第7章 傅里叶变换
第7章图像处理 课后答案
7.1.1 图像金字塔
一系列以金字塔形状排列的分辨率逐步降低的图集合。 金字塔的底部是待处理图像的高分辨率表示，而顶部 是低分辨率的近似。基级J的尺寸是2J×2J或N×N (J=log2N)， 中间级j的尺寸是2j×2j ，其中0<= j <=J。
图7.2b表示，各级的近似值和预测残差金字塔都是以 一种迭代的方式进行计算的。第一次迭代和传递时， j = J ，并且2J×2J的原始图像作为J级的输入图像，从 而产生J-1级近似值和J级预测残差，而J-1级近似值又 作为下一次迭代的输入，得到J-2级近似值和J-1级预 测残差。 迭代算法：
1, 0 x 0.5 ψ( x) 1, 0.5 x 1 0,在，有了尺度函数和小波函数，可以正式定义小 波变换了，它包括：一般小波序列展开、离散小波 变换和连续小波变换。
7.3.1 小波序列展开
首先根据小波函数ψ( x)和尺度函数 ( x)为函数f(x)定 义小波序列展开：
高斯近似值和预测残差金字塔
基级，第9级
第8级 第7级 第6级
图像重建
7.1.2 子带编码
另一种与多分辨率分析相关的重要图像技术是子带 编码。在子带编码中，一幅图像被分解成为一系列 限带分量的集合，称为子带，它们可以重组在一起 无失真地重建原始图像。最初是为语音（一维信号） 和图像压缩而研制的，每个子带通过对输入进行带 通滤波而得到（相当于分解一个频段为若干个子频 段）。因为得到的子带的带宽要比原始图像的带宽 小，子带可以无信息损失的抽样。 原始图像的重建可以通过内插、滤波和叠加单个子 带来完成。
k
V Spk an{k ( x)}
7.2.2 尺度函数
现在来考虑由整数平移和实数二值尺度、平方可积 函数 ( x) 组成的展开函数集合，即集合{ j ,k ( x)} ： j/2 j j ,k ( x) 2 (2 x k ) 式7.2.10 k决定了 j ,k ( x)在x轴的位置（平移k个单位），j决定 了 j ,k ( x) 的宽度，即沿x轴的宽或窄的程度，而2j/2 控制其高度或幅度。由于 j ,k ( x)的形状随j发生变化， ( x) 被称为尺度函数。 如果为赋予一个定值，即j = j0，展开集合 { j0 ,k ( x)} 将是 { j ,k ( x)}的一个子集，一个子空间：
信号与系统7-1连续信号的傅里叶变换分析课件
t=linspace(-2,4,400); w=linspace(-15,15,400); f=sym('exp(-2*t)*Heaviside(t)') F=fourier(f); F=simple(F) f1=subs(f); Fv=subs(F); F1=abs(Fv); P1=angle(Fv)*180/pi; subplot(3,1,1),plot(t,f1,'linewidth',2); grid;ylabel('f(t)'); subplot(3,1,2),plot(w,F1,'linewidth',2); grid;ylabel('|F(j\omega)|'); subplot(3,1,3),plot(w,P1,'linewidth',2); grid;ylabel('\angleF(j\omega)(度)');xlabel('\omega (rad/sec)')
Fn
1 T0
T0
2 f (t) e jn0t dt
T0 2
F (
j)
lim
T0
FnT0
f (t) e jt dt
傅里叶变换
f (t) 1 F ( j)e jt d
2
傅里叶反变换
简记：F(j) =F [ f (t)] 称频谱函数；
f (t) = F -1[F(j)] 称为原函数。
或记为： f (t) F( j)
周期信号非周期信号 功率信号能量信号
傅里叶级数傅里叶变换 傅里叶级数是傅里叶变换的一个特例， 而傅里叶变换是傅里叶级数的推广。
2
拉普拉斯变换与傅里叶变换
第七章 傅立叶变换
T 2
j nwt
j mwt *
pe
-
p 这是因为
j( n - m )
1 j( n - m ) d e j( n - m) -p 1 j( n - m )p - j( n - m )p [e -e ] j( n - m) 1 - j( n - m )p j 2 ( n - m )p e [e - 1] 0 j( n - m)
为求an, 计算[fT(t), cosnwt], 即 a
T 2 T 2
fT (t ) cos nwt d t T
-
T 2
0
2
2
cos nwt d t
am T cos mwt cos nwt d t
m 1 n
2
T 2
bm T sin mwt cos nwt d t
1复变函数与积分变换第七章傅立叶变换第七章傅立叶变换71傅立叶积分与傅立叶积分定理72傅氏变换与傅氏逆变换73单位脉冲函数75傅氏变换的性质一傅里叶fourier级数展开71傅立叶积分与傅立叶积分定理在工程计算中无论是电学还是力学经常要和随时间而变的周期函数ftt打交道
复变函数与积分变换
第七章 傅立叶变换
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期 内的情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内 函数变化的情况. 并非理论上的所有周期函数都 可以用傅里叶级数逼近, 而是要满足狄利克雷 (Dirichlet)条件, 即在区间[-T/2,T/2]上
(完整版)《复变函数与积分变换》习题册(2)
第一章 复数与复变函数本章知识点和基本要求掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算; 熟悉复平面、模与辐角的概念;熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式； 了解区域的概念;理解复变函数的概念; 理解复变函数的极限和连续的概念。
一、填空题1、若等式))(()75(i y i x i i -+=-成立，则=x ______, =y _______.2、设(12)(35)13i x i y i ++-=-,则x = ，y =3、若1231izi i，则z4、若(3)(25)2i i zi,则Re z5、若421iz i i+=-+，则z = 6、设(2)(2)z i i =+-+,则arg z =7复数1z i =-的三角表示式为 ，指数表示式为 .8、复数i z 212--=的三角表示式为 _________________，指数表示式为_________________. 9、设i z 21=，i z -=12，则)(21z z Arg = _ _____。
10、设4i e 2z π=，则Rez=____________. Im()z = 。
z11、。
方程0273=+z 的根为_________________________________。
12、一曲线的复数方程是2z i -=，则此曲线的直角坐标方程为 . 13、方程3)Im(=-z i 表示的曲线是__________________________.14、复变函数12+-=z z w 的实部=),(y x u _________，虚部=),(y x v _________。
15、不等式114z z -++<所表示的区域是曲线 的内部.16二、判断题（正确打√，错误打⨯）1、复数7613i i +>+. （ ）2、若z 为纯虚数，则z z ≠. （ ）3、若 a 为实常数，则a a = （ ）4、复数0的辐角为0.5、()f z u iv =+在000iy x z +=点连续的充分必要条件是(,),(,)u x y v x y 在00(,)x y 点连续。
第7章 傅里叶变换与滤波器形状
第7章 傅里叶变换与滤波器形状 7.1离散时间傅里叶变换基础离散时间傅里叶变换（DTFT ）是数字信号分析的一个重要工具。
DTFT 把信号或滤波器从时域变换到频域，主要是为了研究信号或滤波器的频率特性。
该变换主要用于分析信号和滤波器的频谱性质。
对于信号，DTFT 提供的信息称为信号的频谱。
对于滤波系统，DTFT 得到的信息称为滤波器的频率响应（frequency response ）。
它由两部分组成：幅度响应（magnitude response ）和相位响应（phase response ）。
幅度响应给出了滤波器的形状，通过它我们可以深入了解滤波器的工作特性。
信号x[n]的离散时间傅里叶变换定义为：()[]jn n X x n e∞-Ω=-∞Ω=∑，这里Ω为数字频率，单位弧度。
记为(){[]}X x n Ω=F利用欧拉公式，DTFT 变换为()[][](cos()sin())jn n n X x n ex n n j n ∞∞-Ω=-∞=-∞Ω==Ω-Ω∑∑变换()X Ω在每个不同的数字频率上可有不同的值，当信号x[n]与正弦或余弦“共振”时，最大。
也就是说，当x[n]以接近频率Ω变化时，()X Ω较大。
离散时间傅里叶变换反应了信号的频率。
例7.1 求如图信号的离散时间傅里叶变换注意，一般情况，DTFT 是复值。
例7.2 求信号x[n]=4(u[n]-u[n-3])的DTFT 。
离散时间傅里叶变换有两个重要的特性，时延特性和周期性。
00[]()[]()Fjn Fx n X x n n eX -Ω−−→Ω-−−→Ω(2)()X X πΩ+=ΩDTFT 是周期性的，周期为2π。
即离散时间傅里叶变换对所有的数字频率Ω，每2π重复一次，不断重复。
7.2.1 频率响应和差分方程 对差分方程逐项求DTFT∑∑==-=-Mk kN k kk n x b k n y a 0][][][]2[]1[][][]2[]1[][210210M n x b n x b n x b n x b N n y a n y a n y a n y a M N -++-+-+=-++-+-+0101()()()()()()j jN N j jM M a Y a e Y a e Y b X b eX b eX -Ω-Ω-Ω-ΩΩ+Ω++Ω=Ω+Ω++Ω0101()()()()j jN j jM N M a a e a e Y b b e b e X -Ω-Ω-Ω-Ω+++Ω=+++Ω010010()()()Mjk j jM k M k Nj jN jk N k k b eY b b e b eH X a a e a ea e-Ω-Ω-Ω=-Ω-Ω-Ω=Ω+++Ω===Ω+++∑∑例7.3 求差分方程频率响应y[n]=-0.85y[n-1]+0.5x[n].例7.4 求差分方程频率响应y[n]+0.1y[n-1]+0.85y[n-2]=x[n]-0.3x[n-1]7.2.2 频率响应和传输函数10101010()()()MkMkM k NNkN k k b zb b z b zY z H z X z a a z a za z---=---=+++===+++∑∑010010()()()Mjk j jM k M k Nj jN jk N k k b eY b b e b eH X a a e a e a e-Ω-Ω-Ω=-Ω-Ω-Ω=Ω+++Ω===Ω+++∑∑例 7.5 求滤波器的频率响应，它的传输函数21210.2()10.50.9z H z z z ----=++2210.2()10.50.9j j j e H e e-Ω-Ω-Ω-Ω=++频率响应是脉冲响应的DTFT 。
傅里叶变换
(2-2)
其中
2 an T
T / .2
T / .2
fT ( t ) cos n 0 tdt ( n 0,1,2,)
2 bn T
T / .2
T / .2
fT ( t ) sinn 0 tdt ( n 1,2,3,)
2.1.1
傅里叶级数（续十五）
例2-3 设f(x)是周期为4的函数，它在[－ 2,＋2)上的表达式为
cos n 0 t e
in 0 t
e 2
in 0 t
sinn 0 t
e
in 0 t
e 2i
in 0 t
将上述两式代入式(2-2)，得
a0 ein0t e in0t ein0t e in0t fT ( t ) an bn 2 n 1 2 2i 2.1.1Fra bibliotek傅里叶级数
定义2-1 设f(x)是周期为2的函数，则 称三角级数 a0 f ( x ) (an cosnx bn sinnx ) 2 n 1 其中
1 π ak f ( x ) cos kxdx ( k 0,1,2,) π π 1 π bk f ( x ) sinkxdx ( k 1,2,3,) π π
π π 2
2.1.1
续解
傅里叶级数（续四）
1 π 1 π an f ( x ) cos nxdx x cos nxdx π π π 0 1 x 1 π sinnx 2 cosnx π n n 0 0 (当n为偶数时） 1 2 (cos nx 1) 2 2 (当n为奇数时） n π n π π π 1 1 bn f ( x ) sinnxdx x sinnxdx π π π 0 1 x 1 π cosnx 2 sinnx π n n 0 ( 1) n1 ( n 1,2,3, ) n
傅里叶变换的证明
§3.1 引言
法国数学家傅里叶有两个最主要的贡献: 1 周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权 和. 2 非周期信号都可以用正弦信号的加权积分表示. 本章要点: 1 建立信号频谱的概念. 2 利用傅里叶级数的定义式分析周期信号的离散频谱. 3 利用傅里叶积分(变换)分析非周期信号的连续频谱. 4 理解信号时域与频域间的关系. 5 用傅里叶变换的性质进行正、逆变换. 6 掌握抽样信号频谱的计算及抽样定理.
t0 T1
t0
cos(nw m, n 1t ) sin(mw 1t )dt 0 所有
利用正交函数系性质推 导系数an , bn
3 满足狄利克雷条件:(充分条件) ①在一个周期内，若有间断点存在，间断点数目应该是有限个 ②在一个周期内,极大值和极小值数目应该是有限个 ③在一个周期内,信号绝对可积
T
n2 f (t ) sin(nw1t )dt 0
n为奇数 n为偶数
2 1 f (t ) [sin(w1t ) 1 3 sin(3w1t ) 5 sin(5w1t ) ]
2 1 1 [cos(w1t 2 ) 3 cos(3w1t 2 ) 5 cos(5w1t 2 ) ]
n1
c0 1 c1 a12 b12 5
0 0 1 arctan
b1 a1
c2 1
Cn
Fn
n
w
相位频谱
w1 2 w1 3w1
幅度频谱
w
二:周期性方波信号的频谱
1
奇函数
1
T1 2
只含正弦项 奇次谐波项,奇次正弦项
T1
t
奇谐函数
f (t ) a0 [an cos(nw1t ) bn sin(nw1t )]
信号与系统分析——宗伟 7
4．离散时间与离散频率的傅里叶变换(DFS) 离散时间与离散频率的傅里叶变换(DFS)
离散周期时间信号 x ( k ) 的傅里叶变换 X ( n ) 也是离 散周期, 与 构成一对傅里叶变换对, 散周期, x ( k ) X ( n )构成一对傅里叶变换对,又称 为离散傅里叶级数. 为离散傅里叶级数. 傅里叶级数对为
D F T [ x1 ( k )] = X 1 ( n ), D F T [ x 2 ( k )] = X 2 ( n ),
则
D F T [ x1 ( k ) ⊗ x 2 ( k )] = X 1 ( n ) X 2 ( n )
证明: 证明
D F T [ x1 ( k ) ⊗ x 2 ( k )] = D F T [ ∑ x1 ( i ) x 2 (( k − i )) N G N ( i )]
N
)k
的离散傅里叶变换
W 40 W 40 W 40 x (0) 1 1 1 1 0 0 W 41 W 42 W 43 x (1) 1 − j − 1 j 1 − 2 j = = 2 4 6 W 4 W 4 W 4 x (2) 1 − 1 1 − 1 0 0 3 6 9 x (3) 1 j − 1 − j − 1 2 j W4 W4 W4
频域:周期 连续 频域 周期,连续 周期
综合以上三对傅里叶变换的规律可以得出: 综合以上三对傅里叶变换的规律可以得出 一个域中的连续性对应于另一个域中的非周期 性;一个域中的周期性对应于另一个域中的离散 一个域中的周期性对应于另一个域中的离散 性. 除了以上三种变换外,还有第四种变换存在,时 除了以上三种变换外,还有第四种变换存在, 域中周期离散函数对应于频域中离散周期函数, 域中周期离散函数对应于频域中离散周期函数, 即时域频域之间的傅里叶变换规律4: 即时域频域之间的傅里叶变换规律4: 时域:离散, 时域:离散,周期 DFS 频域:周期, 频域:周期,离散
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fL(
t
)
n
1 L
L/ 2 L/ 2
fL( t
)einwt dt einwt
.
下 面 我 们 研 究 非 周 期 函数 的 一 个 类 似 的 表 示
问 题. 为 了 方 便 ， 我 们 假 设 非周 期 函 数F ( t )在 区 间( ,)内 连 续 、 可 积 ， 且 绝 对可 积 ， 考 虑 区 间 （ L / 2, L / 2）,则F ( t )在 此 区 间 上 有 三 角级数表示
1 L/2
L L/2 fL(t )(cos(nwt) isin(nwt))dt
1 L
L/2 L/2
f L (t )einwt dt,
n 1,2,.
cn
an
ibn 2
1 L
L/ 2 L/ 2
fL(
t
)einwt dt ,
n 1,2,.
将上述3个式子写成一种统一的表示
1
cn L
L/ 2 L/ 2
F ( t ) cneinwt ,
n
Lt L,
2
2
其中系数为
1
cn L
2
n 0,1,2,.
这 样 ， 在 一 个 长 为L的 区 间 上 我 们 得 到 函 数F (t)
的 一 个 正 弦 函 数 类 表 示.当L越 大 时 ，FL(t)与F (t) 相 等 的 范 围 也 越 大 ， 可以 猜 测 当L 时 ， 周 期
第7章 傅里叶变换
§7.1 傅里叶变换
§7.2 函数及其傅里叶变换
§7.3 傅里叶变换的性质 §7.4 卷积
很多工程中的 问题最终可以归以归结为一个线 统对一个正弦
函数的输入的反应，余弦函数 cosx sin(x ),与正弦函数相
2
差 个相位，因此余弦函数 的输入也可以归结为正 弦函数的问
除了上述三角函数表示的形式外，傅里叶级数还可 以转换成复指数形式，而且在工程和理论研究中使 用更加广泛.
由欧拉公式 : cost eit eit ,sint eit eit
2
2i
因 此 ， 傅 里 叶 级 数 可 以表 示 成
fL( t )
a0 2
n1
an
e inwt
e inwt 2
例如，取对数能将数量 的乘法和除法运算变成 对数的和 与差，对运算的结果取 指数，就得到原来数量 的乘积或 商。把乘法和除法的运 算变成加法和减法的运 算，就是 将复杂的运算变成简单 的运算的一个典型的例 子。
本章介绍的傅里叶变换和下一章的拉普拉斯 变换是常见的两种积分变换，他们建立了将 一个函数表示为正弦函数和的公式，实现了 实变量和复变量之间的连接，同时还能将对 函数的微分运算变换成函数的乘法运算，将 一个微分方程问题变成一个代数方程问题求 解。因此他们不仅在理论上，而且在工程中 得到大量的应用。
e inwt bn
e inwt 2i
a0 an ibn einwt an ibn einwt .
2 n1 2
2
记c0
a0 2
1
L
L/2
L/ 2 f L (t )dt,
cn
an
ibn 2
1 L
L/2 L/2
fL(t)cos(nwt)dt i
L/2 L/2
fL(t)sin(nwt)dt
2 题。在这种情形中所有 的参数是实数，利用实 变量的分析技术 也能解决模型的分析问 题，然而，运用复变量 能极大地简化计 算，并且能深入理解参 数的本质。为此，我们 需要将一个函数 表示为正弦函数类的方 法，同时还需要一个连 接实变量和复变 量的方法。此外，把复 杂的运算化为较为简单 的运算，常常采 用一种变换技巧。
4 sin t, 4 1 sin 3t, 4 1 sin 5t, 4 1 sin 7t,
3
5
7
u 4 (sin t 1 sin 3t)
3
u 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t)
3
5
u 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t)
an
2 L
L/2
L/ 2 f L (t )cos(nwt)dt,
n 1,2,,
bn
2 L
L/2
L/ 2 f L (t )sin(nwt)dt,
n 1,2,.
f L (t )
a0 2
(ancos(nwt )
n1
bnsin(nwt )),
上面公式将一个周期函 数表示成正弦函数类的 和， 称为函数 f L (t )的傅里叶级数 .
3
5
7
u 4 (sin t 1 sin 3t 1 sin 5t 1 sin 7t 1 sin 9t)
3
5
7
9
u(t) 4 (sint 1 sin3t 1 sin5t 1 sin 7t )
3
5
7
( t ,t 0)
在 微 积 分 中 ， 我 们 学 过傅 里 叶 级 数 ， 我 们 知 道， 一 个
fL( t
)e inwt dt ,
n 0,1,2, ,
则 傅 里 叶 公 式 可 以 表 示成 复 指 数 形 式 为
f L ( t ) c0 ( cne inwt cne inwt ) n1
cne inwt .
n
这 就 是 傅 里 叶级 数 的 复指 数 形 式. 将 系 数 用 积 分 表示出来，则可写成为
§7.1 傅里叶变换
在物理学中，最简单的 波是谐波(正弦波)，它可表示
为Asin(wt )，其中A是振幅，w是角频率， 是初相位.
其它的波如矩形波,锯齿形波等往往都可以用 一系列谐波叠加表示出来.
1, 当 t 0
非正弦周期函数:矩形波
u
u(t )
1,
当0 t
1
o
t
1
不同频率正弦波逐个叠加
函 数FL(t )的 极 限 为F (t ),即 是
lim
L
FL
(t)
F
(t).
因 此 ， 我 们 得 到 函 数F (t)在 整 个 实 数 集 合 上 的 正弦
函 数 表 示 ， 即 对 任 意 的 t ,有
以L为 周 期 的 函 数fL( t ),如 果 在 区 间 L / 2, L / 2 上 连续 ， 那 么在 L / 2, L / 2上 可以 展 开成 傅 里 叶级数
f L (t )
a0 2
(ancos(nwt )
n1
bnsin(nwt )),
其中w
2
L
, a0
2 L
L/2
L/ 2 f L (t )dt,