第三章傅里叶变换
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第三章――傅里叶变换周期信号的傅里叶级数分析
第三章 傅里叶变换3.1周期信号的傅里叶级数分析（一） 三角函数形式的傅里叶级数满足狄利赫里条件的周期函数()f t 可由三角函数的线性组合来表示，若()f t 的周期为1T ，角频率112T πω=，频率111f T =，傅里叶级数展开表达式为()()()0111cos sin n n n f t a a n t b n t ωω∞==++⎡⎤⎣⎦∑各谐波成分的幅度值按下式计算()0101t T t a f t dt T +=⎰()()0112cos t T n t a f t n t dt T ω+=⎰()()01012sin t T n t b f t n t dt T ω+=⎰其中1,2,n =⋅⋅⋅狄利赫里条件：（1） 在一个周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个；（2） 在一个周期内，极大值和极小值的数目应是有限个； （3） 在一个周期内，信号是绝对可积的，即()00t T t f t dt +⎰等于有限值。
（二） 指数形式的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数展开也可以表示为指数形式，即()()11jn tnn f t F n eωω∞=-∞=∑其中()011011t T jn tn t F f t e dt T ω+-=⎰ 其中n 为从-∞到+∞的整数。
（三） 函数的对称性与傅里叶系数的关系（1） 偶函数由于()f t 为偶函数，所以()()1sin f t n t ω为奇函数，则()()01112sin 0t T n t b f t n t dt T ω+==⎰所以，在偶函数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项。
（2） 奇函数由于()f t 为奇函数，所以()()1cos f t n t ω为奇函数，则()0100110t T t a f t dt T +==⎰()()010112cos 0t T n t a f t n t dt T ω+==⎰ 所以，在奇函数的傅里叶级数中不会含有直流项和余弦项，只可能包含正弦项（3） 奇谐函数（()12T f t f t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭）半波对称周期函数的傅里叶级数中，只会含有基波和奇次谐波的正、余弦项，而不会含有偶次谐波项，这也是奇谐函数名称的由来。
第三章傅里叶变换的性质.ppt
0
f (t)奇函数：X ()
f (t)sin tdt 2
f (t)sin tdt
0
X () 0
R() 0
可见，R()=R(- )为偶函数； X()= -X(- )为奇函数； 若 f (t)是实偶函数，F(j )=R() 必为实偶函数。 若 f (t)是实奇函数，F(j )=jX() 必为虚奇函数。
1 T
(t
T
)
F( j)
T
根据时域微分特性：
( j)2 F ( j) 1 e jT 2 1 e jT ,
0 2
T
TT
T
F(
j )
2
2T
(1
cosT )
4
2T
sin
2 (T
2
)
TSa2 (T
2
)
第三章第1讲
12
频域微分和积分特性
公式：
( jt)n f (t) F (n) ( j) f (0) (t) 1 f (t) F (1) ( j)
表明信号过延程时都了是t0在秒频并谱不搬会移改的变基其础频上谱完的成幅的度。，但是 使其相位变化了 - t0
频移特性： f (t)e j0 t F[ j( 0 )]
表明信号 f (t)乘以 e j0 t，等效于其频谱 F(j)沿频率右移 0
因为： cos 0 t
1 2
(e
j0 t
e
j0 t
)
sin
0t
1 2j
(e
j0 t
信号与系统第三章：傅里叶变换
任意非周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦 或虚指数函数积分。
由于这里用于系统分析的独立变量是频率，故称为频域分析。
6
3.1 信号分解为正交函数
信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的
y
概念相似。
AC1vxC2vy
C 2v y
A
v x , v y 为各相应方向的正交单位矢量。 C 1v x
❖ 1、时域分析的基本概念 系统时域响应的概念和四种主要响应形式。
❖ 2、离散系统的时域分析 差分和差分方程的含义和建立；差分方程的经典解法，以及各种响应的具体求解。
❖ 3、单位冲击响应与单位样值响应 单位冲击响应和单位样值响应的概念和实质；通过微分方程或差分方程的求解方法。
❖ 4、卷积积分 卷积积分的基本概念和意义；采用定义法和图解法进行求解的方法和步骤；卷积积分 的重要性质。
❖ 采用变换域分析的目的：主要是简化分析。这章傅里叶变 换主要从信号分量的组成情况去考察信号的特性。从而便 于研究信号的传输和处理问题。
5
本章以正弦函数或(虚指数函数)为基本信号 任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或虚
指数函数之和。 sin(n1t),cos(n1t),ejn1t
n0,1,2
❖ 5、卷积和 卷积和的基本概念和意义；通过定义、性质以及图解法和不进位乘法熟练进行求解的 方法和步骤。
2
第三章主要内容
❖3.1 信号分解为正交函数 (一般了解） ❖3.2 傅里叶级数 ❖3.3 周期信号的频谱 ❖3.4 非周期信号的频谱（傅里叶变换） ❖3.5 傅里叶变换的性质 ❖3.6 卷积定理 ❖3.7 周期信号的傅里叶变换 ❖ 3.8.抽样信号的傅里叶变换与取样定理
x
它们组成一个二维正交矢量集。
由于这里用于系统分析的独立变量是频率，故称为频域分析。
6
3.1 信号分解为正交函数
信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的
y
概念相似。
AC1vxC2vy
C 2v y
A
v x , v y 为各相应方向的正交单位矢量。 C 1v x
❖ 1、时域分析的基本概念 系统时域响应的概念和四种主要响应形式。
❖ 2、离散系统的时域分析 差分和差分方程的含义和建立；差分方程的经典解法，以及各种响应的具体求解。
❖ 3、单位冲击响应与单位样值响应 单位冲击响应和单位样值响应的概念和实质；通过微分方程或差分方程的求解方法。
❖ 4、卷积积分 卷积积分的基本概念和意义；采用定义法和图解法进行求解的方法和步骤；卷积积分 的重要性质。
❖ 采用变换域分析的目的：主要是简化分析。这章傅里叶变 换主要从信号分量的组成情况去考察信号的特性。从而便 于研究信号的传输和处理问题。
5
本章以正弦函数或(虚指数函数)为基本信号 任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或虚
指数函数之和。 sin(n1t),cos(n1t),ejn1t
n0,1,2
❖ 5、卷积和 卷积和的基本概念和意义；通过定义、性质以及图解法和不进位乘法熟练进行求解的 方法和步骤。
2
第三章主要内容
❖3.1 信号分解为正交函数 (一般了解） ❖3.2 傅里叶级数 ❖3.3 周期信号的频谱 ❖3.4 非周期信号的频谱（傅里叶变换） ❖3.5 傅里叶变换的性质 ❖3.6 卷积定理 ❖3.7 周期信号的傅里叶变换 ❖ 3.8.抽样信号的傅里叶变换与取样定理
x
它们组成一个二维正交矢量集。
通信第三章 常见函数的傅里叶变换
(t)
…
-T0 O T0 2T0 t
求T0 (t) 的指数傅里叶级数和三角傅里叶级数。
解
Fn
1 T0
T0 2
T0 2
(t)e jn0tdt
1 T0
T0 (t)
1 T0
e jn0t
n
a0
1 T0
又
an
2 T0
T0 2
T0 2
(t) cos
n0tdt
2 T0
bn 0
T0 (t)
的三角傅里叶级数为：T0
第3章 傅里叶变换
重点：
1.傅里叶级数定义及适用条件 2.常见周期信号的频谱,非周期性信号的频谱 3.傅里叶变换的定义及适用条件及性质 4.周期信号的傅里叶变换 5.抽样定理 6.功率频谱与能量频谱 7.系统频域分析法 8.希尔伯特变换
3.1 傅里叶变换的产生
傅里叶1768年生于法国,1807年提 出“任何周期信号都可用正弦函数 级数表示”, 1822年在“热的分析 理论”一书中再次提出。1829年 狄里赫利给出傅里叶变换收敛条件。 傅里叶变换得到大规模的应用，则 是到了上世纪60年代之后。
nT0 )
n
[ A
A T0
(t
nT0 )][u(t
nT0 )
u(t
(n
1)T0 )]
将 f (t) 去除直流分量，则仅剩交流分量 fAC (t)
fAC (t)
f
(t)
A [u(t
T n 0
nT0 ) u(t
(n 1)T0 )]
n
[
A
A T0
(t
nT0
)]{
(t
nT0
)
（2）利用直接法求解
第三章傅里叶变换
E 4E 1 1 f ( t ) 2 cos(1t ) cos( 31t ) cos( 51t ) 2 9 25
讨论：离散性、收敛性、谐波性
2、 频谱的初步知识——三角波频谱
f ( t ) c0 c n cosn1t n
1
jn1t
f (t ) a0 an cos(n1t ) bn sin(n1t )
n 1
ห้องสมุดไป่ตู้
1 jn1t cos(n1t ) (e e jn1t ) 2 1 sin(n1t ) (e jn1t e jn1t ) 2j
an jbn jn1t an jbn jn1t f (t ) a0 ( e e ) 2 2 n 1
t
0
E 2
F ( n1 )为纯虚函数。
其傅里叶级数表达式为：
f (t ) E 1 1 sin(w1t ) sin(2w1t ) sin(3w1t ) 2 3
（3）奇谐函数信号（半波对称函数）
奇谐函数信号：若波形沿时间轴平移半个周期 并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变 化，即满足： T1 a 0 f (t ) f (t ) 0 2
通常所遇到的周期性信号都能满足此条件，因此， 以后除非特殊需要，一般不再考虑这一条件。
二、指数形式的傅里叶级数 1、指数形式的傅里叶级数的形式
2 设f(t) 为任意周期信号（周期 1 , 角频率1 T ） T1 则其可展开为指数形式的傅里叶级数
f (t )
n
F (n )e
1 t0 T1 jn1t 记 dt 复函数：F (n1 ) Fn T t0 f (t )e 1 其中 n ~ 直流分量：F0 c0 a0
讨论：离散性、收敛性、谐波性
2、 频谱的初步知识——三角波频谱
f ( t ) c0 c n cosn1t n
1
jn1t
f (t ) a0 an cos(n1t ) bn sin(n1t )
n 1
ห้องสมุดไป่ตู้
1 jn1t cos(n1t ) (e e jn1t ) 2 1 sin(n1t ) (e jn1t e jn1t ) 2j
an jbn jn1t an jbn jn1t f (t ) a0 ( e e ) 2 2 n 1
t
0
E 2
F ( n1 )为纯虚函数。
其傅里叶级数表达式为：
f (t ) E 1 1 sin(w1t ) sin(2w1t ) sin(3w1t ) 2 3
（3）奇谐函数信号（半波对称函数）
奇谐函数信号：若波形沿时间轴平移半个周期 并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变 化，即满足： T1 a 0 f (t ) f (t ) 0 2
通常所遇到的周期性信号都能满足此条件，因此， 以后除非特殊需要，一般不再考虑这一条件。
二、指数形式的傅里叶级数 1、指数形式的傅里叶级数的形式
2 设f(t) 为任意周期信号（周期 1 , 角频率1 T ） T1 则其可展开为指数形式的傅里叶级数
f (t )
n
F (n )e
1 t0 T1 jn1t 记 dt 复函数：F (n1 ) Fn T t0 f (t )e 1 其中 n ~ 直流分量：F0 c0 a0
第三章离散傅里叶变换及其快速计算方法(DFT、FFT)
X (e jw )
（2）Z 变换 -- 提供任意序列的 z 域表示。
n
x( n)e jnw
X (z)
n
x ( n) z n
这两种变换有两个共同特征：
（1）变换适合于无限长序列 （2）它们是连续变量 ω 或 z 的函数
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3
3.1 问题的提出：可计算性
X (z)
而对于
n
x ( n) z n
n
x ( n) z n
找不到衰减因子使它绝对可和（收敛）。为此，定义新函 数，其 Z 变换：
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15
DFS 定义：正变换
X ( z)
n
x ( n) z n ~ ( n ) z n x
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6
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 （3）
2. 周期连续时间信号：傅里叶级数 FS
~ (t ) x X (n 0 )
t T
时域周期频域离散
0
2 T
x(t)
~
n -
X(n 0 )e jn0t
时域连续函数造成频域是非周期的谱。 频域的离散对应时域是周期函数。
X (e jT )
T T
X (e jT )e jnT d
取样定理
n
x(nT )e jnT
1 X ( 0 ) T n
时域的离散化造成频域的周期延拓 时域的非周期对应于频域的连续
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8
第3章 傅里叶变换-例题全文编辑修改
1 2
Sa
4
1 e j
π n π
n
π
sin n
4
2 n n π
1 ejnπ n π
4
2
n
sin n π 4
n
1
(1)n
n
π
方法二:利用周期信号的傅里叶级数求解
f(t)的傅里叶级数为
1
Fn T
f (t ) e jn1td t
T
12sin3212nπG12
(
t
下面用三种方法求解此题。
方法一：利用傅里叶变换的微分性质 方法二：利用傅里叶变换的积分性质 方法三：线性性质
方法一：利用傅里叶变换的微分性质
要注意直流，设fA(t)为交流分量， fD(t)为直流分量，则
f t fA t fD t
F FA ω FD ω
f t
2 1
O1
t
f (t) 3/2 D
将 f (t)看成是信号1 cos t 经过窗函数 G2π t 的
截取，即时域中两信号相乘
f (t) 1 cos t G2π(t)
根据频域卷积定理有
F
ω
1
2
F
1
cos t F
G2 π
t
1 2π
2
π
δ
ω
π
δ
ω
1
π
δ
ω
1
2
sinπ ω
ω
2sinπ ω ω ω2 1
例3-8
求信号f (t) Sa(100t)的频宽（只计正频率部分）， 若对f (t)进行均匀冲激抽样，求奈奎斯特频率fN 和奈奎斯特周期TN。
(1)要求出信号的频宽，首先应求出信号的傅里
第三章 傅里叶变换 重要公式
Ts
∞
F (ω
n=−∞
−
nω s
)
9
（2）频域冲激抽样
设 f (t ) ←→ F (ω )
∞
频域冲激抽样 F(ω)δω (ω) = F(ω) ∑δ (ω − nω1 ) n=−∞
（ ω1
=
2π T1
）
时域中以 1 为周期地重复 T1
频域中以间隔ω1 冲激抽样
∑ ∑ 1
ω1
∞ n=−∞
f
(t
−
nT1
第三章 傅里叶变换
重要概念与重要公式
一、傅里叶级数 1、三角函数形式的傅里叶级数 任何周期信号 f (t) 可以分解为
∞
∑ （1） f (t) = a0 + an cos (nω1t ) + bn sin (nω1t ) n=1
傅里叶系数：
∫ ( ) a0
=
1 T1
f t0 +T1
t0
t
dt
∫
cn
c0 = a0 =an2 + bn2
n = 1, 2,3,
ϕn
= − arctan bn an
n
= 1, 2,3,
∞
∑ （3） f (t) = d0 + dn sin (nω1t +θn ) n=1
d
n
d0 = a0 =an2 + bn2
n =1, 2,3,
= θn
a= rctan an n bn
整数倍）的线性组合。 2、信号的频谱
为了直观地表示出信号所含各频率分量振幅的大小，以频率 f（或角频率ω ）
为横坐标，以各次谐波的振幅 cn 或虚指数函数的幅度 Fn 为纵坐标，按频率高低 依次排列起来的线图，称为信号的幅度频谱，简称幅度谱。图中每条竖线代表该 频率分量的幅度，称为谱线。
∞
F (ω
n=−∞
−
nω s
)
9
（2）频域冲激抽样
设 f (t ) ←→ F (ω )
∞
频域冲激抽样 F(ω)δω (ω) = F(ω) ∑δ (ω − nω1 ) n=−∞
（ ω1
=
2π T1
）
时域中以 1 为周期地重复 T1
频域中以间隔ω1 冲激抽样
∑ ∑ 1
ω1
∞ n=−∞
f
(t
−
nT1
第三章 傅里叶变换
重要概念与重要公式
一、傅里叶级数 1、三角函数形式的傅里叶级数 任何周期信号 f (t) 可以分解为
∞
∑ （1） f (t) = a0 + an cos (nω1t ) + bn sin (nω1t ) n=1
傅里叶系数：
∫ ( ) a0
=
1 T1
f t0 +T1
t0
t
dt
∫
cn
c0 = a0 =an2 + bn2
n = 1, 2,3,
ϕn
= − arctan bn an
n
= 1, 2,3,
∞
∑ （3） f (t) = d0 + dn sin (nω1t +θn ) n=1
d
n
d0 = a0 =an2 + bn2
n =1, 2,3,
= θn
a= rctan an n bn
整数倍）的线性组合。 2、信号的频谱
为了直观地表示出信号所含各频率分量振幅的大小，以频率 f（或角频率ω ）
为横坐标，以各次谐波的振幅 cn 或虚指数函数的幅度 Fn 为纵坐标，按频率高低 依次排列起来的线图，称为信号的幅度频谱，简称幅度谱。图中每条竖线代表该 频率分量的幅度，称为谱线。
信号课件第三章傅里叶变换
• 从本章起，我们由时域分析进入频域分析，在频域分析中， 首先讨论周期信号的傅里叶级数，然后讨论非周期信号的 傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数的基础上发展而 产生的，这方面的问题统称为傅里叶分析。
• 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或 指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级 数”。
T1 T1 T1 2
f (t) sin n1tdt 0
2 T1
a0 T1
2
an T1
2 T1
T21
2 T1
2
f (t)dt
f (t) c
2f T1 0
osn1tdt
(t)dt
4 T1
T1 2
0
f (t) cosn1tdt
所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能 含有（直流）和余弦分量。
α>0
F (w) f (t)e jwt dt ete jwt dt 1
0
jw
f (t) 1
t
F(w) 1
2 w2
1/ F( j)
(
)
arctan(
)
( )
/2
/2
2、双边指数信号
f (t)
f (t) e t α>0
1
2/ F()
F (w) f (t)e jwt dt
dt
E
e jnw1t
/2
E
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2
T / 2
T
jnw1
T
/ 2
jnw1
Ts
t
2E T
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2 2 jnw1
• 任何周期函数在满足狄义赫利的条件下，可以展成正交函 数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集或 指数函数集，此时周期函数所展成的级数就是“傅里叶级 数”。
T1 T1 T1 2
f (t) sin n1tdt 0
2 T1
a0 T1
2
an T1
2 T1
T21
2 T1
2
f (t)dt
f (t) c
2f T1 0
osn1tdt
(t)dt
4 T1
T1 2
0
f (t) cosn1tdt
所以，在偶函数的傅里叶级数中不会有正弦项，只可能 含有（直流）和余弦分量。
α>0
F (w) f (t)e jwt dt ete jwt dt 1
0
jw
f (t) 1
t
F(w) 1
2 w2
1/ F( j)
(
)
arctan(
)
( )
/2
/2
2、双边指数信号
f (t)
f (t) e t α>0
1
2/ F()
F (w) f (t)e jwt dt
dt
E
e jnw1t
/2
E
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2
T / 2
T
jnw1
T
/ 2
jnw1
Ts
t
2E T
e jnw1 / 2 e jnw1 / 2 2 jnw1
第三章 傅里叶变换
P=a
2 0
1 2
n 1
an2 bn2
c02
1 2
cn2
n 1
n
Fn
2
；
3、一个特别的性质： e jn e jn
3.1.3 函数的对称性与傅里叶系数的关系
1、波形对称分类：（1）、整周期对称，例如偶函数和奇函数，其可决定级数中只可能含有余弦项或正弦项；（2）半 周期对称，例如奇谐函数，其可决定级数中只可能含有偶次项或奇次项。 2、对称条件： （1）、偶函数：若信号波形相对于纵轴是对称的，即满足 f(t)=f(-t),此时 f(t)是偶函数，偶函数的 Fn 为实数。在偶函 数的傅里叶级数中不会含有正弦项，只可能含有直流项和余弦项。 （2）奇函数：若波形相对于纵坐标是反对称的，即满足 f(t)=-f(-t),此时 f(t)是奇函数，奇函数的 Fn 为虚数。在奇函数 的傅里叶级数中不会含有余弦项，只可能含有正弦项。虽然在奇函数上加以直流成分，它不再是奇函数，但在它的 级数中仍然不会含有余弦项。 （3）寄谐函数：若波形沿时间轴平移半个周期并相对于该轴上下翻转，此时波形并不发生变化，即满足：
n2 1 2
) cos n1t
基波和偶次谐波频率分量。谐波幅度以 1 规律收敛。 n2
其中1
=
2 T1
；其频谱只包含直流、
3.2.5 周期全波余弦信号
1、周期全波余弦信号的傅里叶级数为：
f
(t)
2E
4E 3
cos(1t)
4E 15
cos(21t)
4E 35
cos(31t)
2E
4E
1n 1
第三章 傅里叶变换
傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的；
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4
nw1
w
0
2
幅度谱
相位谱
nw1
4
w
（2）周期矩形脉冲信号的幅度、相位谱
E T1
Cn
n
2
0 w1
2w1
4
nw1
w
0
幅度谱
2
相位谱
nw1
4
w
幅度谱与相位谱合并
c0
Cn
2 4
实数频谱：
w
Fn
0 w12w1
E T1
2 2 4
复数频谱：
0 w1 2w1
t
T1 2
t
sin( w1t )
f (t )
E 2
T1 2 T 1 2
f (t )
E 2
0
E 2
t
T1 2
0
E 2
T1 2
t
cos( w1t )
sin( 2w1t )
四、傅里叶有限级数与最小方均误差
实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。 显然，有限项数是一种近似的方法，所选项数愈多，有 限项级数愈逼近原函数，其方均误差愈小。
w
周期对称方波信号的傅里叶级数
E 2
0
f (t )
T1
T1 / 4
T1 / 4
T1
2w1 3w1
E 2
t
0 w1
5w 4w1 1
w
1 周期对称方波信号的幅度频谱中 收敛规律 n
幅度谱
an
相位谱
n
0
0 w1
2w1 3w1 4w 1
5w1
w
w1
3w1 5w1 7w1
w
(2)周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数求解
t
0
E 2
F ( n1 )为纯虚函数。
其傅里叶级数表达式为：
f (t ) E 1 1 sin(w1t ) sin(2w1t ) sin(3w1t ) 2 3
（3）奇谐函数信号（半波对称函数）
奇谐函数信号：若波形沿时间轴平移半个周期 并相对于该轴上下反转，此时波形并不发生变 化，即满足： T1 a 0 f (t ) f (t ) 0 2
1 t0 T1 2 f (t )dt P f (t ) T1 t0 1 1 2 2 2 2 2 a0 (an bn ) c0 cn 2 n 1 2 n 1
2
n
F
2
n
帕塞瓦尔定理
任意周期信号f(t)的平均功率P等于其傅里叶级数展开 式中各谐波分量有效值的平方和
4 T1 bn 2 f (t ) sin(n1t )dt T1 0
1 c0 a0 0, cn bn , Fn F n bn 2j
n 90
例如：周期锯齿波信号是一奇函数
f (t )
E 2
T1 2 T 1 2
其傅里叶级数三角展开式中 仅含正弦项， 其傅里叶级数指数展开式中
第三章 傅里叶变换
第二节 周期信号的傅里叶级数分析
一、三角函数形式的傅里叶级数 1、一种三角函数形式的傅里叶级数
2 设f(t) 为任意周期信号（周期 1 , 角频率1 T ） T1 则其可展开为三角函数形式的傅里叶级数
f (t ) a0 an cos(n1t ) bn sin(n1t )
n为偶，an bn 0 4 n为奇，an f (t ) cos(n1t )dt T1 4 T1 bn 2 f (t ) sin(n1t )dt T1 0
T1 2 0
例子 奇谐函数
f (t )
E 2
T1 2 T1 2
f (t )
E 2
T 1 2
0
E 2
0
E 2
2.
傅里叶级数的系数求解
T1 2 0
4 1)偶函数信号：an f (t ) cos(n1t )dt T1
f (t )
f ( t ) bn 0
an cn an , Fn F n 2 n 0
2)奇函数信号： a0 0，an 0
f (t ) －f (t )
三、函数的对称性与傅里叶系数的关系 1. 函数的对称性
要将信号f(t)展开为傅里叶级数，如果f(t) 是实函数，且它波形满足某种对称性，则在其 傅里叶级数中有些项为0，留下的各项系数的 表示式也比较简单。 波形对称性有两类： （1）对整周期对称。即偶函数和奇函数。 （2）对半周期对称。即奇谐函数、偶谐函数。
0
T1 2
t
偶函数其傅里叶级数三角展开式中仅含直流项和 余弦项，指数展开式中 F (n1 ) 为实函数。 其傅里叶级数表达式为：
E 4E 1 1 f ( t ) 2 cos(1t ) cos( 31t ) cos( 51t ) 2 9 25
讨论：离散性、收敛性、谐波性
由积分可知
T 2 T 2
cosn 1t sinm 1 t 0
T 2 T 2
T , cosn 1t cosm 1t 2 0,
T , sinn 1t sinm 1t 2 0,
mn mn
T1 T1 为了积分方便，通常取积分区间为：0 ~ T1或 ~ 2 2
2 傅里叶级数的另一种三角函数形式 f(t)展开为常用形式
f (t ) c0 cn cos(n1t n ) 或
n 1
f (t ) d 0 d n sin(n1t n )
n 1
1 1 j n 当n 0时，Fn Fn e an jbn Fn F n e (an jbn ) 2 2 1 2 2 1 其中 Fn a n bn cn 2 2 n n (三角函数形式）
jn
例如：周期三角波信号
f (t )
E
T1 2
nw1
n
nw1 nw1
0
w
w1 0 w1
nw1
w
Fn
幅度谱与相位谱合并
nw1
c0 1 c 1 21 c2 2
w1 0 w1
nw1
w
正、负频率相应项成对合并，才是实际频谱函数。
4. 周期信号的功率特性 —时域和频域能量守恒定理
周期信号的平均功率P： 在一个周期内求平方再求积分。
n 1
1 t0 T1 1 T1 直流分量：a0 t0 f (t )dt 0 f (t )dt T1 T1 2 t0 T1 其中 余弦分量幅度：an f (t ) cos(n1t )dt T1 t0 2 t0 T1 f (t ) sin(n1t )dt 正弦分量幅度：bn t T1 0 n 1, 2, ...
3、 频谱的初步知识——三角波频谱
f ( t ) c0 c n cosn1t n
单边频谱图：cn ~ n1 信号的幅度谱 n ~ n1 信号的相位谱
cn
n 1
c0
c1
c2
c3
0
w1
n
3w1
nw1
其中各频谱分量幅度称为 “谱线”；连各谱线顶点的 曲线称为“包络线”
w
周期信号的主要特点： 离散性、谐波性、收敛性
w1 3w1
nw1
w
0
3.
指数形式表示的信号频谱--复数频谱
Fn一般是复函数，所以称这种频谱为复数频谱。
双边频谱图：Fn ~ n1 复函数幅度谱，
n ~ n1 复函数相位谱
具有离散性、谐波性、收敛性 （负频率的结果仅是数学处理）
Fn
c0 1 c 1 21 c2 2
称为基波。 称为二次谐波。 称为三次谐波。
1
频率为：
3 f1 3T1 3
2
1
可见，直流分量的大小以及基波与各次谐波的 幅度、相位取决于周期信号的波形。 说明：三角函数集是一组完备函数集。
cosn1t , sinn1t 是一个完备的正交函数集
t在一个周期内，n=0,1,...
二、指数形式的傅里叶级数
1、指数形式的傅里叶级数的形式
2 设f(t) 为任意周期信号（周期 1 , 角频率1 T ） T1 则其可展开为指数形式的傅里叶级数
f (t )
n
F (n )e
1
jn1t
2
指数形式的傅里叶级数中各个量之间的关系
1 t0 T1 jn1t 记 dt 复函数：F (n1 ) Fn T t0 f (t )e 1 其中 n ~ 直流分量：F0 c0 a0
f (t )
E 2
T1 2 T1 2
0
E 2
t
其傅里叶级数表达式为：
E 1 1 sin(w1t ) sin(2w1t ) sin(3w1t ) 2 3 E n 1 1 (1) sin(nw1t ) n 1 n f (t )
此信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以1/n的规律收敛。
(3)周期三角脉冲信号的傅里叶级数求解
教材107
f (t )
E
其傅里叶级数表达式为：
f (t )
T1 2
0T1 2tE 4E 1 1 2 cos(w1t ) cos(3w1t ) cos(5w1t ) 2 9 25
E 4E 1 2 n 2 2 sin ( ) cos(nw1t ) 2 n1 n 2