三角模糊数多维标度分析及其应用_张菊花
三角模糊数的犹豫模糊多属性决策方法
摘要：犹豫模糊数是一种常用的模糊数，它将模糊数中模糊的程度量化为悔恨度，并且可以描述决策者的不确定性和矛盾情况。
本文介绍了三角模糊数的定义和特性，并详细阐述了三角模糊数在多属性决策中的应用。
同时，本文还探讨了犹豫模糊数在多属性决策中的应用，并介绍了基于犹豫模糊数的决策方法。
最后，本文还对该方法的优点与不足进行了分析与总结。
关键词：三角模糊数；犹豫模糊数；多属性决策；决策方法一、绪论多属性决策是一种涉及到多个因素的决策方法，既要关注每一个因素的权重，也要注意它们之间的联系和影响。
在实际应用中，很多决策问题都是模糊不确定的，因此需要用到模糊数进行描述。
犹豫模糊数是一种常用的模糊数，它不仅考虑了每个因素的模糊程度，还量化了决策者的犹豫程度，能够更贴近实际应用中的情况。
本文将介绍三角模糊数的定义与特性，以及犹豫模糊数在多属性决策中的应用和决策方法。
二、三角模糊数的定义与特性三角模糊数是一种常用的模糊数，它是指在[,]上所有值等可能的模糊数，记为(,,)。
三角模糊数可以用于表示模糊化的决策信息，其中̃，̃和̃表示决策信息的下限、中心值和上限。
三角模糊数通过组合下限、中心值和上限来描述决策者对一个变量的模糊程度。
三角模糊数的特性有以下几个方面：( 1)非负性：三角模糊数的下限、中心值和上限都应该是非负数，即̃,,̃≥0。
( 2)归一性：三角模糊数的下限、中心值和上限之和应该等于1，即̃++=1。
( 3)具有对称性：对于任意的三角模糊数(,,)，其对称三角模糊数为(,,)。
三角模糊数的定义与特性为犹豫模糊数的研究提供了基础，犹豫模糊数可以视为是三角模糊数的扩展。
接下来将介绍犹豫模糊数在多属性决策中的应用。
三、犹豫模糊数在多属性决策中的应用犹豫模糊数是一种将模糊程度和犹豫程度两者结合起来的模糊数。
它可以用于描述决策者的不确定性和矛盾情况，更贴近实际应用中的情况。
在多属性决策中，犹豫模糊数可以用于对决策变量进行建模，例如对于风险评估问题，可以使用犹豫模糊数对不同方案的风险程度进行度量。
三角模糊数型模糊多属性群决策方法
三角模糊数型模糊多属性群决策方法顾翠伶;梁艳艳;张茜【摘要】针对决策属性值为三角模糊数的模糊多属性群决策问题,给出一种新的解决方案.将专家群体的语言值模糊权重信息转化为三角模糊数形式,利用三角模糊数的模,求出决策群体中专家的权重.综合考虑方案的熵与散度面积,融合方案与正、负理想解的贴近度,构造一种新的综合评价指标,进而对方案进行排序择优.数值例子验证该方法的可行性与有效性.【期刊名称】《周口师范学院学报》【年(卷),期】2015(032)005【总页数】6页(P36-41)【关键词】三角模糊数;散度;贴近度;模糊熵;模糊多属性决策【作者】顾翠伶;梁艳艳;张茜【作者单位】周口师范学院数学与统计学院,河南周口466001;周口师范学院数学与统计学院,河南周口466001;周口师范学院数学与统计学院,河南周口466001【正文语种】中文【中图分类】C934多属性决策问题的实质是利用已有的决策信息通过一定的方式对一组有限个备选方案进行排序并择优.多属性决策是现代决策科学的核心内容之一，它广泛应用于社会、经济、管理等多个领域中.群决策可以弥补单个决策者知识结构和经验水平的局限性，在管理决策中能更好地处理决策问题，提升决策质量，近年来，已有大量关于模糊多属性（群）决策分析方法的研究［1－9］.其中文献［1］针对只有部分属性权重信息且属性值以区间数形式给出的不确定多属性决策问题，提出一种逼近理想关联度的决策分析方法.文献［3］针对方案的属性评估信息和属性权重是模糊语言形式的多属性群决策问题，将语言信息转化为三角模糊数，利用三角模糊数的性质，构造集结决策者权威性和意见一致性的组合一致性指标，并给出一种模糊多属性群决策算法.曾三云［6］针对属性值为模糊变量，属性权重完全未知但已知方案优先序的模糊多属性决策问题给出新的决策方法.该方法通过建立一个线性目标规划模型来确定属性的权重，再基于简单加权平均法则来计算各方案的模糊综合属性值，然后根据比较模糊变量大小的期望值方法对方案进行排序.胡丽芳［9］对模糊群体多属性决策问题，依据一般的灰色关联分析方法的基本思路，将灰色关联度和欧氏距离结合，构造平均相似度对方案进行评价，提出一种新的灰色多属性决策方法.在决策过程中，由于决策时间、专家知识结构等的限制，决策专家对于方案或者属性的认识的不深刻等，这样就要求给决策专家一个权重以区别专家的重要性.笔者给出一种确定专家权重的方法，将语言值模糊信息化为三角模糊数形式，利用三角模糊数的模，将决策群体中每个专家的权重精确化.熵度量方案的模糊性，方案的熵越大，模糊性越强，方案就越劣.方案的散度面积越大，可行域也越大，方案越优.贴近度度量两个模糊数之间的贴近程度，贴近度越大，说明两个模糊数越接近.决策方案与正理想方案的贴近度越大，与负理想方案的贴近度越小，方案越优.本文融合模糊熵、散度面积以及方案与正、负理想方案之间的海明贴近度，给出排序方案的综合指标值，该综合指标值越大，方案越优.最后给出一个具体的算例分析，验证该方法的合理性和有效性.1 预备知识定义1［10］一个模糊数A定义为fA：R→I＝［0，ω］的模糊集，满足（1）fA是上半连续的；（2）存在一个区间［a，d］，当x∉［a，d］时，有fA（x）＝0；（3）存在实数b，c满足a≤b≤c≤d ，fA（x）在［a，b］单调递增；fA（x）在［c，d］上单调递减；fA（x）＝1在［b，c］上.即隶属函数可以表示为：其中ω为实数，且是模糊数A 的左右隶属函数.定义2［11］一个模糊数A的参数形式为分别为的反函数（0≤r≤1）.且（r）与（r）满足下列要求：（1）（r）有界单调递增的右连续函数；（2）（r）有界单调递减的左连续函数；（3）（r）≤0≤r≤1.定义3 称为模糊数A的权重面积，且有S（A）越大越好.这里将此权重面积作为模糊数散度的一个衡量指标.可见模糊数的权重面积越大，散度越大，可行域也就越大.对一组模糊数｛A1，A2，…，An｝，定义则s（Ai）越大，模糊数越优.定义4［12］假设A为连续模糊变量，则其熵定义为模糊变量的熵值越大，模糊性就越强，模糊变量就越劣.对于一组模糊变量｛A1，A2，…，An｝，定义e（Ai）越大，模糊变量越劣.定义5［13］令A、B和C为论域X 中的模糊集合，若映射σ：F（X）×F（X）→ ［0，1］具有性质：（1）σ（1，1）＝1；（2）σ（A，B）＝σ（B，A）；（3）由A⊇B⊇C或A ⊆B⊆C可得σ（A，B）≥σ（A，C），则称σ（A，B）为A与B的贴近度.贴近度的性质（1）说明两个相同的模糊集合的贴近度最大，性质（2）要求贴近度具有对称性，而性质（3）描述了两个接近的模糊集合的贴近度也较大.定义6［13］海明贴近度：2 模糊多属性决策方法与经典多属性决策相类似，模糊多属性决策基本模型可以描述为：给定一个方案集A＝｛A1，A2，…，Am｝，和相应于每个方案的属性集C＝｛C1，C2，…，Cn｝，以及说明每种属性相对重要程度的权集ω＝｛ω1，ω2，…，ωn｝，决策专家群体为Z＝｛Z1，Z2，…，Zl｝.其中，关于属性指标和权值大小的表示方式可以是数字的，也可以是语言的；涉及的数据结构可以是精确的，也可以是语言的；涉及的数据结构可以是精确的，也可以是不精确的.而所有语言的或不精确的属性指标，权值大小和数据结构等都被相应地表示成决策空间中的模糊子集或模糊数. Step1 决策矩阵标准化假设每个专家Zk对方案的评价矩阵由于不同的评价属性通常具有不同的物理量纲和量纲单位，且不同的量纲和量纲单位会带来不可公度性，因此在决策之前应将属性进行无量纲和规范化处理［9］.设S＋为效益型指标，S－为成本型指标，可以按照下列公式将属性决策矩阵Qk转化为规范化矩阵Rk所以有Step2 求群体决策矩阵在专家组成的团队里，有些专家的意见很重要，而另外一些专家的意见相对来说不是那么重要，这样就要求给各专家一个权重.每个专家的意见我们以语言形式给出，将语言形式转化为三角模糊数，对应表如下：表1 语言评估标度与三角模糊数语言值三角模糊数形式特别重要（0.8，0.9，1）很重要（0.6，0.7，0.8）一般重要（0.4，0.5，0.6）不太重要（0.2，0.3，0.4）不重要（0，0.1，0.2）若有l个专家，每个专家的权重以模糊语言值的形式给出，根据模糊语言值与模糊数的对应表（表1），则专家模糊权重信息值.将模糊权重去模糊化，得到专家的精确权重.定义第k个专家对应的精确权重为其中为三角模糊数的模.越大，说明第k个专家做决策时其意见也就越重要.求出每个专家的权重，根据各个专家对不同方案关于属性值的决策矩阵，得到群体决策矩阵其中Step3 确定正理想方案和负理想方案求专家群体决策矩阵的正、负理想方案.正理想方案：其中负理想方案：其中Step 4 求方案与正、负理想方案间的贴近度根据公式（5）可以求得各个方案属性值与正、负理想方案属性值之间的海明贴近度与从而第i个方案与正理想方案的贴近度为αj为第j个属性的权重值，并且第i个方案与负正理想方案的贴近度.因为方案与正理想方案的贴近度越大，同时方案与负理想方案的贴近度越小，方案越优.所以综合方案与正、负理想方案之间的贴近度信息，给出如下的指标：其中ρ为决策者群体偏好，代表决策专家对正负理想方案的偏好程度.φi越大，方案越优.Step5 计算各个方案的模糊熵与散度指标根据属性权重信息及专家群体决策矩阵可以得到每个方案的综合评价值：其中根据公式（1）、（3）得第i个方案的散度值S（gi）、熵值E（gi），根据公式（2）、（4）求得各个s（gi）与e（gi）.Step6 求各个方案的综合排序指标值结合方案的熵信息、散度指标以及各方案与正、负理想方案之间的贴近度，得到每个方案的综合排序指标φi越大，方案越优.3 实例分析某生产公司进行新厂址选址，有四种可供选择的方案X1，X2，X3，X4，属性指标值有三个ζ1，ζ2，ζ3，假设三个指标均为效益型指标.专家群组为Z1，Z2，Z3，每个专家关于决策方案的属性评价值由三角模糊数给出.确定模糊决策矩阵：将模糊决策矩阵标准化：三位专家Z1，Z2，Z3分别为特别重要，很重要，一般重要，根据表1，三位决策专家的模糊权重用三角模糊数表示为：由公式（6）则三位专家的权重为：结合专家的权重，求出群体决策矩阵：求正负理想方案：确定各个方案与正负理想方案的贴近度，假设这里三个属性指标的权重分别为0.43，0.36，0.21.根据公式（7）可以求得根据三个属性的权重值与专家群体决策矩阵可以得到每个方案的评价值：G ＝［g1，g2，g3，g4］T ＝［（0.14，0.29，0.63）（0.16，0.30，0.69）（0.15，0.31，0.67）（0.13，0.31，0.72）］T.根据公式（1）、（2）、（3）、（4）计算得到利用公式（8）得到每个方案的综合评价值φ1 ＝0.780 2，φ2 ＝0.778 0，φ3 ＝0.769 3，φ4 ＝0.759 2，因而最优的方案为X1.4 总结笔者针对决策信息、属性权重为三角模糊数的模糊多属性群决策问题，利用方案与正、负理想方案之间的贴近度，融合方案的熵值信息、散度信息，提出一种新的排序方案的综合指标；同时，依据语言评价信息，将专家的语言权重信息转化为三角模糊数形式.给出一种新的解决模糊多属性群决策问题的方法.实例分析，验证了所述方法的合理与有效性，但是对于模糊多属性决策问题仍存在需要深入研究的问题，比如各种求解模糊多属性决策方法的比较等问题.参考文献：［1］冯向前，魏翠萍，李宗植.基于理想关联度的不确定多属性决策方法［J］.运筹与管理，2007，16（2）：24－29.［2］周晓光，张强.基于 Vague集的群决策方法研究［J］.数学的实践与认识，2007，37（19）：12－18.［3］陈晓红，阳曦.一种基于三角模糊数的多属性群决策方法［J］.系统工程与电子技术，2008，30（2）：278－288.［4］戴厚平.基于模糊数直觉模糊集的多属性决策方法［J］.模糊系统与数学，2013，27（2）：149－154.［5］郭欣.基于改进的信息熵为权重的模糊多属性决策［J］.中国科教创新导刊，2013，26：22－24.［6］曾三云.带有方案优先序的模糊多属性决策方法［J］.模糊系统与数学，2013，27（1）：132－136.［7］何霞，刘卫锋.一种有方案偏好的直觉模糊多属性决策方法［J］.运筹与管理，2013，22（1）：36－40.［8］彭展声，农秀丽.模糊多属性决策的最小偏差法［J］.统计与决策，2009，6：156－157.［9］胡丽芳，关欣，何友.一种新的灰色多属性决策方法［J］.控制与决策，2012，27（6）：895－898.［10］Abbasbandy S，Asady B.Ranking of fuzzy numbers by sign distance ［J］.Information Sciences，2006，16：2045－2416.［11］Ma M，Friedman M，AKandel.A new fuzzy arithmetic［J］.Fuzzy Set and Systems，1999，108：83－90.［12］Liu B D.Uncertainty theory：an introduction to its axiomatic foundations［M］.Berlin：Springer，2004.［13］蒋泽军.模糊数学教程［M］.北京：国防工业出版社，2010.。
Lecture 16 模糊度解算
最小二乘
整数最小二乘
最小二乘
模糊度解算方法
整数最小二乘 例子： 两个模糊度的搜索空间
12 11 10 9 8 7 6 5 4
a2 [cyc]
3 2 1 0
−1 −2 −3 −4 −5 −6 −7 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 a1 [cyc] 5 6 7 8 9 10 11 12
模糊度域内搜索
搜索法
1st smallest SSR=0.044 DD SV# 2-19 6-19 11-19 16-19 18-19 Ambiguity 17329426 14178677 11027758 -1575519 -15754176 2nd smallest SSR=0.386 Ambiguity 17329426 14178676 11027757 -1575518 -15754176 3rd smallest SSR=0.453 Ambiguity 17329426 14178678 11027759 -1575520 -15754176
9 观测时间较短时，初始解中的实数模糊度参数精度很低，参数间 的相关性很强，搜索范围大，搜索效率很低
如何减小模糊度的搜索空间 提高模糊度搜效率的主要方法
9 FARA法(Frei和Beutler) 9 LAMBDA法*(Teunissen)
模糊度解算方法
LAMBDA方法
‘Float’ solution 浮点解 估计测站坐 标和实数模 糊度 LAMBDA 方法 估计整数模 糊度 ‘Fixed’ solution 固定解 估计测站坐 标(模糊度固 定)
地基增强系统 (LBAS)
9 向用户播发码差分改正数 9 提高GPS用户的定位精度和完好性
模糊数学和其应用
04
总结与展望
模糊数学的重要性和意义
模糊数学是处理模糊性现象的一种数学 理论和方法，它突破了经典数学的局限 性，能够更好地描述现实世界中的复杂 问题。
模糊数学的应用领域广泛，包括控制论、信 息论、系统论、人工智能、计算机科学等， 对现代科学技术的发展起到了重要的推动作 用。
模糊数学的出现和发展，不仅丰富 了数学理论体系，也促进了各学科 之间的交叉融合，为解决实际问题 提供了新的思路和方法。
随着计算机技术的发展，模糊 数学的应用越来越广泛，成为 解决复杂问题的重要工具之一 。
模糊数学的基本概念
模糊集合
与传统集合不同，模糊集合的成员关系不再是确 定的，而是存在一定的隶属度。例如，一个人的 身高属于某个身高的模糊集合，其隶属度可以根 据实际情况进行确定。
隶属函数
用于描述模糊集合中元素属于该集合的程度。隶 属函数的确定需要根据实推理规则不再是一 一对应的，而是存在一定的连续性。例如，在医 疗诊断中，病人的症状与疾病之间的关系可能存 在一定的模糊性，通过模糊逻辑可以进行更准确 的推理。
模糊运算
与传统运算不同，模糊运算的结果不再是确定的 数值，而是存在一定的隶属度。例如，两个模糊 数的加法运算结果也是一个模糊数，其隶属度取 决于两个输入的隶属度。
模糊数学在图像处理中的应用
总结词
模糊数学在图像处理中主要用于图像增强和图像恢复。
详细描述
通过模糊数学的方法，可以对图像进行平滑、锐化、边缘检测等操作，提高图像的视觉效果和识别能 力。例如，在医学影像处理中，可以利用模糊数学的方法对CT、MRI等医学影像进行降噪、增强和三 维重建等处理，提高医学诊断的准确性和可靠性。
02
模糊数学的应用领域
模糊控制
2 基于三角模糊数的贷款组合优化模型比较分析_张赟
（ 5）
ห้องสมุดไป่ตู้
可以从不同的角度来 贷款资源由于其特殊性， 。 构建贷款组合优化模型 如对于一家具体经营贷款 可以将多笔分配给企业的贷款进行组 的支行来说， 合分析， 但是这种微观角度的组合模型在实际操作 中很难实现， 因为每笔单一的贷款都可能存在其他 相关联的业务， 而不能简单地利用组合优化的结果 去调整企业的贷款额度和规模。而从商业银行管理 层的角度考虑贷款对象， 其相应的结果对于银行管 理层而言更有借鉴意义。例如以具体经营贷款的支 行作为贷款对象， 商业银行管理层将配置给各家支 行的贷款额度进行组合优化， 可以从绩效考核的角 度强化银行发展战略的执行力。而本文将选择不同 贷款行业作为贷款对象， 更符合国家宏观政策和经 济周期情况， 有助于商业银行根据宏观形势调整对 行业的资源配置， 从而能够强化商业银行对风险的 把控并实现整体收益最大的组合管理目标 。 同时， 随着新资本监管标准的稳步推进， 需要商 业银行与国际金融监管要求逐步接轨， 那么也赋予 商业银行信贷经营管理新的内涵和要求 ， 而构建的 贷款组合优化模型就不能单纯地考虑贷款收益率 ， 而需要利用银行综合收益下的风险调整后资本收益 ＲAＲOC ） 作为组 率（ Ｒisk Adjusted Ｒeturn on Capital， 合优化模型的主要指标。而在许多国内商业银行实 际的内控管理和绩效考核中， 也已经开始使用 ＲAＲOC 指标， 这一变化更加符合商业银行的实际经营 状态， 在理论意义上也是对单一贷款收益率的改进 ， 通 常 为 风 险 调 整 后 资 本 收 益 率 = 信贷业务综合收益 ， 及信贷业务综合收 益 = （ 某 行 经济资本 业贷款综合收入 － 某行业贷款综合费用成本 － 营业 税 － 计提的拨备 ） × （ 1 － 企业所得税率 ） ， 其中， 行 业贷款综合收入 = 贷款收入 + 存款收入 + 中间业务 49
三角模糊数与毕达哥拉斯三角模糊数
毕达哥拉斯定理是几何学中著名的定理之一，而与之相关的三角模糊数更是一个深奥而有趣的概念。
在本文中，我将通过深度和广度的双重考量，全面评估三角模糊数与毕达哥拉斯定理，并撰写一篇有价值的文章，帮助您更全面、深入地理解这一主题。
1. 三角模糊数的概念三角模糊数是指由三个实数构成的数，这三个实数分别构成一个三角形的边长，而这样的数被称为三角模糊数。
它们在数学上有着重要的地位，可以应用于计算机科学、信号处理、模式识别等领域，并且在实际生活中也有诸多应用。
在了解三角模糊数的基本概念后，我们可以进一步探讨与之相关的毕达哥拉斯定理。
2. 毕达哥拉斯定理与三角模糊数的关系毕达哥拉斯定理是指直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边的平方和。
而在三角模糊数的概念中，我们可以将其应用于直角三角形的边长计算中，进而推导出一种基于三角模糊数的毕达哥拉斯定理。
这种推导不仅能够更加深入地理解毕达哥拉斯定理的数学本质，也为三角模糊数的应用提供了更加丰富的可能性。
3. 三角模糊数与实际应用除了数学领域外，三角模糊数还具有诸多实际应用。
在工程领域中，利用三角模糊数可以更加准确地描述和计算复杂结构的边长，同时也可以应用于模糊逻辑和控制系统中。
在此方面，三角模糊数的深度和广度应用远远超出了数学领域的范畴，具有广阔的发展前景。
4. 对三角模糊数与毕达哥拉斯定理的个人见解通过对三角模糊数和毕达哥拉斯定理的深入探讨和应用，我认为这两者不仅体现了数学中的严谨性和逻辑性，更在实际应用中展现出了强大的可塑性和灵活性。
在今后的学习和工作中，我愿意进一步深入研究三角模糊数与毕达哥拉斯定理，探索其更广泛的应用领域，并且在实际工作中灵活运用这些知识，为科学技术的发展贡献自己的力量。
结语三角模糊数与毕达哥拉斯定理作为数学中重要的概念，不仅具有深厚的数学内涵，更在实际应用中发挥出了巨大的作用。
通过本文的全面评估和深度探讨，相信您对这一主题已经有了更加全面和深入的理解，也希望本文能为您的学习和工作带来一些启发和帮助。
三角模糊数与熵权法
三角模糊数与熵权法在实际的决策与评估中，我们常常会遇到一些具有不确定性的指标，例如质量、效益等等。
在这样的情况下，我们需要使用一些数学工具来帮助我们更好地进行决策与评估。
其中，三角模糊数与熵权法就是两个常用的数学工具。
一、三角模糊数的概念与意义首先要介绍的就是三角模糊数。
所谓三角模糊数，是指一个由三个数字（a，b，c）组成的数，它代表了一个模糊的量，其中a、b、c 分别代表该量的下限值、中心值和上限值。
通常情况下，我们可以使用一个三角形图形来表示三角模糊数，如下图所示：通过上图，我们可以更好地理解三角模糊数的概念与意义。
可以看到，三角模糊数是用三个数字表示一个模糊的量，这个量的范围在a 和c之间，但是最可能的值是b。
因此，我们可以利用三角模糊数来对一些模糊的概念进行描述，例如“高、中、低”等等。
二、三角模糊数的模糊集合与模糊熵在实际的应用中，我们通常需要将多个三角模糊数组成一个模糊集合。
这个模糊集合可以用来对一些事物的特征进行描述，例如对一份产品的质量、效益、价格等等进行描述。
而这个模糊集合的熵可以帮助我们衡量这个集合的不确定性。
通常情况下，熵越大，说明这个集合越不确定。
三、熵权法的概念及其应用接下来要介绍的是熵权法。
熵权法是一种常用的多指标综合评价方法，它的原理是利用各指标的熵值来确定各指标在综合评价中的权重。
通常情况下，熵值越大的指标在综合评价中所占的权重越小，反之亦然。
具体实现时，我们需要首先计算出各个指标的熵值，然后按照比重将各指标的熵值加权平均得到总熵。
最后，我们就可以通过各指标的熵值除以总熵来确定各指标在综合评价中所占的权重。
四、三角模糊数与熵权法的联合应用三角模糊数和熵权法是两个非常实用的数学工具，它们的联合应用可以帮助我们更好地进行决策与评估。
具体来说，在使用熵权法进行多指标综合评价的时候，我们可以将各指标的值转换成三角模糊数，然后再计算各指标的熵值以及总熵，最后通过除以总熵来确定各指标在综合评价中的权重。
三角模糊数上的完备度量及其在决策中的应用
第25卷第3期2010年6月 系 统 工 程 学 报J OURNAL OF SYSTE M S ENG I N EER INGV o.l25N o.3Jun.2010三角模糊数上的完备度量及其在决策中的应用兰 蓉1,范九伦2(1.西安电子科技大学电子工程学院,陕西西安710071;2.西安邮电学院信息与控制系,陕西西安710061)摘要:借助三参数区间数,利用三角模糊数的截集信息定义了三角模糊数之集上一个新的距离.证明了该距离具有完备性.利用这种距离,针对三角模糊数上的多属性决策问题,给出一种基于理想点的决策方法.对属性权重的归一化!处理使得这种方法具有简单易行的优点,并且克服了属性权重对决策产生双重化影响的问题.最后以实例说明该方法的有效性.关键词:三角模糊数;距离;完备性;理想点;多属性决策中图分类号:O235;C934 文献标识码:A 文章编号:1000-5781(2010)03-0313-07Co mplete m etric on tri angular fuzzy nu m bers andits application to decision maki ngLAN R ong1,FAN Jiu l u n2(1.School of E lectr onic Eng i n eeri n g,X idian Un i v ersity,X i∀an710071,Ch i n a;2.Depart m ent of I n f o r m ation and Contr o,l X i∀an Un i v ersity o f Post and Teleco mm un icati o ns,X i∀an710061,Ch i n a)A bstract:W ith the he l p of three para m eters interval num ber,a nove l distance on the set o f triangu lar fuzzy nu m bers is defined by using the i n f o r m ation o f cut of tri a ngu lar fuzzy num bers.And the co m pleteness of the proposed d istance is proved.U si n g t h e d istance,a m ethod based on techn i q ue for order pre ference by si m ilarity to i d ea l so l u ti o n(TOPSI S)is presented to deal w ith the mu lti at tr i b ute decisi o n m aki n g prob le m on triangular fuzzy numbers.By nor m alizi n g the w e i g hts of the at tr i b ute,t h e process o f dec ision m aking beco m es si m ple.And the proposed m ethod can overco m e the prob le m that the effects ofw e i g hting on the decision m ak i n g are doub led.F i n ally,a practical exa m ple is pr ov i d ed to sho w t h at the presented m ethod is effective.K ey words:triangu lar f u zzy num ber;distance;co mp leteness;i d ea l po i n;t m u lti attribute dec ision m ak i n g0 引 言在实际的决策过程中,信息与数据往往难以用确定的数字描述,而只能给出一定的取值范围.此时,如果用模糊数进行分析,可能更符合实际情况和人们的思维习惯.目前,这方面的研究已取收稿日期:2008-05-19;修订日期:2009-04-27.基金项目:陕西省教育厅科研计划资助项目(09J K720);西安邮电学院中青年科研基金资助项目(110-0412).得相当多的成果[1-2].鉴于三角模糊数(模糊数的一种特例)表述简单,便于分析使用,基于三角模糊数的决策问题的研究受到了学者们的关注[3-5].将三角模糊数应用于实际决策环境的一个关键环节是如何定义三角模糊数之间的距离,最常用的距离定义方式是基于H ausdo rff 度量[6]的定义方式.区间数可看成是一个特殊的模糊数.近年来,由区间数推广而来的三参数区间数引起了研究者的关注[7-8].尽管三角模糊数的截集是区间数,但可将其看成三参数区间数.本文借鉴文献[9]中模糊数的距离公式,借助于三参数区间数给出三角模糊数之间一种新的距离定义方式,该公式充分考虑到三角模糊数的信息并且具有完备性.基于这种新的距离公式,依据传统TOPS I S (tech n i q ue for order preference by si m ilar ity to i d ea l so l ution)方法的基本思路,针对属性值和属性权重均为三角模糊数的多属性决策问题,本文给出一种决策方法.这种方法通过对由三角模糊数所表示的属性权重进行归一化处理,使得决策过程较之文献[5]的决策方法计算量小,简便易行.1 三角模糊数上的距离及其完备性本文在实数集R 上讨论区间数、三参数区间数和三角模糊数问题.定义1 设A ~为R 上的模糊集,若A ~的隶属函数可表示为A ~(x )=0, x <ALx -ALA C -AL ,AL #x #A C x -A RA C -A R ,A C #x #A R 0, x >AR则称A ~为一个三角模糊数,记作A ~=(A L,A C,A R).将R 上全体三角模糊数所构成的集合记作TF (R ).定义2 设A ~=(A L,A C,A R),B ~=(B L,B C,B R)为两个三角模糊数,则A ~+B ~=(A L+B L,A C+B C,A R+B R)kA ~=(kA L ,k A C ,kA R),k ∃0(kA R,kA C,kA L),k <0定义3 若a =[a 1,a 2]={x |a 1#x #a 2},则称a 为一个区间数.当用区间数表示决策者判断时,有时为了覆盖整个取值范围,区间可能会取得过大,造成决策的不确定性程度增大.为此,文献[7]提出了三参数区间数的概念.文献[8]探讨了用三参数区间数进行决策的问题.三参数区间数在保持区间取值范围的同时,突出了取值可能性最大的重心点,在一定程度上弥补了区间数的不足.定义4 若a =[a l,a c,a r],其中a l#a c#a r,则称a 为一个三参数区间数.三角模糊数和三参数区间数之间存在着密切的关系.设A ~=(A L,A C,A R )为三角模糊数,则 %[0,1],在A ~的 -截集中添加第三个参数A C后得到三参数区间数A =[A l,A c,A r],其中A l=A L+ (A C-A L),A c=A C,A r=A R+ (A C-A R).因此,本文借鉴文献[9]定义的模糊数上的积分型距离,给出一种新的三角模糊数上的距离.定义5 设A ~,B ~%TF (R ), %[0,1],A =[A l ,A c ,A r ],B =[B l ,B c ,B r]为相应的 -截集.定义映射d &∋TF (R )(TF (R ) R 为d &(A ~,B ~)=)1d (A,B)d (1)其中d (A ,B )= 1|A l-B l|+ 2|A c-B c|+ 3|A r-B r |参数a 1>0, 2>0, 3>0.通常可要求 1+ 2+ 3=1.由连续函数积分的基本性质以及三角不等式可得定理1.定理1 (TF (R ),d &)是度量空间.在式(1)中,参数 1, 2, 3满足条件 1>0, 2>0, 3>0,它们可以看作权重值.若 1+ 2+ 3=1,则 1, 2, 3可被视为归一化权重.下面以常见的归一化权重为前提,给出一个特殊的表达式.通常认为三角模糊数中左,右端点应具有相同的功效,即 1= 3= (0< <1),由 1+ 2+ 3=1可知 2=1-2,故可得∗314∗系 统 工 程 学 报 第25卷d &(A ~,B ~)=)1( |A l -B l|+(1-2 )+|A c-B c|+ |A r-B r|)d (2)在式(2)中,参数 的不同取值,即三角模糊数左,右端点与隶属度最大的点的重要性程度不同时,可得到一些更具体的表述.将左,右端点以及隶属度最大的点同等看待,即 =13,则有d &1(A ~,B ~)=13)1(|A l -B l |+|A c -B c|+|A r-B r|)d(3)在具体应用时,使用者可根据实际情况对参数进行选取,得到合适的计算公式.定理2 度量空间(TF (R ),d &)是完备的.证明 要证明(TF (R ),d &)是完备的度量空间,只需证明TF (R )中的柯西(Cauchy )序列是收敛的即可.设{A ~n |n %N ,n ∃1} TF (R )为柯西序列,下面证明该序列是收敛的.由序列{A ~n |n %N ,n ∃1} TF (R )为柯西序列可知, >0,!N %N ,使得n,m >N 时,有d &(A ~n ,A ~m )< ,故可得)1|A l n -A l m |d <1 1 )1|A c n-A c m|d <12)1|A r n-A r m|d <13由|)1A l n-A l m )d |#)10|A ln-A lm |d 可知|(A L n-A L m)+(A C n-A Cm )2|<11 (4)由)10(A c n -A c m )d =A C n -A Cm 可得|A C n -A C m |<12(5)类似可得|(A Rn-A R m)+(A C n-A C m)2|<13 (6)由|A Ln -A Lm |#|(A Ln -A Lm )+A Cn -A Cm )|+|A Cn-A C m|可得|A L n -A L m |<(2 1+1 2) (7)同理可得|A R n -A R m |<(1 2+23)(8)依据实数集的完备性,由式(7)、式(5)和式(8)可知,实数列{A Ln |n %N ,n ∃1},{A Cn |n %N ,n ∃1},{A Rn |n %N ,n ∃1}均为柯西序列,故均为收敛数列.令li m n ,A Ln =A L,li m n ,A Cn =A C,li m n ,A Rn =A R可得一个三角模糊数A ~=(A L ,A C ,A R).下面证明{A ~n |n %N ,n ∃1}的极限为A ~=(A L,A C,A R).>0,由li m n ,A Ln =A L可知,!N 1%N ,使得n >N 1时有|A Ln -A L |< ;由li m n ,A Cn =A C 可知,!N 2%N ,使得n >N 2时有|A Cn -A C |< ;由li m n ,A Rn =A R可知,!N 3%N ,使得n >N 3时有|A Rn -A R|<.取N =m ax {N 1,N 2,N 3},当n >N 时,有 1)1|Al n -A l|d # 1)1|A L n -A L|d +1)1|(A Cn-A C)-(A Ln -A L)|d= 1|A L n -A L |+ 12|(A C n -A C )-(A L n -A L )| # 1|A L n -A L |+ 12|A C n -A C|+12|A L n -A L |<(3 12+ 12)=2 1 同理可得3)1|A rn -A r|d <2 3又2)1|A cn -A c|d < 2 故可知d &(A ~n ,A ~)<(2 1+ 2+2 3)∗315∗第3期 兰 蓉等:三角模糊数上的完备度量及其在决策中的应用由 的任意性可知,li m n ,A ~n =A ~,故(TF (R ),d &)是完备的.证毕.2 基于三角模糊数距离的TOPSIS 多属性决策由于模糊数在描述不确定信息方面更符合人们的思维和实际,模糊数,尤其是三角模糊数,在决策领域的应用受到学者们的普遍关注,并取得了大量的研究成果[3-5].本文针对属性值与属性权重均由三角模糊数表示的多属性决策问题,给出基于理想点的决策方法.令A ={A 1,A 2,−,A m }为备选方案集,C ={C 1,C 2,−,C n }为属性集(或指标集).假设备选方案A i (1#i #m )在各属性的特性由三角模糊数来描述A i ={A ~ij |1#j #n},1#i #m其中A ~ij =(A Lij ,A Cij ,A Rij ).另外,由于客观事物的复杂性和人类思维的模糊性,属性的权重也以三角模糊数的形式给出.设W =(W ~1,W ~2,−,W ~n )为属性权重向量,其中W ~j =(W L j ,W C j ,W Rj )(1#j #n)为属性C j 的权重.针对此决策问题,本文给出基于三角模糊数的TOPSIS 决策方法如下.首先得到决策矩阵D =(A ~ij )m (n ,其中A ~ij =(A Lij ,A Cij ,A Rij ),1#i #m,1#j #n;对D =(A ~ij )m (n 进行规范化处理[5]得到规范化决策矩阵R =(R ~ij )m (n ,其中R ~ij =(R Lij ,R Cij ,R Rij ),1#i #m,1#j #n.确定三角模糊数多属性决策问题的正、负理想点分别为E +={E ~j |1#j #n}={(m ax 1#i #m R Lij ,m ax 1#i #m R Cij ,m ax 1#i #m R Rij )|1#j #n}F -={F ~j |1#j #n }={(m in 1#i #m R Lij,m in 1#i #m R C ij,m in 1#i #m R R ij)|1#j #n}其次,对属性权重进行 归一化!处理.具体过程分2步进行.1)采用 均值面积法[2]!对W ~j =(W L j ,W Cj ,W Rj )(1#j #n )进行解模糊处理,即w &j ∀W Lj +2W Cj +W R j4,1#j #n (9)得到W &=(w &1,w &2,−,w &n );2)对W &=(w &1,w &2,−,w &n )进行 归一化!,即w j =w &j.n i=1w &i ,1#j #n(10)从而得到归一化属性权重向量W N=(w 1,w 2,−,w n )再次,方案A i (1#i #m )与正理想点E +的距离为D+i=.nj=1w j d &(A ~ij ,E ~j );与负理想点F -的距离为D -i=.n j=1w jd &(A ~ij,F ~j).最后依据相对贴近度S i =D -i(D +i +D -i )的大小进行排序,使S i 的值最大的A i 为最优方案.3 实例分析考核选拔干部是一个多因素的决策问题,决策者一方面要把德才优秀的人才选拔到领导岗位;另一方面,也希望在条件相当的情况下任用自己所偏爱的人才.某单位在对干部进行考核选拔时,首先制定了6项考核指标(即决策属性):思想品德(u 1)、工作态度(u 2)、工作作风(u 3)、文化水平和知识结构(u 4)、领导能力(u 5)和开拓能力(u 6),然后由群众推荐、评议,对各项指标分别打分,再进行统计处理,并从中确定了5名候选人:A 1,A 2,A 3,A 4和A 5.由于群众对同一候选人所给出的指标值(属性值)并不完全相同,因此经过统计处理后的每个候选人在各指标(属性)下的属性值是以三角模糊数形式给出的,具体的属性值如表1所示[5].∗316∗系 统 工 程 学 报 第25卷表1 各方案的属性值Tab le1Th e attr i bu te val u es of a lternati ves属性方案A1A2A3A4A5u1(0.80,0.85,0.90)(0.90,0.95,1.00)(0.88,0.91,0.95)(0.85,0.87,0.90)(0.86,0.89,0.95)u2(0.90,0.92,0.95)(0.89,0.90,0.93)(0.84,0.86,0.90)(0.91,0.93,0.95)(0.90,0.92,0.95)u3(0.91,0.94,0.95)(0.90,0.92,0.95)(0.91,0.94,0.97)(0.85,0.88,0.90)(0.90,0.95,0.97)u4(0.93,0.96,0.99)(0.90,0.92,0.95)(0.91,0.94,0.96)(0.86,0.89,0.93)(0.91,0.93,0.95)u5(0.90,0.91,0.92)(0.94,0.97,0.98)(0.86,0.89,0.93)(0.87,0.90,0.94)(0.90,0.92,0.96)u6(0.95,0.97,0.99)(0.90,0.93,0.95)(0.91,0.92,0.94)(0.92,0.93,0.96)(0.85,0.87,0.90) 假设决策者给出的各属性权重均由三角模糊数来刻画,即,属性权重向量为W=((0#10,0#15,0#20),(0#05,0#10,0#15),(0#20,0#25,0#30),(0#05,0#10,0#15)(0#15,0#20,0#25),(0#10,0#15,0#20))试用本文的方法对5名候选人进行排序.对表1的决策矩阵D进行规范化处理,得到规范化决策矩阵R.R=(0#17,0#19,0#21)(0#19,0#20,0#21)(0#19,0#20,0#21)(0#19,0#21,0#22)(0#19,0#20,0#21)(0#20,0#21,0#22) (0#19,0#21,0#23)(0#19,0#20,0#21)(0#19,0#20,0#21)(0#19,0#20,0#21)(0#20,0#21,0#22)(0#19,0#20,0#21) (0#19,0#20,0#22)(0#18,0#19,0#20)(0#19,0#20,0#22)(0#19,0#20,0#21)(0#18,0#19,0#21)(0#19,0#20,0#21) (0#18,0#19,0#21)(0#19,0#21,0#21)(0#18,0#19,0#20)(0#18,0#19,0#21)(0#18,0#20,0#21)(0#19,0#20,0#21) (0#18,0#20,0#22)(0#19,0#20,0#21)(0#19,0#20,0#22)(0#19,0#20,0#21)(0#19,0#20,0#21)(0#18,0#19,0#20)由R确定正、负理想点E+={(0#19,0#21,0#23)(0#19,0#21,0#21)(0#19,0#20,0#22)(0#19,0#21,0#22)(0#20,0#21,0#22)(0#20,0#21,0#22)} F-={(0#17,0#19,0#21)(0#18,0#19,0#20)(0#18,0#19,0#20)(0#18,0#19,0#21)(0#18,0#19,0#21)(0#18,0#19,0#20)}利用式(9)和式(10)得归一化!权重W N=(0#158,0#105,0#263,0#105,0#211,0#158)设决策者将三角模糊数的左、右端点以及隶属度最大的点同等看待,即d&采用式(3)计算.各方案的相对贴近度见表2,从而候选人的排序为A4∃A3∃A5∃A1∃A2,故A2为最优候选人.结果分析 使用文献[5]的决策方法对本节实例进行决策,各方案的相对贴近度见表2,可知候选人排序为A4∃A1∃A3∃A5∃A2,故A2为最优候选人.从选择最佳候选人的角度来看,本文的方法与文献[5]的方法所得结果一致;若从方案排序的角度来看,本文的方法与文献[5]的方法主要分歧在于对候选人A1的评价上.下面对产生这种分歧的原因进行分析与探讨,进而比较两种决策方法的优缺点.将本文的方法与文献[5]的方法对比,其差别主要体现在:1)采用的三角模糊数之间的距离公式不同;2)对属性权重的处理不同.文献[5]的方法采用先加权,后处理的过程进行决策,这使得文献[5]的方法与传统的TOPS IS方法同样面临着属性权重对决策产生双重化影响的问题[10].而本文的方法采用先处理,后加权的过程进行决策,能够有效地避免这种问题.为了明确产生分歧的原因,从距离和权重处理这两个方面进行分析,具体如下.在文献[5]的方法中也使用本文的距离公式(式(3))计算三角模糊数之间的距离.换句话说,本文的决策过程与文献[5]的方法相同,但计算各方案到理想点的距离由下式给出d+i(A i,t+)=.n i=1(d+ij)2d-i(A i,f-)=.n i=1(d-ij)2其中d+ij=d&(R~wij,(tLj,tCj,tRj))d-ij=d&(R~wij,(fLj,fCj,fRj))且∗317∗第3期 兰 蓉等:三角模糊数上的完备度量及其在决策中的应用t +={(t Lj ,t Cj ,t Rj )|1#j #n }和f -={(f Lj ,f Cj ,f Rj )|1#j #n }分别为正,负理想点[5];R w =(R ~wij)m (n 为加权规范化决策矩阵[5].以下称该方法为决策方法1.另外,若在文[5]的方法中对权重进行 归一化!处理,其它步骤与文献[5]的方法一致,可得到决策方法2,即,先求出归一化权重向量W N=(w 1,w 2,−,w n ),进而得到R w =(w j R ~ij )m (n .由此确定正、负理想点t +={t ~j |1#j #n }={w j E ~j |1#j #n }f -={f ~j |1#j #n }={w j F ~j |1#j #n }以上两式表明理想点可直接由规范化决策矩阵R 得到,而不需要对R 进行加权处理.各方案到理想方案的距离分别为d +i(A i ,t +)=.nj=1(d +ij)2=.nj=1(w j d +ij )2d -i (A i ,f -)=.nj=1(d -ij )2=.nj=1(w j d -ij )2其中d +ij=d (R ~ij ,E ~j )和d -ij=d (R ~ij ,F ~j )按文献[5]中三角模糊数之间的距离公式计算.紧接着,在本文的方法中放弃对属性权重的 归一化!处理,直接使用三角模糊数型权重向量,得到决策方法3.首先按文献[5]中的方法求出R w =(R ~wij )m (n ,并确定正、负理想点.由于针对加权规范化决策矩阵进行处理,各方案与理想点之间的距离按dis &(A,B )=.nj=1d &(A ~j,B~j)计算,其中A ={A ~j |1#j #n },B ={B ~j |1#j #n }.下面分别采用决策方法1,决策方法2和决策方法3对本节实例进行分析.鉴于篇幅有限,只将这些方法所得各方案的相对贴近度/列于表2.由表2可知决策方法1所得相对贴近度排序为S 4∃S 3∃S 5∃S 1∃S 2.这与本文的方法的排序结果一致;决策方法2所得相对贴近度排序为S 4∃S 1∃S 3∃S 5∃S 2.这与文献[5]的方法的排序结果一致;决策方法3所得相对贴近度排序为S 4∃S 3∃S 5∃S 1∃S 2.这与本文的方法的排序结果一致.表2 各方案的相对贴近度(采用式(3)计算距离)Tab le 2 Th e rel ative cl osen es s of alternati ves (calcu lating d istan ce by (3))相对贴近度方案A 1A 2A 3A 4A 5S i (本文的方法)0.617570.785560.439630.298390.49722S i (文献[5]的方法)0.511120.632780.549480.302680.55861S i (决策方法1)0.556340.743810.457680.334210.49046S i (决策方法2)0.524400.648110.546910.320340.58107S i (决策方法3)0.612570.774870.434550.293190.49215上述结果在一定程度上反映出本文的方法与文献[5]的方法产生分歧的主要原因是两种方法采用不同的公式计算三角模糊数的距离,而与是否采用权重的 归一化!处理没有直接关系.分别使用这两种方法针对本节实例进行决策时,对于权重的 归一化!处理不会引起评价结果的改变.比较本文的方法与文献[5]的方法,可以看到本文的方法由于对三角模糊数型权重进行了 归一化!处理,使得具体的计算过程得到一定程度的简化,且没有影响排序结果.与文献[5]中三角模糊数之间的距离公式比较,本文方法中使用的积分型距离公式在计算上较为复杂,但却充分地利用了三角模糊数的截集信息.文献[5]的方法采用的三角模糊数之间的距离公式相对简洁,但是由于直接使用三角模糊数型权重,使得计算过程相对复杂.如果在文献[5]的方法中采用权重的 归一化!处理方法(即决策方法2),可以有效地克服这一不足.∗318∗系 统 工 程 学 报 第25卷/在决策方法1和决策方法3中,d &采用式(3).需要指出,在上述计算中,是将三角模糊数左,右端点以及隶属度最大的点同等看待的(即使用式(3)).若更看重左,右端点,或更看重隶属度最大的点,如取 =25或 =14进行以上分析时,可得到与式(3)相同的结果.4 结束语在实际应用中,如何定义三角模糊数上的距离是一个关键问题.文献[5]中的公式只用到了三角模糊数的底层(即支撑集)信息.而本文借助于三参数区间数给出三角模糊数上的积分型距离,能够充分考虑三角模糊数的整体信息.针对属性值与属性权重均为三角模糊数的多属性决策问题,本文给出基于TOPS IS 的决策方法.通过对三角模糊数型属性权重的 归一化!处理,与文献[5]中直接使用三角模糊数型权重的方法相比,本文的方法在计算上更加简单.参考文献:[1]Hw ang C L,Y oon K.M ultiple A ttri bute D ec i s i on M ak i ng :M ethods and A ppli cations [M ].N ew Y ork :Spri ngerV erlag ,1981.[2]李登峰.模糊多目标多人决策与对策[M ].北京:国防工业出版社,2003.L iD eng feng .Fuzzy M u lti objecti ve M any P erson Dec isi on M ak i ngs and G a m es [M ].Be ijing :N ati ona l D efence IndustryP ress ,2003.(i n Ch i nese)[3]陈业华,邱菀华.群决策群体意见的一致性模糊分析[J].系统工程学报,2007,22(5):492-497.Chen Y ehua ,Q i u W anhua .Compati b ility fuzzy analysis on g roup dec i s i on m ak i ng [J].Journa l o f Syste m s Eng i neer i ng ,2007,22(5):492-497.(i n Ch i 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其中 a ˉ i × = 1 å aij a ˉ ×j = 1 å aij a ˉ × × = 12 å å aij . n j=1 n i=1 n i=1 j=1 第三步： 求 B 的特征根 λ1 ³ λ 2 ³ × × × ³ λ n , 若无负特征 根， 表明 B ³ 0 ， 从而 D 是欧氏型的;若有负特征根, D 一 定不是欧氏型的。依据 λ + × × × +λk φ= 1 ³φ | λ1 | + × × × +| λn | 0 来确定最小的 k 值,但必要求 λ1 ³ × × × ³ λ k > 0 ,其中 φ0 为预先给定的阈值 （即变差贡献比例） 。 ̂ 第四步： 令 X = x(1) × × × x(k) ， 则 X̂ 的 行 向 量
n
n
n
n
bm ( λ) bu ( λ)] 为
[
] [
]
12
(al - bl )2 + (a m - bm)2 + (au - bu)2 ρ 2 (a͂ b͂ ) = ; 3 S (a͂ b͂ ) = 1 |al - bl | + |a m - bm| + |au - bu| 。 容 易 验 证 ρ1 和 3 ρ 2 都是距离, S 是相似度. 显然 S (a͂ b͂ ) 越大, 则 a͂ b͂ 相似 程度越大. 特别地, 当 S (a͂ b͂ ) = 1 时， 有 a͂ = b͂ , 即三角模糊
理论新探
三角模糊数多维标度分析及其应用
张菊花,魏立力
(宁夏大学 数学计算机学院,银川 750021) 摘 要： 多维标度法(MDS)是一种利用客体间的相似性去揭示其空间关系的统计分析方法。文章将经典的 MDS 扩展到了数据为三角模糊数的情形. 首先对多维标度理论、 三角模糊数的理论进行了概括; 其次依据三角 模糊数的两个距离和一个相似度, 构建了模糊数多维标度分析模型; 最后, 利用所得方法对我国中部省份计算 机拥有率、 计算机的联网率进行了分析。 关键词： 多维标度; 三角模糊数; 三角模糊数的距离; 距离阵 中图分类号： O212.4 文献标识码： A 文章编号： 1002-6487 （2014） 18-0028-04
在有些问题中,已知的是 n 个样品之间的相似系数 矩阵 C , 而不是距离阵 D . 定义 3 一个 n ´ n 阶矩阵 C = (cij ) 称为相似系数阵,如
[2]
果满足如下两个条件：
(1) C ′ = C (2) Cij £ Cii i j = 1 × × × n.
其中 Cij 称为第 i 个点与第 j 个点间的相似系数。 由于相似系数和距离之间有一定的联系,我们可以从 相 似 阵 C 来 产 生 一 个 距 离 阵 D = (dij ) , 其 中
统计与决策２０1 4 年第 18 期·总第 414 期
个精确实数。 定 义 5 ( 三 角 模 糊 数 的 运 算) 设 有 两 个 三 角 模 糊 数 a͂ = [al a m au] b͂ = [bl bm bu] ,和一个实数 λ 。定义如下运 算：
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理论新探
æ 0 ö ç ÷ 0 ç 0.127 ÷ ç ÷ 0 ç 0.160 0.035 ÷ R2 = ç ÷ 0 0 ç 0.160 0.035 ÷ ç ÷ 0 ç 0.214 0.087 0.054 0.054 ÷ ç ÷ 0 ç 0.221 0.097 0.062 0.062 0.020 ÷ è 0.262 0.138 0.104 0.104 0.053 0.043 0 ø æ 1 ö ç 0.87 ÷ 1 ç ÷ ç ÷ 1 ç 0.84 0.97 ÷ R3 = ç ÷ 1 1 ç 0.84 0.79 ÷ ç ÷ 1 ç 0.79 0.91 0.95 0.95 ÷ ç ÷ 1 ç 0.78 0.91 0.94 0.94 0.99 ÷ è 0.74 0.87 0.90 0.90 0.95 0.96 1 ø 下面对中部省份电子政务的基础设施状况的三角模
理论新探
求古典解的步骤: 第一步： 由距离阵 D = (dij ) 构造
2 A = (aij ) = (- 1 2 d ij ) ;
Байду номын сангаас
加法运算: a͂ + b͂ = [al + bl a m + bm au + bu] ; 乘法运算: a͂ b͂ = [al bl a m bm au bu] ; 数乘运算: λa͂ = [ λal λa m λau] 。 上述运算实际上是由模糊集的扩张原理得到的。 下面我们考虑两个常见的三角模糊数的距离和一个 相似度。 设 a͂ = [al ( λ) a m ( λ) au ( λ)] b͂ = [bl ( λ) 任意两个三角模糊数。定义
D 是欧氏的从而存在构图, 但如果构图点 xi 的维数太高，
其中 dij 称为第 i 个点与第 j 个点间的距离. 有了一个距离阵 D = (dij ) , 多维标度法的目的就是要 确定 k 并且在 k 维空间 Rk 中求 n 个点 x1 × × × x n , 使得这
n 个点的欧氏距离与距离阵中的相应值在某种意义下尽
仍然不实用， 因为失去了直观意义而不便解释。这时一般 不求构图 X 而求低维的拟合构图 X̂ 。所以在上述两种 情形下都需要寻求拟合构图。 在定理 1 中, 由获得 X 的途径式给我们一个启示, 可 仿造这个途径来给出距离阵的拟合构造点, 基于这种思想 得到的拟合构造点称为多维标度法的古典解。下面给出
设按某种要求求得的 n 个点为 x1 × × × x n , 并写成矩 0 引言 多维标度分析, 又称多维量表法, 是多元分析技术的 新分支, 是主成分分析和因素分析的一个自然延伸, 它是 检验观察数据是否能反映研究者提出的结构关系的一种 理想方法。这一方法将高维空间中点际之间距离压缩到 低维空间, 并以图形的形式直观呈现研究变量之间的相似 性或差异性关系, 达到简化数据、 揭示数据潜在规律的目 的。 本文在多维标度分析法的基础上将普通的多维标度 分析扩展到三角模糊数多维标度分析。并依据给出的三 角模糊数距离和相似度用三角模糊数多维标度法对中部 地区电子政务基础设施状况进行分析, 通过空间感知图来 揭示各个省份电子政务基础设施状况的空间关系。 1 多维标度的相关概念 我们这里研究的距离不限于通常的欧氏距离. 首先对 距离的意义加以拓广, 给出如下的距离阵定义[1, 2]。 定义 1 一个 n ´ n 阶矩阵 D = (dij ) 称为距离阵, 如果满 足如下两个条件:
(1) D′ = D (2) dij ³ 0 dii = 0 "i j = 1 × × × n.
阵形式 X = ( x1 × × × x n ) . 则称 X 为 D 的一个多维标度解.
′
在多维标度法中, 形象的称 X 为距离阵 D 的一个拟合构 图, 由这 n 个点之间的欧氏距离构成的距离阵称为 D 的 拟合距离阵。所谓拟合构图, 其意义是有了这 n 个点的坐 ̑̂ 和原始 标, 可以在 Rk 中画出图来, 使得它们的距离阵 D 的 n 个客体的距离阵 D 接近, 并可以给出原始 n 个客体 ̂̑ = D , 则称 X 为 关系一个有意义的解释。特别地, 如果 D
3 三角模糊数多维标度模型及实例分析 下面我们依据古典多维标度的思想, 以文献[5]中的中 部省份电子政务的基础设施状况(计算机拥有率, 计算机 的联网率)为例, 利用上述定义的三角模糊数距离和相似 度, 基于多维标度法的思想用 SPSS 软件进行分析。 对中部省份电子政务的基础设施状况的评价以程度 语言构建评语集, 并将评语集转化为三角模糊数(见表 1), 然后集结各位专家的评价值(见表 2)。 由上面给出的距离知中部省份电子政务的基础设施 状况的三角模糊数的距离阵和相似距离阵为: æ 0 ö ç ÷ 0 ç 0.296 ÷ ç 0.358 0.066 ÷ 0 ç ÷ R1 = ç ÷ 0 0 ç 0.358 0.066 ÷ ç ÷ 0 ç 0.492 0.197 0.136 0.136 ÷ ç ÷ 0.484 0.194 0.128 0.128 0.045 0 ç ÷ è 0.591 0.298 0.234 0.234 0.104 0.110 0 ø
量接近。在实际中, 为了使求得的结果易于解释, 通常取
k = 1 2 3 。
作者简介： 张菊花(1988-)， 女， 宁夏人， 硕士研究生， 研究方向： 多元统计分析。 魏立力 （通讯作者） （1965-） ， 男， 甘肃人， 博士， 教授， 研究方向： 人力智能与统计。 28
统计与决策２０1 4 年第 18 期·总第 414 期
D 的一个构图。
定义 2 一个距离阵 D = (dij ) 称作欧氏型的， 若存在某 个正整数 p 及 p 维空间的 n 个点 x1 × × × x n ， 使得
2 dij = ( xi - x j )′ ( xi - x j ) i j = 1 × × × n. ′ B = HAH H = I n - 1 n1 n1 n 2 A = (aij ) aij = - 1 2 d ij
2 2 l m l m l u l u l l 2ù ê (a - a ) - (b - b ) + (a - a ) - (b - b ) + (a - b ) ú ρ1(a͂ b͂ ) = é ; ë û
第二步： 令 B = (bij ) ,使
bij = aij - a ˉi × - a ˉ ×j - a ˉ× × ;
μ a͂ ( x) 为: ì0 x < al ; ï l - a al £ x £ a m ; ï ïx ï a m - al μ a͂ ( x) = í u ï a - x a m £ x £ au ; ï au - a m ï ï x > au î0 则 称 a͂ 为 三 角 模 糊 数, 记 作 a͂ = (al a m au) . 其 中 al a m au 是实数, 且 al £ a m £ au .当 al = a m = au 时, a͂ 为一