课表编排问题 数学建模
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开放教育排课问题约束分析与数学建模1 引言(Introduction)随着体制改革的不断深化，高校信息化建设成为提升教育教学水平、提高管理效率、保证教学质量、全面增强学校综合竞争力的关键因素。
“十三五”规划发展期间，同属于国家高等教育序列的开放大学正在逐步进行结构调整和教学模式的转型与优化。
培养目标、专业设置、课程设置等方面的重新定位，教育教学资源的优化配置，为开放教育教学管理提出了更高的要求。
随着教学模式的改革、学生人数的日益扩大、开设专业的不断创新、开设课程的不断增多，教师教室资源的相对减少等因素，严重制约了开放教育的发展。
尤其对于排课工作，传统的手工排课由于上述制约因素无法编制有效地课表，一方面造成人力和物力的极大浪费，工作效率不高，保密性较差，文件数据维护、更新难度大，教学资源没有发到最优化配置。
另一方面，手工编制的课表会因为人为的错误而扰乱正常的教学秩序。
因此，有效解决具有开放教育特征的排课问题[1]，编制科学的课程表是提高开放教育教学管理水平的关键。
2 问题描述(Problem description)实际上排课管理工作可以归结为基于时空组合的教学资源分配问题[2,3]。
排课问题是一个复杂难解的非线性、多约束、模糊多目标优化的问题，且已经被证明是一种NP完全问题[4]。
高校作为一个教学实施的整体，编排课程表需要考虑全校性的、多方面的因素，包括教师、教室、课程、班级、时间等对象，也就是说在满足一系列的约束性条件的前提下，使得学校教学资源能够得到最优化配置。
开放教育是以学生为中心，运用现代通信技术与各种多媒体进行远程教育和面授相结合，并实行学分制的教育类型。
学生对课程的选择、媒体的适用具有一定的自主性。
在学习方式、学习进度、学习地点、学习时间等方面，可由学生根据自身的情况自主决定；学生基本来自在职人群，学生修读完本专业规定的毕业学分，颁发国家承认的本、专科学历证书。
基于这些特征，开放教育的课程均安排在周一至周五的晚上，周末的白天与晚上。
排课问题的数学模型研究
排课问题的数学模型研究
排课问题是在排定学期课程表的过程中面临的一个重要问题，通过分析特定的条件，寻找出最优解来解决该问题是解决之道。
排课问题可视为一种约束优化问题，是应用数学模型来解决的一类复杂问题，其运用约束条件，求解一组变量使得整体成本最小，具有很强的实际意义。
排课问题的数学模型可以根据实际情况和应用需求来制定，一般情况下，可以采用贪心算法、费用流算法、回溯算法、动态规划算法等多种算法来解决。
贪心算法是一种简单但有效的算法，原则就是每一步取当前最优解。
其优点是算法简单，易于实现，缺点是无法保证全局最优解。
费用流算法是一种有效的排课算法，它采用图论中的费用流模型，追求最大流量决策，可以找出满足资源约束条件的最优解，即满足每一节课最少需要的资源。
回溯算法又称为试探法，按照深度优先搜索，遍历全部节点，枚举所有可能的情况，最终找到可行的解决方案。
动态规划算法是一种优化算法，它的基本思想是，对于每个时期的课程安排，给出最优解，在此基础上，不断更新，最终求出最优解。
排课问题是一个复杂而又实用性很强的问题，受到越来越多人的重视。
数学模型是解决该问题的重要手段，历来受到各大学者的关注。
通过贪心算法、费用流算法、回溯算法、动态规划算法等，可以找到满足条件的最优解。
只要模型，算法和数据得到合理的设计与使用，
排课问题的解决方案有可能实现。
总而言之，数学模型是解决排课问题的重要手段。
模型的设计应该以实际情况为准，考虑各种约束条件，寻求出真正能够满足需求的优化解决方案。
只有这样，才能高效、准确地解决排课问题，实现客观有效地排课。
排课问题的数学模型研究
排课问题的数学模型研究排课是指根据学校规定的开课数量以及课程、教师、场地等资源要求，综合考虑这些因素，将所有的课程排列到一张满足学校要求的时间表中的过程。
排课没有完美的解决方案，排课问题是一个复杂的搜索问题，它有着复杂的约束条件，需要进行大量的计算和运算。
基于此，研究者借助数学模型来解决排课问题，以求解最佳的排课结果。
随着计算机技术的发展，“排课问题”的数学模型也发展至今。
排课问题的数学模型可以大致分为三类。
第一类是组合优化模型，例如0-1规划模型、线性规划模型、调度与分配模型等。
这类模型通过优化变量的设置，使解决方案达到最优。
第二类是搜索优化模型，例如多项式搜索模型、模拟退火模型等。
这类模型不仅考虑当前的解决方案，而且还考虑可行解的附加条件，有效地寻找最优解。
第三类是粒子群优化模型，粒子群搜索技术也可以用于排课问题，主要是将粒子群搜索技术应用于排课问题，设计粒子群优化过程，实现最优解的搜索。
在数学模型研究方面，许多学者研究了排课问题的数学模型，他们基于各种类型的模型，研究出了不同的算法来解决排课问题，如回溯法、基因算法、遗传算法等。
通过各种数学模型，可以实现比较有效的排课解决方案。
本文在介绍排课问题的基本要求和约束条件的基础上，介绍了排课问题数学模型的研究，即有关排课的数学模型的研究。
其中，包括组合优化模型、搜索优化模型和粒子群优化模型。
数学模型能够帮助学校更好地安排每学期课程，实现更优化的排课结果。
排课问题虽然是一个复杂的搜索问题，但面对这一复杂的搜索问题，数学模型能够为解决排课问题提供更有效的解决方案。
研究者需要进一步研究具体的算法，并在实际应用中检验如何进一步改进数学模型，以获得更优的排课结果。
排课问题的数学模型研究
排课问题的数学模型研究排课问题是指如何有效地将教室、教师和学生等资源进行有效的安排，使得课程的安排能够满足教学需求，进而提高教学质量，所以排课问题属于一类组合优化问题，它经常用于求解学校中教学计划的安排。
随着计算能力的不断提升和发展，排课问题也在得到广泛的应用，并且其复杂的特征也意味着它的解决非常困难。
在许多排课问题的研究中，数学模型是有效的工具，可以帮助解决排课问题，并提供有效的模型解决思路。
具体而言，数学模型是一种量化方法，将排课问题表达为一个数学模型，使其问题能够明确表达，从而可以帮助解决排课问题。
首先，引入数学模型可以减少排课问题复杂性，并且使求解更加高效。
将排课问题表示为数学模型后，面临的主要问题就是模型的优化，以获得最佳的排课方案。
即以最优的方式将教室、教师和学生等资源安排起来，以满足学校课程的安排需求，从而提高教学质量。
其次，在求解排课问题时，数学模型可以提供改进算法的方法和优化方法。
通过研究优化算法，可以探索如何有效的求解排课问题，并探究应如何使用优化算法解决排课问题。
此外，研究优化问题的方法也可以指导实践，从而可以为求解排课问题提供更加有效的解决方案。
最后，将排课问题表示为数学模型后，可以运用计算机计算，求解排课问题，提供更优质的排课方案。
这是因为，模型可以将排课问题表示为精确的数字形式，可以快速计算出最优的排课方案，提高效率。
总之，排课问题属于一类深度优化问题，在求解排课问题时，数学模型可以提供有效的优化方法。
通过将排课问题表示为数学模型，可以有效的缩小问题的规模，从而求解排课问题，提供最佳的排课方案，满足学校课程的安排需求，有效改善教学质量，从而达到优化教学效果的目的。
数学建模课表安排
文理学院新校区课表安排问题编号：J4004摘要：每学期的开学初，总有许多老师对新校区的课程安排很有意见，本文选取文理学院某系某专业的师生情况、课程、教室间数为研究对象，以课程与上课时间之间的关系矩阵为目标矩阵，通过用各影响矩阵优化目标矩阵的方法，对新校区各系各专业的课表进行了重排。
在具体模型建立过程中采用了0-1矩阵法，矩阵的乘法等数学方法，建立优化类数学模型来求解有效矩阵，根据有效矩阵初排课表，结合多方面因素建立修正矩阵，对初排课表逐层修改，得出最优排课表，最后通过lingo软件加以实现。
运用我们建立的数学模型，对文理学院数学系08级信息与计算科学专业的课表进行重排，将所得新课表与现有的课表进行比较，显然新排的课表更加合理化、人性化。
根据新课表中每节课对应的相关因素（课程名称、教室、老师、班级）进行分析整合，可衍生出新的安排表（如通过对不同时间段上课老师人数的研究安排校车的接送）。
我们以学校、教师和学生对所排课表满意度作为衡量标准，以文理学院数学系08级信息与计算科学专业的课表为例，可得学校、教师和学生对我们所排课表的满意度主因素分别为校车接送次数、在新区逗留时间、专业课排在早上，计算得评价指标分别为 0.88、1、1，可见对本模型使三方的满意度基本均衡且都超过80%，即做到了三者兼顾的满意最大化。
最后，通过我们建立的模型，我们给教务处排课表问题给处了一些合理的、可行性的建议。
关键字：排课问题 0-1矩阵矩阵的乘法优化目标矩阵满意度一． 问题重述每学期的开学初，总有许多老师对对新校区的课程安排进行抱怨，还有许多老师要求调课，教务处对这一问题很是头疼。
根据文理学院院的实际情况，用数学建模的方法解决这一问题，既要让老师满意，又要让同学和学校满意。
让老师满意，就是要让每位老师在一周前往新校区上课的乘车次数尽可能少，同时还要使每位老师在新校区逗留的时间尽可能少，比如安排尽量少出现像同一天同一位老师上1-2节，7-8节；让同学们满意，可从以下几方面考虑，比如，同一班级同一门课程，至少应隔一天上一次，另外对学生感到比较难学的课程尽量安排在最好的时段；同时为避免下课楼道拥挤，对于上午有四节课的班级，在教室功能允许的情况下，应尽量避免更换教室；让学校满意，就是要节约支出，每周派往新校区的车次尽可能的少。
数学建模请你来排课表
数学建模请你来排课表请你来排课表摘要每学期的开学初，学校都会根据时间、课程、课时要求、教室、班级人数、教师等因素对各学院各专业的课表进行重排。
我们首先对题目的要求进行分析，将题目归类为优化模型问题，主要运用运筹学的知识来建立模型。
确定了分别将教师、课程、教室三个因素优化组合进行讨论，并分配到课表上的不同时间段上最终形成满足要求的课表的解决方案。
首先，我们确定了各优化因素之间的约束关系，然后根据各因素间约束关系的要求不同，编制出各因素间的效用矩阵。
其中我们采用了多重约束条件，将各约束条件分为硬约束（强制要求）和软约束（用偏好系数表示）；其次，我们为课表上的每一个时间段随机分配课程；再次，我们用逐级优化和0-1规划的方法分别将教师、教室分配到课表上的不同时间段上，按时间+课程+教师+教室的组合，形成了一份尽可能多地满足课程、教师、教室要求的课表。
最终根据题目给的数据，通过MATLAB软件编程进行模型验证，求出了所需课表，且在方案合理性分析中用计算机模拟的方法分析了偏好系数的变化、教室的种类对排课结果的影响。
文尾我们给出了教师、教室的配置建议。
关键词：排课模型随机分配优化目标矩阵多重约束条件0-1规划目录1 问题重述与分析 (4)1.1问题的重述 (4)1.2问题的分析....................................... (4)2 问题的假设 (4)3 符号说明 (5)4 模型的建立与求解 (5)根据分析，关联关系有课程—上课时间、课程—教室、教师—课程、教师—上课时间、教师—教室一共五个，该模型中存在的联系可由下图给出，其中实线表示“硬约束”，虚线表示“软约束”。
根据关联关系，由此可以得到刻画每个关系的效果指标矩阵，依次建立A1，A2，A3，A4 四个效用矩阵。
其中，为强制约束的有A2、A4，偏好约束有A1、A3，矩阵表示如下图所示。
1A 矩阵：()ij a A 1 刻画i 教师上j 教室的偏好效果指标，其中：10≤≤ij a （当ij a =0时表示i 教师不希望在j 教室上课，ij a =1时表示i 教师希望在j 教室上课，10 ij a 时表示i 教师在j 教室上课的偏好程度适中，赋值越大说明偏好越大）2A 矩阵：()ij a A 2 刻画i 教师上j 课程时的效果指标，其中：ij a =0，1（当ij a =0时表示i 教师不能上j 课程，ij a =1时表示i 教师能够上j 课程）3A 矩阵：()ij a A 3 刻画i 教师上j 时间段课时的偏好效果指标，其中：10≤≤ij a （当ij a =0时表示i 教师不希望在j 时间段上课，ij a =1时表示i 教师希望在j 时间段上课，10 ij a 时表示i 教师在j 时间段上课的偏好程度适中，赋值越大说明偏好越大）4A 矩阵：()ij a A 4 刻画i 课程在j 教室上时的效果指标，其中：ij a =0，1（当ij a =0时表示i 课程不能在j 教室上，ij a =1时表示i 课程能够在j 教室上）（2）对时间段S i 进行编号由于每门课程以2节课为单位进行编排，因此可以用i S 表示各段时间，如下图所示：（3）对课程的处理由于有些课程的课时数为奇数，因此对这些课程进行适当的处理及调整，具体做法如下： 当某一课程的课时数为奇数时，取大于它的最小偶数，若该课程的课时数为偶数时则不改变其值。
排课问题的数学模型研究
排课问题的数学模型研究随着社会的发展和教育水平的提高，越来越多的学生进入高等学校。
学校要面对各类课程的排课问题，势必要考虑如何尽可能地满足学生的教学需求，而且要保证排课的合理性、灵活性和可行性。
因此，排课问题已经成为现代最重要的教育问题之一。
排课问题是一种典型的优化问题。
实际上，它是在自然科学和社会科学领域中的一类比较复杂的约束条件下的优化设计问题，其目标是在给定的一定条件下实现最佳的排课效果。
因此，研究排课问题的最佳数学模型就显得尤为重要。
首先，要确定排课问题的决策变量，包括课程的内容、教室的容量、上课的时间和日期、以及教师的有效期限等等。
其次，要确定排课问题的目标函数。
排课问题的目标函数可以是最小化总课程时间或最小化总优化成本，也可以是最大化总满意度，还可以是最小化总不满意度。
确定目标函数之后，下一步就是定义求解模型。
求解排课问题的数学模型有很多种，根据不同的排课目标，求解排课问题的数学模型可以分为五类：标量函数优化模型、统一考虑模型、单项满足约束模型、多项满足约束模型和模糊排课模型。
其中，最常用的是标量函数优化模型，即以满足所有限制条件下最优解为约束条件，设计一个目标函数，以最优解使得目标函数最优值最小。
随着计算机技术和软件技术的发展，求解排课问题的优化软件也得到了改进和完善。
使用计算机计算技术和软件，可以有效地求出满足所有限制条件下排课最优解，从而实现高效、准确地求解排课问题。
总的来说，求解排课问题的数学模型是一个复杂的优化设计问题，涉及到许多学科，包括数学、经济学、管理学等，而且它也是当今教育改革中很重要的问题。
所以，要有效地求解排课问题，必须对排课问题的数学模型进行全面的研究，并借助计算机技术和软件，以达到尽可能地满足学生的教学需求，提高课程安排的效率和质量。
综上所述，排课问题的数学模型研究是排课系统的基础，它不仅涉及到诸多学科，而且还可以利用计算机技术和软件达到更好的优化排课效果。
排课问题的数学模型及基于遗传算法的实现
时间表 问题 是一 类多元 受 限 的资源 调度 组合 优化 问题 ． 列 车时 刻表 、 班时刻 表 、 市公 路运 营表 、 航 城 医院病 房 调度 表 等均
与此有关 。
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ｌ１１ 时 间 表 问 题 的 相 关 定 义 ＿． 为 了更好 的描 述 时间表 问题 ， 出以下 时间 表 问题 的相关 给 定义 ： 定 义 １ 时 间 集 （ ｉ ｅＳ ｔ ： 件 发 生 时 间 构 成 的 集 合 ， Ｔｍ ｅ） 事 具 有有 序性 、 一 性 ， 为 ： 唯 记
摘
要 ： 时 间表 问题 的 分析 论述 入手 ， 从 对排课 问题 进行 合理 抽 象并 建 立 了该 问题 的数 学模 型 。在此 基础 上 ． 用遗 利
传 算 法进行 问题 求解 ， 出染 色体 编码 方 案和适 应度 函数 ， 计 并 实现 了排 课 系统 。结 果表 明 算法 具有合 理 性 和可 给 设
第７ 第 １ 期 卷 ｌ
２０ 年 １ ０８ １月
软 件 导 刊
Ｓ ｆｗａｅ Ｇｕｄ ｏ ｔ ｒ ｉｅ
Ｖｏ ＿ ｌ Ｎｏ． １ ７ １ ＮＯ ． ｏ Ｖ ２ ０８
排课 问题 的数 学模型及基 于遗传 算法 的实现
剥、 华 金
（ 门理 工 学院 计 算机 科 学与技 术 系， 建 厦 门 ３ １２ ） 厦 福 ６ ０ ４
作考简介： 孙金华（ ７－ ， 福建三明人， １ ６ ）男， ９ 硕士， Ｊ－学院计算机系高级工程师， 厦门ｚ￣ ＇ 研究方向为软件工程、 ｅ开发技术、 ｗｂ 数据库技术。
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２ｏ ｏ ８年
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魅力数模美丽力建力建学院第六届数学建模竞赛自信坚强团结创新论文题目课表编排0-1规划模型参赛编号 2008tj0804 监制：力建学院团委数学建模协会（2010年11月）力建学院第六届数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了第六届建工数学建模竟赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。
我们的参赛编号为：2008tj0804参赛队员(签名) ：队员1：叶庆队员2：靳小龙队员3：胡传鹏课表编排问题第一部分摘要：本文根据制定课表时需考虑的问题,建立了冲突最少的0-1规划模型；求解得课表，并根据所得结果对教师聘用,教室的配置,来做出合理的建议。
考虑目标函数时，分析课表编排要符合的条件为：课程要求、教师课程编排尽量分散、同课程编排尽量分散、教师超出工作量尽量少。
则我们目标函数冲突最少分解为：各门课程各自不符合程度总和最少、各教师各自课程编排分散程度总和最大、各门课程编排分散程度总和最大、各教师超出工作量程度总和最少。
考虑约束条件时，分析附录中的相关数据,得到课程编排的影响因素有,时间,教室,课程等，则可以根据此来约束目标函数。
根据以上考虑因素建立系统递阶图,使目标更清晰。
建立空间向量，已知数据与空间向量一一对应。
根据课程要求与实际编排差距最少原理，建立目标函数。
加上课表编的约束条件,进行优化,用Matlab求解课表.再根据求解得课表与相关系数指标为教师聘用,教室的配置,来做出合理建议.关键词：课表编排系统递阶图空间向量第二部分一、问题重述某高校现有课程40门，编号为C01～C40；教师共有25名，编号为T01～T25；教室18间，编号为R01～R18。
具体属性及要求见表1，表2，表3：课表编排规则：每周以5天为单位进行编排；每天最多只能编排8节课，上午4节，下午4节，特殊情况下可以编排10节课，每门课程以2节课为单位进行编排，同类课程尽可能不安排在同一时间。
你所要解决的问题：请你结合实际情况给出较为合理的课表编排方案，分析你所给出的方案的合理性。
对教师聘用，教室配置给出合理化建议。
二、问题的分析问题分析为先建立合理的课表编排方案，再从课表编排方案中分析对教师聘用，教室配置给出合理化建议。
针对问题一：1、该问题要求给出合理的课表编排方案，分析如下：（1）、总体上尽量使每门课程符合要求，即求各门课程各自不符合程度总和最低；（2）、总体上使同一老师的课程尽量分散，即求其总各教师各自课程编排分散程度总和最大；（3）、总体上使每门课程的编排尽量分散，即求各门课程编排分散程度总和表达式最大；（4）、总体上使同一老师相对超出的工作量尽量少，各教师超出工作量程度总和最少。
2、针对编排方案约束条件如下： （1）、同一时间段同一教室不能同时上两门或两门以上的课程； （2）、在任一教室上课的人数不能超过最大座位数； （3）、同一时间段同一教室不能同时上两门或两门以上的课程； （4）、在安排课程与老师授课类别要符合课程类别，不要造成混乱；利用层次分析法，求出表示不同程度的权重表达式，把以上各点要达到的目标整合成为单目标的总目标0-1规划问题。
针对问题二：1、根据教师聘用则要求分析出哪一类课程需要的教师越少，则越要聘用教那一类课程的教师。
各类教师少的程度可用各类教师补课程度系数l BB （各类教师周最大课时数之和与各教师实际课时数之和的比值）来作分析参考，系数l BB 越大则该类教师越少，应尽量聘用能胜任该类课程的教师。
2、针对教室配置给出合理化则要求分析出：（1）对各类教室配置座位数量应为多少才合理；（2）各教室类别（机房，多媒体教室，通教室）数量的应为多少才合理； 则可以从应配置座位系数l CC （数量与实际座位数量之差，再比上实际座位数量）和配置类别系数l DD （课程要求与实际类别数量之差，再比上实际类别数量）分析可得：座位系数l CC 越大，则对各类教室配置座位数量需求越大，则越要配置多一点座位，反之越小；配置类别系数l DD 越大，则各教室类别（机房，多媒体教室，通教室）数量需求越大，则越要配置多一点该类别教室，反之则越小。
三、模型假设1、假设机房、多媒体教室和普通教室三者的重要性系数之比为3︰2︰1； （机房可以当作多媒体教室用，而多媒体教室也可以当普通教室用）2、假设课程类别、课时数、座位数、教师类别、时间段的重要性之比为1a ︰2a ︰3a ︰4a ︰5a ；3、假设每位教师都不会生病请假而能正常上课；4、假设每个教室的设备都能正常运作，桌凳等不会损坏，学生不会去旁听而导致桌椅不够使用；5、要求的最佳课表是唯一的；6、假设在星期一到星期五内没有节假日、法定假期，课程能按时上课。
建立模型的流程图如下：四、符号及变量说明符号 符号说明r c jtcj c rj R第几个教室的序号 第几个课程的序号第几个时间段的序号，每门课程以2节课为单位进行编排，把一个星期分为二十个时间段，j =1 (20)第几个教师的序号课程空间向量，即第c 个课程在第j 个时间段下课程安排教室空间向量，即在第r 个教室第j 个时间段下的教室符号符号说明tj Tcj w rj wtj wc lc xc n c m c hr n r mt lt xtz thtj htj Hc vt v ' cv '' t v ''' VVl BB l CCl DD X S教师空间向量，即第t 个教师第j 个时间段下的教师 为决策变量，可以取1或0（1为真，0 为假） 为决策变量，可以取1或0（1为真，0 为假） 为决策变量，可以取1或0（1为真，0 为假）第c 个课程的类别 第c 个课程的学时数第c 个课程的对教室座位最大要求数； 第c 个课程的对教室要求的类别；第c 个课程的时间要求； 第r 个教室的最大座位数； 第r 个教室的教室类别； 第t 个教师能胜任课程的类别； 第t 个教师的周最大学时；第t 个教师增加的课时数 第t 教师的时间段： 第t 个教师在第j 个时间段上课c 个课程的不符合程度 第t 个教师课程编排分散程度； 第c 门课程编排分散程度 第t 个教师超出工作量程度总不满意程度各类教师补课程度系数配置座位系数 配置类别系数 一组数的集合X 的平方差五、模型的建立与求解5.1 课程的系统系统递阶层次结构的建立针对课程各因素之间的关系，建立如下系统的递阶图：5.2 五维空间向量的确立用层次分析法的原理和表1，表2，表3中的数据构建五维空间向量集c =（c l ，c x ，c n ，c m ，c h ） ， r R=（0，0，r n ，r m ，0） ， t T=（t l ，t x ，0，0，t h ），则把个数据与向量一一对应起来。
其中规定如下：○1 l 的值为1，2，3，4，5，6，7，8 分别对应课程类别为1，2，3，4，5，6，7，8；○2 x 的值1，2，3 分别对应周课时数为1或2，3或4，5或6； ○3 n 的值分别对应其座位数； ○4 m 是值为2，1，0分别对应数据中机房，多媒体教室，普通教室； ○5 h 的值为1，0，0或1 分别对应，其数据中的上午，下午。
则得出实际的课程向量cj c ，实际的教师向量rj R 和实际的教室向量tj T 的对应关系式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=的余数整除的余数整除22),0,0,,()0,,,0,0(),,,,(tj tj cj cj tj tj tj tj tj tj rj rj rj rj cj cj cj cj cj cj cj H h H h h z x l T w m n R w h m n x l c w5.3 求第c 个课程不符合程度c v 表达式实际课程向量cj c 与要求课程向量c c 差距越大，则c v 越大；根据层次分析法原理来求出对应的权重为该不符合程度c v 的值。
()()()cc rj c c rj c c rj ctj t c h h h a m m m a n n n a x xc z x a v ----+=5432)(……………….①5.4求单教师课程编排分散程度t v '根据“课程编排分散程度越大，则对应的时间段分散程度越大，即其值分散程度越大”的原理，以该时间段的值的平方差为该单教师课程编排分散程度t v '的值20....1,)(=='j S v tj rj H w t ………………………………………………………………………………..②5.5求单课程编排分散程度c v ''同理根据“课程编排分散程度越大，则对应的时间段分散程度越大，即其值分散程度越大”的原理，以该时间段的值的平方差为该单课程编排分散程度cv ''的值20...1,)(==''j S v cj cj H w c……………………………………………………………………………… ③5.6 求单教师超出工作量程度t v ''：以该教师超出的学时数表中对应该教师最大学时数为单教师超出工作量程度t v ''的值tt tz v x '''=………………………………………………………………………………………….. ④5.7求目标函数总不满意程度VV：7、根据假设3（课表总不满意程度与各门课程各自不符合程度总和成正比，与各教师各自课程编排分散程度总和成反比，与各门课程编排分散程度总和成反比，与各教师超出工作量程度总和成反比），用⨯⨯各门课程各自不符合程度总和各教师各自课程编排分散程度总和各门课程编排分散程度总和各教师超出工作量程度总和为总不满意程度VV的值∑∑∑∑===='''''''=401251251401c t t ct t c c v v v vVV …………………………………………………………………….⑤5.8课程表编排约束原则5.8.1同一时间段同一教室不能同时上两门或两门以上的课程；20...1,1401==∑=j Wc cj5.8.2在任一教室上课的人数不能超过最大座位数；20...1,=≤j m m r cj5.8.3同一时间段同一教室不能同时上两门或两门以上的课程；20...1,1401==∑=j Wc tj5.8.4在安排课程与老师配对时要符合课程类别，不能乱； 40....1,20...1,===c j lc l cj5.9 非线性规划模型最终确定（整合上述公式）∑∑∑∑===='''''''=401251251401min c t tc t t c c v v v vVV 目标函数()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧======≤==='''==''=='----+===++=∑∑∑===40....1,20...1,20...1,120...1,20...1,120...1,20....1,)(22),0,0,,()0,,,0,0(),,,,(.401401251)()(5432c j lc l j W j m m j W x z v j S v j Sv h h h a m m m a n n n a x xc z x a v H h H h h z x l T w m n R w h m n x l c w st cj c tj rcjc cj t j ti t H w c H w tc c rj c c rj c c rj c tj tc tjtj cj cj tj tj tj tj tj tj rj rj rj rj cj cj cj cj cj cj cj cj cj tj rj 的余数整除的余数整除5.10补课程度系数l BBl BB =各类教师周最大课时数之和与各教师实际课时数之和的比值 5.11配置座位系数l CCl CC =课程要求数量与实际座位数量之差，再比上实际座位数量 5.12配置系数l DDl DD =课程要求与实际类别数量之差，再比上实际类别数量 （二）模型的求解假使课程类别、课时数、座位数、教室类别、时间段的重要性之比54321::::a a a a a =9：7：7：6：4，代入上式，再利用Matlab 对上述非线性规划问题进行，具体程序代码见附录1 求解得到个决策变量cj w rj w tj w ，对应如下表（其中的序号为课程类号）：表2.双周课表因为总体的超出约为0.4,所以大概需46个学时.若教师的周均最大的课时数为6,则需要在聘请8位教师.则由上的比例可算出,课程类别1,2,3,4,5,6,7,8,分别需在请1,1,1,0,2,1,1,1.位教师,聘请后,每类课程所需的教师的课时基本满足.(三)模型的优化①重排原理我们看到对于许多问题，在进行搜索试探时选取集合si的顺序是任意的．这就提示我们：在其他条件相当的前提下，让元素个数最少的si优先将更为有效．从图1所示的同一问题的2棵不同的状态空间树，可以体会这种策略的潜力．在图1(a)中，若从第1层消去1个结点，则从所有应当考虑的3元组中一次消去l2个3元组．对于图1(b)，若同样是从第1层消去1个结点，却只从应当考虑的3元组中消去8个3元组．前者的效果明显比后者好．②动态约束函数在大多数的回溯算法中，约束条件是随着搜索过程的深入而逐渐加强的．我们希望将约束条件的变化也加以考虑，以此提高算法的效率．图1 同一问题的2个不同状态空间树六、模型的检验把附录中编号为COI到C40四十门课程，编号为T01到T25的二十五名教师，编号为R01到R18的十八间教室代入模块五所建立的模型中，得到结果如上述表1、2、3所示，基本符合题目中教师聘用、教室配置合理、学生上课课程安排合理等要求。