人教版九年级数学上册第22章《二次函数》期末复习课教案
第22章二次函数期末复习课
教学目标：
知识与技能：
理解二次函数的概念，掌握二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质；会用描点法画抛物线，能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向，能较熟练地由抛物线y＝ax2(a≠0)经过适当平移得到y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的图象。
会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，并在运用中体会二次函数的实际意义，会运用二次函数求实际问题中的最大值或是最小值。
过程与方法：
会用待定系数法求二次函数的解析式，能结合二次函数的图象掌握二次函数的性质。
情感态度价值观：
使学生体会数学建模思想，函数思想，数形结合思想等数学思想。
教学的重点：
1.用配方法求二次函数的顶点，对称轴，根据图象概括二次函数的性质。
2.二次函数三种解析式的求法。
3.利用二次函数的知识解决数学问题，并对解决问题的方法进行反思。
教学的难点：1.将实际问题转化为二次函数，并运用二次函数性质将以解决。
2.二次函数与一元二次方程、不等式的联系，数形结合思想的渗透于应用。
3. 运用二次函数知识解决综合性的问题。
教法方法：自主学习法合作学习法
教学手段：多媒体
教学课时：1课时
教学活动：学生活动及设计意图
；⑤若抛物线顶点坐
教学活动：学生活动及设计意图
=x+b的图象交
教学活动：学生活动及设计意图
7.已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象
如图，其中正确的是（）
专题三：二次函数解析式的确定
求下列二次函数解析式：（学生分组完成）
1.已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），。
九年级上册数学人教版第22单元复习教学设计 教案
第22章二次函数复习教案一、知识网络二、知识梳理+经典例题知识点一：二次函数的概念定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a,b,c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。
知识点三：二次函数y=ax2+k的图像和性质二次函数y=ax2+k（a≠0）的图像是一条抛物线，它的对称轴是y轴，顶点坐标是（0，k），它与y=ax2的图像形状相同，只是位置不同.函数y=ax2+k（a≠0）的图像是由抛物线y=ax2向上（或下）平移|k|个单位长度得到的.二次函数y=ax2+k（a≠0）与y=ax2（a≠0）的图像之间的关系如下表所示：y=ax2（a≠0）向上平移|k|个单位长度向下平移|k|个单位长度二次函数y=ax2+k的图像和性质如下:a的符号a>0a<0图像开口方向向上向下对称轴y轴y轴最值当x=h时，y有最小值y最小值=0当x=h时，y有最大值y最大值=0知识点五：二次函数y=a(x-h)2+k(a,h，k是常数，a≠0)的图像和性质1、二次函y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴是x=h，顶点坐标为(h,k)，是由抛物线y=ax2(a≠0)向右（左）平移|h|个单位长度，再向上（下）平移|k|个单位长度得到的2、性质a的符号a>0a<0图像开口方向向上向下对称轴x=h x=h顶点坐标(h,k)(h,k)增减性当x<h时，y随x的增大而减小；当x>h时，y随x的增大而增大当x<h时，y随x的增大而增大；当x>h时，y随x的增大而减小最值当x=h时，y有最小值，y最小值=k 当x=h时，y有最大值，y最大值=k例5已知二次，函数y=a（x-1）2-c的图像如图所示，则一次函数y=ax+c 的大致图像可（）a a>0开口向上a<0开口向下b ab=0对称轴为y轴ab>0(a,b同号)对称轴在y轴左侧ab<0(a,b异号)对称轴在y轴右侧c c=0图像过原点c>0与y轴正半轴相交c<0与y轴负半轴相交b2-4ac b2-4ac=0与x轴有唯一一个交点b2-4ac>0与x轴有两个交点b2-4ac<0与x轴没有交点例7、二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则abc，b2-4ac，2a+b，a+b+c这四个式子中，值为正数的有（）A.4个B.3个C.2个D.1个知识点八：二次函数与一元二次方程的联系1、二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0），当y=0时，得到一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）.那么一元二次方程的根就是二次函数的图像与x轴交点的横坐标，因此，二次函数的图像与x轴的交点情况决定了一元二次方程根的情况.（1）当二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）的图像与x轴有两个交点时，b2-4ac>0,方程ax2＋bx＋c=0（a知识点九：二次函数与一元二次不等式的关系1、抛物线y=ax2＋bx＋c（a≠0）在x轴上方的部分点的纵坐标为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c >0（a≠0）的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标都为负，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c<0（a≠0）的解集，不等式中如果带有等号，其解集也相应带有等号2、二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）与一元二次不等式ax2＋bx＋c >0（a≠0）及ax2＋bx＋c<0（a≠0）之间的关系如下：例9、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数值y＞0时，x的取值范围是（）A.x＜-1B.x＞3C.-1＜x＜3D.x＜-1或x＞3知识点十：二次函数与实际问题1、二次函数的应用：二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问题，应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题2、建立平面直角坐标系，用二次函数的图象解决实际问题：建立平面直角坐标系，把代数问题与几何问题进行互相转化，充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等知识解决问题，求二次函数的表达式是解题关键。
九年级数学上册第22章二次函数复习教案
第22章 二次函数 本章回顾（王继伟）一、思维导图二、典型例题例1. 如图，已知二次函数212y x bx c =-++的图象经过A （2，0）、B （0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数图象的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA 、BC ，求△ABC 的面积；（3）若抛物线的顶点为D ，在y 轴上是否存在一点P ，使得△P AD 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【知识点】二次函数的图象与性质，三角形面积【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）将点A （2，0）、B （0，﹣6）代入得：2206b c c -++=⎧⎨=-⎩， 解得：46b c =⎧⎨=-⎩， 故这个二次函数的解析式为：21462y x x =-+-．（2）∵二次函数的解析式为：21462y x x =-+-，∴二次函数的对称轴为x =4，即OC =4， ∴AC =2， 故162ABC S AC BO ∆=⨯=．（3）存在，点P 的坐标为2(0,)3．AD 长度固定，只需找到点P 使AP+PD 最小即可，找到点A 关于y 轴的对称点A'，连接A'D ，则A'D 与y 轴的交点即是点P 的位置，∵点A'与点A 关于y 轴对称，∴点A'的坐标为（﹣2，0），又∵顶点D 的坐标为（4，2），∴直线A'D 的解析式为：1233y x =+，令x =0，则23y =，即点P 的坐标为2(0,)3．【思路点拨】（1）将点A 及点B 的坐标代入即可得出b 、c 的值，继而可得出二次函数解析式；（2）根据（1）求得的解析式，可得出对称轴，也可得出AC 的长度，根据S △ABC =12AC ×BO 可得出答案．（3）AD 长度固定，故只需找到点P 使AP +PD 最小即可，找到点A 关于y 轴的对称点A'，连接A'D ，则A'D 与y 轴的交点即是点P 的位置，求出直线A'D 的函数解析式，可得出点P 的坐标． 【答案】21462y x x =-+-，162ABC S AC BO ∆=⨯=，2(0,)3.例2．某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克．（1）写出月销售利润y 与售价x 之间的函数关系式．（2）销售单价定为55元时，计算月销售量与销售利润．（3）商场想在月销售成本不超过3000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？（4）当售价定为多少元时，会获得最大利润？求出最大利润．【知识点】列函数解析式，二次函数的最值,解一元二次方程，销售问题【解题过程】解：（1）可卖出千克数为500－10(x －50)=1000－10x ，y 与x 的函数表达式为y =(x －40)(1000－10x )=﹣10x 2+1400x －40000；（2）∵当销售单价定为每千克55元时，则销售单价涨(55－50)元，减少的销售量是(55－50)×10千克，∴月销售量为：500－(55－50)×10=450(千克)，所以月销售利润为：(55－40)×450=6750元；（3）令y =8000，则8000=－10x 2+1400x －40000解得x 1=60，x 2=80．当x =60时，销售价为60元，月销售量为400千克，则成本价为40×400=16000（元），超过了3000元，不合题意，舍去；当x =80时，销售价为80元，月销售量为200千克，则成本价为40×200=8000（元），超过了3000元，不合题意，舍去；故无解；（4）y =－10x 2+1400x －40000=－10(x －70)2+9000当售价定为70元时，会获得最大利润，最大利润9000元．【思路点拨】（1）月销售利润=每千克的利润×可卖出千克数，把相关数值代入即可；（2）根据“销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克”，可知：月销售量=500﹣（销售单价﹣50）×10．由此可得出售价为55元/千克时的月销售量，然后根据利润=每千克的利润×销售的数量来求出月销售利润；（3）由（1）中y 与x 的关系式，令y=8000，解出x 即可；（4）利用二次函数性质求出最值即可．【答案】y =﹣10x 2+1400x －40000；销售量：450(千克)，销售利润：6750元；无解；当售价定为70元时，会获得最大利润，最大利润9000元．例3. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y =+x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，抛物线上一点D 的横坐标为﹣5．（1）求直线BD 的解析式；（2）点E 是线段BD 上的动点，过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当折线EF +BE 最大时，在对称轴上找一点P ，在y 轴上找一点Q ，连接QE 、OP 、PQ ，求OP +PQ +QE 的最小值；【知识点】二次函数的图象与性质，二次函数的最值，勾股定理【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）令y =0，则20x =，解得x =－4或1，∴A (－4，0)，B (1，0)，令x =0，则y C (0，当x =－5时，y =－3+3=－，∴点D 坐标（－5，－，设直线BD 的解析式为y =kx +b，则有50k b k b ⎧-+=-⎪⎨+=⎪⎩k b ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线BD 的解析式为yx． （2）如图1中，设BD 交y 轴于K ，则K (0，－3)，设E (m3m－3)，则F （m，－m 2m，∠ABD =30°，∴EF +EB =-m 2-m-m-）+2-m ）=-(m +3)2+ ∴m =-3时，EF +EB 的值最大，此时点E 坐标(-3，-3)， 如图2中，作点E 关于y 轴的对称点N ，EM ⊥AB 于M ，连接MN ，交对称轴于P ，交y 轴于Q ，∵M 、O 关于对称轴对称，∴OP =PM ，∵E 、N 关于y 轴对称，∴QE =QN ，∴OP +PQ +QE =PM +PQ +QN ，∴当M 、N 、P 、Q 共线时，OP +PQ +QE 最小，最小值为MN ，在Rt △MNE 中，MN ==∴OP +PQ +QE ． 【思路点拨】（1）先求出B 、D 两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题．（2）如图1中，设BD 交y 轴于K ，则K (0)，设E (m m )，则F （m m 2m ，构建二次函数确定m 的值，求出点E 坐标，如图2中，作点E 关于y 轴的对称点N ，EM ⊥AB 于M ，连接MN ，交对称轴于P ，交y 轴于Q ，当M 、N 、P 、Q 共线时，OP +PQ +QE 最小，最小值为MN .【答案】y x , 第22章 章末检测题（王继伟）一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）1．下列函数中，y 是x 的二次函数的是（ ）A ．21y x =-B ．1y x=- C ．31y x =+ D ．2y x x =-【知识点】二次函数的定义 【解题过程】解：A 、21y x =-，是一次函数，故此选项错误；B 、1y x=-，右边是分式，故此选项错误； C 、31y x =+，x 的指数是3，故此选项错误；D 、2y x x =-，是二次函数，故此选项正确；【思路点拨】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握定义是解题关键．【答案】D2．抛物线224y x =+与y 轴的交点坐标是（ ）A ．（0，2）B ．（0，﹣2）C ．（0，4）D ．（0，﹣4）【知识点】二次函数图象上点的坐标特征．【解题过程】解：把x=0代入抛物线224y x =+中，解得：y=4，则抛物线224y x =+与y 轴的交点坐标是（0，4）．【思路点拨】此题考查学生会求函数图象与坐标轴的交点坐标，即要求函数与x 轴交点坐标就要令y=0，要求函数与y 轴的交点坐标就要令x=0，代入抛物线的解析式求出对应的y 值，写成坐标形式即可．【答案】C3．抛物线2113y x =+，232y x =-+，23y x =-+，224y x =+的图象开口最大的是（ ）A ．2113y x =+ B ．232y x =-+ C ．23y x =-+ D ．224y x =+【知识点】二次函数的图象 【解题过程】解：∵二次函数中a 的值越小，则函数图象的开口也越大， 又∵11233<-<<-， ∴抛物线2113y x =+的图象开口最大. 【思路点拨】根据二次函数中a 的值越小，则函数图象的开口也越大，可以得出那个选项是正确的．【答案】A4．二次函数23(2)9y x =--+的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标分别为（ ）A. 开口向上，对称轴为2x =-，顶点为(2,9)-B. 开口向上，对称轴为2x =，顶点为(2,9)C. 开口向下，对称轴为2x =-，顶点为(2,9)D. 开口向下，对称轴为2x =，顶点为(2,9)【知识点】二次函数的图象和性质【解题过程】解：∵23(2)9y x =--+中，30-<，所以抛物线开口向下，对称轴为2x =，顶点为(2,9)【思路点拨】由二次函数的顶点式可得.【答案】D5．若二次函数的解析式为2243y x x =-+，则其函数图象与x 轴交点的情况是（ ）A ．没有交点B ．有一个交点C ．有两个交点D ．以上都不对【知识点】抛物线与x 轴的交点【解题过程】解：因为△=（﹣4）2﹣4×2×3=﹣8＜0，所以抛物线与x 轴没有交点．故选A ．【思路点拨】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．【答案】A6．已知点1(3,)A y -，2(1,)B y -，3(2,)C y 在函数22y x x b =--+的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系为（ ）A ．y 1＜y 3＜y 2B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 3＜y 2＜y 1【知识点】二次函数图象上点的坐标特征．【解题过程】解：∵22y x x b =--+，∴函数22y x x b =--+的对称轴为直线1x =-，开口向下，当1x <-时，y 随x 的增大而增大，当y ＞﹣1时，y 随x 的增大而减小，∵﹣1﹣（﹣3）=2，﹣1﹣（﹣1）=0，2﹣（﹣1）=3，∴y 3＜y 1＜y 2，【思路点拨】根据二次函数图象具有对称性和二次函数图象上点的坐标特征，可以判断y 1、y 2、y 3的大小，从而可以解答本题．【答案】C7．某工厂2015年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x （x ＞0），设2017年该产品的产量为y 吨，则y 关于x 的函数关系式为（ ）A ．2100(1)y x =-B ．2100(1)y x =+C ．2100(1)y x =+ D ．2100100(1)100(1)y x x =++++ 【知识点】根据实际问题列二次函数关系式【解题过程】解：根据题意，得：y 关于x 的函数关系式为2100(1)y x =+【思路点拨】2017年的产量=2015年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．【答案】B ．8．一个二次函数的图象的顶点坐标为(3,1)-，与y 轴的交点(0,4)-，这个二次函数的解析式是（ ）A ．21243y x x =-+B ．21243y x x =-+- C ．21(3)13y x =-+- D ．2612y x x =-+- 【知识点】待定系数法求二次函数解析式.【解题过程】解：设抛物线解析式为y=a （x ﹣3）2﹣1，把（0，﹣4）代入得a•（﹣3）2﹣1=﹣4，解得a=﹣13， 所以抛物线解析式为2211(3)12433y x x x =---=-+-． 【思路点拨】由于已知顶点坐标，则可设顶点式y=a （x ﹣3）2﹣1，然后把（0，﹣4）代入求出a 的值即可得到抛物线解析式．【答案】B ．9．将二次函数22y x =-的图象平移后，可得到二次函数22(1)y x =-+的图象，平移的方法是（ ）A ．向上平移1个单位B ．向下平移1个单位C ．向左平移1个单位D ．向右平移1个单位【知识点】二次函数图象与几何变换．【解题过程】法1：解：抛物线y=﹣2x2的顶点坐标是（0，0）．抛物线y=﹣2（x+1）2的顶点坐标是（﹣1，0）．则由二次函数y=﹣2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y=﹣2（x+1）2的图象．法2：根据平移规律：“左加右减，上加下减”可得.【思路点拨】根据平移前后两个抛物线的顶点坐标的变化来判定平移方法．或者根据平移规律：“左加右减，上加下减”确定.【答案】C10．如果抛物线262y x x c =-+-的顶点到x 轴的距离是3，那么c 的值等于（ ）A ．8B ．14C ．8或14D ．﹣8或﹣14【知识点】待定系数法求二次函数解析式．【数学思想】分类讨论 【解题过程】解：根据题意24(2)(6)34c ---=±，解得c=8或14． 【思路点拨】本题考查了求顶点的纵坐标公式，根据题意，知顶点的纵坐标是3或﹣3，列出方程求出解则可．【答案】C11．在同一坐标系中，一次函数y ax b =+与二次函数2y ax b =+的大致图象是（ ）A ．B ． C. D ．【知识点】二次函数的图象，一次函数的图象【解题过程】解：A 、由一次函数y ax b =+的图象可得：a ＞0，此时二次函数2y ax b =+的图象应该开口向上，故A 错误；B 、由一次函数y ax b =+的图象可得：a ＜0，b ＞0，此时二次函数2y ax b =+的图象应该开口向下，顶点的纵坐标大于零，故B 错误；C 、由一次函数y ax b =+的图象可得：a ＜0，b ＞0，此时二次函数2y ax b =+的图象应该开口向下，顶点的纵坐标大于零，故C 正确；D 、由一次函数y ax b =+的图象可得：a ＞0，b ＞0，此时抛物线2y ax b =+的顶点的纵坐标大于零，故D 错误；【思路点拨】用矛盾排除法，可先根据一次函数的图象判断a 、b 的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误．【答案】C12．小明从二次函数y=ax 2+bx+c 的图象（如图）中观察得到了下面五条信息：①0abc > ②230a b -= ③240b ac -> ④0a b c ++> ⑤4b c <则其中结论正确的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【知识点】二次函数图象与系数的关系【解题过程】解：①因为函数图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴可知，c ＜0， 由函数图象开口向上可知，a ＞0，由①知，c ＜0，由函数的对称轴在x 的正半轴上可知，02b x a =->，故b ＜0，故abc ＞0；故此选项正确； ②因为函数的对称轴为123b x a =-=，故23a b =-，即230a b +=；故此选项错误；③因为图象和x 轴有两个交点，所以240b ac ->，故此选项正确；④把1x =代入2y ax bx c =++得：0a b c ++<，故此选项错误；⑤当2x =时，422(3)24y a b c b b c c b =++=⨯-++=-，而点(2,4)c b -在第一象限，∴⑤40c b ->，故此选项正确；其中正确信息的有①③⑤，故选B ．【思路点拨】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【答案】B二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）13. 已知抛物线2y ax =开口向下，且3a =，则a = .【知识点】二次函数图象与系数的关系 【解题过程】解：∵3a =，∴3a =?又∵抛物线2y ax =开口向下，∴0a <，∴3a =-【思路点拨】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系.【答案】-314．若点(2,)A m 在抛物线2y x =上，则点A 关于y 轴对称点的坐标是 ．【知识点】二次函数图象上点的坐标特征，关于y 轴对称的点的坐标.【解题过程】解：∵点(2,)A m 在抛物线2y x =上，∴224y ==，∴(2,4)A ∴(2,4)A 关于y 轴对称点的坐标是（﹣2，4）【思路点拨】点在函数图象上代入解析式，求得点A 的坐标，关于y 轴对称，纵坐标不变，横坐标变为它的相反数.【答案】（﹣2，4）15．已知抛物线22y x x =--经过点(,5)m ，则22m m -+的值为_______【知识点】二次函数图象上点的坐标特征【数序思想】整体代换求代数式的值【解题过程】解：∵抛物线22y x x =--经过点(,5)m ，∴5=m 2﹣m ﹣2，故m 2﹣m=7，∴m 2﹣m+2=9．【思路点拨】直接利用二次函数图象上点的坐标性质得出关于m 的等式，进而得出答案．【答案】916．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分对应值如下表：则二次函数2y ax bx c =++在2x =时，y=_________【知识点】二次函数图象上点的坐标特征．【解题过程】解：∵x=﹣3时，y=7；x=5时，y=7，∴二次函数图象的对称轴为直线x=1，∴x=0和x=2时的函数值相等，∴x=2时，y=﹣8．【思路点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．观察表中的对应值得到x=﹣3和x=5时，函数值都是7，则根据抛物线的对称性得到对称轴为直线x=1，所以x=0和x=2时的函数值相等，【答案】﹣817．若抛物线231y ax x =+-与x 轴有两个交点，则a 的取值范围是 ．【知识点】抛物线与x 轴的交点．【解题过程】解：∵抛物线231y ax x =+-与x 轴有两个交点，∴a≠0，△＞0，∴9﹣4a×（﹣1）＞0，∴a ＞﹣94，故答案为a ＞﹣94且a≠0． 【思路点拨】此题主要考查一元二次方程与函数的关系，根据题意，令y=0，得方程ax 2+3x ﹣1=0，有两个不同的根得△＞0，从而解出a 的范围． 【答案】904a a >-≠且 18．如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB =10cm ，BC =8cm ，点P 从点A 沿AC 向点C 以1cm/s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2cm/s 的速度运动（点Q 运动到点B 停止），在运动过程中，四边形P ABQ 的面积最小值为______．【知识点】二次函数的最值，勾股定理【解题过程】解：在Rt△ABC 中，∠C =90°，AB =10cm ，BC =8cm ，∴AC =6cm ． 设运动时间为t （0≤t≤4），则PC =（6﹣t ）cm ，CQ =2tcm ，∴S 四边形P ABQ =S△ABC ﹣S△CPQ =12AC •BC ﹣12PC •CQ =12×6×8﹣12（6﹣t ）×2t=t 2﹣6t+24=（t ﹣3）2+15，∴当t=3时，四边形P ABQ 的面积取最小值，最小值为15．【思路点拨】本题考查了二次函数的最值以及勾股定理，利用分割图形求面积法找出S 四边形PABQ=t 2﹣6t+24是解题的关键．在Rt△ABC 中，利用勾股定理可得出AC=6cm ，设运动时间为t （0≤t≤4），则PC=（6﹣t ）cm ，CQ=2tcm ，利用分割图形求面积法可得出S 四边形PABQ=t 2﹣6t+24，利用配方法即可求出四边形PABQ 的面积最小值，此题得解．【答案】15cm 2三．解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）19. 已知二次函数23y ax bx =+-中x 、y 满足下表：（1）求这个二次函数的解析式；（2）求m 的值【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征．【解题过程】解：（1）由题意得(1,0)-，(1,4)-在二次函数23y ax bx =+-图象上∴3034a b a b --=⎧⎨+-=-⎩，解得：1a =，2b =-，∴这个二次函数的解析式为223y x x =--．（2）当3x =时，2239630y x x =--=--=． ∴0m =．【思路点拨】考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法．本题中要求熟练掌握二次函数的基本性质．（1）找一组点的坐标代入抛物线的解析式即可求出a 、b 值，进而求得解析式．（2）把x=3代入（1）中的解析式即可求得m 的值；【答案】（1）223y x x =--；（2）0m =.20. 如图，抛物线21y x bx c =+-经过直线23y x =-与坐标轴的两个交点A 、B ，此抛物线与x 轴的另一个交点为C ，抛物线顶点为D ．（1）求此抛物线的解析式；（2）求四边形ADBC 的面积；（3）直接写出使y 1＜y 2的x 的取值范围．【知识点】二次函数的性质；一次函数的性质【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）∵直线23y x =-与坐标轴的两个交点A 、B ，∴点B （0，﹣3），点A （3，0），将A 与B 坐标代入抛物线21y x bx c =+-得：3930c b c -=-⎧⎨+-=⎩，解得：c=3，b=﹣2， 则抛物线的解析式是y=x 2﹣2x ﹣3；（2）∵令y=x 2﹣2x ﹣3=0，解得：x=﹣1或x=3，∴点C 的坐标为（﹣1，0）， ∵y=x 2﹣2x ﹣3=（x ﹣1）2+4，∴顶点D 的坐标为（1，﹣4），作DE ⊥AC 于点E ，由题意得：OC =1，OB =3，DE =4，OE =1，AE =2，∴S 四边形ACBD =S △OBC +S 梯形OBDE +S △AED =12OC •OB +12(OB +DE)•OE +12AE •ED =12×1×3+12×（3+4）×1+12×2×4=32+72+4=9； （3）∵y 1＜y 2，∴抛物线位于直线的下方，∴x 的取值范围为：0＜x ＜3．【思路点拨】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够求得图中的几个点的坐标，能够将点的坐标转化为线段的长，从而求得四边形的面积．（1）对于一次函数23y x =-，分别令x 与y 为0求出对应y 与x 的值，确定出A 与B的坐标，代入抛物线解析式得到关于b与c的方程组，求出方程组的解得到b与c的值，即可确定出抛物线解析式；=S△OBC+S梯形OBDE+S△AED （2）分别求得A、B、C、D的坐标，利用S四边形ACBD求面积即可．（3）根据y1＜y2的可以得到抛物线位于直线的下方，从而可以写出自变量的取值范围．【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）9；0＜x＜3．四．解答题（本大题共4个小题，每小题10分，共40分）21．如图，隧道的截面由抛物线AED和矩形ABCD构成，矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．y轴是抛物线的对称轴，顶点E到坐标原点O的距离为6m．（1）求抛物线的解析式；（2）如果该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高4.2m，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．【知识点】二次函数的应用【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）设抛物线的解析式为2(0)=++≠，由对称轴y ax bx c a是y轴得b=0，∵EO=6，∴c=6，∵矩形的长BC为8m，宽AB为2m，以BC所在的直线为x轴，线段BC 的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系∴(4,2)D，又∵抛物线经过点(4,2)D，∴16462a b ++=，解得14a =- ，所求抛物线的解析式为：2164y x =-+．（2）取 2.4x =±，代入（1）所求得的解析式中，得21( 2.4)64y =-⨯±+．解得：y=4.56＞4.2故这辆货运卡车能通过隧道．【思路点拨】求抛物线解析式有几种方法，因题而异，灵活处理．会找抛物线上几个关键点的坐标，确定抛物线解析式．（1）根据抛物线在坐标系中的特殊位置，可以设抛物线的一般式，顶点式，求抛物线的解析式．（2）抛物线的实际应用问题中，可以取自变量的值，求函数值．【答案】（1）2164y x =-+；（2）能通过隧道．22．如图，是将抛物线2y x =-平移后得到的抛物线，其对称轴为1x =，与x 轴的一个交点为(1,0)A -，另一个交点为B ，与y 轴的交点为C ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点N 为抛物线上一点，且BC ⊥NC ，求点N 的坐标；【知识点】二次函数综合题【数学思想】数形结合【解题过程】解：（1）设抛物线的解析式是2(1)y x k =--+．把(1,0)-代入得20(11)k =---+，解得4k =，则抛物线的解析式是2(1)4y x =--+，即223y x x =-++；（2）在223y x x =-++中令0x =，则3y =，即C 的坐标是(0,3)，OC =3． ∵B 的坐标是(3,0)，∴OB =3，∴OC =OB ，则△OBC 是等腰直角三角形．∴45OCB ∠=︒，过点N 作NH ⊥y 轴，垂足是H ．∵∠NCB =90°，∴∠NCH =45°，∴NH =CH ，∴HO =OC +CH =3+CH =3+NH ，设点N 纵坐标是2(,23)a a a -++．∴2323a a a +=-++，解得a=0（舍去）或a=1，∴N 的坐标是(1,4).【思路点拨】（1）已知抛物线的对称轴，因而可以设出顶点式，利用待定系数法求函数解析式；（2）首先求得B 和C 的坐标，易证△OBC 是等腰直角三角形，过点N 作NH ⊥y 轴，垂足是H ，设点N 纵坐标是（a ，﹣a 2+2a+3），根据CH =NH 即可列方程求解；【答案】（1）223y x x =-++；（2）(1,4).23．为了“创建文明城市，建设美丽家园”，我市某社区将辖区内的一块面积为1000m 2的空地进行绿化，一部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为2()x m ，种草所需费用y 1(元)与x(m 2)的函数关系式为112(0600)(6001000)k x x y k x b x ≤<⎧=⎨+≤≤⎩，其图象如图所示：栽花所需费用y 2(元)与x(m 2)的函数关系式为220.012030000(01000)y x x x =--+≤≤．（1）请直接写出k 1、k 2和b 的值；（2）设这块1000m 2空地的绿化总费用为W (元)，请利用W 与x 的函数关系式，求出绿化总费用W 的最大值；（3）若种草部分的面积不少于700m 2，栽花部分的面积不少于100m 2，请求出绿化总费用W 的最小值．【知识点】二次函数的应用【数学思想】数形结合，分类讨论思想【解题过程】解：（1）将x=600、y=18000代入y 1=k 1x ，得：18000=600k 1，解得：k 1=30；将x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入，得：2260018000100026000k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：2206000k b =⎧⎨=⎩； （2）当0≤x ＜600时，2230(0.012030000)0.011030000W x x x x x =+--+=-++，∵0.010-<，20.01(500)32500W x =--+，∴当x=500时，W 取得最大值为32500元；当600≤x≤1000时，22206000(0.012030000)0.0136000W x x x x =++--+=-+， ∵0.010-<，∴当600≤x≤1000时，W 随x 的增大而减小，∴当x=600时，W 取最大值为32400，∵32400＜32500，∴W 取最大值为32500元；（3）由题意得：1000100x -≥，解得：900x ≤，由x≥700，则700≤x≤900，∵当700≤x≤900时，W 随x 的增大而减小，∴当x=900时，W 取得最小值27900元．【思路点拨】本题主要考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式及分类讨论依据相等关系列出函数解析式是解题的关键．（1）将x=600、y=18000代入y 1=k 1x 可得k 1；将x=600、y=18000和x=1000、y=26000代入y 1=k 2x+b可得k 2、b ．（2）分0≤x ＜600和600≤x≤1000两种情况，根据“绿化总费用=种草所需总费用+种花所需总费用”结合二次函数的性质可得答案；（3）根据种草部分的面积不少于700m 2，栽花部分的面积不少于100m 2求得x 的范围，依据二次函数的性质可得．【答案】（1）k 1=30；2206000k b =⎧⎨=⎩；（2）W 取最大值为32500元；（3）W 取得最小值27900元．24. 设a 、b 是任意两个实数，用max{a ，b}表示a 、b 两数中较大者，例如：max{1,1}1--=-，max{1,2}2=，max{4,3}4=，参照上面的材料，解答下列问题： （1）max{5,2}=________，max{0,3}=_________；（2）若max{31,1}1x x x +-+=-+，求x 的取值范围；（3）求函数224y x x =--与2y x =-+的图象的交点坐标，函数224y x x =--的图象如图所示，请你在图中作出函数2y x =-+的图象，并根据图象直接写出2max{2,24}x x x -+--的最小值．【知识点】二次函数的最值；一次函数的图象与性质；二次函数的图象．【数学思想】转化思想，数形结合【解题过程】解：（1）max{5,2}5=，max{0,3}3=．故答案为：5；3．（2）∵max{31,1}1x x x +-+=-+，∴311x x +≤-+， 解得：0x ≤．（3）联立两函数解析式成方程组，2242y x x y x ⎧=--⎨=-+⎩，解得：1124x y =-⎧⎨=⎩，2231x y =⎧⎨=-⎩， ∴交点坐标为(2,4)-和(3,1)-．画出直线2y x =-+，如图所示，观察函数图象可知：当3x =时，2max{2,24}x x x -+--取最小值1-．【思路点拨】本题考查了二次函数的最值、一次函数的图象、一次函数的性质以及二次函数的图象，解题的关键是：（1）读懂题意，弄清max 的意思；（2）根据max{3x+1，﹣x+1}=﹣x+1，找出关于x 的一元一次不等式；（3）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点坐标．（1）根据max{a ，b}表示a 、b 两数中较大者，即可求出结论；（2）根据max{3x+1，﹣x+1}=﹣x+1，即可得出关于x 的一元一次不等式，解之即可得出结论；（3）联立两函数解析式成方程组，解之即可求出交点坐标，画出直线y=﹣x+2的图象，观察图形，即可得出max{﹣x+2，x2﹣2x ﹣4}的最小值．【答案】（1）5；3；（2）0x ≤；（3）交点坐标为(2,4)-和(3,1)-；画出直线2y x =-+，如图所示，观察函数图象可知：当3x =时，2max{2,24}x x x -+--取最小值1-．五．解答题（本大题共2个小题，第25小题10分，第26小题12分，共22分）25. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 、C 三点分别为坐标轴上的三个点，且OA =1，OB =3，OC =4．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；（2）在平面直角坐标系xOy 中是否存在一点P ，使得以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点M 为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当||PM AM -为最大值时点M 的坐标，并直接写出||PM AM -的最大值．【知识点】二次函数综合题．【数学思想】转化思想，数形结合【解题过程】解：（1）∵OA =1，OB =3，OC =4．∴(1,0)A ，(0,3)B ，(4,0)C -，设抛物线的解析式为：(1)(4)y a x x =-+，把(0,3)代入得：34a =-，34a =-，∴3(1)(4)4y x x =--+， ∴抛物线的解析式为：239344y x x =--+；（2）在平面直角坐标系xOy 中存在一点P ，使得A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为菱形，理由：∵OB =3，OC=4，OA =1，∴BC =AC =5，当BP =AC 且BP ∥AC 时，四边形ACBP 为菱形，∴BP =AC =5，且点P 到x 轴距离等于OB ，∴点P 的坐标为（5，3），如图2，当点P 在第二、三象限时，以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形，∴当点P 的坐标为（5，3）时，以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形是菱形；（3）设直线P A 的解析式为(0)y kx b k =+≠，∴点A 的坐标为（1，0）点P 的坐标为（5，3），则053k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：3434k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线P A 的解析式为：3344y x =-， 当M 与P 、A 两点不在同一直线上时，根据三角形三边关系的得|PM ﹣AM |＜P A ．当点M 与P 、A 两点在同一直线上时，得|PM ﹣AM |=P A ，∴如图3，当点M 与P 、A 两点在同一直线上时．|PM ﹣AM |的值最大，此时点M 为直线P A 与抛物线的交点，联立 2334439344y x y x x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩解得 1110x y =⎧⎨=⎩，22592x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴当点M 的坐标为(1,0)或9(5,)2--时，|PM ﹣AM |的值最大，最大值是5．【思路点拨】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）当BP =AC 且BP ∥AC 时，四边形ACBP 为菱形，根据BP =AC =5，且点P 到x 轴距离等于OB ，则点P 的坐标为（5，3），且当点P 在第二、三象限时，以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形；（3）求直线P A 的解析式为：y=3344x -，当M 与P 、A 两点不在同一直线上时，根据三角形三边关系的得|PM ﹣AM |＜P A ．当点M 与P 、A 两点在同一直线上时，得|PM ﹣AM|=P A ，则当点M 与P 、A 两点在同一直线上时．|PM ﹣AM |的值最大，此时点M 为直线P A 与抛物线的交点，列方程组解出即可．【答案】（1）239344y x x =--+；（2）存在，P 的坐标为（5，3）；（3）当点M 的坐标为(1,0)或9(5,)2--时，|PM ﹣AM |的值最大，最大值是5．26．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数2y x =-的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为点D ，连接AD 交y 轴于点E ．（1）求直线AD 的解析式；（2）如图2，将直线AD 向右平移，与线段AB 交于点G ，与x 轴下方的抛物线交于点F ，连接AF 、BF ，当平移到使S △F AG ：S △FGB =3：5时，求点F 的坐标．再将△AFG 绕点A 顺时针旋转60°得到△AF′G′，求此时点F′的坐标与△FGF′的面积．（3）如图3，平移抛物线，使抛物线的顶点D 在射线DA 上移动，若抛物线的对称轴始终在y 轴的左侧时，点D 平移后的对应点为D′，平移后的抛物线与y 轴的交点为点P ，△D′EP 是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不能，请说明理由．【知识点】二次函数综合题【数学思想】转化思想，数形结合,分类讨论思想.【解题过程】解：（1）对于抛物线2y-，令y=020=，解得1x=-或3，∴(1,0)A-，(3,0)B，∵221)222y x x=-=---∴顶点(1,D-，设直线AD的解析式为y kx b=+，则有k bk b-+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩kb⎧=⎪⎨=⎪⎩∴直线AD的解析式为y=-．（2）如图2中，由（1）可知(0,E，1OA=，OE=在AOERt∆中，2AE=，∴30OEA∠=︒，∴∠OAE=∠BGF=60°，∴∠AGF=120°∵将△AFG绕点A顺时针旋转60°得到△AF′G′，∴△AFF′是等边三角形，且AF′⊥x轴于A，∴G′在直线AD上，△AGG′是等边三角形，∴∠AG′G=60°，∵∠AGF=∠AG′F′=120°∴G、G′、F共线，∴GF′=GG′+F′G′=AG+GF，∵S△F AG：S△FGB=3:5，AB=4，∴33482AG+⨯=，∴12OG AG OA=-=，∴1(,0)2G，∵FG∥AD，∴直线FG的解析式为y =，由222y y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或2x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴点F坐标(2,2-，∴32AG =，FG =3，∴F 'G =AG +FG = 92， ∴A F '=AF =33,∴点F '坐标为（74-, 作FH ⊥GF′于H ，在Rt △GFH 中，∵∠FGH =60°，∴FH= ， ∴S △FGF′=12 F′G •FH= 1922⨯= （3）存在．如图3中，设(,D m '，则平移后的抛物线的解析式为222)y x m -+--∴22P，∵(0,E ，∴2PE ，2ED m '=-，①当ED′=PE 时，222m m -=，解得2m =0舍弃），此时4)P ．②当D′P =D′E 时， PE E '=，2=-，解得2m =-（0舍弃），此时P ， ③观察图象可知，不存在PD′=EP 这种情形．综上所述，满足条件的点P 坐标为4)或． 【思路点拨】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、锐角三角函数、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，第二个问题的突破点是证明GF′=AG +GF ，学会用分类讨论的思想思考问题.（1）求出A 、D 两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．（2）首先求出直线GF 的解析式，然后利用方程组求交点F 的坐标，再证明GF′=AG +FG ，作FH ⊥GF′于H ，根据S △FGF′=12F′G •FH 计算即可．（3）设D′（m m ），则平移后的抛物线的解析式为（x﹣m ）2﹣=2x 2x+2m 2m P （0，2m 2），∵E （0），推出PE =2m 2，ED′=﹣2m ，分三种情形讨论即可．【答案】（1）y =（2）F (2,2-，F '（74-,，S △FGF′（3）能，满足条件的点P 坐标为4)或．。
人教版九年级数学上册22.1.1二次函数(教案)
此外，我也注意到，在解答学生疑问时，需要更加耐心和细致。有些学生对于二次函数的理解可能还不够深入，这就需要我在课后给予他们更多的关注和指导，帮助他们真正掌握这部分内容。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《二次函数》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过抛物线形状的情况？”（如篮球投篮的轨迹）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数的奥秘。
5.二次函数的实际应用：求解最值问题。
二、核心素养目标
1.理解并掌握二次函数的定义、图像与性质，培养直观想象和逻辑推理能力；
2.学会运用二次函数顶点式及其图像变换，提高问题解决能力和数学建模素养；
3.通过二次函数的实际应用，培养数据分析、数学抽象及数学应用素养，增强解决实际问题的能力；
4.在探索二次函数图像与性质的过程中，培养数学运算和数学探究素养，提高合作交流与反思评价的能力。
人教版九年级数学上册22.1.1二次函数（教案）
一、教学内容
人教版九年级数学上册22.1.1二次函数：
1.二次函数的定义：形如y=ax^2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数；
2.二次函数的图像与性质：开口方向、顶点、对称轴、最小（大）值；
3.二次函数的顶点式：y=a(x-h)^2+k；
4.二次函数的图像变换：平移、伸缩；
人教版初三数学上册第22章：二次函数总复习课教学设计
二次函数中考复习专题教学重点◆二次函数的三种解析式形式◆二次函数的图像与性质教学难点◆二次函数与其他函数共存问题◆根据二次函数图像，确定解析式系数符号◆根据二次函数图像的对称性、增减性解决相应的综合问题教学过程一、数学知识及要求层次二、近年二次函数考题及分值分布情况纵观近两年调考，样卷及中考试卷，可以发现中考中二次函数的题型有如下一些特点：1、综合性强。
初中阶段所有的知识点几乎都可以与二次函数联系起来，特别是与一元二次方程，几何图形、实际问题的联系更紧密些。
2、分值较重。
从07年到08年，二次函数的分值逐年加大。
3、覆盖面广。
二次函数的图象性质在调考、样题、中考中都出现了。
三、二次函数知识点1. 二次函数的定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x的二次函数. 例：如果函数y=(m －2)x 42-+m m是二次函数, 求常数m 的值.【思路点拨】该函数是二次函数, 那么m 2+m －4=2, 且m －2≠0 解: ∵y=(m －2)x 42-+m m是二次函数∴m 2+m －4=2, 即m 2+m －6=0解这个一元二次方程, 得m 1=－3, m 2＝2 当m=－3时, m －2=－5≠0, 符合题意 当m=2时, m －2＝0, 不合题意. ∴常数m 的值为－3.同类练习：已知：函数x m x m y m m )1()1(232-++=--（m 是常数）. m 为何值时，它是二次函数？2. 二次函数的解析式三种形式一般式 ： y=ax 2 +bx+c(a ≠0) 顶点坐标（24,24b ac b a a--） 顶点式 ： 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式（a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=），其中ab ac k a b h 4422-=-=，.()k h x a y +-=2顶点坐标（h, k ）224()24b ac b y a x a a-=-+交点式 12()()y a x x x x =-- 对称轴122x x x +=例：1.将二次函数y ＝x 2－2x ＋3，化为y ＝(x －h )2＋k 的形式，结果为（ ）A ．y ＝(x ＋1)2＋4 B ．y ＝(x －1)2＋4 C ．y ＝(x ＋1)2＋2D ． y ＝(x －1)2＋22．若二次函数52++=bx x y 配方后为k x y +-=2)2(则b 、k 的值分别为（ ） A 、0.5 B 、0.1 C 、—4.5 D 、—4.1 3. 二次函数图像与性质（1）抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用1）a 决定抛物线的开口方向：-1 y x5 x =22 O 当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置：对称轴：2bx a=-a 与b 同号（即ab ＞0） 对称轴在y 轴左侧 a 与b 异号（即ab ＜0） 对称轴在y 轴右侧3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0，c )： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.总结：以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<a b .（中考非常喜欢考查根据图像判断a 、b 、c 的符号或者反过来根据a 、b 、c 符号来判断图像。
数学人教版九年级上册第二十二章：二次函数复习教案
单位：桦川县第三中学 教师：王敏 日期： 审阅签字：课题 二次函数复习教学目标 二次函数的三种解析式形式 二次函数的图像与性质的综合应用教学重点、难点1、二次函数与其他函数共存问题2、根据二次函数图像，确定解析式系数符号3、根据二次函数图像的对称性、增减性解决相应的综合问题 教学方法数形结合法、讲授法、练习法教学过程二次函数复习知识点1.二次函数的定义二次项系数必须是非零实数时才是二次函数，这也是判断函数是不是二次函数的重要依据． 例1、下列函数中，二次函数的是（ ）A ．y=ax 2+bx+cB 、2)1()2)(2(---+=x x x yC 、xx y 12+= D 、y=x(x —1) 例2、如果函数1)3(232++-=+-mx x m y m m是二次函数，那么m 的值为知识点2.二次函数的图像及性质1、已知一个二次函数，确定它的图象名称、开口方向、对称轴、顶点坐标、增减范围、极值。
已知条件中含二次函数开口方向或对称轴、顶点坐标、增减范围、极值，求解析中待定系数的取值。
（1）、二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线. （2）、二次函数 c bx ax y ++=2，当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点（3）、对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（ ，）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（ ， ）。
二次函数c bx ax y ++=2用配方法或公式法（求h 时可用代入法）可化成：k h x a y +-=2)(的形式，其中h= ,k=例1、抛物线1822-+-=x x y 的图象的开口方向是_____, 顶点坐标是_ ___. 例2、若抛物线232)1(2-++-=m mx x m y 的最低点在x 轴上，则m 的值为 （4）、二次函数 c bx ax y ++=2的对称轴为直线x=－2ba运用抛物线的对称性求对称轴，由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线段的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.若抛物线上有两点A （m,n ）、B(p,n)的纵坐标相等,则它的对称轴为直线x=2pm +例3、已知A 、B 是抛物线243y x x =-+上位置不同的两点，且关于抛物线的对称轴对称，则点A 、B 的坐标可能是_____________．（写出一对即可）（5）增减性：二次函数 c bx ax y ++=2的增减性分对称轴左右两侧描述（数形结合理解它的增减性）若0>a ，当x 时（在对称轴 侧），y 随x 的增大而增大，当x 时（在对称轴 侧），y 随x 的增大而减小，若0<a ，当x 时（在对称轴 侧），y 随x 的增大而增大，当x 时（在对称轴 侧），y 随x 的增大而减小，例4、已知抛物线2y ax bx c =++（a ＞0）的对称轴为直线1x =，且经过点()()212y y -1，，，，试比较1y 和2y 的大小：1y _2y （填“>”，“<”或“=”）例5、二次函数542+-=mx x y ，当2-<x 时，y 随x 的增大而减小；当2->x 时，y 随x 的增大而增大。
2022年人教版九年级数学上册第二十二章二次函数教案 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数一、教学目标【知识与技能】1.能结合具体情境体会二次函数的意义,理解二次函数的有关概念.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.【过程与方法】通过具体问题情景中的二次函数关系了解二次函数的一般表述式,在类比一次函数、反比例函数表达式时感受二次函数中二次项系数a≠0的重要特征.【情感态度与价值观】在探究二次函数的学习活动中,体会通过探究发现的乐趣.二、课型新授课三、课时1课时四、教学重难点【教学重点】结合具体情境体会二次函数的意义,掌握二次函数的有关概念.【教学难点】1.能通过生活中的实际问题情境,构建二次函数关系；2.重视二次函数y=ax2+bx+c中a≠0这一隐含条件.五、课前准备课件六、教学过程（一）导入新课如图,从喷头喷出的水珠,在空中走过一条曲线后落到池中央,在这条曲线的各个位置上,水珠的竖直高度h与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系？（出示课件2）教师问:上面问题中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示？这种函数与以前学习的函数、方程有哪些联系？（二）探索新知探究一二次函数的概念出示课件4:教师问:正方体的六个面是全等的正方形（如下图）,设正方形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可以表示为.学生答:y=6x2①.出示课件5:教师问:多边形的对角线总条数d与边数n有什么关系？如果多边形有n条边,那么它有个顶点,从一个顶点出发,可以作条对角线.学生答:n；（n-3）教师问:多边形的对角线总数为,即.学生答:d=12n(n-3)；d=12n2-32n②教师强调:②式表示了多边形的对角线总条数d与边数n之间的关系,对于n 的每一个值,d都有一个对应值,即d是n的函数.出示课件6:教师问:某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示？这种产品的原产量是20件, 一年后的产量是件,再经过一年后的产量是件,即两年后的产量为,即.学生答:20(1+x)；20(1+x)2；y=20（1+x）2；y=20x2+40x+20③教师强调:③式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间的关系,对于x 的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的函数.出示课件7:教师问:函数①②③有什么共同点?学生以小组形式讨论,并由每组代表总结.出示课件8:教师问:认真观察以上出现的三个函数解析式,分别说出哪些是常数、自变量和函数．学生答:x；y；n；d；x；y教师问:这些函数有什么共同点？学生答:这些函数自变量的最高次项都是二次的！出示课件9:教师归纳:二次函数的定义:一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a ≠0)的函数,叫做二次函数.教师强调:（1）等号左边是变量y,右边是关于自变量x的整式.（2）a,b,c为常数,且a≠0.（3）等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项.（4）x的取值范围是任意实数.出示课件10:教师归纳:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中x是自变量,a、b、c分别是二次项系数,一次项系数和常数项.出示课件11:教师归纳:二次函数的形式:二次函数的一般形式:y＝ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数,a≠0).二次函数的特殊形式:当b ＝0时,y ＝ax 2＋c.（只含有二次项和常数项） 当c ＝0时,y ＝ax 2＋bx.（只含有二次项和一次项） 当b ＝0,c ＝0时,y ＝ax 2.（只含有二次项）出示课件12:例1 下列函数中是二次函数的有 .222222422221211111()()=()y y x x x y x x y x xx x y x x y x +=+-=+-=+++=+①②③④⑤⑥学生自主思考后,学生口答:①⑤⑥出示课件13:师生共同完善认知:运用定义法判断一个函数是否为二次函数的步骤:（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代数式,左边是函数（因变量）的形式；（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式； （3）判断自变量的最高次数是否是2； （4）判断二次项系数是否不等于0. 出示课件14:下列函数中,哪些是二次函数？ (1) y=3(x-1)²+1；⑵1y x x =+；(3) s=3-2t ²； ⑷21y x x =-；(5)y=(x+3)²-x ²；(6) v=10πr ²； (7) y=x ²+x ³+25；(8) y =2²+2x.学生自主思考后解答:⑴⑶⑹是,⑵⑷⑸⑺⑻不是. 出示课件15:例2 关于x 的函数（）m -my =m +x 21是二次函数, 求m 的值.学生共同思考后,师生共同解答如下: 解:由二次函数的定义得m 2-m=2,m+1≠0. 解得m=2.因此当m=2时,函数为二次函数.教师强调:注意:二次函数的二次项系数不能为零. 出示课件16:11+=-()a y a x是二次函数,求常数a 的值.学生自主思考后,独立解答. 解:根据二次函数的定义,得，⎧+=⎪⎨-≠⎪⎩a a 1210.解得a=-1.探究二 根据实际问题确定二次函数解析式 师生共同完善认知:（出示课件17） 根据实际问题建立二次函数模型的一般步骤:①审题:仔细审题,分析数量之间的关系,将文字语言转化为符号语言； ②列式:根据实际问题中的等量关系,列二次函数关系式,并化成一般形式； ③取值:联系实际,确定自变量的取值范围.出示课件18:例一农民用40m长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园,和墙垂直的一边长为xm,菜园的面积为ym2,求y与x之间的函数关系式,并说出自变量的取值范围.当x=12m时,计算菜园的面积.师生共同分析后,共同解答.解:由题意得:y=x(40-2x).即y=-2x2+40x.(0<x<20)当x＝12m时,菜园的面积为y=-2x2+40x=-2×122+40×12=192（m2）.教师点拨:确定实际问题中的二次函数关系式时,常常用到生活中的经验及数学公式（例长方形和圆的面积、周长公式）等.出示课件19:做一做:①已知圆的面积y(cm2)与圆的半径x(cm),写出y与x之间的函数关系式；②王先生存入银行2万元,先存一个一年定期,一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的存款年利率为x,两年后王先生共得本息和y万元,写出y与x之间的函数关系式；③一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积S与半径r之间的关系式.学生自主思考后,口答: ①y=πx 2(x>0)； ②y=2(1+x)2(x>0)； ③S=4πr 2(r>0).说一说以上二次函数解析式的各项系数. （三）课堂练习（出示课件20-24）1.下列函数解析式中,一定为二次函数的是（ ） A.y=3x-1 B.y=ax 2+bx+c C.s=2t 2-2t+1 D.y=x 2+21x2.已知函数 y=（m ²﹣m ）x ²+（m ﹣1）x+m+1． （1）若这个函数是一次函数,求m 的值； （2）若这个函数是二次函数,则m 的值应怎样？3.下列函数中,（x 是自变量）,是二次函数的为( ) A.y=ax 2+bx+c B.y 2=x 2-4x+1 C.y=x 2 D.y=22+x+14.函数y=(m-n)x 2+mx+n 是二次函数的条件是( ) A.m,n 是常数,且m ≠0 B.m,n 是常数,且n ≠0 C.m,n 是常数,且m ≠n D.m,n 为任何实数5.一个圆柱的高等于底面半径,写出它的表面积 s 与半径 r 之间的关系式.6.n 支球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛,写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式.7.当m 为何值时,函数y=(m-4)x m ²-5m+6+mx 是关于x 的二次函数.参考答案: 1.C2.解:（1）根据一次函数的定义,得m 2﹣m=0, 解得m=0或m=1,又∵m ﹣1≠0即m ≠1, ∴当m=0时,这个函数是一次函数； （2）根据二次函数的定义, 得:m 2﹣m ≠0,解得m 1≠0,m 2≠1,∴当m 1≠0,m 2≠1时,这个函数是二次函数. 3.C 4.C 5.S=4πr 2. 6.m=12n(n-1),即m=12n 2-12n. 7.解:由二次函数的定义,得256240,,m m m ⎧-+=⎨-≠⎩解得m=1.∴当m=1时,函数y=(m-4)x m ²-5m+6+mx 是关于x 的二次函数. （四）课堂小结通过这节课的学习,你有哪些收获和体会?说说看. （五）课前预习预习下节课（22.1.2）的相关内容. 七、课后作业1.教材习题22.1第1、2、8题；2.配套练习册内容八、板书设计:九、教学反思:本课时的内容涉及到初中第二个函数内容,由于前面有了学习一次函数的经验,因此教师教学时可在学生以往经验的基础上,创设丰富的现实情境,使学生初步感知二次函数的意义,进而能从具体事物中抽象出数学模型,并列出二次函数的解析式.教学时应注重引导学生探究新知,在观察、分析后归纳、概括,注重学生的过程经历和体验,让学生领悟到现实生活中的数学问题,提高研究与应用能力.。
人教版初中九年级数学上册《第22章二次函数》教案
第22章二次函数第一课时二次函数教学目标：1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。
2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。
3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。
4、会用待定系数法求二次函数的解析式。
教学重点：二次函数的概念和解析式教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。
教学设计：一、创设情境，导入新课问题1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（板书课题） 二、 合作学习，探索新知请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与x 之间的关系：（1）面积y (cm 2)与圆的半径 x ( Cm )(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y 元;(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2)（一） 教师组织合作学习活动：1、 先个体探求，尝试写出y 与x 之间的函数解析式。
2、上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。
（1）y =πx 2 （2）y = 2000(1+x)2 = 20000x 2+40000x+20000x(3) y = (60-x-4)(x-2)=-x 2+58x-112（二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法。
新人教版九年级数学上册22二次函数复习教案新版
第22章二次函数一、复习目标1.理解二次函数的概念；2.会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会用描点法画二次函数的图象；3.会平移二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象得到二次函数y ＝a(ax ＋m)2＋k 的图象，了解特殊与一般相互联系和转化的思想；4.会用待定系数法求二次函数的解析式；5.利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。
6.二次函数的综合应用 二、课时安排 2三、复习重难点把握二次函数的性质，利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系，并能和其它知识点进行综合应用。
四、教学过程 （一）知识梳理 二次函数知识点：1. 二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++(a b c ，，是常数，0a ≠)的函数，叫做二次函数。
2. 二次函数的基本形式（1）二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质：3. ()2y a x h =-的性质： 4. ()2y a x h k =-+的性质： 3.二次函数图象的平移 1. 平移步骤：(1) 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； (2)保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位（3） 平移规律在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．4.二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与轴的交点()10x ，，()20x ，(若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点).画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. 5.二次函数2y ax bx c =++的性质（1） 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，随的增大而减小；当2b x a >-时，随的增大而增大；当2bx a=-时，有最小值244ac b a-． （2） 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，随的增大而增大；当2b x a >-时，随的增大而减小；当2bx a=-时，有最大值244ac b a -． 6.二次函数解析式的表示方法（1） 一般式：2y ax bx c =++(，，为常数，0a ≠)； （2） 顶点式：2()y a x h k =-+(，，为常数，0a ≠)；（3）两根式：12()()y a x x x x =--(0a ≠，，是抛物线与轴两交点的横坐标).7.二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与轴交点情况)：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与轴没有交点. 7.二次函数的应用： （二）题型、方法归纳 类型一：二次函数的平移【主题训练1】(枣庄中考)将抛物线y=3x 2向上平移3个单位,再向左平移2个单位,那么得到的抛物线的解析式为()A.y=3(x+2)2+3B.y=3(x-2)2+3 C.y=3(x+2)2-3D.y=3(x-2)2-3【自主解答】选A.由“上加下减”的平移规律可知,将抛物线y=3x 2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为:y=3x 2+3;由“左加右减”的平移规律可知,将抛物线y=3x 2+3向左平移2个单位所得抛物线的解析式为:y=3(x+2)2+3.归纳：二次函数平移的两种方法1.确定顶点坐标平移:根据两抛物线前后顶点坐标的位置确定平移的方向与距离.2.利用规律平移:y=a(x+h)2+k 是由y=ax 2经过适当的平移得到的,其平移规律是“h 左加右减,k 上加下减”.即自变量加减左右移,函数值加减上下移.类型二：二次函数的图象及性质【主题训练2】(十堰中考)如图,二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和(-1,0),下列结论:①ab<0;②b 2>4a;③0<a+b+c<2;④0<b<1;⑤当x>-1时,y>0.其中正确结论的个数是()A.5个B.4个C.3个D.2个【自主解答】选B.①∵对称轴在y轴右侧,∴- >0,∴ <0,∴a,b异号,∴ab<0,①正确;②把x=0,y=1代入y=ax2+bx+c得c=1,所以二次函数为y=ax2+bx+1; 又∵图象与x轴有两个交点,∴b2-4ac>0,∴b2>4a,②正确;③∵当x=1时,图象在x轴上方,∴a+b+c>0;把x=-1,y=0代入y=ax2+bx+1,得b=a+1,∵图象的开口向下,∴a<0,∴a+b+c= a+a+1+1=2a+2<2,∴0<a+b+c<2,③正确;④∵b=a+1,∴a=b-1,∵0<a+b+c<2,c=1,∴0<b-1+b+1<2,即0<2b<2,∴0<b<1,④正确;⑤当x>-1时,函数图象有部分在x轴上方,与x轴有交点,有部分在x轴下方,所以y>0,y=0,y<0都有可能.所以正确的共有4个,选B.归纳：类型三：二次函数与方程、不等式【主题训练3】(贺州中考)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论:①b2>4ac;②abc>0;③2a-b=0;④8a+c<0;⑤9a+3b+c<0,其中结论正确的是.(填入正确结论的序号)【自主解答】∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点,∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,∴b2-4ac>0,即b2>4ac,①是正确的.∵抛物线的开口方向向上,∴a>0;b－ =1>0,∴a与b异号,则b<0.∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴,∴c<0;∵对称轴x=2ab－=1,∴b=-2a,∴2a+b=0,③是错误的.∴abc>0,②是正确的.∵抛物线的对称轴x=2a∵当x=-2时,y=4a-2b+c>0,又∵b=-2a,∴4a-2b+c=4a-2(-2a)+c=8a+c>0,④是错误的.∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴在x=-1与x=3时函数值相等,由函数图象可知x=-1的函数值为负数,∴x=3时的函数值y=9a+3b+c<0,⑤是正确的.答案:①②⑤归纳：二次函数与方程、不等式的关系1.二次函数与方程:抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标满足ax2+bx+c=0.2.二次函数与不等式:抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方部分的横坐标满足ax2+bx+c>0;抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方部分的横坐标满足ax2+bx+c<0.类型四：二次函数的应用【主题训练4】(武汉中考)科幻小说《实验室的故事》中,有这样一个情节:科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中,经过一天后,测试出这种植物高度的增长情况(如表).温度x(℃) …-4 -2 0 2 4 4.5 …植物每天高度增长…41 49 49 41 25 19.75 …量y(mm)由这些数据,科学家推测出植物每天高度增长量y 是温度x 的函数,且这种函数是一次函数和二次函数中的一种.(1)请你选择一种适当的函数,求出它的函数关系式,并简要说明不选择另外两种函数的理由.(2)温度为多少时,这种植物每天高度增长量最大?(3)如果实验室温度保持不变,在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm,那么实验室的温度x 应该在哪个范围内选择?直接写出结果.【自主解答】(1)选择二次函数.设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c, 根据题意,得4a 2b c 49,a 1,4a 2b c 41,b 2,c 49,c 49-+==-⎧⎧⎪⎪++==-⎨⎨⎪⎪==⎩⎩解得， ∴y 关于x 的函数解析式为y=-x 2-2x+49.不选另外两个函数的理由:点(0,49)不可能在任何反比例函数图象上,所以y 不是x 的反比例函数;点(-4,41),(-2,49),(2,41)不在同一直线上,所以y 不是x 的一次函数.(2)由(1)得y=-x 2-2x+49,∴y=-(x+1)2+50. ∵a=-1<0,∴当x=-1时y 的最大值为50.即当温度为-1℃时,这种植物每天高度增长量最大. (3)-6<x<4.归纳：解决二次函数应用题的两步骤1.建模:根据数量关系列二次函数关系建模或者根据图象的形状建模.2.应用:利用二次函数的性质解决问题.（三）典例精讲例题1： （2016·浙江省绍兴市·10分）课本中有一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m ，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m 时，透光面积最大值约为1.05m 2．我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题：（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积？（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．【分析】（1）根据矩形和正方形的周长进行解答即可；（2）设AB为xcm，利用二次函数的最值解答即可．【解答】解：（1）由已知可得：AD=，则S=1×m2，（2）设AB=xm，则AD=3﹣m，∵，∴，设窗户面积为S，由已知得：，当x=m时，且x=m在的范围内，，∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大．【点评】本题考查待定系数法确定二次函数解析式、二次函数性质等知识，解题的关键是求出对称轴与直线BC交点H坐标，学会利用判别式确定两个函数图象的交点问题，属于中考常考题型．（四）归纳小结1.引导学生整理把握本章知识点并熟练掌握。
九年级数学上册第22章二次函数教案(共14套新人教版)
九年级数学上册第22章二次函数教案（共14套新人教版）二次函数01教学目标1．结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念．2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．02 预习反馈阅读教材P28～29，理解二次函数的意义及有关概念，完成下列内容．1．一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a ≠0)的函数，叫做二次函数．其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a，b，c．(1)下列函数中，不是二次函数的是(D)A．y＝1－2x2 B．y＝(x－1)2－1C．y＝12(x＋1)(x－1) D．y＝(x－2)2－x2(2)二次函数y＝x2＋4x中，二次项系数是1，一次项系数是4，常数项是0．【点拨】判断二次函数要紧扣定义．2．现在我们已学过的函数有一次函数、二次函数，它们的表达式分别是y＝ax＋b(a，b是常数，a≠0)、y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)．如：一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式．解：S表＝4πr2.03 新课讲授例1 (教材P28问题1)n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式．【解答】每个球队要与其他(n－1)个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数是m＝12n(n－1)＝12n2－12n.【跟踪训练1】(22.1.1习题)某校九(1)班共有x名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握手y次，试写出y与x之间的函数关系式y＝12x2－12x，它是(填“是”或“不是”)二次函数．例2 (教材P28问题2)某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加产量．如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？【解答】这种产品的原产量是20 t，一年后的产量是20(1＋x)t，再经过一年后的产量是20(1＋x)(1＋x)t，即两年后的产量y ＝20(1＋x)2．【跟踪训练2】(22.1.1习题)国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y与x的函数关系式为(C)A．y＝36(1－x) B．y＝36(1＋x)C．y＝18(1－x)2 D．y＝18(1＋x2)例3 (教材P29练习T2的变式)一个正方形的边长是12 cm，若从中挖去一个长为2x cm，宽为(x＋1)cm的小矩形，剩余部分的面积为y cm2.(1)写出y与x之间的关系式，并指出y是x的什么函数？(2)当小矩形中x的值分别为2和4时，相应的剩余部分的面积是多少？【解答】(1)y＝122－2x(x＋1)，即y＝－2x2－2x＋144.∴y是x 的二次函数．(2)当x＝2和4时，相应的y的值分别为132和104.【点拨】几何图形的面积一般需画图分析，相关线段必须先用x的代数式表示出来．【跟踪训练3】用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，写出场地面积S(m2)与矩形一边长a(m)之间的关系式．解：S＝a•（60－2a）2＝－a2＋30a.04 巩固训练1．下列方程是一元二次方程的是(A)A．(5－a)2＝2B．3x2＋x－y2＝0C．y2＝5－(2y－y3) D．x－1x2＋1＝02．若y＝(b－1)x2＋3是二次函数，则b≠1．3．有一个人患流感，经过两轮传染后共有y人患了流感，每轮传染中，平均一个人传染了x人，则y与x之间的函数关系式为y＝x2＋2x＋1．4．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度不限)的矩形菜园ABCD，设AB 边长为x m，则菜园的面积y(m2)与x(m)的函数解析式为y＝－12x2＋15x(不要求写出自变量x的取值范围)．5．已知函数y＝(m＋1)xm2－3m－2＋(m－1)x(m是常数)．m为何值时，它是二次函数？解：m ＝4.【点拨】不要忽视m＋1≠0.05 课堂小结1．二次函数的定义．2．熟记二次函数y＝ax2＋bx ＋c中，a≠0，a，b，c为常数．3．如何表示简单变量之间的二次函数关系？22.1.2 二次函数y＝ax2的图象和性质01 教学目标1．能够用描点法画函数y＝ax2的图象，并能根据图象认识和理解其性质．2．初步建立二次函数表达式与图象之间的联系，体会数与形的结合与转化．02 预习反馈阅读教材P30～32，自学“例1”“思考”“探究”“归纳”，掌握用描点法画函数y＝ax2图象的方法，理解其性质，完成下列内容．1．一般地，当a>0时，抛物线y＝ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小．2．一般地，当a<0时，抛物线y＝ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越小，抛物线的开口越小．3．从二次函数y＝ax2的图象可以看出：如果a>0，当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大；如果a<0，当x<0时，y随x的增大而增大，当x>0时，y随x的增大而减小．4．(1)抛物线y＝2x2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点；(2)抛物线y＝－3x2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点；(3)在抛物线y＝2x2对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；(4)在抛物线y＝－3x2对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．03 新课导入回顾：一次函数的图象是一条直线．思考：二次函数的图象是什么形状呢？还记得如何用描点法画一个函数的图象吗？画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线．导入：你能画出二次函数y＝x2的图象吗？第一步：列表：x…－3－2－10123…y＝x2…9410149…第二步：描点，在平面直角坐标系中描出表中各点，如图1.图1 图2第三步：连线，用平滑的曲线顺次连接各点，就得到二次函数y＝x2的图象，如图2.思考：观察函数y＝x2的图象，它有什么特点？总结：(1)二次函数的图象是一条曲线，它的开口向上，这条曲线叫做抛物线；(2)抛物线y＝x2的对称轴是y轴，抛物线与它的对称轴的交点是(0，0)，它是图象的最低点，叫做抛物线的顶点；(3)在对称轴的左侧，抛物线y＝x2从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线y ＝x2从左到右上升．也就是说，当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大．04 新课讲授例1 (教材P30例1)在同一直角坐标系中，画出函数y＝12x2，y＝2x2的图象．【解答】分别列表，画出它们的图象，如图．x…－4－3－2－101234…y＝12x2…84.520.500.524.58…x…－2－1.5－1－0.500.511.52…y＝2x2…84.520.500.524.58…思考：函数y＝12x2，y＝2x2的图象与函数y＝x2的图象相比，有什么共同点和不同点？总结：共同点是开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点；不同点是开口大小不同，x2的系数越大，抛物线的开口越小．例2 (教材P30例1的变式)在同一直角坐标系中，画出函数y＝－x2，y＝－12x2，y＝－2x2的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点？【解答】画出图象如图．思考：当a＜0时，二次函数y＝ax2的图象有什么特点？【点拨】可从开口方向、对称轴、顶点、开口大小去比较和寻找规律．【跟踪训练1】(1)函数y＝－2x2的图象是抛物线，顶点坐标是(0，0)，对称轴是y轴，开口方向是向下；(2)函数y＝x2，y＝12x2和y ＝－2x2的图象如图所示，请指出三条抛物线的解析式．解：根据抛物线y＝ax2中a的值来判断，上面最外面的抛物线为y＝12x2，中间为y＝x2，在x轴下方的为y＝－2x2.【点拨】抛物线y＝ax2，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下，|a|越大，开口越小．例3 (补充例题)已知函数y＝(m＋2)xm2＋m－4是关于x的二次函数．(1)求满足条件的m的值；(2)当m为何值时，抛物线有最低点？求这个最低点；(3)当x为何值时，y随x的增大而增大？当x为何值时，y随x的增大而减小？【解答】(1)由题意，得m2＋m－4＝2，m＋2≠0.解得m＝2或m＝－3，m≠－2.∴当m＝2或m＝－3时，函数为二次函数．(2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，∴m＋2>0，即m>－2.∴m＝2.这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0，0)，(3)当x>0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y 随x的增大而减小．【点拨】也可结合图象来分析完成此题．【跟踪训练2】已知函数y＝(m－1)xm2－2m＋2＋(m－2)x是二次函数，且开口向上．求m的值及二次函数的解析式，并回答y随x的变化规律．解：由题意有m－1>0，m2－2m＋2＝2.解得m＝0(舍去)，m＝2.所以二次函数的解析式为y＝x2.所以当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大．05 巩固训练1．抛物线y＝－13x2的开口向下，顶点坐标是(0，0)，顶点是抛物线的最高(填“低”或“高”)点．2．在同一直角坐标系中，抛物线y＝13x2与抛物线y＝－13x2的形状相同，开口方向相反，两条抛物线关于x轴对称．3．当m＝－2时，抛物线y＝(m－1)xm2＋m开口向下，对称轴为y轴，当x<0时，y 随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小．4．二次函数y＝－6x2，当x1>x2>0时，y1与y2的大小关系是y1<y2．5．一个二次函数，它的图象的顶点是原点，对称轴是y 轴，且经过点(－1，14)．(1)求这个二次函数的解析式；(2)画出这个二次函数的图象；(3)根据图象指出，当x＞0时，若x增大，y怎样变化？当x＜0时，若x增大，y怎样变化？解：(1)由题意，设二次函数解析式为y＝ax2，将(－1，14)代入，得y＝14x2。
人教版九年级上册第22章二次函数复习教案
初中二次函数教案知识内容1. 二次函数的解析式三种形式一般式 y=ax 2 +bx+c(a≠0)顶点式 2()y a x h k =−+224()24b ac b y a x a a−=−+交点式 12()()y a x x x x =−− 2. 二次函数图像与性质1、系数a ，b ，c 及Δ的几何意义①a 的符号决定抛物线的开口方向、大小；形状；最大值或最小值。
0a >⇔开口向上⇔有最小值(最低点的纵坐标)。
0a <⇔开口向下⇔最大值(最高点的纵坐标)。
a 越大，开口越小；a 越小，开口越大。
（描点法可以证明）②a b 、决定抛物线对称轴 0b =⇔对称轴是y 轴。
a b 、同号⇔对称轴在y 轴的左侧a b 、异号⇔对称轴在y 轴的右侧③c 的符号决定抛物线与y 轴交点的位置。
0c =⇔抛物线过原点0c >⇔抛物线与y 轴交于正半轴 0c <⇔抛物线与轴y 交于负半轴④Δ的符号决定抛物线与x 轴的交点个数。
240b ac −>⇔抛物线与x 轴有两个交点 240b ac −=⇔抛物线与x 轴只有一个交点240b ac −<⇔抛物线与x 轴没有交点⑤抛物线的特殊位置与系数的关系.顶点在x 轴上 ⇔△＝0.顶点在y 轴上 ⇔b ＝0. 顶点在原点 ⇔b ＝c ＝0. 抛物线经过原点 ⇔c ＝0.2、二次函数的对称轴与顶点坐标以及单调性（增减性）与最值一般式：2y ax bx c=++(0)a b c a ≠、、是常数，且，其对称轴为直线2b x a=−，顶点坐标为24(24b ac b a a−−， ⅰ.当0a >时，有最小值，且当2bx a=−时，244ac b y a−=最小值；当2bx a<−时，y 随x 的增大而减小；当2bx a>−时，y 随x 的增大而增大。
ⅱ.当0a <时，有最大值，且当2bx a =−时，244ac b y a−=最大值；当2bx a<−时，y 随x 的增大而增大；当2bx a>−时，y 随x 的增大而减小顶点式顶点式：：2()y a x h k=−+(0)a h k a ≠、、是常数，且，其对称轴为直线x h =，顶点坐标为()h k ， ⅰ.当0a >时，有最小值，且当x h =时，y k =最小值；当x h <时，y 随x 的增大而减小；当x h>时，y 随x 的增大而增大。