含有三角模糊数的模糊线性规划问题的求解方法
第２ ７卷第 ４期 ， ２ ０ １ ３年 １ ２月
Ｊ ｏ ｕ ｎａ ｒ ｌ ｏ ， ｆ Ｈｅ ｂ ｅ ｉ Ｎ ｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ＆ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ Ｖｏ １ ． ２ ７ Ｎ ｏ ． ４ Ｄｅ ｃ ．２ ０ １ ３
三 角模糊 数 的排序 ：
定理 ２ ［ 设三角模糊数 ＝（ ０ ， 口 。 ， ｆ ｔ ） ， ＝（ ｂ ， ０ 。 ， ｂ ） ， 则
（ １ ）口 ￡ ＋ ２ 口 ｃ ＋ａ Ｒ ≥６ Ｌ ＋ ２ ６ ｃ ＋ｂ Ｒ ＞甘 ≥
（ ２ ）ａ ＋ ２ 口 ＋ａ Ｒ ≤６ ＋ ２ ６ ｃ ＋ｂ Ｒ ＞铮 ≤ｂ ｏ
ｌ一
（ ３ ）
ｏ ． 高 ＞ ＋
其中 （ ｉ ＝ １ ， ２ ， …， ｍ ） 为事先给定的非负模糊弹性指标 。
步骤 ２ ： 将 目标 函数 明确化
由定理 ２ 可得 目 标 函数 的等价形式为
ｍ ａｘ ＝
寺 （ ， ＋ ２ ＋ 磊 ）
（ ４ ）
为了求得 目 标 函数 的最优解 ， 还应给出 的取值范围， 将目 标值模糊化 ， 取Ｚ ０ ＜ ＝ ＜ Ｚ Ｏ ＋ ｄ ｏ ， 取 ⅣＥ Ｆ
关键词 ： 三角模糊数 ； 模糊线性 规划 ； 模糊约束
中图分类号 ： ０ １ ５ ９ ； ０ ２ ２ １ ． １
最优化问题是考虑在某些“ 约束条件” 之下求某个“ 目标函数” 的最大或最小值问题。在经典规划 问题中， 目 标 函数和约束条件都是明确的。然而在许多实际问题中， 无论是 目标函数还是约束条件在某 种条件下都可能具有某种程度上 的模糊性 。朱章遐等…和李孝忠等＿ ２ 以三角模糊数为基础研究 了具
具体 的算例 。
１ 预 备知 识
，
．
定义 １ ’ 设 ∈ Ｒ ） ， 若 的隶属度函数满足
口 ≤ ≤ 口Ｇ
Ｃ
Ｕ 一
， Ｌ ’
¨ （ ）＝ Fra bibliotekＲ ＿ 二 睾， Ｃ ’ 口 ” 。 ＜ 、 ≤ 口
¨ 一 ¨
０ ， 其 他
称 为 Ｒ上的三角模糊数 ， 简记为 ＝ （ ｏ ， １ ７ ， 。 ， ｎ ） 。
Ｄ Ｏ／ ： １ ０． ３ ９ ６ ９ ／ Ｊ ． Ｉ Ｓ Ｓ Ｎ． １ ６ ７ ２ ． ７ ９ ８ ３ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ４ ． ０ ０ ７
含 有 三 角 模 糊 数 的模 糊 线 性 规 划 问题 的 求 解 方 法
付云鹏 ， 郭云峰 ， 祝 国君
（ １辽 宁大学信 息学院 ， 辽宁 沈 阳， １ １ ０ ０ ３ ６ ； ２沈 阳大学经济学院 ）
有模糊变量和模糊系数的线性规划模型。张叶芳等 和闫立梅 研究 了系数为梯形模糊数的线性规 划问题。高淑萍等 ５ 将约束条件中含有三角模糊数的线性规划问题转化为传统的线性规划问题来求
解 。赵海 坤等 在提 出一 种新 的模 糊数 排 序 准则 的基 础上 研 究 了 目标 函数 和 约 束条 件 中都含 有 三 角 模糊 数 的线性 规划 问 题 ， 并 进 行 了求 解 。李 孝 忠 讨 论 了变 量 模 糊 的 广义 模 糊 线 性 规 划 问 题 。闫 立
ｍ ａｘ
ｓ ． ｔ ． Ｘ ｘ≤ 。 ≥０
（ ２ ）
为带有 “ 伸 缩性 ” 的模糊 线 性规划 问题 ， 简 称为 模糊 线 性规 划 问题 。其 中“ ” 表示 某 种 弹性 约束 ， 可 理 解 为 近 似小 于等于 ” 。
面给 出问题 （ ２ ） 的求 解 步骤 。
步骤 ｌ ： 将 模糊 约束 化 为 明确 约束
令 Ｘ＝｛ 戈ｌ ∈ Ｒ ， ｘ ＞ － Ｏ ｝ ， 将 ｍ个“ ” 约束改成 ｍ个模糊集 Ｍｉ ∈ Ｆ （ Ｘ ） ， （ ｉ ＝ ｌ ， ２ ， …， ｍ ） ，
（ ｎ 口 ）
１ ． ＿ 『 耋 ≤ 砉 － ≤ ， ＜ 耋 ≤ ＋ ， （ ＝ １ ， ２ ， … ， ｍ ） ｄ ｉ
梅＿ ８ 在总结一系列模糊规划和经典规问题 的基础上 ， 给出了系数为梯形模糊数的可能性线性规划的求 解方法。笔者在上述工作的基础上 ， 给出一种新的模糊规划问题 ， 该问题不仅含有模糊系数和模糊约束
条件 ， 并且约束条件还带有“ 伸缩性” 的模糊线性规划问题 ， 然后讨论该 问题的求解方法 ； 最后给出一个
收稿 日期 ： ２ ０ １ ３ — ０ ９ — ２ ４ ；修改稿收到 日期 ： ２ ０ ｔ ３ — １ ０ — ０ ７
河北科技师范学院学报
２ ７卷
２ 系数 和 约 束 条 件 中带 有 三 角模 糊 数 的模 糊 线性 规 划 问题
定义 ２ 设 ＝（ ， ， …， ） ， ＝（ ） … ， ， （ ｉ ＝１ ， ２ ， …， 凡 ； ． 『 ＝１ ， ２ ， …， ｍ） 为三 角模 糊 常 数， （ ｉ ＝１ ， ２ ， …， ｎ ） 为清 晰数 ， 则称 下列 问题
三角模糊数的运算规则 ：
定理 １ 设三角模糊数 ＝（ ｏ ， 。 。 ， 口 ） ， ＝（ ｂ ， ６ ＿ 。 ， ｂ Ｒ ） ， ｋ 为正实数 ， 则有
＋ ＝ （ 口 Ｌ ＋ ６ ￡ ， 口 ｃ ＋ ｂ ｃ ， 口 ＋ ｂ Ｒ ） ； ｋ・ ＝ （ ｋ ａ ￡ ， ｋ ａ ｃ ， ｋ ａ Ｒ ） 。
摘要 ： 提 出了一种含有三角模糊数 的模糊线性规划 问题 ， 给 出了该 问题 的求解 方法 ， 最 后应 用一个具体 的实
例来说 明该方法 的实 际应用 。 ， 文献标志码 ： Ａ 文章编号 ： １ ６ ７ ２ － ７ ９ ８ ３ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ４ － ０ ０ ３ ７ ． ０ ４
三角模糊数的犹豫模糊多属性决策方法
摘要：犹豫模糊数是一种常用的模糊数，它将模糊数中模糊的程度量化为悔恨度，并且可以描述决策者的不确定性和矛盾情况。
本文介绍了三角模糊数的定义和特性，并详细阐述了三角模糊数在多属性决策中的应用。
同时，本文还探讨了犹豫模糊数在多属性决策中的应用，并介绍了基于犹豫模糊数的决策方法。
最后，本文还对该方法的优点与不足进行了分析与总结。
关键词：三角模糊数；犹豫模糊数；多属性决策；决策方法一、绪论多属性决策是一种涉及到多个因素的决策方法，既要关注每一个因素的权重，也要注意它们之间的联系和影响。
在实际应用中，很多决策问题都是模糊不确定的，因此需要用到模糊数进行描述。
犹豫模糊数是一种常用的模糊数，它不仅考虑了每个因素的模糊程度，还量化了决策者的犹豫程度，能够更贴近实际应用中的情况。
本文将介绍三角模糊数的定义与特性，以及犹豫模糊数在多属性决策中的应用和决策方法。
二、三角模糊数的定义与特性三角模糊数是一种常用的模糊数，它是指在[,]上所有值等可能的模糊数，记为(,,)。
三角模糊数可以用于表示模糊化的决策信息，其中̃，̃和̃表示决策信息的下限、中心值和上限。
三角模糊数通过组合下限、中心值和上限来描述决策者对一个变量的模糊程度。
三角模糊数的特性有以下几个方面：( 1)非负性：三角模糊数的下限、中心值和上限都应该是非负数，即̃,,̃≥0。
( 2)归一性：三角模糊数的下限、中心值和上限之和应该等于1，即̃++=1。
( 3)具有对称性：对于任意的三角模糊数(,,)，其对称三角模糊数为(,,)。
三角模糊数的定义与特性为犹豫模糊数的研究提供了基础，犹豫模糊数可以视为是三角模糊数的扩展。
接下来将介绍犹豫模糊数在多属性决策中的应用。
三、犹豫模糊数在多属性决策中的应用犹豫模糊数是一种将模糊程度和犹豫程度两者结合起来的模糊数。
它可以用于描述决策者的不确定性和矛盾情况，更贴近实际应用中的情况。
在多属性决策中，犹豫模糊数可以用于对决策变量进行建模，例如对于风险评估问题，可以使用犹豫模糊数对不同方案的风险程度进行度量。
对方案有偏好的三角模糊数型多属性决策方法
ｔｅ ｓ ｂｉ ｅ ｂｅｔ ｅｌ ｅｒ ｒｇａ ｍ ｎ ｏ ｅ， ｎ ａｃｌｔ ｅｇｔ ｅｔ ｆ ｔ ｂ ｔ ｙｕｉｇｔｅＬｎ ｈ ｎｅｔ ｌ ｈｓｏｊ ｉ ｎａ ｏｒｍ ｉｇｍ ｄｌ ａｄｃｌ ａ ｓ ｉ ｃｏ ｏ ｔ ｕｅ ｂ ｓ ｉ— ａ ｓ ｃｖ ｉ ｐ ｕ ｅ ｗ ｈ ｖ ｒ ａｒ ｉ ｓ ｎ ｈ
ｆｒｔ ｏ ｒ ｍ ｅｅ ｅ ｃ ０ ｈｅ Ｐｒ ｇ ａ Ｐｒ ｆ ｒ ｎ ｅ
Ｚ ＨＡＮＧ ｉｇ ， Ｊｎ
（ ．Ｃ ｌ ｇ ｆ ｔｅ ａｉ ｎ ｆｒ ａｉ ｃ ｎ ｅ ｏｔｗ ｓ Ｎ ｒ ａ Ｕ ｉ ｒ ｔ， ａｚｏ ３ ０ ０， ｈｎ ； １ ｏ ｅｅｏ ｈ ｍ ｔ ｓ ｄＩ ｏｍ ｔ ｎＳｉ ｃ ，Ｎ ｒ ｅｔ ｏ ｌ ｎｖ ｓｙ Ｌ ｎｈ ｕ７ ０ ７ Ｃ ｉａ ｌ Ｍａ ｃａ ｎ ｏ ｅ ｈ ｍ ｅｉ
ｔｉｎ ｌｒｆ ｚｙ ｎｕ ｅ ｅ ｕ ｓ ，ｔａ ｓｅ ｓｔ ｅ ｔ ａ ｕ ｌｒｆ ｚ ｙ ｎ ｍｂ ｒ ｏ ｉ ｔｒ ａ ｓａ ｄ ｉｔｏ ｕｃ ｓ ｂ ａ ｕ ｃ ｉｎ， ｒａ ｇ ａ ｕ ｚ ｍｂ ｒｒ ｑ ｅ ｔ ｒ ｎ ｆ ｒ ｈ ｒ ｎｇ ａ ｕ ｚ ｕ ｅ ｓｔ ｎ ｅ ｖ ｌ ｎ ｎ ｒ ｄ ｅ ｉｓｆ ｎ ｔ ｕ ｉ ｏ
Ｏ 引言
三角模糊数型模糊多属性群决策方法
三角模糊数型模糊多属性群决策方法顾翠伶;梁艳艳;张茜【摘要】针对决策属性值为三角模糊数的模糊多属性群决策问题,给出一种新的解决方案.将专家群体的语言值模糊权重信息转化为三角模糊数形式,利用三角模糊数的模,求出决策群体中专家的权重.综合考虑方案的熵与散度面积,融合方案与正、负理想解的贴近度,构造一种新的综合评价指标,进而对方案进行排序择优.数值例子验证该方法的可行性与有效性.【期刊名称】《周口师范学院学报》【年(卷),期】2015(032)005【总页数】6页(P36-41)【关键词】三角模糊数;散度;贴近度;模糊熵;模糊多属性决策【作者】顾翠伶;梁艳艳;张茜【作者单位】周口师范学院数学与统计学院,河南周口466001;周口师范学院数学与统计学院,河南周口466001;周口师范学院数学与统计学院,河南周口466001【正文语种】中文【中图分类】C934多属性决策问题的实质是利用已有的决策信息通过一定的方式对一组有限个备选方案进行排序并择优.多属性决策是现代决策科学的核心内容之一，它广泛应用于社会、经济、管理等多个领域中.群决策可以弥补单个决策者知识结构和经验水平的局限性，在管理决策中能更好地处理决策问题，提升决策质量，近年来，已有大量关于模糊多属性（群）决策分析方法的研究［1－9］.其中文献［1］针对只有部分属性权重信息且属性值以区间数形式给出的不确定多属性决策问题，提出一种逼近理想关联度的决策分析方法.文献［3］针对方案的属性评估信息和属性权重是模糊语言形式的多属性群决策问题，将语言信息转化为三角模糊数，利用三角模糊数的性质，构造集结决策者权威性和意见一致性的组合一致性指标，并给出一种模糊多属性群决策算法.曾三云［6］针对属性值为模糊变量，属性权重完全未知但已知方案优先序的模糊多属性决策问题给出新的决策方法.该方法通过建立一个线性目标规划模型来确定属性的权重，再基于简单加权平均法则来计算各方案的模糊综合属性值，然后根据比较模糊变量大小的期望值方法对方案进行排序.胡丽芳［9］对模糊群体多属性决策问题，依据一般的灰色关联分析方法的基本思路，将灰色关联度和欧氏距离结合，构造平均相似度对方案进行评价，提出一种新的灰色多属性决策方法.在决策过程中，由于决策时间、专家知识结构等的限制，决策专家对于方案或者属性的认识的不深刻等，这样就要求给决策专家一个权重以区别专家的重要性.笔者给出一种确定专家权重的方法，将语言值模糊信息化为三角模糊数形式，利用三角模糊数的模，将决策群体中每个专家的权重精确化.熵度量方案的模糊性，方案的熵越大，模糊性越强，方案就越劣.方案的散度面积越大，可行域也越大，方案越优.贴近度度量两个模糊数之间的贴近程度，贴近度越大，说明两个模糊数越接近.决策方案与正理想方案的贴近度越大，与负理想方案的贴近度越小，方案越优.本文融合模糊熵、散度面积以及方案与正、负理想方案之间的海明贴近度，给出排序方案的综合指标值，该综合指标值越大，方案越优.最后给出一个具体的算例分析，验证该方法的合理性和有效性.1 预备知识定义1［10］一个模糊数A定义为fA：R→I＝［0，ω］的模糊集，满足（1）fA是上半连续的；（2）存在一个区间［a，d］，当x∉［a，d］时，有fA（x）＝0；（3）存在实数b，c满足a≤b≤c≤d ，fA（x）在［a，b］单调递增；fA（x）在［c，d］上单调递减；fA（x）＝1在［b，c］上.即隶属函数可以表示为：其中ω为实数，且是模糊数A 的左右隶属函数.定义2［11］一个模糊数A的参数形式为分别为的反函数（0≤r≤1）.且（r）与（r）满足下列要求：（1）（r）有界单调递增的右连续函数；（2）（r）有界单调递减的左连续函数；（3）（r）≤0≤r≤1.定义3 称为模糊数A的权重面积，且有S（A）越大越好.这里将此权重面积作为模糊数散度的一个衡量指标.可见模糊数的权重面积越大，散度越大，可行域也就越大.对一组模糊数｛A1，A2，…，An｝，定义则s（Ai）越大，模糊数越优.定义4［12］假设A为连续模糊变量，则其熵定义为模糊变量的熵值越大，模糊性就越强，模糊变量就越劣.对于一组模糊变量｛A1，A2，…，An｝，定义e（Ai）越大，模糊变量越劣.定义5［13］令A、B和C为论域X 中的模糊集合，若映射σ：F（X）×F（X）→ ［0，1］具有性质：（1）σ（1，1）＝1；（2）σ（A，B）＝σ（B，A）；（3）由A⊇B⊇C或A ⊆B⊆C可得σ（A，B）≥σ（A，C），则称σ（A，B）为A与B的贴近度.贴近度的性质（1）说明两个相同的模糊集合的贴近度最大，性质（2）要求贴近度具有对称性，而性质（3）描述了两个接近的模糊集合的贴近度也较大.定义6［13］海明贴近度：2 模糊多属性决策方法与经典多属性决策相类似，模糊多属性决策基本模型可以描述为：给定一个方案集A＝｛A1，A2，…，Am｝，和相应于每个方案的属性集C＝｛C1，C2，…，Cn｝，以及说明每种属性相对重要程度的权集ω＝｛ω1，ω2，…，ωn｝，决策专家群体为Z＝｛Z1，Z2，…，Zl｝.其中，关于属性指标和权值大小的表示方式可以是数字的，也可以是语言的；涉及的数据结构可以是精确的，也可以是语言的；涉及的数据结构可以是精确的，也可以是不精确的.而所有语言的或不精确的属性指标，权值大小和数据结构等都被相应地表示成决策空间中的模糊子集或模糊数. Step1 决策矩阵标准化假设每个专家Zk对方案的评价矩阵由于不同的评价属性通常具有不同的物理量纲和量纲单位，且不同的量纲和量纲单位会带来不可公度性，因此在决策之前应将属性进行无量纲和规范化处理［9］.设S＋为效益型指标，S－为成本型指标，可以按照下列公式将属性决策矩阵Qk转化为规范化矩阵Rk所以有Step2 求群体决策矩阵在专家组成的团队里，有些专家的意见很重要，而另外一些专家的意见相对来说不是那么重要，这样就要求给各专家一个权重.每个专家的意见我们以语言形式给出，将语言形式转化为三角模糊数，对应表如下：表1 语言评估标度与三角模糊数语言值三角模糊数形式特别重要（0.8，0.9，1）很重要（0.6，0.7，0.8）一般重要（0.4，0.5，0.6）不太重要（0.2，0.3，0.4）不重要（0，0.1，0.2）若有l个专家，每个专家的权重以模糊语言值的形式给出，根据模糊语言值与模糊数的对应表（表1），则专家模糊权重信息值.将模糊权重去模糊化，得到专家的精确权重.定义第k个专家对应的精确权重为其中为三角模糊数的模.越大，说明第k个专家做决策时其意见也就越重要.求出每个专家的权重，根据各个专家对不同方案关于属性值的决策矩阵，得到群体决策矩阵其中Step3 确定正理想方案和负理想方案求专家群体决策矩阵的正、负理想方案.正理想方案：其中负理想方案：其中Step 4 求方案与正、负理想方案间的贴近度根据公式（5）可以求得各个方案属性值与正、负理想方案属性值之间的海明贴近度与从而第i个方案与正理想方案的贴近度为αj为第j个属性的权重值，并且第i个方案与负正理想方案的贴近度.因为方案与正理想方案的贴近度越大，同时方案与负理想方案的贴近度越小，方案越优.所以综合方案与正、负理想方案之间的贴近度信息，给出如下的指标：其中ρ为决策者群体偏好，代表决策专家对正负理想方案的偏好程度.φi越大，方案越优.Step5 计算各个方案的模糊熵与散度指标根据属性权重信息及专家群体决策矩阵可以得到每个方案的综合评价值：其中根据公式（1）、（3）得第i个方案的散度值S（gi）、熵值E（gi），根据公式（2）、（4）求得各个s（gi）与e（gi）.Step6 求各个方案的综合排序指标值结合方案的熵信息、散度指标以及各方案与正、负理想方案之间的贴近度，得到每个方案的综合排序指标φi越大，方案越优.3 实例分析某生产公司进行新厂址选址，有四种可供选择的方案X1，X2，X3，X4，属性指标值有三个ζ1，ζ2，ζ3，假设三个指标均为效益型指标.专家群组为Z1，Z2，Z3，每个专家关于决策方案的属性评价值由三角模糊数给出.确定模糊决策矩阵：将模糊决策矩阵标准化：三位专家Z1，Z2，Z3分别为特别重要，很重要，一般重要，根据表1，三位决策专家的模糊权重用三角模糊数表示为：由公式（6）则三位专家的权重为：结合专家的权重，求出群体决策矩阵：求正负理想方案：确定各个方案与正负理想方案的贴近度，假设这里三个属性指标的权重分别为0.43，0.36，0.21.根据公式（7）可以求得根据三个属性的权重值与专家群体决策矩阵可以得到每个方案的评价值：G ＝［g1，g2，g3，g4］T ＝［（0.14，0.29，0.63）（0.16，0.30，0.69）（0.15，0.31，0.67）（0.13，0.31，0.72）］T.根据公式（1）、（2）、（3）、（4）计算得到利用公式（8）得到每个方案的综合评价值φ1 ＝0.780 2，φ2 ＝0.778 0，φ3 ＝0.769 3，φ4 ＝0.759 2，因而最优的方案为X1.4 总结笔者针对决策信息、属性权重为三角模糊数的模糊多属性群决策问题，利用方案与正、负理想方案之间的贴近度，融合方案的熵值信息、散度信息，提出一种新的排序方案的综合指标；同时，依据语言评价信息，将专家的语言权重信息转化为三角模糊数形式.给出一种新的解决模糊多属性群决策问题的方法.实例分析，验证了所述方法的合理与有效性，但是对于模糊多属性决策问题仍存在需要深入研究的问题，比如各种求解模糊多属性决策方法的比较等问题.参考文献：［1］冯向前，魏翠萍，李宗植.基于理想关联度的不确定多属性决策方法［J］.运筹与管理，2007，16（2）：24－29.［2］周晓光，张强.基于 Vague集的群决策方法研究［J］.数学的实践与认识，2007，37（19）：12－18.［3］陈晓红，阳曦.一种基于三角模糊数的多属性群决策方法［J］.系统工程与电子技术，2008，30（2）：278－288.［4］戴厚平.基于模糊数直觉模糊集的多属性决策方法［J］.模糊系统与数学，2013，27（2）：149－154.［5］郭欣.基于改进的信息熵为权重的模糊多属性决策［J］.中国科教创新导刊，2013，26：22－24.［6］曾三云.带有方案优先序的模糊多属性决策方法［J］.模糊系统与数学，2013，27（1）：132－136.［7］何霞，刘卫锋.一种有方案偏好的直觉模糊多属性决策方法［J］.运筹与管理，2013，22（1）：36－40.［8］彭展声，农秀丽.模糊多属性决策的最小偏差法［J］.统计与决策，2009，6：156－157.［9］胡丽芳，关欣，何友.一种新的灰色多属性决策方法［J］.控制与决策，2012，27（6）：895－898.［10］Abbasbandy S，Asady B.Ranking of fuzzy numbers by sign distance ［J］.Information Sciences，2006，16：2045－2416.［11］Ma M，Friedman M，AKandel.A new fuzzy arithmetic［J］.Fuzzy Set and Systems，1999，108：83－90.［12］Liu B D.Uncertainty theory：an introduction to its axiomatic foundations［M］.Berlin：Springer，2004.［13］蒋泽军.模糊数学教程［M］.北京：国防工业出版社，2010.。
三角模糊数的计算规则
三角模糊数的计算规则摘要：I.三角模糊数的概念- 模糊数的定义- 三角模糊数的隶属函数II.三角模糊数的计算规则- 三角模糊数的加法- 三角模糊数的减法- 三角模糊数的乘法- 三角模糊数的除法III.三角模糊数的应用- 质量管理- 风险管理正文：I.三角模糊数的概念模糊数是一种用来表示不确定性的数学概念，它用来处理那些不能用传统数学方法处理的问题。
在模糊数中，一个数可以被赋予多个值，这些值用隶属度来表示。
模糊数分为很多种，其中一种就是三角模糊数。
三角模糊数是指隶属度函数呈三角形分布的模糊数。
它的取值范围在0到1之间，0表示某个数值完全不隶属于该模糊数，1表示该数值完全隶属于该模糊数。
三角模糊数的隶属函数呈三角形分布，因此而得名。
II.三角模糊数的计算规则三角模糊数的计算规则包括加法、减法、乘法和除法。
1.三角模糊数的加法两个三角模糊数的加法可以通过将它们的隶属度函数相加以得到新的隶属度函数。
具体来说，如果模糊数A的隶属度函数为A(x)，模糊数B的隶属度函数为B(x)，则它们的和模糊数C的隶属度函数为C(x) = A(x) + B(x)。
2.三角模糊数的减法两个三角模糊数的减法可以通过将减数B的隶属度函数取相反数后与被减数A的隶属度函数相加以得到新的隶属度函数。
具体来说，如果模糊数A的隶属度函数为A(x)，模糊数B的隶属度函数为B(x)，则它们的差模糊数C的隶属度函数为C(x) = A(x) - B(x)。
3.三角模糊数的乘法两个三角模糊数的乘法可以通过将它们的隶属度函数相乘以得到新的隶属度函数。
具体来说，如果模糊数A的隶属度函数为A(x)，模糊数B的隶属度函数为B(x)，则它们的积模糊数C的隶属度函数为C(x) = A(x) * B(x)。
4.三角模糊数的除法两个三角模糊数的除法可以通过将除数的隶属度函数取倒数后与被除数的隶属度函数相乘以得到新的隶属度函数。
具体来说，如果模糊数A的隶属度函数为A(x)，模糊数B的隶属度函数为B(x)，则它们的商模糊数C的隶属度函数为C(x) = A(x) * B(x)。
模糊数学5-模糊线性规划
具体形式
例1. 解模糊线性规划
m a x s x1 4 x 2 6 x 3 x1 x 2 x 3 8 ~ x1 6 x 2 x 3 6 ~ s .t . x 1 -3 x 2 -x 3 4 ~ x 1 ,x 2 , x 3 0
对应的约束条件伸 缩指标分别取 d1=2,d2=1,d3=0.5
解：首先求解普通线性规划（1）
m a x s x1 4 x 2 6 x 3 x1 x 2 x 3 8 x1 6 x 2 x 3 6 s .t . x 1 -3 x 2 -x 3 4 x ,x , x 0 1 2 3
1'
MATLAB程序如下 f1=[-1,4,-6]; A1=[1,1,1;-1,6,-1];b1=[8;-6]; Aeq1=[1,-3,-1];beq1=[-4];lb1=[0,0,0]; [x1,z1]=linprog(f1,A1,b1,Aeq1,beq1,lb1); 结果：x1=2,x2=0,x3=6, 最优值为：38
1 2 3
2 x1 2 x 2 x 3 1 2 x1 0 , x 2 0 , x 3 5
lb=[0,0,-inf];ub=[inf,inf,5];
[x,z]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
例2. 求解规划
解：转化为 min z = -2x1-3x2+5x3 s.t. x1+x2+x3=7 -2x1+5x2-x3 -10 x1,x2,x3 0
max z = 2x1+3x2-5x3
s.t. x1+x2+x3=7
2x1-5x2+x3 10
三角模糊数的计算规则
三角模糊数的计算规则三角模糊数是一种常用的模糊数学工具，它是指在一个三角形的取值域中，通过三个参数来描述一个模糊数。
这三个参数分别是左侧参数a、中心参数b和右侧参数c，它们分别代表了模糊数在左侧、中心和右侧的取值程度。
三角模糊数的计算规则包括模糊数的加法、减法、乘法和除法。
我们来看看三角模糊数的加法规则。
假设有两个三角模糊数A和B，它们的参数分别为a1、b1、c1和a2、b2、c2。
那么A和B的加法结果可以通过以下方式计算：1. 左侧参数的计算：将A和B的左侧参数相加，得到新的左侧参数a = a1 + a2；2. 中心参数的计算：将A和B的中心参数相加，得到新的中心参数b = b1 + b2；3. 右侧参数的计算：将A和B的右侧参数相加，得到新的右侧参数c = c1 + c2。
这样，我们就可以得到A和B的加法结果，即新的三角模糊数C(a, b, c)。
接下来，我们来看看三角模糊数的减法规则。
假设有两个三角模糊数A和B，它们的参数分别为a1、b1、c1和a2、b2、c2。
那么A和B的减法结果可以通过以下方式计算：1. 左侧参数的计算：将A的左侧参数减去B的右侧参数，得到新的左侧参数a = a1 - c2；2. 中心参数的计算：将A的中心参数减去B的中心参数，得到新的中心参数b = b1 - b2；3. 右侧参数的计算：将A的右侧参数减去B的左侧参数，得到新的右侧参数c = c1 - a2。
这样，我们就可以得到A和B的减法结果，即新的三角模糊数C(a, b, c)。
接下来，我们来看看三角模糊数的乘法规则。
假设有两个三角模糊数A和B，它们的参数分别为a1、b1、c1和a2、b2、c2。
那么A和B的乘法结果可以通过以下方式计算：1. 左侧参数的计算：将A的左侧参数乘以B的左侧参数，得到新的左侧参数a = a1 * a2；2. 中心参数的计算：将A的中心参数乘以B的中心参数，得到新的中心参数b = b1 * b2；3. 右侧参数的计算：将A的右侧参数乘以B的右侧参数，得到新的右侧参数c = c1 * c2。
三角模糊数的计算规则
三角模糊数的计算规则
一、定义：
三角模糊数是一种数量的概念，它受到三个变量的影响，称为“角”。
三角模糊数是指对三个角（α、β、γ）的比率<alpha:beta:gamma>，由
三角化求得的概念，其计算规则可用数学形式表达为：f(α, β, γ) = （α + β + γ）/3、三角模糊数是一种特殊的模糊数，它将三个变量（角）综合到一起，使模糊性增强，可以表达更复杂的概念。
二、计算方法：
1、理解三角模糊数的概念。
三角模糊数是根据三个角（α、β、γ）的比率<alpha:beta:gamma>来决定的，它由三角化的过程中求出的概念，
通俗地讲就是把变量α、β、γ的值放到三角形上，考虑它们之间的比例，从而求出一个抽象的模糊数。
2、计算三角模糊数的具体步骤。
首先，将变量α、β、γ的值放到
三角形上，求出三角形任意两条边的长度，即求出α、β、γ三个角的
夹角θ；其次，需要计算三角形面积S，可以利用海伦公式求出S的具体值；最后，根据三角模糊数的计算公式：f(α,β,γ)=S/3，求出具体的
三角模糊数值。
三、实例：
例题一：求α=2，β=4，γ=6的三角模糊数。
解：
根据海伦公式求出S=4.6
根据三角模糊数的计算公式：f(α,β,γ)=S/3
所以三角模糊数的值为：f(α,β,γ)=4.6/3=1.53。
目标带有模糊系数的线性规划的一种新解法
将 目标 带 有模糊 系数 的 线性规 划转 化 为 １个有 ３个 目标 的线性 规 划 问题 ， 用 多 目标 规 划 的逐 利 步 宽容 算 法 间接 地 解决这 类 问题 。通过 实例 对 算法进 行 了验证 ， 明 了此 方 法的有 效性 。 证 关 键 词 ： 数 ； 目标 线性规 划 ； 步 宽容 算 法 — 多 逐 文献 标识 码 ： Ａ 文章编 号 ：６ ４— ４ ５ ２ １ ） ８— ０ ７— ３ １７ ８ ２ （ ０ ０ ０ ０ ９ ０
线 性规 划 的一 种 解 法 。此 方 法 思 路 清 晰 ， 法 简 算
其具有较强的实用性 ， 一直是 国内外 学者研究 的
重点 。但 目前 国 内外众 多 学 者 主要 偏 重 于研 究 约
单 ， 于求解 。 易
收 稿 日期 ：００— ２—１ ２１ ０ １ 基金项 目： 陕西省教育厅专项科研基金资助项 目（ ３ｋ６ ） 西安建 筑科 技大学基础研究基金资助项 目（２ Ｒ １ ０ ｊ０ ５ ； ０Ｂ ０ ） 作 者简 介 ： 徐裕生 （９ ０ ） 男 ， １５一 ， 安徽怀远人 ， 教授 ， 主要从事最优 化理论与算法研究 。
第２ ４卷 第 ８期
Ｖｏ． ４ １２
Ｎｏ ８ ．
重 庆 理 工 大 学 学 报 （ 然科 学） 自
Ｊｕｎｌ ｆ ｈｎｑｎ ｎ ｅｓｙｏ Ｔ ｃｎｌｇ（ ａ ｒｌ ｃｅｃ ） ｏｒａ ｏ ｏ ｇｉｇＵ ｉ ｒｉ ｆ ｅｈｏｏｙ Ｎ ｔ ａ Ｓｉ ｅ Ｃ ｖ ｔ ｕ ｎ
２１ ０ ０年ｘ Ｌ：ｃ ａ ｆ ｘ
１ 模型及相关概念和性质
目标 带有模 糊 系数 的线性 规划 ：
ｍａ Ｚ ＝ ｃ ｘ
ａ Ａ ＝ｃ ｒｎ ｉ
极小 化式 （ ） 如下 的线 性规划 问题 ： １为
具有三角模糊数的线性规划的一种方法
具有三角模糊数的线性规划的一种方法这种方法是利用了模糊数学隶属度的概念，我们选取一种计算方法，在该方法下，可以根据精度要求将计算过程细化，即可以分成多个计算区间，这个区间分的越细，我们所用来比较隶属度的样本就越多，从而可以更精确的找出隶属度最大的那个区间，那么在该区间上计算出来的结果就应该是我们想要的结果。
上面所说的隶属度是描述了我们所分区间的到的样本结果是否从属与理想结论的程度，同下面的方法中用距离来刻画是相似的。
记所用三角模糊数形式为0(,,)mpc c c c =设模糊线性规划中带有三角模糊数的目标函数有如下形式：123111()nnnpm i i i i i i f x w c x w c x w c x ====++∑∑∑上式中：w 1+2w +3w =1,0c --------消极量，m c --------可能量，p c -------乐观量，x Q ∈.设001231212(1)p m p mi i i i i i i f wc w c w c wc w c w w c =++=++--根据三角模糊数的性质可以知道001212(1)p m i i i i c wc w c w w c ≤++-- （1）由（1）可以推出 012()/()1p m m i i i i w w c c c c ≤--+ 我们作如下相应记法：102,m p m i i i i i i c c P c c P =-=-那么可以得到：21211i iP w w ≤+P （2）同样 01212(1)pm p i i i i w c w c w w c c ++--≤ （3） 由（3）可以推出2211(1)ii w P w P -≥作如下相应记法：()()22222122111122222212211112(1)(1)(1)max(,,....,)4min(1,1,...,1)5n n n n w P w P w P n P P P w P w P w Pm P P P ---==+++可以得到 1n w m ≤≤ （6）对于1w 是否存在，我们需要做一些限定，我们假定下面的条件成立，即：22222222212122221111111122(1)(1)(1),1,1...,1n n n n w P w P w P w P w P w P P P P P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+++≠∅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（7） 因此若201w ≤≤，那么显然（7）是成立的。
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三、三角模糊数运算规则
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二、三角模糊数 数学定义
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四、评价语言集及其对应的三角模糊数
TFN(fuzzy triangular numbers）
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五、Fuzzy 权数的计算方法
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