山东省郓城县实验中学高中数学1.2.1任意角的三角函数(2)导学案(无答案)苏教版必修4
导学案任意角的三角函数
1.2.1任意角的三角函数＜第一课时＞学习目标1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三角函数定义理解正弦、余弦、正切函数的定义域。
2.能初步应用定义分析和解决与三角函数值相关的一些简单问题重点难点教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义。
教学难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数及三角函数符号教学过程(一)提出问题问题1:在初中时我们学了锐角三角函数，你能回忆一下锐角三角函数的定义吗问题2:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗如图，设锐角a的顶点与原点0重合,始边与X轴的非负半轴重合，那么它的终边在第一象限•在a 的终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离r= a2 b2＞0.过P作x轴的垂线，垂足为M，则线段0M的长度为a线段MP的长度为b. 根据初中学过的三角函数定义，我们有MP b OM a MP bsin a= =—，cos a= =—，tan a= =—OP r OP r OP a问题3:如果改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？为什么？问题4:你利用已学知识能否通过取适当点而将上述三角函数的表达式简化(二)新课导学1、单位圆的概念:.在直角坐标系中，我们称以__________ 为圆心,以 ___________ 为半径的圆为单位圆2、三角函数的概念我们能够利用单位圆定义任意角的三角函数.如图2所示，设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么：(1)y叫做a的正弦，记作sin即sin a =y;(2)X叫做a的余弦，记作cos a即cos a =X；(3)—叫做a的正切，记作tan o即卩tan a= (x工0).X X所以，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数注意：(1)正弦、余弦、正切、都是以角为自变量 ，以比值为函数值的函数•(2)由相似三角形的知识，对于确定的角 a 这三个比值不会随点 P 在a 的终边上的 位置的改变而改变•3、例1 求 5的正弦、余弦和正切值•思考：若把角5、探究三角函数值在各象限的符号三角函数 定义域sincostan探究三角函数的定义域 4、 练习1:已知角B 的终边经过点 P( 12,5)，求角B 正弦、余弦和正切值。
人教版高中数学全套教案导学案1.2.1任意角的三角函数(2)
第二课时 任意角的三角函数（二）【复习回顾】1、 三角函数的定义；2、 三角函数在各象限角的符；3、 三角函数在轴上角的值；4、 诱导公式（一）：终边相同的角的同一三角函数的值相等；5、 三角函数的定义域.要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆.【探究新知】1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念（弧度数）.作为角的函数——三角函数是一个数量概念（比值），但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆（注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米）.当角α为第一象限角时，则其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ，过点P 作PM x ⊥轴交x 轴于点M ，则请你观察:根据三角函数的定义：|||||sin |MP y α==；|||||cos |OM x α==随着α在第一象限内转动，MP 、OM 是否也跟着变化？3．思考：（1）为了去掉上述等式中的绝对值符，能否给线段MP 、OM 规定一个适当的方向，使它们的取值与点P 的坐标一致？（2）你能借助单位圆，找到一条如MP 、OM 一样的线段来表示角α的正切值吗？我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O 为始点、M 为终点，规定：当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负向，且有正值x ；其中x 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有cos OM x α==同理,当角α的终边不在x 轴上时,以M 为始点、P 为终点，规定：当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正向，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向时，MP 的方向为负向，且有正值y ；其中y 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有 sin MP y α==4.像MP OM 、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段（direct line segment ）.5.如何用有向线段来表示角α的正切呢?如上图,过点(1,0)A 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有tan y AT xα== 我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.6.探究：（1）当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？（2）当α的终边与x 轴或y 轴重合时，又是怎样的情形呢？7.例题讲解例1．已知42ππα<<，试比较,tan ,sin ,cos αααα的大小.处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质.8.练习19P 第1,2,3,4题9学习小结(1)了解有向线段的概念.(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(3)体会三角函数线的简单应用.【评价设计】二、作业：比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器)(1)sin15︒、tan15︒ （2）'cos15018︒、cos121︒ （3）5π、tan 5π 2．练习三角函数线的作图.。
高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数导学案苏教版必修
1．2.1 任意角的三角函数课堂导学三点剖析1.任意角的正弦、余弦、正切的定义【例1】有下列命题，其中正确的命题的个数是( )①终边相同的角的同名三角函数的值相同②终边不同的角的同名三角函数的值不等③若sin α＞0，则α是第一、二象限的角④若α是第二象限的角，且P （x,y ）是其终边上一点，则cos α=22y x x+-A.1B.2C.3D.4思路分析：运用概念判断.解析：由任意角三角函数定义知①正确；对②，我们举出反例sin3π=sin 32π； 对③，可指出sin 2π＞0，但2π不是第一、二象限的角；对④，应是cos α=22y x x +. 综上选A.答案：A温馨提示要准确地理解任意角的三角函数定义，可与三角函数线结合记忆.2．角、实数和三角函数值之间的对应关系【例2】 判断下列各式的符号.（1）tan250°·cos(-350°);(2)sin151°cos230°；(3)sin3cos4tan5;(4)sin(cos θ)·cos(sin θ)(θ是第二象限角).思路分析：本题主要考查三角函数的符号.角度确定了，所在的象限也就确定了.三角函数的符号也就确定了.进一步再确定各式的符号.对于（4），视sin θ、cos θ为弧度数. 解：（1）∵tan250°＞0,cos(-350°)＞0,∴tan250°·cos(-350°)＞0.(2)∵sin151°＞0,cos230°＜0,∴sin151°·cos230°＜0. (3)∵2π＜3＜π,π＜4＜23π,23π＜5＜2π, ∴sin3＞0,cos4＜0,tan5＜0,∴sin3·cos4·tan5＞0.(4)∵θ是第二象限角，∴0＜sin θ＜1＜2π, ∴cos(sin θ)＞0.同理，-2π＜-1＜cos θ＜0, ∴sin(cos θ)＜0,故sin （cos θ）·cos(sin θ)＜0.温馨提示(1)判断各三角函数值的符号，须判断角所在的象限.（2）sin θ既表示角θ的正弦值，同时也可以表示［-1，1］上的一个角的弧度数.（3）中解题的关键是将cos θ、sin θ视为角的弧度数.【例3】求函数y=)1cos 2lg(sin )4tan(-∙-x x x π的定义域.思路分析：运用等价及集合的思想.解：只需满足条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-<≥+≠⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-≥∈+≠-,11cos 20,0sin 43,0)1cos 2lg(,0sin ,,24x k x x x Z k k x πππππ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈≠+<<-∈+≤≤∈+≠⇔.,2,3232,,)12(2,,43Z k k x k x k Z k k x k Z k k x πππππππππ且∴函数的定义域为{x|2k π＜x ＜2k π+3π,k∈Z }. 温馨提示利用图形，可直观找出不等式组的解集，体现了数形结合思想.各个击破类题演练1已知角α的终边经过点P （-6，-2），求α的三个三角函数值.解：已知x=-6,y=-2,所以r=102,于是sin α=10101022-=-=r y , cos α=,101031026-=-=r x tan α=3162=--=x y . 变式提升1已知角α的终边经过点P （2t,-3t ）(t ＜0),求sin α,cos α,tan α.解：∵x=2t,y=-3t ∴r=||13)3()2(22t t t =-+- ∵t＜0 ∴r=t 13-∴sin α=,13133133=--=t t r y cos α=13132132-=-=t t r x , tan α=2323-=-=t x y . 类题演练2判断下列各式的符号（1）sin105°·cos230°;(2)sin87π·tan 87π; (3)cos6·tan 6;(4)sin4·tan(π423-). 解：(1)∵105°、230°分别为第二、第三象限角，∴sin105°＞0.cos230°＜0.sin105°·cos230°＜0. (2)∵2π＜87π＜π,∴87π是第二象限角. ∴sin 87π＞0,tan 87π＜0. ∴sin 87π·tan 87π＜0. (3)∵23π＜6＜2π,∴6弧度的角是第四象限角. ∴cos6＞0,tan6＜0.∴cos6·tan6＜0.(4)∵π＜4＜23π,∴sin4＜0. 又π423-=-6π+4π,∴π423-与4π终边相同. ∴tan(π423-)＞0. ∴sin4·tan(π423-)＜0. 变式提升2已知α是第三象限角，试判断sin （cos α）·cos（sin α）的符号.解：∵α是第三象限角.∴cos α＜0,sin α＜0.又|sin α|＜1,|cos α|＜1,∴-1＜cos α＜0,-1＜sin α＜0,∴sin(cos α)＜0,cos(sin α)＞0.∴sin(cos α)·cos（sin α）＜0.类题演练3已知角α的终边在直线y=-3x 上，求10sin α+3cos α的值.解：设α终边上任意一点P （k,-3k ）,则 r=|,|10)3(2222k k k y x =-+=+当k ＞0时，r=k 10,∴sin α=103103-=-kk, cos α=10110=kk . ∴10sin α+3cos α=10102710103103-=+-. 当k ＜0时，r=-10k,∴sin α=103103=--k k,cos α=101010110-=-=-k k. ∴10sin α+3cos α=10102710103103=-. 变式提升3已知α∈(0,2π),试比较α、sin α、tan α的大小. 解：如右图，设锐角α的终边交单位圆于点P ，过单位圆与x 轴正半轴的交点A 作圆的切线交OP 延长线于T ，并过点P 作PM⊥x 轴，则|MP|=sin α，|AT|=tan α，的长为α.连PA ，∵S △OAP ＜S 扇形OAP ＜S △OAT ， 即21|OA |·|MP|＜21|OA|2·a＜21|OA|·|AT|,|MP|＜α＜|AT|, ∴sin α＜α＜tan α.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
人教课标版高中数学必修3《任意角的三角函数(第2课时)》教学设计
1.2.1 任意角的三角函数（第2课时）一、教学目标（一）核心素养通过这节课学习，掌握有向线段以及三角函数线的概念，会利用三角函数线表示三角函数值，体会数形结合的数学思想方法.（二）学习目标1．掌握有向线段的概念.2．掌握正弦线、余弦线、正切线的概念，并能利用三角函数线（几何形式）在单位圆中表示任意角的正弦、余弦、正切函数值.3．三角函数线的运用，如利用三角函数线判断三角函数值或角的范围.（三）学习重点1．三角函数线的概念及其运用.2．三角函数线的作法.3．理解三角函数线作为有向线段其方向规定的合理性.（四）学习难点1．利用与单位圆有关的有向线段将任意角的三角函数值用几何形式表示.2．三角函数线的运用.二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）读一读：阅读教材第15页“练习”以下部分至第17页“阅读与思考”以上部分，并完成下列问题：①有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点，字母顺序不能任意调换)的线段，并规定：与坐标轴正方向同向时为正，与坐标轴正方向反向时为负.②如下图所示，单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.③当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在.2．预习自测（1）已知角α的正切线是单位长度的有向线段，那么α的终边（）A.在x轴上B.在y轴上C.在直线y=x上D.在直线y=x或y=-x上答案：D解析：【知识点】正切线的概念.【数学思想】数形结合、分类讨论思想.【解题过程】当角α的正切线是单位长度的有向线段时，此时角α的终边落在直线y=x或y=-x 上.点拨：明确正切线的位置.（2）判断(正确的打“√”，错误的打“×”)①α一定时，单位圆的正弦线一定. （）②在单位圆中，有相同正弦线的角必相等. （）③α与α＋π有相同的正切线. （）答案：(1)√(2)×(3)√解析：【知识点】三角函数线概念辨析.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】①α一定时，sinα一定，正确；②当sinα一定时，角α不唯一，错误；③tanα=tan(α＋π)，正确.点拨：正确理解三角函数线的概念. (二)课堂设计 1．知识回顾（1）单位圆的定义：以原点O 为圆心，单位长度为半径作的圆。
山东省郓城县实验中学高中数学1.2导数的运算学案(无答
1.2 导数的运算【学习目标】1．熟练掌握基本初等函数的导数公式，掌握导数的四则运算法则；2．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数【自主学习】1.基本初等函数的导数公式是什么？2.幂函数与指数函数的求导公式的区别是什么？3.导数的运算法则及推论是什么？4.求导法则和公式的结构是灵活进行求导运算的前提条件，当函数解析式较为复杂时，应怎么做？当函数解析式不能直接用公式时，应怎么做? 【自主检测】1.设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a = . 2.已知曲线3lnx 4x y 2-=的一条切线的斜率为21,则切点的横坐标为 . 3.设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令lg n n a x =，则1299a a a +++的值为 . 【典型例题】例1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．（1）323y x x =-+； （2）1111y x x=-+- （3）sin ln y x x =⋅； （4）4x x y =； （5）1ln 1ln x y x-=+． （6）2(251)x y x x e =-+⋅； （7）sin cos cos sin x x y x x -=+ 21(8)x y x+=【课堂检测】 1.函数()22212+=x x y 的导数是 （ ）（A ） ()()32321814+-+='xx x x y （B ） ()()32221414+-+='x x x x y （C ） ()()32321812+-+='x x x x y （D ） ()()3221414+-+='x xx x y2.若直线y x b =-+为函数1y x =图象的切线,求b=_________和切点坐标为___________. 3．已知曲线C:y ＝3x 4－2x 3－9x 2＋4，求曲线C 上横坐标为1的点的切线方程______________.4.求过曲线y=cosx 上点P(1,32π) 的切线的直线方程.【总结提升】1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．。
1.2.1任意角的三角函数(2)
kz
利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为 求 0到2
或0到360 角的三角函数值 .
例1 确定下列三角函数值的符号：
解： （1）因为 250 是第三象限角，所以cos 250 0 ；
（2）因为 tan(672 ) = tan(48 2 360 ) tan 48， 而 48是第一象限角，所以 tan(672 ) 0 ； sin 0 . （3）因为 是第四象限角，所以 4 4
y
T M O P
α的终边
y
A(1, 0) x
M A(1, 0) O PT
x
α的终边
因 P(x，y)，所以线段OM的长度为 | x | ， 线段MP的长度为 | y | .
|MP|=|y|=|sinα|;
|OM|=|x|=|cosα|
思考:为了去掉上述等式中的绝对值符号,能否 给线段OM,MP规定一个适当的方向,使他们的 取值与P点的坐标一致? 以坐标轴的方向来规定OM,MP的方向，以 使他们与P点的坐标联系起来。
p15练习(7)题
11 练习：求值 cos 3
71 sin 6
19 tan 3
11 解： cos 3
71 sin 6
19 tan 3
由正弦、余弦、正切函数的定义有：
y y sin y MP r 1
p17练习(2)题
cos x x x OM r 1
y MP AT tan AT x OM OA
我们把这三条与单位圆有关的有向线段 MP、OM、 AT，分别叫做角α的正弦线、余弦线 、正切线．
1.2.1任意角的三角函数(2015年人教A版数学必修四导学案)
一：学习目标
1. 2. 进一步掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，会用角α 的正弦线、 余弦线、正切线分别表示任意角α 的正弦、余弦、正切函数值； 进一步掌握正弦、余弦、正切的函数的定义域和这三种函数的值在各 象限的符号。
备
注
二：课前预习 （1）已知角 的终边经过 点 (1, 2) ，则 cos 的值为_______________。
2 、 若 三角 形的 两 内角 、 满 足 sin cos 0 ， 则 此三 角 形形 状 是 ( ) B、钝角三角形 C、直角三角形 D、不能确定
A、锐角三角形 3、求下列函数 y
2 cos x 1 定义域
4、已知角 的终边经过点 P( 3, y) ，且 sin （1）求 y （2）求 的终边所在的象限
3 y( y 0) 。 4
（3）求 tan
【课后检测】 1、利用单位圆写出符合下列条件的角
（1）sin
y
1 2
（2）cos
y
1 2
（3） tan 1
y
O
x
O
x
O
x
2 、 当 、 满 足 什 么条 件时 ，有 sin sin ？ 又 什 么条 件时 ， 有
例 2、 已知点 M (4, x) 在角 的终边上， 且满足 x < 0 ，cos = 的值。
4 ， 求 tan 5
例 3、求函数 y = sin x cos x 的定义域。
四：学后反思
课堂检测 任意角的三角函数（2）
班级：
姓名：
1、若角 ( 0 2 )的正弦线与余弦线的数量互为相反数，那么 的值 为
山东省郓城县实验中学高中数学1.1.1任意角导学案(无答
第一章 三角函数1.1.1 任意角【学习目标】1． 了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念2． 正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示【学习重点、难点】用集合与符号语言正确表示终边相同的角【自主学习】一、复习引入问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？______________________________________________________所学的角的范围是什么？______________________________________________________问题2：在体操、跳水中，有“转体0720”这样的动作名词，这里的“0720”，怎么刻画？______________________________________________________二、建构数学1．角的概念角可以看成平面内一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。
射线的端点称为角的________，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。
2．角的分类按__________方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。
如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_________，它的______和_______重合。
这样，我们就把角的概念推广到了_______，包括_______、________和________。
3. 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个_________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成 。
4．象限角、轴线角的概念我们常在 直角坐标系 内讨论角。
为了讨论问题的方便，使角的________与__________重合，角的___________与_______________________重合。
那么，角的_________(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是__________________。
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1. 2. 1任意角的三角函数（2）
【学习目标】
1、 掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义
2、 会用三角函数线表示任意角三角函数的值
3、 掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号
【学习重点、难点】
会用三角函数线表示任意角三角函数的值
【自主学习】
一、复习回顾
1•单位圆的概念：在平面直角坐标系中，以 ___________________ 为圆心，以 __________ 为半径的圆。
2•有向线段的概念：把规定了正方向的直线称为 __________________________________ ；
规定了 ______________ （即规定了起点和终点）的线段称为有向线段。
3 .有向线段的数量：若有向线段 AB 在有向直线I 上或与有向直线I ________________ ，根据 有向线段 AB 与有向直线I 的方向 _______________________ 或 _________________ ，分别把它的长度添 上 _______ 或 _________ ，这样所得的 _______________ 叫做有向线段的数量。
4•三角函数线的定义：
设任意角 的顶点在原点0,始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点 P （x,y ）,
过点P 作x 轴的垂线，垂足为 M ;过点A （1,0）作单位圆的切线，设它与 的终边
（当 为第 ___________ 象限角时）或其反向延长线（当 为第 __________________ 象限角时）相交于 点T 。
根据三角函数的定义：sin y _____________________ ； cos x ___________ ；
tan
6
【典型例
题】 例1作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线: 例2•利用三角函数线比较大小
1 sin 30 a
2
3 cos 3 _____ s in 150 4
cos- 5 2 sin 25 ____ sin150
2 2 4 tan tan —
3 3 例3.解下列三角方程
1 sin x
2 cosx
3 ta n x 1 变题1.解下列三角不等式 1 sin x 3 1
2 cosx 一
2 2
3 ta n x 1
变题2.求函数y lg 2sin x 1 ..1 2cosx 的定义域. 【巩固练习】
1.作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线
22 2 .利用余弦线比较 cos64°,cos285°的大小;
5.当角，满足什么条件时，有 sin sin
6 .若 cos 怎
,sin 2 彳，写出角 的取值范围。
【课堂小
结】
【布置作
业】
11 3•若— 4 ，则比较sin 、cos 、tan 的大小; 2
4 .分别根据下列条件，写出角
的取值范围: (1) cos
tan 1 ； (3) sin。