导数在高中数学解题中的有效应用
导数在高中数学解题中的有效应用
作者：钱晓萍
来源：《数学大世界·下旬刊》2019年第04期
【摘要】随着社会的进步和国民经济的发展，教育活动更加注重多元化的发展，更多教学内容的融入，实现了对学生多方面能力的有效培养。
导数知识属于高中阶段数学学科中的重点内容之一，同时也是全国各省市高考中必考的一项内容，对于整个高中阶段数学学习活动的开展具有非常重要的作用。
本文首先对导数的概念以及教学活动开展的主要原则进行了简单的分析，继而举例探讨了导数在高中数学解题中的实际应用。
【关键词】？高中数学；导数；函数
一、导数
高中数学中，教师在开展关于导数解题内容教学的过程中，需要始终遵循几大原则：①将学生作为教学活动开展的主体。
②为同学们所展示的题目应该具有良好的代表性或者典型性。
③课堂时间有限，因此向学生讲解题目的个数应该适量，追求讲题质量，保证符合学生的接受能力。
④导数内容的教学过程不能一蹴而就，应该经历循序渐进的诱导过程。
⑤合理选用教学模式，以多样化形式激发学生的学习热情。
⑥课内外相互渗透。
二、导数在高中数学解题中的实际应用
1.函数最值
高中数学中的函数最值问题，一直是学生学习的重点和难点，在将导数知识融入高中阶段数学教材之前，对函数最值求解的方法多种多样。
而在将导数引入教材之后，对最值求解的题目，不但为学生提供了一种解题思路和方法，也为很多题目的解题提供了更大的便利。
二次函数属于函数最值当中比较经典的题型，在绝大多数高考题目当中，二次函数所对应的区间最值，指的是二次函数所处特定区间中的最小值或者最大值，该类题目当中通常会含有参数，属于高考当中的重点与难点。
倘若利用数形结合的方式对该类题目进行解答，其过程会十分复杂，而应用导数则会显得十分简便、清晰。
导数最为主要的作用是对函数在区间当中单调性以及极值点的判断，题目解析的关键在于考察学生二次函数极值点跟区间之间的相对位置。
在对此类型题目进行解答的过程中需要关注两个方面：①要对常见函数导数的求法形成良好掌握，特别是对复合函数相应函數的求法要形成足够的重视。
②在对函数单调性质进行说明的过程中，必须要说明在哪个区间当中所呈现何种单调性。
总而言之，导数与其他数学知识点之间的相互融合，已经成为目前高考考察的重点内容，必须对其形成足够的重视。
作为一名高中数学教师，应该在日常工作中积极探索，对国内外其他优秀教育工作者的优秀教育经验与理念加以借鉴，继而与自身的实际教学情况相结合，创建出一套更为优质的教学体系，为国家教育事业的发展贡献出自己的力量，为国家培养出一批又一批现代化人才。
【参考文献】
[1]吕世龙.高中数学导数知识的学习体会[J].中国农村教育，2018（06）：24-25.
[2]陈涣之.例谈高中数学解题中导数的易错点[J].环渤海经济瞭望，2017（09）：157.
[3]邓晗阳.导数在高中数学解题中的应用探讨[J].科学大众（科学教育），2016（12）：27.。
导数在高中数学解题中的应用探究
导数在高中数学解题中的应用探究作者：谯洪斌来源：《新课程研究·上旬》2019年第02期摘要：导数是高中数学的重要内容，导数知识和其他数学知识结合可以产生多种多样的新题型，这类题型立意巧妙、观点新颖，成了考试题中的亮点，也成了学生的难题。
文章阐述了高中数学导数的概念，分析了导数在高中数学解题中的具体应用思路，并提出通过做题探索解题方法，使学生掌握利用导数解题的能力，提高学生的创造性能力。
关键词：导数；高中数学；解题应用作者简介：谯洪斌，四川省南充高级中学教师。
（四川南充 637205）中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2019）04-0052-02高考数学对学生的创新意识的要求越来越高。
以能力立意是高考数学命题的指导思想，命题方式也在不断变化，而导数解题的知识点是命题的重点。
导数是高中数学的重点内容，常与函数、方程、数列、不等式、几何、向量、线性规划以及实际生活等内容融合在一起。
导数问题巧而精，学生要解答正确并非易事，需要学生具备发散性思维，有足够的耐心，有自主学习和独立思考的能力。
本文对导数在高中数学解题中的应用进行分析，旨在探索规律，揭示方法。
一、高中数学中导数的含义导数是在函数概念中出现的，具有函数的基本性质，高中数学教材上写明导数展现了函数的变化趋势，从学习简单的初等函数开始，导数就可以在其中得到运用，求导总是能使问题迎刃而解。
所以，高中的导数教学主要是通过求导解决实际题目来进行的，最终要使学生养成用导数解决数学难题的思维。
近几年的高考试题越来越多涉及导数问题，导数题型出现的频率越来越高，所以高中数学教学的重点就是让学生运用导数解决数学试题，体现出数学的实用性。
教师要教会学生灵活运用导数，学会快速从问题中发现是否需要求导，这是解决题目的突破点，也是导数学习的重难点，需要教师在设计教学方案和课堂讲授时加以重视。
二、导数在高中数学解题中的实际运用融合数学思想，强化数学思维能力的培养是当今时代所需。
论导数在高中数学中的应用
对 州
论导数在高中数学中的应用
周 萍
吉 林省德惠市德惠实验 中学 摘要 ： 在 高 中数 学中导数部分 的知识是相 当重要 的部分 ， （ 三） 利用导数求不等式 它是 高中数 学后继课程的基础也是 高考 中的热点 问题 ，蕴含 函数与不等式 的结合 出题是 高中数学 中比较常见 的 ， 这 着丰 富的数学思想 ， 在数 学解题 中的运 用广泛。 在 高中数 学中 种题型乍一看解决起来 比较 困难但是运用导数来解决就 比较 我们来看一个类型题。 引入导数增添 了高中数 学的活力 ，让数学题 目的解答 变得更 简单 ， 加灵活、 简单 。 本文主要 是对导数在 高 中数 学 中的应 用进行探 例： 对 于 函数 ｆ （ ｘ ） ＝ ｘ ｘ —ａ ） （ ｘ —ｂ ） ， 其中 Ｏ ＜ ａ ＜ ｂ ， 设ｆ （ ｘ ） 在 Ｘ ＝ Ｓ ， ｘ ＝ ｔ 取 到极值， 其中 ｓ ＜ ｔ ， 求证： Ｏ ＜ ｓ ＜ ａ ＜ ｔ ＜ ｂ 。 索， 希 望能够在 导数 的学习和使用 中起到一定的作用。 关键词 ： 高中数 学 导数 解题 证明： 首先求 ｆ （ ｘ ） 导数， 得： （ ｘ ） ＝ ３ ｘ ２ —２ （ ａ ＋ ｂ ） ｘ ＋ ａ ｂ 由ｆ （ ｘ ） 在 Ｘ ＝ ８和 ｘ ＝ ｔ 取到极值 ， 知： ｓ ， ｔ 是 二次方程 ｆ ， （ ｘ ） ＝ Ｏ 导数 是新课 改下新增 的内容 ，这一 内容在高中数学 的比 的两实根， 重越来越 多 ，导数 在数学 中的引入加深 了学生对于 函数 的理 又： ｆ ｔ （ ０ ） ＝ ａ ｂ ＞ Ｏ ｆ （ ａ ） ＝ ａ 一ａ ｂ ＝ ａ （ ａ －ｂ ） ＜ ０ ｆ （ ａ ） ＝ ｂ 。 一ａ ｂ ＝ ｂ （ ｂ － １ ＞ ０ 解， 激发 了学生 的创新思维 ， 并且 能够 引导 学生将数学知识运 ａ 即ｆ ， （ ｘ ） 在区间 （ ０ ， ａ ） （ ａ ， ｂ ） 内分别有一个实根， 用到实际生 活中极大地激 发了学生对 于学习数学 的积极性 。 由ｓ ＜ ｔ ， ｓ ， ｔ 都是方程 ｆ （ ｘ ） ＝ ０的两实根， 得出： Ｏ ＜ ｓ ＜ ａ ＜ ｔ ＜ ｂ 。 但是 对于初学 者来说 ， 导数的学习还是有一定 的难度 的 ， 所 以 二． 导数在 几何解题中的运用 必须 弄清导数 的定 义及其性质 ，并且慢慢地将 其运用到实际 解题 中去 ， 这样才能实现对导数的透彻理解。 在人教版高 中数 对 于一些几何 问题 的解决如果运用普通 的方法显得非 常 学中就有 “ 导数及其 运用 ” 一章 ， 在本文 中笔者 结合着课 本 内 麻 烦 ， 有时我们可以巧妙地运用导数来解决 。 我们 看下 面的一 容对 导数在高 中数学 中的运用进行一个新角度 的总结 。 个 例子 。 导数在代数解题中的运用 例： 用一条不限长度的钢丝 围成一个长方形 的框架 其长 、 （ 一） 小于等于 ８ ｍ） ， 那么 当其 长宽各 最 大面积是多少 ？ 在高 中数学 的学 习中会遇到判断 函数单调性 或是求 函数 为多少 时面积最大 ， 分析： 我们读 完题 目可 以看 出这是一个求最大值 的问题 ， 单调 区间的问题 ， 对于这个问题 利用导数 是特别容易解决 的， 正 如人教版高 中数学 中“ 导数及其 运用” 一章 中的“ 导数 在研 我们可 以将思维转 向函数 的导数上去解 决。 究 函数 中的应用 ” 一节就是运用导数 来解 决函数问题 的内容 ， 解： 设长方形 的宽 为 ｘ ｍ， 那么其长为 ２ ｘ ｍ ， 其中 ０ ＜ ｘ ≤８ ， 由 这是 因为 导数有这样 的性质 ， 对 于 函数 ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 在 某个 区间（ ａ ， 题 意可 得 ： ｂ ） 上， 如果 ｆ （ ｘ ） ＞ ０ ， 那 么函数 ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 在这个 区间上是单调 递增 长方形 的面积 Ｓ ＝ ２ ｘ ￣ ，ｓ ＝ ４ ｘ ，对 于 ｓ 来说 ， ｓ 始终都是大 的， 如果 ｆ ， （ ｘ ） ＜ ０ ， 那么 函数 ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 在这个 区间上是单 调递减 的， 于 ０的，所 以函数 ｓ是一个单调递增 的函数所 以当 ｘ ＝ ８时面 如果 ｆ （ ｘ １ ＝ ０ ， 那么 函数 ｙ － ｆ ｉ （ ｘ ） 是 常数 函数 ， 根 据导数 的这一 性 积有最 大值 ， 即宽为 ８ ｍ， 长为 １ ６ ｍ ， 最大面积 为 １ ２ ８ ｍ 。 质， 对于函数单调性的求解 就非 常容 易了。 三． 导 数在高中数学应用中要注意的问题 在导数部分 的教学过程中 ，要 注意一些问题把握教学要 例： 对于函数 ｘ ） ＝ｘ ３ ＋ ３ ｘ ２ ＋ ６ ｘ求其单调区间。 分析 ： 对于这一道题 目， 我们观察发 现它 的最高次 幂是 ３ 求， 很好地抓住教学 的重难点 。 首先在导数的定义理解上要让 次， 直接运用函数图像 去观察函数 的单调 区间是十分 困难 的， 学生有一个详实 的了解 ， 明确导数 的涵义 ， 然后是对于导数 的 由于其是可导 的所 以我们就可 以运用导数的性质来求解。 各种性质 的学 习， 在导数 的运用 中都是利用导数 的性质 的 ， 所 以对 于导数 的各种性 质要让学生 “ 知其然知 其所 以然 ” ， 记牢 解： 函数 ｘ １ 的导数为 ｆ ＇ （ ｘ ） ＝ ３ ｘ ２ ＋ ６ ｘ ， 当ｆ ， （ ｘ ） ＞ Ｏ时 ， ｘ ＞ Ｏ或 ｘ ＜ 一 ２ ， 即 函数 ｆ （ ｘ ） 在（ 一 ∞， 一 ２ ） ， （ ０ ， ＋ 这些性质并且理解这些性质 ， 最后就是运用导数进行解题 了 ， ∞） 上是单调递增 的； 运用导数去解题本身就是一种 比较便捷 的方法 ，在运用 的过 当ｆ （ ｘ ） ＜ ０时 ， 一 ２ ＜ ｘ ＜ Ｏ ， 即函数 ｆ （ ｘ ） 在（ 一 ２ ， ０ ） 上是 单调递减 程 中要避免学生又讲简单问题 复杂化 ，保证 学生能够巧妙地 运用导数来解题 。另外 ， 在导数知识 的学 习中 ， 要注意知识 的 的。 （ 二） 利 用 导 数 求 函数 的极 值 关联性与连续性 ， 学会让知识形成一个线形的系统。 在 高 中数 学 中还 经常 出现求 函数 在某 个 区间 的极 值 问 结语 ： 题 ，通过对导数的性质研究我们知道对于 函数 的导数在 区间 导数在高 中数学的地位重要 ， 由以上笔者 的分析 ， 可 以看 内如果两侧的符号不 同那么这个 函数在这个 区间上就存 在着 出运用导数可 以解决高中数学 中的许 多问题 ，这使原本枯燥 极大值或极小值 ，这就其实我们在求解 函数 的最值 时可 以通 的数学有 了乐趣 ， 原本 困难 的数学变得简单 ， 能够激发学生 的 过对于导数进行分析 。 学 习兴趣 ， 不失为一种不可多得 的数学学习方法。 例： 求 函数 ｆ （ ｘ ） 一ｘ ３ ＋ ３ ｘ ２ ＋ ９ ｘ在单调区间【 １ ， ５ ］ 上的最大值 。 参考文献 ： ［ １ 】 常利军． 探析 导数在高 中数学 中的应用 叨． 语数外 学 分析 ： 这个题 目给出了函数解析式要求 区间上 的最大值 ， 我们根据函数导数的性质便 可以轻松 地计算 出其最 。 习． ２ ０ １ ３ （ ０ ５ ） ． ［ ２ 】 吴龙福． 例析 导数在 高 中数学题 目解答 中的典型性应 解： 函数 ｘ ） 的导数为 ｆ （ ｘ ） 一３ ｘ ２ ＋ ６ ｘ ＋ ９ ， 所 以在 区间（ 一 １ ， ３ ） 上是单调 递增 的 ， 即ｆ ， （ ｘ ） ＞ ０ ； 在 区间（ 一 ｏ 。 ， 一 １ ） ， （ ３ ， ＋ 。 。 ） 上是单 用【 Ｊ ］ ． 数学大世界． ２ ０ １ ２ （ １ １ ） ． ［ ３ 】 漆建 哲． 导数在 高 中数学解题 中的应用分析 ［ Ｊ ］ ． 语数 调递减的 ， 即ｆ ， （ ｘ ） ＜０ ， 所 以我们得 出， 对于区间［ １ ， ５ 】 在【 １ ， ３ 】 范 围 内ｆ ， （ ｘ ） ＞ ０ ， 即是递增 的 ， 在［ ３ ， ５ 】 范 围内 ｆ （ ｘ ） ＜０ ， 即是递减 的 ， 所 外学习． ２ ０ １ ３ （ ０ ７ ） ． 以在 ｘ ＝ ３ 处取得最 大值 ， 即ｆ ３ ） ＝ ６ ３ 。
高中数学教学中导数的应用分析
． ．
在闭区间 ｂ 】 上可导 ， 则， （ ） 在闭区间【 ｄ 上的最值求法分为两步就能够 完成 ： 第一步， 求 出函数 ｆ （ ｘ ） 在 （ ａ Ｊ ） ） 上的驻点 ， 第二步： 计算 厂 （ ｘ ） 在 驻点和端点的函数值， 然后进行 比 较可以得知，最小的为函数的最小值 ， 蜀 Ｉ 大的为函数的最大 值。这种方法还可以运用到函数图像中 ，因为在画函 数图像时也要求出函数的极值 ， 运用导数能够轻
．
导数在高中数学解题中的应用实践研究
导数是高中数学教学的一个重要知识点，作为微积分知识的重要基础组成，导数的概念和相关方法是解决函数问题、曲线线性方程问题等数学问题的重要方法选择。
因此，虽然导数是选修教学的组成部分，但是导数在数学解题方面的效用是十分明显的，要加强导数相关知识的认识，并且将其有效的应用到各种相关数学问题的解决过程中。
一、导数相关概念知识的梳理导数是指当自变量的增量无限趋近于零的时候，因变量的增量与自变量增量之间的极限关系。
实质上，导数从根本上就是一个求极限的过程。
导数在高中数学问题解决过程中，主要应用在函数问题和实际问题解决方面。
高中数学教师在数学教学过程中要有意识的对学生的导数概念、知识和相关应用进行引导，即便在教材安排方面，导数的教学是被放在选修里面，但是导数在数学问题解决方面的重要应用应当引起教师和学生的特别关注。
二、导数在高中数学解题过程中的具体应用实践分析（一）导数在高中函数问题解决方面的应用分析函数问题是高中数学教学的重要问题，并且函数问题涉及的范围很广，出题的形式多样，是很多学生在高中数学学习方面遇到的困难知识点。
不同的函数问题涉及到的解决方法是多种多样的，但是导数在函数问题解决方面的应用无疑是为学生更好的解答函数问题提供了一种新的途径和方式，并且与其他解题方法相比，导数解答函数问题显得更加简单、便捷。
1、导数在函数最值问题的应用最值问题是高中函数问题最常见的内容之一，不论是在平时的练习还是在考试中，最值问题都是必然要考到的问题。
导数在解决函数最值方面能够提供相对便捷和简单的解题方式。
其中二次函数的最值问题是最典型的、最常见的函数最值问题，与利用数形结合的方式来解答最值的方式相比，导数方法显得更加便捷和有效。
下面以一道例题说明导数在最值问题解答中的应用。
题目：已知函数f（x）=-x2-2x+3在[a，2]上的最大值为154，求a的值。
这是一道最值问题的变形，根本仍然是函数的最值问题。
如果利用图形结合或者是一元二次方程根的求解方式，这道题的解决是比较麻烦的。
高中数学一元函数的导数及其应用
高中数学一元函数的导数及其应用
一元函数的导数是描述函数变化率的一个重要概念，它在高中数学中占有重要地位。
本文将从以下几个方面来介绍一元函数的导数及其应用。
1. 导数的定义及其运算法则
首先，我们需要了解导数的定义及其运算法则。
导数的定义是：函数$f(x)$在$x_0$处的导数为$f'(x_0)=limlimits_{Delta
xto0}dfrac{f(x_0+Delta x)-f(x_0)}{Delta x}$。
而导数的运算法则包括：常数求导法则、和差求导法则、积法求导法则、商法求导法则、复合函数求导法则以及反函数求导法则等。
2. 导数的图像及其性质
导数的图像是很有特点的，对于一些数学问题，我们可以通过导数图像来解决。
在本文中，我们将介绍导数图像的性质，如导数曲线的斜率、升降区间、极值和拐点等。
3. 极值与最值问题
极值与最值问题是高中数学中的一个重要问题，它跟导数密切相关。
在本文中，我们将介绍如何通过导数来求得函数的极值与最值，并讲解极值与最值的应用。
4. 函数图像的绘制
函数图像的绘制是高中数学中的一个必修内容，它要求我们能够通过导数来判断函数的升降性、极值和拐点等，从而画出函数的图像。
在本文中，我们将介绍如何通过导数来刻画函数图像的特点，并讲解
函数图像的绘制方法。
总之，本文的目的是让读者对一元函数的导数及其应用有一个全面的认识，从而更好地掌握高中数学的相关知识。
探析导数在高中数学中的应用
导数 的学 习 ， 掌握其 基本 定 义和 原理 ， 能 够帮 助我 们解 决 多种 ｆ ＊ － ｌ ￣ 。本 文 通过 实例 说 明导 数的 具体作 用 ， 希 望能 够在 导数 的 学习和使 用 中起 到一 定作 用 ， 能 够让 学生 充分认 识到 导数 的重要 性和便 捷 性 。 关 键词 ： 高中数 学 ； 导数 ； 函数 ； 应用 中图分 类号 ： Ｇ ６ ３ ３
一
到实际 生活 中 ， 解 决 生活 中 的 问题 ， 为 以后 的学 习和 应 用 打下 坚 来 解决 极值 的 问题 ， 只不 过具 体 使 用 中 发生 灵 活 的 变 动 ， 但 是 最
实 的基 础 。
一
终 离不 开其 本质 和 目的 。下 面是 具体 的解析 过程 ： 解： （ １ ） ，（ ） ＝ ６ ｘ ＋ ６ ａ ｘ ＋ ３ ６ ， 因 为 函数 ， （ ） 在 ＝１ 及 ＝ ２
、
导数在 求 函数单 调性 中 的应用
在 高 中数 学 的学 习中 ， 我 们经 常会 遇 到判 断 某一 个 函 数单 调
性或者要求分析函数的单调区间问题 ， 通常我们是根据 函数的特 性， 画 出其 图形 来求 解 ， 但 是 过 程 比较 复杂 ， 学生也不容易掌握，
给教 学带 来 困难 。但 是 随着导 数在 高 中数 学 中的 出现 和应 用 ， 我
语 数外学 习
Ｎ０ ． ｏ ５ ． ２ ０ １ ３
Ｙ ｕ Ｓ ｈ ｕ
Ｘ ｕ ｅ Ｘ ｉ
２ ０ １ ３年第 ５期
探 析 导 数在 高 中 数 学 中的应 用
常利 军
（ 山南地 区第二 高级 中学， 西藏 山南 ８ ５ ６ ０ ０ ０ ）
导数公式在高中数学中的应用
导数公式在高中数学中的应用作者：胡海燕来源：《理科考试研究·高中》2014年第03期近年来高考考试大纲的考点，大部分试题与导数有着千丝万缕的关系.从导数引申出来的考点比重逐渐上升，使得导数与函数、微积分、复合函数、反函数、隐函数之间的共通性愈加明显，尤其是函数的导数和导函数，以及函数图象与导数特性的融合，导数和函数的考试范畴逐渐加大.为此，本文研究导数公式在高中数学中的应用具有重要的实践意义.高中理科之间互相都有融合渗透，因为在物理学、几何学、经济学等学科中，一些重要概念都可以用导数来表示.从理科高三接触的微积分来分析，显示的自变量和变量之间的关系可以看出它应用的身影.当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限.在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分.可导的函数一定连续，不连续的函数一定不可导，这甚至可以被认为高中与高等数学衔接中最基础的定义.高中导数公式的应用过程，是让学生感知瞬时变化率的过程.导数的概念和导数公式的应用，正是实现由初等函数正常推导的过程，是从中规范导数实践教学的过程，也是深度理解和认识导数的过程.一、用导数判断函数的单调性在平面直角坐标系中，导数代表的就是某条曲线在某一点处切线的斜率.判断函数的单调性，就可以根据一点处切线的斜率来判定，斜率都大于零，那么可以准确判断出其单调递增的特征.尤其是在简单的一次函数中，当曲线斜率为正时，函数单调递增，反之为负时就是单调递增.例1 求函数y=x3-3x+1的单调区间.解析 y=x3-3x+1，y′=3x2-3，当3x2-3=0，即x=±1时，y有极值=-1和3，因为：x=2时，y（2）=3，x=1时，y（1）=-1， x=0时，y（0）=1，x=-1时，y（-1）=3，x=-2时，y（-2）=-1，所以函数在（-∞，-1]单调递增，在[-1，1]单调递减，在[1，+∞）单调递增.在求解单调函数的递增性上，求解函数单调性，更可以显示导数的价值.在实际应用中，还可以延伸出导函数“二次型单调性问题求解”.二、用导数求曲线的切线基本初等函数的导数由12个常用导数衍生出来，成为推导的依据.导数的几何意义就是曲线在某点处的切线斜率，也就是常说的切线方程公式，除了强调曲线上的点外，还体现函数在某点处可导的充分不必要条件.导数在数学中解决的问题就是，以此助推求解曲线切线，其应用价值就体现在函数在某点处可导，曲线在某点处一定存在切线，但是曲线在某点存在切线，却未必可导的特性.例2 函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0， y=f（x0））处的切线的斜率.在求解中，设曲线y=f（x）在点P（x0，y）处的切线的斜率是f ′（x0），相应的切线方程为y-y0=f ′（x0）（x-x0）.在该例题的切线方程求解中，就是根据导数所体现的几何意义来求解的.三、用导数求三角函数三角函数的导数关系、商数关系、平方关系、积化和差、双曲函数等都可以在简单的导数中发现事物的本质，进而衍生出新的解题策略.从sinθ=y/r；cosθ=x/r；tanθ=y/x；cotθ=x/y等基本三角公式出发，推导出复杂三角函数的求解之法.例3 由sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB导数公式，推导出三角函数积化和差，和差化积问题.首先画单位圆交x轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点.角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新角A′OD.A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），A′（cos（α-β），sin（α-β）），OA′=OA=OB=OD=1，D（1，0）∴[cos（α-β）-1]2+[sin（α-β）]2=（cosα-cosβ）2+（sinα-sinβ）2和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换（a+b）/2与（a-b）/2）.四、用导数公式求周期函数例4 试求所有的a∈R，使得f（x）=sinx+sinax为周期函数.从函数周期定律f ′（x）为以T为周期的周期函数着手，且f（x）处处有定义，则f ′（x）当a=-1，0，1时f（x）分别为0，sinx，2sinx，均为周期函数，若a≠0，a2≠1的情况.当f（x）以T为周期时，f ′（x）=cosx+acosax，f ″（x）=-sinx-2asinax，那么f ″（x）也应以T为周期.于是sinx+sinax=sin（x+T）+sin（ax+aT），sinx+2asinax=sin（x+T）+2asin（ax+aT）对所有x∈R成立.两式相减，2a≠1，则sinax=sin（ax+aT），有sinx=sin（x+T）.于是aT=2kπ，T=2mπ，k，m∈Z，那么a=k/m为有理数，必要性得证.从实际来看上只要f（x）为以T为周期的周期函数，f ′（x）在其定义域内就是周期函数.在实际应用中，利用导数求解导函数还可以扩大为“不必让f ′（x）处处有定义，实际上只要f（x）为以T为周期的周期函数，f ′（x）在其定义域内就是周期函数.”五、结束语导数在数学中的应用价值，主要显现为运用导数来求解曲线的切线、函数单调性、函数极值，不仅便捷还省时.高中数学导数公式集中反映了导数公式应用思想.导数是两个无穷小变量比的极限，反映函数的变化率.导数的几何意义是曲线切线的斜率，在物理上体现瞬时速度.在结合课改和高中生身心发展现状时，要培养学生的辩证思想和掌握导数的变化趋势，成为导数应用领域必须关注的大事.这对于应用导数公式解决高中生日常数学难题，具有积极的指导作用.。
导数在高中数学解题中的应用
导数在高中数学解题中的应用随着高中数学改革的进一步深化，高中数学教学中更多地突出知识的实用性和简洁性.导数是高中数学新教材中重要的知识之一，体现了现代数学思想.这几年的高考命题趋势表明：导数已经由以往的“配角”上升到“主角”，成为分析问题和解决问题的重要工具.将导数与传统内容结合，不仅能加强能力的考查力度，而且也使试题具有更广泛的实践意义.导数知识在研究解决实际问题中有着广泛的应用，主要应用于研究函数的单调区间、最值以及曲线的切线、某些不等式的证明等问题，所以，在高中教学中越来越显现出其重要性.导数对中学数学也有重要的指导作用.下面举例探讨导数在解题中的应用.当然，导数解决的问题还很多，我在这里仅举了其中几个例子.一、利用导数求函数的最值求函数的最值是高中数学的重点，也是难点，是高考经常要考查的内容之一，它涉及函数知识的很多方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简单化，步骤清晰，也容易掌握，从而进一步明确了函数的性质.一般的，函数f（x）在闭区间[a，b]上可导，则f（x）在[a，b]上的最值求法：（1）求函数f（x）在（a，b）上的极值点；（2）计算f（x）在极值点和端点的函数值；（3）比较f（x）在极值点和端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值.例1.求函数f（x）=x3-3x在[-3，2]上的最大值和最小值.分析：先求出f（x）的极值点，然后比较极值点与区间端点的函数值，即可得该函数在区间[-3，2]上的最大值和最小值.解：由于f′（x）=3x2-3=3（x2-1）=3（x+1）（x-1），则，当x∈[-3，-1）或x∈（1，2]时，f′（x）>0，所以[-3，-1]，[1，2]为函数f（x）的单调增区间；当x∈（-1，1）时，f′（x）<0，所以[-1，1]为函数f（x）的单调减区间.又因为f（-3）=-18，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2，所以，当x=-3时，f（x）取得最小值-18；当x=-1或2时，f（x）取得最大值2.二、利用导数判别函数的单调性函数的单调性是函数的最基本性质之一，是研究函数所要掌握的最基本的知识.用单调性的定义来处理单调性问题有很强的技巧性，较难掌握好，而用导数知识来判断函数的单调性简便而且快捷.令f′（x）=0得x=1，又当x=0时导数不存在；以0和1为分界点将f（x）的定义域（-∞，+∞）分成三个区间（-∞，0），（0，1），（1，+∞）.先将f（x）在各区间内单调增减性列表如下：由此可见，f（x）的单调增区间为（-∞，0），（1，+∞），单调减区间为（0，1）.三、用导数证明不等式利用导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点.其主要思想是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式.例3.当x∈（0，π）时，证明不等式sinx<x成立.证明：设f（x）=sinx-x，则有f′（x）=cosx-1由已知得x∈（0，π），则有f′（x）<0. .因为f（x）=sinx-x在x∈（0，π）内单调递减，而f（0）=0，所以f（x）=sinx-x<f（0）=0，故当有x∈（0，π）时，sinx<x成立.一般的，证明f（x）<g（x），x∈（a，b），可以构造函数f（x）=f（x）-g（x），如果f′（x）<0，则f（x）在（a，b）上是减函数，同时若f （a）≤0，由减函数的定义可知，x∈（a，b）时，有f（x）<0，即证明了f（x）<g（x）.四、导数在求曲线的切线中的应用导数的几何意义：如果函数f（x）的导数存在，则的函数f（x）在x=x0处的导数即为该函数在点（x0，f（x0））切线的斜率.利用这个我们可以求出曲线的切线方程.例4.已知曲线l∶y=x2-2x+a，求过点p（2，-1）的曲线l的切线方程.解：因y=x2-2x+a，所以y′=2x-2，则当x=2时，y=a，y′=2.①当a=-1时，点p（2，-1）在曲线l上，故过点p的曲线l的切线方程为y-（-1）=2（x-2），即2x-y-5=0，②当a≠-1时，点p不在l上，设曲线l过点p的切线的切点是（x0，y0），则切线方程为y-y0=（2x0-2）（x-x0）且点p（2，-1）在此切线方程上，所以有-1-y0=（2x0-2）（2-x0），即y0=2x20-6x0+3.又y0=x20-2x0+a，则有x20-2x0+a=2x20-6x0+3，即x20-4x0+（3-a）=0，δ=16-4（3-a）=4（a+1），当a<-1时，δ<0，切线不存在.五、利用导数解决数列问题数列是高中数学中的一个重要部分，而数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一，有许多初等解决方法.事实上数列可看作是自变量为正整数的特殊的函数，所以可以利用数列和函数的关系，再运用导数来解决数列求和的有关问题.例5.求和：1+2x+3x2+…+nxn-1（其中x≠0，x≠1）.（作者单位陕西省定边县职教中心）。
摭谈导数在高中数学解题教学中的应用
值后还应代 入 进 行 验 证 是 否 符 合 题 意 的 参 数．由 于
犳′（狓）＝３狓２＋６犿狓＋狀，且当狓＝－１时取得极值０，则 犳（－１）＝０，犳′（－１）＝０，即 －１＋３犿 －狀＋犿２ ＝０，３ －６犿 ＋狀＝０，则 犿 ＝１，狀３或 犿 ＝２，狀＝９．由于 犿
例１ 已知函数犳（狓）＝狓３＋狓，求狔＝犳（狓）在点 （０，０）处的切线方程．
解析：由于点（０，０）在函数犳（狓）图像上，求导后直 接代入狓＝ ０，求出切线的斜率．采用点斜式不难求出切 线方程．由题意知，犳′（狓）＝ ３狓２ ＋１，犳′（０）＝ １，则狔－０ ＝ １× （狓－０），即曲线在（０，０）处的切线方程为狔＝ 狓．
＝１，狀＝３时犳′（狓）≥０，则函数犳（狓）在犚上单调递增 没有极值，不符合题意，舍去．故 犿 ＝２，狀＝９．
７８ Copyrigh高t©中博看网 . All Rights Reserved.
复习
２０２１年４月 解法探究
复习 备考 解法探究 ２０２１年４月
摭谈导数在高中数学解题教学中的应用
? 江苏省姜堰第二中学 夏利祥
导数是联系微积分的重要纽带，是高中数学的重 点、难点知 识．导 数 部 分 不 仅 涉 及 的 知 识 零 碎、抽 象， 而且 习 题 类 型 灵 活 多 变，尤 其 部 分 习 题 技 巧 性 较 强， 解答 难 度 较 大，掌 握 相 关 的 解 题 方 法 显 得 尤 为 重 要． 高中数学导数教学中既要为学生透彻地剖析基础知 识，使 学 生 掌 握 导 数 知 识 的 来 龙 去 脉，把 握 相 关 知 识 本质，又要注 重 习 题 类 型 的 汇 总 以 及 解 题 方 法 的 传 授，尤 其 结 合 具 体 习 题 与 学 生 一 起 分 析 解 题 过 程，给 学生留下深刻印象的同时，给其以后更加高效的解题 带来良好启发．
导数在高中数学函数中的应用体会
导数在高中数学函数中的应用体会
作为一个AI，我无法体验和感受，但我可以通过统计数据和常见的实际例子来说明导数在高中数学函数中的应用。
1. 反应函数变化速率
导数可以用来反应函数在某一个点上的变化速率，即函数在该点处的斜率。
通过求导，我们可以得到函数的变化速率，进而用于解决实际问题，比如求切线的斜率、求最速降线等等。
2. 解决最值问题
导数可以用于解决函数取值的最大值和最小值问题。
具体的方法是，对函数求导，求得导函数的零点，即为函数的极值点，然后通过比较极值点和函数在区间端点的值，找到函数的最大值和最小值。
3. 求曲线长度和面积
导数可以用于求曲线长度和曲面积。
具体的方法是，将曲线或曲面分割成无数个极小的线段或面元，然后对这些线段或面元的长度或面积进行求和，最终得到曲线或曲面的长度或面积。
通过上述应用，我们可以看到，导数不仅是高中数学函数的重要概念，更是在实际生活中具有广泛的应用价值。