图形的相似线段成比例
九年级数学上册 第四章 图形的相似知识归纳 北师大版
图形的相似1． 比例线段的有关概念==在比例式::中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a c(a b c d )a d b c a c b db 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b =c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项． 2． 比例性质①基本性质：a b cdad bc =⇔= ②更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()()⎧=⎪⎪⎪=⎪=⇒⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩交换内项交换外项同时交换内外项同时交换比的前项和后项a bc d d c a cb a d b b dc a b da c②合比性质：±±a b c d a b b c d d =⇒= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n ab===+++⇒++++++=()03． 黄金分割在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBCAB AC =，即AC 2=AB ×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．其中AB AC 215-=≈0.618AB ． 4． 平行线分线段成比例定理①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3．则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF=== ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 5． 相似三角形的判定①两角对应相等，两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ③三边对应成比例，两三角形相似． 6． 相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等,对应边成比例；②相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；③相似三角形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方． 7． 六种相似基本模型：CABD CABDE E D BACDE ∥BC∠B ∠AED∠B ∠ACDADBCDOBACO DCBAX 型母子型AC ∥BD∠B ∠CAD 是Rt △ABC 斜边上的高8． 射影定理由_____________，得______________，即_______________； 由_____________，得______________，即_______________； 由_____________，得______________，即_______________．9． 中位线1) 三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段． 三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的线段的长是对应中线长的31． 2) 梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段．梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底边和的一半． 10. 位似①如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比． ②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．AD B C。
图形的相似线段成比例
思考：1.桌子长1.2m、宽60cm，则长与宽的比是多少？
2.安德烈·斯林诺夫身高1.81米，跳高最高纪录2.36米，
跳蚤身高约为２毫米，能跳0.6米，比较其跳跃能力．
a：b＝c：dad＝bc．
运用乘积式ad＝bc可以检验比例式a：b＝c：d的变形．
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1.已知a:d＝c:b，下列变形错误的是( ) A. b:d＝c:a B. a:b＝c:d C. d:a＝b:c D. a:c＝d:b 2.同一时刻，高２米的竿的影长为1.5米，某古塔的影长为 24米，则塔高是 ． 3.若2x＝3y则x＝ y；若a：b＝5：3，则a为b的 倍． 4.如图，点Ｃ把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC2 ＝AB·BC，那么称线段AB被点C黄金分割，AC与AB的比 叫做黄金比，其比值是 ． 5.(99n)已知a＝24cm，b＝54cm，那么a和b的比例中项 是 cm．(定义：若a：b＝b：c，即b2＝ac，则b叫做 a、c的比例中项或几何平均数．) 6.已知1、 2 、2三个数，请你再添上一个数，写出一个比 例式．
3.已知A、B两地相距为25km，画在图上为10cm，在该
图上C、D相距18cm，两地的距离为
．
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定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的
比等于另外两条线段的比，如a：b＝c：d，那么这四条线
段叫做
，简称“比例线段”．此时又称这四条
线段
．其中a、b、c、d叫做比例的 ，a、d叫
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北师版初三数学上册第四章相似图形知识点讲解
九年级（上）第四章图形的相像(1)形态一样的图形叫相像图形，在相像多边形中，最简洁的是相像三角形.(2) 相像多边形：假如两个边数一样的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相像多 边形．相像多边形对应边长度的比叫做相像比．一．成比例线段（1）线段的比假如选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）成比例线段在四条线段d c b a ,,,中，假如b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有依次的，假如说a ,d c b ,,成比例，那么应得比例式为：b a =dc ． ②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项,假如b=c ，即 a b bd =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
③推断给定的四条线段是否成比例的方法：第一排：现将四条线段的长度统一单位，再按大小依次排列好；第二算:分别算出前两条线的长度之比与后两条线段的长度之比；第三判：若两个比相等，则这四条线段是成比例线段，否则不是（3）比例的性质（留意性质立的条件：分母不能为0） 根本性质：① a:b=c:d 则有 ad=bc （两外项之积等于两内向之积）；② ②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项（3）合、分比性质：a c abcd b d b d ±±=⇔=． （4）等比性质：假如)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b an f d b m e c a =++++++++ ． 注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以削减未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③ 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． （4）比例题常用的方法有：比例合分比法，比例等比法，设参法，连等设k 法，消元法二，平行线分线段成比例（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等. 留意：是所截的线段成比例，而跟平行线无关，所以比例线段中不行能 有AD,BE,CF 的比例关系（2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即12AC BC AB AC == 简记为：长短＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
三角形中的相似关系与判定方法
三角形中的相似关系与判定方法在几何学中，相似是指两个或多个图形具有相同的形状，但可能不相等的大小。
在三角形中，我们常常遇到相似关系，并且有特定的判定方法来确认它们是否相似。
本文将探讨三角形中的相似关系及其相应的判定方法。
一、三角形的相似关系三角形的相似关系是指两个或多个三角形具有相同的形状，其对应的角度相等、对应的边长成比例。
当两个三角形相似时，我们可以推断它们的相似性质，例如角度对应相等、边长成比例等。
在三角形ABC与三角形DEF中，若满足以下条件，可以确定它们相似：1. 对应角相等：∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F；2. 对应边成比例：AB/DE = BC/EF = AC/DF。
二、三角形相似的判定方法在几何学中，我们可以利用以下几种方法来判定三角形相似：1. AA相似法则（角-角相似法则）若两个三角形的两个角对应相等，则可以判定它们相似。
即在三角形ABC与三角形DEF中，如果∠A = ∠D，且∠B = ∠E，则可以推断三角形ABC与三角形DEF相似。
2. SAS相似法则（边-角-边相似法则）若两个三角形的两个边对应成比例，且夹角对应相等，则可以判定它们相似。
即在三角形ABC与三角形DEF中，如果AB/DE = AC/DF，且∠A = ∠D，则可以推断三角形ABC与三角形DEF相似。
3. SSS相似法则（边-边-边相似法则）若两个三角形的所有边对应成比例，则可以判定它们相似。
即在三角形ABC与三角形DEF中，如果AB/DE = BC/EF = AC/DF，则可以推断三角形ABC与三角形DEF相似。
4. 直角三角形相似定理在直角三角形中，若两个直角三角形的斜边长度成比例，则可以判定它们相似。
即在直角三角形ABC与直角三角形DEF中，如果AB/DE = BC/EF，则可以推断直角三角形ABC与直角三角形DEF相似。
5. 平行线分比定理若两个或更多平行线截取的线段成比例，则可以判定三角形相似。
北师大版九年级数学上册《图形的相似——平行线分线段成比例》教学PPT课件(2篇)
B. 2
C. 2
D. 3
2. 如图，已知 AD∥BE∥CF，若 AB＝3，AC＝7，EF 9
＝6，则 DE 的长为 2 ．
3. 如图，AD 是△ ABC 的中线，E 是 AD 上一点，且 AE∶ED＝1∶2，BE 的延长线交 AC 于点 F，则 AF∶FC＝ 11∶∶4 ．
4. 如图，在△ ABC 中，D，E 分别在 AB，AC 上，DE∥BC， DF∥AC，若 AC＝10，CE＝6，BC＝12，求 FC 的长．
【思路点拨】由 DE∥BC 得 AD∶AB＝AE∶AC，由 AB∥EF 得 BF∶BC＝AE∶AC，即得 AD∶AB＝BF∶BC.
由 AD∶DB＝2∶3，得到 AD∶AB＝2∶5, 将 BC＝20 cm 代入求出 BF 的长即可．
解：∵DE∥BC，∴AD∶AB＝AE∶AC. ∵AB∥EF, ∴BF∶BC＝AE∶AC. ∴BF∶BC＝AD∶AB. ∵AD∶DB＝2∶3， ∴AD∶AB＝2∶5.∴BF∶BC＝2∶5. ∵BC＝20 cm , ∴BF∶20＝2∶5，∴BF＝8 cm.
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
例题精讲 知识点 1 平行线分线段成比例
例1 如图，已知直线 l1，l2，l3 分别截直线 l4 于点 A，B， C，截直线 l5 于点 D，E，F，且 l1∥l2∥l3.
(1)如果 AB＝4，BC＝8，EF＝12，求 DE 的长；
【思路点拨】(1)由平行线分线段成比例定理得出比例 式，即可得出 DE 的长；
【分析】分别在△ABC及△ADC中利用平行线
分线段成比例定理的推论 证明 在ABC中, DE//BC , AB AC
AD AE
在ADC中, EF//CD, AD AC AF AE
图形的相似平行线分线段成比例ppt
图形的拼接
拼图游戏
将多个小正方形拼成一个大的正方形，满足相似关系，可以用来证明勾股定 理。
拼接图形
将多个相似三角形拼成一个大的三角形，满足相似关系，可以用来证明勾股 定理。
图形的旋转与平移
图形的旋转
将图形绕着某个点旋转一定的角度，图形的形状 和大小不变。
图形的平移
将图形沿着某个方向移动一定的距离，图形的形 状和大小不变。
图形的对称
将图形沿着某条直线折叠，图形的形状和大小不 变。
04
比例线段的应用
利用比例线段求值
求线段长度
通过相似三角形的对应边成比例，可以求出一些难以直接测量的线段长度。
求角度大小
在相似三角形中，对应角相等，因此可以利用比例线段求出角度大小。
利用比例线段解三角形
解直角三角形
通过比例线段，可以解出直角三角形的两直角边或斜边长度 。
图形的相似平行线分线段成 比例
xx年xx月xx日
目录
• 图形的相似定义 • 平行线分线段成比例定理 • 图形的分割与拼接 • 比例线段的应用 • 数学在实际生活中的应用
01
图形的相似定义
定义及判定
定义
两个图形形状相同，但大小不一定相等
判定
根据对应角相等、对应边成比例来判定两个图形相似
相似图形的性质
对应角相等 面积比等于相似比的平方
对应边成比例 周长比等于相似比
相似三角形的判定
两角对应相等
直角三角形相似判定：勾股定理 的逆定理
两边对应成比例且夹角相等
对角线对应成比例
等腰三角形相似判定：底角相等 或顶角相等
02
平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理的证明
图形的相似知识点总结及练习
图形的相似知识点总结及练习1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB、CD的长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是AB:CD ＝m：n例：已知线段AB=2、5m,线段CD=400cm，求线段AB与CD的比。
2、比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d的比，即（或a：b=c：d），那么，这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。
）例：b,a,d,c是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d的长度。
（2）比例性质1、基本性质: （两外项的积等于两内项积）2、反比性质：(把比的前项、后项交换)3、更比性质(交换比例的内项或外项)：4、等比性质：（分子分母分别相加，比值不变、）如果，那么、注意：(1)此性质的证明运用了“设法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法、 (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零、 (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立、例：已知5、合比性质：（分子加（减）分母,分母不变）、知识点二：平行线分线段成比例定理1、平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例。
用符号语言表示：∵AD//BE//CF,∴ABBC=DEEF,BCAC=EFDF,ABAC=DEDF2、推论:平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例。
（1）是“A”字型（2）是“8”字型经常考，关键在于找几何语言：由DE∥BC可得：、此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行、例：如图，在四边形ABCD中，AD//BC,EF//BC,AGGC=23，则DFDC=_______。
知识点三：相似形多边形1、定义：各角分别相等、各边成比列的两个多边形叫做相似多边形。
2、相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边成比例。
图形的相似 知识归纳+真题解析
(4)平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相 似． 3.相似三角形的性质 (1)相似三角形周长的比等于相似比. (2)相似三角形面积的比等于相似比的平方. (3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于相似比. 4.相似多边形的性质 (1)相似多边形周长的比等于相似比. (2)相似多边形面积的比等于相似比的平方. 5.位似图形 （1）定义 两个多边形不仅相似，而且每组对应顶点所在直线相交于一点，这个点叫做位似中 心，对应边的比叫做位似比．位似是一种特殊的相似. （2）性质 (1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于位似比； (2)位似图形对应点的连线或延长线相交于 (3)位似图形对应边成比例； (4)位似图形对应角相等. 一 点；
a c b d
AC AB
4.平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 （二）1．相似图形定义：形状相同的图形称为相似图形．相似图形的性质：对应角相等， 对应边的比成比例． 2．相似三角形的判定 (1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似； (2)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，且夹角夹角相等，那么 这两个三角形相似； (3)如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相 似；
AC AB
4.平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 （ 二 ） 1． 相 似 图 形 定 义 ： 形 状 相 同 的 图 形 称 为 相 似 图 形 ． 相 似 图 形 的 性 质 ： 对 应 角 ，对应边的比 ．
2．相似三角形的判定 (1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应 似； (2)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应 个三角形相似； (3)如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应 似； (4)平行于三角形一边的直线和其他两边 (或延长线 )相交，所构成的三角形与原三角 形 ． ，那么这两个三角形相 ，且夹角 ，那么这两 ，那么这两个三角形相
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．
注意：⑴线段的比是一个数，无单位；两条线段的比与
采用的长度单位无关，但要采用同一个长度单位．
⑵线段的比是指它们的倍数关系，AB：CD＝k表示AB＝
kCD；并且比值总是正数，一般要化为最简．
⑶线段的比是有顺序的，AB：CD与CD：AB互为倒数．
⑷比例是一个等式．且两内项之积等于两外项之积．即：
a：b＝c：dad＝bc．
定义：如果量得两条线段AB、CD的长度分别是m、n， 那么我们把m、n的比称为线段AB、CD的比．其中，线段 AB、CD分别叫做比的前项和后项．
思考：1.桌子长1.2m、宽60cm，则长与宽的比是多少？
2.安德烈·斯林诺夫身高1.81米，跳高最高纪录2.36米，
跳蚤身高约为２毫米，能跳0.6米，比较其跳跃能力．
3.已知A、B两地相距为25km，画在图上为10cm，在该
图上C、D相距18cm，两地的距离为
．
定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的
比等于另外两条线Leabharlann 的比，如a：b＝c：d，那么这四条线
段叫做
，简称“比例线段”．此时又称这四条
线段
．其中a、b、c、d叫做比例的 ，a、d叫
做
，b、c叫做
1.下列图形中，右边的正方形是由左边的正方形缩小后得 到的，它们的对应角有什么规律？对应边呢？ 2.如图，右边正三角形是由左边正三角形放大后得到的， 它们是否有同样的结论？
思考：如果两个多边形相似，那么它们的对应角、对应 边有什么规律？
A
B
B1 A1
C
D C1
D1
归纳：图形放大或缩小时，它的对应角不变，对应边按 比例放大或缩小．
运用乘积式ad＝bc可以检验比例式a：b＝c：d的变形．
1.已知a:d＝c:b，下列变形错误的是( ) A. b:d＝c:a B. a:b＝c:d C. d:a＝b:c D. a:c＝d:b 2.同一时刻，高２米的竿的影长为1.5米，某古塔的影长为 24米，则塔高是 ． 3.若2x＝3y则x＝ y；若a：b＝5：3，则a为b的 倍． 4.如图，点Ｃ把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC2 ＝AB·BC，那么称线段AB被点C黄金分割，AC与AB的比 叫做黄金比，其比值是 ． 5.(99n)已知a＝24cm，b＝54cm，那么a和b的比例中项 是 cm．(定义：若a：b＝b：c，即b2＝ac，则b叫做 a、c的比例中项或几何平均数．) 6.已知1、 2 、2三个数，请你再添上一个数，写出一个比 例式．