,…,bn)。
离散数学第二章(第3讲)
2、规则使用说明
（1）用US,ES在推导中去掉量词，用UG,EG使结论量化 （加上量词）。 （2）在使用ES,US时,要求谓词公式必须是前束范式
（3）推导中既用ES，又用US， 则必须先用ES ，后 用US方可取相同变元，反之不行。
xP(x) P(c) xQ(x) Q(c)
（4）推导中连续使用US规则可用相同变元 xP(x) P(c) xQ(x) Q(c)
（x）(M(x)D(x))，M(s) D(s)
(1) x(M(x)D(x))
P
(2) M(s) D(s)
US(1)
(3) M(s)
P
(4) D(s)
T(2)(3)I
（2）CP 规则证明
例 证明: x (P(x)Q(x)) x P(x) xQ(x)
(1) x P(x)
附加前提
(2) x (P(x)Q(x))
x(P(x)(Q(x)S(x))),x(P(x)T(x))，Q(c)T(c)P(c)S(c)
推理形式如下：
(1) P(c)
附加前提
(2) x(P(x)(Q(x)S(x)))
P
(3) P(c)(Q(c)S(c))
US (2)
(4) Q(c)S(c)
T(1)(3) I
(5) Q(c)T(c)
P
(6) Q(c)
T (6)(10) I
T(1) E
(3) xP(x)
T (2) I
(4) P(a)
ES (3)
(5) xQ(x)
T(2) I
(6) Q(a)
US (5)
(7) x( P(x) Q(x) )
P
(8) P(a) Q(a)
US(7)
离散数学 第2章习题答案
第2章习题答案1. 解 (1)设F(x)表示“x犯错误”，N(x)表示“x为人”，则此语句符号化为：⌝∃x(N(x)∧⌝F(x))。
(2)设F(x)表示“x是推理”，M(x)表示“x是计算机”，H(x，y)表示“x能由y完成”，则此语句符号化为：⌝∀x(F(x)→∃ y M(y)∧H(x，y))。
(3)设C(x)表示“x是计算机系的学生”，D(x)表示“x学习离散数学”，则此语句符号化为：∀x(C(x)→D(x))。
(4)因原语句与“一切自然数x，都有一个自然数y，使得y是x的后继数；并且对任意自然数x，当y 和z都是x的后继时，则有y＝z”的意思相同，所以原语句可符号化为：∀x(N(x)→∃ y(N(y)∧M(x，y)))∧∀x∀y∀z(N(x)∧N(y)∧N(z)→(M(x，y)∧M(x，z)→( y＝z))) 其中N(x)表示x是自然数，M(x，y)表示y是x的后继数。
(5)设S(x，y，z)表示“x＋y＝z”，则此语句符号化为：∀x∀y∃z S(x，y，z)。
(6)设Z(x)表示“x是整数”，S(x，y)表示“xy＝0”，T(x，y)表示“x＝y”，则此语句符号化为：∀x∀y(Z(x)∧Z(y)→(S(x，y)→ T(x，0)∨T(y，0)))。
(7)设E(x)表示“x是偶数”，P(x)表示“x是素数”，S(x，y)表示“x＝y”，则此语句符号化为：∀x(E(x)∧P(x)→∀y(E(y)∧P(y)→ S(x，y)))。
(8)设E(x)表示“x是偶数”，O(x)表示“x是奇数”，N(x)表示“x是自然数”，则此语句符号化为：⌝∃x(E(x)∧O(x)∧N(x))。
(9)设R(x)表示“x是实数”，Q(x)表示“x是有理数”，Z(x)表示“x是整数”，则此语句符号化为：∃x(R(x)∧Q(x)∧⌝Z(x))。
(10)设R(x)表示“x是实数”，Q(x，y)表示“y大于x”，则此语句符号化为：∀x(R(x)→∃⌝y(R(y)∧Q(x，y)))。
离散数学讲义第2章
例2：H(x, y)：“x比y长得高”，l：“李四”，c：“张 三则” H(l, c)：“李四不比张三长得高”； H(l, c) H(c, l)：“李四不比张三长得高且张三不比 李四长得高”，即“李四与张三一样高”。
10
2-2 命题函数与量词（续）
例3：Q(x, y)：“x比y重” 当x，y指人或物时，它是一个命题，若x，y为实数时， Q(x, y)不是命题。
b) (x)(P(x)(y) R(x,y)) (x)的作用域是：(P(x)(y)(R(x,y))， (y)的作用域是：R(x,y)。 x,y为约束变元。
22
2-4 变元的约束（续）
c) (x)(y)(P(x,y)Q(y,z))(x)P(x,y) (x)(y)的作用域是：(P(x,y)Q(y,z)) x,y为约束变元，z是自由变元。 (x)的作用域是P(x,y) x为约束变元，y是自由变元。
例2：没有不犯错误的人。(F(x), M(x)) 解： (x)(M(x) F(x))
且该命题与“任何人都会犯错误”意义相同： (x)(M(x) F(x))
例3：尽管有些人聪明，但未必一切人都聪明。(P(x),M(x)) 解： (x)(M(x) P(x)) ((x)(M(x) P(x)))
18
某些为假。
例5：(P(x, y) P(y, z)) P(x, z)。考虑P(x, y)的解释： （1）“x小于y”，则P(x, y)永真。 （2）“x为y的儿子”，则P(x, y)永假。 （3）“x距离y10米”，则P(x, y)可能为真或假。
12
2-2 命题函数与量词（续）
个体变元：函数P(x)中的x。
(z)(P(z)R(z,y)) Q(x,y) 但不可换名为
(y)(P(y)R(y,y)) Q(x,y) 或
10
2-2 命题函数与量词（续）
例3：Q(x, y)：“x比y重” 当x，y指人或物时，它是一个命题，若x，y为实数时， Q(x, y)不是命题。
b) (x)(P(x)(y) R(x,y)) (x)的作用域是：(P(x)(y)(R(x,y))， (y)的作用域是：R(x,y)。 x,y为约束变元。
22
2-4 变元的约束（续）
c) (x)(y)(P(x,y)Q(y,z))(x)P(x,y) (x)(y)的作用域是：(P(x,y)Q(y,z)) x,y为约束变元，z是自由变元。 (x)的作用域是P(x,y) x为约束变元，y是自由变元。
例2：没有不犯错误的人。(F(x), M(x)) 解： (x)(M(x) F(x))
且该命题与“任何人都会犯错误”意义相同： (x)(M(x) F(x))
例3：尽管有些人聪明，但未必一切人都聪明。(P(x),M(x)) 解： (x)(M(x) P(x)) ((x)(M(x) P(x)))
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某些为假。
例5：(P(x, y) P(y, z)) P(x, z)。考虑P(x, y)的解释： （1）“x小于y”，则P(x, y)永真。 （2）“x为y的儿子”，则P(x, y)永假。 （3）“x距离y10米”，则P(x, y)可能为真或假。
12
2-2 命题函数与量词（续）
个体变元：函数P(x)中的x。
(z)(P(z)R(z,y)) Q(x,y) 但不可换名为
(y)(P(y)R(y,y)) Q(x,y) 或
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证明: ① q ② ～s∨q ③ s→q ④ s→p ⑤ (s→p)∧(s→q) ⑥ s→(p∧q) ⑦ (p∧q)→r ⑧ s→r P T ① 扩充法则 （关键） T ② 蕴涵式 P T ③ ④ 合取 T ⑤ 二难推论，幂等律 P T ⑥ ⑦ 假言三段论
范式
句节、子句、短语、析取范式、合取范式 极小项---主析取范式 极大项---主合取范式
命题公式的蕴涵 推理规则
基本蕴含（关系）式
① P规则（称为前提引用规则） ② Ｔ规则（逻辑结果引用规则） ③ ＣＰ规则（附加前提规则）
二、基本方法
1、应用基本等价式及置换规则进行等价演算 2、求主析取（主合取）范式的方法
三、典型例题
1.命题逻辑表达式的翻译：
除非你已满16周岁，否则只要你的身高不足1.2米就不 能乘公园滑行铁道游乐车。
解：令P：你能乘坐公园滑行铁道游乐车。 Q：你身高不足1.2米。 R：你已满16周岁。
翻译成： (¬RΛ Q)→¬ P
2、试证明 (P∧(Q∨R))∨(P∧ ～Q∧ ～R) P 证明： (P∧(Q∨R))∨(P∧ ～Q∧ ～R) P∧((Q∨R)∨(～Q∧ ～R))（分配律） P∧((Q∨R)∨～(Q∨R)) (De Morgan定律) P∧T（矛盾律） P (同一律)
共有四个极小项，但根据题意，需派两人出差，所以，只有 其中三项满足要求： （A∧～B∧C∧～D），（A∧～B∧～C∧D）， （～A∧B∧～C∧D） 即有三种方案：A和C去，或者A和D去，或者B和D去。
8、如果今天是星期一，则要进行离散数学或数据结构两门课 程中的一门课的考试；如果数据结构课的老师生病，则不 考数据结构；今天是星期一，并且数据结构的老师生病。 所以今天进行离散数学的考试。 解：设 P：今天是星期一； Q：要进行离散数学考试； R：要进行数据结构考试； S：数据结构课的老师生病； 则P→QR，S→～R，P∧S Q。
证: ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻
P∧S S S→～R ～R P P→QR QR Q
Ｐ Ｔ,⑴,I1 Ｐ Ｔ,⑵,⑶,I5 Ｔ,⑴,I1 Ｐ Ｔ,⑸,⑹,I5 Ｔ,⑷,⑺,I5
9、一位计算机工作者协助公安员审查一件谋杀案，他认为下列 情况是真的； （1）会计张某或邻居王某谋害了厂长。 （2）如果会计张某谋害了厂长，则谋害不能发生在半夜。 （3）如果邻居王某的证词是正确的，则谋害发生在半夜。 （4）如果邻居王某的证词不正确，则半夜时屋里灯光未灭。 （5）半夜时屋里灯光灭了，且会计张某曾贪污过。 计算机工作者用他的数理逻辑知识，很快推断出谋害者 是谁？请问:谁是谋害者？怎样推理发现他？
5、用公式转换法求上题中的主析取和主合取范式 ～(Ｐ→Ｑ)∨Ｒ ～（～P∨Q）∨R （P∧～Q）∨R (P∧～Q∧(R∨～R))∨( (P∨～P)∧(Q∨～Q)∧R) (P∧ ～ Q∧R) ∨ (P∧ ～ Q∧ ～ R ))∨ （ (P∨ ～ P) ∧((Q∧R)∨(～Q∧R))） (P∧～Q∧R)∨(P∧～Q∧～R)) ∨ (P∨～P) ∧(Q∧R)∨ (P∨～P) ∧(～Q∧R) （P∧～Q∧R）∨（P∧～Q∧～R）∨（P∧Q∧R） ∨（～P∧Q∧R）∨（P∧～Q∧R）∨（～P∧～Q∧R ）
P P T①②E23,I5 P T③④I5 P T⑤⑥I7 P T⑦⑧I5
13、若n是偶数，并且n大于5，则m是奇数。只有n是偶数，m才 大于6。n是大于5。所以，若m大于6，则m是奇数。 解：设p：n是偶数，q: n大于5, r: m是奇数, s: m大于6. 前提: (p∧q)→r, s→p, q 结论：s→r
4、 G=～(Ｐ→Ｑ)∨Ｒ，求公式G的主析取范式和主合取范式。
解：首先列出其真值表如下：
P Q R 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 P→Q 1 1 1 1 0 0 1 1
～（P→Q）
0 0 0 0 1 1 0 0
～(P→Q)∨R
0 1 0 1 1 1 0 1
∴ {P∨Q，P→～N，O→N，～O→～R，R∧A} Q 结论是：邻居王某谋害了厂长。
10、证明下面论述的有效性。 在意甲比赛中，假如有四只球队，其比赛情况如下： 如果国际米兰队获得冠军，则AC米兰队或尤文图斯队获得亚 军；若尤文图斯队获得亚军，国际米兰队不能获得冠军； 若拉齐奥队获得亚军，则AC米兰队不能获得亚军；最后， 国际米兰队获得冠军。所以，拉齐奥队不能获得亚军。 解：设P：国际米兰队获得冠军； Q：AC米兰队获得亚军； R：尤文图斯队获得亚军； S：拉齐奥队获得亚军； 则原命题可符号化为： P→QR，R→～P，S→～Q，P～S
1）公式转换法 2）真值表技术法 主合取范式----在命题公式的真值表中，使公式取值 0时的解释所对应的全部极大项的合取式。 主析取范式----在命题公式的真值表中，使公式取值 1时的解释所对应的全部极小项的析取式。
3、推理的各种方法
（1）直接法 （2）利用CP规则 （3）反证法
4、消解法
3、证明 ((P∨Q) ∧～(P∧Q)) ～(PQ) 证： ((P∨Q)∧～(P∧Q)) ((P∨Q)∧(～P∨～Q)) (De Morgan定律) ((P∨Q)∧～P)∨ ((P∨Q)∧～Q)) （分配律） ((P∧～P)∨(Q∧～P))∨((P∧～Q)∨(Q∧～Q)) (Q∧～P)∨(P∧～Q) （矛盾律） ～(～Q∨P)∨～(～P∨Q) (De Morgan定律) ～((Q→P)∧(P→Q)) （蕴涵式） ～(PQ) （等价式）
11、P25
习题一 18
解：根据给定的条件有下述命题： P：珍宝藏在东厢房 Q：藏宝的房子靠近池塘 R：房子的前院栽有大柏树 S：珍宝藏在花园正中地下 T：后院栽有香樟树 M：珍宝藏在附近 根据题意，得出： （Q→～P）∧（R→P）∧Q∧（R∨S）∧（T→M）
？
（Q→～P）∧（R→P）∧Q∧（R∨S）∧（T→M） ～P∧（R→P）∧（R∨S）∧（T→M） 假言推理 ～R∧（R∨S）∧（T→M） 拒取式 S∧（T→M） 析取三段论 S 即珍宝藏在花园正中地下
习题课1
- 命题逻辑
2014 秋季
第一章 命题逻辑 总 结
一、基本概念
命题
命题的真值 原子命题、复合命题 逻辑联结词（～、∨、∧、、→、）
命题公式
公式的解释 永真式(重言式) 永假式(矛盾式，不可满足公式) 可满足式
命题公式的等价
基本等价式——命题定律 替换规则（定理） 对偶式 对偶原理
极大项 极小项
P∨Q∨R ～P∧～Q∧R P∨～Q∨R ～P∧Q∧R P∧～Q∧～R P∧～Q∧R ～P∨～Q∨R P∧Q∧R
主析取范式 =（～P∧～Q∧R）∨（～P∧Q∧R）∨ （P∧～Q∧～R）∨（P∧～Q∧R）∨（P∧Q∧R） =m1∨ m3∨ m4∨ m5∨ m7 主合取范式 =（ P∨Q∨R ）∧（ P∨～Q∨R ）∧（～P∨～Q∨R） =M0 ∨ M2 ∨ M6
⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼ ⑽ ⑾
～（～S） P（附加前提） S T,⑴,E1 S→～Q P ～Q T,⑵,⑶,I5 P→QR P P P Q R T,⑸,⑹,I5 R T,⑷,⑺,I7 R→～P P ～P T,⑻,⑼,I5 P∧～P( F) T,⑹,⑽,E19 所以，拉齐奥队不能获得亚军
6、将下面一段程序简化
A∧B then If B∨C then X Else Y End Else If A∧C then Y Else X End End If
执行程序段X 的条件为 ((A∧B)∧(B∨C))∨(～ (A∧B)∧～ (A∧C)) ～ (A∧～ B∧C) 执行程序段Y的条件为 ((A∧B)∧～ (B∨C))∨(～ (A∧B)∧ (A∧C)) A∧～ B∧C A∧～ B∧C Y Else X End If then
解：设P：会计张某谋害了厂长 Q：邻居王某谋害了厂长 N：谋害发生在半夜。 O：邻居王某的证词是正确的。 R：半夜时屋里灯光灭了。 A：会计张某曾贪污过。 上述案情有如下命题公式： （1）P∨Q （2）P→～N （3）O→N （4）～O→～R （5）R∧A
问题是需求证： {P∨Q，P→～N，O→N，～O→～R，R∧A} ？ 证：① R∧A P ② R T，①，I1 ③ ～O→～R P ④ O T，②，③，E23，I5 ⑤ O→N P ⑥ N T，④，⑤，I5 ⑦ P→～N P ⑧ ～P T，⑥，⑦， E23，I5 ⑨ P∨Q P ⑩ Q T，⑧，⑨，I7
12、P26
21（2）
解：根据给定的条件有下述命题： P：现场无任何痕迹 Q：失窃时，小花在OK厅 R：失窃时，小英在OK厅 S：失窃时，小胖在附近 T：金刚是偷窃者 M：瘦子是偷窃者 则根据案情有如下命题公式： {P，Q∨R，S→ ～ P，Q→ T，～ S→ ～ R，R→ M}
① P ② S→～P ③ ～S ④ ～S→～R ⑤ ～R ⑥ Q∨R ⑦ Q ⑧ Q→T ⑨ T 即 金刚是偷窃者
（主析取范式）
～(Ｐ→Ｑ)∨Ｒ ～（～P∨Q）∨R （P∧～Q）∨R （P∨R）∧（～Q∨R） （P∨（～Q∧Q）∨R ）∧（（～P∧P）∨～Q∨R） （P∨～Q∨R）∧（P∨Q∨R ）∧（ ～P∨～Q∨R）∧ （P∨～Q∨R） （P∨～Q∨R）∧（P∨Q∨R ）∧（ ～P∨～Q∨R） （主合取范式）
7、习题一 14题 解：由题设 A：A去，B：B去，C：C去，D：D去 则满足条件的选派应满足如下范式： （A→（CD））∧～（B∧C）∧～（C∧D） 构造和以上范式等价的主析取范式（为什么？） （A→（CD））∧～（B∧C）∧～（C∧D） （～A∧～B∧ ～C ∧D ）∨（～A∧～B∧～C∧～D）∨（～ A∧～B∧C∧～D）∨（～A∧B∧～C∧～D） ∨（A∧～B∧C∧～D）∨（A∧～B∧～C∧D） ∨（～A∧B∧～C∧D）∨（A∧B∧～C∧D）