第三章基础-方程综合(讲义及答案).

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完美版课件沪科版七年级数学第三章一次方程与方程组复习课件

应用题的问题常见类型：
①等体积变形问题 ②行程问题 ③打折问题 ④利率问题
⑤工程问题 ⑥调配问题 ⑦利润问题 ⑧比例问题
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第3章 |复习（二）
例 3 用加减法解方程组： 5x－6y＝1， 2x－6y＝10.
解：
5x－6y＝1，① 2x－6y＝10.②
①－②得 3x＝－9.
解得 x＝－3.
把 x＝－3 代入②得，
2×(－3)－6y＝10.
解得 y＝－83.
即xy＝＝－－833.，
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2．已知等式 3a＝2b＋5，则下列等式中不一定成立的是( C )
A．3a－5＝2b B．3a＋1＝2b＋6 C．3ac＝2bc＋5 D．a＝23b＋53
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第3章 |复习（一）
3．下列结论错误的是( D ) A．若 a＝b，则 a－c＝b－c B．若 a＝b，则c2＋a 1＝c2＋b 1 C．若 x＝2，则 x2＝2x D．若 ax＝bx，则 a＝b
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第3章 |复习（二） ►考点二二元一次方程组的解法例 2 用代入法解方程组： 3x－y＝7， 5x＋2y＝8.
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第3章 |复习（二）
解：
3x－y＝7，①
5x＋2y＝8.②
由①，得 y＝3x－7，③
把③代入②，得 5x＋2(3x－7)＝8.
解得 x＝2. 把 x＝2 代入③，
(1)根据题意列出方程(组)； (2)所列方程(组)是二元一次方程组吗？
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第3章 |复习（二）
解：(1)5xx＝＝26y－y，40. (2)是二元一次方程组．
方法技巧 (1)在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数；(2)“未知数的次数是 1”是指含有未知数的项(单项式)的次数是 1，如前面 xy＝12中 xy 这一项的次数是 2，所以 xy＝12不是二元一次方程；(3) 二元一次方程的左边和右边都必须是关于未知数的整式．

线性代数讲义03线性方程组

第三章线性方程组第一节线性方程组与矩阵的行等价一线性方程组以前学过求解二元一次方程组与三元一次方程组的方法. 这里研究一般的一次方程组.定义3.1 多元一次方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111称为线性方程组. 方程组有m 个方程, n 个未知数i x (1,2,,i n =), 而ij a (1,2,,i n =;m j ,,2,1 =)是未知数的系数, j b (m j ,,2,1 =)是常数项.如果0=j b (m j ,,2,1 =), 则称为齐次线性方程组, 否则称为非齐次线性方程组.数组n c c c ,,,21 是方程组的一个解, 如果用它们分别代替方程组中的未知数n x x x ,,,21 , 可以使方程组变成等式组. 方程组的全部解的集合称为方程组的通解. 相对于通解, 称方程组的一个解为特解.定义3.2 如果两个线性方程组有相同的通解, 则称它们同解.按照定义, 两个方程组同解是指它们的解的集合相等. 集合相等是一种等价关系, 因此方程组同解也是一种等价关系. 特别, 方程组同解具有传递性.通过消元, 可将线性方程组变成比较简单的同解方程组, 从而得到原方程组的解.例3.1 解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-52452132321321321x x x x x x x x x .解从上向下消元, 得同解方程组1232332312243x x x x x x -+=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩. 这种方程组称为阶梯形方程组. 从下向上消元, 得同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=310232321x x x .再除以第一个未知数的系数, 得线性方程组的解2/31-=x , 52=x , 33=x .解线性方程组的基本方法是加减消元法. 求解过程中常用三种运算.定义3.3 下列三种运算称为方程组的初等变换.(1) 交换两个方程的位置;(2) 用一个非零常数乘以一个方程;(3) 将一个方程的k 倍加到另一个方程上去.注意如果用一种初等变换将一个线性方程组变成另一个线性方程组, 则也可以用初等变换将后者变成前者. 即初等变换的过程是可逆的.定理3.1 用初等变换得到的新的线性方程组与原方程组同解.证先证明只进行一次初等变换.首先如果一组数是原方程组的解, 则它满足方程组中的每一个方程. 此后, 无论进行的是哪种初等变换, 这组数也满足新方程组的每个方程, 因此是新方程组的解. 反之, 由于初等变换的可逆性, 新方程组的解也是原方程组的解. 因此, 两个方程组同解.最后, 由于方程组同解的传递性, 进行任意多次初等变换所得方程组与原方程组同解.二矩阵的行等价用矩阵乘法, 可以将线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111写作 11121121222212n n m m mn n a a a x a a a x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m b b b 21, 称为线性方程组的矩阵表示. 其中n m ⨯矩阵)(ij a A =称为方程组的系数矩阵, 1⨯n 列矩阵),,,(21'=n x x x x 称为未知数(矩阵), 1⨯m 列矩阵),,,(21'=m b b b b 称为常数(矩阵). 此时, 线性方程组可以简写作b Ax =.如果数组n c c c ,,,21 是线性方程组b Ax =的解, 令列矩阵12(,,,)n c c c ξ'=, 则有矩阵等式A b ξ=. 列矩阵12(,,,)n c c c ξ'=是方程组的解的矩阵表示.将常数矩阵添加到系数矩阵上作为最后一列, 得到分块矩阵),(b A A =, 称为线性方程组的增广矩阵.线性方程组与其增广矩阵是互相唯一确定的. 因此, 可以将方程组的语言翻译成矩阵的语言. 从线性方程组的初等变换, 产生矩阵的行初等变换的概念.定义3.4 设A 是矩阵, 则下列三种运算称为对矩阵A 的行初等变换.(1) 交换A 的两行;(2) 用非零常数k 乘以A 的一行;(3) 将A 的一行的k 倍加到另一行上去.定义 3.5 如果通过行初等变换, 可以将矩阵A 变成矩阵B , 则称矩阵A 与B 行等价. 记作B A r−→−. 仿照定理3.1的证明, 可以得到下面的结果.性质3.1 行等价是一种等价关系, 即具有下述性质.(1) 反身性: A A r −→−; (2) 对称性: 如果B A r −→−, 则A B r −→−; (3) 传递性: 如果B A r −→−,C B r −→−, 则C A r −→−. 当一类对象具有多种不同的等价关系时，要用不同的符号予以区别. 矩阵的相等是一种等价关系, 已经用等号表示为B A =. 作为矩阵的另一种等价关系, 行等价使用符号B A r −→−. 用矩阵的行等价的概念, 可以将定理3.1写作:定理3.2 如果两个线性方程组的增广矩阵行等价，则这两个线性方程组同解.通过初等变换, 可以从线性方程组产生一个阶梯形方程组. 换成矩阵的语言, 通过行初等变换, 可以从矩阵产生下面的具有特殊结构的矩阵.如果矩阵中某行中所有元素都是0, 则称为零行, 否则称为非零行.定义3.6 具有下面的性质的矩阵称为行阶梯形阵.(1) 非零行在上, 零行在下;(2) 每个非零行的第一个非零元素(首元素)在上面的非零行的首元素的右下方.例3.2 用行初等变换化简矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=521451121312A .解做行初等变换, 得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=521451121312A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−343042201312r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−310042201312r . 经过消元, 得到的已经是行阶梯形阵. 继续消元, 得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−310042201312r A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−3100100208012r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−3100100203002r .最后, 每行除以其首元素, 得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−3100100203002r A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-−→−310050102/3001r .定义3.7 具有下列性质的行阶梯形阵称为行最简阵.(1) 每个非零行的首元素等于1;(2) 包含首元素的列的其它元素都是0.在例3.2中, 最后得到的是行最简阵. 由以上的讨论, 可得下面的定理.定理3.3 对于任意矩阵A , 存在一个行最简阵R , 使得A 与R 行等价.如果矩阵A 与行阶梯形阵R 行等价，则称R 是A 的行阶梯形阵. 如果A 与行最简阵R 行等价, 则称R 为矩阵A 的行等价标准形.其实, 例3.2中的矩阵就是例3.1中线性方程组的增广矩阵. 而矩阵的行初等变换的过程与线性方程组的初等变换的过程完全一样. 唯一的区别在于这里只有系数和常数, 没有未知数和等号. 由于增广矩阵与线性方程组可以互相唯一确定, 缺少未知数和等号完全不影响问题的解决.习题3-11. 写出线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的系数矩阵与增广矩阵, 并用消元法求解.2. 设线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------1681355422351312, 写出该线性方程组, 并用消元法求解.3. 求下列矩阵的行等价标准形.（1）102120313043-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭; (2) 023*********-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭; (3) 11343335412232033421--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭; (4) 23137120243283023743--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭. 4. 求t 的值, 使得矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----t 22122351311321的行等价标准形恰有两个非零行.第二节矩阵的秩一矩阵的秩的定义定义 3.8 设矩阵n m ij a A ⨯=)(, 从A 中任意选取k 行,k 列(},min{n m k ≤), 位于这些行与列的交叉点上的2k 个元素按照原来的相对位置构成的k 阶行列式称为A 的一个k 阶子式. 例如, 位于矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=312097102431A 的第一,三行, 第二，四列的二阶子式为133223-=-. 一个n m ⨯矩阵有kn k m C C 个k 阶子式. 矩阵的每个元素都是它的一个一阶子式. 而n 阶方阵的行列式是它的唯一的n 阶子式.定义3.9 如果矩阵n m ij a A ⨯=)(中有一个r 阶子式不等于零, 而所有1+r 阶子式都等于零, 则称矩阵A 的秩等于r . 记作r A =)rank(.如果矩阵的所有1+r 阶子式都等于零, 根据行列式按照一行展开, 可以证明所有更高阶的子式也都等于零. 因此, 矩阵的秩等于它的不等于零的子式的最高阶数.约定对于零矩阵O , 约定0)rank(=O .由矩阵的秩的定义, 可以得到下面简单事实:(1) 设A 是非零矩阵, 则1)rank(≥A ;(2) 设A 是n m ⨯矩阵, 则},min{)rank(n m A ≤;(3) n 阶方阵A 可逆的充分必要条件为n A =)rank(. 于是, 可逆阵又称为满秩阵.例3.3 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=064212100321A , 求它的秩.解左上角的二阶子式不等于零. 而所有四个三阶子式都等于零. 于是, 2)rank(=A . 例3.4 求对角阵),,,diag(21n a a a A =的秩.解由不等于0的主对角元素所在的行与列确定的子式不等于0. 而阶数高于这个子式的子式必然有零行. 因此对角阵的秩等于其不等于0的主对角线元素的个数.例3.5 设矩阵A 的秩等于0>r , 从A 删除一行得到矩阵B , 问B 的秩可能取哪些值? 如果给A 添加一行呢?解因为矩阵B 的子式也是矩阵A 的子式, 所以B 的秩不大于A 的秩.已知r A =)r a n k (, 不妨设A 的r 阶子式D 不等于0. 如果D 也是B 的子式, 则r B =)rank(. 否则, 根据行列式按照一行展开, 在D 的未被删除的1-r 行中, 至少有一个1-r 阶子式不等于0. 于是1)rank(-≥r B .仿照上面的证明, 添加一行所得矩阵的秩等于r , 或者1+r .性质3.2 设A 是矩阵, k 是数, 则(1) 转置: )rank()rank(A A =';(2) 数乘: 如果0≠k , 则)rank()rank(A kA =.证只证(2).考虑矩阵A 的一个s 阶子式s D , 根据矩阵的性质2.6, 矩阵kA 的相应的子式等于s s D k .已知0≠k , 因此0=s s D k 的充分必要条件为0=s D .设r A =)rank(, 则A 有一个r 阶子式不等于0, 而所有1+r 阶子式都等于0. 根据前面的分析, 矩阵kA 具有相同的性质. 因此, r kA =)rank(.二行初等变换用定义计算矩阵的秩时, 需要计算许多个行列式. 计算量非常大.定理3.4 设矩阵A 与B 行等价, 则rank()rank()A B =.证设一次行初等变换将矩阵A 变成矩阵B ，且r A =)r a n k (, 则A 的所有1+r 阶子式都等于0. 下面对于三种行初等变换证明矩阵B 的所有1+r 阶子式也都等于0.(1) 矩阵A 的一行乘以非零常数k . 此时B 的一个1+r 阶子式或者就是A 的相同位置的1+r 阶子式, 或者是A 的相同位置的1+r 阶子式的一行乘以非零常数k . 于是, B 的所有1+r 阶子式都等于0.(2) 交换矩阵A 的两行. 考虑B 的一个1+r 阶子式D , 则A 有一个1+r 阶子式与D 的差别至多是行的顺序不同. 于是, B 的所有1+r 阶子式都等于0.(3) 将A 的第j 行的k 倍加到第i 行. 如果B 的一个1+r 阶子式不包含A 的第i 行, 它就是A 的相同位置的1+r 子式. 如果B 的一个1+r 阶子式D 包含A 的第i 行, 用行列式的性质, 这个子式可以分解为21kD D +, 其中1D 就是A 的相同位置的1+r 子式. 如果D 不包含A 的第j 行, 则2D 可以由A 的某个1+r 阶子式经交换行得到. 如果D 包含A 的第j 行, 则2D 有两个相同的行. 于是, B 的所有1+r 阶子式都等于0.总之, )rank()rank(A r B =≤.另一方面, 由矩阵的行等价的对称性, 也可以用行初等变换将矩阵B 变成矩阵A . 从而还有)rank()rank(B A ≤. 于是, 无论做哪种行初等变换, 都有rank()rank()A B =.最后, 由矩阵的行等价的传递性, 进行多次行初等变换也不改变矩阵的秩.推论 3.1 矩阵的秩等于它的行阶梯形阵中非零行的个数, 也就是行等价标准形中非零行的个数.证设矩阵A 的行等价标准形R 中恰有r 个非零行, 则所有1+r 阶子式都等于0. 另一方面, 它的非零行的首元素所在的列的前r 行构成r 阶单位阵. 于是r R =)rank(. 根据定理 3.4, 有r A =)rank(.例3.6 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=7931181332111511A 的秩. 解用行初等变换, 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=7931181332111511A −→−r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----81440472047201511−→−r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---0000000047201511. 矩阵A 的行阶梯形阵有两个非零行, 因此, 2)rank(=A .例3.7 设分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C O O B A , 求证: )rank()rank()rank(C B A +=. 证设矩阵C B ,的行等价标准形分别为R 和S , 分别对B 和C 所在的行做行初等变换, 得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C O O B A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−S O O R r , 其中R 和S 分别是B 和C 的行等价标准形. 将R 所在的行中的零行移动到矩阵的最下方, 而不改变非零行的上下顺序, 可得到一个行最简阵. 而且, 这就是A 的行等价标准形. 于是, A 的行等价标准形中非零行的个数恰等于B 与C 的行等价标准形中非零行的个数之和.用这个方法可以证明: 准对角阵的秩等于各对角块的秩的和.习题3-21. 设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=75211111A ，按照从小到大的顺序排列它的所有二阶子式. 2. 设n m ⨯矩阵A 的秩等于r , 任取A 的s 行构成矩阵B , 求证: m s r B -+≥)rank(. *3. 设A 是n m ⨯矩阵，求证：1)rank(=A 的充分必要条件为: 存在1⨯m 非零矩阵B 与n ⨯1非零矩阵C ，使得BC A =.4. 用行初等变换求下列矩阵的秩.(1) 123235471⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭; (2) 321322131345561---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭; (3) 1010011000011000011001011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; (4) 132541413514243273613-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭. 5. 求t 的值, 使得方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t A 23312231的秩等于2.第三节齐次线性方程组的基础解系齐次线性方程组的矩阵表示为0=Ax . 此时方程组与其系数矩阵A 互相唯一确定.齐次线性方程组0=Ax 总有零解. 于是, 解齐次线性方程组的基本问题是:(1) 对给定的齐次线性方程组，判定是否有非零解;(2) 如果有非零解, 求出所有的解(通解). 性质 3.3 如果列矩阵1ξ与2ξ是齐次线性方程组0=Ax 的两个特解, 则对于任意的数k h ,, 列矩阵21ξξk h +也是方程组的解.证将21ξξk h +代入方程组, 得)(21ξξk h A +00021=+=+=ξξkA hA . 由定理3.2与定理3.3可得解齐次线性方程组的基本路线. 下面通过例题予以说明.例1求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=-+++=-----=+++0434503223006225432154321543215432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解. 解首先写出方程组的系数矩阵.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=14345321231111162210A . 然后做行初等变换, 由矩阵A 产生行阶梯形阵. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------14345321236221011111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−→−00000010006221011111r . 继续做行初等变换, 得到矩阵A 的行等价标准形.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000010006021050101⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−→−00000010006021050101r . 从行等价标准形得到同解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++=--000062054532531x x x x x x x .将行等价标准形的非零行中的首元素对应的未知数留在方程组的左边, 将其余未知数移到方程组的右边, 得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--=+=0006254532531x x x x x x x . 任意取定右边未知数(自由未知数)的值, 则左边未知数(约束未知数)的值也随之确定, 由此产生方程组的一个解.实际上，由此可以得到方程组的全部解. 设),,,,(54321'd d d d d 是方程组的任意的特解, 上面求解时3x 与5x 可以任意取值, 自然包含取值33d x =与55d x =. 由于),,,,(54321'd d d d d 是方程组的解, 必须满足方程组.因此5315d d d +=,53262d d d --=,04=d . 于是, 这个特解可以由上面的方法产生.令h x =3,k x =5, 得到齐次线性方程组的通解k h x 51+=,k h x 622--=,h x =3, 04=x , k x =5, 其中k h ,是任意常数.在通解中令1=h ,0=k , 得到齐次线性方程组的一个特解1(1,2,1,0,0)ξ'=-. 反之, 令0=h ,1=k , 得到另一个特解2(5,6,0,0,1)ξ'=-. 从而得到齐次线性方程组的通解的矩阵表示: 12x h k ξξ=+, 其中k h ,是任意常数. 为了得到方程组的通解, 只须求得特解1ξ与2ξ，因此, 称12,ξξ为齐次线性方程组的基础解系.注意将一个自由未知数取1, 其他自由未知数取0, 得到齐次线性方程组的一个特解. 这些特解的集合就是基础解系. 因此, 如果有s 个自由未知数, 则方程组的基础解系包含s 个特解.定理 3.5 设A 是n m ⨯矩阵, 则齐次线性方程组0=Ax 的基础解系中所包含的特解的个数等于)rank(A n -.证根据推论 3.1, 系数矩阵A 的秩等于行等价标准形R 中非零行的个数, 也就是约束未知数的个数. 于是, 未知数的个数n 与系数矩阵的秩)rank(A 的差等于自由未知数的个数, 也就是基础解系中所包含的特解的个数.推论 3.2 齐次线性方程组只有零解的充分必要条件为: 系数矩阵的秩等于它的列数.证根据定理 3.5, 此时没有自由未知数, 于是只有一个零解.推论3.3 设A 是n 阶方阵，求证：齐次线性方程组0=Ax 只有零解的充分必要条件为: 行列式0||≠A .证根据推论3.2, 齐次线性方程组0=Ax 只有零解的充分必要条件为n A =)rank(. 由矩阵的秩的定义, n A =)rank(的充分必要条件为0||≠A .例 3.9 设A 是n 阶方阵, 且n r A <=)rank(, 求证: 存在n 阶方阵B , 满足O AB =, 且r n B -=)rank(.证考虑齐次线性方程组0=Ax , 根据定理3.5, 它的r n -个特解12,,,n r ξξξ-组成基础解系. 即有0i A ξ=, r n i -=,,2,1 .构造分块n 阶方阵12(,,,,0,,0)n rB ξξξ-=, 即B 的前r n -列是基础解系中的特解构成的列矩阵, 后面的r 个列的元素都是0. 由基础解系的构造, 在B 的前r n -列中, 与自由未知数对应的行可以构成一个单位阵, 因此r n B -=)rank(.另一方面, 由分块矩阵的运算规则, 有12(,,,,0,,0)n r AB A ξξξ-=12(,,,,0,,0)n r A A A O ξξξ-==.习题3-31. 求下列齐次线性方程组的通解.(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+-03200231321321x x x x x x x x ; (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+-+=+--+=-+-+024242052420632543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x ; (3)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++033450622032305432154325432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ; （4）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=-+--=-+-+=+-+-02252022303220254321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x .2. 设齐次线性方程组的系数矩阵的列数大于行数, 求证: 该方程组有非零解.3. 当a 满足什么条件时, 齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x ax x x x ax 只有零解?4. 求a 的值, 使得齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++004202321321321x x x x x x x x ax 有非零解. 并求其基础解系.5. 设0>n , 求证: n 次多项式至多有n 个两两不同的零点.第四节非齐次线性方程组的通解解非齐次线性方程组b Ax =的基本问题是:(1) 对于给定的方程组, 判断是否有解;(2) 如果有解, 求出全部解(通解).定义 3.10 将非齐次线性方程组b Ax =中各方程的右边变成0, 得到的齐次线性方程组0=Ax 称为方程组b Ax =的导出组.性质3.4 设列矩阵1η与2η是线性方程组b Ax =的两个特解, 则它们的差21ηηξ-=是它的导出组0=Ax 的解.证将21ηηξ-=代入导出组的左边, 得)(21ηηξ-=A A 021=-=-=b b A A ηη.推论 3.4 如果非齐次线性方程组有解, 则它的通解是它的一个特解与它的导出组的通解的和.证首先, 设列矩阵η是方程组b Ax =的特解, 列矩阵ξ是其导出组0=Ax 的特解, 则有b b A A A =+=+=+0)(ηξηξ,即列矩阵ηξ+是方程组b Ax =的解.其次, 设列矩阵ζ是方程组b Ax =的任意的特解, 根据性质3.4, 列矩阵ηζξ-=是导出组0=Ax 的解. 移项, 得ξηζ+=, 即方程组b Ax =的任意的特解ζ可以表示为它的取定的特解η与导出组0=Ax 的解ξ的和.综合两方面, 即得本推论.注意求非齐次线性方程组的通解, 只须求出它的一个特解, 以及它的导出组的通解. 而后面的问题已经解决.在齐次线性方程组的解题路线中, 用增广矩阵代替系数矩阵, 得非齐次线性方程组的解题路线. 现举例说明.例 3.10 求非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++-=-+++-=-----=+++13334533237246225432154321543215432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解. 解首先写出方程组的增广矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------13133453311237111112462210. 然后做行初等变换, 由增广矩阵产生行阶梯形阵.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------13133453311232462210711111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------−→−0000000000002462210711111r . 继续做行初等变换, 得到增广矩阵的行等价标准形.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00000000000024622101751101⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−00000000000024622101751101r . 从行等价标准形得到同解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===+++-=---00002462217554325431x x x x x x x x . 将自由未知数移到右边, 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+---=-++=00002462217554325431x x x x x x x x . 将自由未知数取值0, 计算约束未知数的值, 即得非齐次方程组的一个特解)0,0,0,24,17('-=η.根据推论 3.3, 还需要求它的导出组的基础解系. 注意到: 如果删除增广矩阵的最后一列, 就是系数矩阵. 在做行初等变换之后, 如果删除增广矩阵的行等价标准形的最后一列, 也就是系数矩阵的行等价标准形. 于是, 如果将非齐次方程组的同解方程组的常数项变成0, 就是它的导出组的同解方程组. 用前面的方法, 得基础解系)0,0,1,2,1(1'-=ξ, )0,1,0,2,1(2'-=ξ,)1,0,0,6,5(2'-=ξ.于是, 非齐次线性方程组的通解的矩阵表示为332211ξξξηk k k x +++=, 其中321,,k k k 是任意常数.例 3.11 解非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++-=-+++-=-----=+++13334523237246225432154321543215432x x x x x x x x x x x x x x x x x x x .解这个方程组的增广矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---------13133453311237111112462210. 通过行初等变换, 得到行阶梯形阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------0000001000002462210711111. 在这里, 有一个非零行的首元素在最后一列. 当从行阶梯形阵出发, 得同解方程组时, 该行对应矛盾方程: 10=. 因此, 同解方程组无解. 于是, 原线性方程组无解. 反之, 如果不出现这种情况, 则用前面的方法可以求出通解.于是, 非齐次线性方程组有解的充分必要条件为: 它的增广矩阵的行阶梯形阵的非零行的首元素不出现在最后一列(常数项). 下面的定理用矩阵的秩表述这个结论.定理 3.6 非齐次线性方程组有解的充分必要条件为: 它的系数矩阵的秩等于它的增广矩阵的秩.证在增广矩阵的行阶梯形阵中, 首元素不出项在最后一列的充分必要条件为: 增广矩阵的行阶梯形阵的非零行的个数等于系数矩阵的行阶梯形阵的非零行的个数. 由推论 3.1, 即系数矩阵与增广矩阵有相同的秩.推论 3.5 非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件为: 它的系数矩阵的秩等于其列数, 且等于增广矩阵的秩.证综合定理3.6和推论3.2即可.例 3.12 当b a ,取何值时, 非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=--+-=++=+++1232)3(122043214324324321ax x x x bx x a x x x x x x x x 有唯一解, 无解, 有无穷多解? 对后者求通解.解对增广矩阵做行初等变换, 得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----112323101221001111a b a⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------−→−1321023101221001111a b a r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-−→−01000101001221001111a b a r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+----−→−01000101001221011101a b a r 根据定理3.6, 当1,1-≠=b a 时无解.当1,1-==b a 时, 非齐次线性方程组的特解为)0,0,1,1('-=η, 导出组的基础解系为)0,1,2,1(1'-=ξ, )1,0,2,1(2'-=ξ，通解为2211ξξηk k x ++=, 其中21,k k 是任意常数.当1≠a 时有唯一解)0,1,32,2(11'+--+--=b b a a b a η. 例3.13 设A 是n 阶方阵, 且0||≠A . 将A 分块),(C B A =, 其中C 是A 的最后一列, 求证: 线性方程组C Bx =无解.证线性方程组的增广矩阵就是A , 由0||≠A , 增广矩阵的秩等于n . 而线性方程组的系数矩阵B 只有1-n 列, 它的秩不大于1-n . 根据定理3.6, 线性方程组C Bx =无解.推论 3.6 设A 是n 阶方阵, 则线性方程组b Ax =有唯一解的充分必要条件为: 行列式0||≠A .证充分性. 设0||≠A , 则方阵A 的秩等于其列数n . 又方程组的增广矩阵),(b A 只有n 行, 于是, 由例3.5, 有≤=)rank(A n n b A ≤),rank(.根据推论3.5, 方程组有唯一解.必要性. 设方程组b Ax =有唯一解, 根据推论 3.5, 方阵A 的秩等于其列数n . 于是, 行列式0||≠A .条件0||≠A 保证方阵A 可逆. 用A 的逆阵左乘b Ax =, 得b A x 1-=. 这个公式是用逆阵表示线性方程组的唯一解. 从这个公式出发, 可以得到另一个公式. 根据定理2.1, 有 b A x 1-=b A A *||1=, 其中方阵*A 是A 的伴随阵. 计算这个矩阵等式的第j 行的元素, 得)(||12211n nj j j j b A b A b A A x +++= , n j ,,2,1 =. 根据定理 1.3, 等式右边的括号可以看作: 用常数矩阵b 代替系数行列式||A 的第j 列所得的行列式, 按照第j 列的展开式. 将这个行列式记作j D , 又将||A 改写作D , 则上式为D D x jj =, n j ,,2,1 =.这个公式是用行列式的商表示线性方程组的唯一解，称为克拉默法则.习题3-41. 设列矩阵i η(m i ,,,2,1 =)是非齐次线性方程组Ax b =的特解, 数i k (m i ,,,2,1 =)满足121=+++m k k k , 求证: 列矩阵1122m mk k k ηηη+++也是方程组Ax b =的特解.2. 求下列非齐次线性方程组的通解. (1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=++-=-+--=-+337713434234313214321431x x x x x x x x x x x x x ; (2) ⎪⎩⎪⎨⎧-=-+-=+-=-+-22344324314324321x x x x x x x x x x ; (3) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++-=+-=--=++0644352523222321321321321x x x x x x x x x x x x ; (4) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++++=++++----nx x x x x x x x x x x x n n n n n n 122113113221 , 其中1>n .3. 求证: 线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=+++=-++2543222432143214321x x x x x x x x x x x x 无解. 4. 求b的值, 使得线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+-+=++-b x x x x x x x x x x x x 432143214321114724212有解, 并求其通解.5. 当d c b a ,,,满足什么条件时, 线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+d x x cx x b x x a x x 42314321有解? 并求其通解.6. 当b a ,取何值时, 线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++b ax x x x x x x x x 32132132132263132有唯一解, 无解, 有无穷多解? 对后者求其通解.*7. 设A 是n 阶方阵, b 是1⨯n 矩阵, 且分块方阵满足)rank(0rank A b b A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛', 求证: 非齐次线性方程组b Ax =有解.第五节初等方阵与初等变换一初等方阵定义3.11 对单位阵E 做行初等变换所得方阵称为初等方阵.三种行初等变换产生三种初等方阵:(1) 交换E 的第i 行与第j 行所得方阵记作ij P ;(2) 用非零常数k 乘以E 的第i 行所得方阵记作)(k D i ;(3) 将E 的第j 行的k 倍加到第i 行所得方阵记作)(k T ij .三种初等方阵是可逆阵, 且它们的逆阵也是初等方阵. 实际上, 有ij ij P P =-1, ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-k D k D i i 1)(1, )()(1k T k T ij ij -=-.定理 3.7 对矩阵A 做一种行初等变换, 相当于左乘一个相应的初等方阵.注意定理3.7在矩阵的相等与矩阵的行等价之间建立了联系, 从而可以用矩阵的运算性质研究矩阵的行等价. 下面将看到, 有时这是非常方便的.推论 3.7 任意矩阵A 可以表示成R E E E A s 21=, 其中i E 是初等方阵, R 是A 的行等价标准形.证对A 做行初等变换, 可得其行等价标准形R . 这个过程相当于用一系列初等方阵i E 左乘矩阵A . 即有R A E E E s =12 . 由于初等方阵可逆, 用它们的逆阵逐个左乘此式, 得R E E E A s 11211---= . 因为初等方阵的逆阵还是初等方阵, 换符号即得推论中的表示.推论3.8 方阵A 可逆的充分必要条件为: 它可以表示成初等方阵的乘积.例3.14 设B A ,都是n m ⨯矩阵, 求证: A 与B 行等价的充分必要条件为存在m 阶可逆阵P , 使得B PA =.二矩阵方程矩阵方程B AX =, 其中A 是n 阶可逆阵, B 是m n ⨯矩阵, 而X 是m n ⨯未知矩阵.已知A 是可逆阵, 用其逆阵左乘方程, 得矩阵方程的解B A X 1-=. 对于可逆阵A , 存在初等方阵i E , 使得E A E E E s =12 . 用同样的初等方阵左乘矩阵方程B AX =, 得EX AX E E E s =12 B E E E X s 12 ==这个等式说明, 对可逆阵A 与矩阵B 做相同的行初等变换, 当将A 变成单位阵时, 矩阵B 变成矩阵方程B AX =的解B A X 1-=.例3.15设方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111012112A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=521234311B , 解矩阵方程B AX =.解做分块矩阵: 左边部分是A ,右边部分是B . 做行初等变换, 得()=B A |⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----521111234012311112⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----−→−311112234012521111r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------−→−143100872230521111r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−1431003/1053/80103/813/2001r .于是，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---==-1433/1053/83/813/21B A X . 如果矩阵方程B AX =中的方阵A 可逆, 方阵B 是单位阵E , 则用这个方法得到的矩阵方程的解E A X 1-=1-=A 就是A 的逆阵. 由此得到计算逆阵的简单方法.例3.16 求方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=523012101A 的逆阵. 解用初等变换法.()=E A |⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100523010012001101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−→−127200012210001101r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−→−2/112/71001150102/112/5001r于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-2/112/71152/112/51A . 如果X 与B 是列矩阵, 用这里的方法可以得到线性方程组B AX =的解B A X 1-=. 而且这种解法正是前面的消元法.性质 3.5 两个矩阵的乘积的秩不大于每个因子的秩.证设A 是p m ⨯矩阵, B 是n p ⨯矩阵, r A =)rank(. 先证明r AB ≤)rank(.根据推论 3.7, 有R A E E E s =12 , 其中A 的行等价标准形R 恰有r 个非零行. 用矩阵B 右乘此式, 得RB AB E E E s =)(12 . 根据矩阵乘法定义, 矩阵RB 至多有r 个非零行. 根据定理3.4, 有)rank()rank()rank(A r RB AB =≤=.转置可证明另一部分.例3.17 设A 是可逆阵,则)rank()rank(B AB =.证1 记矩阵AB C =. 由性质 3.5, 有)rank()rank(B C ≤. 用逆阵1-A 左乘AB C =, 得C A B 1-=, 从而有)rank()rank(C B ≤.上面的证明主要体现了逆阵的一种应用, 并不是最简捷的证明.证2 已知A 是可逆阵，根据推论3.8, 有B E E E AB s 12 =. 再根据定理 3.4, 有)rank()rank(B AB =.三初等变换与矩阵的行初等变换类似, 可以定义矩阵的列初等变换.定义3.12 设A 是矩阵, 称下面三种变换为对矩阵A 的列初等变换.(1) 交换A 的两列;(2) 用非零常数k 乘以A 的一列;(3) 将A 的一列的k 倍加到另一列上去,与行初等变换类似, 可以定义矩阵的列等价与列等价标准形.性质 3.6 列初等变换与列等价具有下述性质.(1) 列初等变换不改变矩阵的秩;(2) 对一个矩阵做列初等变换, 相当于用相应的初等方阵右乘这个矩阵;(3) 矩阵的列等价是等价关系;(4) 矩阵B 与A 列等价的充分必要条件为: 存在可逆阵Q , 使得B AQ =.与用行初等变换解矩阵方程B AX =类似, 可以用列初等变换解矩阵方程B XA =.例3.18设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111012112A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=234311B , 解矩阵方程B XA =.解做分块矩阵, 上边是A , 下边是B . 然后做列初等变换. 当将A 变成单位阵时, B变成矩阵方程的解1-=BA X . 如果用→表示列等价, 则有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---234311111012112⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→423131*********⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→253321301011001⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→3/253/8122100010001. 于是⎪⎭⎫ ⎝⎛---=3/253/8122X . 例 3.19 设分块矩阵),(B A , 求证: )rank()rank(),rank(B A B A +≤.证设矩阵B A ,的列等价标准形分别为S R ,,则R 与S 分别有)ra nk(A 与)rank(B 个非零列. 从而分块矩阵),(S R 有)rank()rank(B A +个非零列. 另一方面, 如果在矩阵),(B A 中分别对两个子块做列初等变换, 则可以得到分块矩阵),(S R . 于是, 有)rank()rank(),rank(),rank(B A S R B A +≤=.。

常微分方程考研讲义第三章-一阶微分方程解的存在定理

第三章一阶微分方程解的存在定理[教学目标]1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练近似解的误差估计式。

2.了解解的延拓定理及延拓条件。

3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。

[教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的证明。

[教学方法] 讲授，实践。

[教学时间] 12学时[教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。

[考核目标]1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。

2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。

3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。

§1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。

在第二章介绍了一阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出其通解。

而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。

因此初值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。

他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。

例如方程dydx=过点(0,0)的解就是不唯一，易知0y =是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2y x =或更一般地，函数20 0() c<1x cy x c x ≤≤⎧=⎨-≤⎩ 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01x ≤≤上的解，其中c 是满足01c <<的任一数。

解的存在唯一性定理能够很好地解释上述问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性。

2018版人教A版高中数学必修二同步学习讲义：第三章直

3.3.3 点到直线的距离 3.3.4 两条平行直线间的距离学习目标 1.了解点到直线距离公式的推导方法.2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题.3.初步掌握用解析法研究几何问题．知识点一点到直线的距离思考1 如图，点P (x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)的距离d 同线段PS ，PR ，RS 间存在什么关系？答案 d ＝|PR ||PS ||RS |.思考2 根据思考1的思路，点P 到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离d 怎样用A ，B ，C 及x 0，y 0表示？答案 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.思考3 点到直线的距离公式对于A ＝0或B ＝0时的直线是否仍然适用？答案仍然适用，①当A ＝0，B ≠0时，直线l 的方程为By ＋C ＝0，即y ＝－C B ，d ＝|y 0＋C B |＝|By 0＋C ||B |，适合公式．②当B ＝0，A ≠0时，直线l 的方程为Ax ＋C ＝0，x ＝－C A ，d ＝|x 0＋C A |＝|Ax 0＋C ||A |，适合公式．梳理点到直线的距离(1)定义：点到直线的垂线段的长度． (2)图示：(3)公式：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.知识点二两条平行直线间的距离思考直线l 1：x ＋y －1＝0上有A (1,0)、B (0,1)、C (－1,2)三点，直线l 2：x ＋y ＋1＝0与直线l 1平行，那么点A 、B 、C 到直线l 2的距离分别为多少？有什么规律吗？答案点A 、B 、C 到直线l 2的距离分别为2、2、 2.规律是当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等．梳理两条平行直线间的距离(1)定义：夹在两平行线间的公垂线段的长． (2)图示：(3)求法：转化为点到直线的距离．(4)公式：两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.类型一点到直线的距离例1 (1)求点P (2，－3)到下列直线的距离． ①y ＝43x ＋13；②3y ＝4；③x ＝3.解 ①y ＝43x ＋13可化为4x －3y ＋1＝0，点P (2，－3)到该直线的距离为 |4×2－3×(－3)＋1|42＋(－3)2＝185； ②3y ＝4可化为3y －4＝0，由点到直线的距离公式得|－3×3－4|02＋32＝133；③x ＝3可化为x －3＝0，由点到直线的距离公式得|2－3|1＝1.(2)求过点M (－1,2)，且与点A (2,3)，B (－4,5)距离相等的直线l 的方程．解方法一当过点M (－1,2)的直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，恰好与A (2,3)，B (－4,5)两点距离相等，故x ＝－1满足题意，当过点M (－1,2)的直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由点A (2,3)与B (－4,5)到直线l 的距离相等，得 |2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，解得k ＝－13，此时l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.综上所述直线l 的方程为x ＝－1或x ＋3y －5＝0. 方法二由题意得l ∥AB 或l 过AB 的中点，当l ∥AB 时，设直线AB 的斜率为k AB ，直线l 的斜率为k l ，则k AB ＝k l ＝5－3－4－2＝－13，此时直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 的中点(－1,4)时，直线l 的方程为x ＝－1. 综上所述，直线l 的方程为x ＝－1或x ＋3y －5＝0.反思与感悟 (1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题： ①直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． ②点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．③直线方程Ax ＋By ＋C ＝0，当A ＝0或B ＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．(2)用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意．跟踪训练1 (1)若点(4，a )到直线4x －3y ＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________________．(2)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为______．答案 (1)[13，313] (2)2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0解析 (1)由题意知|4×4－3a |42＋(－3)2≤3，解得13≤a ≤313，故a 的取值范围为[13，313]．(2)过点P (3,4)且斜率不存在时的直线x ＝3与A 、B 两点的距离不相等，故可设所求直线方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2，∴k ＝2或k ＝－23，∴所求直线l 的方程为 2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0. 类型二两平行线间的距离例2 (1)两直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my －1＝0平行，则它们之间的距离为_________． (2)已知直线l 与两直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0的距离相等，则l 的方程为________________．答案 (1)104(2)2x －y ＋1＝0 解析 (1)由题意，得63＝m1，∴m ＝2，将直线3x ＋y －3＝0化为6x ＋2y －6＝0，由两平行线间距离公式，得|－1＋6|62＋22＝540＝104. (2)设直线l 的方程为2x －y ＋c ＝0，由题意，得|3－c |22＋12＝|c ＋1|22＋12，解得c ＝1， ∴直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.反思与感悟求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l 1：y ＝kx ＋b 1，l 2：y ＝kx ＋b 2，且b 1≠b 2时，d ＝|b 1－b 2|k 2＋1；当直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By＋C 2＝0且C 1≠C 2时，d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.但必须注意两直线方程中x ，y 的系数对应相等．跟踪训练2 (1)求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线方程； (2)两平行直线l 1，l 2分别过P 1(1,0)，P 2(0,5)，若l 1与l 2的距离为5，求两直线方程．解 (1)方法一设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0，在直线5x －12y ＋6＝0上取一点P 0(0，12)，则点P 0到直线5x －12y ＋C ＝0的距离为|－12×12＋C |52＋(－12)2＝|C －6|13，由题意，得|C －6|13＝2，所以C ＝32或C ＝－20，故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0. 方法二设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0，由两平行直线间的距离公式得2＝|C －6|52＋(－12)2，解得C ＝32或C ＝－20，故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0或5x －12y －20＝0. (2)依题意，两直线的斜率都存在，设l 1：y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0， l 2：y ＝kx ＋5，即kx －y ＋5＝0. 因为l 1与l 2的距离为5，所以|－k －5|k 2＋1＝5，解得k ＝0或512.所以l 1和l 2的方程分别为y ＝0和y ＝5或5x －12y －5＝0和5x －12y ＋60＝0. 类型三利用距离公式求最值命题角度1 由点到直线的距离求最值例3 已知实数x ，y 满足6x ＋8y －1＝0，则x 2＋y 2－2y ＋1的最小值为________．答案710解析 ∵x 2＋y 2－2y ＋1＝(x －0)2＋(y －1)2， ∴上式可看成是一个动点M (x ，y )到定点N (0,1)的距离，即为点N 到直线l ：6x ＋8y －1＝0上任意一点M (x ，y )的距离， ∴S ＝|MN |的最小值应为点N 到直线l 的距离，即|MN |min ＝d ＝|8－1|62＋82＝710. 反思与感悟解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决．跟踪训练3 (1)动点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，O 为原点，求|OP |最小时P 点的坐标； (2)求过点P (1,2)且与原点距离最大的直线方程．解 (1)直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP 垂直于已知直线，则k OP ＝1，∴OP 所在直线方程为y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，x ＋y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2. ∴P 点坐标为(2,2)．(2)由题意知过P 点且与OP 垂直的直线到原点O 的距离最大， ∵k OP ＝2，∴所求直线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.命题角度2 有关两平行线间距离的最值例4 两条互相平行的直线分别过点A (6,2)，B (－3，－1)，并且各自绕着点A ，B 旋转，如果两条平行直线间的距离为d . (1)求d 的取值范围；(2)求d 取最大值时，两条直线的方程．解 (1)设经过A 点和B 点的直线分别为l 1、l 2，显然当⎩⎪⎨⎪⎧l 1⊥AB ，l 2⊥AB 时，l 1和l 2的距离最大，且最大值为|AB |＝(－3－6)2＋(－1－2)2＝310， ∴d 的取值范围为(0,310]．(2)由(1)知d max ＝310，此时k ＝－3，两直线的方程分别为3x ＋y －20＝0或3x ＋y ＋10＝0.反思与感悟两平行线间的距离可转化为两点间的距离，通过两点间的距离利用数形结合思想得到两平行线间距离的最值．跟踪训练4 已知P ，Q 分别是直线3x ＋4y －5＝0与6x ＋8y ＋5＝0上的动点，则|PQ |的最小值为( ) A ．3 B. 3 C.32 D.32答案 D解析两平行线间的距离就是|PQ |的最小值，3x ＋4y －5＝0可化为6x ＋8y －10＝0，则|PQ |＝|5－(－10)|62＋82＝32.1．已知点(a,1)到直线x －y ＋1＝0的距离为1，则a 的值为( )A ．1B ．－1 C. 2 D ．±2 答案 D解析由题意知|a －1＋1|12＋12＝1，即|a |＝2，∴a ＝±2.2．直线x －2y －1＝0与直线x －2y －c ＝0的距离为25，则c 的值为( ) A ．9 B ．11或－9 C ．－11 D ．9或－11答案 B解析两平行线间的距离为d ＝|－1－(－c )|12＋(－2)2＝25，解得c ＝－9或11.3．已知点M (1,2)，点P (x ，y )在直线2x ＋y －1＝0上，则|MP |的最小值是( ) A.10 B.355C. 6 D ．3 5 答案 B解析点M 到直线2x ＋y －1＝0的距离，即为|MP |的最小值，所以|MP |的最小值为|2＋2－1|22＋12＝355. 4．两平行直线3x ＋4y ＋5＝0与6x ＋ay ＋30＝0间的距离为d ，则a ＋d ＝________. 答案 10解析由两直线平行知，a ＝8，d ＝|15－5|5＝2，∴a ＋d ＝10.5．直线3x －4y －27＝0上到点P (2,1)距离最近的点的坐标是________________．答案 (5，－3)解析由题意知过点P 作直线3x －4y －27＝0的垂线，设垂足为M ，则|MP |为最小，直线MP 的方程为y －1＝－43(x －2)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y －27＝0，y －1＝－43(x －2)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－3 ∴所求点的坐标为(5，－3)．1．点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式．当直线与坐标轴垂直时可直接求之．2．利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰． 3．已知两平行直线，其距离可利用公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2求解，也可在已知直线上取一点，转化为点到直线的距离．课时作业一、选择题1．点(1，－1)到直线y ＝1的距离是( ) A. 2 B.22C ．3D ．2答案 D解析 d ＝|－1－1|1＋0＝2，故选D.2．两平行线3x －4y －7＝0和6x －8y ＋3＝0之间的距离为( ) A.45 B ．2 C.1710 D.175 答案 C解析 3x －4y －7＝0可化为6x －8y －14＝0，由两平行线间的距离公式可得|3＋14|62＋82＝1710. 3．已知点A (－3，－4)，B (6,3)到直线l ：ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则实数a 的值等于( ) A.79B ．－13C ．－79或－13D ．－79或13答案 C解析由点到直线的距离公式可得|－3a －4＋1|a 2＋1＝|6a ＋3＋1|a 2＋1，化简得|3a ＋3|＝|6a ＋4|，解得实数a ＝－79或－13.故选C.4．到直线2x ＋y ＋1＝0的距离等于55的直线方程为( ) A ．2x ＋y ＝0 B ．2x ＋y －2＝0C ．2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0D ．2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0 答案 D解析根据题意可设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，因为两直线间的距离等于55，所以d ＝|c －1|22＋12＝55，解得c ＝0或c ＝2，故所求直线方程为2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0.5．点P (2,3)到直线：ax ＋(a －1)y ＋3＝0的距离d 为最大时，d 与a 的值依次为( ) A ．3，－3 B ．5,2 C ．5,1 D ．7,1答案 C解析直线恒过点A (－3,3)，根据已知条件可知当直线ax ＋(a －1)y ＋3＝0与AP 垂直时，距离最大，最大值为5，此时a ＝1.故选C.6．两平行线分别经过点A (3,0)，B (0,4)，它们之间的距离d 满足的条件是( ) A ．0<d ≤3 B ．0<d ≤5 C ．0<d <4 D ．3≤d ≤5 答案 B解析当两平行线与AB 垂直时，两平行线间的距离最大为|AB |＝5，所以0<d ≤5. 7．过两直线x －y ＋1＝0和x ＋y －1＝0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有( ) A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条答案 B解析联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1. ∴两直线交点为(0,1)，由交点到原点的距离1，故只有1条．8．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值是( ) A ．3 2 B ．2 3 C ．3 3 D ．4 2答案 A解析由题意知，M 点的轨迹为平行于直线l 1，l 2且到l 1，l 2距离相等的直线l ，其方程为x ＋y －6＝0，∴M 到原点的距离的最小值为d ＝62＝3 2. 二、填空题9．点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是________．答案 8解析由x 2＋y 2的实际意义可知，它代表直线x ＋y －4＝0上的点到原点的距离的平方，它的最小值即为原点到该直线的距离的平方，所以(x 2＋y 2)min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|1×0＋1×0－4|22＝8.10．若点(2，－k )到直线5x ＋12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________．答案－3或173解析 d ＝|5×2＋12×(－k )＋6|52＋122＝|16－12k |13，由题意知|16－12k |13＝4，即|4－3k |13＝1，∴k ＝－3或k ＝173.11．经过点P (－3,4)，且与原点的距离等于3的直线l 的方程为________．答案 x ＝－3或7x ＋24y －75＝0解析 (1)当直线l 的斜率不存在时，原点到直线l ：x ＝－3的距离等于3，满足题意； (2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －4＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋4＝0. 原点到直线l 的距离d ＝|3k ＋4|k 2＋(－1)2＝3，解得k ＝－724. 直线l 的方程为7x ＋24y －75＝0.综上，直线l 的方程为x ＝－3或7x ＋24y －75＝0.三、解答题12．如图，已知直线l 1：x ＋y －1＝0，现将直线l 1向上平移到直线l 2的位置，若l 2、l 1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l 2的方程．解设l 2的方程为y ＝－x ＋b (b >1)，则图中A (1,0)，D (0,1)，B (b,0)，C (0，b )，∴|AD |＝2，|BC |＝2b .梯形的高h 就是A 点到直线l 2的距离，故h ＝|1＋0－b |2＝|b －1|2＝b －12(b >1)，由梯形面积公式得2＋2b 2×b －12＝4， ∴b 2＝9，b ＝±3.但b >1，∴b ＝3.从而得到直线l 2的方程是x ＋y －3＝0.四、探究与拓展13．已知入射光线在直线l 1：2x －y ＝3上，经过x 轴反射到直线l 2上，再经过y 轴反射到直线l 3上．若点P 是直线l 1上某一点，则点P 到直线l 3的距离为( )A ．6B ．3 C.655 D.9510答案 C解析如图所示，结合图形可知，直线l 1∥l 3，则直线l 1上一点P 到直线l 3的距离即为l 1与l 3之间的距离．由题意知l 1与l 2关于x 轴对称，故l 2的方程为y ＝－2x ＋3，l 2与l 3关于y 轴对称，故l 3的方程为y ＝2x ＋3.由两平行线间的距离公式得l 1与l 3间的距离d ＝|3－(－3)|12＋22＝655，即点P 到直线l 3的距离为655. 14．已知A (4，－3)，B (2，－1)和直线l ：4x ＋3y －2＝0，求一点P ，使|P A |＝|PB |，且点P 到l 的距离等于2.解 AB 的中点坐标为(3，－2)，k AB ＝－3＋14－2＝－1，所以线段AB 的垂直平分线方程为y ＋2＝x －3，即x －y －5＝0，设点P (a ，b )，则P 在直线x －y －5＝0上，故a －b －5＝0，又|4a ＋3b －2|42＋32＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－4或⎩⎨⎧ a ＝277，b ＝－87，故所求的点为P (1，－4)或P (277，－87)．。

2023中考九年级数学分类讲解 - 第三讲方程(组)(含答案)(全国通用版)

第三讲方程（组）专项一一元一次方程的概念和解法知识清单1．等式的概念与性质等式的概念表示关系的式子，叫做等式等式的基本性质性质1 若a =b ，则a ±c =b ±c 性质2若a =b ，则ac =bc ，a c =bc（c ≠0） 2．一元一次方程的有关概念（1）含有未知数的叫做方程；（2）使方程左、右两边的未知数的值叫做方程的解；（3）只含有一个未知数，并且未知数的次数是，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程． 3．解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为．考点例析例1 若关于x 的方程42x-+a =4的解是x =2，则a 的值为 . 分析：根据方程解的定义，将x =2代入方程42x-+a =4，再解关于a 的方程.例2 解方程：32x -+13x -=4.分析：方程两边每一项都乘以各分母的最小公倍数6，去掉分母，然后按照去括号、移项、系数化为1的步骤求解.解：归纳：解一元一次方程应注意：①去分母时，不含分母的项也要乘各分母的最小公倍数，分子是多项式的，去分母后要加上括号；②去括号时，括号前面是负号，去括号后括号里的各项都要变号；③移项要变号；④系数化为1时，方程两边都除以未知数的系数．跟踪训练1. 方程2x-1=2的解是（） A. x =2 B. x =3 C. x =5D. x =6 2. 解方程-2（2x +1）=x 时，下列去括号正确的是（） A. -4x +1=-x B. -4x +2=-x C. -4x -1=x D. -4x -2=x3. 若a ，b ，c 为互不相等的实数，且b =45a +15c ，则下列结论正确的是（） A. a ＞b ＞c B. c ＞b ＞a C. a -b =4（b -c ） D. a -c =5（a -b ）4. 幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”.把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方.将数字1~9分别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则a 的值为 .第4题图专项二二元一次方程（组）的概念和解法知识清单1．二元一次方程（组）的有关概念（1）含有两个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是，这样的方程叫做二元一次方程，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组；（2）使二元一次方程组的两个方程左右两边都的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．也可以说二元一次方程组的解就是两个二元一次方程的公共解．2．解二元一次方程组的基本思路是“”，即把“二元”化为“一元”．常用的方法有和．当某个未知数的系数绝对值为1或一个方程的常数项为0时，用较简便；当两个方程中，同一个未知数的系数绝对值相等或成整数倍时，用较简便．考点例析例1 已知关于x，y的二元一次方程组235423，x y ax y a+=⎧⎨+=+⎩满足x-y>0，则a的取值范围是_____________．分析：根据题目中方程组的特点，将两个方程作差，用含a的代数式表示出x-y，再根据x-y>0，求得a的取值范围．例2 解方程组：342 3.x yx y-=-⎧⎨-=-⎩①②，分析：注意到①可变形为y=3x+4，然后代入②消去y，再解一元一次方程即可.解：归纳：解二元一次方程组时，要仔细观察方程的系数特点，灵活选用适当的方法，力求解题过程简捷.本题两种方法均可，同学们可以自己尝试加减消元法.跟踪训练1.解方程组2323 4 ②，①x yx y+=⎧⎨-=⎩时，将①-②得（）A. -2y=-1B. -2y=1C. 4y=1D. 4y=-12. 方程组23 4，x yx y+=⎧⎨+=⎩的解是（）A.2，xy=⎧⎨=⎩B.11，xy=⎧⎨=⎩C.22，xy=⎧⎨=-⎩D.33，xy=⎧⎨=-⎩3.若21，ab=⎧⎨=⎩是二元一次方程组3522，ax byax by⎧+=⎪⎨⎪-=⎩的解，则x+2y的算术平方根为（）A. 3B. ±3C.D.4. 已知二元一次方程x+3y=14，请写出该方程的一组整数解.（写一组即可）5. 已知2，xy m=⎧⎨=⎩是方程3x+2y=10的一组解，则m的值是.6. 已知x，y满足方程组22237，，x yx y+=⎧⎨+=⎩则x+y的值为.7. 解方程组：32200 21530.①，②x yx y-+=⎧⎨+-=⎩8. 已知方程组271，x yx y+=⎧⎨=-⎩的解是关于x，y的方程ax+y=4的一个解，求a的值.专项三分式方程的概念和解法知识清单1. 分母中含有的方程叫做分式方程．2. 分式方程的解法：（1）去分母：在方程的两边都乘，约去分母，化成；（2）解这个整式方程；（3）检验：把整式方程的解代入，看结果是否为0，若最简公分母不为0，这个解就是原分式方程的解；若最简公分母为0，这个解就不是原分式方程的解，原分式方程无解．考点例析例1 解方程：21311x x x --+-=1. 分析：方程两边都乘以（x +1）（x -1）得到（x -1）2-3=（x +1）（x -1），求出方程的解，再检验即可. 解：归纳：由于去分母所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母为零，因此求得解后一定要检验. 例2 若关于x 的分式方程311x mx x=--+2的解为正数，则m 的取值范围是 . 分析：根据解分式方程的一般步骤求出分式方程的解，由方程的解为正数列出不等式.当x =1时方程中分式的分母为0，所以分式方程的解不等于1.根据上述条件得到不等式组，解不等式组得到m 的取值范围.归纳：根据分式方程的解的情况确定方程中待定字母的取值范围，主要有两种类型：一是分式方程的解为正数、负数或非负数等，解题方法是先把分式方程的解用含字母的代数式表示出来，再建立不等式（组），求出字母的取值范围．要特别注意排除分式分母为零的情况；二是分式方程无解，包括两种情况：①由分式方程化为整式方程ax =b ，出现a ＝0，b ≠0的情况；②由分式方程化为整式方程，整式方程的解使得分式方程的分母为零．跟踪训练1. 方程123x x=-的解为（） A. x =-6B. x =-2C. x =2D. x =62. 若关于x 的分式方程233x ax x++--=2无解，则a 的值为（） A. -1B. 0C. 3D. 0或33. 关于x 的分式方程302m xx+-=-有解，则实数m 应满足的条件是（） A. m =-2 B. m ≠-2C. m =2D. m ≠24. 若分式22y -+1的值为零，则y = . 5. 若关于x 的分式方程21x x --1=1mx -无解，则m = . 6.若x ＜2，且12x -+|x -2|+x -1=0，则x = . 7.若分式方程21x a x ---4=21x ax -++的解为整数，则整数a 的值为 .8. 解方程：2111x x x +=+-.专项四一元二次方程的概念和解法知识清单1．只含有未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c ＝0（其中a ，b ，c 为常数，a ≠0）．2．一元二次方程的解法：（1）直接开平方法适用方程类型：（x +m ）2＝n （n ≥0）步骤：①两边开方，得x +m ＝；②解为x ＝-m ．（2）配方法适用方程类型：x2+px+q＝0（p为偶数）步骤：①化二次项系数为1；②常数项移右边，即x2+px＝-q；③配成完全平方式，即22px⎛⎫+⎪⎝⎭=-q+22p⎛⎫⎪⎝⎭；④直接开平方．（3）因式分解法适用方程类型：方程一边为0，另一边能分解成两个因式的乘积步骤：①把方程化成（ax+b）（cx+d）＝0的形式；②令ax+b＝0，cx+d＝0进行求解．（4）公式法适用于所有一元二次方程步骤：①将方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②确定a，b，c的值；③若b2-4ac≥0，则代入求根公式x＝a acb b24-2-±，求得x1，x2；若b2-4ac＜0，则方程无实数根．考点例析例1 关于x的一元二次方程（m-3）x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（）A. 0B. ±3C. 3D. -3分析：把原方程化为一般形式（m-3）x2+（m2-9）x-5=0，由一元二次方程的定义，知m-3≠0，不含一次项，即m2-9=0，列式计算即可.例2 解方程：x2-4x-5=0.分析：本题可以用配方法，先移项将常数项移到等式的右边，得x2-4x=5，然后等式的两边同时加4，配成完全平方式，再利用直接开平方法解.也可以用公式法，公式法是所有一元二次方程的通用解法.解：归纳：当题目对解方程的方法没有具体要求时，要先观察方程的特点，看看能否运用因式分解法，不要急于把方程化为一般形式；若不能运用因式分解法求解，再化方程为一般形式，选择配方法或公式法求解．跟踪训练1. 关于x的方程x2+4kx+2k2=4的一个根是x=-2，则k的值为（）A. 2或4B. 0或4C. -2或0D. -2或22. 用配方法解方程x2+4x+1=0时，配方结果正确的是（）A.（x-2）2=5B.（x-2）2=3C.（x+2）2=5D.（x+2）2=33. 方程x2-x=56的根是（）已知a是不等式5（a-2）+8＜6（a-1）+7的最小整数解，请用配方法解关于x的方程x2+2ax+a+1=0.专项五一元二次方程根的判别式、根与系数的关系知识清单1. 对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），根的判别式Δ=_________________；当Δ>0时，方程有两个不等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根.2. 若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根为x1，x2，则x1+x2=____________，x1x2=_______________.考点例析例1若关于x的一元二次方程ax2+4x-2=0有实数根，则a的取值范围为.分析：利用一元二次方程的定义和根的判别式得到a≠0且Δ=42-4a×（-2）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可.归纳：根据一元二次方程根的情况求字母系数的值或取值范围，特别要注意考虑二次项系数不为0这个隐含条件.本题中，一元二次方程有实数根包含有两种情况：①Δ>0，方程有两个不等的实数根；②Δ=0，方程有两个相等的实数根.例2若m，n是一元二次方程x2+3x-9=0的两个根，则m2+4m+n的值是（）A. 4B. 5C. 6D. 12分析：由根与系数的关系，得m+n=-3，mn=-9.又m是方程的一个根，所以m2+3m-9=0，即m2+3m=9.将m2+4m+n 拆成m2+3m+m+n，然后整体代入计算即可.跟踪训练1. 若方程x2-2x+m=0没有实数根，则m的值可以是（）A. -1B. 0C. 1D.2. 已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不等的实数根x1，x2，则（）A. x1+x2＜0B. x1x2＜0C. x1x2＞-1D. x1x2＜13. 关于x的一元二次方程x2+mx-m-2=0的根的情况是（）A. 有两个不等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 实数根的个数由m的值确定4. 对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b=ab2-ab，例如3☆2=3×22-3×2=6，则方程1☆x=2的根的情况为（）A. 没有实数根B. 只有一个实数根C. 有两个相等的实数根D. 有两个不等的实数根5. 关于x的方程x2-x-1=0的两根分别为x1，x2，则x1+x2-x1x2的值为.6. 关于x的一元二次方程x2+2x-k=0有两个实数根，则k的取值范围是.7. 已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m=0有实数根.（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x22=12，求m的值.专项六方程（组）的应用知识清单列方程（组）解应用题的实质是把实际问题利用已知量与未知量之间的等量关系抽象成数学问题（方程问题），然后通过数学问题的解决，获得实际问题的答案．列方程（组）解应用题的一般步骤为：（1）审：弄清题目中涉及的已知量与未知量，找出反映已知量与未知量关系的句子；（2）设：用x（或x，y）表示未知数，把其他量也用含有未知数的式子表示出来；（3）列：利用已知量与未知量之间的等量关系列出方程（组）；（4）解：解方程，注意检验所求得的解是否满足题意；（5）答：写出答语．考点例析例1 某校为实现垃圾分类投放，准备在校园内摆放大、小两种垃圾桶.购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元.（1）求大、小两种垃圾桶的单价；（2）该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需多少元？分析：（1）设大垃圾桶的单价为x元，小垃圾桶的单价为y元，根据等量关系“购买2个大垃圾桶和4个小垃圾桶共需600元；购买6个大垃圾桶和8个小垃圾桶共需1560元”，列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可；（2）利用总价=单价×数量，求得购买垃圾桶所需的费用.解：例2直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件.（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元.为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？分析：（1）根据日利润=每件利润×日销售量，可求出售价为60元时的日利润.设售价应定为x元，则每件的利润为（x-40）元，日销售量为20+()10605x-=（140-2x）件，根据日利润=每件利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值得出结论；（2）设该商品需要打a折销售，根据销售价格不超过（1）中所求售价，列出不等式求解即可.解：例3 太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线，游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太榆路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的53倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟.求走路线一到达太原机场需要多长时间？分析：根据题意得到等量关系：路线一的平均速度×53=路线二的平均速度，再根据等量关系列出方程，求解并检验.解：跟踪训练1.某商品经过两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元.若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（）A. 20%B. 25%C. 30%D. 36%2. 为响应“绿色出行”的号召，小王上班由自驾车改为乘坐公交车.已知小王家距上班地点18 km ，他乘公交车平均每小时行驶的路程比自驾车平均每小时行驶的路程多10 km.他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的34.小王乘公交车上班平均每小时行驶（） A. 30 km B. 36 km C. 40 km D. 46 km3.某公司上半年生产甲、乙两种型号的无人机若干架，已知甲型号无人机架数比总架数的一半多11架，乙型号无人机架数比总架数的13少2架.设甲型号无人机有x 架，乙型号无人机有y 架，根据题意可列方程组为（） A ．()()1113122，x x y y x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ B ．()()1113122，x x y y x y ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩C ．()()1112123，x x y y x y ⎧=+-⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩D ．()()1112123，x x y y x y ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩4. 扬州雕版印刷技艺历史悠久，元代数学家朱世杰的《算学启蒙》一书曾刻于扬州，该书是中国较早的数学著作之一.书中记载一道问题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天追上慢马？答：快马天追上慢马.5. 2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）.若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数.（请用方程知识解答）第5题图6. 某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图①表示此人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列．【观察思考】当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图②）；当正方形地砖有2块时，等腰直角三角形地砖有8块（如图③）……以此类推【规律总结】（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加块；（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为（用含n的代数式表示）．【问题解决】（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余最少，则需要正方形地砖多少块？①②③第6题图专项七二元一次方程组中的整体思想知识清单整体思想是从问题的整体结构进行分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的地整体处理.当方程（组）具有某种特殊的结构特征时，通过变形运用整体思想，把某些代数式看成整体进行计算，从而达到化繁为简的效果．例若x，y满足2223，，x yx y-=-⎧⎨+=⎩则代数式x2-4y2的值为____________．分析：观察代数式x2-4y2可以分解为（x+2y）（x-2y），然后直接代入求解.归纳：上述解法运用了整体代入法，将x+2y，x-2y看作整体.此题也可以解方程组求得x，y的值，再代入计算.跟踪训练1.已知二元一次方程组2521①，②，x yx y-=⎧⎨-=⎩则x-y的值为（）A. 2B. 6C. -2D. -62. 已知关于x，y的方程组221255①，②x y ax y a+=+⎧⎨+=-⎩的解满足x+y=-3，则a的值为.参考答案专项一一元一次方程的概念和解法例1 3 例2 x=7.1. D2. D3. D4. 2专项二二元一次方程（组）的概念和解法例1 a>1例2 由①，得y=3x+4.将y=3x+4代入②，得x-2（3x+4）=-3，解得x=-1.将x=-1代入y=3x+4，得y=1.所以原方程组的解为11.xy=-⎧⎨=⎩，1. D2. B3. C4.111xy=⎧⎨=⎩，（答案不唯一） 5. 2 6. 57.解：将方程组整理，得353221.20①②xyyx+=-=-⎧⎨⎩，①×2-②×3，得-49y=-49，解得y=1.将y=1代入②，得x=-6.所以原方程组的解为61.x y =-⎧⎨=⎩，8. 解：方程组 1.27①②x y x y +=⎩=-⎧⎨，将②代入①，得2(y -1)+y =7，解得y =3.将y =3代入②，得x =2.所以方程组的解是23.x y =⎧⎨=⎩，将23x y =⎧⎨=⎩，代入方程ax +y =4，得2a +3=4，解得a =12.专项三分式方程的概念和解法例1 方程两边都乘以（x +1）（x -1），得（x -1）2-3=（x +1）（x -1），解得x =-12. 检验：当x =-12时，（x +1）（x -1）≠0，所以x =-12是原分式方程的解. 例2 m ＜-2且m ≠-31. D2. A3. B4. 05. 26. 17. ±18. 解：方程两边同乘（x +1）（x -1），得2（x -1）+x 2-1=x （x +1），解得x =3. 经检验，x =3是原分式方程的解.专项四一元二次方程的概念和解法例1 D 例2 x 1=5，x 2=-1. 1. B 2. D 3. C 4. D 5. -36. 解：移项，得x （x-7）+8（x-7）=0.提公因式，得（x-7）（x+8）=0，解得x 1=7，x 2=-8.7. 解：a=2，b=-5，c=3.因为Δ=b 2-4ac=（-5）2-4×2×3=1>0，所以方程有两个不等的实数根. 所以x=514±，即x 1=32，x 2=1. 8. 解：解不等式5（a -2）+8＜6（a -1）+7，得a ＞-3，所以最小整数解为-2.将a =-2代入方程x 2+2ax +a +1=0，得x 2-4x -1=0.配方，得（x -2）2=5.直接开平方，得xx 1x 2专项五一元二次方程根的判别式、根与系数的关系例1 a ≥-2且a ≠0 例2 C 1. D 2. D 3. A 4. D 5. 2 6. k≥-17. 解：（1）根据题意，得Δ=（2m ）2-4（m 2+m ）≥0，解得m ≤0.所以m 的取值范围是m ≤0. （2）根据题意，得x 1+x 2=-2m ，x 1x 2=m 2+m .因为x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1x 2=12，所以（-2m ）2-2（m 2+m ）=12，即m 2-m -6=0，解得m 1=-2，m 2=3（舍去）.所以m 的值为-2.专项六方程（组）的应用例1 （1）设大垃圾桶的单价为x 元，小垃圾桶的单价为y 元.根据题意，得24606815060y x x y +=+=⎧⎨⎩，，解得60180x y ==⎧⎨⎩，.答：大垃圾桶的单价为180元，小垃圾桶的单价为60元. （2）180×8+60×24=2880（元）.答：该校购买8个大垃圾桶和24个小垃圾桶共需2880元.例2 （1）设售价应定为x 元，则每件的利润为（x -40）元，日销售量为20+()10605x -=（140-2x ）件. 根据题意，得（x -40）（140-2x ）=（60-40）×20.整理，得x 2-110x +3000=0，解得x 1=50，x 2=60（舍去）. 答：售价应定为50元.（2）该商品需要打a 折销售.根据题意，得62.5×10a≤50，解得a ≤8. 答：该商品至少需打8折销售.例3 设走路线一到达太原机场需要x 分钟. 根据题意，得5253037x x ⨯=-，解得x =25. 经检验，x =25是所列分式方程的解，且符合实际. 答：走路线一到达太原机场需要25分钟. 1. A 2. C 3. D 4. 205. 解：设这个最小数为x ，则最大数为（x +8）.根据题意，得x （x +8）=65.整理，得x 2+8x -65=0，解得x 1=5，x 2=-13（不合题意，舍去）. 答：这个最小数为5.6. 解：（1）2 （2）（2n+4）（3）令2n+4=2021，得n=1008.5.当n=1008时，2n+4=2020，此时剩下1块等腰直角三角形地砖，所以需要正方形地砖1008块.专项七二元一次方程组中的整体思想例 -6 1. A 2. 5。

七年级代数式第三章讲义

第三章代数式（第五次）2.1代数式一、基础知识1、代数式的定义：用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子。

单独一个数或一个字母也是代数式。

1.单项式：像100t,6a 2,6a 3这样都是数字和字母的积的式子叫做单项式。

2.单独的一个字母或者一个数字也叫单项式。

3.单项式中数字因式叫做单项式的系数，单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数。

4.多项式：几个单项式的和叫做多项式。

5.每个单项式叫做多项式的项。

不含字母的项叫做常数项。

6.多项式里次数最高项的次数叫做多项式的次数。

7．单项式和多项式统称整式。

2、用字母表示问题中的数量关系、运算律和公式，例如加法交换律a b b a +=+。

3、代数式书写的约定：数字与字母相乘时，数字写在字母的前面，且省略乘号。

如a ⨯2，应写成a 2或者a ⋅2。

字母与字母相乘时，省略乘号。

如b a ⨯，应写成ab 或者b a ⋅。

带分数与字母相乘时，应把带分数化为假分数。

如a ⨯431，应写成a 47。

代数式中出现除法运算时，按分数的写法来写。

如8÷a ，应写成8a 。

数字与数字间乘号仍用“×”，如：7×9，不写成“7·9”，更不省略写成“79”。

引例1、小明去买苹果，苹果每千克1.5元，他买了a 千克，一共用去多少钱？2、苹果每千克a 元，买30千克应付多少元?3、长方形长为9，宽是b，面积是多少？4、小明以b 千米/时走了1小时,c 千米的速度走了2小时,再2c 以千米/时的速度走了a 小时,他一共走了多少路程?5、小明今年n 岁，小明比小丽大2岁，小丽今年____岁。

6、小丽5h 走了Skm ，那么她的平均速度____km/h 。

7、一件羊毛衫标价a 元，若按标价的8折出售，则这件羊毛衫的售价是___元。

8、如果某广场四个角铺了四分之一圆的草地面积，若圆的半径为r m ，则共有草地()平方米。

二、知识题库例1、指明下列式子中哪些是代数式，哪些不是代数式（1）a+b=1（2）3a+5b （3）2+3+5（4）2(a+3)-1（5）x （6）2例2、看看以下代数式书写是否符合规定，把不规范的式子改正过来：（1）4×a ；(2)3·8+a ；(3)xy6；(4)ab 431-a ×b+s ÷2。

一元一次方程复习讲义

第三章一元一次方程复习讲义知识点1．等式：用“=”号连接而成的式子叫等式.2．等式的性质：等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式两边都乘以(或除以)同一个不为零的数，所得结果仍是等式.例1(1)怎样从等式x-5=y-5得到等式x=y?(2)怎样从等式3+x=1得到等式x=-2?(3)怎样从等式4x=12得到等式x=3?例2利用等式的性质解下列方程：(1)x+7=26(2)-5x=203．方程：只含有一个未知数，未知数的次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.4．方程的解：使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解；注意：“方程的解就能代入”！5．移项：改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质1. 6．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程.7.一元一次方程的标准形式：ax+b=0(x是未知数，a、匕是已知数，且aW0).8．一元一次方程解法的一般步骤：化简方程分数基本性质去分母同乘(不漏乘)最简公分母去括号先去小括号,再去中括号,最后去大括号.依据是去括号法则和乘法分配律，注意符号变化移项把含有未知数的项移到一边,常数项移到另一边.“过桥变号”，依据是等式性质一合并同类项将未知数的系数相加，常数项相加.依据是乘法分配律合并后注意符号系数化为1在方程的两边除以未知数的系数.依据是等式性质二.例1解下列方程[1]用合并同类项的方法解一元一次方程(1)2x-£%=6-8;(2)7x—2.5x+3x-1.5x=-15x4—6x3.[2]用移项的方法解一元一次方程(1)7-2x=3-4x(2)4x+10=6x[3]利用去括号解一元一次方程去括号法则：去掉“+()”，括号内各项的符号不变.去掉“-()”，括号内各项的符号改变.用三个字母a、b、c表示去括号前后的变化规律：a+(b+c)=a+b+ca-(b+c)=a—b—c(1)2x-(x+10)=5x+2(x—1)(2)3x—7(x—1)=3—2(x+3)[4]利用去分母解一元一次方程(总结：像上面这样的方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系数化为整数，则可以使解方程中的计算更方便些.)2x+2x+7x+x=33(2)3x+x-1=3-2x-1(1)^要点归纳1.去分母时，应在方程的左右两边乘以分母的最小公倍数；2.去分母的依据是等式性质2，去分母时不能漏乘没有分母的项；3.去分母与去括号这两步分开写，不要跳步，防止忘记变号.10．列一元一次方程解应用题：(1)读题分析法:多用于“和，差，倍，分问题”仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程.（2）画图分析法:…………多用于“行程问题”利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础.11.列方程（组）的应用题的一般步骤：审：审清题意，分清题中的已知量、未知量．设：设未知数，设其中某个未知量为x.列：根据题意寻找等量关系列方程．解：解方程．验：检验方程的解是否符合题意．答：写出答案（包括单位）．［注意］审题是基础，找等量关系是关键.11．解实际应用题：知识点1:市场经，^、打折销售问题（1）商品利润=商品售价一商品成本价（3）商品销售额=商品销售价X 商品销售量（4）商品的销售利润=（销售价一成本价）X 销售量例1一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏?变式1.某琴行同时卖出两台钢琴，每台售价为960元.其中一台盈利20%，另一台亏损20%.这次琴行是盈利还是亏损，或是不盈不亏？例2一件服装先将进价提高25%出售，后进行促销活动，又按标价的8折出售,此时售价为60元.请问商家是盈是亏，还是不盈不亏？例3.某商品的进价是1000元，售价是1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润率不低于5%,那么商店最多可打几折出售此商品？（2）商品利润率= 商品利润商品成本价X 100%例4.某商场国庆节搞促销活动，购物不超过200元不给优惠，超过200元但不超过500元的优惠10%，超过500元，其中500元按9折优惠，超过的部分按8折优惠。

初一数学上册(人教版)第三章一元二次方程3-1知识点总结含同步练习题及答案

初一数学上册(人教版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章一元一次方程 3.1 从算式到方程
一、学习任务 1. 了解方程和等式的概念，理解方程的解和解方程的意义． 2. 掌握一元一次方程的概念及等式的性质，并能利用等式性质解一元一次方程． 3. 会检验方程的解．二、知识清单
方程的相关概念一元一次方程等式的性质
A．如果 a = b ，那么 a + c = b + c B．如果 a = b ，那么 a − c = b − c C．如果 a = b ，那么 ac = bc D．如果 a = b ， c 为有理数，那么
答案： D
a b = c c
3. 下列说法错误的是 ( A．若
y x = ，则 x = y a a C．若 a = b ，则 a − 3 = b − 3
③ 等式具有传递性和对称性．若 a = b，b = c ，则 a = c；若 a = b，则 b = a．
a b = ． c c
例题：下列各式是等式的是（） A. 3a + 4 B. x + 2y = 8 解：B．下列变形不正确的是（） A. 若 a = b，则 2a = a + b B. 若 a = b，则 a − b = 0
例题：下列各式是方程的是（） A. 3x + 8 B. 3 + 5 = 8 解：D．
C. x + 3 > 0
D. x + 3 = 7
x = 3 是下列哪个方程的解（
A. 3x + 9 = 0 解：B．
） C.
B. 5x − 1 = 2 &#D. x − 1 =
1 2
2.一元一次方程描述：含有一个未知数（元），含有未知数的项的次数都是 1 ，并且等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程（linear equation in one unknown）．其一般形式是 ax + b = 0（a ≠ 0）．

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第三章方程综合(讲义)
知识点睛
等式的基本性质
(1) 等式的两边同时加上或减去同一个数，结果还是等式。

(2) 等式的两边同时乘以或除以同一个不为零的数，结果还是等式。

解一元一次方程的基本步骤 (1) (2) (3) (4) (5) 列方程解应用题
(1) 列方程解应用题
是用字母来代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，然后解出未知数的应用题。

这个含有未知数的等式就是方程。

列方程解应用题的优点在于可以使未知数直接参加运算。

解这类应用题的关键在于能够正确地设立未知数，找出等量关系从而建立方程。

(2) 列方程解应用题的主要步骤是：
①审题找出题目中涉及到的各个量中的关键量，这个量最好能和题目中的其他量有着紧密的数量关系；
设这个量为X,用含牙的代数式来表示题U 中的其他量；找到题目中的等量关系，建立方程；运用加减法、乘除法的互逆关系解方程；通过求到的关键量求得题目作答。

精讲精练
【板块一】解方程经典例题1
解方程：
2.
去分母；
去括号；
移项；
合并同类项；
未知数系数化为1,即求解。

3.
②
③
④⑤
(1)4x + 5 = 3% + 9
(2) l+2(3-x) = x + 7
(3)6A-(4-J)=I7
2v-l 3 - y
⑷h*—
经典例题2
2y-x = 1
13x-8y = 59 (2) C4-V + 2 y = 22
(\7x + 7y=80
【板块二】方程法解应用题
经典例题3
兄弟二人共养鸭550只，当哥哥卖掉自己养鸭总数的一半，弟弟卖出70只时，两人余下的鸭只数相等，求兄弟两人原来各养鸭多少只？
练一练
一人看见山上有一群羊，他自言自语到：“我如果有这些羊，再加上这些羊，然后加上这些羊的一半，乂加上这些羊一半的一半，最后再加上我家里的那只，一共有100只羊” O山上的羊群共有多少只？
经典例题4
小嘉原有故事书的本数是小时的3倍，小嘉乂买来7本书，小时买来6本书后，小嘉所有的书是小时的2倍，两人原来各有多少本书？
练一练
小嘉和小时两人摘苹果，小嘉说：“把我摘的苹果给小时7个，小
时摘的苹果的个数就是我的2倍。

”小时说：“把我摘的苹果给小
嘉7个，他的苹果个数就和我的一样多了。

”问小嘉和小时各摘了多少个苹果？
经典例题5
大强参加6次测验，第三、四次的平均分比前两次的平均分多2 分，比后两次的平均分少2分。

如果后三次的平均分比前三次的
平均分多3分，那么第四次比第三次多得多少分？
经典例题6
有两包糖，每包糖内都装有奶糖，水果糖和巧克力糖。

已知：第一
包糖的粒数是第二包的？；
3
在第一包糖中，奶糖占25%,在第二包糖中，水果糖占50%；巧克力在（3）
百分比的两倍。

当两包糖合在一起时，巧克力糖占28%,那么, 水果糖所占的百分比等于多少？
第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占的【板块三】方程综合
经典例题7
小龙、小虎、小方和小圆四个孩子共有45个球，但不知道每个人各有儿个球，如果变动一下，小龙的球减少2个，小虎的球增加2个，小方的球增加一倍，小圆的球减少一半，那么四个人球的个数就一样多了。

求原来每个人各有儿个球？
练一练
屮、乙、丙、丁四个人共做零件270个。

如果屮多做10个，乙少做10个，丙做的个数乘以2, 丁做的个数除以2,那么四个人做的零件数恰好相等。

问丙实际做了零件多少个？
经典例题8
有屮、乙、丙三个人，当屮的年龄是乙的2倍时，丙是22岁；当乙的年龄是丙的2倍时，甲是31岁。

当甲60岁时，丙是多少岁？
【参考答案】经典例题(I)-v=4
(2) (3) A-0 x=3 7 y=- 3 fx =7
经典例题2： (I) 4 fx = l (2) 经典例题3：哥：练一练：36 经典例题4：小嘉: 练一练：小嘉: 经典例题5： 1 经典例题6： 44% 经典例题7：小龙: 练一练：30 经典例题8： 32
b=9 320,弟：230
15, 35, 12, 小时：5 小时：49 小虎：8,小方；5,小圆：20。