第4章傅立叶变换例题精编版
傅里叶变换公式精编版
傅里叶变换公式精编版傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具，它被广泛应用于信号处理、通信系统、图像处理以及其他领域。
傅里叶变换可以将一个复杂的周期或非周期信号分解成多个简单的正弦和余弦函数的叠加。
本文将对傅里叶变换的公式进行精编，并介绍其基本原理和应用。
首先，傅里叶变换的基本公式可以表示为：F(w) = ∫[f(t)e^(-jwt)]dt其中，F(w)是信号f(t)的频域表示，w是频率，t是时间。
傅里叶变换将信号f(t)转换为一个复数域的函数F(w)，表示各个频率成分的幅度和相位信息。
根据基本公式可以推导出傅里叶变换的逆变换公式：f(t) = 1/(2π)∫[F(w)e^(jwt)]dw逆变换公式将频域表示F(w)转换为时域信号f(t)，表示各个频率成分在不同时间上的叠加情况。
傅里叶变换和逆变换是互逆的过程，可以相互转换信号的时域和频域表示。
在应用中，傅里叶变换经常使用快速傅里叶变换（FFT）算法进行计算，以提高计算效率。
快速傅里叶变换是一种将傅里叶变换的计算复杂度从O(n^2)优化到O(nlogn)的算法。
它通过利用信号的特性和对称性，将信号分解为不同频率分量的计算子问题，从而加速傅里叶变换的计算过程。
傅里叶变换有很多重要应用，其中之一是信号滤波。
通过傅里叶变换，可以将信号转换到频域进行滤波，然后再通过逆变换将滤波后的信号转换回时域。
这种方法可以有效地去除信号中的噪声或不需要的频率成分，提高信号的质量和可靠性。
另外，傅里叶变换还可以应用于信号分析和频谱分析。
通过对信号进行傅里叶变换，可以得到信号的频域表示，进而分析信号的频谱特性、频率成分以及各个频率分量之间的相互关系。
这对于理解信号的时频特性以及判断信号的特征非常有帮助。
此外，傅里叶变换还可以应用于图像处理和压缩。
在图像处理中，傅里叶变换可以将图像从空域转换为频域，实现像素的分析和处理。
在压缩领域，傅里叶变换可以通过分析和减小图像中高频部分的信息来实现图像的压缩，减小存储和传输的开销。
第4章例题
例4：时移性质，求 ：时移性质，
F ( jω )
f ( t ) = f1 ( t ) + f 2 ( t )
f1 ( t ) = g 6 ( t 5 ) 6 Sa ( 3ω ) e j 5ω
f 2 ( t ) = g 2 ( t 5 ) 2 Sa (ω ) e j 5ω
∴ F ( jω ) = 6Sa ( 3ω ) + 2Sa (ω ) e j 5ω
例10:如图所示信号 f (t ) 已知其傅里叶变换 F( jω) = F( jω) e j(ω) 如图所示信号 ， 利用傅里叶变换的性质（不作积分运算），求 利用傅里叶变换的性质（不作积分运算），求： ），
1 jω (4) 画出 F j ω 2 e 2所对应的时域信号的波 。 形 2 (5) 画出Re[F( jω)]所对应的时域信号的波 。 形 f (t ) F ( jω ) e jω 解： f ( t ) = f ( t 1)
t
1 ω ∴ 2π e ε ( ω ) 1 + jt
1 ω ∴ 2π e ε (ω ) 1 jt
例3-1
已知 1(ω) = F[ f1(t )], 利用傅里叶变换的性质 F , F 求 2 (ω) = F[ f1(6 2t )]。
方法一： 方法一： 按反褶－尺度－时移次序求解 按反褶－尺度－
0
3000π
1 Tmax= s 3000 ω
（2）当 T = Tmax时，画出 fs (t )的幅度谱 F( jω) 。 ） 梯形周期延拓， 梯形周期延拓，周期为 幅度为3/2。 6000π ，幅度为 。
例题:4.47如图所示的系统 已知 如图所示的系统,已知 例题 如图所示的系统
f (t ) =
第四章 傅里叶变换及应用
0
j
a
f(x ) F ()e j
U (,t) () cos at () sin at
a
() e jat e jat () e jat e jat
2
a
2j
x
f()d
F ()
0
j
1 2
()ejat ()ejat
1 2a
() j
e
jat
() j
e
jat
u(x,t)
1 2
(x,
y,
0)
(x,
y)
n1
m1
bmn
mnc
sin
m
a
x
sin
n
b
y
由于三角函数系的正交性, 得
amn
4 ab
a 0
b(x, y)sin m x sin n y dxdy,
0
ab
bmn
4
abc mn
a 0
b
(
x,
y)
sin
m
x
sin
n
y
dxdy,
0
ab
第四章 傅里叶变换及应用
傅里叶变换是积分变换的一种， 它可用来求解无界区域上的定解问题。
F(x ,y ,z )
f (x, y, z)e j(xxy yzz)dxdydz （3）
当然，我们也可以定义傅立叶逆变换
f
(x,
y,
z)
1
(2
)3
F (x ,y ,z )e j(xxy yzz)dxdydz （4）
傅立叶变换的性质:
1） 线性性质 设 f, g 是绝对可积函数，, 是任
意复常数，则
傅里叶变化例题
[ (t t0 )] e jt0 1 (t t0 ) e jt0
(4―75)
直流信号1的频谱函数
例 3.4-6 求直流信号1的频谱函数。
f (t) 1
o (a)
图 3.4-6 直流信号f(t) (a) 直流信号f(t); (b) 频谱
F(j )
2 ( )
o
(b)
解 直流信号1可表示为
2 T
0 T
2
(1)sin(2 nft)dt 2
T
T 2 0
1 sin(2 nft)dt
2 T
1
2 nft
[ cos(2 nft)]
0 T
2
2 T
1
2 nf
[ cos(2 nft)]
T
2 0
2 (1 n ) n
0,
4
n
n 2, 4,6, n 1,3,5,
c 2 T
T
2 T
2
例4―9利用奇偶虚实性求图4.11单边指数信 号f(t)=2e-αt u(t)的频谱。
f (t) 2
0
t
(a)
fe(t)
1
0
t
(b)
fo(t) 1
0
t
－1
(c)
图4.11 单边指数信号及其频谱
解 从波形图（a）上可见,单边指数信号f(t) 是非偶非奇函数,但可分解为如图（b）,（c） 所示的偶函数和奇函数两部分,见下式。
j j
2 2
2
(4―43)
f (t) 1
0
t
(a)
F ( )
2
1
－ 0
(b)
图4.8 双边指数信号及其频谱
奇对称双边指数函数的频谱函数
第4章傅立叶变换例题
ω 2
e
1 a
j
3ω
F
ω a
e
jt0 a
这里a -2, t0 6代入上式，得
F
f1 6
2t
1 2
其它方法自己练习。
F1
ω 2
e
j 3ω
例4：时移性质，求 F j
f t f1 t f2 t
f1 t g6 t 5 6Sa 3 e j5 f2 t g2 t 5 2Sa e j5
3
f t
fe t
2
பைடு நூலகம்
1
1
3
1 0 1 t
3 1 0 1
3t
例11:系统如图所示, f1t Sa 1000t , f2 t Sa 2000t ,
pt t nT , f t f1t f2t , fs t f t pt
n
(1)为从 fs t 无失真恢复 f t ,求最大抽样间隔Tmax 。
R
jX
R
jX
jX
例10:如图所示信号 f t，已知其傅里叶变换 F j F j e j
利用傅里叶变换的性质（不作积分运算），求：
1 ;
2 F 0 ;
3
F
j d
4
画出 1 F 2
j 2
e j 2所对应的时域信号的波 形。
5 画出 ReF j 所对应的时域信号的波 形。
解：f t f t 1 F j e j
f t
F j F j e j 0
2
1
f t F j e j 1 0 1
t 3
1
F ω f tejωtd t
f t 1 F ωejωtd ω
2 π
2010第4章第5章习题解答离散傅里叶_[1]...
![2010第4章第5章习题解答离散傅里叶_[1]...](https://img.taocdn.com/s3/m/1233b7826529647d27285245.png)
第四章 离散傅里叶变换4.1 已知信号4()()x n R n = 求66()((2))()y n x n R n =+解：6((2))x n +是对()x n 以6为周期作周期延拓，再左移2点，最后取主值区间的序列得到：()()(1)(4)(5)y n n n n n δδδδ=+-+-+-x=0:3;y=[1,1,1,1];stem(x,y);axis([0 10 -0.5 1.5]);title('R4(n)');4.2 已知信号3()(2)x n R n =-，求66()((2))()y n x n R n =+(重新画出()x n 和()y n ,保留画图的MATLAB 程序,周期延拓的序列6()((2))y n x n =+也画出来)解：663()((2))()()(1)(2)()y n x nRn n n n R n δδδ=+=+-+-=4.3 计算序列N 点的DFT ，主值区间01n N ≤≤- (1) ()()x n n δ=解:1()(),01()N kn Nn N X k n Wk N R k δ-==≤≤-=∑(2) 0()()x n nn δ=- ，001n N <<-解: 1()()N knN n X k n nW δ-==-∑ 01k N ≤≤-()kn N N W R k =⋅(3) ()()m x n R n = ,01m N <<-解: 1()()()N knmN N n X k Rn W R k -==⋅∑ （4） ()()m x n nR n = ， 01m N <<-解 1()()()N knmN N n X k n Rn W R k -==⋅⋅⋅∑(5) x(n)=1解 112/0()()()N N kn j kn NNN N n n X k WR k eR k π---===⋅=⋅∑∑221()1j k N k jNe R k eππ---=⋅-（6）0()()j nm x n eR n ω=⋅解 012/0()()()N j nj kn Nm N n X k eR n e R k ωπ--==⋅⋅⋅∑4.4 1325()(),()()x n R n x n R n ==，计算12()()x n x n *解 1235()()()()()y n x n x n R n R n =*=* 7530()()m Rm R n m ==⋅-∑()2(1)3(2)3(3)3(4)2(5)n n n n n n n δδδδδδδ=+-+-+-+-+-+-y(0)=1 , y(1)=2, y(2)=3, y(3)=3, y(4)=3, y(5)=2, y(6)=14.5 )(2)(321n R nn x =，)()1()(52n R n n x +=，计算)()(21n x n x *解4.6 )()(31n R n x =，)()(52n R n x =，计算)()(21n x n x ⊗,取圆周卷积长度为L=7 解 因为13N =,25N =,所以1217N N +-=,该题满足圆周卷积长度L ≥7,所以圆周卷积计算结果和线性卷积计算结果相等()()2(1)3(2)3(3)3(4)2(5)c y n n n n n n nn δδδδδδδ=+-+-+-+-+-+-4.7 )()(51n R n x =，)()(52n nR n x =，计算)()(21n x n x ⊗，取圆周卷积长度为L=7 解n 0 1 2 3 465550.(()).()m m Rn m R m =-∑11111105()m R m555(())()R n m R m -1 1 1 1 1 1 102 1 1 1 1 1 103 1 1 1 1 1 104 1 1 1 1 1 105 1 1 1 1 1 106 11111104.8 )(2)(421n R nn x =，)()(42n nR n x =，计算)()(21n x n x ⊗,取圆周卷积的长度L=7解 214119()()(){0,,2,}222n x n R n x n ==即242()()(){0,1,2,3}x n nR n x n ==即两个序列的长度充零后分别为1219(){0,,2,,0,0,0}(){0,1,2,3,0,0,0}22x n x n ==12()()()y n x n x n =⊗x=0:6;y1=[0,1/2,2,9/2,0,0,0]; axis([0 10 -0.5 1.5]); y2=[0,1,2,3,0,0,0]; y=conv(y1,y2) stem(y);y =0 0 0.5000 3.0000 10.0000 15.0000 13.5000127()(2)3(3)10(4)15(5)(6)22y n n n n n n δδδδδ=-+-+-+-+-4.9 )()(5k R k X =，计算 )]([)(k X IDFT n x = 解 455501()[()]()5nkK x n ID FT R k R k W -===∑ 04n ≤≤25415j n kk eπ==∑224552511..51jn jnj n e e e πππ-=-2552511.51j nj n e e ππ-=- 22511.51j nj n ee ππ-=-4.10对序列进行频谱分析，要求频谱分辨率100F Hz ≤，信号最高频率3000c f Hz =。
《数字信号处理教学课件》第四章 快速傅立叶变换
l
)W
( 2l 1) N /2
k
l0
l0
N / 41
N / 41
x5
(l
)W
lk N/
4
Wk N /2
x6
(l
)W
lk N/
4
l0
l0
X
5
(
k
)
W
K N/
2
X
6
(
k
)
X2(k)
X
5
(k
)
W
k N
/
2
X
6
(
k
)
X 2 (k
N 4)
X
5
(
k
)
W
k N
/
2
X
6
(
得到：
x(2r) x1(r) x(2r 1) x2(r)
r 0,..., N 2 1
带入DFT中
X (k) DFT[ x(n)]
N 1
x(n)WNnk n0
N 1
N 1
x(
n)W
nk N
x(n)W
nk N
n0
n为 偶 数
n0
n为 奇 数
N点 DFT
复乘：
N2
N/2点 DFT
N/2点 DFT
N/4点 DFT N/4点 DFT N/4点 DFT N/4点 DFT
…….
N
2
N
2
2 2
N2 2
N
傅里叶变换Fouriertransform
傅立叶变换
例题2 将矩形脉冲 f (t) = h rect(t/2T)展开为傅立叶积分。 解： 先求出 f (t) 的傅立叶变换 代入傅立叶积分公式，得
例题3 求对称指数函数f(t)的傅立叶变换 傅立叶变换
狄拉克函数
本章小结
傅立叶级数 周期函数的三角展开公式； 基本三角函数的性质。 傅立叶变换 非周期函数的三角展开公式； 傅立叶变换的性质。 狄拉克函数 狄拉克函数概念； 狄拉克函数性质； 狄拉克函数功能。
作 业
P73 6-2 (3) (1) (3) (1)
实施：
展开公式
困难
展开系数 cn 为无穷小； 幂指数 nx/L 不确定。
解决方法： 把 nπ/L 作为新变量，即定义ωn = nπ/L ； 把 cnL/π作为新的展开系数，即定义F(ωn)=cnL/π. 公式的新形式： 展开公式：
展开系数：
取极限： 傅立叶变换：
傅立叶积分：
傅立叶变换
傅立叶变换
傅立叶变换
傅立叶变换的性质 一般假定 f(x) → F(ω)， g(x) → G(ω) 奇偶虚实性 f(x)为偶函数，F(ω)=∫f(x)cos(ωx)dx/(2π)为实函数； f(x)为奇函数，F(ω)=-i∫f(x)sin(ωx)dx/(2π)为虚函数 线性性质 k f(x) → k F(ω)； f(x)+g(x) → F(ω)+ G(ω) 分析性质 f ’(x) → iωF(ω)；
典型周期函数(周期为2π)
傅立叶级数
添加标题
理论意义：把复杂的周期函数用简单的三角级数表示；
01
添加标题
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2cos t 1 cos 2t
H
j
e
j
3
,
1.5rad / s
yt
1
0, 2 cos(t
1.5rad
)
/
s
f t
f tst
H j
yt
3
st
4.44如图所示系统,已知
f t
2
sa 2t
,
H j
j sgn
,
cos4t
求系统的输出 yt .
解:
f
t
2
sa
2t
f t
y1 t
已知某系统的系统函数，H ω 1 输入信号x(t)为
jω 5
(1)cos 3t, (2)sint，试求系统的零状态响应y(t)。
方法1
H ω 1
1
jarctan ω
e
5
jω 5 ω2 32
即 幅度加权
1 ω2 32
,相移
arc tan ω 5
cos 3t作为输入的输出为
1 cos3t arc tan 3
：载波角频率
0
频谱结构
m时，G( ) 0 gt
O
t
f (t) g(t) cos0t
cos 0 t
0 m
O
t
F( )
1 2
G(
0 ) G( 0 )
gt cos0t
O
t
G( ) A
O
m
m
F cos0t
(π )
0
O
(π )
0
F ( )
A
A
2
2
0
O 0 m 0 0 m
2．解调
2
dt
2
dx 1 x2
2
根据 f 2t dt 1 F j 2d
2
2
dx 1 x2
2
e t
2 2
2
1 et 2
1
1
2
dx 1 x2
2
2
1 e t
2
dt
2
2
作业:
4.8
4.171
4.27
4.11
4.1834
4.34
4.13bc 4.207
4.14e
32 52
5
（2）同理 sin t 作为输入的输出为
1 sin t arctan 1
12 52
5
正余弦响应法 已知某系统的系统函数，H ω 1 输入信号x(t)为
jω 5 (1)cos 3t, (2)sint，试求系统的零状态响应y(t)。
方法2 所以
Xω πδ ω 3δ ω 3
Hω 1
jω 5
Yω XωHω
π δ ω 3 π δ ω 3
5 j3
5 j3
π
jarc tan1 3
e
5δ ω3
ω 2
e
1 a
j
3ω
F
ω a
e
jt0 a
这里a -2, t0 6代入上式，得
其它方F法 f自16己练2t习 。12
F1
ω 2
e
j
3ω
例4：时移性质，求 F j
f t f1 t f2 t
f1 t g6 t 5 6Sa3e j5 f2 t g2 t 5 2Sae j5
n
(1)为从 fs t 无失真恢复 f t ,求最大抽样间隔Tmax 。
（2）当 T Tmax时，画出 fs t 的幅度谱 F j 。
f1t 时域相乘 f t 时域抽样 fs t
解：(1)
f2 t
pt
f1 t
Sa 1000t
1 1000
g2000
f 2 t
Sa
2000t
1 2000
F j 6Sa 3 2Sa e j5
例5：频移性质
求：f t e j3t F j?
1 2
e j3t 1 2 3
例6：卷积定理
求： sitn t
2
F
j
?
g2 t 2Sa
2Sat 2g2
Sat g2
sin t t
2
1
2
g2 g2
2
g2
g2
例7：时域微分
求不失真恢复G(w)的H(w) 的幅度及wc的范围
将已调信号恢复成原来的调制信号的过程。
g(t)cos0t 相乘
g0 t 理想低通 g(t)
本地载波， 与发送端载波
同频同相
cos 0 t
g0 (t )
g(t)cos20t
1 2
g(t)1
cos20t
G0 ()
1 2
G()
1 4
G(
20
)
1 4
即
1 200
G200
t
Sa100ω
利用傅里叶变换的对称性
Sa100t
2π
1 200
G200ω
π 100
G200ω
f(t)的波形和频谱图如下
f t
1
F ω
100
π π
t
100 100
所以信号的频带宽度为
fm
ωm 2π
50 Hz π
100 O
ωm 100rad/s
100
（2）
fm
ωm 2π
50 π
1 j
1 j
即
et2 1 t e3 j
1 j
例13： 1.求f t e2t t 1的频谱密度函数。 2.已知F j cos(4 3)，求f t .
解：2、F j cos(4 3)
F
j
cos(4
3)
e
j4 3
e 2
j4 3
f t e j 3 t 4 e j 3 t 4
2
1 10 10 10
2
例13：1.求f t e2t t 1的频谱密度函数。
2.已知F j cos(4 3)，求f t .
解：1、 f t e2t t 1
et t 1
1 j
et t 1
1 j
et1 1 t e j e3et1 1 t e3 j
2
2
4.28计算下列积分值。
1
sin t t
2
dt
2
dx 1 x2
2
根据 f 2t dt 1 F j 2d
2
1
sin t
t
2
dt
g2t 2Sa Sa t g2
sin t
t
2
dt
1
2
1
2d
1
4.28计算下列积分值。
1
sin t t
2t
1 2
F1
ω 2
F
f1 6
2t 1 2F1来自ω 2e j 3ω
方法二：
按反褶－时移－尺度次序求解
已知
F1ω F f1t
对t反褶
F f1 t F1ω
对t时移6, 得 F f16 t F1ωej6ω
对t压缩2倍 F f16
方法三 利用傅里叶变换的性质
2t Ff
1 2
F1
at t0
sgn t
求：f
2
t
1 t2
F
j ?
j
2 2 sgn
jt
1 j sgn
t
d dt
1 t
j
j
sgn
sgn
1 t2
sgn
例8：频域微分
特别：当n=1时，
tf
jt n f t F n
t j dF j
j
d
nF
d
j
n
d
若已知 f t F j ，求 1t f 1t 的频谱
4.23
4.41 4.45 4.48
抽样
求信号f (t) Sa(100t)的频宽（只计正频率部分），若对 f (t)进行均匀冲激抽样，求奈奎斯特频率fN和奈奎斯特 周期TN。
(1)要求出信号的频宽，首先应求出信号的傅里叶变
换F(ω)。
已知
令τ
Gτ
t
τ
Sa
t
2
100ω ,则τ＝200
2
所以 G200 t 200Sa100ω
(A) f(t) = cos(t) + cos(8t) (B) f(t) = sin(2t) + sin(4t) (C) f(t) = sin(2t) sin(4t) (D) f(t) = cos2(4t)
正余弦响应法 已知某系统的系统函数，H ω 1 输入信号x(t)为
jω 5 (1)cos 3t, (2)sint，试求系统的零状态响应y(t)。
G(
20
)
G0( )H( ) G( )
频谱
求不失真恢复G(w)的H(w) 的幅频特性及wc的范围
A G0 ( )
2
A
4
H ( )
2
2 0
O mc
G( ) A
2 0
c O c
m c 20 m
O m
失真 例16：系统的幅频特性|H(jω)|和相频特性如图(a)(b) 所示，则下列信号通过该系统时，不产生失真的是
利用傅里叶变换的性质（不作积分运算），求：
1 ;
2 F0 ;
3
F jd
4
画出1 F 2
j 2
e j 2所对应的时域信号的波形。
5 画出ReF j所对应的时域信号的波形。
解：f t f t 1 F je j