短时傅里叶变换(STFT)性质
短时傅里叶变换STFT
x( )
0.3
m( t )
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
（1.1）式内积的结果即可实现对进行时－频 j m ( ) m ( t ) e 定位的功能。对 两边 ,t 做傅里叶变换，有
gb
a
1 b ga
{ x t
2
* 2
b x dx} ga 2
1 2
a
，
2 ，对于Gabor窗函数说 因为窗的面积为2
g b
a
因为 为 的傅里叶变换，则对于Gabor函数就要求出
傅里叶变换 经计算得
g a t
1
2 a
e
4a
以Gabor函数为窗函数的STFT称为Gabor变换，其定义为
s(, t )
e
i
f g a t d
1
则Gabor函数的中心和半径为：
t* ga
2 2
x | g a ( x ) |2 d x
根据窗函数半径公式，可知道Gabor窗函数的半径为：
1 2
X ( )M ( )e
信号谱
j ( ) t
d
窗谱
所以
S x (, t ) e
jt 1 2
X ( )M ( )e jt d
短时傅里叶变换和离散傅里叶变换
短时傅里叶变换和离散傅里叶变换1. 引言在信号处理领域，傅里叶变换是一种重要的数学工具，用于将一个时域信号转换为频域表示。
短时傅里叶变换（Short-time Fourier Transform，STFT）和离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是两种常用的傅里叶变换方法。
本文将详细介绍这两种变换的原理、应用以及比较。
2. 短时傅里叶变换（STFT）2.1 原理短时傅里叶变换是一种将长时间信号分解为短时间片段进行频谱分析的方法。
它通过使用窗函数对信号进行分帧处理，然后对每一帧信号进行傅里叶变换得到频谱信息。
具体步骤如下：1.将长时间信号划分为多个长度相等的帧；2.对每一帧信号应用窗函数，窗函数通常选择汉宁窗或矩形窗；3.对每一帧信号进行傅里叶变换得到频谱信息；4.将每一帧的频谱信息合并起来得到整个信号的频谱。
2.2 应用短时傅里叶变换在信号处理领域有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：•语音信号处理：对语音信号进行频谱分析，如语音识别、语音合成等；•音乐信号处理：对音乐信号进行频谱分析，如音乐特征提取、音乐合成等；•通信系统：在调制解调、频谱分析等方面的应用；•图像处理：对图像进行频域滤波、图像压缩等。
2.3 优缺点短时傅里叶变换的优点在于能够提供时间和频率上的信息，适用于非平稳信号的分析。
然而，它也存在以下一些缺点：•时间和频率分辨率之间存在折衷关系，无法同时获得高时间和高频率分辨率；•窗函数选择对结果有影响，不同窗函数会引入不同程度的泄漏效应；•对于长时间信号，计算复杂度较高。
3. 离散傅里叶变换（DFT）3.1 原理离散傅里叶变换是一种将离散时间域信号转换为离散频域信号的方法。
它通过将时域信号与一组复指数函数进行内积运算得到频域表示。
具体步骤如下：1.将离散时间域信号表示为复数序列；2.计算复数序列与一组复指数函数的内积，得到频域表示。
3.2 应用离散傅里叶变换在数字信号处理中有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：•语音和音频处理：对数字音频进行频谱分析、滤波等；•图像处理：对数字图像进行频域滤波、图像压缩等；•通信系统：在调制解调、频谱分析等方面的应用；•控制系统：在控制系统中对信号进行频谱分析等。
STFT短时傅里叶变换.ppt
窗口宽度N、取样周期T和频率分辨率Δf之间存在下列关 Δf＝1/NT 可见：
窗口宽度↑→频率分辨率↑ 时间分辨率↓ 窗口宽度↓→频率分辨率↓ 时间分辨率↑，因而二者是矛
10
4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释
第一个零点位置为2π/N，显然它与窗口宽度成反比。
矩形窗，虽然频率分辨率很高，但由于第一旁瓣的衰减只 有13.2dB，所以不适合用于频谱成分动态范围很宽的语音 分析中。 海明窗在频率范围中的分辨率较高，而且由于旁瓣的衰减 大于42dB，具有频谱泄漏少的优点，频谱中高频分量弱、 波动小，因而得到较平滑的谱。 汉宁窗是高次旁瓣低，第一旁瓣衰减只有30dB。
3
短时傅里叶变换是窗选语音信号的标准傅里叶变换。下 标n区别于标准的傅里叶变换。w(n-m)是窗口函数序 列。不同的窗口函数序列，将得到不同的傅里叶变换的 结果。 短时傅里叶变换有两个自变量：n和ω，所以它既是关 于时间n的离散函数，又是关于角频率ω的连续函数。 与离散傅里叶变换和连续傅里叶变换的关系一样，若令 ω＝2πk/N，则得离散的短时傅里叶变换,它实际上是 在频域的取样。
如果将w(n)的滤波运算除外，短时傅里叶变换实 际上是对信号的幅度调制。
j n e 第一种形式是在输入端进行调制，x(n)乘以 相当于
将x(n)的频谱从ω移到零频处；而w(n)(直角窗或海明 窗等)为窄带低通滤波器。 后一种形式是在输出端进行调制，此时先对信号进行带 通滤波，滤波器的单位函数响应为w(n) e jn ,而调制后 输出的是中心频率为ω
43短时傅立叶变换的取样率时间取样率sin0kakf25以直角窗和海明窗为例其第一个零点位置分别为2n和4n数字角频率与模拟频率f之间的关系为2ft2ffs其中t是信号取样周期fs是取样率因而用模拟频率表示的的带宽为43短时傅立叶变换的取样率时间取样率jew2643短时傅立叶变换的取样率频率取样率2743短时傅立叶变换的取样率总取样率2843短时傅立叶变换的取样率总取样率2944语音信号的短时综合滤波器组求和法3044语音信号的短时综合滤波器组求和法hkn是一个带通滤波器其中心频率为kykn是第k个滤波器hkn的输出
短时傅里叶变换(STFT)性质
如果将n看作某个给定值，则短时傅立叶只不过是语音段 x(m)w(n-m)的离散时间傅立叶变换，故有短时傅立叶 反变换： 1 π
x(m) w(n − m) =
2π
∫π
−
X (e jϖ )e jϖm dϖ
如果
w(0) ≠ 0
，令m=n则有
π 1 x ( n) = X (e jϖ )e jϖm dϖ 2πw(0) ∫−π
语音短时合成的叠接相加法
1 N −1 jϖ jϖ m yr (m ) = , −∞ ≤ r ≤ ∞ , r ∈ Z ∑ X rR ( e ) e N k =0 ∞ ∞ 1 N −1 jϖ jϖ m y (m ) = ∑ yr (m ) = ∑ ∑ X rR ( e ) e r = −∞ r = −∞ N k = 0
根据短时傅立叶变换 得出x(m)的傅立叶变 换 X ( e jϖ ) ，对窗函数所加的约束条件 w(0) ≠ 0
1
X n ( e jϖ )
4.2 短时傅立叶变换的某些性质
短时谱的另一种表达形式：
DTFT DTFT x(m) X (e jω ) w(−m) W (e − jω ) → , →
4.5 语音的短时合成技术
滤波器组相加法
y ( n) = ∑ X n (e
k =0 N −1 k =0 N −1 jϖ k
)e
jϖ k n
= ∑ yk ( n )
k =0 jϖ N −1 k =0
N −1
h(n) = ∑ hk (n) ⇒ H (e ) = ∑ H k (e jϖ ) hk (n) = w(n)e
j n
N −1 k =0
∑ hk ( n) = h(n) = Nw(0)δ (n)
短时傅里叶变换的窗函数
短时傅里叶变换的窗函数短时傅里叶变换（Short-Time Fourier Transform，STFT）是信号处理中经常使用的一种变换方法，在时频分析、语音处理、音频信号处理等领域得到广泛的应用。
而在STFT中，窗函数则是非常关键的一部分，它能够在一定程度上解决信号时域和频域之间的矛盾问题，使得STFT可以更好地描述信号的局部时频特性。
窗函数的作用可以理解为，它将原始信号中的短时断片（例如一段时间内的采样值）与窗函数相乘，再做傅里叶变换，因此可以得到该断片在频域的频谱分布。
不同的窗函数对应不同的信号分析需求，例如窗函数的长度、主瓣宽度、副瓣能量、频域分辨率等，都会对信号的分析结果产生影响，因此选择合适的窗函数是非常重要的一步。
下面列举几种常用的窗函数：1. 矩形窗函数（Rectangular Window）矩形窗函数是最简单的一种窗函数，它在窗口内的值恒定为1，窗口外的值为0。
矩形窗函数的优点是简单易用，标准化后其主瓣宽度较小，但副瓣能量较大，会对信号的频谱分析结果产生一定的干扰。
2. 汉宁窗函数（Hanning Window）汉宁窗函数是应用最为广泛的一种窗函数之一，它是由一半余弦函数和一半常数0.5组成。
汉宁窗函数的主瓣宽度略宽于矩形窗函数，但副瓣能量较小，对信号的频谱分析结果影响较小，同时汉宁窗函数的平滑性较好，在信号时域上有较好的截断特性。
3. 汉明窗函数（Hamming Window）汉明窗函数是一种类似于汉宁窗函数的窗函数，它是由一半余弦函数和一半常数0.54-0.46cos(t)组成。
相比于汉宁窗函数，汉明窗函数的主瓣略宽，副瓣更小，同时它还具有较好的频带滚降特性。
4. 布莱克曼窗函数（Blackman Window）布莱克曼窗函数是一种类似于汉宁窗函数的平滑窗函数，它是由三个余弦函数和一个常数0.42-0.5cos(t)+0.08cos(2t)组成。
布莱克曼窗函数的主瓣宽度与汉宁窗函数相近，但副瓣能量更低，对信号的分析结果影响更小。
傅里叶变换的五种不同形式
傅里叶变换的五种不同形式标题：傅里叶变换的五种不同形式导论：傅里叶变换是一种基础且重要的数学工具，广泛应用于信号处理、图像处理、量子力学等领域。
它通过将函数表示为频域上的复指数函数的线性组合来描述一个函数。
本文将介绍傅里叶变换的五种不同形式，深入探讨它们的定义、性质和应用，旨在帮助读者对傅里叶变换有更全面、深刻和灵活的理解。
第一种形式：连续傅里叶变换（CTFT）1. 定义与性质：介绍CTFT的定义和性质，包括线性性、平移性、尺度性等。
解释连续傅里叶变换在时域和频域之间的转换关系。
2. 应用举例：说明CTFT在信号处理中的应用，包括信号滤波、频谱分析等。
详细解释如何使用连续傅里叶变换分析一个信号的频谱特性。
第二种形式：离散傅里叶变换（DFT）1. 定义与性质：介绍DFT的定义和性质，包括线性性、周期性等。
解释离散傅里叶变换与连续傅里叶变换之间的关系。
2. 应用举例：说明DFT在数字信号处理中的应用，包括图像压缩、频谱分析等。
详细解释如何使用离散傅里叶变换对一个离散信号进行频谱分析。
第三种形式：快速傅里叶变换（FFT）1. 定义与原理：引入FFT的定义和原理，解释为什么快速傅里叶变换可以大大提高计算效率。
2. 应用举例：介绍FFT在信号处理和图像处理中的广泛应用，包括音频信号处理、图像滤波等。
详细解释快速傅里叶变换如何在这些应用中提高计算效率。
第四种形式：多维傅里叶变换（NDFT）1. 定义与性质：介绍多维傅里叶变换的定义和性质，包括线性性、平移性等。
2. 应用举例：说明多维傅里叶变换在图像处理和空间频率分析等领域中的应用。
详细解释如何使用多维傅里叶变换对二维图像进行频谱分析。
第五种形式：短时傅里叶变换（STFT）1. 定义与原理：介绍短时傅里叶变换的定义和原理，解释其在非平稳信号分析中的重要性。
2. 应用举例：说明短时傅里叶变换在语音信号处理和音频分析中的应用。
详细解释如何使用短时傅里叶变换来分析非平稳信号的频谱特性。
数字信号处理中的时频分析算法
数字信号处理中的时频分析算法时频分析是数字信号处理领域中一种重要的信号分析方法，它能够同时提供信号在时间和频率上的特性信息。
在许多应用中，时频分析被广泛应用于信号识别、通信系统、雷达和生物医学工程等领域。
本文将介绍几种常见的数字信号处理中的时频分析算法。
1. 短时傅里叶变换（STFT）短时傅里叶变换是时频分析中最基本的方法之一。
它将信号分成一段段的小片段，并对每个小片段进行傅里叶变换，从而得到该时间段内信号的频谱。
由于信号随时间的变化，STFT能够提供信号在各个时刻的频谱特性。
然而，由于STFT使用固定的时间窗口宽度，无法在时间和频率上同时获得高分辨率。
2. 连续小波变换（CWT）连续小波变换是时频分析中一种基于小波理论的算法。
它与STFT类似，也将信号分成一段段的小片段，但不同之处在于小波变换使用了不同尺度的小波基函数进行变换。
这使得连续小波变换可以在时间和频率上自适应地调整分辨率，并能够对信号的瞬时频率进行较好的估计。
3. 峭度分析方法峭度分析方法通过计算信号的高阶统计moments，如峭度和偏度等，来提取信号的时频特征。
峭度反映了信号在短时间尺度上的频率成分，能够用于检测信号中的瞬时频率变化。
然而，峭度分析方法在实际应用中对信号的平稳性和高斯性有一定的要求。
4. Wigner-Ville变换（WVT）Wigner-Ville变换是一种经典的时频分析方法，它通过计算信号的时域和频域的自相关函数之间的关系，得到信号的时频表示。
WVT能够提供更精确的时频信息，但也存在交叉项干扰和分辨率衰减的问题。
为了克服这些问题，后续的研究提出了改进的时频分析方法，如Cohen's class分布和Cohen's class分布等。
5. 累积频谱分析方法累积频谱分析方法通过将多个STFT结果累积，从而提高分辨率和信噪比。
累积频谱分析方法包括短时傅里叶变换累积、小波包累积、Wigner-Ville累积等。
STFT短时傅里叶变换
② 当ω或k固定时，和Xn(k)看做是时间n的函数。 它们是信号序列和窗口函数序列的卷积，此时窗口
下面将短时傅里叶变换写为另一种形式。设信号序列和窗
X(ej) x(m)ejm m
W(ej) w(m)ejm m
均存在。当n取固定值时，w(n-m)
w (nm )ejmejn•W (ej)
m
8
4.2.2 短时傅立叶变换--标准傅里叶变换的解释
X n ( e j ) X ( e j )* [ e j n • W ( e j )]
与离散傅里叶变换和连续傅里叶变换的关系一样，若令
ω＝2πk/N，则得离散的短时傅里叶变换,它实际上是
在频域的取样。
2 k
j
j2 km
X n ( eN ) X n ( k )x ( m ) w ( n m ) eN 0 k N 1
m
3
4.2.1 短时傅立叶变换--定义
这两个公式都有两种解释：
34
4.4 语音信号的短时综合--快速傅里叶变换求和法
35
4.4 语音信号的短时综合--快速傅里叶变换求和法
36
4.4 语音信号的短时综合--快速傅里叶变换求和法
37
4.4 语音信号的短时综合了一个类似于噪声的频谱。 这是由于相邻谐波的旁瓣在谐 波间隔内的相互作用(有时加强 有时抵消)，因而在谐波间产生 了随机变化。这种相邻谐波间 不希望有的“泄漏”抵消了其 主瓣较窄的优点，
因此在语音频谱分析中极少采
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1 jn X n (e ) e W (e j ) X (e j ( ) )d 2 X n ( e j ) 由上式看出，为了使 准确地代 j X (e ) 替 的特性，移动窗的傅立叶变换应 当是一个冲击函数，相应地要求移动窗无线宽。 (推导)
j
3
4.3 短时傅立叶变换的线性滤波实现
r r
W (e j 0 ) w( rR m) r R W (e j 0 ) y ( m) x ( m) R
17
令m n m带入后，再将 换成符号m m
' '
X n (e ) e
j
jn
用线性滤波实现短时傅立叶变换的主要优点 在于，可以利用线性滤波器的一些成果，使 实现方法变得非常简单。
7
m
x(n m)w(m)e
jm
4.3 短时傅立叶变换的线性滤波实现
8
4.4 短时傅立叶谱的取样
1 N 1 yr ( m) X rR (e j )e j m , r , r Z N k 0 1 N 1 y ( m ) yr ( m ) X rR (e j )e j m r r N k 0
k k k k
x( m) w( rR m) x( m) w( rR m)
根据短时傅立叶变换 得出x(m)的傅立叶变 换 X ( e j ) ，对窗函数所加的约束条件 w(0) 0
1
X n ( e j )
4.2 短时傅立叶变换的某些性质
短时谱的另一种表达形式：
DTFT DTFT x(m) X (e j ) w(m) W (e j ) , DTFT 则 w(n m) w((m n)) e j nW (e j )
4.5 语音的短时合成技术
滤波器组相加法
y ( n ) X n (e
k 0 N 1 k 0 N 1 j k
)e
j k n
yk ( n )
k 0 j N 1 k 0
N 1
h(n) hk (n) H (e ) H k (e j ) hk (n) w(n)e
LN
11
4.4 短时傅立叶谱的取样
总取样率 － SR Rt L 2kfs － 取最低取样率，得
－ 在某些情况下，可用欠取样率进行取样； － 在另外一些情况下，常常要求对短时傅立叶变 换作某些修改，并从滤波后的频谱合成信号。这时 要求时、频域都不能产生混叠失真。
12
SR SR 2kf s 2k fs
j
an ( ) x(m) cosmw(n m)
m
bn ( ) x(m) sinmw(n m)
m
5
4.3 短时傅立叶变换的线性滤波实现
6
4.3 短时傅立叶变换的线性滤波实现
用线性滤波实现短时傅立叶变换的另一种形 式（教材p47图4-5）
4.2 短时傅立叶变换的某些性质
如果将n看作某个给定值，则短时傅立叶只不过是语音段 x(m)w(n-m)的离散时间傅立叶变换，故有短时傅立叶 反变换： 1
x(m) w(n m)
2
X (e j )e jm d
如果
w(0) 0
，令m=n则有
1 x ( n) X (e j )e jm d 2w(0)
1 故 x(m) w(n m) X (e j ) *[e j nW (e j )] 2 1 j n j X n (e ) [e W (e j )]X (e j ( ) )d 2
DTFT
2
4.2 短时傅立叶变换的某些性质
1 jn X n (e ) e W (e j ) X (e j ( ) ) d 2 用－ 代替 ，有
9
4.4 短时傅立叶谱的取样
时域取样
X n (e ) w(n m) x(m)e
j m
j m
fs － 大多数实际应用的窗，有 B k N － 时域取样率应选取为 fs Rt 2k N
10
4.4 短时傅立叶谱的取样
频域取样 － 短时傅立叶变换是周期函数，其周期 是 2 ，因此只需讨论 2 范围内频域取 样的问题； － 均匀取样L点，L取何值，可由L个取样值 无失真地恢复原始信号； － 为了使恢复地时域信号不产生混叠失真， 要求满足条件：
k
13
4.5 语音的短时合成技术
14
4.5 语音的短时合成技术
H (e j ) Nw(0) h(n) Nw(0) (n) y (n) x(n) h(n) Nw(0) x(n)
－ 为了能够由 X (e ) 准确恢复x(n)， 带通滤波器组应满足约束条件
j n
N 1 k 0
k
j k n
H (e ) H k (e ) W (e j ( ) )
j j
k
N 1 k 0
N 1 k 0
2 N 1 j kn 1 N 1 j n 0 1 N W (e )e w(n rN ) W (e j ) w(0) r N k 0 N k 0
bn ( ) x(m) sinmw(n m)
m
4
4.3 短时傅立叶变换的线性滤波实现
用线性滤波实现短时傅立叶变换的第一种形 式（教材p46图4-4）
X n (e ) w(n m) x(m)e
j m
jm
X n (e ) an ( ) jbn ( )
对短时傅立叶变换的线性滤波解释（教材 p46图4-4、p47图4-5 ）
X n (e ) w(n m) x(m)e
j m
jm
X n (e ) an ( ) jbn ( )
j
an ( ) x(m) cosmw(n m)
m
hk (n) h(n) Nw(0) (n) Nhomakorabea15
4.5 语音的短时合成技术
欠速率取样
h(n) hk (n) w(n)e
k 0 k 0 L 1 L 1 j k n L 1
w(n) e j n
k
k 0
p ( n) e
k 0
L 1
j k n
e
k 0
L 1
j
2 kn L
L (n rL)
r
h(n) w(n) p (n) k ,当n r0 L时 w(n) 0,当n rL, r r0 , r 0,1,2,...时
16
4.5 语音的短时合成技术
语音短时合成的叠接相加法