关于模糊线性规划模型问题的探讨
第五讲：模糊线性规划
换基： 换基： 因为 / 2 < 6 / 1,故 为主元素。 10 2为主元素。
1.5 1 0 0 0 2 1 1 0 10 1 1 0 1 6
1.5 1 0 0 0 2 1 1 0 10 1 1 0 1 6 0 1/ 4 − 3 / 4 0 − 7.5 5 → 1 1/ 2 1/ 2 0 0 1/ 2 − 1/ 2 1 1 检验数中1/4为正数，目标值非最优，需换基。 检验数中 为正数，目标值非最优，需换基。 为正数 换基： 换基： 5 1 为主元素。 因为 /(1/ 2) > 1/(1/ 2), 故 / 2为主元素。
得f0 + d0；
3.求解综合线性规划
ax m λ 1 n 1 − (∑aij x j − bi ) ≥ λ, j = 1,2,⋯, m d j i =1 1 n ( c x − f )≥λ 0 d0 ∑ i i i =1 λ ≥ 0, xi ≥ 0(i = 1,2,⋯, n) ∗ ∗ x λ 得 和 。
合线性规划即得模糊 利用单纯形法求解此综 规划的解。 规划的解。
： 模糊线性规划求解步骤
ax m f = Cx 1.求解普通线性规划 s.t. Ax ≤ b 得f0； x≥0
2.给定 i (i = 1,⋯, m), 求解普通线性规划 d
ax m f = Cx s.t. Ax ≤ b + d x≥0
ax m f = 7x1 + 3x2 ~ 3x1 + 2x2 ≤ 1500 ~ ~ x1 ≤ 400, x2 ≤ 250 x ≥ 0, x ≥ 0 2 1 ~ ~ ~ 3 模糊约束 x1 + 2x2 ≤ 1500, x1 ≤ 400, x2 ≤ 250
模糊规划
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1
所谓规划问题，也就是最优化问题。长期以来，最 优化思想支配着人类生存和改造世界的活动，才使 人类社会得以不断发展。最优问题，在生活、生产 和社会行为的各个方面都普遍存在，因此优化是人 们普遍的思想。以前解决规划问题的常用的数学方 法，叫线性规划．这是用线性方程来研究规划问题 的方法。经典规划问题的目标函数和约束条件都是 明确的，但是，在实际问题中常常碰到模糊的目标 函数和约束条件，从面提出了模糊的规划问题，即 用模糊集方法来求解模糊最优化问题。
求一组变量(x1,x2,…, xn)使目标函数最大,且满足约 束条件.用矩阵可以表示为
Ax b
max
s Cx
s.t.
x
0
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为方便求解,需将不等式化为等式(加入松弛变量) (1)若 ak1 x1 ak2 x2 ... akn xn bk 可加入变量xn+k使得
ak1 x1 ak 2 x2 ... akn xn xnk bk
2. 可行解集中的点x是极点的充分必要条件是x为基 础可行解;
3. 线性规划问题的最优值仅在某极点上达到.
上述性质的证明见有关”线性规划”的书, 根据性 质3,求线性规划问题的最优解,只需从可行解集的 极点(基础可行解)中去找.
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经典线性规划-解法-图解法
例 max s=1.5x1+1.0x2 约束条件
(2)若 ak1 x1 ak2 x2 ... akn xn bk 可加入变量xn+k使得 ak1 x1 ak 2 x2 ... akn xn xnk bk
线性规划的标准形式为(松弛变量在目标函数中的系数为0)
11-1 模糊线性规划
11.1 经典线性规划
引例：某工厂生产A、B两种产品，其情况如下表：
试求出该工厂生产 A、B两种产品的 最佳方案。
机床1 机床2
A产品需 要工时
2
1
B产品需 机床每天最大 要工时 可利用工时
1
10
1
6
解：设x1、x2分别
单件产 品利润
1.5元
1.0元
——
为每天生产的A、B
产品数，则每天的利润 f 可表示为 f 1.5x1 1.0x2 (元)
直线离原点越远，f的值 越大。按性质(3)得：最 优点可能是极点(0,6),(5,0),(4,2)
(4,2)
x1+x2=6
经过计算，(4,2)为最优点，
即 x1=4, x2=2为最优解
0
x1 56
Matlab优化工具求解线性规划问题
[x,fval,exitflag, output, lambda]
ym
f(x) A(x)
若x M, 则 x 可能属于
1
2
多个M，必有一个 的最 大值，将此 值作为 x 的
1
隶属度，就得到一个新的
x1 x2
x3
X F集，记为Af 。
F约束下的条件极值
定义2：设AF(X), f : X→Y(实数域)，称F集 Af M
0 1
为 f 在F集A 上的优越集，其隶属度为
知：[0, 1]，A均为普通集合，记M为函数 f
在A上的优越集，即
Y
M
{x*|
f
(x*)
max
xA
f
(x)}
ym
f(x)
A(x)
1
2
模糊数学 之 模糊线性规划
中的M为足够大的正 中的 为足够大的正 , Ax = b ≥ 0数, 起“惩罚”作用 惩罚”作用, s.t. 以便排除人工变量. 以便排除人工变量 x ≥ 0. 单纯形解法是引入m个人工变量 大M单纯形解法是引入 个人工变量 n+1 , …, 单纯形解法是引入 个人工变量x xn+m将原问题变为 m
若约束条件带有弹性，即右端常数 若约束条件带有弹性，即右端常数bi可能取 (bi – di , bi + di ) 内的某一个值，这里的d 内的某一个值，这里的 i＞0，它是决策人根据实 ， 际问题选择的伸缩指标 这样的规划称为模糊线 伸缩指标. 际问题选择的伸缩指标. 这样的规划称为模糊线 性规划. 性规划.
解多目标线性规划问题(P280) (P280)： 例2 解多目标线性规划问题(P280)：
in m f1 = x1 + 2x2 x3; m f = 2x + 3x + x ; ax 2 1 2 3 x1 + 3x2 + 2x3 ≤10, x + 4x x ≥ 6, s.t. 1 2 3 x1, x2 , x3 ≥ 0.
⑴解普通线性规划问题： 解普通线性规划问题：
in m f1 = x1 + 2x2 x3; x1 + 3x2 + 2x3 ≤10, s.t.x + 4x x ≥ 6, 2 3 1 x1, x2 , x3 ≥ 0.
得最优解为x 得最优解为 1 = 0, x2 = 2, x3 = 2, 最优值 为2，此时 f 2 = 8. ，
⑶再分别将两个目标函数模糊化,变为解普通 再分别将两个目标函数模糊化, 线性规划问题： 线性规划问题：
ax λ, m x1 + 2x2 x3 + 2λ ≤10, 2x1 + 3x2 + x3 12λ ≥ 8, s.t. x1 + 3x2 + 2x3 ≤10, 此时f 此时 1 = 5.43, x1 + 4x2 x3 ≥ 6. f 2 = 14.86.
模糊数学5-模糊线性规划
具体形式
例1. 解模糊线性规划
m a x s x1 4 x 2 6 x 3 x1 x 2 x 3 8 ~ x1 6 x 2 x 3 6 ~ s .t . x 1 -3 x 2 -x 3 4 ~ x 1 ,x 2 , x 3 0
乙
1.4 0.6 0.8 8
丙
1.5 0.8 0.8 10
丁
单位时段可 供使用或必 须使用时数
2100
1000 1300
解：设甲、乙、丙、丁四种产品的产量分别为x1,x2,x3,x4 maxf=12x1+15x2+8x3+10x4
x 1 1 . 2x 2 1 . 4x 3 1 . 5x 4 2100 0 . 5x 1 0 . 6x 2 0 . 6x 3 0 . 8x 4 1000 s.t. 0 . 7x 1 0 . 7x 2 0 . 8x 3 0 . 8x 4 1300 x1 , x 2 , x 3 , x 4 0
玉米
发热量 蛋白含量 4Mcal/kg 90g/kg
大豆饼
2Mcal/kg 300g/kg
配比要求
>2.8Mcal/kg > 220g/kg
价格
2元/kg
1.6元/kg
解：设1公斤混合饲料中玉米为x1,大豆饼为x2,
目标函数为：z=2x1+1.6x2
s.t. 4x1+2x2 2.8
90x1+300x2
最优值为z2=20，此时z1=10 兼顾两个目标函数可知 z 1 [ 2 , 1 0 ], z 2 [ 8 , 2 0 ]
d 于是选取伸缩分别为： 1 10 2 8 , d 2 20 8 12
模糊数学5模糊线性规划PPT课件
s.t.
0 0
.5x1 .7x1
0.6x2 0.7x2
0.6x3 0.8x3
0.8x4 0.8x4
1000 1300
x1 , x2 , x3 , x4 0
8
二. 模糊线性规划的求解方法
普通线性规划：
模糊线性规划
m in f T x x
Ax b Aeqx=beq
lbxub
m ax f T x x Ax b ~
加工每件产品工时
单位时段可
设备
供使用或必
甲
乙
丙
丁
须使用时数
A
1.0
1.2
1.4
1.5
2100
B
0.5
0.6
0.6
0.8
1000
C
0.7
0.7
0.8
0.8
1300
每件利润 12
15
8
10
解：设甲、乙、丙、丁四种产品的产量分别为x1,x2,x3,x4
maxf=12x1+15x2+8x3+10x4
x1 1.2x2 1.4x3 1.5x4 2100
~~~
相应地改成 ,, 即可
11
转化为求最小值的线性规划模型：
m in s x1+ 4x2 -6x3
x1 x2 x3 8
s
.t
.
-
x x
1 1
+6x -3x2
2 -x3 -x3
6 4
1'
x1 ,x 2 , x 3 0
MATLAB程序如下
f1=[-1,4,-6]; A1=[1,1,1;-1,6,-1];b1=[8;-6]; Aeq1=[1,-3,-1];beq1=[-4];lb1=[0,0,0]; [x1,z1]=linprog(f1,A1,b1,Aeq1,beq1,lb1);
线性规划问题的数学模型
工地 砖厂
运价
A1
A2
B1
B2
B3
50
60
70
60
110
160
在线才智在线才智在线才智在线才
智在线才智
2
解：设 xi j表示由砖厂Ai 运往工地 Bj 砖的数量（i=1,2； j=1,2,3)
运量
工
地
B1
B2
B3
发量
砖厂
A1
x11
x12
x13
23
A2
x21
x22
x23
27
收量 17 18 15 50
⑵ 存在一定的限制条件，称为约束条件。这些约束条件 都可以用一组线性等式或不等式来表示。
⑶ 都有一个期望达到的目标，并且这个目标可以表示为 决策变量的线性函数（称为目标函数）。按所研究问题的不 同，要求目标函数值最大化或最小化。
我们将具有上述三个特点的最优化问题归结为线性规划问
题，其数学模型称为线性规划问题的数学模型，简称线性规划 数学模型。
智在线才智
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解：
x2 x1 + x2 = -2
x1
-x1 + x2 =1
没有可行解，当然没有最优解。
在线才智在线才智在线才智在线才
智在线才智
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第三节 单纯形法
（一）线性规划问题的标准形式
线性规划问题的数学模型有各种不同的形式。为了便于讨论，需要将线性 规划数学模型写成统一格式。
线性规划问题的标准型是：
4.配料问题
5.布局问题
6.分配问题
在线才智在线才智在线才智在线才
智在线才智
1
（二）线性规划问题的数学模型
具有三角模糊数的线性规划的一种方法
具有三角模糊数的线性规划的一种方法这种方法是利用了模糊数学隶属度的概念，我们选取一种计算方法，在该方法下，可以根据精度要求将计算过程细化，即可以分成多个计算区间，这个区间分的越细，我们所用来比较隶属度的样本就越多，从而可以更精确的找出隶属度最大的那个区间，那么在该区间上计算出来的结果就应该是我们想要的结果。
上面所说的隶属度是描述了我们所分区间的到的样本结果是否从属与理想结论的程度，同下面的方法中用距离来刻画是相似的。
记所用三角模糊数形式为0(,,)mpc c c c =设模糊线性规划中带有三角模糊数的目标函数有如下形式：123111()nnnpm i i i i i i f x w c x w c x w c x ====++∑∑∑上式中：w 1+2w +3w =1,0c --------消极量，m c --------可能量，p c -------乐观量，x Q ∈.设001231212(1)p m p mi i i i i i i f wc w c w c wc w c w w c =++=++--根据三角模糊数的性质可以知道001212(1)p m i i i i c wc w c w w c ≤++-- （1）由（1）可以推出 012()/()1p m m i i i i w w c c c c ≤--+ 我们作如下相应记法：102,m p m i i i i i i c c P c c P =-=-那么可以得到：21211i iP w w ≤+P （2）同样 01212(1)pm p i i i i w c w c w w c c ++--≤ （3） 由（3）可以推出2211(1)ii w P w P -≥作如下相应记法：()()22222122111122222212211112(1)(1)(1)max(,,....,)4min(1,1,...,1)5n n n n w P w P w P n P P P w P w P w Pm P P P ---==+++可以得到 1n w m ≤≤ （6）对于1w 是否存在，我们需要做一些限定，我们假定下面的条件成立，即：22222222212122221111111122(1)(1)(1),1,1...,1n n n n w P w P w P w P w P w P P P P P P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+++≠∅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（7） 因此若201w ≤≤，那么显然（7）是成立的。
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收稿日期:2006211206.作者简介:包金梅(19612),女(蒙古族),哲盟人,内蒙古广播电视大学副教授,主要从事经济数学、数学思想与方法的研究. 文章编号:16722691X (2007)022*******关于模糊线性规划模型问题的探讨包金梅(内蒙古广播电视大学,内蒙古呼和浩特010010)摘 要:通过开发区建设实现发展期望目标的模糊线性规划模型的构建与解析,在给定的模糊隶属度水平下,将模型转化为线性规划模型,通过确定模型的最佳目标函数,求出目标函数的最优值,从而为决策者提供更多的决策信息.关键词:模糊线性规划模型;约束条件;优化方案中图分类号:O221.1 文献标识码:A0 引言自威廉・配第在经济论文中最早运用数学以来,经济学与数学就结下了不解之缘.数学的应用,不仅给经济学研究带来了新的工具,也促进了经济学的发展.随着我国经济的蓬勃发展,人们越来越重视利用数学定量地解决经济、管理领域中的各种问题.用数学定量地解决经济、管理科学和经济管理实际中的问题,恰当的建立与这些问题相关的经济数学模型是关键所在.数学模型的建立不仅是用数学解决经济、管理问题的第一步,它还贯穿在解决问题的全过程中.经济数学模型有很多种,本文主要通过开发区实现发展期望目标模糊线性规划数学模型的分析,对模糊线性规划数学模型的标准形式和单纯形解法原理的探讨,从而研究和解决一些特定的经济问题.模糊线性规划研究的问题主要有两类:一是某项任务确定后,如何统筹安排,尽量作到用最少的人力物力资源去完成这一任务.二是已有一定数量的人力物力资源,如何安排使用他们,使得完成任务最多.其实这两类问题是一个问题的两个方面,就是所谓寻求整个问题的某个整体指标最优的问题.例如 开发区建设是在一定的时空范围内展开的,其可利用的资源条件是有限的,对于开发区来说,涉及的资源主要有:资金、人力、土地、技术、原料、能源、交通、通讯、信息等.我国开发区建设中最为关键和制约程度比较大的资源是资金、土地、主要生产资料和能源.如何在有限的资金、土地等资源条件下,实现发展期望的目标?下面对模型将作一探讨[1].1 模型的构建与解析建立线性规划问题的数学模型,就是从实际问题出发,抓住主要因素,确定决策变量,找出约束条件,并建立模糊线性规划模型.而许多经济问题的模糊线性规划模型尽管特点不同,但都具有以下三个基本特征[2]:第一、每一个经济问题都用一组未知变量(x 1,x 2,…,x n )表示某一规划方案,这组未知变量的一组定值代表一个具体的方案,而且这些经济问题中的变量往往都有非负的要求.第二、这些经济问题的研究和解决,都必须满足一定的条件.对于模糊线性规划模型问题来说,这些条件即约束条件都可写为线性等式和线性不等式的形式.第三、解决这些经济问题往往都有许多不同的方案可供选择,也就是说满足约束条件的方案可能有许多个.我们要求从中选出一个最优方案.这里有一个衡量标准问题,即根据什么数量标准来评定一个方案是最优的,这个数量标准我们称之为目标函数.目标函数是根据经济问题的性质和要求确定的,按照研究问题的不同,常常要求目标函数取最大或最小值,每一个问题的目标函数和约束条件都是线性的.第21卷第2期甘肃联合大学学报(自然科学版)Vol.21No.2 2007年3月Journal of Gansu Lianhe University (Natural Sciences )Mar.2007 根据上述三个基本特征,我们可以抽象出线性规划问题的模糊数学模型.它一般地可表示为:在线性约束条件6n j=1a ij X j≤(≥)B i(i=1,2,…,m).(1)以及非负约束条件x j≥0(j=1,2,…,n)(2)下,求一组未知变量x j(j=1,2,…,n)的值,使z=6n j=1c j x j→min(max).(3) 若采用矩阵记号,上述线性规划模型的一般形式可进一步描述为:在约束条件A X≤(≥)B,(4)以及x≥0,(5)下,求未知向量x=[x1,x2,…,x n]T,使得Z=CX→min(max).(6)其中X=X1X2…X n,A=a11a12 (1)a21a22 (2)a n1a n2…a nn,B=b1b2…b m,C=(c1,c2,…,c n). 例如 在开发区开发建设与发展中,发展指标有的是越高(越优)越好,越高对发展的贡献越大.从定量的角度来讲,这一发展指标对社会发展贡献的系数是一个正值.比如社会生产总值、国内生产总值、国民收入、财政收入、外贸出口总额等发展指标就是如此,有的发展指标只须达到一定数量就可以了,比如在一定时期内,固定资产投资,实际利用外资额,第二产业、第三产业的比重,并非越多越好,还有的发展指标,在一定时期内,必须有所控制,比如,人口、进口总额发展指标,在某一时期必须限制在一定范围之内.因为超过了一定的阈值,它对社会发展贡献系统便是一个负值.设有发展指标X1,X2,…,X n,X i(i=1,2,…,n),对社会发展指标Y的贡献是c j,对资源j 的消耗为a ij.再假设资源约束为B1,B2,…,B m, B i(i=1,2,…,m)为模糊约束,允许增加量为d j,隶属函数为μj(d).根据上述问题的三个基本特征对发展指标和资源约束指标体系的分析,可建立开发区发展指标模糊线性规划模型如下:max Y=6n i=1c i X i,s.t.6n i=1a ij X i<B j,j=1,2,…,m.(7) X k≤e或X k≥e,e为常数,k∈{1,2,…,n}. 2 模型的求解首先,若存在X k≥e,k∈{1,2,…,n}的情形,总可以通过变换,将X k≥e转化为X k≤e,故模型(7)可转化为max Y=6n i=1c i X i,s.t.6n i=1a ij x i<B j,j=1,2,…,m.(8) X k≤e,e为常数,k∈{1,2,…,n}.模型(8)解法如下:先求解max Y=6n i=1c i X i,s.t.6n i=1a ij x i<B′j,j=1,2,…,m.(9)X k≤e,e为常数,k∈{1,2,…,n}.其中B′j=B j+d j,得到M=max Y. 再建立线性规划模型max Y=6n i=1c i X i/M,s.t.X∈EλL=X|6n i=1a ij x j≤BλL j,x k≤e.(10)其中Bλl j=B j+dλl j,dλl j=max{d|μj(d)≥λl}.算法如下:①取l=1,并设定λl=λ1,0<λ1<1.②求解普通线性规划(10),得到max Y=Y L, X∈EλL.③对给定的精度ε>0计算ε1=λ1-Y l.如|ε1|>ε转到(4);如|ε1|≤ε转到(8).④取λl+1=λl-r lεl,重复2,其中r l的取法为0<r l<1,使0≤λl+1≤1. (8)取最优水平为λ1,相应地使Y l(X3)= max Y l,X∈Eλl,λl为最优水平的X3便是规划31第2期 包金梅:关于模糊线性规划模型问题的探讨 (10)的解,也是规划模型(8)的解.3 模型的应用假设某开发区一定时期内主要资源约束为资金:240～250亿元,土地:110～120个单位,发展指标为X1:国内生产总值(亿元),X2:人口总数(万人)≤20.假定发展指标对社会发展指数Y的贡献向量为(0.8,0.2),发展指标对资源的消耗矩阵为0.450.30.2.根据模型(7)的结构建立经济发展规划模型如下max Y=0.8X1+0.2X2s.t0.4X1+5X2<110X2≤20,X1,X2≥10其中资金、土地资源为模糊约束,容许增加量均为10个单位,假设隶属函数分别为μ1(d)=μ2(d)=1-0.1d,0≤d<10,0,d≥10.取精度ε=0.01,λ1=0.8,根据前述算法计算得优化发展目标为(X1,X2)=(360.2,19.6).即在这一时期内,国内生产总值发展目标为360. 2亿元人民币,人口规模为19.6万人,可供决策时参考.参考文献:[1]韦澄芬.优化数学要议[M].北京:商务印书馆,1985.[2]徐建华.现代地理学中的数学方法[M].北京:高等教育出版社,2002:1272161.[3]钱颂迪.运筹学[M].北京:清华大学出版社,1990.[4]马仲蕃,魏权龄,赖炎连.数学规划讲义[M].北京:中国人民大学出版社,1981.[5]张建中,许绍吉.线性规划[M].北京:科学出版社,1990.[6]林炳耀.计量地理学概论[M].北京:高等教育出版社,1985.[7]张超,扬秉赓.计量地理学基础[M].北京:高等教育出版社,1990.[8]徐建华.甘肃中部干旱地区产业结构探讨[J].科学・经济・社会,1987,5(5):2782281.[9]陈锡康.经济数学方法与模型[M].北京:中国财政经济出版社,1984.Inquiring into the Standard Form about the Fuzzy Linear Programming ModelB A O J i n2mei(Inner Mongolia Broadcast Television University,Huhhot010010,China)Abstract:Through t he const ruction and analysis of t he f uzzy linear programming model used for t he p rediction of t he develop ment of t he Economic Develop ment Done,when certain f uzzy f unctions are set,t he paper convet s t he model into t he linear p rogramming model,hinds t he optimal values of t he objective f unctions t hrough determining t he models optimal objective fractions,t hus to be able to p ro2 vide t he decision2information.K ey w ords:f uzzy linear p rogramming model;const raint conditio n;optimization formula 41 甘肃联合大学学报(自然科学版) 第21卷。