微分的几何意义
微分详细讲解课件
例8 正方体的棱长x0 10cm,若棱长增加0.1cm,求正方体 体积增加的近似值,精确值.
例9 证当x很小时,ex 1 x.
例10 求5 31的近似值.
(一) 、微分的定义
1.引例 2.微分的定义 3.可微的条件 4.微分的几何意义
1.引例
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x0变到x0 x,
正方形面积 s x02 ,
s (x0 x)2 x02 2x0 x (x)2 .
x0
x0x
x (x)2
x
A x02
x0x x0
解 (1) y' 3x2 dy 3x2dx
(2)dy |x2 3 x2 |x2 dx 12dx
(3) dy x2 3x2x x2 0.24.
x 0.02
x 0.02
4.微分的几何意义
tan f(x) PQ x
PQ f (x)x dy y NQ ,dy PQ NP o(x)
2. 函数和、差、积、商的微分法则
d(f (x) g(x)) df (x) dg(x)
d(Cf (x)) Cdf (x)
d(f (x)g(x)) g(x)df (x) f (x)dg(x)
d(f (x)) g(x)
g(x)df
(x) f (x)dg(x) g(x)2
例2 设 y ln( x e x2 ), 求dy. 例3 设 y e13x cosx, 求dy及dy(0). 例4 y f(e-x ),求dy 例5 :由x y2 exy确定y f (x),求dy
y
T
N
P
o(x)
M
dy y
y f (x)
x Q
）
o
微分概念及其计算
y f (x0 x) f (x0) f (x0 )x f (x0 x) f (x0) f (x0)x
令 x x0 x f (x) f (x0) f (x0)(x x0 )
使用原则: 1) f (x0 ), f (x0 ) 好算 ; 2) x 与x0 靠近.
在点 可微 , 则
y f (x0 x) f (x0 ) Ax o(x)
lim y lim ( A o(x) ) A
x0 x x0
x
故
在点 的可导, 且
说明
由定理4.5，我们得到
dy f (x0 )x
当 y x 时，y' 1,dy dx 1 x x,
称x为自变量的微分, 记作 则有 dy f (x) dx
在点 的可导, 则
lim y x0 x
f (x0 )
y x
f (x0 )
( lim 0 ) x0
故Hale Waihona Puke y f (x0 )x x f(x0)x o(x)
即 dy f (x0 )x
线性主部
定理4.5 函数 在点
在点 可微的充要条件是
处可导, 且
即
dy f (x0 )x
证: “必要性”
已知
第四章 微商与微分
第二节 微分概念及其计算
一、微分的定义 二、微分的几何意义 三、基本微分公式与微分运算法则 四、微分在近似计算中的应用
导数的定义
定义 设函数f (x)在 U(x0) 有定义,且 x0+x U(x0).
如果极限 lim f (x0 x) f (x0 ) lim y a 存在,
说明: y f (x0 )x o(x) dy f (x0 )x
常微分方程几何解释
常微分方程几何解释常微分方程（ordinary differential equation）是数学中的一个重要分支，解决了很多实际问题，从而推动了科学和技术的进步。
而常微分方程的几何解释则是其中的一个具有深刻意义的方面，它可以帮助我们更加深刻地理解微分方程的本质，并在几何意义上进行抽象和推广。
一、微分方程的几何意义微分方程是描述自变量和其导数之间的关系的方程，例如：$\frac{dy}{dx} = f(x,y)$其中，$y$ 是变量，$x$ 是自变量，$f(x,y)$ 是一个规定好的函数。
这个式子的意思是，“$y$ 对 $x$ 的导数等于$f(x,y)$”，也就是说，当我们确定了 $f(x,y)$ 这个函数的形式，这个微分方程就规定了 $y$ 在自变量 $x$ 下的变化规律。
那么，这个微分方程到底有什么几何意义呢？我们可以把 $y$ 看作平面上的点，$y$ 对 $x$ 的导数看作该点处的切线斜率，$f(x,y)$ 看作斜率的函数。
这样，微分方程可以被看作描绘了在平面上一点的动态演化轨迹的微分方程。
例如，对于微分方程：$\frac{dy}{dx} = y$我们可以解得 $y = Ce^{x}$ （$C$ 为常数），这个解表明在$x$ 轴正半轴方向上，$y$ 的值不断地成倍增长。
这个动态演化的轨迹可以形象地理解为一条指数曲线。
二、微分方程的向量场由于微分方程描述了一条轨迹，我们可以把它与向量场联系起来，从而更加深入地理解它。
向量场是一个输出为向量的函数，它可以在每个点上给出一个向量，描述了该点的方向和大小。
对于微分方程 $\frac{dy}{dx} =f(x,y)$，我们可以把 $(x,y)$ 看作平面上的一点，$f(x,y)$ 看作向量场在该点的输出。
例如，对于微分方程 $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$，我们可以把它看作向量场 $F(x,y) = \left \langle -\frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}},-1 \right \rangle$。
高等数学第二章：函数的微分
dx
26
注： 由导数的“微商”及一阶微分形式不变性,
(3) 通常把自变量x的增量x 称为自变量的 微分,记作 dx, 即 dx x. 什么意思？
例如： 已知 y x , 求 d y.
解 d y (x)x 1 x x, 由于 y x, 故得 d y d x x.
11
上例表明:
自变量的增量就是自变量的微分：x d x
y A x o(x),
lim y x0 x
lim A o(x)
x0
x
A.
即函数 f ( x)在点 x0可导,且A f ( x0 ).
7
定理 函数 f ( x)在点x0可微 函数 f ( x)
在点 x0处可导,且 A f ( x0 ),即有 dy f ( x0 )x.
(2) 充分性 函数f ( x)在点x0可导,
y lim
x0 x
f ( x0 ),
即 y x
f ( x0 ) , ( x 0,
0)
从而 y f ( x0 ) x (x),
f ( x0 ) x o(x),
函数 f ( x)在点 x0可微, 且 f ( x0 ) A.
d(u v) du dv
d(uv) vdu udv
d
u v
vdu udv v2
18
例 设 y ln( x e x2 ), 求dy.
解
y
1
x
2
xe ex
x
2
2
,
dy
1
x
3.5-1微分的定义和几何意义
函数 y f ( x)在任意点x的微分, 称为函数的 微分, 记作 dy或df ( x), 即 dy f ( x)x.
通常把自变量x的增量x称为自变量的微分,
记作dx, 即dx x.
dy f ( x)dx.
dy f ( x). dx
即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于
该函数的导数. 导数也叫"微商".
谢谢
THANK YOU
当y是曲线的纵
坐标增量时, dy 就是切线纵坐标 对应的增量.
y f (x)
）
o
当 x 很小时, 在点M的附近,
T
N
o(x)
P
M
dy y
x
x0 x0 x
x
切线段 MP可近似代替曲线段 MN .
“在一定的条件下，直线与曲线应当是一 回事”。这里的条件就是自变量的变化很 微小乃至于趋近于零。
从数量关系方面看，曲线反映非均匀变化； 直线反映均匀变化，曲线向直线转化为我 们用均匀变化过程来近似非均匀变化提供 了理论根据。既然曲线与切线有如此密切 的关系，因此，我们常用切线来研究曲线。
x0x x0
(1) : x的线性函数,且为A的主要部分; (2) : x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
再例如, 设函数 y x3在点 x0处的改变量 为x时, 求函数的改变量 y.
y ( x0 x)3 x03
3
x
2 0
x
3x0
(x)2
(x)3
.
(1)
(2)
当x 很小时, (2)是x的高阶无穷小o(x),
微分 dy叫做函数增量 y的线性主部. (微分的实质)
由定义知:
(1) dy是自变量的改变量x的线性函数;
综述微分和泰勒展开公式的关系
微分和泰勒展开公式是数学分析中两个重要的概念和工具，它们在数学推导和物理问题求解中起着至关重要的作用。
本文将综述微分和泰勒展开公式的关系，旨在深入探讨它们之间的内在通联和应用。
一、微分的基本概念1.微分的定义和性质2.微分在函数求导和近似计算中的应用3.微分的几何意义和物理意义二、泰勒展开公式的基本原理1.泰勒展开公式的定义和表达形式2.泰勒展开公式在函数逼近和级数求和中的应用3.泰勒展开公式的推导和证明方法三、微分和泰勒展开公式的关系1.微分与泰勒展开公式的通联和区别2.微分在泰勒展开公式中的角色和作用3.泰勒展开公式的导出过程中涉及微分的应用四、微分和泰勒展开公式在数学分析中的应用1.微分和泰勒展开公式在函数极值和凹凸性判定中的应用2.微分和泰勒展开公式在函数逼近和近似计算中的应用3.微分和泰勒展开公式在泛函分析和微分方程求解中的应用五、微分和泰勒展开公式在物理问题中的应用1.微分和泰勒展开公式在力学和动力学中的应用2.微分和泰勒展开公式在电磁学和热力学中的应用3.微分和泰勒展开公式在量子力学和相对论中的应用六、结论微分和泰勒展开公式作为数学分析中的重要概念和工具，不仅在理论研究中发挥着重要作用，也在物理问题求解中具有广泛的应用前景。
深入理解微分和泰勒展开公式的关系，对于加深对数学分析和物理学知识的理解和应用具有重要意义。
通过以上关于微分和泰勒展开公式的综述，我们可以更全面深入地了解它们的内在通联和应用，希望本文能对相关领域的研究者和学习者有所启发和帮助。
七、微分的基本概念微分是微积分学中的一个基本概念，它源自导数的概念。
在数学上，微分可以解释为函数的局部线性逼近，可以用来求函数的变化率、切线方程、极值点等等。
微分的定义和性质是我们理解微分和泰勒展开公式的基础。
微分的定义是指当自变量的增量趋于0时，函数增量与自变量增量之比的极限，即：\[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}微分的一些基本性质包括线性性、乘积法则、商法则等，这些性质对于微分求导以及在泰勒展开中的应用都起着重要的作用。
微积分—微分
数 f ( x)在点 x0处可导, 且 A f ( x0 ).
证 (1) 必要性 f ( x )在点x0可微,
y A x o( x ),
y o( x ) A , x x
y o( x ) 则 lim A lim A. x 0 x x 0 x
函数 f ( x)在点 x0可微, 且 f ( x0 ) A.
令y x, dy dx ( x)x x.
dy f ( x)dx.
dy dy f ( x )dx. f ( x ). dx 即函数的微分 dy与自变量的微分 dx之商等于
该函数的导数. 导数也叫 " 微商".
(微分的实质) 微分 dy叫做函数增量 y的线性主部.
由定义知:
dy A x y A x o (x)
(1) dy是自变量的改变量 x的线性函数 ;
( 2) y dy o( x )是比x高阶无穷小 ; ( 3) 当A 0时, dy与y是等价无穷小 ;
即函数 f ( x )在点 x0可导, 且A f ( x0 ).
(2) 充分性 函数f ( x )在点x0 可导,
y lim f ( x 0 ), x 0 x
li m y A
从而 y f ( x0 ) x ( x ), f ( x0 ) x o( x ),
d (C ) 0 d (sin x ) cos xdx d (tan x ) sec2 xdx d ( x ) x 1 dx d (cos x ) sin xdx d (cot x ) csc2 xdx
微分和积分的几何意义
微分和积分的几何意义
微积分是数学中的重要分支，其中微分和积分是微积分的两个主要部分。
它们在解决各种问题中发挥着关键作用。
微分和积分的几何意义是指它们在几何学中的应用。
微分和积分在几何学中有很多应用。
微分被用来描述曲线或曲面的切线或法线方向，它们也被用来计算一条弧线、曲线或曲面的长度、面积、体积以及其他相关的物理量。
积分则被用来计算曲线、曲面或体积的面积或容积。
微分和积分也被用于研究连续性、不连续性和导数在几何上的应用，如单调性、凸性和曲率。
微积分也被广泛用于物理学、工程学和其他领域，如金融学、经济学和计算机科学等。
总之，微分和积分在几何学中有着广泛的应用，是解决各种问题的重要工具。
了解微分和积分的几何意义对深入理解微积分的操作和应用至关重要。
- 1 -。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
dy
1 2 xe xe
x2
x2
dx .
设 y e 1 3 x cos x , 求dy.
解 dy cos x d (e 1 3 x ) e 1 3 x d (cos x )
(e
1 3 x
1 3 x ) 3e , (cos x ) sin x .
dy
x2 x 0.02
3 x 2 x
x2 x 0.02
0.24.
例2：考虑函数 y = x 的微分：
d y d x ( x )' x x
结论： （1）dy f ( x ) x f ( x )d x
即 d x x.
dy f ( x ). dx
(4) 当x 很小时 , y dy (线性主部 ).
定义2 如果函数 y = f (x) 在区间 I 上处处可微，则 称 f (x) 在区间 I 上可微。
函数 y f ( x )在区间 I 上任意点 x的微分, 称为函 数的微分, 记作 dy或 df ( x ), 即 dy A( x )x .
设边长由x0变到x0 x,
x0
x
( x ) 2
x
正方形面积 A x0 ,
2 A ( x 0 x ) 2 x 0
2
x 0 x
2 A x0
2 x 0 x ( x ) .
2
(1)
( 2)
x 0 x
x0
(1) : x的线性函数, 且为A的主要部分; ( 2) : x的高阶无穷小, 当 x 很小时可忽略.
N P
o( x )
T
dy y
Q
y是曲线的纵坐标增量 ,
dy是切线纵坐标对应的 增量 .
o
y f ( x)
）
M
x
x0
当 x 很小时, 在点M的附近,
切线段 MP 可近似代替曲线段 MN .
x0 x
x
以直代曲
2.3.2 微分的运算
dy f ( x )dx
求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式
180 f ( x0 x ) f ( x0 ) f ' ( x0 ) x 则有 x0 , x
29
0
6
由微分近似公式
2. 误差估计
• 间接测量误差
A 例：计算圆钢的截面积：
4
D 2 .其中 D 为测量直径。
D 的测量误差将导致计算 A 时出现误差，称之为 间接测量误差。
即 dy | x x0 f ( x0 ) x .
( 2) 函数 y f ( x )在区间 I 上任意点 x的微分, 可表为
dy f ( x ) x
例1 求函数 y x 当 x 2, x 0.02时的微分.
3
解 dy ( x 3 ) x 3 x 2 x .
2.3微分的概念
教学目标： 1、掌握微分的概念； 2、了解可导与可微的关系； 3、掌握微分的计算.
微分是在研究当 自变量有微小变 化时，对应的函 数值大约改变了 多少时而引入的 概念。
2.3.1 微分的概念
一、微分的定义
引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 其
边长由 x0 变到 x0 x , 问此薄片面积改变了多少?
( 2)
1 度为 厘米，求球壳体积的近似值。 16
例1：一个外直径为 10 厘米的球，球壳厚
解：半径为 r 的球的体积为：
r0 5
4 3 V r f (r ) 3
1 r r r0 16
r
•
1 16
1 16 厘米后体积改变量 V 的绝对值，因此
球壳的体积可以看作当球半径由 5 厘米缩小
则称 A 为测量 A 的绝对误差限，简称为绝对误差。
A
|a|
叫做测量 A 的相对误差限，简称为相对误差。
一般地，设 y = f (x) , 测量 x 时的误差记为 x
x 的绝对误差限为 x 即 | x | x ,
则函数 y 的绝对误差为
| y | | f ( x x ) f ( x ) |
d (a x ) a x ln adx 1 d (log a x ) dx x ln a 1 d (arcsin x ) dx 2 1 x 1 d (arctan x ) 2 dx 1 x
d (e x ) e x dx 1 d (ln x ) dx x 1 d (arccos x ) dx 2 1 x 1 d (arc cot x ) 2 dx 1 x
d (C ) 0 d (sin x ) cos xdx d ( x ) x 1 dx d (cos x ) sin xdx
d (tan x ) sec 2 xdx d (cot x ) csc 2 xdx d (sec x ) sec x tan xdx d (csc x ) csc x cot xdx
( 2) 若x是中间变量时, 即另一变量 t 的可 微函数 x ( t ), 则 d x ( t )d t , y f [ ( t )]
d f [ ( t )] dy dt f ( x ) ( t ) dt f ( x )dx. dt
结论：无论 x是自变量还是中间变量 , 函数 y f ( x )的微分形式总是 dy f ( x )dx 微分形式的不变性
解：
4
D 2 计算圆钢的截面积时，试估计面积的误差。
A 2 x0 x
再如, 设函数 y x 3在点 x0处的改变量
为x时, 求函数的改变量 y .
y ( x 0 x ) x
3 3 0 2 3
3 x x 3 x 0 ( x ) ( x ) .
(1)
2 0
( 2)
当 x 很小时, ( 2)是x的高阶无穷小o( x ),
0 sin 29 例2：利用微分计算 的近似值。
解：设 设 f(x)=sinx因此，所求近似值可以看成 f (x) 在
x=290处函数值的近似值。
取
6 180 f( ) f ( ) f ' ( ) ( ) 6 180 6 6 180 1 3 0 sin 29 sin cos （ ） 0.4849 6 6 180 2 2 180
两个基本问题： （1）函数可微的条件是什么？ （2）若函数可微，则定义中的 A (x) = ?
二、可微的条件
定理 函数 f ( x )在点 x0可微的充要条件是函 数 f ( x ) 在点 x0 处可导, 且 A f ( x0 ). 说明
(1) 可导 可微, 且 A f ( x0 ),
dy cos x ( 3e 1 3 x )dx e 1 3 x ( sin x )dx e
1 3 x
( 3 cos x sin x )dx .
微分形式的不变性
设函数 y f ( x )有导数 f ( x ),
(1) 若x是自变量时, dy f ( x )dx;
(其中 A 是与 x 无关的常数 ) , 则称函数
y f ( x )在点 x0可微, 并且称 A x 为函数 y f ( x )在点 x0 相应于自变量增量x的微分,
记作 dy x x0 或 df ( x0 ), 即dy x x0 A x .
(微分的实质) 微分 dy叫做函数增量 y的线性主部.
4 3 4 4 4 3 3 3 V r r 0 ( r0 r ) r 0 3 3 3 3
dV
r r0
2 f ' ( r0 ) r 4 r 0 r
1 V 4 5 ( ) 19.6cm) 3
A
D 2 计算圆钢的截面积时，试估计面积的误差。
例1：设测得的圆钢截面的直径 D = 60.03mm , 测量D 的绝对误差限 D 0.05mm ，利用公式
A
dA D D D A d A dD 2 | D | D 0.05, | A || d A | D | D | D D 2 2 D A D 60.03 0.05 4.715mm2 2 2 所以 A 的相对误差限为 D D A 2 D 2 0.05 2 0.17% 2 A D 60 . 03 D 4
y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x)
由定义知:
dy x x x o(x)
0
(1) dy是自变量的改变量 x的线性函数 ;
(2) y dy o(x)是比x高阶无穷小 ;
(3) A是与x无关的常数 , 但与f ( x)和x0有关;
| dy || f ( x )x | | f ( x ) | x
因此 y 的绝对误差限为 y | f ( x ) | x
而 y 的相对误差限为 y | f ( x ) | x f ( x ) | | x | y| | f ( x) | f ( x)
• 绝对误差和相对误差 设某个量的精确值为 A，测量值（或近似值）为a , 则称 | A – a | 为 a 的绝对误差。而称
| Aa| 为 a 的相对误差。 |a|
实际中，精确值 A 往往无法知道，因此绝对误差和 相对误差也就无法求得，但可以确定他们的范围。 例如假设
| A a | A
（2）即函数的微分 dy 与自变量的微分 d x 之商等于
该函数的导数. 导数也叫" 微商".