3第四章短时傅里叶变换解析
04 第四讲 时频分析——短时Fourier变换
连续时间信号的短时傅立叶变换定义为：
STFTs (t , ) s( ) ( t )e
*
d
式中， (t ) 通常是一个时间宽度很短的函数，称 为分析窗函数。因此短时傅立叶变换又称为窗口 傅立叶变换。
意义
STFT是窗口位置和频率的二元函数，是将s (t ) 映射到一个时频平面。当 变化时，时窗 (t ) 沿着 t 轴滑动，将原为非平稳的信号分段化 为若干局部平稳信号。然后分别对它们取 傅立叶变换，得到一组信号的局部频谱。 这样便能从不同时刻局部频谱的差异，观 察到信号的时变特征，大致反映信号s (t ) 在 t 时刻的频率为 的信号成分的相对含量，达 到对非平稳信号分析的目的。
1 jt * ' j 't STFTs (t , ) e S ( ) ( )e d ' 2 在频率 处的短时傅立叶变换本质上是信号s 通
* ' 的滤波结果。故为了获得 过带通滤波器
高的频率分辨率，必须要求这个带通滤波器有窄 的带宽。 根据测不准原理，这是矛盾的。
t t
t
t
STFTs (t , ) s( ) * ( t )e j d
STFT的性质
1、时移性
s(t ) s(t t0 ) e jt0 s(t )
~
STFT~ (t , ) e jt0 STFTs (t t0 , )
其相应的图谱为：
Ps t , STFTs t , 2 e
2
2 2 0
例2
线性调频信号
短时傅里叶变换的有关资料
短时傅里叶变换短时傅里叶变换（STFT，short-time Fourier transform，或short-term Fourier transform)）是和傅里叶变换相关的一种数学变换，用以确定时变信号其局部区域正弦波的频率与相位。
它的思想是：选择一个时频局部化的窗函数，假定分析窗函数g(t)在一个短时间间隔内是平稳（伪平稳）的，移动窗函数，使f(t)g(t)在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。
短时傅里叶变换使用一个固定的窗函数，窗函数一旦确定了以后，其形状就不再发生改变，短时傅里叶变换的分辨率也就确定了。
如果要改变分辨率，则需要重新选择窗函数。
短时傅里叶变换用来分析分段平稳信号或者近似平稳信号犹可，但是对于非平稳信号，当信号变化剧烈时，要求窗函数有较高的时间分辨率；而波形变化比较平缓的时刻，主要是低频信号，则要求窗函数有较高的频率分辨率。
短时傅里叶变换不能兼顾频率与时间分辨率的需求。
短时傅里叶变换窗函数受到W.Heisenberg不确定准则的限制，时频窗的面积不小于2。
这也就从另一个侧面说明了短时傅里叶变换窗函数的时间与频率分辨率不能同时达到最优。
短时距傅里叶变换维基百科，自由的百科全书汉漢▼[编辑]与傅里叶转换在概念上的区别 将信号做傅里叶变换后得到的结果，并不能给予关于信号频率随时间改变的任何信息。
以下的例子作为说明：傅里叶变换后的频谱和短时距傅里叶转换后的结果如下：傅里叶转换后, 横轴为频率(赫兹)短时距傅里叶转换,横轴为时间(秒)，纵轴为频率(赫兹)由上图可发现，傅里叶转换只提供了有哪些频率成份的信息，却没有提供时间信息；而短时傅里叶转换则清楚的提供这两种信息。
这种时频分析的方法有利于频率会随着时间改变的信号(例如:音乐信号、语音信号等)分析。
[编辑]定义[编辑]数学定义 简单来说，在连续时间的例子，一个函数可以先乘上仅在一段时间不为零的窗函数再进行一维的傅里叶变换。
短时傅里叶变换
短时傅里叶变换简介短时傅里叶变换（Short-time Fourier Transform，STFT）是一种常用的信号分析方法，用于在时域和频域之间进行转换。
它可以将信号分解成不同频率的成分，并同时提供这些频率成分在时间上的变化情况。
STFT是一种时频分析方法，适用于非平稳信号的频谱分析。
在实际应用中，许多信号都是非平稳的，即其频谱随时间变化。
STFT通过将信号分成小的时间窗口，并对每个时间窗口进行傅里叶变换来分析信号的频谱，从而捕获到信号的时频特性。
算法步骤STFT算法包含以下几个主要步骤：1.选择窗口函数：首先需要选择一个窗口函数来将原始信号分成多个窗口。
常用的窗口函数包括汉明窗、矩形窗等。
2.将窗口函数应用到信号：将选定的窗口函数应用到原始信号上，得到多个时间窗口的信号片段。
3.将每个时间窗口信号做傅里叶变换：对每个时间窗口的信号片段进行离散傅里叶变换（Discrete FourierTransform，DFT），得到每个时间窗口的频谱。
4.将频谱拼接起来：将每个时间窗口的频谱按照时间顺序拼接起来，得到完整的时频图。
STFT的应用STFT在许多领域都有广泛的应用，包括音频处理、语音识别、图像处理等。
在音频处理领域，STFT被用于音频特征提取、音频信号压缩、音乐分析等。
通过对音频信号进行STFT，可以提取出音频的频率特征，进而进行音频信号的处理和分析。
在语音识别领域，STFT常用于语音信号的特征提取。
通过对语音信号进行STFT，并提取出关键的频率成分，可以有效地识别和分析语音信号。
在图像处理领域，STFT被用于图像的纹理分析、边缘检测等。
通过对图像进行STFT，可以将图像转换成频域表示，从而更好地理解图像的结构和特征。
STFT与傅里叶变换的区别STFT和傅里叶变换都是频谱分析的方法，但它们有一些区别。
傅里叶变换是一种对整个信号进行变换的方法，它将信号分解成不同频率的正弦和余弦分量。
傅里叶变换对于平稳信号的频谱分析非常适用，但对于非平稳信号则不太适用。
短时傅里叶变换 c++
短时傅里叶变换 c++傅里叶变换是信号处理领域中一种重要的数学工具，可以将时域信号转换为频域信号，从而方便了对信号的分析和处理。
短时傅里叶变换是傅里叶变换的一种特殊形式，适用于处理短时信号，如语音信号、音频信号等。
一、短时傅里叶变换的基本原理短时傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的方法，通过将信号分解为多个频段，可以对信号进行特征提取、滤波、压缩等处理。
其基本原理是将信号分成短时间段，在每个时间段内进行傅里叶变换，从而得到该时间段的频域信息。
二、短时傅里叶变换的算法实现短时傅里叶变换的算法实现主要包括以下步骤：1. 定义窗口函数，将信号分成多个时间段，每个时间段使用窗口函数进行覆盖。
2. 对每个时间段进行傅里叶变换，得到频域信息。
3. 对频域信息进行进一步处理，如滤波、压缩等。
4. 将处理后的信号重新组合成原信号。
在算法实现中，需要注意窗口函数的选取和设计，以适应不同类型和特性的信号。
同时，还需要考虑算法的稳定性和计算效率，以便在实际应用中能够快速、准确地处理信号。
三、短时傅里叶变换的应用场景短时傅里叶变换适用于处理短时信号，如语音信号、音频信号等。
在通信、语音识别、图像处理等领域中，短时傅里叶变换得到了广泛的应用。
通过短时傅里叶变换，可以对信号进行特征提取、滤波、压缩等处理，从而提高信号的质量和传输效率。
四、短时傅里叶变换的优缺点短时傅里叶变换的优点主要包括：1. 适用于处理短时信号，能够有效地提取信号的频域特征。
2. 算法简单易行，计算效率较高。
3. 可以对信号进行滤波、压缩等处理，提高信号的质量和传输效率。
然而，短时傅里叶变换也存在一些缺点：1. 无法完全反映信号的全局特征，可能会忽略一些重要的信息。
2. 对于某些特殊类型的信号，短时傅里叶变换的效果可能不太理想。
五、结论短时傅里叶变换是一种重要的数学工具，适用于处理短时信号。
通过对其基本原理、算法实现、应用场景和优缺点的分析，我们可以更好地理解和应用短时傅里叶变换。
第四章-傅里叶变换
离散傅里叶级数涉及到的都是有限项求和，因此只要 ~x(n) 是有 界的，即对所有的 n，都有 |~ x(n)|，则 DFS 的收敛不存在任 何问题。或者说，只要在一个周期内 ~x(n) 的能量是有限的，即
则 DFS 一定收敛。
|~x(n)|2
nN
1. 连续和离散傅里叶级数
周期信号用截短了的傅里叶级数近似：
如果把周期信号 ~x(t)和 ~x(n) 分别展成它们的 CFS 和 DFS，并把
无限项的 CFS 和有限项的 DFS 在某一处截断，分别得到：
~xM(t)
M
X(kΩ0)ejkΩ0t
kM
~ x M (n )2 M 1 1 k M M X ~ (k0 )ej k 0 n , (2 M 1 ) N
nN
这两个公式表明，任意周期序列 ~x(n)都可以表示为与其重复频率 ω0 成谐波关系的一系列复正弦序列 ejω0n 的线性组合，每个 ejω0n 的复数幅度就是离散傅里叶级数的系数 X(kω0)。 CFS 与 DFS 的区别： CFS 是一个无穷级数，而周期为 N 的周 期序列的 DFS 却是一个有限级数，它只有 N 项，即：
(2N1+1)
…
…
─N
0
N
k
1.连续和离散傅里叶级数
周期信号频谱的特点： 1. 连续时间和离散时间周期信号的频谱都是离散频谱，两条
谱线之间的间隔等于重复频率（ Ω0 =2π/T 或 ω0 =2π/N）。 2. 连续时间周期信号包含无穷多条谱线，即有无穷多个成谐
波关系的复正弦分量组成；离散时间周期信号的谱线具有 周期性，在频域上为 2π，在 k 域上为 N。
x(t) akejkt
k
x(n) akejkn
3第四章短时傅里叶变换解析
4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释
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4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释
根据功率谱定义，可以写出短时功率谱与短时傅里叶变
Sn (e j ) X n (e j ) • X *n (e j ) | X n (e j ) |2
式中* Rn (k) w(n m)x(m)w(n k m)x(m k) 的傅里叶变换。 m
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4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释
用波形乘以窗函数，不仅为了在窗口边缘两端不引起急剧变 化，使波形缓慢降为零，而且还相当于对信号谱与窗函数的 傅里叶变换进行卷积，采样。
为此窗函数应具有如下特性： ① 频率分辨率高，即主瓣狭窄、尖锐；（矩形窗） ② 通过卷积，在其他频率成分产生的频谱泄漏少，即旁瓣 （海明窗）
窗口宽度N、取样周期T和频率分辨率Δf Δf＝1/NT
窗口宽度↑→频率分辨率↑ 时间分辨率↓ 窗口宽度↓→频率分辨率↓ 时间分辨率↑
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4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释
第一个零点位置为2πk/N，显然它与窗口宽度成反比。 矩形窗，虽然频率分辨率很高，但由于第一旁瓣的衰减只有 13.2dB，所以不适合用于频谱成分动态范围很宽的语音分析 中。 海明窗在频率范围中的分辨率较高，而且由于旁瓣的衰减大 于42dB，具有频谱泄漏少的优点，频谱中高频分量弱、波动 小，因而得到较平滑的谱。 汉宁窗是高次旁瓣低，第一旁瓣衰减只有30dB。
与图4-2相反，图4-3只 大约在400、1400及 2200Hz 频率上有少量 较宽的峰值。它们与 窗内语音段的前三个 共振峰相对应。比较 图4-3(b)及(d)的频谱后， 再次表明矩形窗可以 得到较高的频率分辨
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短时傅里叶变换
短时傅⾥叶变换时间分辨率和频率分辨率时间分辨率：信号频率随时间变化，要将这种频率变化分辨出来。
⾃然，窗越短越好，以使得在窗内信号频率近似不变。
频率分辨率：同⼀时间段有两个（或更多）不同频率的信号叠加在⼀起，要将这两个信号分辨出来。
那么，窗越长越好，以使得窗内两个不同频率的信号能展现出明显差异：例如，100Hz的信号和100.1Hz的信号叠加，⼀两个周期恐怕看不出来，必须要⾜够多的周期才能区别开。
短时傅⾥叶变换可以看做移位信号x[n+m]通过窗w[m]的傅⾥叶变换。
当n改变时，信号x[m]滑动着通过窗w[m]。
对每⼀个n，可以看到信号的⼀段不同部分。
当然，也可以看做将窗平移，⽽保持傅⾥叶分析的时间原点固定不变，由此可以得出稍许不同的另⼀个短时傅⾥叶变换定义式。
当窗对于所有m均为1，即不加窗时，X[n, λ)=Σx[n+m]e-jλm=Σx[n+m]e-jλ(n+m)e jλn=X(e jλ)e jλn。
因为短时傅⾥叶变换包含信号的平移，所以上式也就可以理解了：平移带来相位的变化，于是X[n, λ)=X(e jλ)e jλn。
（点n附近的序列移动到原点附近）另外，若设m'=n+m，短时傅⾥叶变换还可以写成下⾯的形式：X[n, λ)=Σx[m']w[-(n-m')]e jλ(n-m')。
若设hλ[n]=w[-n]e jλn，那么短时傅⾥叶变换就是x[n]和hλ[n]的卷积（固定λ）：傅⾥叶变换本⾝就满⾜交换性质和线性性质，短时傅⾥叶变换恰好⼜具备类似卷积的滑动过程。
对不同的λ（频率），hλ[n]相当于对w[n]乘以不同频率的复指数信号（施加不同频率的复指数权），以便能够将x[m]的相应频率成分提取出来。
我们固定n时，信号和窗没有相对滑动，这样信号和窗的乘积在频域就相当于两者频谱的卷积。
在做这样的卷积时，我们滑动W(e jω)得到Hλ(e jω)=W(e j(λ-ω))，得到⼀个通带中⼼位于ω=λ的带通滤波器，这个滤波器的通带宽度（近似？）等于窗的傅⾥叶变换之主瓣的宽度。
傅里叶变换短时傅里叶变换小波变换
傅里叶变换短时傅里叶变换小波变换傅里叶变换是信号处理领域常用的一种数学方法，用于将信号在不同频率上的成分分离开。
它是将一个信号表示为一系列正弦和余弦函数的和。
傅里叶变换的原理是将一个函数在时间域上的表示转换为频域上的表示。
傅里叶变换可以将一个时域上的信号分解成许多不同频率的正弦和余弦波的叠加。
这种分解使得我们可以更好地理解信号的频域特性。
傅里叶变换的公式定义如下：F(ω) = ∫[f(t) * e^(-iωt)] dt其中，F(ω)是频率域上的复值函数，f(t)是时域上的实值函数，ω是角频率。
傅里叶变换有许多应用领域，例如音频和图像处理。
在音频处理中，傅里叶变换可以将一个音频信号分解成不同的频率成分，从而实现声音的频谱分析和滤波。
在图像处理中，傅里叶变换可以将一个图像分解成不同空间频率上的成分，从而实现图像的频域滤波和增强。
然而，傅里叶变换的一个主要缺点是它只能提供信号的频域表示，而不能提供信号的时域信息。
这导致了傅里叶变换在处理一些时变信号时的不足。
为了解决这个问题，人们发展出了一种叫做短时傅里叶变换（STFT）的方法。
短时傅里叶变换将傅里叶变换应用到一小段信号上，然后将这些小段信号的频域表示拼接起来。
这样一来，就可以得到信号在不同时间窗口上的频域表示，从而更好地了解信号在时间和频率上的变化。
短时傅里叶变换的公式定义如下：STFT(x, t, ω) = ∫[x(τ) * w(τ - t) * e^(-iωτ)] dτ其中，x是信号，t是时间，ω是角频率，w是窗函数。
短时傅里叶变换的应用非常广泛。
在语音处理中，短时傅里叶变换可以将一个信号分解成不同时间窗口上的频谱成分，从而实现语音的时频分析和合成。
在音乐处理中，短时傅里叶变换可以实现音乐信号的节拍检测和音高分析。
在图像处理中，短时傅里叶变换可以提取图像的纹理特征和边缘信息。
然而，短时傅里叶变换在处理一些时变信号时也存在一些问题。
例如，窗口函数的选择会影响到短时傅里叶变换的结果。
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π W ( e
π
j
)e
jn
X (e
j ( )
)d
可见，为了使X n (e j )能够充分地表现 X (e j ) 的特性，
要求对于X (e j ) 来说， W (e j ) 必须是一个冲激脉冲。
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4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释
用波形乘以窗函数，不仅为了在窗口边缘两端不引起急剧变 化，使波形缓慢降为零，而且还相当于对信号谱与窗函数的 傅里叶变换进行卷积，采样。 为此窗函数应具有如下特性： ① 频率分辨率高，即主瓣狭窄、尖锐；（矩形窗） ② 通过卷积，在其他频率成分产生的频谱泄漏少，即旁瓣 衰减大。（海明窗） 这两个要求实际上相互矛盾，不能同时满足。 窗口宽度N、取样周期T和频率分辨率Δf之间存在下列关系 Δf＝1/NT 可见二者是矛盾的。 窗口宽度↑→频率分辨率↑ 时间分辨率↓ 窗口宽度↓→频率分辨率↓ 时间分辨率↑
当n固定时，序列w(n-m)的傅里叶变换为：
j m j jn w ( n m ) e W ( e ) e
m
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4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释
根据傅里叶变换的频域卷积定理，有
j j jn
X n (e ) X (e ) *[e
2
4.2.1 短时(加窗)傅立叶变换的定义
短时幅度谱的计算过程
3
4.2.1 短时傅立叶变换--定义
定义：短时傅立叶变换也叫短时谱（加窗的方式）
X n (e ) x(m) w(n m)e jm
j m
短时谱的特点： 1)时变性：既是角频率ω 的函数又是时间n的函数 2)周期性：是关于ω 的周期函数，周期为2π
j 2 k N
X n (e
) X n (k )
m
x(m)w(n m)e
j
2 km N
0 k N 1
5
4.2.1 短时傅立叶变换--定义
这两个公式都有两种解释：
① 当n固定不变时，它们是序列w(n-m)x(m) (-∞＜m＜∞)的标准傅里叶变换或标准的离散时间序 列的傅里叶变换。此时与标准傅里叶变换具有相同的 性质，而Xn(k)与标准的离散傅里叶变换具有相同的 特性。 ② 当ω或k固定时，和Xn(k)看做是时间n的函数。它们 是信号序列和窗口函数序列的卷积，此时窗口的作用 相当于一个滤波器。
短时傅里叶变换 语音信号x(n)的 标准傅里叶变换
W (e
j
)]
移动窗口的标 准傅里叶变换
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写成卷积积分形式：
π j jn j ( ) 1 X n (e ) W (e )e X (e )d π 2π j
将θ改换为-θ后，可以写成：
X n (e ) 1 2π
4.1 概述
1
语音的生成模型由线性系统组成，系统输出的傅里 叶频谱反映了激励与声道频率响应特性。 语音信号的频谱具有非常明显的语音声学意义，可 以获得某些重要的语音特征，如共振峰频率和带宽 等。 话音波是一个非平稳过程，标准傅里叶变换不能用 来直接表示语音信号。 由于语音信号的特性是随时间缓慢变化的，因而可 以假设它在一短段时间内保持不变。短时分析应用 于频域分析就是短时傅里叶变换，即有限长度的傅 里叶变换。 短时傅里叶变换可以精确地恢复语音波形。短时傅 里叶变换最重要的应用是语音分析-合成系统。
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4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释
如果
X n (e jn )
被看成是 w(n-m)x(m) 序列的标准傅里
叶变换，同时假设 x(m) 及 w(m) 的标准傅里叶变换
存在，为：
X (e ) W (e )
j
j
m
jm x ( 时傅立叶变换--定义
频率分辨率Δf、取样周期T、加窗宽度N三者关系：
1 1 f NT TW
窗形状对短时傅立叶变换的影响 － 矩形窗——主瓣窄，衰减慢； － 汉明窗——主瓣宽，衰减快； 窗宽对短时频谱的影响 －窗宽长——频率分辨率高，能看到频谱快变化； －窗宽短——频率分辨率低，看不到频谱的快变化；
7
4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的 解释（n固定，ω的函数）
短时傅里叶变换可写为
X n (e j )
m
jm [ x ( m ) w ( n m )] e
当n取不同值时窗w(n-m)沿着x(m)序列滑动，所以 w(n-m)是一个“滑动的”窗口。 由于窗口是有限长度的，满足绝对可和条件，所以 这个变换是存在的。与序列的傅里叶变换相同，短 时傅里叶变换随着ω作周期变化，周期为2π。
下面将短时傅里叶变换写为另一种形式。设信号序列和 窗口序列的标准傅里叶变换为
X (e )
j m
x(m)e
jm
W (e )
j
m
w(m)e
jm
均存在。当n取固定值时，w(n-m)的傅里叶变换为
m jm jn j w ( n m ) e e W ( e )
4
4.2.1 短时傅立叶变换--定义
短时傅里叶变换是窗选语音信号的标准傅里叶变换。下 标n区别于标准的傅里叶变换。w(n-m)是窗口函数序列。 不同的窗口函数序列，将得到不同的傅里叶变换的结果。 短时傅里叶变换有两个自变量：n和ω，所以它既是关于 时间n的离散函数，又是关于角频率ω的连续函数。 与离散时间序列傅里叶变换和连续傅里叶变换的关系一 样，若令ω＝2πk/N，则得离散频率的短时傅里叶变换, 它实际上是在频域的取样。
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4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释
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4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释
根据功率谱定义，可以写出短时功率谱与短时傅里叶变 换之间的关系
S n (e j ) X n (e j ) X * n (e j ) | X n (e j ) |2
式中*表示复共轭运算。同时功率谱是短时自相关函数 Rn (k ) w(n m) x(m)w(n k m) x(m k ) 的傅里叶变换。 m