再探实际问题与二元一次方程组2
再探实际问题与二元一次方程组
实际问题
设未知数，列方程组
数学问题 （二元一次方程组）
解 方 程 组
代入法 加减法 （消元）
实际问题的答案
检验
数学问题的解 （x=a , y=b）
4、某班同学参加运土劳动，一部分同学抬 土，另一部分同学挑土，已知全班共有筐 59只，扁担36条，试求有多少同学抬土， 多少同学挑土？
5、一支部队第一天行军4小时，第二天行 军5小时，两天共行军98km，第 一天比第 二天少走2km,第一天和第二天行军的平均 速度各是多少？
6、据市场调查，某种消毒液的大瓶装 （500克）和小瓶装（250克）两种产品的 销售数量比（按瓶计算）为2：5，某厂每 天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应 该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶？
x = 48 y = 52
1、鸡兔同笼，共有12个头，36只腿， 则笼中有 只鸡 只兔； 2、甲、乙两数之和是42，甲数的3倍等于乙数的4倍， 求甲、乙两数各是多少？ 若设甲数为x，乙数为y，依题意可列方程组_____ 3、甲、乙、丙三数的和是35，甲、乙的差是7， 乙数是丙数的3倍， 则甲数= ，乙数= ， 丙数=
等关系，根据这些相等关系列出方程并 组成方程组； ⑶解：解方程组，求出未知数的值； ⑷答：检验所求的解，写出答案。
2、某工厂去年的利润(总产值-总支出) 为200万元，今年总产值比去看增加了20%， 总支出比去年减少了10%，今年的利润为780 万元。去年的总产值、总支出各是多少万元？
总产值 （万元） x (1+20%)x 总支出 （万元） y (1-10%)y 利润 （万元） 200 780
⑴ . 工作量问题 工作量 = 工作效率 × 工作时间 ⑵. 行程问题 路程 = 速度 × 时间 顺风（水）速度 = 航速 + 风速（水速） 逆风（水）速度 = 航速 – 风速（水速） ①相遇问题：两者路程之和 = 总路程 ②追及问题：两者路程之差 = 总路程 ⑶. 利润问题 利润 = 售价 – 进价 售价 利润 折率 = 利润率 = 标价 ×100％ 进价
(课件)再探实际问题与二元一次方程组2
两部分,使甲、 块地分为两部分 使甲、乙两种作物的总产量的比是 3 : 4 (结果取整数 结果取整数)? 结果取整数 D C
A
B
例2： 小龙在拼图时，发现 个一样大的小长 ： 小龙在拼图时，发现8个一样大的小长 方形，恰好可以拼成一个大长方形，如图甲所示， 方形，恰好可以拼成一个大长方形，如图甲所示， 陈晔看见了说“我来试一试” 结果陈晔七拼八凑， 陈晔看见了说“我来试一试”，结果陈晔七拼八凑， 拼成一个如图乙的正方形，中间留下一个洞， 拼成一个如图乙的正方形，中间留下一个洞，恰 好是边长2mm的小正方形，你能算出小长方形 的小正方形， 好是边长 的小正方形 的长和宽吗？ 的长和宽吗？
图一
图二
竖式纸盒展开图
横式纸盒展开图
x只竖式 只竖式 纸盒中 x 正方形纸板张数 长方形纸板张数 4x
y只横式 只横式 纸盒中 2y 3y
合计 1000 2000
练 习
上题中如果改为库存正方形纸板500张， 张 上题中如果改为库存正方形纸板 长方形纸板1001张，那么，能否做成 长方形纸板 张 那么， 若干只竖式纸盒和若干只横式纸盒后， 若干只竖式纸盒和若干只横式纸盒后， 恰好把库存纸板用完？ 恰好把库存纸板用完？
D ┓
C x
●
由题意得： 解：设CE为 x 米,BE为 y 米，由题意得： 为 为
A
E y B
x + y＝100 ＝ 200 x: 1.5×200 y ＝3:4 ×
解方程组得: 解方程组得
16 x＝ 52 ＝ 17 1 y ＝ 47 17
X≈ 53 y ≈ 47
由题意取值: 由题意取值
过长方形土地的短边上离一端约53米处 米处, 答： 过长方形土地的短边上离一端约 米处 把这块地分为两个长方形.较大一块地种甲 把这块地分为两个长方形 较大一块地种甲 种作物,较小一块地种乙种作物 较小一块地种乙种作物. 种作物 较小一块地种乙种作物
8.3实际问题与二元一次方程组——探究2(课件)-2022—2023学年数学七年级下册(人教版)
Ⅱ 2
y X-4
x 4 y 2,
Ⅰ 4
解得： 2( x 4) 4 y
x=8 y=2
答：原长方形长为8cm，宽为2cm。
某校现有校舍20000m2计划拆除部分旧校舍，改建新校舍，使校 舍总面积增加30%.若建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积 的4倍，那么应该拆除多少旧校舍，建造多少新校舍？
解:设小长方形长为xcm，宽为ycm.
根据题意 ,得 x+3y=19
x=10
解得
7+3y=2y+x
y=3
1
小结
实际问题 设未知数、找等量关系、列方程（组）
数学问题
[方程（组）]
实际问题 的答案
双检验
解 方 程 （ 组 ）
数学问题的解
为长方形AEFD和BCFE.设AE=xm，BE=ym，由题意得：
x+y=200 100x×4=3×100y
D
F
甲
C
乙
解这个方程组，得
x=120
A
E
x
B y
y=80
答：过长方形土地的长边上离一端约___1_2_0__m处，作这条边的
垂线，把这块地分为两个长方形土地.较大一块地种__甲__作物，
较小一块地种__乙__作物.
拓展提升
小明在拼图时发现8个一样大小的长方形恰好拼成一个大的 长方形，如图1所示．小红看见了，说：“我也来试一试．“结 果小红七拼八凑，拼成如图2那样的正方形，但中间留下了一个 洞，恰好是边长为2mm的小正方形，你能算出每个长方形的长和 宽是多少吗？
复习：
列方程组解应用题的基本步骤： 1、审题 2、设未知数 3、列方程组 4、解方程组 5、检验 6、作答
人教版数学七年级下册 8.3 实际问题和二元一次方程组2-提升版-销售、顺逆、相遇、追击、环路、其
第8章第3节实际问题与二元一次方程组2
辅导科目
数学年级七年级教材版本人教版
讲义类型提升版（适用于考试得分率介于60%-80%之间的学员）
教学目的1．以含有多个未知数的实际问题为背景，让学生经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型。
2. 使学生熟练掌握用方程组解决实际问题。
重、难点重点：销售问题、顺逆问题、相遇问题、追击问题、环路问题、工程问题难点：从实际问题中抽象出方程组
授课时长建议授课时长2小时
教学内容
【课程导入】
张强和李毅二人分别从相距20千米的A.B两地出发，相向而行，如果张强比李毅早出发30分钟，那么在李毅出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米。
求张强、李毅每小时各走多少千米。
【新知讲解】
※知识点六：其它行程问题
常见的主要有过桥、错车、上下坡/变速问题。
1. 过桥问题
车辆或火车行驶的路程=桥梁（隧道）长度+车身长度
2. 错车问题
①相遇错车问题（相向而行）
→
结论：两车相向而行，路程为两车车长总和，速度为两列车的速度之和；
②追击错车问题（同向而行）
→
结论：两车同向而行，路程为两车车长总和，速度为两列车的速度之差；
※例题
1. 已知某一铁路桥长1000米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用1分钟，整列火车完全在桥上的时间为40秒钟，求火车的长度和火车的速度。
关于“再探实际问题与二元一次方程组”一节课的教学设计思考
关于“再探实际问题与二元一次方程组”一节课的教学设计思考【摘要】本文主要阐述了人民教育出版社七年级下学期数学教材在第八章“二元一次方程组”第三小节“再谈实际问题与二元一次方程组”第一课时教学设计思考，以及在教、学过程中如何实施等问题。
主要内容包括：一、新课引入的设计；二、讲授新知的设计；三、课堂练习的设计；四、课堂小结的设计；五、布置作业、教学评价、板书的设计。
【关键词】二元一次方程组；估算；教学评价；数学思想；教学方法人民教育出版社七年级下学期数学教材在第八章“二元一次方程组”第三小节中，又特别安排了“再探实际问题与二元一次方程组”的内容，选择了三个具有一定综合性的问题：“牛饲料问题”、“种植计划问题”、“成本与产出问题”。
；提供给学生利用方程组为工具进行具有一定深度的思考，增加运用方程组解决实际问题的实践，将全章所强调的以方程组为工具，把实际问题模型化的思想提到了新的高度。
这一小节内容的问题形式包括：估算与精确计算的比较，如探究1；开放地寻求设计方案，如探究2；根据图表所表示的实际问题的数据信息列方程组，如探究3。
安排这节的目的在于：一方面，通过实际生活中的问题，进一步突出方程组这种数学模型应有的广泛性和有效性；另一方面，使学生能在解决实际问题的情境下运用所学知识，进一步提高分析问题和解决问题的综合能力。
下面就这一小节的第一课时，即探究1的教学过程设计谈一点自己粗浅的想法。
1.关于新课引入的设计建议播放反映新疆美丽自然风光和介绍新疆畜牧业发展较好的短片或照片，并配上巴哈尔古丽的演唱的歌曲《新疆好》。
其目的有三：一是激发和增强学生学习数学的兴趣；二是教师借机可对学生进行热爱祖国、热爱家乡的德育教育；三是为本节课的引入、探究活动中问题的展示，做了一个很好的引子。
2.关于讲授新知的设计探究1：养牛场原有30只母牛和15只小牛，1天约需饲料675kg，一周后又购进12只母牛和5只小牛，这时一天需用饲料940kg，饲养员李大叔估计平均每只母牛一天需要饲料18～20kg，每只小牛一天约需用饲料7～8kg，你能否通过计算检验他的估计？2.1先给学生充足的时间（大约5分钟～8分钟）进行独立思考、小组讨论，探索分析解决这个问题的方法。
(课件)再探实际问题与二元一次方程组(二)
x + y = 200
［50×（50+x)a］:［1.5a×(150+y)×50］=3:4 × ］［ × × ］
小结： 小结：本节课你学会了什么？
思考题： 思考题：
1、有一种足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成 的（如图），黑皮可看作是正五边形，白皮可看作 是正六边形，求图中有多少块白皮和黑皮？ 2、为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的比例 ycm 关系配套设计的。研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子 的高度（不含靠背）为xcm，则y与x之间应存在y=kx+b的关 系，下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度 第一套 椅子的高度（cm） 桌子的高度（cm） （1）试确定y与x的关系式； （2）现有一把高为42.0cm的椅子和一张高为78.2cm的桌子，它们是否配套？ 试通过计算说明理由。 40.0 75.0 第二套 37.0 70.2
总产量=总面积× 总产量 总面积×单位面积产量 总面积
探究2： 探究 ：
据以往的统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶1.5，现要 在一块长200米，宽100米的长方形土地上种植这两种作物，怎样把这块地 一分为二，使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4（结果取整数）？
D 问题： （1）本题要求我们做什么？ （2）把一个长方形分成两个长方形，有几种分割方法？ （3）现在以方法一为例，既然是垂直分割，你就需要 告诉别人你是怎样具体分割的 A 解：设甲的单位面积产量为a，AE= xm，EB=ym，则： D C 200m 100m B F C
2005-11-16 16:09:07 来源: 新华网
我国作为农民占绝大多数的农业大国，加快社会主义新农 村建设是全面建设小康社会的关键之举。党的十六届五中 全会已经对此作出了重要部署。县域涵盖“三农”，联结 城乡，是解决“三农”问题的主阵地；县域经济是城乡融 合发展的区域经济，其实力和活力直接关系到社会主义新 农村的建设。
七年级下册数学第八章二元一次方程组《实际问题与二元一次方程组：探究2农作物常量问题》听课记录
2024七年级下册数学第八章二元一次方程组《实际问题与二元一次方程组：探究2农作物常量问题》听课记录一、导入教师行为：1.1 激发兴趣：“同学们，我们都知道中国是一个农业大国，农作物的产量和种植情况对我们的生活非常重要。
今天，我们就来探究一个与农作物常量有关的问题，看看如何通过数学方法来解决实际问题。
”1.2 提出问题：“假设一个农场里有两种农作物，小麦和玉米。
小麦每公顷的产量是5吨，玉米每公顷的产量是8吨。
农场主告诉我们，他今年总共收获了100吨的农作物。
同时，我们还知道农场里小麦和玉米的种植面积之比为3:2。
那么，农场里小麦和玉米各种植了多少公顷呢？”学生活动：•学生思考并尝试回答教师提出的问题，对即将学习的内容产生好奇和兴趣。
•认真聆听教师的导入，理解问题的背景和实际意义。
过程点评：•教师通过农业生产的实际问题引入，使学生能够将数学与现实生活联系起来，增加学习的趣味性。
•问题的设置既具有挑战性，又能够引导学生思考如何将实际问题转化为数学问题。
二、教学过程2.1 教师行为：2.1.1 分析问题：“首先，我们需要明确这个问题中的两个未知数，分别是小麦和玉米的种植面积。
然后，我们可以根据题目中的信息，建立两个方程来表示这两个未知数之间的关系。
”2.1.2 建立方程组：“假设小麦的种植面积为x公顷，玉米的种植面积为y公顷。
根据题目，我们可以得到以下两个方程：5x + 8y = 100（表示总收获量为100吨）和x/y = 3/2（表示小麦和玉米种植面积之比为3:2）。
”2.1.3 讲解解法：“为了解这个方程组，我们可以先将第二个方程转化为线性方程，即2x = 3y。
然后，我们可以使用代入法或消元法来解这个方程组。
”学生活动：•学生跟随教师的讲解，理解问题的分析过程和方程组的建立方法。
•尝试自己建立方程组，并思考如何解这个方程组。
过程点评：•教师通过详细的问题分析和方程组的建立过程，使学生理解了如何将实际问题转化为数学问题，并建立了相应的数学模型。
甘肃省平凉铁路中学(人教版)数学七年级下册练习：实际问题与二元一次方程组(2).docx
实际问题与二元一次方程组（2）学习检测1.（2003·陕西）为保护生态环境，我省某山区某县响应国家“退耕还林”号召，将该县某地一部分耕地改为林地，改变后，林地面积和耕地面积共有180km 2，耕地面积是林地面积的25％，为求改变后林地面积和耕地面积各位多少平方千米，设耕地面积为x km 2，林地面积为y km 2，根据题意，列出如下四个方程组，其中正确的是（ ）A 、B 、C 、D 、 2．如图，8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是 ↑↓60cm3．某林牧场面积为162公顷，为了保持生态平衡，需把牧区中的27公顷牧场改造成林区，使林区面积是牧区面积的5倍，那么林牧区原来林区、牧区的面积各是多少？4.山区有23名中、小学生因贫困失学需要捐助。
资助一名中学生的学习费用需要a 元，资助一名小学生的学习费用需要b 元。
某校学生各级捐款，初中各年级学生捐款数额与用其恰好捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况好下表：（1）a 、b 的值。
（2）初一年级学生的捐款解决了其余．．贫困中小学生的学习费用，请将初一年级学生可捐助的贫困中、小学生人数直接填入上表中（不需要写出计算过程）。
5.王师傅下岗后开了一家小商店，上周他购进甲乙两种商品共50件，甲种商品的进价是每件35元，利润率是20％, 乙种商品的进价是每件20元，利润率是15％,共获利278元，你知道王师傅分别购进甲乙两种商品各多少件吗？6.（江西07）2008年北京奥运会的比赛门票开始接受公众预订．下表为北京奥运会官方票务网站公布的几种球类比赛的门票价格，某球迷准备用8000元预订10张下表中比赛项目的门票．（1）若全部资金用来预订男篮门票和乒乓球门票，问他可以订男篮门票和乒乓球门票各多少张？（2）若在现有资金8000元允许的范围内和总票数不变的前提下，他想预订下表中三种球类门票，其中男篮门票数与足球门票数相同，且乒乓球门票的费用不超过男篮门票的费用，求他能预订三种球类门票各多少张？x ＋y ＝180 y ＝x ·25％ x ＋y ＝180 x ＝y ·25％ x ＋y ＝180 x －y ＝25％ x ＋y ＝180y －x ＝25％再探实际问题与二元一次方程组（3）学习检测1．某哨卡运回一箱苹果，若每个战士分6个，则少6个；若每个战士分5个，•则多5个，那么这个哨卡共有________名战士，箱中有_______个苹果．2．如果长方形的周长是20cm，长比宽多2cm．若设长方形的长为xcm，宽为ycm，•则所列方程组为_________．3．一张试卷有25道题，做对一道得4分，做错一道扣1分．•小英做了全部试题得70分，则她做对了________道题．4．足球比赛的记分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．•一支青年足球队参加15场比赛，负4场，共得29分，则这支球队胜了（）A．2场 B．5场 C．7场 C．9场5．学校的篮球数比排球数的2倍少3个，篮球数与排球数的比是3：2，•求两种球各有多少个？若设篮球有x个，排球有y个，依题意，得到的方程组是（）A．23,32x yx y=-⎧⎨=⎩ B．23,32x yx y=+⎧⎨=⎩ C．23,23x yx y=-⎧⎨=⎩ D．23,23x yx y=+⎧⎨=⎩6．甲、乙二人按2：5的比例投资开办了一家公司，约定除去各项开支外，•所得利润按投资比例分成．若第一年赢得14000元，那么甲、乙二人分别应分得（）A．2000元，5000元 B．5000元，2000元C．4000元，10000元 D．10000元，4000元7．现有190张铁皮做盒子，每张铁皮可做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整的盒子，用多少张铁皮做盒身，多少张铁皮做盒底可以使盒身与盒底正好配套？8．（1）（2005年，南通）某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款，•共捐款100元．捐款情况如下表：表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可得方程组（）A．27,2366x yx y+=⎧⎨+=⎩ B．27,23100x yx y+=⎧⎨+=⎩ C．27,3266x yx y+=⎧⎨+=⎩ D．27,32100x yx y+=⎧⎨+=⎩。
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再探实际问题与二元一次方程组（探究1）
融安县初级中学覃美香
一、教学目标
1、知识与技能
（1）能正确分析实际问题中的数量关系，建立二元一次方程组模型并能解决实际问题。
（2）学会比较估算与精确计算，以及检验方程组的解是否符合题意，并正确作答。
（3）能将实际问题转化为数学问题，掌握列方程组解决实际问题的方法，进一步提高学生逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。
2、过程与方法
经历把实际问题抽象为数学方程组的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，进一步体会数学建模思想，培养学生的数学应用意识。
3、情感态度与价值观
（1）通过实际问题的解决，使学生获得成功的体验，提高学习数学的兴趣。
（2）在探究学习中培养学生独立思考、自主探索、勇于创新的精神，并敢于发表自己的见解，养成良好的学习态度。
（3）通过合作交流，养成学生的合作互助意识，提高数学交流和数学表达能力。
二、教学重难点
重点：让学生经历和体验用方程组解决实际问题的过程，抓住实际问题的等量关系建立方程组模型。
难点：在探究过程中分析题意，由相等关系正确地建立方程组，从而把实际问题转化为数学问题即二元一次方程组。
三、教学流程安排
引入新课探究新知巩固提高知识整合感悟反思课后作业
四、教学过程
师生互动
②你能估计出平均每
只母牛和每只小牛一天各
需饲料多少千克吗？
③如何检验你的估计是
否准确？
学生独立思考，发表自
己的见解
学生寻找解决问题的方
法：
（1）找出题中的未知
量，设出未知数。
（2）设出未知数后，根
据题意列出二元一次方程组
（3）求出二元一次方程
组的解。
（4）根据方程组的解来
检验估算的准确性。
学生积极思考，自主探
索，合作交流，解决问题：
解：设平均每只母牛1天
需用饲料x千克，小牛需用y
千克，则：
30x+15y=675
42x+20y=940
解得：x=20
y=5
答：平均每只母牛1天需用
饲料20千克，小牛需用5千
克
鼓励学生大胆猜
想、估计。
发现解决问题的
方法，把实际问题转
化为二元一次方程组
解决。
引导学生主动地
参与教学活动，发扬
数学民主，让学生在
独立思考、合作交流
等数学活动中，培养
学生合作互助意识，
提高数学交流与数学
表达能力，发展学生
多角度思维能力,培养
学生严谨的思维方式
和良好的学习氛围，
在学习活动中获得成
功感，树立自信心，
并进一步形成对数学
知识的理解，培养数
学应用意识，体会将
实际问题转化为数学
问题的过程。
三、
巩固提高1、练一练，相信你能行
融安县初级中学七年
级（5）班51名同学为“希
望工程”捐款，共捐款181
元，捐款情况如下表，表
格中捐款3元和4元的人
数不小心被墨水污染已看
不清楚。
若设捐款3元的有ｘ名
同学，捐款4元的有ｙ名
同学，根据题意，可列方
程组为：
学生独立思考，自主探
索，列出二元一次方程组：
x+y=30
3x+4y=100
通过此题训练让
学生明确实际问题转
化为数学问题关键是
找出问题中的相等关
系，列出二元一次方
程组，从而体会方程
组的应用价值。