二次根式规律探索题
八年级初二数学二次根式知识点及练习题及解析
一、选择题1．5﹣x ，则x 的取值范围是（ ） A ．为任意实数B ．0≤x≤5C ．x≥5D ．x≤52．下列运算错误的是（ ） A= B．=C．)216=D．)223=3．a b =--则（ ） A ．0a b +=B ．0a b -=C ．0ab =D ．220a b +=4．=a 、x 、y 是两两不同的实数，则22223x xy y x xy y +--+的值是( )A ．3B ．13C ．2D ．535．当4x =-的值为（ ）A ．1BC ．2D ．36．如果关于x 的不等式组0,2223x mx x -⎧>⎪⎪⎨-⎪-<-⎪⎩的解集为2x >则符合条件的所有整数m 的个数是（ ）． A ．5B ．4C ．3D ．27．下列计算正确的是（ ）A 6=± B．=C．6= D=（a≥0，b≥0）8．下列计算正确的是（ ）A=B=C4=D3=-9．下列运算正确的是（） A=B ．(28-=C12=D1=10．与根式1x x--的值相等的是（ ） A ．x -B ．2x x --C ．x --D ．x -二、填空题11．若m ＝20161-，则m 3﹣m 2﹣2017m +2015＝_____．12．把31a a-根号外的因式移入根号内，得________ 13．为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用“”表示算数平方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为： 22164?a x a x +=则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________，计算结果为_______________.14．已知函数1x f xx，那么21f _____．15．120654010144152118+++235a b c +的形式(,,a b c 为正整数)，则abc =______.16．下面是一个按某种规律排列的数阵：11第行325 62第行722310 11 233第行 131541732 19254第行根据数阵排列的规律，第 5 行从左向右数第 3 个数是 ，第 n （n 3≥ 且 n 是整数）行从左向右数第 n 2- 个数是 （用含 n 的代数式表示）．17．14+⋅⋅⋅=的解是______．18．已知实数m 、n 、p 满足等式，则p =__________．19．=_______．20．a ，小数部分是b b -=______.三、解答题21．观察下列各式子，并回答下面问题．（1）试写出第n 个式子（用含n 的表达式表示），这个式子一定是二次根式吗？为什么？ （2）你估计第16个式子的值在哪两个相邻整数之间？试说明理由．【答案】（1，该式子一定是二次根式，理由见解析；（215和16之间．理由见解析． 【分析】（1）依据规律可写出第n 个式子，然后判断被开方数的正负情况，从而可做出判断；（2）将16n =代入，得出第16，再判断即可． 【详解】解：（1 该式子一定是二次根式，因为n 为正整数，2(1)0n n n n -=-≥，所以该式子一定是二次根式（215=16=，∴1516<<.15和16之间． 【点睛】本题考查的知识点是二次根式的定义以及估计无理数的大小，掌握用“逼近法”估算无理数的大小的方法是解此题的关键．22．解：设x222(35)(35)2(35)(35)x =++-++-，即235354x =++-+，x 2=10 ∴x =10．∵3535++-＞0，∴3535++-=10． 请利用上述方法，求4747++-的值． 【答案】14 【分析】根据题意给出的解法即可求出答案即可． 【详解】设x =47++47-，两边平方得：x 2=（47+）2+（47-）2+247?47+-， 即x 2=4+7+4﹣7+6， x 2=14 ∴x =±14．∵47++47-＞0，∴x =14． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是正确理解题意给出的解法，本题属于中等题型．23．先化简，再求值：a+212a a -+，其中a ＝1007． 如图是小亮和小芳的解答过程．（1） 的解法是错误的；（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； （3）先化简，再求值：269a a -+a ＝﹣2018． 【答案】（1）小亮（22a （a ＜0）（3）2013. 【解析】试题分析：（12a ，判断出小亮的计算是错误的； （22a 的应用错误；（3）先根据配方法把被开方数配成完全平方，然后根据正确的性质化简，再代入计算即可. 试题解析：（1）小亮（2（a ＜0）（3）原式＝a+2（3-a ）＝6-a=6-（-2007）＝2013.24．-10 【分析】先根据二次根式的性质和平方差公式化简，然后再进行计算即可 【详解】=(22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦=()212--10+．10． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、平方差公式，灵活运用二次根式的性质化简是解答本题的关键．25．（1）计算：（2）先化简，再求值：(()8a a a a +--，其中14a =．【答案】（1）2）82-a ，【分析】（1）分别根据二次根式的除法法则、二次根式的性质、二次根式的乘法法则计算和化简各项，再合并同类二次根式即可；（2）分别根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则计算各项，再把a 的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】（1）==；（2）(()8a a a a +--2228a a a =--+82a =-,当14a =时，原式1824⎫=⨯-=⎪⎭．【点睛】本题考查了整式的乘法和二次根式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．26．已知x y ==求下列各式的值： (1)22x xy y -+； (2).y xx y+ 【答案】(1) 72;(2)8. 【分析】计算出xy=12， （1）把x 2-xy+y 2变形为（x+y ）2-3xy ，然后利用整体代入的方法计算；（2）把原式变形为2()2x y xyxy+-，然后利用整体代入的方法计算.【详解】∵x =，y ==32∴xy=12, (1)22x xy y -+ =（x+y ）2-3xy,=2132-⨯ =72; (2)y x x y +=2212()22812x y xy xy-⨯+-==.【点睛】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．27．2020(1)- 【答案】1 【分析】先计算乘方，再化简二次根式求解即可． 【详解】2020(1)-=1 =1． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，再合并即可．28．已知x²+2xy+y²的值. 【答案】16 【解析】分析：（1）根据已知条件先计算出x+y=4，再利用完全平方公式得到x²+2xy+y²=（x+y ）²，然后利用整体代入的方法计算． 本题解析： ∵x² +2xy+y² =(x+y)²，∴当∴x²+2xy+y²=(x+y)²=(2−=16.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据二次根式的性质得出5-x≥0，求出即可． 【详解】|5|5x x ==-=-， ∴5-x≥0， 解得：x≤5，故选D ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≥0，当a≤0．2．C解析：C 【分析】根据二次根式的化简、乘法、完全平方公式、平方差公式逐项判断即可得． 【详解】A =，此项正确；B 、=C 、)21516=+=+D 、)22743=-=，此项正确；故选：C ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简与乘法运算，熟记运算法则是解题关键．3．C解析：C 【分析】直接利用二次根式的性质 ，将已知等式左边化简，可以得到a 与b 中至少有一个为0，进而分析得出答案即可． 【详解】解:∵a b =--， ∴a-b=-a-b ， 或b-a=-a-b∴a= -a ，或b=-b, ∴a=0,或b=0, ∴ab=0, ∴0ab =． 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．4．B解析：B 【分析】根据根号下的数要是非负数，得到a （x-a ）≥0，a （y-a ）≥0，x-a≥0，a-y≥0，推出a≥0，a≤0，得到a=0，代入即可求出y=-x ，把y=-x 代入原式即可求出答案． 【详解】由于根号下的数要是非负数，∴a （x-a ）≥0，a （y-a ）≥0，x-a≥0，a-y≥0，a （x-a ）≥0和x-a≥0可以得到a≥0， a （y-a ）≥0和a-y≥0可以得到a≤0， 所以a 只能等于0，代入等式得，所以有x=-y ， 即：y=-x ，由于x ，y ，a 是两两不同的实数， ∴x ＞0，y ＜0． 将x=-y 代入原式得： 原式=()()()()2222313x x x x x x x x +---=--+-． 故选B ． 【点睛】本题主要考查对二次根式的化简，算术平方根的非负性，分式的加减、乘除等知识点的理解和掌握，根据算术平方根的非负性求出a 、x 、y 的值和代入求分式的值是解此题的关键．5．A解析：A 【分析】根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案． 【详解】 解：原式2223232323x x x x112323x x将4x =代入得， 原式114234232211131331133331131=.故选：A. 【点睛】本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．6．C解析：C 【分析】先求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集为2x >可得出m ≤2的值是整数，得出|m|=3或2，于是m=-3，3，-2或2，由m ≤2，得m=-3，-2或2． 【详解】 解：解不等式02x m->得x ＞m ， 解不等式223x x --<-得x ＞2， ∵不等式组解集为x ＞2， ∴m ≤2，则|m|=3或2，∴m=-3，3，2或-2， 由m ≤2得，m=-3，-2或2．即符合条件的所有整数m 的个数是3个． 故选：C ． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及二次根式的性质，熟练运用一元一次不等式组的解法是解题的关键．7．D解析：D6=，故A 不正确；根据二次根式的除法，可直接得到2=，故B 不正确； 根据同类二次根式的性质，可知C 不正确；= （a≥0，b≥0）可知D 正确.故选：D8．B解析：B 【分析】由二次根式的乘法、除法，二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A A 错误；B =，故B 正确；C ==C 错误；D 3=，故D 错误；故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的乘法、除法，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．9．B解析：B【分析】根据二次根式的性质及运算法则依次计算各项后即可解答．【详解】选项A A 错误；选项B ，(2428-=⨯=，选项B 正确；选项C 124==，选项C 错误；选项D 1，选项D 错误．综上，符合题意的只有选项B ．故选B ．【点睛】本题考查了二次根式的性质及运算法则，熟练运用二次根式的性质及运算法则是解决问题的关键．10．D解析：D【分析】先化简二次根式，再计算二次根式的乘法即可.【详解】由题意可得x 是负数，所以-x x-⋅=- 故选：D .【点睛】此题考查二次根式的化简，二次根式的乘法计算法则，正确化简二次根式是解题的关键，注意题目中x 的符号是负号，这是解题的难点. 二、填空题11．4030【分析】利用平方差公式化简m ，整理要求的式子，将m 的值代入要求的式子计算即可.【详解】m== m==+1，∴m3-m2-2017m+2015=m2（m ﹣1）﹣2017m+2015解析：4030【分析】利用平方差公式化简m ，整理要求的式子，将m 的值代入要求的式子计算即可.【详解】mm ）， ∴m 3-m 2-2017m +2015=m 2（m ﹣1）﹣2017m +2015= ）22017）+2015=（2017+2015﹣2=4030.故答案为4030.【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及二次根式的混合运算.12．【分析】根据被开方数大于等于零，可得出，再根据二次根式的性质进行计算即可．【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质【分析】根据被开方数大于等于零，可得出0a <，再根据二次根式的性质进行计算即可．【详解】 解：∵310a-≥， ∴0a <，∴===故答案为：a ． 【点睛】本题考查的知识点是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的基本性质是解此题的关键．13．a+3【分析】根据题意可知图中的甲代表a,据此可写出图2中表示的式子.再根据二次根式的性质进行化简.【详解】解：根据题意可知图中的甲代表a,∴图2所示题目（字母代表正数）翻【分析】根据题意可知图中的甲代表a,据此可写出图2中表示的式子.再根据二次根式的性质进行化简.【详解】解：根据题意可知图中的甲代表a,∴图2∵a ＞0+3.a =a+3. 【点睛】本题考查阅读理解的能力，正确理解题意是关键. 14．【分析】根据题意可知，代入原函数即可解答.【详解】因为函数，所以当时， ．【点睛】本题主要考查了代数式求值问题，熟练掌握相关知识点以及二次根式的运算是解题关键.解析：2+【分析】根据题意可知1x =，代入原函数即可解答. 【详解】 因为函数1x f xx ，所以当1x =时， 211()2221f x ． 【点睛】本题主要考查了代数式求值问题，熟练掌握相关知识点以及二次根式的运算是解题关键. 15．【解析】【分析】根据题意，可得到=，利用平方关系把根号去掉，根据、、的系数相等的关系得到关于a ，b ，c 的三元方程组，解方程组即可.【详解】∵=∴，即．解得．【点睛】本题考查了解析：【解析】【分析】a ，b ，c 的三元方程组，解方程组即可.【详解】∴(22118=，即2222118235a b c =+++++．2222352118,2120,2540,2144,a b c ab ac bc ⎧++=⎪=⎪∴⎨=⎪⎪=⎩ 解得15,4,18.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩154181080abc ∴=⨯⨯=．【点睛】本题考查了二次根式的加减，解本题的关键是将等式平方去根号，利用等量关系中等式左、.16．；．【分析】根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．【详解】观察表【分析】根据被开方数是连续的自然数写出即可；根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数写出第（n-1）行的最后一个数，然后被开方数加上（n-2）即可求解．【详解】观察表格中的数据可得，第5行从左向右数第3=∵第（n-1，∴第n （n ≥3且n 是整数）行从左向右数第n-2个数是．．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出被开方数是连续自然数并且每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数是解题的关键．17．9【解析】【分析】设y=，由可将原方程进行化简，解化简后的方程即可求得答案.【详解】设y=，则原方程变形为，∴，即，∴4y+36-4y=y(y+9)，即y2+9y-36=0，∴解析：9【解析】【分析】设()11111y y y y =-++可将原方程进行化简，解化简后的方程即可求得答案. 【详解】设则原方程变形为 ()()()()()1111112894y y y y y y ++=+++++， ∴1111111112894y y y y y y -+-++-=+++++， 即11194y y -=+， ∴4y+36-4y=y(y+9)，即y 2+9y-36=0，∴y=-12或y=3， ∵， ∴，∴x=9，故答案为：9.【点睛】本题考查了解无理方程，解题的关键是利用换元法，还要注意()11111y y y y =-++的应用. 18．5【解析】试题解析：由题可知，∴，∴，∴，①②得，，解方程组得，∴．故答案为：5.解析：5【解析】试题解析：由题可知3030m n m n -+≥⎧⎨--≥⎩， ∴3m n +=，0=，∴35200m n p m n p +--=⎧⎨--=⎩①②， ①-②得2620m n +-=，31m n +=，解方程组331m n m n +=⎧⎨+=⎩得41m n =⎧⎨=-⎩， ∴4(1)5p m n =-=--=．故答案为：5.19．【分析】设，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论．【详解】解：设，由算术平方根的非负性可得t≥0，则．故答案为：．【点睛】此题考查的是二t =，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论．【详解】t =，由算术平方根的非负性可得t ≥0，则244t =+8=+8=+81)=+6=+21)=1t ∴=．．【点睛】此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键．20．【详解】若的整数部分为a ，小数部分为b ，∴a=1，b=，∴a -b==1．故答案为1．解析：【详解】a ，小数部分为b ，∴a =1，b 1，∴-b 1)=1．故答案为1．三、解答题21．无22．无23．无25．无26．无27．无28．无。
二次根式知识点及例题
二次根式知识点及例题(总19页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第十六章二次根式知识点一、二次根式1.定义0)a≥a叫做被开方数．注意：(1)二次根号的定义是从形式上界定的，即必须含有二次根号．(2)二次根式的被开方数可以是一个数字，也可以是一个代数式，但必须满足被开方数大于等于0．(3)根指数是2，这里的2可以省略不写．(4)形如0)a≥的式子也是二次根式，它表示b例题：1.下列各式中，一定是二次根式的是．12x⎫<⎪⎭练习：1.下列各式中，一定是二次根式的是．0,0)x y≥≥知识点二、二次根式有意义的条件1.a≥a<2.从具体的情况总结，如下：(1)0A≥；(2)⋅⋅⋅有意义的条件：ABN≥⎧⎪≥⎪⎨⋅⋅⋅⎪⎪≥⎩；(3)0A>；(4)二次根式作为分式的分子如B A有意义的条件：00A B ≥⎧⎨≠⎩．例题：1.当x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义．11x ++练习：知识点三、二次根式的性质（重点，难点）性质10)a ≥具有双重非负性，它即表示二次根式，又表示非负数a 的算式平方根，具体描述为：0；a 是非负数． 注意：几个非负数的和为0时，这几个非负数必须同时为0． 例题：练习：则2015)(yx 的值为________．3.已知a ,b 4b +，求a ，b的值．2210b b -+=，求221a ba +-的值．性质2：2(0)a a=≥，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身． 注意：不能忽略0a ≥这一限制条件，导致类似24=-的错误．性质3(0)(0)a a aa a ≥⎧=⎨-<⎩，即当一个数为非负数时，它的平方的算术平方根等于它本身，记为(0)a a =≥(0)a a -<．注意：不要认为a2-的错误． 2的区别与联系：联系 2a 与2()a 均为非负数，且当0a ≥时，22()a a =例题： 1.计算： (1) 23()5 (2)22(10)- (3) 22(3)3- (4)21(14)22.计算：(1)23()5(2)23()5- (3) 2(6)- (4)2(3.14)π-3.当m <3时，2(3)m -=_______．4.设三角形的三边长为a ，b ，c ，试化简：2222()()()()a b c a b c b a c c b a +++--+-----． 练习： 1.计算：(1) 2( 3.4) (2) 2( 3.4)- (3) 2(3)π- (4) 2(4)π-2.若23a <<，则22(2)(3)a a ---等于（ ） A . 52a - B . 12a - C . 25a - D . 21a -3.已知实数a b 、在数轴上的位置如图所示，化简：222+()a b a b +-．4.已知a 2224a a a +--的值．知识点四、二次根式的乘除 1.二次根式的乘法法则0,0)ab ab a b =≥≥．提示：(1)在设计二次根式运算时没有特备说明，所有字母都表示正数；(2),a b 可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的． 推广a bcd abcd =()0,0,0,0a b c d ≥≥≥≥．ab ab =a b （0,0a b ≥≥）．例题： 1.计算：(1)62⨯ (2) )32(276-⨯ (3))196()121(-⨯-(4))33)(31(+-38xy y (6)8y y2.化简：(1)1259⨯ (2) 24323.(1)比较的大小__________， (2)比较3655与的大小__________． 练习：1.计算： (1) )196()121(-⨯- (2) )33)(31(+-329y (4) 9y xy2.化简：(1)12116⨯ (2) 96323.比较6456与的大小__________，(2)比较8338与的大小__________．3.分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)
初二二次根式所有知识点总结和常考题知识点：1、二次根式: 形如的式子.①二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。
②非负性2、最简二次根式：满足：①被开方数不含分母;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式.3、化最简二次根式的方法和步骤：(1）如果被开方数含分母，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简.(2）如果被开方数含能开得尽方的因数或因式,先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3、二次根式有关公式（1) （2）（3）乘法公式（4)除法公式4、二次根式的加减法则:先将二次根式化为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并。
5、二次根式混合运算顺序：先乘方，再乘除,最后加减，有括号的先算括号里的.常考题：一．选择题(共14小题）1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．2．式子有意义的x的取值范围是()A．x≥﹣且x≠1 B．x≠1 C． D．3．下列计算错误的是（）A． B． C． D．4．估计的运算结果应在（)A．6到7之间B．7到8之间C．8到9之间D．9到10之间5．如果=1﹣2a，则(）A．a＜B．a≤C．a＞D．a≥6．若=（x+y）2,则x﹣y的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．37．是整数，则正整数n的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．78．化简的结果是(）A． B． C． D．9．k、m、n为三整数，若=k，=15，=6，则下列有关于k、m、n的大小关系,何者正确？(）A．k＜m=n B．m=n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n10．实数a在数轴上的位置如图所示,则化简后为（）A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定11．把根号外的因式移入根号内得()A． B． C． D．12．已知是正整数，则实数n的最大值为(）A．12 B．11 C．8 D．313．若式子有意义,则点P(a，b）在（)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限14．已知m=1+，n=1﹣,则代数式的值为()A．9 B．±3 C．3 D．5二．填空题(共13小题)15．实数a在数轴上的位置如图所示，则|a﹣1｜+=．16．计算：的结果是．17．化简：（﹣)﹣﹣|﹣3|=．18．如果最简二次根式与是同类二次根式,则a=．19．定义运算“@”的运算法则为：x＠y=,则(2@6)＠8=．20．化简×﹣4××(1﹣）0的结果是．21．计算：﹣﹣=．22．三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的周长为cm．23．如果最简二次根式与能合并，那么a=．24．如图,矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是．（结果保留根号)25．实数p在数轴上的位置如图所示，化简=．26．计算:=．27．已知a、b为有理数,m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b=．三．解答题（共13小题)28．阅读下列材料,然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子,其实我们还可以将其进一步化简：（一）==（二)===﹣1(三)以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：====﹣1（四）（1)请用不同的方法化简．(2） 参照（三）式得=；‚参照（四)式得=．(3）化简:+++…+．29．计算：（﹣1）（+1)﹣（﹣）﹣2+|1﹣｜﹣（π﹣2）0+．30．先化简，再求值：，其中．31．先化简，再求值：，其中x=1+,y=1﹣．32．先化简，再求值：，其中．33．已知a=,求的值．34．对于题目“化简并求值:+,其中a=",甲、乙两人的解答不同．甲的解答：+=+=+﹣a=﹣a=;乙的解答：+=+=+a﹣=a=．请你判断谁的答案是错误的,为什么?35．一个三角形的三边长分别为、、（1）求它的周长（要求结果化简）；(2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．36．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术"，即已知三角形的三边长,求它的面积．用现代式子表示即为：…①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）．而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式:s=…②(其中p=．）（1）若已知三角形的三边长分别为5，7,8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；（2)你能否由公式①推导出公式②？请试试．37．已知：,,求代数式x2﹣xy+y2值．38．计算或化简：（1);（2)（a＞0，b＞0）．39．先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b=m，ab=n，使得+=m，=,那么便有：==±(a＞b）．例如:化简．解：首先把化为，这里m=7，n=12，由于4+3=7，4×3=12即+=7，×=∴===2+．由上述例题的方法化简:．40．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索:设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数)，则有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2,b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b,得：a=，b=；(2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+ =(+ ）2；（3）若a+4=,且a、m、n均为正整数，求a的值?初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习（含答案解析）参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2005•岳阳)下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】B、D选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C选项的被开方数中含有分母;因此这三个选项都不是最简二次根式．【解答】解：因为:B、=4;C、=；D、=2；所以这三项都不是最简二次根式．故选A．【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：（1)在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；(2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数)，如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式．2．（2013•娄底）式子有意义的x的取值范围是(）A．x≥﹣且x≠1 B．x≠1 C． D．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．【解答】解:根据题意得,2x+1≥0且x﹣1≠0，解得x≥﹣且x≠1．故选A．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．3．（2007•荆州）下列计算错误的是（）A． B． C． D．【分析】根据二次根式的运算法则分别计算，再作判断．【解答】解：A、==7,正确；B、==2，正确；C、+=3+5=8，正确；D、,故错误．故选D．【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．二次根式的加减运算，先化为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．4．(2008•芜湖）估计的运算结果应在（）A．6到7之间B．7到8之间C．8到9之间D．9到10之间【分析】先进行二次根式的运算，然后再进行估算．【解答】解：∵=4+,而4＜＜5,∴原式运算的结果在8到9之间；故选C．【点评】本题考查了无理数的近似值问题，现实生活中经常需要估算，“夹逼法"是估算的一般方法，也是常用方法．5．（2011•烟台）如果=1﹣2a，则(）A．a＜B．a≤C．a＞D．a≥【分析】由已知得1﹣2a≥0，从而得出a的取值范围即可．【解答】解：∵,∴1﹣2a≥0，解得a≤．故选:B．【点评】本题考查了二次根式的化简与求值，是基础知识要熟练掌握．6．(2009•荆门)若=（x+y)2，则x﹣y的值为(）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【分析】先根据二次根式的性质,被开方数大于或等于0,可求出x、y的值，再代入代数式即可．【解答】解：∵=(x+y）2有意义,∴x﹣1≥0且1﹣x≥0,∴x=1，y=﹣1,∴x﹣y=1﹣（﹣1）=2．故选：C．【点评】本题主要考查了二次根式的意义和性质:概念：式子（a≥0)叫二次根式;性质:二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．7．（2012秋•麻城市校级期末)是整数，则正整数n的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】本题可将24拆成4×6，先把化简为2，所以只要乘以6得出62即可得出整数,由此可得出n的值．【解答】解：∵==2，∴当n=6时,=6,∴原式=2=12，∴n的最小值为6．故选:C．【点评】本题考查的是二次根式的性质．本题还可将选项代入根式中看是否能开得尽方，若能则为答案．8．（2013•佛山）化简的结果是（）A． B． C． D．【分析】分子、分母同时乘以(+1）即可．【解答】解：原式===2+．故选：D．【点评】本题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．9．（2013•台湾）k、m、n为三整数,若=k，=15，=6，则下列有关于k、m、n的大小关系,何者正确？（)A．k＜m=n B．m=n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n【分析】根据二次根式的化简公式得到k,m及n的值，即可作出判断．【解答】解：=3,=15,=6,可得：k=3，m=2，n=5，则m＜k＜n．故选：D【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．10．(2011•菏泽）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为()A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定【分析】先从实数a在数轴上的位置，得出a的取值范围,然后求出（a﹣4）和（a﹣11）的取值范围,再开方化简．【解答】解:从实数a在数轴上的位置可得，5＜a＜10，所以a﹣4＞0，a﹣11＜0，则,=a﹣4+11﹣a,=7．故选A．【点评】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解二次根式的算术平方根等概念．11．(2013秋•五莲县期末）把根号外的因式移入根号内得（)A． B． C． D．【分析】根据二次根式的性质及二次根式成立的条件解答．【解答】解：∵成立，∴﹣＞0,即m＜0，原式=﹣=﹣．故选：D．【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．二次根式成立的条件:被开方数大于等于0,含分母的分母不为0．12．（2009•绵阳）已知是正整数,则实数n的最大值为（)A．12 B．11 C．8 D．3【分析】如果实数n取最大值，那么12﹣n有最小值；又知是正整数,而最小的正整数是1，则等于1,从而得出结果．【解答】解：当等于最小的正整数1时，n取最大值，则n=11．故选B．【点评】此题的关键是分析当等于最小的正整数1时，n取最大值．13．（2005•辽宁）若式子有意义，则点P(a,b)在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据二次根式的被开方数为非负数和分母不为0，对a、b的取值范围进行判断．【解答】解：要使这个式子有意义，必须有﹣a≥0，ab＞0，∴a＜0，b＜0，∴点(a,b）在第三象限．故选C．【点评】本题考查二次根式有意义的条件,以及各象限内点的坐标的符号．14．(2013•上城区一模)已知m=1+，n=1﹣，则代数式的值为（）A．9 B．±3 C．3 D．5【分析】原式变形为，由已知易得m+n=2，mn=(1+）(1﹣）=﹣1，然后整体代入计算即可．【解答】解：m+n=2，mn=（1+）（1﹣）=﹣1,原式====3．故选:C．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：先把被开方数变形，用两个数的和与积表示，然后利用整体代入的思想代入计算．二．填空题（共13小题）15．（2004•山西）实数a在数轴上的位置如图所示，则｜a﹣1｜+=1．【分析】根据数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的大，分别得出a﹣1与0,a﹣2与0的关系，然后根据绝对值的意义和二次根式的意义化简．【解答】解：根据数轴上显示的数据可知：1＜a＜2，∴a﹣1＞0,a﹣2＜0，∴|a﹣1｜+=a﹣1+2﹣a=1．故答案为:1．【点评】本题主要考查了数轴，绝对值的意义和根据二次根式的意义化简．二次根式的化简规律总结：当a≥0时，=a；当a≤0时，=﹣a．16．(2013•南京）计算:的结果是．【分析】先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式=﹣=．故答案为:．【点评】本题考查了二次根式的加减运算,属于基础题，关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．17．（2013•泰安）化简:（﹣）﹣﹣｜﹣3|=﹣6．【分析】根据二次根式的乘法运算法则以及绝对值的性质和二次根式的化简分别化简整理得出即可．【解答】解：（﹣）﹣﹣｜﹣3｜=﹣3﹣2﹣(3﹣），=﹣6．故答案为：﹣6．【点评】此题主要考查了二次根式的化简与混合运算,正确化简二次根式是解题关键．18．（2006•广安）如果最简二次根式与是同类二次根式，则a=5．【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义,列方程求解．【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴3a﹣8=17﹣2a,解得：a=5．【点评】此题主要考查最简二次根式和同类二次根式的定义．19．（2007•芜湖）定义运算“＠”的运算法则为：x＠y=，则（2＠6）＠8=6．【分析】认真观察新运算法则的特点，找出其中的规律，再计算．【解答】解：∵x＠y=，∴(2@6）＠8=＠8=4＠8==6，故答案为：6．【点评】解答此类题目的关键是认真观察新运算法则的特点，找出其中的规律，再计算．20．(2014•荆州)化简×﹣4××（1﹣)0的结果是．【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义计算得到原式=2﹣，然后合并即可．【解答】解:原式=2×﹣4××1=2﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂．21．（2014•广元）计算：﹣﹣=﹣2．【分析】分别进行分母有理化、二次根式的化简，然后合并求解．【解答】解:==﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了二次根式的加减法,本题涉及了分母有理化、二次根式的化简等运算,属于基础题．22．（2013•宜城市模拟）三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的周长为5 cm．【分析】三角形的三边长的和为三角形的周长,所以这个三角形的周长为++，化简合并同类二次根式．【解答】解：这个三角形的周长为++=2+2+3=5+2（cm）．故答案为：5+2(cm）．【点评】本题考查了运用二次根式的加减解决实际问题．23．(2012秋•浏阳市校级期中）如果最简二次根式与能合并，那么a=1．【分析】根据两最简二次根式能合并,得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可．【解答】解：根据题意得，1+a=4a﹣2，移项合并，得3a=3，系数化为1，得a=1．故答案为:1．【点评】本题考查了最简二次根式,利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．24．(2006•宿迁)如图,矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6,那么矩形内阴影部分的面积是2﹣2．（结果保留根号）【分析】根据题意可知，两相邻正方形的边长分别是和，由图知，矩形的长和宽分别为+、，所以矩形的面积是为（+）•=2+6,即可求得矩形内阴影部分的面积．【解答】解:矩形内阴影部分的面积是（+）•﹣2﹣6=2+6﹣2﹣6=2﹣2．【点评】本题要运用数形结合的思想，注意观察各图形间的联系,是解决问题的关键．25．（2003•河南）实数p在数轴上的位置如图所示，化简=1．【分析】根据数轴确定p的取值范围,再利用二次根式的性质化简．【解答】解:由数轴可得，1＜p＜2,∴p﹣1＞0，p﹣2＜0，∴=p﹣1+2﹣p=1．【点评】此题从数轴读取p的取值范围是关键．26．（2009•泸州)计算：=2．【分析】运用二次根式的性质：=|a｜，由于2＞，故=2﹣．【解答】解：原式=2﹣+=2．【点评】合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．27．（2011•凉山州）已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b= 2.5．【分析】只需首先对估算出大小,从而求出其整数部分a，其小数部分用﹣a表示．再分别代入amn+bn2=1进行计算．【解答】解:因为2＜＜3，所以2＜5﹣＜3,故m=2,n=5﹣﹣2=3﹣．把m=2，n=3﹣代入amn+bn2=1得，2（3﹣）a+（3﹣)2b=1化简得(6a+16b）﹣（2a+6b）=1,等式两边相对照，因为结果不含，所以6a+16b=1且2a+6b=0，解得a=1.5，b=﹣0。
初三数学二次根式试题答案及解析
初三数学二次根式试题答案及解析1.在0.1，﹣3，和这四个实数中，无理数是（）A．0.1B．﹣3C．D．【答案】C【解析】在0.1，﹣3，和这四个实数中，无理数有：【考点】无理数2.读取表格中的信息，解决问题.a=b+2c b=c+2a c=a+2b满足的n可以取得的最小整数是．【答案】7．【解析】由，，，….∵，∴.∴.∵36＜2014＜37，∴n最小整数是7．【考点】1.探索规律题（数字的变化类）；2.二次根式化简；3.不等式的应用．3.计算sin245°+cos30°•tan60°，其结果是（）A．2B．1C．D．【答案】A【解析】原式=（）2+×=+=2．故选：A．【考点】1、特殊角的三角函数值；2、实数的计算4.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜2B．x≤2C．x＞2D．x≥2【答案】D【解析】根据题意得：x﹣2≥0，解得：x≥2．故选D．【考点】二次根式有意义的条件5.在下列实数中，无理数是（）A．2B．3.14C．D．【答案】D．【解析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项：A、是整数，是有理数，选项错误；B、是小数，是有理数，选项错误；C、是分数，是有理数，选项错误；D、是无理数，选项正确析.故选D．【考点】无理数.6.二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x<1B．x≥1C．x≤-1D．x<-1【答案】B．【解析】根据题意得：x-1≥0，解得：x≥1．故选B．考点: 二次根式有意义的条件．7.下列计算正确的是 ()A．－＝B．＝－＝1C．÷(－)＝－1D．＝3【答案】A【解析】∵－＝2－＝∴A对．∵＝＝∴B错．∵÷(－)＝＝＝＋1∴C错∵＝＝＝3－1∴D错．选A.8.计算：·－＝________．【答案】2【解析】原式＝－＝3－＝2.9.下列各式中，正确的是 ()A．＝－3B．－＝－3C．＝±3D．＝±3【答案】B【解析】因为－＝－＝－3，所以选B.10. 9的算术平方根是( )A．3B．±3C．81D．±81【答案】A.【解析】9的算术平方根是.故选A.考点: 算术平方根．11.已知则.【答案】【解析】因为所以所以，故.12.下列运算正确的是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】A．与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；B．，故本选项正确；C．3与不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；D. ，，故本选项错误.故选B.考点: 二次根式的运算与化简.13.的值等于（）A．4B．－4C．±4D．【答案】A.【解析】根据42=16,可得.故选A．【考点】算术平方根.14.的算术平方根是（）A．4B．C．2D．【答案】C.【解析】根据算术平方根的定义解答即可．∵∴4的算术平方根是2.故选C.考点:算术平方根．15.观察分析下列数据，按规律填空：（第n个数）.【答案】.【解析】寻找规律:可写为.【考点】探索规律题(数字的变化类).16.下列计算正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A、与不是同类二次根式，无法合并，B、，C、，均错误；D、，本选项正确.【考点】二次根式的混合运算17.下列计算，正确的是A．B．C．D．【答案】C.【解析】A、与不是同类二次根式，不能合并，故A错误；B、与不是同类二次根式，不能合并，故B错误；C、，该选项正确；D、，故本选项错误.故选C.考点: 二次根式的混合运算.18.计算【答案】.【解析】先化简二次根式，再合并同类二次根式，最后算除法即可求出答案.试题解析：考点: 二次根式的混合运算.19.计算：＝．【答案】7.【解析】直接根据二次根式的性质与化简进行计算即可．.故填7.【考点】二次根式的性质与化简．20.已知：a.b.c满足,求：（1）a,b,c的值；（2）试问以a,b,c为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由.【答案】（1）a=2,b=5,c=3;（2）能构成三角形,周长=.【解析】（1）几个非负数的和为零,要求每一项为零,由题,a-2=0,b-5=0,c-3=0,a=2 ,b=5,c=3;（2）能构成三角形的条件是两边之和大于第三边,由题,,而,所以能构成三角形,周长=. 试题解析：（1）由题,∴a-2=0,b-5=0,c-3=0,∴a=2,b=5,c=3;（2）∵,,∴能构成三角形,三角形的周长=.【考点】1.非负数的性质;2.三角形三边的关系.21.下列二次根式中，取值范围是的是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使在实数范围内有意义，必须；要使在实数范围内有意义，必须；要使在实数范围内有意义，必须；要使在实数范围内有意义，必须，因此，取值范围是的是. 故选C．【考点】二次根式和分式有意义的条件.22.若，,求.的值【答案】4【解析】本题考查的是二次根式的混合运算，同时考查了因式分解，把a2b+ab2的因式分解为ab(a-b)，再代入计算即求解为4.试题解析：解：∵，∴∴【考点】1、二次根式的混合运算.2、因式分解.23.如果，那么= ．【答案】-2【解析】根据题意，可得=0，∣b-2∣=0，从而得到a+1=0，a=-1，b-2=0，b=2，ab=-2.因为二次根式为非负数，一个数的绝对值为非负数，由几个非负数的和为零，要求每一项都为零，即=0，∣b-2∣=0，而零的二次根式为0,0的绝对值为0，从而得到a+1=0，b-2=0，解得a=-1，b=2，ab=-2.【考点】几个非负数的和为零，要求每一项都为零.24.若平行四边形的一边长为2，面积为，则此边上的高介于A．3与4之间B．4与5之间C．5与6之间D．6与7之间【答案】B【解析】先根据四边形的面积公式列出算式，求出高的值，再估算出无理数，即可得出答案：根据四边形的面积公式可得：此边上的高=。
数学人教版八年级下册数学预习内容：第十六章二次根式
优质资料---欢迎下载先看课本，再做题星期一第十六章 二次根式16．1 二次根式第1课时 二次根式的概念1．一般地，我们把形如a (a ≥0) 的式子叫做二次根式．注意：判断一个式子是不是二次根式，正确理解二次根式的定义． (1)从形式上看，带有；(2)从被开方数看，被开方数__不小于零__； (3)a (a ≥0)实际上就是非负数a 的__算术平方根__．2．下列式子是二次根式的有( D ) ①15；②－5；③ －x 2＋2；④ 6；⑤⎝⎛⎭⎪⎫1－132；⑥1－a ；⑦ a 2－2a ＋1. A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．能使3x －6有意义的x 的值是( C ) A ．x >2 B ．x ≠－2 C ．x ≥2D ．x ≠2知识点 二次根式的概念1．下列各式中，一定是二次根式的是( C ) A.－3 B.x C.a 2 D.332．若代数式x －2x －1有意义，则实数x 的取值范围是( B ) A ．x ≥1 B ．x ≥2 C ．x >1D ．x >23．若二次根式x －2 019在实数范围内有意义，则x 的取值范围是__x ≥2_019__.4．当a ≥－32 时，式子2a ＋3是二次根式． 5．判断下列各式哪些是二次根式，哪些不是二次根式． (1)－8；(2)x 2＋2；(3)25；(4)3－27； (5)(－a )2；(6)y 2＋2y ＋1；(7)－|x |＋7； (8)a ＋1.解：(1)(4)(7)(8)不是二次根式，(2)(3)(5)(6)是二次根式．6．当x 取何值时，下列各式有意义？ (1)2－3x ；(2)－x 2；(3)x 2－6x ＋9； (4)3x －11－x ；(5)2x 2＋1；(6)x －3＋4－x .解：(1)2－3x ≥0，x ≤23.(2)－x 2≥0，x 2≤0，∴x ＝0. (3)x 2－6x ＋9＝(x －3)2， ∵(x －3)2≥0，∴x 为全体实数． (4)3x －1≥0且1－x >0，∴13≤x <1. (5)x 为一切实数．(6)x －3≥0且4－x ≥0，∴3≤x ≤4.7．若x ，y 都是实数，且y ＝x －4＋4－x ＋1，求x ＋3y 的值．解：由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，4－x ≥0，解得x ＝4，则y ＝1，x ＋3y ＝2＋3＝5.星期二二次根式的概念一、选择题1．(2019·黄石中考)若式子x－1x－2在实数范围内有意义，则x的取值范围是(A)A．x≥1且x≠2 B．x≤1 C．x>1且x≠2 D．x<12．在式子(1)a；(2)3；(3)12；(4)23中，二次根式的个数是(C)A．1 B．2C．3 D．43．如果－a(x2＋1)是二次根式，则(A)A．a≤0 B．a≥0C．a＜0 D．a＞04．已知12－n是整数，则实数n的最大值为(A) A．12 B．11C．8 D．35．若1－x1－|x|在实数范围内有意义，则x的取值范围是(D)A．－1＜x＜1 B．x≤1C ．x ＜1且x ≠0D ．x ＜1且x ≠－16．若实数x ，y 满足x －2＋2－x ＝(x ＋y －1)2，则x －y 的值为( D )A ．－1B ．1C ．2D ．3二、填空题7．使式子m －2有意义的最小整数m 是__2__.8．若1x －1＋3－2x 有意义，则实数x 的取值范围是 x ≤32，且x ≠1 .9．若a ，b 为实数，且b ＝a 2－1＋1－a 2a ＋7＋4，则a ＋b ＝__5或3__.三、解答题10．x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)(2x ＋1)2； (2)21－x； 解：(1)∵不论x 取何实数，均有(2x ＋1)2≥0， ∴x 取任何实数，(2x ＋1)2都有意义．(2)当x ≥0,1－x ≠0，即x ≥0且x ≠1时，21－x 有意义．(3)x ＋1x －1＋(x －2)0; (4)2x ＋3＋1x ＋1.解：(3)依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≠0，x －2≠0，解得x ≥－1且x ≠1,2，∴x ≥－1且x ≠1,2时，式子x ＋1x －1＋(x －2)0有意义．(4)当2x ＋3≥0，x ＋1≠0，即x ≥－32且x ≠－1时，式子2x ＋3＋1x ＋1有意义．11．已知a 为实数，求代数式a ＋4－9－2a ＋－a 2的值． 解：∵－a 2≥0，∴a ＝0，∴原式＝4－9＝－1.12．当x 为何值时，9x ＋1＋3的值最小？最小值是多少？ 解：∵9x ＋1≥0，∴当9x ＋1＝0，即x ＝－19时，式子9x ＋1＋3的值最小，最小值是3.13．已知实数a 满足|2 019－a |＋a －2 020＝a ，求a －2 0192的值．解：根据题意得，a－2 020≥0，解得a≥2 020，去掉绝对值符号得，a－2 019＋a－2 020＝a，所以a－2 020＝2 019，两边平方得，a－2 020＝2 0192，所以a－2 0192＝2 020.星期三第2课时二次根式的性质与化简1．(a)2＝__a__(a≥0)．2.a2＝__a__(a≥0)．3．用基本运算符号(基本运算包括__加__、__减__、乘、__除__、__乘方__和__开方__)把数或__表示数的字母__连接起来的式子，叫做代数式．4．(1)(a)2＝a成立的条件是__a≥0__；(2)a2＝a，则a的取值范围是__a≥0__.5．－(3)2－32＝__－6__.知识点一(a)2＝a(a≥0)1．式子(a－1)2＝a－1成立的条件是(C)A．a<1B．a≠1C．a≥1D．a≤12．计算：(57)2＝__175__；(－2x)2＝__4x__；(－37)2＝__63__；(x 2＋2)2＝__x 2＋2__. 知识点二a 2＝|a|3．(2019·广东中考)化简42的结果是( B ) A ．－4 B ．4 C ．±4D ．24．下列等式正确的是( B ) A.(－2)2＝－2 B ．(2)2＝2 C ．－(－2)2＝2D ．(－2)2＝－2 5．下列各式成立的是( D ) A.(－2)2＝－2 B ．(4)2＝2 C.a 2＝aD.(－3)2＝3 6．式子x 2＝(x )2中，x 应满足( B ) A ．任意实数 B ．x ≥0 C ．x ≠0D ．x >07.(2a －1)2＝1－2a ，则( B ) A ．a ＜12 B ．a ≤12 C ．a ＞12D ．a ≥12 8．化简|x －y |－x 2(x ＜y ＜0)的结果是( B ) A ．y ＝y －2x B ．yC．2x－y D．－y9．适合(a－3)2＝3－a的正整数a的值有__3__个．10．用一组a，b的值说明式子“(ab)2＝ab”是错误的，这组值可以是a＝__－1__，b＝__2(答案不唯一)__．11．若a＜1，化简(a－1)2－1＝__－a__.12．计算：32＝__3__；(－7)2＝__7__；104＝__102__；(1－3)2＝3－1.13．计算：(1)(－92)2; (2) (2－5)2；解：(1)(－92)2＝81×2＝162.(2)(2－5)2＝5－2.(3)(4－x)2(x>4); (4)1－2x＋x2(x≥1)．解：(3)∵x>4，∴(4－x)2＝x－4.(4)∵x≥1，∴1－2x＋x2＝(x－1)2＝x－1.14．如图，点P在数轴上对应的数为x，点P在A，B两点之间．(1)借助数轴判断下列各式的正负性：①x －2__<__0；②x －3__<__0；③2x －5 < 0. (2)化简|x －2|－(x －3)2＋4x 2－20x ＋25. 解：(2)原式＝2－x －(3－x )＋|2x －5| ＝2－x －3＋x －2x ＋5 ＝4－2x .星期四二次根式的性质与化简一、选择题1.( 2 019－50)2的值等于( D ) A ．±( 2 019－50) B. 2 019±50 C. 2 019－50D ．50－ 2 0192．下列各式中正确的是( D ) A ．(－5)2＝－5B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1222＝1C．(4)2＝2 D．(－a)2＝a 3．下列运算中正确的是(D)A.1916＝134B．(2)2＝±2C.1＋2＝1＋2D.(－3)2＝34．如果a＋a2－4a＋4＝2，那么a的取值范围是(B)A．a≤0 B．a≤2C．a≥－2 D．a≥25．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简|a＋b|－(b－a)2，其结果是(A)A．－2a B．2aC．2b D．－2b6．若a≥0，则关于a2，(－a)2，－a2的大小比较正确的是(A)A.a2＝(－a)2≥－a2B.a2>(－a)2>－a2C.a2<(－a)2<－a2D．－a2>a2＝(－a)2二、填空题7．计算：(－0.2)2＝__0.2__，(－3－2)2＝1 9.8．计算：(3.14－π)2－|2－π|＝__－1.14__.9．已知：实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简：(a ＋1)2＋2(b －1)2－|a －b |＝__b －3__.三、解答题 10．化简：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－1332＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－532； 解：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1332＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－532＝13＋53＝2.(2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫272× ⎝ ⎛⎭⎪⎫－722×(－π)0； 解：－⎝ ⎛⎭⎪⎫272×⎝ ⎛⎭⎪⎫－722×(－π)0＝－27×72×1＝－1.(3)(a ＋9)2－(a －1)2；解：(a ＋9)2－(a －1)2＝a ＋9－(a －1)＝10. (4)(4－17)2＋(17－5)2.解：(4－17)2＋(17－5)2＝17－4＋5－17＝1. 11．在实数范围内分解因式： (1)x 4－9; (2)x 2－23x ＋3.解：(1)x 4－9＝(x 2＋3)(x 2－3)＝(x 2＋3)(x ＋3)(x －3)．(2)x2－23x＋3＝x2－23x＋(3)2＝(x－3)2.12．某班数学兴趣小组在学习二次根式时进行了如下题目的探索研究：(1)填空：32＝__3__；(－5)2＝__5__；(2)观察第(1)题的计算结果回答：a2一定等于C；A．a B．－aC．|a| D．不确定(3)根据(1)、(2)的计算结果进行分析总结的规律，计算：(a－b)2 (a＜b)；(4)请你参照数学兴趣小组的研究规律，化简：5－2 6.解：(3)∵a＜b，∴a－b＜0，∴(a－b)2＝b－a.(4)5－26＝3－26＋2＝(3)2－26＋(2)2＝(3－2)2＝3－ 2.星期五16.2 二次根式的乘除 第1课时 二次根式的乘法1.a ·b ＝ ab (a __≥__0，b __≥__0)．2.ab ＝a ·b (a __≥__0，b __≥__0)．3．下列化简中，正确的是( A ) A.25×9＝5×3＝15 B.72＋242＝7＋24＝31 C.202＋122＝32×8＝16 D.2×3＝22×32＝36 4．计算12×3的值是__6__.知识点一 二次根式的乘法法则1．(2019·广州中考)下列运算正确的是( D ) A ．－3－2＝－1 B ．3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝－13 C ．x 3·x 5＝x 15D.a ·ab ＝a b2．若x ·6－x ＝x (6－x )，则( C )A ．x ≥6B ．x ≥0C ．0≤x ≤6D ．x 为一切实数3．化简2xy ·8y ＝( A ) A ．4y x B ．16y x C ．4x y D ．16x y4．计算： (1)23×6的结果是__2__. (2)12×18＝__3__.5．某商厦前有一块长方形花圃，其宽为2 6 m ，长为3 3 m ，此花园的面积为 182 m 2.6．已知直角三角形两条直角边长分别为5，45，求它的面积． 解：S ＝12×5×45＝12×4×5×5＝10.知识点二ab ＝a·b (a ≥0，b ≥0)7．化简二次根式(－3)2×6的结果 ( B ) A ．－3 6 B ．36 C ．18D ．68．等式a 2－4＝a ＋2·a －2成立的条件是( B )A．a≤－2或a≥2 B．a≥2C．a≥－2 D．－2≤a≤29．当x＝－4时，6－3x的值是32.10．若m＝2，n＝3，y＝12，用含m，n的式子表示y，则y ＝__m2n__.11．观察分析下列数据，按规律填空：2，2，6，22，10，…，第n个数)．12．化简：(1)25×16；(2)81；(3)4xy；(4)16x2.解：(1)25×16＝25×16＝5×4＝20.(2)81＝92＝9.(3)4xy＝22xy＝2xy.(4)16x2＝(4x)2＝4|x|.13．把下列二次根式化简：(1)(－14)×(－112)；(2)200a5b4c5.解：(1)(－14)×(－112)＝14×112＝2×72×42＝2×72×42＝7×4×2＝28 2.(2)200a5b4c5＝2×102×(a2)2×a×(b2)2×(c2)2×c ＝2×102×(a2)2×(b2)2×(c2)2×ac＝10a2b2c22ac.星期六二次根式的乘法一、选择题1.3·6x 是整数，那么整数x 的值是( C )A ．6和3B ．3和1C ．2和18D ．只有182．下列各式计算正确的是( D )A.(－25)×(－36)＝－25×－36＝(－5)×(－6)＝30B.8a 4b ＝4a 2bC.52＋42＝5＋4＝9D.152－122＝225－144＝81＝92＝93．已知m ＝⎝⎛⎭⎪⎫－33×(－221)，则有( A )A ．5<m <6B ．4<m <5C ．－5<m <－4D ．－6<m <－54．在△ABC 中，BC ＝4 6 cm ，BC 上的高为2 2 cm ，则△ABC 的面积为( C )A ．312 cm 2B ．212 cm 2C ．8 3 cm 2D ．16 3 cm 25．若m ＜0，n ＞0，把代数式m n 中的m 移进根号内结果是( C )A.m 2nB.－m 2n C ．－m 2n D ．|m 2n |6．将式子(a －1) 11－a中根号外的因式移入根号内的为( C ) A.1－a B.a －1 C ．－1－a D ．－a －1二、填空题7．计算－2a ·－8a (a ＜0)的结果是__－4a __.8．若a ＝m ，b ＝n ，则100ab ＝__10mn __(用含m ，n 的代数式表示)．9．已知a (a －3)<0，若b ＝2－a ，则b 的取值范围是 2－3<b <2 .三、解答题 10．计算：(1)(－3)2＋(－3)×2－20； 解：原式＝9－6－25＝3－2 5.(2)－545×32 23；解：原式＝－15245×23＝－15230.(3)8ab ·6ab 3(a ≥0，b ≥0)；解：原式＝48a 2b 4＝16×3a 2b 4＝43ab 2.(4)2x x 5y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32xy 5·3yx .解：原式＝2x ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×3×x 5y ×xy 5×yx＝－9x x 5y 7 ＝－9x x 4y 6xy ＝－9x ×x 2y 3xy ＝－9xy 3xy .11．化简：(1) 1.44a 2b (a >b >0); (2)372－132.解：(1)∵a >b >0，∴ 1.44a 2b ＝ 1.44·a 2·b ＝1.2a b . (2)372－132＝(37＋13)(37－13)＝50×24＝20 3.12．(1)探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“＞”“＜”或“＝”，并完成后面的问题．4×16__＝__4×16，49×9__＝__49×9，925×25__＝__ 925×25，169×425＝169×425……用a，b，ab表示上述规律为：a·b＝ab(a≥0，b≥0)；(2)利用(1)中的结论，求8×12的值；(3)设x＝3，y＝6，试用含x，y的式子表示54.解：(2)8×12＝8×12＝4＝2.(3)∵x＝3，y＝6，∴54＝3×3×6＝3×3×6＝x·x·y＝x2y.星期日第2课时二次根式的除法1.ab＝ab(a__≥__0，b__>__0)．2.ab＝ab(a__≥__0，b__>__0)．3．最简二次根式具有：(1)__被开方数不含分母__；(2)__被开方数中不含能开得尽方的因数或因式__．4.x－1x＋2＝x－1x＋2成立的条件是__x≥1__.5．长方形的面积为48，其中一边长是12，则另一边长是 83 .知识点一 二次根式的除法法则 1．计算：10÷2＝( A )A.5 B ．5 C.52 D.102 2．下列各式计算正确的是( C ) A.483＝16B.311÷323＝1C.3663＝22D.54a 2b 6a＝9ab3．计算：28÷12＝__8__.4．计算：(1)4823； (2)7619； 解：(1)原式＝12× 483＝12×16＝12×4＝2. (2)原式＝7619＝4＝2.(3)b 5÷b 20a2； (4)6a 2÷24a .解：(3)原式＝b5×20a2b＝4a2＝2|a|.(4)原式＝6a224a＝a4＝a2.知识点二ab＝ab(a≥0，b>0)5．计算(－7)2×216的结果是(C)A．732 B．－732 C.724D．－7246．若x－24－x＝x－24－x，则x的值可以是(B)A．1 B．3 C．4 D．5 7．计算：(1)2116＝334；(2)－64－9＝83.知识点三最简二次根式8．(2019·山西中考)下列二次根式是最简二次根式的是(D)A.12 B.127C.8D.3 9．把8a3化为最简二次根式，得(A) A．2a2a B．42a3 C．22a3D．2a4a10．判断下列各式哪些是最简二次根式，哪些不是？(1)3a3b；(2)3ab2；(3)x2＋y2；(4)a－b(a>b)；(5)5x3；(6)8xy.解：∵3a3b＝a3ab，3ab2＝126ab，8xy＝22xy，∴(3)(4)(5)是最简二次根式，(1)(2)(6)不是最简二次根式．一、选择题1．下列各式成立的是( A ) A.－3－5＝35＝35 B.－7－6＝－7－6 C.914＝9×14 D.－7－9＝13－7 2．二次根式：① 9－x 2；②(a ＋b )(a －b )；③a 2－2a ＋1；④1x ；⑤ 0.75中最简二次根式是( A ) A ．①② B ．③④⑤ C ．②③D ．只有④3．已知二次根式23－a 与8化成最简二次根式后，被开方式相同，若a 是正整数，则a 的最小值为( D )A ．23B ．21C ．15D ．54．(2020·廊坊模拟)估算4＋15÷3的运算结果应在( D ) A ．1到2之间 B ．2到3之间 C ．3到4之间 D ．4到5之间5．若y ＋22x －1＝y ＋22x －1，且x ＋y ＝5，则x 的取值范围是( D )A ．x ＞12 B.12≤x ＜5 C.12≤x ＜7 D.12＜x ≤7二、填空题 6．计算：16×96÷6＝ 3.7．计算3÷3×13的结果为__1__.8．若二次根式3a ＋5是最简二次根式，则最小的正整数a ＝__2__.三、解答题 9．计算：(1)89÷427×12；解：原式＝89×274×12＝2×3×12＝6 2.(2)12 48÷(32×3)；解：原式＝1248÷36＝168＝13 2. (3)9154÷3235×12223； 解：原式＝9154÷3235×1283＝9×23×12×154×53×83＝3×5×43×81＝3×2953＝23×53＝23×5×33×3＝2915.(4)2b ab 5÷3b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a 3b (a >0，b >0)． 解：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2b ×13×⎝⎛⎭⎪⎫－32ab 5×ab ×a 3b ＝－1b a 5b 5＝－a 2b ab .10．把下列二次根式化为最简二次根式． (1)3512； (2)0.48；解：(1)3512＝35×312×3＝1215. (2)0.48＝1225＝25 3.(3)820； (4)8x 2y 3(x >0，y >0)． 解：(3)820＝25＝105.(4)8x 2y 3＝2xy 2y .11．老师在复习“二次根式”时，在黑板上写出下面的一道题作为练习：已知7＝a ，70＝b ，用含a ，b 的代数式表示 4.9.小豪、小麦两位同学跑上讲台，板书了下面两种解法：小豪： 4.9＝4910＝49×1010×10＝490100＝7×7010＝7×7010＝ab10.小麦： 4.9＝49×0.1＝70.1.因为0.1＝110＝770＝770＝ab，4.9＝70.1＝7a b.老师看罢，提出下面的问题：(1)两位同学的解法都正确吗？(2)请你再给出一种不同于二人的解法．解：(1)两位同学的解法都正确．(2)∵10＝707＝707＝ba，∴ 4.9＝4910＝49×10100＝71010＝7b10a.。
数学数学二次根式试题附解析
一、选择题1．若01x <<=( ). A ．2xB ．2x -C ．2x -D ．2x 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）AB C ． D 3．下列各式中，无意义的是（ ）A B C D ．310-4．x 的取值范围是（ ）A ．13x ≥B ．13x >C ．13x ≤D ．13x <5．下列算式：（1=2）3）=7；（4）+= ） A ．（1）和（3） B ．（2）和（4） C ．（3）和（4） D ．（1）和（4）6．x 的取值范围是（ ） A ．x≥2020 B ．x≤2020 C ．x> 2020D ．x< 2020 7．“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：7==+x =>，故0x >，由22332x ==-=，解得x=结果为（ ）A ．5+B ．5+C ．5D ．5- 8．下列各式计算正确的是（ ）A B ．C ．D9．若|x 2﹣4x+4|与23x y --互为相反数，则x+y 的值为（ ） A ．3 B ．4 C ．6 D ．910．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，记2a b c p ++=，那么三角形的面积为()()()S p p a p b p c =---如图，在ABC ∆中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别记为a ，b ，c ，若5a =，6b =，7c =，则ABC ∆的面积为（ ）A ．66B ．3C ．18D ．192二、填空题11．已知实数,x y 满足(22200820082008x x y y --=，则2232332007x y x y -+--的值为______.12．当x 3x 2﹣4x +2017=________．13．甲容器中装有浓度为a 40kg ，乙容器中装有浓度为b 90kg ，两个容器都倒出m kg ，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m 的值为_________．14．若实数x ，y ，m 满足等式()23532322x y m x y m x y x y +--+-=+---m+4的算术平方根为 ________．15．已知整数x ，y 满足20172019y x x =+--，则y =__________． 16．化简：321x 17．若a 、b 为实数，且b ＝22117a a a --++4，则a+b ＝_____． 18．2121=-+3232=+4343=+++……=___________．19．能合并成一项，则a =______．20．古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，记2a b c p ++=，那么三角形的面积S =ABC 中，A ∠，B ，C ∠所对的边分别记为a ，b ，c ，若4a =，5b =，7c =，则ABC 面积是_______． 三、解答题21．x 的值，代入后，求式子的值. 【答案】答案见解析.【解析】试题分析：先把除式化为最简二次根式，再用二次根式的乘法法则化简，选取的x 的值需要使原式有意义.试题解析：原式==== 要使原式有意义,则x ＞2.所以本题答案不唯一,如取x ＝4.则原式＝222．在学习了二次根式后，小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式.比如：2224312111-=-=-+=).善于动脑的小明继续探究：当a b m n 、、、为正整数时，若2a n +=+)，则有22(2a m n =+，所以222a m n =+，2b mn =.请模仿小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a b m n 、、、为正整数时，若2a n =+)，请用含有mn 、的式子分别表示a b 、，得：a = ，b = ；（2）填空：13-( - 2；（3）若2a m +=()，且a m n 、、为正整数，求a 的值.【答案】（1）223a m n =+，2b mn =；（2）213--；（3）14a =或46.【解析】试题分析：（1）把等式)2a n +=+右边展开，参考范例中的方法即可求得本题答案； （2）由（1）中结论可得：2231324a m nb mn ⎧=+=⎨==⎩ ，结合a b m n 、、、都为正整数可得：m=2，n=1，这样就可得到：213(1-=-；（3）将()2a m +=+右边展开，整理可得：225a m n =+，62mn =结合a m n 、、为正整数，即可先求得m n 、的值，再求a 的值即可.试题解析：（1）∵2a n =+)，∴223a m n +=++，∴2232a m n b mn =+=，；（2）由（1）中结论可得：2231324a m nb mn ⎧=+=⎨==⎩ ， ∵a b m n 、、、都为正整数，∴12m n =⎧⎨=⎩ 或21m n =⎧⎨=⎩ ， ∵当m=1，n=2时，223713a m n =+=≠，而当m=2，n=1时，22313a m n =+=， ∴m=2，n=1，∴(2131--；（3）∵222()52a m m n +=+=++∴225a m n =+，62mn = ，又∵a m n 、、为正整数，∴=1=3m n ，， 或者=3=1m n ，，∴当=1=3m n ，时，46a =；当=3=1m n ，，14a =，即a 的值为：46或14.23．先化简再求值：4y x ⎛- ⎝，其中30x -=．【答案】(2x -【分析】先根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用非负数的性质得出x ，y 的值，继而将x 、y 的值代入计算可得答案．解：4y x ⎛- ⎝ ((=-(2x =-∵ 30x -∴ 3,4x y ==当3,4x y ==时原式(23=-==【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握非负数的性质和二次根式的混合运算顺序和法则．24．（1）计算：（2）先化简，再求值：(()8a a a a +--，其中14a =．【答案】（1）2）82-a ，【分析】（1）分别根据二次根式的除法法则、二次根式的性质、二次根式的乘法法则计算和化简各项，再合并同类二次根式即可；（2）分别根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则计算各项，再把a 的值代入化简后的式子计算即可．【详解】（1）==；（2）(()8a a a a +--2228a a a =--+82a =-,当14a =时，原式1824⎫=⨯-=⎪⎭． 【点睛】本题考查了整式的乘法和二次根式的混合运算，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题25．计算（1+（2+-÷（4）(（3）2b【答案】（1）234）7．【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（3）根据二次根式的乘除法则运算；（4）利用平方差公式计算；【详解】（1+=+22=；（2==；（3÷==；4（4）((22=-=7本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了平方差公式．26．先观察下列等式，再回答下列问题：111111112=+-=+；111112216=+-=+1111133112=+-=+(1) (2)请你按照上面各等式反映的规律，用含n 的等式表示（n 为正整数）．【答案】(1)1120 (2)()111n n ++（n 为正整数） 【解析】试题分析：（1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n ，第三个分数的分母就是n+1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．所以由此可计算给的式子；（2）根据（1）找的规律写出表示这个规律的式子．试题解析：(1)=1+14−141+=1120，1120(2)1 n −1 n 1+=1+()1n n 1+ (n 为正整数).a =，也考查了二次根式的运算.此题是一道阅读题目，通过阅读找出题目隐含的条件.总结：找规律的题目，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来.27．计算(2)2；(4)【答案】（1）2）9-；（3）1；（4）【分析】 （1）根据二次根式的性质和绝对值的代数意义进行化简后合并即可；（2）根据完全平方公式进行计算即可；（3）根据二次根式的乘除法法则进行计算即可；（4）先进行乘法运算，再合并即可得到答案．【详解】解：==(2)2=22-=63-=9-=1；(4)===【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．28．先化简再求值：（a ﹣22ab b a -）÷22a b a-，其中，b=1．【答案】原式=a b a b-=+【分析】括号内先通分进行分式的加减运算，然后再进行分式的乘除法运算，最后将数个代入进行计算即可.【详解】原式=()()222a ab b a a a b a b -+⨯+- =()()()2·a b a aa b a b -+- =a b a b-+，当，b=1时，原式【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据二次根式的意义先化简各项，再进行分式的加减运算可得出解.【详解】解：∵0＜x ＜1，∴0＜x ＜1＜1x ， ∴10x x +>，10x x-<．原式=11x x x x +-- =11x x x x++- =2x ．故选D ．点睛：本题考查了二次根式的性质和绝对值化简，也考查了分式的加减.2．D解析：D【分析】根据最简二次根式的特点解答即可.【详解】A ，故该选项不符合题意；B =C 、D 不能化简，即为最简二次根式，故选：D .【点睛】此题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的特点：①被开方数中不含分母；②被开方数中不含能再开方的因式或因数，牢记特点是解题的关键.3．A解析：A【分析】直接利用二次根式有意义的条件、负整数指数幂的性质分析得出答案．【详解】AB ，有意义，不合题意；C D 、33110=10-，有意义，不合题意； 故选A.【点睛】 此题主要考查了二次根式有意义的条件、负整数指数幂的性质，正确把握二次根式的定义是解题关键．4．C解析：C【分析】根据二次根式的性质：被开方数大于或等于0，列不等式求解．【详解】解：依题意有当130x -≥时，原二次根式有意义；解得：13x≤；故选：C．【点睛】本题考查了二次根式的基本性质（被开方数大于或等于0）；解一元一次不等式，在解一元一次不等式的过程中要用到不等式的基本性质（1．不等式两边同时加上或同时减去一个数，不等号的方向不变；2．不等式两边同时乘以或同时除以一个正数，不等号的方向不变；3．不等式两边同时乘以或同时除以一个负数，不等号的方向改变．）熟记并灵活运用不等式的基本性质是解本题的关键．5．B解析：B【分析】根据二次根式的性质和二次根式的加法运算，分别进行判断，即可得到答案．【详解】（1（2），正确；（3，错误；（4）==故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的加法运算，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．6．A解析：A【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【详解】∴x-2020≥0，解得：x≥2020；故选：A．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解答此题的关键．7．D解析：D【分析】进行化简，然后再进行合并即可.【详解】设x=<x<，∴0∴266x=-+，∴212236x=-⨯=，∴x=∵5=-，∴原式5=-5=-故选D．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，涉及了分母有理化等方法，弄清题意，理解和掌握题中介绍的方法是解题的关键.8．D解析：D【解析】不是同类二次根式，因此不能计算，故不正确.根据同类二次根式，可知，故不正确；根据二次根式的性质，可知，故不正确；==，故正确.3故选D.9．A解析：A【解析】根据题意得:|x2–4x，所以|x2–4x+4|=0，即（x–2）2=0，2x–y–3=0，所以x=2，y=1，所以x+y=3．故选A．10．A解析：A【分析】∆的面积；利用阅读材料，先计算出p的值，然后根据海伦公式计算ABC【详解】7a=，5b=，6c=．∴56792p++==，∴ABC∆的面积S==故选A．【点睛】考查了二次根式的应用，解题的关键是代入后正确的运算，难度不大．二、填空题11．1【分析】设a=，b=，得出x，y及a，b的关系，再代入代数式求值．【详解】解：设a=，b=，则x2−a2=y2−b2=2008，∴(x+a)(x−a)=(y+b)(y−b)=2008……解析：1【分析】设x，y及a，b的关系，再代入代数式求值．【详解】解：设x2−a2=y2−b2=2008，∴(x+a)(x−a)=(y+b)(y−b)=2008……①∵(x−a)(y−b)=2008……②∴由①②得：x+a=y−b，x−a=y+b∴x=y，a+b=0，∴，∴x2=y2=2008，∴3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007=3×2008−2×2008+3(x−y)−2007=2008+3×0−2007=1.故答案为1.【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是求出x，y及a，b的关系. 12．2016【解析】把所求的式子化成（x﹣2）2+2013然后代入式子计算，即可得到：x2﹣4x+2017=（x﹣2）2+2013 =（）2+2013=3+2013=2016．故答案是：2016．解析：2016【解析】把所求的式子化成（x﹣2）2+2013然后代入式子计算，即可得到：x2﹣4x+2017=（x﹣2）2+2013 =2+2013=3+2013=2016．故答案是：2016．点睛：此题主要考查了配方法的应用，解题关键是把式子配成完全平方，然后整体代入即可求解，考查了学生对整体思想的认识和应用，学生对整体思想不熟时出错的主要原因. 13．【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg溶液中纯果汁的含量，最后利用混合后果汁的浓度相等列出关系式，求出m即可．【详解】解：根据题意，甲容器中纯果汁含量为akg，乙容器解析：5【分析】分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg溶液中纯果汁的含量，最后利=，求出m即可．【详解】，甲容器倒出mkg果汁中含有纯果汁makg，乙容器倒出mkg果汁中含有纯果汁mbkg，，=，整理得，-6b=5ma-5mb，∴（a-b）=5m（a-b），．∴m=5故答案为：5【点睛】本题考查二次根式的应用，能够正确理解题意，化简二次根式是解题的关键．14．3【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件得出x+y的值，再根据非负数的性质列出关于x，y，m的方程组，求出m的值，进而可得出结论．【详解】依题意得：，解得：x=1，y=1，m＝5，∴3解析：3【解析】【分析】先根据二次根式有意义的条件得出x+y的值，再根据非负数的性质列出关于x，y，m的方程组，求出m的值，进而可得出结论．【详解】依题意得：35302302x y mx y mx y+--=⎧⎪+-=⎨⎪+=⎩，解得：x=1，y=1，m＝5，∴==3．故答案为3．【点睛】本题考查了二次根式有意义得条件及非负数的性质，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．15．2018【解析】试题解析：，令，，显然，∴，∴，∵与奇偶数相同，∴，∴，∴．故答案为：2018.解析：2018【解析】试题解析：y ===令a =b = 显然0a b >≥，∴224036a b -=，∴()()4036a b a b +-=，∵()a b +与()-a b 奇偶数相同，∴20182a b a b +=⎧⎨-=⎩， ∴10101008a b =⎧⎨=⎩， ∴2018y a b =+=．故答案为：2018.16．【解析】根据二次根式的性质，化简为：-=-=-4；==.故答案为 ； .解析： 【解析】根据二次根式的性质，化简为：故答案为 ； 17．5或3【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a 的值，b 的值，根据有理数的加法，可得答案．【详解】由被开方数是非负数，得，解得a ＝1，或a ＝﹣解析：5或3【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出a 的值，b 的值，根据有理数的加法，可得答案．【详解】由被开方数是非负数，得221010a a ⎧-≥⎨-≥⎩， 解得a ＝1，或a ＝﹣1，b ＝4，当a ＝1时，a +b ＝1+4＝5，当a ＝﹣1时，a +b ＝﹣1+4＝3，故答案为5或3．【点睛】本题考查了函数表达式有意义的条件，当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．18．2018【分析】先根据已知等式归纳类推出一般规律，再根据二次根式的加减法与乘法运算法则即可得．【详解】第1个等式为：，第2个等式为：，第3个等式为：，归纳类推得：第n 个等式为：（其中，解析：2018【分析】先根据已知等式归纳类推出一般规律，再根据二次根式的加减法与乘法运算法则即可得．【详解】第11=，第2=，第3=归纳类推得：第n 1=-n 为正整数），则2020++，2020=+，=，20202=-，=，2018故答案为：2018．【点睛】本题考查了二次根式的加减法与乘法运算，依据已知等式，正确归纳出一般规律是解题关键．19．4【分析】根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．【详解】解：=2，由最简二次根式与能合并成一项，得a-1=3．解解析：4【分析】根据二次根式能合并，可得同类二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．【详解】能合并成一项，得a-1=3．解得a=4．故答案为：4．【点睛】本题考查同类二次根式和最简二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．20．【分析】根据a，b，c的值求得p＝，然后将其代入三角形的面积S＝求值即可．【详解】解：由a＝4，b＝5，c＝7，得p＝＝＝8．所以三角形的面积S＝＝＝4．故答案为：4．【点睛】本题主解析：【分析】根据a ，b ，c 的值求得p ＝2a b c ++，然后将其代入三角形的面积S ＝【详解】解：由a ＝4，b ＝5，c ＝7，得p ＝2a b c ++＝4572++＝8．所以三角形的面积S ．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式的应用和数学常识，解题的关键是读懂题意，利用材料中提供的公式解答，难度不大． 三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无。
二次根式综合应用(探索规律及数形结合)(人教版)(含答案)
二次根式综合应用（探索规律及数形结合）（人
教版）
一、单选题(共2道，每道25分)
1.观察下列等式：
第1个等式：，第2个等式，
第3个等式：，第4个等式：，
按上述规律，回答以下问题：
（1）请写出第个等式：___________________；
A. B.
C. D.
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：实数探索规律
2.（上接第1题）（2）__________________.
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：实数探索规律
二、填空题(共2道，每道25分)
3.如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC，已知
AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x，则，则AC+CE的最小值是____.
答案：10
解题思路：
试题难度：知识点：实数的应用---数形结合求最值
4.（上接第3题）若，请仿照第7题中的方法，运用构图法求解代数式的最小值，则该最小值是____．
答案：13
解题思路：
试题难度：知识点：实数的应用---数形结合求最值。
二次根式的化简及材料分析(五大类型)(原卷版)—2024-2025学年八年级数学上册压轴题(沪教版)
二次根式的化简及材料分析目录解题知识必备 (1)压轴题型讲练 (2)类型一、利用二次根式的性质化简 (2)类型二、复合二次根式的化简 (4)类型三、二次根式的混合运算 (7)类型四、新定义问题 (11)类型五、材料探究题 (16)压轴能力测评（12题） (21)2.二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于03.最简二次根式的条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数中不含分母；③分母中不含根号二次根式的性质1.双重非负性:如0a ³³ 2.22(0)a a =³(0)||(0)a aa a a ³ì==í-<î，，0,0)a b =³³0,0)a b ³³类型一、利用二次根式的性质化简【例121=-，则a 的取值范围是 ．【例2】已知 5x y +=-，4xy =，求的值．【变式训练1】已知01x <<，且111x x +=的值为 ．【变式训练2】若0xy >，则二次根式化简的结果为 ．【变式训练3】先化简再求值：当3a =-时，求a 的值．甲、乙两人的解答如下：甲：原式()11a a a ==+-=；乙：原式()1217a a a a ==+-=-=-．(1)______的解答是错误的，错误的原因是______；(2)若9a =-，计算a 的值．类型二、复合二次根式的化简【例3】已知a 、b 为有理数，且满足a +=a b -等于（ ）A ．2-B ．4-C ．2D ．4【例4】阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：(2231211+=++=++=这样小明就找到了一种把部分a +方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)试着把7+化成一个完全平方式．(2)若a 是216的立方根，b 是16．【变式训练1】观察下列各式：2225(23)+=++=++=+，2228(17)121(1+=++=++´=，……．请运用以上的方法化简= ．【变式训练2的整数部分为a ，小数部分为b ，则334a b a b+=++- 【变式训练3】先阅读材料，然后回答问题(1)肖战同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题，肖战解决这个问题的过程如下，=①②=在上述化简过程中，第______步出现了错误，化简的正确结果为_____________(2)类型三、二次根式的混合运算【例5a b ，则()63a a b +-=．【例6】小明在解决问题：已知a =2281a a -+的值．他是这样分析与解答的：因为2a ===2a -=．所以2(2)3a -=，即2443a a -+=．所以241a a -=-．所以()222812412(1)11a a a a -+=-+=´-+=-．请根据小明的分析过程，解决如下问题：(1)=_______；(2)若a =2481a a -+的值：(3)+×××．【变式训练1】已知，2a =，2b =，求，(1)ab =_____________；22a b ab +-=_____________；(2)若m 为a 整数部分，n 为b 小数部分，求m n的值.【变式训练2】在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较a =和b =a 和b 分别平方，∵221218a b ==，，则22a b <，∴a b <．请利用“平方法”解决下面问题：(1)比较c =d =c d （填写＞，＜或者＝）．(2)猜想 m =n =之间的大小，并证明．(3)= （直接写出答案）．【变式训练3】阅读下面材料：将边长分别为a ，a ，a +a +……的正方形面积分别记为1S ，2S ，3S ，4S ，……．则2221([(][(]S S a a a a a a -=-=+×-(22a b ==+；2232(([(((S S a a a a a a -=+-=+++-(232a b =++……根据以上材料解答下列问题：(1)根据材料中的规律可得面积记为n S 的正方形边长是 ；(2)猜想1n n S S +-的结果，并证明你的猜想；(3)令121t S S =-，232t S S =-，343t S S =-，…，1n n n t S S +=-，且12n T t t t =+++ ，求T 的值．类型四、新定义问题【例7】我们规定用(),a b 给出如下定义：记m =n =，其中（0a >，0b >），将(),m n与(),n m 称为数对(),a b 的一对“对称数对”．若数对(),a b 的一个“对称数对”是，则ab 的值是 ．【例8】任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数f m T n <<∶，（其中m 为满足不等式的最大整数，n 为满足不等式的最小整数），则称无理数T 的“麓外区间”为(),m n ，如12<<区间为()1,2．(1)“麓外区间”是 ；(2)若b =b 的“麓外区间”；(3)实数x y n ，，=+，求n 的算术平方根的“麓外区间”．【变式训练1】对于任意两个非零实数a 、b ，定义运算Ä如下：()()00a a a b bab a ì>ïÄíï<î＝如：2255Ä=，()252510-Ä=-´=-．根据上述定义，解决下列问题：=______，(1Ä(1=______；(2)若()()112x x -Ä+=，求x 的值．【变式训练2】数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如()2222a ab b a b ±+=±||a b ±．如何将双5±转化为222±+=完全平方的形式，因=±材料二：在直角坐标系xOy 中，对于点(),P x y 和(),Q x y ¢给出如下定义：若(0)(0)y x y y x ³ì=í-<¢î，则称点Q 为点P 的“横负纵变点”．例如：点(3,2)的“横负纵变点”为(3,2)，点()2,5-的“横负纵变点”为()2,5--．请选择合适的材料解决下面的问题：(1)点的“横负纵变点”为______________________，点()2--的“横负纵变点”为______________________；(2)(3)已知a 为常数()12a ££，点()M m且m =，点M ¢是点M 的“横负纵变点”，则点M ¢的坐标是_________________________．【变式训练3】任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数:T m T n <<，（其中m 为满足不等式的最大整数，n 为满足不等式的最小整数），则称无理数T 的“行知区间”为(),m n ，如12<<的行知区间为()1,2．(1)的“行知区间”是________；(2)若a ，求a 的“行知区间”；(3)实数x ，y ，n =n 的算术平方根的“行知区间”．类型五、材料探究题【例9】阅读以下材料：如果两个正数a b ､，即00a b >>､，由完全平方式的非负数性质可得：20³Q =即a b =时，取等号），0a b \-+³a b \+³a b =时取等号）结论：对任意两个正数,a b ，都有a b +³；上述不等式当且仅当a b =时等号成立．当这两个正数,a b 的积为定值（常数）时，可以利用这个结论求两数,a b 的和的最小值．例如：当x 为正数时，两数x 和4x 均为正数，且44x x ×=（常数），则有424x x +³==当且仅当4x x =即2x =时取等号\当2x =时，4x x +有最小值，最小值为4.利用以上结论完成下列问题：(1)已知m 为正数，即0m >，则当m = 时，1m m+取到最小值，最小值为 ；(2)当y x ､均为正数，即0,0y x >>时，求函数41y x x =++的最小值；(3)如图，四边形ABCD 的对角线AC BD ､相交于点,O AOB COD V V ､的面积分别是4和9，求四边形ABCD 面积的最小值．【变式训练1】【阅读材料】（材料一）细心观察图形，认真分析各式，总结其中蕴含的规律．22212OA =+=，112S =（1S 是12Rt A A O △的面积）；22313OA =+=，2S =2S 是23Rt A A O △的面积）；22414OA=+=，3S =3S 是34Rt A A O △的面积）；．=【问题解决】利用你总结的规律，解答下面的问题：(1)填空：100S = _________，11OA = _________；(2)求122334455611111S S S S SS S S S S +++++++++的值．【变式训练2】阅读下列材料，解答后面的问题：在二次根式的学习中，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与分式、不等式相结合的一些运算．如：有意义，则需20a -³，解得：2a ³；()221111n n +++，而()221111n n +++()()()222222111n n n n n n ++++=+()()2222221211n n n n n n n +++++=+()()2222212211n n n n n n ++++=+=()()()1111111111n n n n n n n n ++==+=+-+++．(1)=成立，求a 的取值范围；(2)利用①中的提示，请解答：如果1b =，求a b +的值；(3)利用②中的结论，【变式训练3】阅读材料：小青在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的完全平方，如：(231+=+，善于思考的小青进行了以下探索：设(2a m +=+（为方便探究规律．设a ，b ，m ，n 均为正整数），则有2222a m n +=++∴222a m n =+，2b mn =．这样小青就找到了一种把部分形如a +下列问题：当a ，b ，m ，n 均为正整数时，(1)若(2a m +=+，用含m ，n 的式子分别表示a ，b ，得=a __________，b =__________；(2)①若(27m +=+，则m =__________，n =__________；②若(2a m +=+，且m n >，求a 的值．1．已知a =b =ab 的值应在（ ）A ．2和3之间B ．3和4之间C ．4和5之间D ．5和6之间2．已知14a -<<的结果是（ ）A ．3-B ．3C ．23a -D ．32a -3．已知=a =b c a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．b<c<a4．若,a b ,a a b ==-的有理化因式”互称为“有理化因式”．令()F x =结论：（ ）=②若()()()()44334b c F F F F -=+-+（其中,b c 为有理数）则3b c =；③若()()43114F m F m ---=，则()()43118F m F m -+-=；④()()()()()()()()11111212322343342024202320232024F F F F F F F F +++¼+=++++以上结论正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律：特例1==例2===特例3===应用发现的运算规律求）A ．2024B ．C ．2023D ．6．化简的结果是．7===…，则第7个等式是 ．8．非零实数x ，y 满足)32024x y -=，则2222232x xy y x y ++=+ ．三、解答题9．无理数是无限不循环小数，但它可以用一个整数与小数的和来表示．如：π的整数部分是3，小数部分是3p -．请回答下列问题：(1)2的整数部分是 ，小数部分是 ；(2)已知x 是5y 是其小数部分，求(5x y -的值．10,m n ，使22m n a +=且mn222a m n mn ±=+±变成2()m n ±例如：化简3-．解：31-===-．仿照上例化简下列各式：11．类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法．(1)【回顾旧知，类比求解】2=．解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得x = ．经检验，x = 是原方程的解．(2)【学会转化，解决问题】31x =；7？若能，求出x 的值；若不能，请说明理由．12．阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比，在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”，如)334=-，1=，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个==7==+中的分母化去，叫分母有理化．解决问题：(1)“>”“<”或“=”填空）；(2)+×××(3)设实数x ，y 满足(2023x y =，求2023x y ++的值．。
二次根式拓展题
【暑假班】二次根式拓展题一．选择题（共2小题）1．如果ab ＞0，a +b ＜0，那么下面各式：①√a b =√a √b ，②√a b •√b a =1，③√ab ÷√ab=﹣b ，其中正确的是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③2．在二次根式√45，√a 2+1，√0.1，√xy ，√2xy，√30中，最简二次根式的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二．填空题（共8小题）3．若y=√x −3+√3−x +2，则x y = ．4．化简：12√32x 3+2x √x 2﹣x 2√50x = ．5．已知√15+x 2−√19−x 2=2，则√19−x 2+2√15+x 2= ．6．已知ab=2，则a √b a +b√ab 的值是 ．7．观察下列二次根式的化简：√2+1=√2−1，√3+√2=√3−√2，√4+√3=√4−√3，…从计算结果中找到规律，再利用这一规律计算下列式子的值．(√2+1+√3+√2+√4+√3+⋯+√2010+√2009)(√2010+1)= ． 8．有下列计算： ①（m 2）3=m 6，②√4a 2−4a +1=2a −1， ③m 6÷m 2=m 3，④√27×√50÷√6=15， ⑤2√12−2√3+3√48=14√3，其中正确的运算有 ． 9．设A=√2012﹣√2010，B=√2011，比较大小：A B ．10．已知|a ﹣2007|+√a −2008=a ，则a ﹣20072的值是 ．三．解答题（共10小题）11．若实数x ，y 满足（x ﹣√x 2−2016）（y ﹣√y 2−2016）=2016． （1）求x ，y 之间的数量关系； （2）求3x 2﹣2y 2+3x ﹣3y ﹣2017的值． 12．用归纳法化简求值：化简2√1+√2+3√2+2√3+4√3+3√4+…+9√10+10√9．13．阅读并完成下面问题： ①1+√2=√2−1)(√2+1)(√2−1)=√2﹣1；②√3+√2=√3−√2(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2；③√5+2=√5−2(√5+2)(√5−2)=√5﹣2；试求：（1）√7+√6的倒数为 ． （2）√n+1+√n （n 为正整数）的值为 ． （3）√2+1+√3+√2+2+√3+…+√n+1+√n．14．若x=√3−1√3+1，y=√3+1√3−1，求√x 2+y 2+2的值．15．阅读下列解题过程：√5+√3=√5−√3)(√5+√3)(√5−√3)=√5−√3(√5)2−(√3)2=√5−√32； √7+√5=√7−√5)(√7+√5)√7−√5)=√7−√5(√7)2−(√5)2=√7−√52． 请回答下列问题：（1）观察上面的解题过程，请直接写出√2n+1+√2n−1的结果为 ；（2）利用上面提供的解法，请化简： (1+√3√3+√5+⋯+√197+√199+√199+√201)(√201+1)．16．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2√2=（1+√2）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a +b √2=（m +n √2）2（其中a 、b 、m 、n 均为整数），则有a +b √2=m2+2n 2+2mn √2．a=m 2+2n 2，b=2mn ．这样小明就找到了一种把类似a +b √2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若a +b √3=（m +n √3）2，用含m 、n 的式子分别表示a ，b ，得a= ，b= ．（2）利用所探索的结论，用完全平方式表示出：7+4√3= ． （3）请化简：√12+6√3． 17．计算题（1）﹣12﹣（π﹣3）0+（﹣13）2﹣|﹣3|（2）√45﹣12√20+5√15（3）√2−√98√2（4）（3√3+√5）（3√3﹣√5） （5）√8+√32﹣√2 （6）√12+√3√3+（1﹣√3）0（7）（1+√2）（1﹣√3） （8）√12×√3﹣5（9）（√92﹣√983）×2√2（10）√40﹣5√110+√10．18．阅读材料，解答下列问题．例：当a ＞0时，如a=6，则|a |=|6|=6，故此时|a |是它本身；当a=0时，|a |=0，故此时|a |是零；当a ＜0时，如a=﹣6，则|a |=|﹣6|=6=﹣（﹣6），故此时|a |是它的相反数． 综上所述，|a |可分三种情况，即|a |={a(a ＞0)0(a =0)−a(a ＜0)这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．问：（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式√a 2的各种展开的情况． （2）猜想√a 2与|a |的大小关系是√a 2 |a |． （3）当1＜x ＜2时，试化简：|x −1|+√(x −2)2． 19．√3+√5−√3−√5． 20．设a 、b 为有理数，且√3−b 3−a √3=√3+1，求a 、b 的值．【暑假班】二次根式拓展题参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．（2014•济宁）如果ab ＞0，a +b ＜0，那么下面各式：①√a b =√a √b ，②√a b •√ba =1，③√ab ÷√ab=﹣b ，其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③【分析】由ab ＞0，a +b ＜0先求出a ＜0，b ＜0，再进行根号内的运算． 【解答】解：∵ab ＞0，a +b ＜0， ∴a ＜0，b ＜0①√a b =√a√b ，被开方数应≥0，a ，b 不能做被开方数，（故①错误），②√a b •√b a =1，√a b •√b a =√a b×ba =√1=1，（故②正确），③√ab ÷√a b =﹣b ，√ab ÷√ab =√ab ÷√ab −b =√ab ×√ab =﹣b ，（故③正确）．故选：B ．【点评】本题是考查二次根式的乘除法，解答本题的关键是明确a ＜0，b ＜0．2．（2012秋•汉川市月考）在二次根式√45，√a 2+1，√0.1，√x y ，√2xy，√30中，最简二次根式的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】先根据二次根式的性质化简，根据最简二次根式的定义判断即可．【解答】解：√45=3√5，√0.1=√1010，√x y =√xyy等都不是最简二次根式，而√a 2+1，√2xy，√30是最简二次根式，即最简二次根式有3个．故选C．【点评】本题考查了二次根式的性质和最简二次根式的定义，能正确判断一个根式是否是最简二次根式是解此题的关键，此题是一道比较容易出错的题目．二．填空题（共8小题）3．（2015•攀枝花）若y=√x−3+√3−x+2，则x y=9．【分析】根据二次根式有意义的条件得出x﹣3≥0，3﹣x≥0，求出x，代入求出y即可．【解答】解：y=√x−3+√3−x+2有意义，必须x﹣3≥0，3﹣x≥0，解得：x=3，代入得：y=0+0+2=2，∴x y=32=9．故答案为：9．【点评】本题主要考查对二次根式有意义的条件的理解和掌握，能求出x y的值是解此题的关键．4．（2003•常德）化简：12√32x3+2x√x2﹣x2√50x=﹣2x√2x．【分析】利用开平方的定义计算．【解答】解：原式=12√(4x)22x+2x√2x2×2﹣x2√52×2xx×x=2x√2x+x√2x﹣5x√2x=﹣2x√2x．【点评】应先化成最简二次根式，再进行运算，只有同类二次根式，才能合并．5．（1998•杭州）已知√15+x2−√19−x2=2，则√19−x2+2√15+x2=13．【分析】用换元法代替两个带根号的式子，得出m、n的关系式，解方程组求m、n的值即可．【解答】解：设m=√15+x2，n=√19−x2，那么m﹣n=2①，m2+n2=(√15+x2)2+(√19−x2)2=34②．由①得，m=2+n③，将③代入②得：n2+2n﹣15=0，解得：n=﹣5（舍去）或n=3，因此可得出，m=5，n=3（m≥0，n≥0）．所以√19−x2+2√15+x2=n+2m=13．【点评】本题通过观察，根号里面未知数的系数为相反数，可通过换元法求解．6．（1998•内江）已知ab=2，则a√ba+b√ab的值是±2√2．【分析】由已知条件可知，本题有两种情况需要考虑：a＞0，b＞0；a＜0，b＜0．【解答】解：当a＞0，b＞0时，原式=√ab+√ab=√2+√2=2√2；当a＜0，b＜0时，原式=﹣√ab﹣√ab=﹣2√2．【点评】此题的难点在于需考虑两种情况．7．（2013•√2+1=√2−1，√3+√2=√3−√2√4+√3=√4−√3，…从计算结果中找到规律，再利用这一规律计算下列式子的值．(12+1+13+2+14+3+⋯+12010+2009)(√2010+1)=2009．【分析】先将第一个括号内的各项分母有理化，此时发现，除第二项和倒数第二项外，其他各项的和为0，由此可计算出第一个括号的值，然后再计算和第二个括号的乘积．【解答】解：原式=（√2﹣1+√3﹣√2+√4﹣√3+…+√2010﹣√2009）（√2010+1）=（√2010﹣1）（√2010+1）=2009．【点评】本题考查的是二次根式的分母有理化以及二次根式的加减运算．能够发现式子的规律是解答此题的关键．8．（2012•德阳）有下列计算： ①（m 2）3=m 6，②√4a 2−4a +1=2a −1， ③m 6÷m 2=m 3，④√27×√50÷√6=15， ⑤2√12−2√3+3√48=14√3， 其中正确的运算有 ①④⑤ ．【分析】由幂的乘方，可得①正确；由二次根式的化简，可得②错误；由同底数的幂的除法，可得③错误；由二次根式的乘除运算，可求得④正确；由二次根式的加减运算，可求得⑤正确．【解答】解：∵（m 2）3=m 6，∴①正确；∵√4a 2−4a +1=√(2a −1)2=|2a ﹣1|={2a −1a ＞120a =121−2aa ＜12，∴②错误；∵m 6÷m 2=m 4，∴③错误；∵√27×√50÷√6=3√3×5√2÷√6=15√6÷√6=15， ∴④正确；∵2√12−2√3+3√48=4√3﹣2√3+12√3=14√3， ∴⑤正确．∴正确的运算有：①④⑤． 故答案为：①④⑤．【点评】此题考查了幂的乘方、同底数幂的除法、二次根式的化简、二次根式的乘除运算以及二次根式的加减运算．此题比较简单，注意掌握运算法则与性质，注意运算需细心．9．设A=√2012﹣√2010，B=√2011，比较大小：A ＞ B ．【分析】先利用平方法比较√2012+√2010＜2√2011，再利用放缩法比较大小，所以A ＞B ．【解答】解：∵（√2012+√2010）2=4022+2√2012×2010=4022+2√20112−1， （2√2011）2=4×2011=4022+2×√20112， 又∵√20112−1＜√20112， ∴√2012+√2010＜2√2011， ∵A=√2012﹣√2010=√2012+√2010)(√2012−√2010)√2012+√2010=√2012+√2010＞2√2011=√2011，B=√2011， ∴A ＞B ， 故答案为：＞．【点评】本题是二次根式的大小比较，通常二次根式的大小比较方法为：①求差法，②倒数法，③求商法，④平方法⑤外因内移法，⑥分母有理化法，⑦分子有理化法，⑧放缩法等；本题运用了平方法和放缩法进行比较，得出结论．10．（2016秋•简阳市月考）已知|a ﹣2007|+√a −2008=a ，则a ﹣20072的值是 2008 ．【分析】此题首先能够根据二次根式的被开方数为非负数的条件，得到a 的取值范围；再根据a 的取值范围，化简去掉绝对值；最后进行整理变形． 【解答】解：∵|a ﹣2007|+√a −2008=a ，∴a ≥2008． ∴a ﹣2007+√a −2008=a ，√a −2008=2007，两边同平方，得a ﹣2008=20072， ∴a ﹣20072=2008．【点评】解决此题的关键是能够得到a 的取值范围，从而化简绝对值并变形．三．解答题（共10小题）11．若实数x ，y 满足（x ﹣√x 2−2016）（y ﹣√y 2−2016）=2016． （1）求x ，y 之间的数量关系； （2）求3x 2﹣2y 2+3x ﹣3y ﹣2017的值．【分析】（1）将式子变形后，再分母有理化得①式：x ﹣√x 2−2016=y +√y 2−2016，同理得②式：x +√x 2−2016=y ﹣√y 2−2016，将两式相加可得结论； （2）将x=y 代入原式或①式得：x 2=2016，代入所求式子即可． 【解答】解：（1）∵（x ﹣√x 2−2016）（y ﹣√y 2−2016）=2016， ∴x ﹣√x 2−2016=2=2016(y+√y 2−2016)y 2−(y 2−2016)=y +√y 2−2016①， 同理得：x +√x 2−2016=y ﹣√y 2−2016②， ①+②得：2x=2y ， ∴x=y ，（2）把x=y 代入①得：x ﹣√x 2−2016=x +√x 2−2016， x 2=2016，则3x 2﹣2y 2+3x ﹣3y ﹣2017， =3x 2﹣2x 2+3x ﹣3x ﹣2017， =x 2﹣2017， =2016﹣2017， =﹣1．【点评】本题是二次根式的化简和求值，有难度，考查了二次根式的性质和分母有理化；二次根式中分母中含有根式时常运用分母有理化来解决，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．本题利用巧解将已知式变成两式，相加后得出结论．12．用归纳法化简求值：化简2√1+√2+3√2+2√3+4√3+3√4+…+9√10+10√9．【分析】根据提公因式法和平方差公式得到原式=√2−√1√2×√1+√3−√2√3×√2+√4−√3√4×√3+…+√10−√9√10×√9，再拆项抵消法求解即可． 【解答】解：2√1+√2+3√2+2√3+4√3+3√4+…+9√10+10√9 =√2−√1√2×√1+√3−√2√3×√2+√4−√3√4×√3+…+√10−√9√10×√9=√1﹣√2+√2﹣√3+√3﹣√4+…+√9﹣√10=√1﹣√10=1﹣√1010． 【点评】此题考查了二次根式的化简求值，二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．解题的关键是将原式变形为√2−√1√2×√1+√3−√2√3×√2+√4−√3√4×√3+…+√10−√9√10×√9．13．（2014春•博兴县校级月考）阅读并完成下面问题：①1+√2=√2−1)(√2+1)(√2−1)=√2﹣1； ②√3+√2=√3−√2(√3+√2)(√3−√2)=√3−√2； ③√5+2=√5−2(√5+2)(√5−2)=√5﹣2；试求：（1）√7+√6的倒数为 √7﹣√6 ． （2）√n+1+√n（n 为正整数）的值为 √n +1−√n ． （3）√2+1+√3+√2+2+√3+…+√n+1+√n． 【分析】（1）要求√7+√6的倒数需要乘以（√7−√6）分母有理化即可；（2）分母有理化运算即可得到答案．（3）通过计算，采用拆分法相互抵消得到答案．【解答】解：（1）√7+√6=√7−√6(√7+√6)(√7−√6)=√7−√6； （2）√n+1+√n =√n+1−√n (√n+1+√n)⋅(√n+1−√n)√n +1−√n ； （3√2+1√3+√22+√3…√n+1+√n √2﹣1+√3﹣√2+2﹣√3+…+√n +1﹣√n =√n +1﹣1．故答案为：√7−√6，√n +1﹣√n ，√n +1−1．【点评】本题主要考查了分母有理化，解决的关键是找出分母有理化的因式，找规律抵消得到答案．14．（2012秋•龙湖区校级月考）若x=√3−1√3+1，y=√3+1√3−1，求√x 2+y 2+2的值． 【分析】观察发现：先化简x ，y 的值，再计算x ，y 的和与积．【解答】解：因为x=√3−1√3+1，y=√3+1√3−1所以x +y=√3−1√3+1+√3+1√3−1 =√3−1)2√3+1)2(√3+1)(√3−1)=√3+4+2√3(√3)2−1 =4．x•y=√3−1√3+1•√3+1√3−1=1 所以，√x 2+y 2+2=√(x +y)2−2xy +2=√42−2×1+2=4．【点评】此题主要注意化简x，y的值，再求xy，x+y的值，然后整体代入．15．（2009秋•重庆校级期中）阅读下列解题过程：√5+√3=√5−√3)(√5+√3)(√5−√3)=√5−√3(√5)2−(√3)2=√5−√32；√7+√5=√7−√5)(√7+√5)√7−√5)=√7−√5(√7)2−(√5)2=√7−√52．请回答下列问题：（1）观察上面的解题过程，请直接写出√2n+1+√2n−1的结果为√2n+1−√2n−12；（2）利用上面提供的解法，请化简：(11+313+5+⋯+1197+199+1199+201)(√201+1)．【分析】（1）观察阅读材料的解题过程，实质是二次根式的分母有理化，因此解答（1）题的关键是找出分母的有理化因式．（2）先将第一个括号内的各式分母有理化，此时发现除第一项和最后一项外，每两项都互为相反数，由此可求出第一个括号内各式的和，再求和第二个括号的乘积即可．【解答】解：（1）√2n+1+√2n−1=√2n+1−√2n−12；（2）原式=−12(1−√3+√3−√5+⋯+√199−√201)(√201+1)=−12(1−√201)(√201+1)=100．【点评】此题考查的是二次根式的分母有理化以及二次根式的加减法，关键是寻找分母有理化后的抵消规律．16．（2015秋•莒县期末）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2√2=（1+√2）2，善于思考的小明进行了以下探索：设a+b√2=（m+n√2）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b√2=m2+2n2+2mn√2．a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b√2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b√3=（m+n√3）2，用含m、n的式子分别表示a，b，得a=m2+3n2，b=2mn．（2）利用所探索的结论，用完全平方式表示出：7+4√3=（2+√3）2．（3）请化简：√12+6√3．【分析】（1）利用已知直接去括号进而得出a，b的值；（2）直接利用完全平方公式，变形得出答案；（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．【解答】解：（1）∵a+b√3=（m+n√3）2，∴a+b√3=（m+n√3）2=m2+3n2+2√3mn，∴a=m2+3n2，b=2mn；故答案为：m2+3n2；2mn；（2）7+4√3=（2+√3）2；故答案为：（2+√3）2；（3）∵12+6√3=（3+√3）2，∴√12+6√3=√(3+√3)2=3+√3．【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确利用完全平方公式化简是解题关键．17．（2015秋•青岛月考）计算题（1）﹣12﹣（π﹣3）0+（﹣13）2﹣|﹣3|（2）√45﹣12√20+5√15 （3）√2−√98√2（4）（3√3+√5）（3√3﹣√5）（5）√8+√32﹣√2（6）√12+√3√3+（1﹣√3）0 （7）（1+√2）（1﹣√3）（8）√12×√3﹣5（9）（√92﹣√983）×2√2 （10）√40﹣5√110+√10． 【分析】（1）利用乘方的意义和零指数幂的意义计算；（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（3）根据二次根式的除法法则运算；（4）利用平方差公式计算；（5）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（6）根据二次根式的除法法则和零指数幂的意义计算；（7）利用多项式乘法展开即可；（8）根据二次根式的乘法法则运算；（9）根据二次根式的乘法法则运算；（10）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．【解答】解：（1）﹣12﹣（π﹣3）0+（﹣13）2﹣|﹣3|=﹣1﹣1+9﹣3=4； （2）√45﹣12√20+5√15=3√5﹣√5+√5=3√5； （3）√2−√98√2=√2−7√2√2=32； （4）（3√3+√5）（3√3﹣√5）=27﹣5=22；（5）√8+√32﹣√2=2√2+4√2﹣√2=5√2；（6）√12+√3√3+（1﹣√3）0=√3+√3√3+1=5+1=6； （7）（1+√2）（1﹣√3）=1﹣√3+√2﹣√6；（8）√12×√3﹣5=√12×3﹣5=6﹣5=1；（9）（√92﹣√983）×2√2=2√92×2﹣2√98×23=6﹣283=﹣103； （10）√40﹣5√110+√10=2√10﹣√102+√10=5√102． 【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．18．（2011•广东模拟）阅读材料，解答下列问题．例：当a ＞0时，如a=6，则|a |=|6|=6，故此时|a |是它本身；当a=0时，|a |=0，故此时|a |是零；当a ＜0时，如a=﹣6，则|a |=|﹣6|=6=﹣（﹣6），故此时|a |是它的相反数．综上所述，|a |可分三种情况，即|a |={a(a ＞0)0(a =0)−a(a ＜0)这种分析方法渗透了数学的分类讨论思想．问：（1）请仿照例中的分类讨论的方法，分析二次根式√a 2的各种展开的情况．（2）猜想√a 2与|a |的大小关系是√a 2 = |a |．（3）当1＜x ＜2时，试化简：|x −1|+√(x −2)2．【分析】根据二次根式的性质解答．【解答】解：（1）当a ＞0时，如a=3，则√a 2=√32=3，故此时√a 2的结果是它本身；当a=0时，√a 2=0，故此时√a 2的结果是零；当a ＜0时，如a=﹣3，则√a 2=√(−3)2=3=−(−3)，故此时√a 2的结果是它的相反数．综上所述，√a2的结果可分三种情况，即√a2={a(a＞0) 0(a=0)−a(a＜0)（2）√a2=|a|．（3）∵1＜x＜2，∴x﹣1＞0，x﹣2＜0，∴|x−1|+√(x−2)2=x﹣1+（2﹣x）=1．【点评】解答此题，要弄清以下问题：①定义：一般地，形如√a（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a＞0时，√a表示a的算术平方根；当a=0时，√0=0；当a＜0时，二次根式无意义；②性质：√a2=|a|．19．（2002春•苏州校级期中）√3+√5−√3−√5．【分析】首先根据二次根式的性质，即可得√3+√5√3−√5=√(√3+√5√3−√5)2，然后利用二次根式的混合运算法则，化简√(√3+√5−√3−√5)2，即可求得答案．【解答】解：√3+√5√3−√5=√(√3+√5√3−√5)2=√3+√5+3−√5−2√(3+√5)(3−√5)=√6−2√4=√6−4=√2．【点评】此题考查了二次根式的混合运算．解题的关键是将√3+√5√3−√5变形为√(√3+√5−√3−√5)2，然后化简求解．20．（2007秋•黄浦区期中）设a 、b 为有理数，且√3−b 3−a √3=√3+1，求a 、b 的值．【分析】首先按照去分母、去括号、移项、合并同类项的步骤把含有字母的式子整理到等式的左边，然后根据a 、b 为有理数，则让等式两边的有理数部分和无理数部分分别对应相等，得到关于a ，b 的方程组即可．【解答】解：2√3−b =(√3+1)(3−a √3)，3a −b +a √3=3+√3，{3a −b =3a =1， 所以a=1，b=0．【点评】此题考查了二次根式的混合运算和方程组的求解．一个有理数和一个无理数不可能相等，此题中的等式两边相等，注意它们的对应关系．。
16.2二次根式的运算(第1课时)讲解与例题
二次根式的运算第1课时1．二次根式的乘法法则(1)二次根式的乘法法则(性质3)：a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．观察这个式子的左边和右边，得出等号的左边是两个二次根式相乘，等号右边是得到的积，仍是二次根式．由此得出：二次根式的乘法就是把被开方数的积作为积的被开方数．(2)对于二次根式乘法的法则应注意以下几点：①要满足a ≥0，b ≥0的条件，因为只有a ，b 都是非负数，公式才能成立．②从运算顺序看，等号左边是先分别求a ，b 两因数的算术平方根，然后再求两个算术平方根的积，等号右边是将非负数a ，b 先做乘法求积，再开方求积的算术平方根． ③公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)可以推广到3个二次根式、4个二次根式等相乘的情况．④根据这个性质可以对二次根式进行恒等变形，或将有的因式适当改变移到根号外边，或将根号外边的非负因式平方后移到根号内．当二次根式根号外都含有数字因数时，可以仿照单项式的乘法法则进行运算：系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数．即m a ·n b ＝mn ab (a ≥0，b ≥0)．【例1】计算：(1)0.4× 3.6；(2)545×3223. 分析：第(1)小题的被开方数都是小数，先将被开方数进行因数分解，第(2)小题的根号外都含有数字因数，可以仿照单项式的乘法． 解：(1)0.4× 3.6＝0.4×3.6＝0.4×0.4×9＝0.4×3＝1.2. (2)545×3223＝5×32×45×23＝152×3×15×23＝15230. 2．积的算术平方根的性质 (1)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)．用语言叙述为：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．(2)注意事项：①a ≥0，b ≥0是公式成立的重要条件．如(－4)×(－9)≠－4·－9，实际上公式中的a ，b 是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab ≥0即可．②公式中的a ，b 可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的．(3)利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的．(4)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)可以推广为abc ＝a ·b ·c (a ≥0，b ≥0，c ≥0)．计算形如(－4)×(－9)的式子时，应先确定符号，原式化为4×9，再化简．【例2】化简： (1)300；(2)21×63；(3)(－50)×(－8)；(4)96a 3b 6(a ＞0，b ＞0)．分析：根据积的算术平方根的性质：ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)进行化简． 解：(1)300＝102×3＝102×3＝10 3.(2)21×63＝3×7×7×9＝3×72×32＝3×7×3＝21 3.(3)(－50)×(－8)＝50×8＝202＝20.(4)96a 3b 6＝42·6·a 2·a ·(b 3)2＝4ab 36a .3．二次根式的除法法则 对于两个二次根式a ，b ，如果a ≥0，b ＞0，那么a b ＝a b.这就是二次根式的除法法则．(1)二次根式的除法法则：①数学表达式：如果a ≥0，b ＞0，则有a b ＝a b .②语言叙述：两个二次根式相除，将它们的被开方数(式)相除，二次根号不变．(理解并掌握)(2)在二次根式的除法中，条件a ≥0，b ＞0与二次根式乘法的条件a ≥0，b ≥0是有区别的，因为分母不能为零，所以被除式可以是非负数，而除式必须是正数，否则除法法则不成立．知识点拓展：(1)二次根式的除法法则中的a ，b 既可以代表数，也可以代表式子；(2)m a ÷n b ＝m a n b ＝m na b (a ≥0，b ＞0，n ≠0)，即系数与系数相除，被开方数与被开方数相除．点拨：在进行二次根式的除法运算时，应先确定商的符号，然后系数与系数相除，被开方数与被开方数相除，二次根号不变，但应注意的是当被开方数是带分数时，首先要把带分数化为假分数，再进行计算，并且计算的最终结果一定要化为最简形式，此外当数字与字母相乘时，要把数字放在字母的前面，如－26a 不能写成－2a 6.【例3】如果x x －1＝x x －1成立，那么( )． A ．x ≥0 B ．x ≥1C ．0≤x ≤1D ．以上答案都不对解析：本题考查二次根式的除法法则成立的条件．要求x ≥0，x －1＞0，则x ＞1.故选D.答案：D点拨：(1)逆用二次根式的除法时，一定要满足条件a ≥0，b ＞0.(2)通常去掉分母中的根号有两种方法：一是运用二次根式的性质和除法运算；二是运用二次根式的性质及乘法运算．4．二次根式除法的逆用通过计算：(1)1625＝(45)2＝45，1625＝45，显然1625＝1625；(2)81121＝(911)2＝911，81121＝911，显然81121＝81121，从而我们可以发现：二次根式的除法法则也可以反过来运用，即如果a ≥0，b ＞0，那么a b ＝a b，也就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．名师归纳：二次根式的除法法则的逆用：(1)数学表达式：如果a ≥0，b ＞0，则有a b ＝a b ； (2)语言叙述：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根；(3)逆用二次根式除法法则，可以把二次根式化为最简形式．(理解并掌握)【例4】把下列各式中根号外的因数(式)移到根号内．(1)535； (2)－2a 12a； (3)－a －1a ； (4)x y x(x ＜0，y ＜0)． 分析：将根号外的因数(式)移到根号内时，要将根号外的数(式)改写成完全平方的形式作为被开方数(式)，如5＝52，实际上是运用了公式a ＝a 2(a ≥0)．同时，此题还运用了公式a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)．如果根号外有负号，那么负号不能移入根号内，移到根号内的因数(式)必须是正的，但有些字母的取值范围需由隐含条件得出，如(2)，(3)小题．解：(1)535＝52×35＝52×35＝15. (2)∵12a＞0，∴a ＞0. ∴－2a 12a ＝－(2a )2·12a＝－(2a )2·12a＝－2a . (3)∵－1a＞0，∴a ＜0. ∴－a －1a ＝(－a )2·－1a＝(－a )2·(－1a)＝－a . (4)∵x ＜0，y ＜0，∴x y x ＝－(－x )2y x＝－(－x )2·y x＝－xy .(1)要将根号外的因数(式)平方后移到根号内，应运用公式a ＝a 2(a ≥0)及a ·b ＝ab (a ≥0，b ≥0)；(2)根号外的负号不能移到根号内，如果根号外有字母，那么要判断字母的符号，如果符号是负的，那么负号要留在根号外．5．最简二次根式的概念满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．对最简二次根式的理解①被开方数中不含分母，即被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中每一个因数或因式的指数都小于根指数2，即每个因数或因式的指数都是1.【例5】若二次根式－33a ＋b 与2a ＋b b 是最简同类二次根式，求a ，b 的值．分析：最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2，3a ＋b ＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝2. 所以a ，b 的值分别是0,2.本题考查的是对最简同类二次根式概念的理解．最简同类二次根式是指根指数相同，根号内的因式相同且不能开方的二次根式．6．二次根式的乘除混合运算(1)运算顺序：二次根式的乘除混合运算顺序与整式乘除混合运算顺序相同，按照从左到右的顺序计算，有括号的先算括号里面的．(2)公式、法则：整式乘除中的公式、法则在二次根式混合运算中仍然适用．(3)运算律：整式乘法的运算律在二次根式运算中仍然适用．乘法分配律是乘法对加法的分配律，而不是乘法对除法的分配律．在进行二次根式的运算时常见的错误是：①忽略计算公式的条件；②不注意式子的隐含条件；③除法运算时，分母开方后没写在分母的位置上；④误认为形如a 2＋b 2的式子是能开得尽方的二次根式．【例6】计算下列各题： (1)9145÷(3235)×12223； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a)． 分析：二次根式的乘除混合运算顺序与有理数的乘除混合运算的顺序相同，按从左到右的顺序进行运算，不同的是在进行二次根式的乘除运算时，二次根式的系数要与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除． 解：(1)9145÷(3235)×12223 ＝(9÷32×12)145÷35×83＝(9×23×12)145×53×83＝3881＝322×292＝3×292＝232； (2)2ab a 2b ·3a b ÷(－121a )＝[2ab ·3÷(－12)]a 2b ·a b ÷1a＝－12ab a 2b ·a b·a ＝－12ab a 4 ＝－12ab ·a 2＝－12a 3b .7．二次根式的化简(1)化二次根式为最简二次根式的方法：①如果被开方数是分数(包括小数)或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后把分母化为有理式．②如果被开方数是整数或整式，先将它分解因数或因式，然后把它开得尽方的因数或因式开出来．(2)口诀“一分、二移、三化”“一分”即利用分解因数或分解因式的方法把被开方数(或式)的分子、分母都化成质因数(或质因式)的幂的积的形式．“二移”即把能开得尽方的因数(或因式)用它的算术平方根代替移到根号外，其中把根号内的分母中的因式移到根号外时，要注意写在分母的位置上．“三化”即化去被开方数的分母．(3)化去分母中的根号①化去分母中的根号，其依据是分式的基本性质，关键是分子、分母同乘以一个式子，使它与分母相乘得整式．②下面几种类型的两个含有二次根式的代数式相乘，它们的积不含有二次根式． a 与a ；a ＋b 与a －b ；a ＋b 与a －b ；a b ＋c d 与a b －c d .③化去分母中的根号时，分母要先化简．(4)在进行二次根式的运算时，结果一般都要化为最简二次根式．【例7】(1)当ab ＜0时，化简ab 2，得__________．(2)把代数式x －1x根号外的因式移到根号内，化简的结果为__________． (3)把－x 3(x －1)2化成最简二次根式是__________． (4)化简35－2时，甲的解法是：35－2＝3(5＋2)(5－2)(5＋2)＝5＋2，乙的解法是：35－2＝(5＋2)(5－2)5－2＝5＋2，以下判断正确的是( )． A ．甲正确，乙不正确B ．甲不正确，乙正确C ．甲、乙的解法都正确D ．甲、乙的解法都不正确解析：(1)在ab 2中，因为ab 2≥0，所以ab ·b ≥0.因为ab ＜0，b ≠0，所以b ＜0，a ＞0.原式＝b 2·a ＝－b a .(2)因为－1x ≥0，又由分式的定义x ≠0，得x ＜0.所以原式＝－(－x )－1x＝－(－x )2(－1x)＝－－x . (3)化简时，需知道x ，x －1的符号，而它们的符号可由题目的隐含条件推出． ∵(x －1)2＞0(这里不能等于0)，∴－x 3≥0，即x ≤0,1－x ＞0. 故原式＝(－x )2·(－x )(1－x )2＝－x 1－x－x . (4)甲是将分子和分母同乘以5＋2把分母化为整数，乙是利用3＝(5＋2)(5－2)进行约分，所以二人的解法都是正确的，故选C.答案：(1)－b a (2)－－x(3)－x 1－x－x (4)C 8．二次根式的乘除法的综合应用利用二次根式的乘除法可解决一些综合题目，如：(1)比较大小比较两数的大小的方法有很多种，通常有作差法、作商法等．对于比较含有二次根式的两个数的大小，一种方法是把根号外的数移到根号内，通过比较被开方数的大小来比较原数的大小；二是将要比较的两个数分别平方，比较它们的平方数．(2)化简求值对于此类题目，不应盲目地把变量的值直接代入原式中，一般地说，应先把原式化简，再代入求值．在化简过程中要注意整个化简过程得以进行的条件，如开平方时注意被开方数为非负数，分式的分母不能为零等．再者，有些二次根式的化简，从形式上看是特别麻烦的，让人一看简直无从下手，但仔细分析又是有一定规律和模式的．(3)探索规律适时运用计算器，重视计算器在探索发现数学规律中的作用．如：借助于计算器可以求得42＋32＝__________，442＋332＝__________，4442＋3332＝__________，4 4442＋3 3332＝__________，……__________.解析：利用计算器我们可以分别求得42＋32＝25＝5， 442＋332＝ 3 025＝55，4442＋3332＝308 025＝555，4 4442＋3 3332＝30 858 025＝5 555，2011555个.答案：5 55 555 5 555 2011555个【例8－1】已知9－x x －6＝9－x x －6，且x 为偶数，求(1＋x )x 2－5x ＋4x 2－1的值． 分析：式子a b ＝a b，只有a ≥0，b ＞0时才能成立．因此得到9－x ≥0且x －6＞0，即6＜x ≤9，又因为x 为偶数，所以x ＝8.解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 9－x ≥0，x －6>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤9，x >6. ∴6＜x ≤9.∵x 为偶数，∴x ＝8.∴原式＝(1＋x )(x －4)(x －1)(x ＋1)(x －1) ＝(1＋x )x －4x ＋1 ＝(1＋x )x －4x ＋1＝(1＋x )(x －4). ∴当x ＝8时，原式的值为4×9＝6.【例8－2】观察下列各式： 223＝2＋23，338＝3＋38. 验证：223＝233＝23－2＋222－1＝2(22－1)＋222－1＝2＋222－1＝2＋23； 338＝338＝33－3＋332－1＝3(32－1)＋332－1＝3＋332－1＝3＋38. (1)按照上述两个等式及其验证过程的思路，猜想4415的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用n (n 为任意正整数且n ≥2)表示的等式，并给出证明．分析：本题是利用所学过的根式变形，去发现变形的规律，由于这种变形方法比较陌生，必须认真阅读所提供的素材，即学即用． 解：(1)4415＝4＋415. 验证：4415＝4315＝43－4＋442－1＝4(42－1)＋442－1＝4＋442－1＝4＋415. (2)猜想：n n n 2－1＝n ＋n n 2－1(n ≥2，n 为正整数)． 证明：因为n n n 2－1＝n 3n 2－1＝n 3－n ＋n n 2－1＝n (n 2－1)＋n n 2－1＝n ＋n n 2－1，所以nn n 2－1＝n ＋n n 2－1.。
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二次根式规律探索题例析
山东 孙玉亮
数学课程标准自主探索与合作交流是学生学习的重要方式,从而探究规律型试题渗透到各个知识点.下面是中考数学试题, 例举几道与二次根式有关的规律探索题加以分析,供同学们学习时参考.
例1(辽宁大连市)用计算器计算：1999+⨯,1999999+⨯,1999999999+⨯,…,请你猜测
9
n 9n 99991999999个个个⋯+⋯⨯⋯n 的结果为_________。
解析:这是一道用计算器进行探索的规律性试题,用计算器不难算得: 1999+⨯，1999999+⨯,1999999999+⨯的值分别是10,100,1000,从而猜测待求式的结果是10n . 说明：这是由课本16页第10题改编的一道中考试题,其实,有些中考试题就是课本典型题目或其变式,望同学们对课本中的典型题目要格外重视.
例2(广西桂林市)在2006,,3,2,1 中,共有 个有理数.
A.42
B.43
C.44
D.45
解析:本题逐一验证显然不可能,我们不妨反过来考虑,若这些算术平方根是有理数,则其被开方数应是正整数的平方,又所有的被开方数是连续整数,而442=1936,452=2025,即44<2006<45,所以在2006,,3,2,1 中,共有44个有理数,选C.
例3(湖南邵阳市)如图1中,螺旋形是由一系列等腰直角三角形组成,其序号依次为①,②,③,④,⑤,…,则第n 个等腰直角三角形的斜边长是 .
解析:第①,②,③,④的斜边分别为16,8,4,2,不难
发现:斜边都是二次根式,且被开方数是以底数为2,指数是
三角形序号的数,即第n 个等腰直角三角形的斜边长是2n .
例4(广州市)已知A=12
n -， B=2-(n 为正整数)．当n ≤5时，有A<B ；请用计算器计算当n ≥6时，A 、B 的若
干个值，并由此归纳出当n ≥6时，A 、B 问的大小关系
为 .
解析:利用计算器计算发现:当n=6时,A=5.5>B=348.5263≈-;当n=7时,A=6.5>B=973.5273≈-;当n=8时,A=7.5>B=485.6283≈-,……,由此归纳出当n ≥6时，A>B.。